Lê văn phong 20000500

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

LÊ VĂN PHONG

TIỂU LUẬN CUỐI KỲ
CƠ SỞ VẬT LÝ HIỆN ĐẠI

Lớp: K65A1 Toán học
Mã số sinh viên: 20000500

Giảng viên
PGS.TS. NGUYỄN VIỆT TUYÊN

Hà Nội-2022


MC LC

1

Mc lc
1 Hm súng Schră
odinger
1.1 Hm súng trong c học lượng tử . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Wave Functions In The Presence Of Forces . . . . . . . . . . . .
1.3 The Particle In A Box . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2
2
3

5


1

ă
HM SểNG SCHRODINGER

1

2

Hm súng Schră
odinger

1.1

Hm súng trong c hc lng tử

Trong cơ học cổ điển, khái niệm trạng thái (state) của một hạt (a particle) nghĩa
là sự định rõ vị trí và tốc độ của nó tại một thời điểm bất kỳ và các lực đang
tác dụng lên hạt đó. Theo định luật thứ hai của Newton, nếu cho trước trạng
thái của một hệ bất kỳ ta sẽ xác định chính xác trạng thái của nó trong tương
lai. Tuy nhiên, đối với hạt vi mơ thì ta khơng thể đồng thời xác định chính xác
vị trí và tốc độ của nó (Nguyên lý bất định Heisenberg). Điều đó có nghĩa là
khơng thể dự đốn được sự chuyển động của hạt vi mô trong tương lai nếu chỉ
dựa vào cơ học cổ điển. Do đó, cơ học lượng tử đã được sinh ra có thể giải quyết
vấn đề trên, dự đốn chính xác hơn sự chuyển động của hạt trong tương lai.
Trong cơ học lượng tử, trạng thái của một hệ tại một thời điểm nào đó được
mơ tả bằng hàm sóng hay hàm trạng thái Ψ. Bởi vì trạng thái của hệ, thông

thường thay đổi theo thời gian, nên Ψ cũng là một hàm theo thời gian. Đối với
hệ một hạt chuyển động trong khơng gian một chiều thì hàm sóng Ψ = Ψ(x, t).
Hàm sóng Ψ chứa đựng tất cả những thông tin khả dĩ của hệ nên trạng thái
được mơ tả bởi hàm sóng Ψ hay nói gọn hơn là trạng thái Ψ. Để xác định trạng
thái ở tương lai của một hệ cơ học lượng tử thì phải biết được trạng thái ở
thời điểm hiện tại. Năm 1926, Nh vt lý Erwin Schrăodinger ó xõy dng c
hc sóng, nó hợp nhất nguyên lý lượng tử do Planck đưa ra và ngun lý lưỡng
tính sóng hạt của De Broglie. Dựa vào ngun lý lưỡng tính sóng hạt sẽ mô
tả chuyển động của một electron trong tinh thể bằng lý thuyết sóng, lý thuyết
này được mơ tả bằng phương trỡnh súng Schrăodinger cho chỳng ta bit c s
thay i của hàm sóng theo thời gian:
iℏ

ℏ2 ∂ 2 Ψ(x, t)
∂Ψ(x, t)
=−
+ V (x, t)Ψ(x, t),
∂t
2m ∂x2

(1)

trong đó
❼ i là đơn vị ảo của tập số phức.

h
được gọi là hằng số Planck rút gọn (hay hằng số Planck-Dirac) và
2π
h = 6.626069057(29) × 10−34 (J · s) = 4.135667334 × 10−15 (eV · s) là hằng
số Planck.

❼ ℏ=

❼ m là khối lượng của hạt.
❼ V (x, t) là hàm thế năng của h.

Phng trỡnh Schră
odinger ph thuc thi gian trờn cha o hàm riêng phần
của hàm sóng theo thời gian. Do đó nó cho phép chúng ta xác định hàm sóng tại
một thời điểm bất kỳ trong tương lại nếu ta biết được hàm trạng thái tại một
thời điểm t0 mà ta xét. Hàm sóng Ψ mang thơng tin về toạ độ và thời điểm của
một hệ mà nó mơ tả, tuy rằng việc chỉ ra vị trí chính xác của hạt không giống với
cơ học cổ điển. Và ngay sau khi Schrăodinger khỏm phỏ ra phng trỡnh súng,


1

ă
HM SểNG SCHRODINGER

3

nh vt lý Born ó a ra cụng thức tìm xác suất tìm thấy hạt dọc theo trục x
trong vùng từ x → x + dx là
2

dP = |Ψ(x, t)| dx.

(2)

Hàm Ψ(x, t)2 dx được gọi là mật độ xác xuất tìm thấy hạt ở những vị trí khác
nhau trên trục x.

1.2

Wave Functions In The Presence Of Forces

Việc gii phng trỡnh Schră
odinger l tng i phc khi xột không gian 3 chiều.
Xét trong không gian một chiều và thit lp phng trỡnh Schrăodinger khụng
ph thuc thi gian trong trường hợp này.
dV (x)
với V (x)
Giả sử một hạt khối lượng m chịu tác động của một lực F =
dx
là hàm thế năng của hạt(không phụ thuộc vào thời gian t, mà chỉ phụ thuộc
vào toạ độ x). Phương trình Schrăodinger ph thuc thi gian trong trng hp
ny l
(x, t)
2 ∂ 2 Ψ(x, t)
iℏ
=−
+ V (x)Ψ(x, t)
(3)
∂t
2m ∂x2
Với mong muốn nghiệm của phương trình trên có dạng
Ψ(x, t) = f (t)ψ(x)

(4)

Lần lượt lấy đạo hàm theo t và đạo hàm bậc hai theo x hai vế của (4) ta được
∂Ψ(x, t)
df (t)
=
ψ(x)
∂t
dt
∂ 2 Ψ(x, t)
d 2 ψ(x)
=
f
(t)
∂x2
dx2
Thực hiện phép thế hai phương trình trên vào phương trình (3) thì
iℏ

ℏ2
d 2 ψ(x)
df (t)
ψ(x) = −
f (t)
+ V (x)ψ(x)f (t)
dt
2m
dx2

Nhân cả hai vế của phương trình trên với

iℏ

1
ta thu được phương trình
ψ(x)f (t)

ℏ2 1 d 2 ψ(x)
1 df (t)
=−
+ V (x)
f (t) dt
2m ψ(x) dx2

có vế trái khơng phụ thuộc x và vế phải không phụ thuộc t. Sự kiện này dẫn
đến hai vế của nó phải bằng một hằng số E nào đó,
iℏ

1 df (t)
ℏ2 1 d 2 ψ(x)
=E=−
+ V (x).
f (t) dt
2m ψ(x) dx2


¨
HÀM SÓNG SCHRODINGER

1

4

Suy ra
df (t)
iE
= − dt
f (t)
ℏ
f (t) = Ae−iEt/ℏ
Và
−

ℏ2 d 2 ψ(x)
+ V (x)ψ(x) = Eψ(x).
2m dx2

(5)

Phương trình (5) chớnh l phng trỡnh Schrăodinger khụng ph thuc thi gian
cho một hạt khối lượng m di chuyển trong không gian một chiều. Nhận thấy
rằng E và thế năng V cùng thứ nguyên với năng lượng. Thật vậy, E cũng chính
là năng lượng của hệ.
Chứng tỏ tồn tại các hàm sóng dạng
Ψ(x, t) = e−iEt/ℏ ψ(x).

(6)

Hàm sóng này là một phức, dẫn đến mật độ xác suất của nó
|Ψ(x, t)|2 = Ψ(x, t)Ψ∗ (x, t) = |ψ(x)|2 ,
là một hàm không phụ thuộc vào thời gian. Một sự khác biệt lớn giữa cơ học

cổ điển và cơ học lượng tử là trong cơ học cổ điển, vị trí của hạt có thể được
xác định chính xác, trong khi đó trong cơ học lượng tử, vị trí của hạt được xác
định theo xác suất. Chúng ta sẽ xác định hàm mật độ xác suất trong vài trường
hợp, và bởi vì nó khơng phụ thuộc thời gian, nói chung, chúng ta sẽ chỉ quan
tâm đến những phương trình sóng khơng phụ thuộc thời gian.
Cho nên nếu nghiệm Ψ(x, t) của phương trình Schrăodinger ph thuc thi
gian l tớch ca hm theo thi gian và hàm theo toạ độ Ψ(x, t) = e−iEt/ℏ ψ(x)
với là năng lượng E thì mật độ xác suất là |ψ(x)|2 không đổi theo thời gian.
Những trạng thái như thế được gọi là trạng thái tĩnh. Hàm ψ(x) cũng được gọi
là hàm sóng, mặc dù hàm sóng đầy đủ của một trạng thái tĩnh là e−iEt/ℏ ψ(x).
Trạng thái tĩnh trong trường hợp này được hiểu là mật độ xác suất |Ψ(x, t)|2
không thay đổi theo thời gian, chứ không phi ht khụng thay i.
Phng trỡnh Schră
odinger (5) cha hai biến số là năng lượng E và hàm sóng
ψ. Để giải phương trình chứa hai ẩn, chúng ta cần áp đặt thêm một số điều kiện
(điều kiện biên) lên ψ là
(i) Điều kiện chuẩn hố
Vì xác suất tìm thấy hạt trong tồn bộ khơng gian ln là 100%, điều này
dẫn đến
∞
|ψ(x)|2 = 1.
−∞

Phương trình giúp cho việc chuẩn hố hàm sóng và là một điều kiện để
xác định những hệ số trong hàm sóng.
(ii) ψ(x) phải xác định, liên tục và đơn trị.


1

ă
HM SểNG SCHRODINGER

(iii)

5


phi xỏc nh, liờn tc v n tr.
x

Vỡ |ψ(x)|2 là mật độ xác suất nên ψ(x) phải xác định và đơn trị. Nếu mật
độ xác suất không xác định tại điểm nào đó trong khơng gian thì xác suất tìm
thấy hạt tại vị trí này sẽ là chắc chắn (100%) và nguyên lí bất định sẽ bị vi
phạm. Nếu năng lượng toàn phần E và thế năng V (x) xác định ở mọi nơi. Đạo
hàm bậc hai phải xác định, nghĩa là đạo hàm bậc nhất phải liên tục. Đạo hàm
bậc nhất có liên quan đến động lượng hạt, là đại lượng xác định và đơn trị. Cuối
cùng, đạo hàm bậc nhất xác định có nghĩa là chính hàm số đó phải liên tục.
Trong một vài trường hợp đặc biệt mà chúng ta sẽ xem xét, hàm thế sẽ khơng
xác định tại một vùng nào đó của khơng gian. Đối với trường hợp này, đạo hàm
bậc nhất không liên tục, nhưng điều kiện biên còn lại vẫn còn đúng.

1.3

The Particle In A Box

Trong thực tế, có một lớp các bài tốn mà trong đó hạt chỉ chuyển động trong
một phạm vi giới hạn bởi một hàng rào thế năng khá lớn. Ví dụ như electron
trong mạng tinh thể hay nucleon trong hạt nhân bền. Khi đó ta gọi những
trường hợp này là hạt ở trong giếng thế năng.

Một trong những bài toán như thế là trường hợp hạt nằm trong giếng thế
năng có thành cao vơ hạn và chuyển động theo một phương x trong giếng thế
năng. Thế năng V (x) được xác định như sau
V (x) =

0

0
∞ x ≤ 0 hoặc x ≥ L

(7a)
(7b)

Với điều kiện như thế thì bên trong giếng thế năng hạt chuyển động tự do
mà khơng thể vượt ra được bên ngồi giếng. Phng trỡnh Schrăodinger ca ht
trong trng hp mt chiu ny có dạng
−

ℏ2 d 2 ψ(x)
= Eψ(x).
2m dx2

(8)

hay
d 2 ψ(x) 2mE
+ 2 ψ(x) = 0.
dx2
ℏ

Bằng cách đặt k =

2mE
k 2 ℏ2
hay E =
thì phương trình trên trở thành
2
ℏ
2m
d 2 ψ(x)
+ k 2 ψ(x) = 0.
dx2

Phương trình này có nghiệm dạng ψ(x) = A sin(kx) + B cos(kx) (A, B ∈ R).
Nhận thấy rằng hạt chỉ ở trong giếng thế, cho nên xác suất tìm thấy hạt bên
ngồi vùng giếng thế phải bằng khơng và hàm sóng trong vùng đó cũng bằng
0. Từ điều kiện liên tục của hàm sóng thì nó phải liên tục tại điểm x = 0 và
x = L, nghĩa là


1

ă
HM SểNG SCHRODINGER

6

Ti x = 0 thỡ lim (x) = ψ(0), tức là lim (A sin(kx) + B cos(kx)) = B = 0.
x→0

x→0

Dẫn đến ψ(x) = A sin(kx).
Mặt khác lim ψ(x) = lim (A sin(kx)) = ψ(L) = 0, tức là A sin(kL) = 0.
x→L

x→L

Từ đó suy ra sin(kL) = 0, vì nếu A = 0 thì ψ(x) ≡ 0(tức không tồn tại hạt,
vô lý) hay
kL = nπ (n ∈ Z).
nπ
nπ
Do đó k =
, và ψ(x) = A sin
x là một lớp các hàm sóng thoả mãn
L
L
tính liên tục. Tiếp theo để thoả mãn điều kiện chuẩn hố thì
∞

|ψ(x)|2 dx

1=
−∞
L

=

A sin

0
2

=
=

nπ
x
L

L

A
2

1 − cos
0

A2
2

x−

L
sin
2nπ

2

dx

2nπ
x
L

dx

2nπ
x
L

L

0

A2
=
L
2
Suy ra
2
L

A=
và hàm sóng được xác định là
ψ(x) =

2
nπ
sin
x .

L
L

Năng lượng của hạt trong giếng thế là
E=

k 2 ℏ2
ℏ2 π 2 2
=
n
2m
2m L2

. Với các giá trị khác nhau của n, ta thu được các hệ quả sau
(i) Mỗi trạng thái của hạt sẽ ứng với một hàm sóng
ψn (x) =

2
nπ
sin
x .
L
L

(ii) Năng lượng của hạt trong giếng thế phụ thuộc vào số nguyên n, bằng
En =

ℏ2 π 2 2
n ,
2m L2

1

ă
HM SểNG SCHRODINGER

7

l nng lng bin thiờn giỏn on. Khi đó ta nói năng lượng đã bị lượng
tử hố.
ℏ2 π 2
2
π
Với n = 1, đặt E1 =
̸= 0 ứng với hàm sóng ψ1 (x) =
sin
x .
2m L2
L
L
Hàm sóng này mơ tả trạng thái chuyển động cơ bản của hạt. Hàm sóng
ψ1 (x) khác khơng tại mọi điểm trong giếng, chỉ có thể bằng 0 tại các vị
trí biên.
Khoảng cách giữa hai mức năng lượng kế tiếp nhau của hàm sóng trong
trạng thái n và n + 1 là
∆En = En+1 − En
ℏ2 π 2
ℏ2 π 2 2
2

(n
+
1)
n
−
2m L2
2m L2
2
2
ℏ π
(2n + 1).
=
2m L2
=

Nhận thấy rằng ∆En càng lớn khi giá trị của khối lượng m và độ dài của
L càng nhỏ. Điều đó có nghĩa là trong phạm vi thế giới vi mơ, sự lượng
tử hố càng thể hiện rõ rệt.
Nếu xét hạt electron có khối lượng m = 9.1 × 10−31 (Kg), giả sử L ∼
5 × 10−10 (m) thì ∆E ∼ 1eV. Khoảng cách giữa En+1 và En tương đối lớn,
năng lượng bị lượng tử hoá.
Nhưng nếu xét một hạt khối lượng m ∼ 10−26 (Kg) chuyển động trong
miền L ∼ 10(cm) khì khoảng cách liên tiếp giữa các mức năng lượng
∆E ∼ 10−20 (eV) khá nhỏ. Trong trường hợp này ta có thể coi năng lượng
của hạt là biến thiên liên tục.
(iii) Mật độ xác suất tìm hạt trong giếng thế năng
2
nπ
2
sin2

x ≤
L
L
L
nπ
Mật độ xác xuất lớn nhất khi sin2
x = 1 hay cos
L
2nπ
nghĩa là
x = (2m + 1)π (n ∈ Z).
L
Vậy xác suất tìm hạt lớn nhất tại
0 ≤ |ψ(x)|2 =

x=

2m + 1
2n

L,

2nπ
x
L

m ≥ 0.

Tương tự, thì mật độ xác xuất nhỏ nhất hiển nhiên bằng 0, khi
nπ

sin2
x =0
L
nπ
x = mπ (m ∈ N)
L
m
x= L
n

= −1,


1

ă
HM SểNG SCHRODINGER

l nhng im ti ú t mt xác xuất nhỏ nhất (x =

8
m
L).
n


TÀI LIỆU

9

Tài liệu
[1] Raymond A.Serway, Clement J.Moses, Curt A.Moyer Modern Physics
[2] Stephen T. Thornton, Andrew Rex Modern Physics for Scientists and Engineers