đề thi học sinh giỏi toán thpt lớp 12 - năm 2005

Toán học, Học sinh giỏi tỉnh Nam Định,
Lớp 12, 2005
Bài từ Thư viện Khoa học VLOS.
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÀN
TỈNH NAM ĐỊNH
Trường học Trung học phổ thông
Lớp học 12
Năm học 2005
Môn thi Toán học
Thời gian 150 phút
Thang điểm 20
Câu I (6,0 điểm).
Cho hàm số , (m là tham số).
1) Khi , hãy tìm khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số.
2) Xác định m để hàm số nghịch biến trên R.
Câu II (4,0 điểm).
Tính tích phân
Câu III (7,0 điểm).
Trên mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy, cho đường parabol (P) có phương
trình: và đường tròn (C) có phương trình:
1) Chứng minh rằng (P) và (C) có đúng 4 giao điểm phân biệt.
2) Cho điểm A(1;6) thuộc đường tròn (C). Hãy lập phương trình đường tròn đi
qua điểm M(2;-1) và tiếp xúc với đường tròn (C) tại điểm A.
3) Giả sử đường thẳng (d) thay đổi đi qua điểm A sao cho (d) cắt (P) tại hai điểm
phân biệt . Gọi thứ tự là tiếp tuyến của (P) tại tiếp điểm
. Biết rằng cắt ở điểm N. Hãy chứng minh điểm N nằm trên
một đường thẳng cố định.
Câu IV (3,0 điểm).
Chứng minh rằng với mọi số thực x thuộc khoảng , ta đều có: