42 bài hình học phẳng có đáp án

WWW.ToanCapBa.Net
HÌNH HỌC PHẲNG ÔN THI ĐẠI HỌC
HÌNH HỌC PHẲNG ÔN THI ĐẠI HỌC
1) Trong mp(Oxy) cho tam giác ABC biết
( )
1;4A =
, phương trình đường cao (BH):
2 9 0x y− + =
,
Phương trình đường phân giác (CD)
3 0x y+ − =
. Tìm toạ độ 2 điểm B, C
2) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C):
( ) ( )
2 2
1 1 4x y− + + =
. Một đường tròn (C') tiếp xúc với
Oy và tiếp xúc ngoài với (C). Tìm tâm của (C') biết tâm thuộc đường thẳng (d):
2 0x y− =
.
3) Cho
∆
ABC có đỉnh A(1;2), đường trung tuyến BM:
2 1 0x y+ + =
và phân giác trong CD
1 0x y+ − =
. Viết phương trình đường thẳng BC
HD: Điểm
( )
: 1 0 ;1C CD x y C t t∈ + − = ⇒ −
.

Suy ra trung điểm M của AC là
1 3
;
2 2
t t
M
+ −
 
 ÷
 
.
Điểm
( )
1 3
: 2 1 0 2 1 0 7 7;8
2 2
t t
M BM x y t C
+ −
 
∈ + + = ⇒ + + = ⇔ = − ⇒ −
 ÷
 
Từ A(1;2), kẻ
: 1 0AK CD x y⊥ + − =
tại I (điểm
K BC∈
).
Suy ra
( ) ( )

: 1 2 0 1 0AK x y x y− − − = ⇔ − + =
.
Tọa độ điểm I thỏa hệ:
( )
1 0
0;1
1 0
x y
I
x y
+ − =

⇒

− + =

.
Tam giác ACK cân tại C nên I là trung điểm của AK
⇒
tọa độ của
( )
1;0K −
.
Đường thẳng BC đi qua C, K nên có phương trình:
1
4 3 4 0
7 1 8
x y
x y
+

= ⇔ + + =
− +

4) Cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4. Biết A(1;0), B(0;2) và giao điểm I của hai
đường chéo nằm trên đường thẳng y = x. Tìm tọa độ đỉnh
C và D.
Ta có:
( )
1;2 5AB AB= − ⇒ =
uuur
. Phương trình của AB là:
2 2 0x y+ − =
.
( ) ( )
: ;I d y x I t t∈ = ⇒
. I là trung điểm của AC và BD nên ta
có:
( ) ( )
2 1;2 , 2 ;2 2C t t D t t− −
Mặt khác:
D
. 4
ABC
S AB CH= =
(CH: chiều cao)
4
5
CH⇒ =
Ngoài ra:
( )

( ) ( )
4 5 8 8 2
; , ;
| 6 4 | 4
3 3 3 3 3
;
5 5
0 1;0 , 0; 2
t C D
t
d C AB CH
t C D

   
= ⇒
−
 ÷  ÷

= ⇔ = ⇔
   


= ⇒ − −

Vậy tọa độ của C và D là
5 8 8 2
; , ;
3 3 3 3
C D
   

 ÷  ÷
   
hoặc
( ) ( )
1;0 , 0; 2C D− −
5) Trªn Oxy cho Elip
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x

)0( >> ba
biÕt
2
1
22
=
−
a
ba
h×nh ch÷ nhËt c¬ së c¾t Ox
t¹i A, A’, c¾t Oy t¹i B, B’. LËp ph¬ng tr×nh Elip biÕt diÖn tÝch h×nh trßn néi tiÕp h×nh thoi
ABA’B’ cã diÖn tÝch b»ng
π

4
.
HD: . gt: DiÖn tÝch h×nh trßn néi tiÕp
h×nh thoi ABA’B’ b»ng
π
4

GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ
WWW.ToanCapBa.Net
1
A
A
B
B
O
K
WWW.ToanCapBa.Net
HèNH HC PHNG ễN THI I HC
bán kính đờng tròn r = 2
. O là tâm hình tròn, kẻ OK AB r = OK = 2
.Xét tam giác vuông OAB ta có:
22222
11
4
1111
baOBOAOK
+=+=
(1)
. Từ gt:

22222
22
22
222
.2
2
1
babaa
baa
a
ba
==
==

. a
2
và b
2
đợc tìm từ hệ (1); (2)





=
=

=+
=
6
12
4
11
2
2
2
22
22
b
a
ba
ba

Vậy Elíp thoả yêu cầu bài toán co pt là:
1
612
22
=+
yx
6) Trên Oxy cho 2 đờng thẳng d
1
: 2x-y-1=0, d
2
: 2x+y-3=0. Gọi I là giao điểm của d
1

và d
2
; A
là điểm thuộc d
1
, A có hoành độ dơng khác 1 (0 < x
A


1). Lập phơng trình đờng thẳng
() đi qua A, cắt d
2
tại B sao cho diện tích IAB bằng 6 và IB = 3IA
I = d
1
d
2
tạo độ của I là n
0
của hệ



=
=




=+

=
1
1
032
012
y
x
yx
yx
Vậy I(1; 1)
Từ gt d
1
có VTPT
);1;2(
1
=n
d
2
có VTPT
);1;2(
2
=n
Gọi là góc của d
1
và d
2


Từ gt:
4556

22
===

IBIAS
IAB
)12,(.
1
aaAdA
với a > 0, a 1
. pt



=
=
==+=
2
0
5)1(55)22()1(5
2222
a
a
aaaIA
a = 2 A(2;3)
*
)23,(.
21
baBdB

=
=
==
=+=
)7;2(2
)5;4(4
9)1(45
)1(5)22()1(
22
2222
Bb
Bb
bIB
bbbIB
Với A(2;3); B(4;5) pt cần tìm là
0114
35
3
24
2
=+


=


yx
yx
GV Bựi Vn Nhn Trng THPT Long M

WWW.ToanCapBa.Net
2
(2)
loại
I

A
B
IB=3TA
2
4 1
3 4
cos sin
5 5 5
1 4 6
.3 .
2 5 5
IAB
IA
S IA IA


= = =
= =
WWW.ToanCapBa.Net
HÌNH HỌC PHẲNG ÔN THI ĐẠI HỌC
• Víi A(2;3); B(-2;7) pt cÇn t×m lµ
05
37
3

22
2
=−+⇔
−
−
=
−−
−
yx
yx
7) Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
cho tam giác
ABC
có trung điểm cạnh
AB
là
( 1;2)M −
, tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác là
(2; 1)I −
. Đường cao của tam giác kẻ từ
A
có phương trình:
2 1 0x y+ + =
. Tìm tọa độ đỉnh
C
.
HD: AB đi qua M nhận
(3, 3)MI = −

uuur
làm vtpt nên có pt:
3 0x y− + =
Tọa độ A là nghiệm của hệ :
3 0
4 5
;
2 1 0
3 3
x y
A
x y
− + =

−
 
⇒

 ÷
+ + =
 

( 1;2)M −
là trung điểm của AB nên
2 7
;
3 3
B
−
 

 ÷
 
BC nhận
(2;1)n =
r
làm vtcp nên có p t:
2 2 2 2
2 2
2
2
2 7
3
2 ;
7
3 3
3
8 10 8 10
2
3 3 3 3
0,loai (do )
4
5
x t
C t t
y t
IB IC IB IC t t
t C B
t
−


= +

−

 
⇒ + +

 ÷
 

= +


       
= ⇒ = ⇒ − + + = +
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
= ≡


⇒

=

Vậy
14 47
;
15 15
C
 

 ÷
 
8) Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
cho tam giác
ABC
có
( 12;1)B −
, đường phân giác trong góc
A
có
phương trình:
2 5 0x y+ − =
. Trọng tâm tam giác
ABC
là
1 2
;
3 3
G
 
 ÷
 
.Viết phương trình đường
thẳng
BC
.
Gọi H là hình chiếu của B trên
( )
5 2

: 5 2 ;
x t
d H t t
y t
= −

⇒ −

=

( ) ( ) ( )
( )
17 2 ; 1 2;1 2 17 2 1 0
7 9;7
d
BH t t u t t
t H
= − − ⊥ = − ⇒ − − + − =
⇒ = ⇒ −
uuur uur
Gọi M là điểm đối xứng của B qua
d

( )
( ) ( )
2 6;13
5 2 ; 8 2 ;1
BM BH M AC
A d A a a C a a
⇒ = ⇒ − ∈

∈ ⇒ − ⇒ + −
uuuur uuuuuuur
( )
/ / 2 4;3MA MC a C⇒ = − ⇒
uuur uuuur
Vậy
: 8 20 0BC x y− + =
9) Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy). Lập phương trình đường thẳng qua
( )
2;1M
và tạo với các trục
tọa độ một tam giác có diện tích bằng
4
.
GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ
WWW.ToanCapBa.Net
3
WWW.ToanCapBa.Net
HèNH HC PHNG ễN THI I HC
HD: Gi d l T cn tỡm v
( ) ( )
;0 , 0;A a B b
l giao im ca d vi Ox, Oy, suy ra:
: 1
x y
d
a b
+ =
.
Theo gi thit, ta cú:

2 1
1, 8ab
a b
+ = =
.
Khi
8ab
=
thỡ
2 8b a
+ =
. Nờn:
1
2; 4 : 2 4 0b a d x y= = + =
.
10) Trong mt phng ta (Oxy) , cho im
1
3;
2
M

ữ

. Vit phng trỡnh chớnh tc ca elip i
qua im M v nhn
( )
1
3;0F
lm tiờu im
11) Trong mt phng vi h to Oxy, lp phng trỡnh ng thng d i qua im A(1; 2) v ct

ng trũn (C) cú phng trỡnh
2 2
( 2) ( 1) 25 + + =x y
theo mt dõy cung cú di bng 8
HD : G/s mt vộc t phỏp tuyn ca d l
( ; )n a b
r
,vỡ d i qua im A(1;2) nờn d cú phng trỡnh
d: a(x 1)+ b(y 2) = 0 hay d: ax + by a 2b = 0 ( a
2
+ b
2
> 0)
Vỡ d ct (C) theo dõy cung cú di bng 8 nờn khong cỏch t tõm I(2; 1) ca (C) n d bng 3.
( )
2 2
2 2
2 2
, 3 3 3

= = = +
+
a b a b
d I d a b a b
a b

2
0
8 6 0
3

4
=


+ =

=

a
a ab
a b
a = 0: chn b = 1 d: y 2 = 0
a =
3
4
b
: chn a = 3, b = 4 d: 3x 4 y + 5 = 0
12) Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh tip tuyn chung ca hai ng trũn
(C
1
): x
2
+ y
2
2x 2y 2 = 0, (C
2
): x
2
+ y
2

8x 2y + 16 = 0.
HD: (C
1
):
2 2
( 1) ( 1) 4 + =x y
cú tõm
1
(1; 1)I
, bỏn kớnh R
1
= 2.
(C
2
):
2 2
( 4) ( 1) 1 + =x y
cú tõm
2
(4; 1)I
, bỏn kớnh R
2
= 1.
Ta cú:
1 2 1 2
3= = +I I R R
(C
1
) v (C
2

) tip xỳc ngoi nhau ti A(3; 1)
(C
1
) v (C
2
) cú 3 tip tuyn, trong ú cú 1 tip tuyn chung trong ti A l x = 3 // Oy
* Xột 2 tip tuyn chung ngoi:
( ) : ( ) : 0

= + + =y ax b ax y b
ta cú:
2 2
1 1
2 2
2 2
1
2 2
2
( ; )
4 4
( ; )
4 1
4 7 2 4 7 2
1
4 4


+

=

= =

=

+



=
+
+


=
= =


+

a b
a a
d I R
a b
hay
d I R
a b
b b
a b

Vy, cú 3 tip tuyn chung:
1 2 3
2 4 7 2 2 4 7 2
( ): 3, ( ): , ( )
4 4 4 4

+
= = + = +x y x y x
13) Trong mt phng to Oxy cho ng trũn (C) : x
2
+ y
2
+ 4x 6y + 9 = 0 v im
M( 1; - 8).Vit phng trỡnh ng thng d qua M sao cho d ct (C) ti hai im A,B phõn bit
m din tớch tam giỏc ABI t giỏ tr ln nht.Vi I l tõm ca ng trũn (C).
Đtròn (C) có tâm I(- 2; 3) & bán kính R = 2.
Giả sử ptđt (d) : Ax + By A + 8B = 0 với A
2
+ B
2
> 0
Luôn có BIA cân tại I với IA = IB = 2 ; S

BIA
=
2
1
IA.IB.sinAIB = 2sinAIB
S

BIA
2 Dấu = khi AIB vuông cân tại I hay d(I ; (d)) =
2

2
311
22
=
+

BA
AB
7A
2
66BA + 119B
2
= 0 (A 7B)(7A 17B) = 0
Vậy có hai đờng thẳng d thoả mãn: 7x + y + 1 = 0 & 17x + 7y + 39 = 0
14) Cho A(1 ; 4) v hai ng thng b : x + y 3 = 0 ; c : x + y 9 = 0. Tỡm im B trờn b , im C
trờn c sao cho tam giỏc ABC vuụng cõn ti A
GV Bựi Vn Nhn Trng THPT Long M
WWW.ToanCapBa.Net
4
WWW.ToanCapBa.Net
HèNH HC PHNG ễN THI I HC
Gọi B(b ; 3 - b) & C( c ; 9 - c) =>
AB
(b - 1 ; - 1 - b) ;
AC
(c - 1 ; 5 - c)

& ABC vuông cân tại A





=
=
ACAB
ACAB 0.




+=++
+=
2222
)5()1()1()1(
)5)(1()1)(1(
ccbb
cbcb
vì c = 1 không là n
0
nên hệ

+=++


+

+
=
)2 ()5()1()1(
)1(
)5(
.)1(
)1 (
1
)5)(1(
1
222
2
2
2
ccb
c
c
b
c
cb
b
Từ (2) (b + 1)
2
= (c - 1)

2
.
Với b = c 2 thay vào (1) => c = 4 ; b = 2 => B(2 ; 1) & C( 4 ; 5).
Với b = - c thay vào (1) => c = 2 ; b = - 2 => B(- 2 ; 5) & C(2 ; 7).
Kết luận :có hai tam giác thoả mãn: B(2 ; 1) & C( 4 ; 5) hoặc B(- 2 ; 5) & C(2 ; 7).
15) Trong hệ toạ độ Oxy đờng thẳng (d): x y +1 =0 và đờng tròn (C):
2 2
2 4 0x y x y+ + =
.Tìm
điểm M thuộc đờng thẳng (d) mà qua M kẻ đợc hai đờng thẳng tiếp xúc với đờng tròn (C) tại A và
B sao cho
ã
0
60 .AMB =
16) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD biết phơng trình cạnh BC:x + 2y - 4
= 0 phơng trình đờng chéo BD: 3x + y 7 = 0,đờng chéo AC đi qua M(-5;2).Hãy tìm tọa độ các
đỉnh của hình chữ nhật ABCD.
17) Phng trỡnh hai cnh ca mt tam giỏc trong mt phng ta l 5x - 2y + 6 = 0;
4x + 7y 21 = 0. vit phng trỡnh cnh th ba ca tam giỏc ú, bit rng trc tõm ca nú trựng gc
ta O
Gi s AB: 5x - 2y + 6 = 0; AC: 4x + 7y 21 = 0 Vy A(0;3)
ng cao nh BO i qua O nhn VTCP
a
r
= (7; - 4) ca AC lm VTPT
Võy BO: 7x - 4y = 0 vy B(-4;-7)
A nm trờn Oy, vy ng cao AO chớnh l trc OY, Vy AC: y + 7 = 0
18) Trong mpOxy, cho ng trũn (C): x
2
+ y

2
6x + 5 = 0. Tỡm M thuc trc tung sao cho qua M k
c hai tip tuyn ca (C) m gúc gia hai tip tuyn ú bng 60
0
.
HD: (C) cú tõm I(3;0) v bỏn kớnh R = 2
M Oy M(0;m)
Qua M k hai tip tuyn MA v MB ( A v B l hai tip im)
Vy
ã
ã
0
0
60 (1)
120 (2)
AMB
AMB

=


=

Vỡ MI l phõn giỏc ca
ã
AMB
(1)
ã
AMI
= 30

0

0
sin 30
IA
MI =
MI = 2R
2
9 4 7m m+ = = m
(2)
ã
AMI
= 60
0

0
sin 60
IA
MI =
MI =
2 3
3
R
2
4 3
9
3
m + =
Vụ nghim
Vy cú hai im M

1
(0;
7
) v M
2
(0;-
7
)
19) Trong mt phng to Oxy. Lp phng trỡnh ng thng i qua A(8 ;6) v to vi 2 trc to
mt tam giỏc cú din tớch bng 12
Gi s (d) i qua A(8;6) ct cỏc trc Ox, Oy ln lt ti cỏc im M(a;0), N(0;b) a,b khỏc 0.Khi ú
(d) cú phng trỡnh
1
x y
a b
+ =
. Vỡ (d) i qua A nờn
8 6
1
a b
+ =
(1)
GV Bựi Vn Nhn Trng THPT Long M
WWW.ToanCapBa.Net
5
WWW.ToanCapBa.Net
HÌNH HỌC PHẲNG ÔN THI ĐẠI HỌC
lại có
1
12

2
OAB
S ab
∆
= =
(2). Từ (1) và (2) ta có hệ
8 6
1
24
a b
ab

+ =



=


4
6
8
3
a
b
a
b
 =




= −


⇔

= −



=



từ đó có 2 đường thẳng thoả mãn điều kiện là
1, 1
4 6 8 3
x y x y
− = − + =
20) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy viết phương trình các cạnh của hình chữ nhật ABCD .Biết rằng
AB = 2BC , A, B thuộc đường thẳng đi qua M(
4
;1
3
−
), B, C thuộc đường thẳng đi qua N(0 ; 3), A,D
thuộc đường thẳng đi qua P(4 ; -1/3), C,D thuộc đường thẳng đi qua Q(6 ;2)
HD : Phương trình AB có dạng: y = k(x + 4/3) + 1
DC: y = k(x - 6) + 2 , BC: x + ky – 3k = 0 , AD: x + ky -4 + k/3 = 0
Vì AB = 2BC nên d(AD,BC)=2d(AB,DC) hay d(P;BC) = 2d(M;DC)

2 2
4
1
4 3 1 6 2
10 12 6 44
3 3
3
10 12 44 6 3
1 1
17
k
k k k
k
k k
k k
k k
k

− − − − − +
=

− = −

= ⇔ ⇔


− = −
+ +



= −


Với k = 1/3 ta có phương trình các cạnh hình chữ nhật là: AB:
1/ 3( 4 /3) 1, : 1/3( 6) 2, : 1/3 1 0, : 1/3 35/9 0y x DC y x BC x y AD x y= + + = − + + − = + − =
Với k = -3/17 ta có phương trình các cạnh của hình chữ nhật là:
: 3/17( 4/ 3) 1, : 3/17( 6) 2, : 3/17 9 /17 0,
: 3/17 4 3/17 0
AB y x DC y x BC x y
AD x y
= − + + = − − + − + =
− − − =
21) Trong mp với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn : x
2
+y
2
-2x +6y -15=0 (C ).
Viết PT đường thẳng (Δ) vuông góc với đường thẳng : 4x-3y+2 =0 và cắt đường tròn (C) tại A; B
sao cho AB = 6
Đường tròn ( C) có tâm I(1;-3); bán kính R=5
Gọi H là trung điểm AB thì AH=3 và IH AB suy ra IH =4
Mặt khác IH= d( I; Δ )
Vì Δ || d: 4x-3y+2=0 nên PT của Δ có dạng 3x+4y+c=0
vậy có 2 đt thỏa mãn bài toán: 3x+4y+29=0 và 3x+4y-11=0
22) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hypebol (H) có phương trình:
2 2
x y
1
2 3
− =

và
điểm M(2; 1). Viết phương trình đường thẳng d đi qua M, biết rằng đường thẳng đó cắt
(H) tại hai điểm A, B mà M là trung điểm của AB.
HD: Giả sử d qua M cắt (H) tại A, B : với M là trung điểm AB
A, B ∈ (H) : ⇒
2 2
A A
2 2
B B
3x 2y 6 (1)
3x 2y 6 (2)

− =


− =


M là trung điểm AB nên : x
A
+ x
B
= 4 (3) và y
A
+ y
B
= 2 (4)
(1) − (2) ta có : 3(x
2
A

- x
2
B
) - 2(y
2
A
- y
2
B
) = 0 (5)
Thay (3) và (4) vào (5) ta có : 3(x
A
-x
B
)-(y
A
-y
B
) = 0 ⇔ 3(2x
A
-4)-(2y
A
- 2) = 0 ⇔ 3x
A
- y
A
= 5
GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ
WWW.ToanCapBa.Net
d(I; Δ )=

6

I
A H B
WWW.ToanCapBa.Net
HèNH HC PHNG ễN THI I HC
Tng t : 3x
B
- y
B
= 5. Vy phng trỡnh d : 3x - y - 5 = 0
23) Cho hỡnh tam giỏc ABC cú din tớch bng 2. Bit A(1;0), B(0;2) v trung im I ca AC
nm trờn ng thng y = x. Tỡm to nh C.
HD: Ta cú:
( )
1;2 5AB AB= =
uuur
. Phng trỡnh ca AB l:
2 2 0x y+ =
.
( ) ( )
: ;I d y x I t t =
. I l trung im ca AC:
)2;12( ttC
Theo bi ra:
2),(.
2
1
==

ABCdABS
ABC

446. =t






=
=
3
4
0
t
t
T ú ta cú 2 im C(-1;0) hoc C(
3
8
;
3
5
) tho món
24) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với
)5;2(,)1;1( BA
, đỉnh C nằm trên đờng thẳng
04 =x
, và trọng tâm G của tam giác nằm trên đờng thẳng
0632 =+ yx

. Tính diện tích tam
giác ABC.
Ta có
);4(
C
yC =
. Khi đó tọa độ G là
3
2
3
51
,1
3
421
CC
GG
yy
yx +=
++
==
+
=
. Điểm G nằm trên đờng
thẳng
0632 =+ yx
nên
0662 =+
C
y
, vậy

2=
C
y
, tức là
)2;4(=C
. Ta có
)1;3(,)4;3( == ACAB
, vậy
5=AB
,
10=AC
,
5. =ACAB
.
Diện tích tam giác ABC là
( )
2510.25
2
1

2
1
2
22
== ACABACABS
=
2
15
25) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với
)2;1(,)1;2( BA

, trọng tâm G của tam giác
nằm trên đờng thẳng
02 =+ yx
. Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác ABC bằng 13,5
Vì G nằm trên đờng thẳng
02 =+ yx
nên G có tọa độ
)2;( ttG =
. Khi đó
)3;2( ttAG =
,
)1;1( =AB
Vậy diện tích tam giác ABG là
( )
[ ]
1)3()2(2
2
1

2
1
22
2
22
+== ttABAGABAGS
=
2
32 t
Nếu diện tích tam giác ABC bằng 13,5 thì diện tích tam giác ABG bằng
5,43:5,13 =

. Vậy
5,4
2
32
=
t
, suy
ra
6=t
hoặc
3=t
. Vậy có hai điểm G :
)1;3(,)4;6(
21
== GG
. Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên
)(3
BaGC
xxxx +=
và
)(3
BaGC
yyyy +=
.
Với
)4;6(
1
=G
ta có
)9;15(

1
=
C
, với
)1;3(
2
=G
ta có
)18;12(
2
=
C

26)Trong mt phng oxy cho
ABC

cú A(2;1) . ng cao qua nh B cú phng trỡnh x-
3y - 7 = 0 .ng trung tuyn qua nh C cú phng trỡnh x + y +1 = 0 . Xỏc nh ta
B v C . Tớnh din tớch
ABC

.
+AC qua A v vuụng gúc vi BH do ú cú VTPT l
(3;1)n =
r
AC cú phng trỡnh 3x +
y - 7 = 0
+ Ta C l nghim ca h
AC
CM

C(4;- 5)
+
2 1
;
2 2
B B
M M
x y
x y
+ +
= =
; M thuc CM ta c
2 1
1 0
2 2
B B
x y+ +
+ + =
+ Gii h
2 1
1 0
2 2
3 7 0
B B
B B

x y
x y
+ +

+ + =



=

ta c B(-2 ;-3)
GV Bựi Vn Nhn Trng THPT Long M
WWW.ToanCapBa.Net
7
WWW.ToanCapBa.Net
HÌNH HỌC PHẲNG ÔN THI ĐẠI HỌC
Tính diện tích
ABC
∆
.
+ Tọa độ H là nghiệm của hệ
14
3 7 0
5
3x 7 0 7
5
x
x y
y
y


=

− − =


⇔
 
+ − =


= −


…. Tính được BH =
8 10
5
; AC = 2
10
Diện tích S =
1 1 8 10
. .2 10. 16
2 2 5
AC BH = =
( đvdt)
27) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC biết A(5; 2). Phương trình đường trung
trực cạnh BC, đường trung tuyến CC’ lần lượt là x + y – 6 = 0 và 2x – y + 3 = 0. Tìm tọa độ các
đỉnh của tam giác ABC
28)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng
∆

:
3 8 0x y+ + =
,
':3 4 10 0x y∆ − + =
và
điểm A(-2 ; 1). Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng
∆
, đi qua điểm A và tiếp
xúc với đường thẳng
∆
’.
HD: Tâm I của đường tròn thuộc
∆
nên I(-3t – 8; t)
Theo yc thì k/c từ I đến
∆
’ bằng k/c IA nên ta có
2 2
2 2
3( 3 8) 4 10
( 3 8 2) ( 1)
3 4
t t
t t
− − − +
= − − + + −
+
Giải tiếp được t = -3
Khi đó I(1; -3), R = 5 và pt cần tìm: (x – 1)
2

+ (y + 3)
2
= 25
29)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
( )
1; 2;3I −
. Viết phương trình mặt cầu tâm
I và tiếp xúc với trục Oy
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn
( )
2 2
: 2 0C x y x+ + =
. Viết phương
trình tiếp tuyến của
( )
C
, biết góc giữa tiếp tuyến này và trục tung bằng
30
o
.
Ta có: Hệ số góc của tiếp tuyến
( )
∆
cần tìm là
3±
.
( ) ( ) ( )
2
2
: 1 1 1;0 ; 1C x y I R+ + = ⇒ − =

Do đó:
( )
1
: 3 0x y b∆ − + =
tiếp xúc (C)
( )
1
,d I R⇔ ∆ =

3
1 2 3
2
b
b
−
⇔ = ⇔ = ± +
. KL:
( )
1
: 3 2 3 0x y∆ − ± + =
.
Và :
( )
2
: 3 0x y b∆ + + =
tiếp xúc (C)
( )
2
,d I R⇔ ∆ =

3
1 2 3
2
b
b
−
⇔ = ⇔ = ± +
. KL:
( )
2
: 3 2 3 0x y∆ + ± + =
.
30)Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hãy viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết
trực tâm
(1;0)H
, chân đường cao hạ từ đỉnh B là
(0; 2)K
, trung điểm cạnh AB là
(3;1)M
.+
Đường thẳng AC vuông góc với HK nên nhận
( 1; 2)HK = −
uuur
làm vtpt và AC đi qua K nên
( ): 2 4 0.AC x y− + =
Ta cũng dễ có:
( ): 2 2 0BK x y+ − =
.
+ Do
,A AC B BK∈ ∈

nên giả sử
(2 4; ), ( ; 2 2 ).A a a B b b− −
Mặt khác
(3;1)M
là
GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ
WWW.ToanCapBa.Net
8
WWW.ToanCapBa.Net
HÌNH HỌC PHẲNG ÔN THI ĐẠI HỌC
trung điểm của AB nên ta có hệ:
2 4 6 2 10 4
.
2 2 2 2 0 2
a b a b a
a b a b b
− + = + = =
  
⇔ ⇔
  
+ − = − = =
  
Suy ra:
(4; 4), (2; 2).A B −
+ Suy ra:
( 2; 6)AB = − −
uuur
, suy ra:
( ) :3 8 0AB x y− − =
.

+ Đường thẳng BC qua B và vuông góc với AH nên nhận
(3; 4)HA =
uuur
, suy ra:
( ): 3 4 2 0.BC x y+ + =
KL: Vậy :
( ): 2 4 0,AC x y− + =
( ) :3 8 0AB x y− − =
,
( ): 3 4 2 0.BC x y+ + =
31)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn hai đường tròn
2 2
( ): – 2 – 2 1 0,C x y x y+ + =
2 2
( ') : 4 – 5 0C x y x+ + =
cùng đi qua M(1; 0). Viết
phương trình đường thẳng qua M cắt hai đường tròn
( ), ( ')C C
lần lượt tại A, B sao cho
MA= 2MB
+ Gọi tâm và bán kính của (C), (C’) lần lượt là I(1; 1) , I’(-2; 0) và
1, ' 3R R= =
, đường thẳng
(d) qua M có phương trình
2 2
( 1) ( 0) 0 0, ( 0)(*)a x b y ax by a a b− + − = ⇔ + − = + ≠
.
+ Gọi H, H’ lần lượt là trung điểm của AM, BM.
Khi đó ta có:
2 2 2 2

2 2 ' ' 'MA MB IA IH I A I H= ⇔ − = −
( ) ( )
2 2
1 ( ; ) 4[9 ( '; ) ]d I d d I d⇔ − = −
,
.IA IH
>
( ) ( )
2 2
2 2
2 2 2 2
9
4 ( '; ) ( ; ) 35 4. 35
a b
d I d d I d
a b a b
⇔ − = ⇔ − =
+ +
2 2
2 2
2 2
36
35 36
a b
a b
a b
−
⇔ = ⇔ =
+
Dễ thấy

0b ≠
nên chọn
6
1
6
a
b
a
= −

= ⇒

=

.
Kiểm tra điều kiện
IA IH>
rồi thay vào (*) ta có hai đường thẳng thoả mãn
32)Trong hệ tọa độ Oxy, hãy viết phương trình hyperbol (H) dạng chính tắc biết rằng (H) tiếp
xúc với đường thẳng
: 2 0d x y− − =
tại điểm A có hoành độ bằng 4.
Gọi
( )
2 2
2 2
: 1
x y
H
a b

− =
. (H) tiếp xúc với
( )
2 2
: 2 0 4 1d x y a b− − = ⇔ − =
( ) ( ) ( )
2 2
16 4
4 2 4;2 1 2x y A H
a b
= ⇒ = ⇒ ∈ ⇒ − =
Từ (1) và (2) suy ra
( )
2 2
2 2
8; 4 : 1
8 4
x y
a b H= = ⇒ − =
33)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, hãy lập phương trình tiếp tuyến chung của elip (E):
2 2
1
8 6
x y
+ =
và parabol (P): y
2
= 12x.
Giả sử đường thẳng (∆) có dạng: Ax + By + C = 0 (A
2

+ B
2
> 0)
(∆) là tiếp tuyến của (E) ⇔ 8A
2
+ 6B
2
= C
2
(1)
(∆) là tiếp tuyến của (P) ⇔ 12B
2
= 4AC ⇔ 3B
2
= AC (2)
Thế (2) vào (1) ta có: C = 4A hoặc C = −2A.
Với C = −2A ⇒ A = B = 0 (loại)
Với C = 4A ⇒
2
3
A
B = ±

GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ
WWW.ToanCapBa.Net
9
WWW.ToanCapBa.Net
HÌNH HỌC PHẲNG ÔN THI ĐẠI HỌC
⇒ Đường thẳng đã cho có phương trình:
2 2 3

4 0 4 0
3
3
A
Ax y A x y± + = ⇔ ± + =
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm:
2 3
4 0
3
x y± + =
34) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(1; -2), đường cao
: 1 0CH x y− + =
, phân
giác trong
: 2 5 0BN x y+ + =
.Tìm toạ độ các đỉnh B,C và tính diện tích tam giác ABC
+ Do
AB CH⊥
nờn AB:
1 0x y+ + =
.
Giải hệ:
2 5 0
1 0
x y
x y
+ + =


+ + =


ta có (x; y)=(-4; 3).
Do đó:
( 4;3)AB BN B∩ = −
.
+ Lấy A’ đối xứng A qua BN thỡ
'A BC
∈
.
- Phương trình đường thẳng (d) qua A và vuông góc với BN là (d):
2 5 0x y− − =
.
Gọi
( )I d BN= ∩
. Giải hệ:
2 5 0
2 5 0
x y
x y
+ + =


− − =

. Suy ra: I(-1; 3)
'( 3; 4)A⇒ − −
+ Phương trình BC:
7 25 0x y+ + =
. Giải hệ:
7 25 0

1 0
x y
x y
+ + =


− + =

Suy ra:
13 9
( ; )
4 4
C − −
.
+
2 2
450
( 4 13 / 4) (3 9 / 4)
4
BC = − + + + =
,
2 2
7.1 1( 2) 25
( ; ) 3 2
7 1
d A BC
+ − +
= =
+
.

Suy ra:
1 1 450 45
( ; ). .3 2. .
2 2 4 4
ABC
S d A BC BC= = =
35) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12,
tâm I là giao điểm của đường thẳng
03:
1
=−− yxd
và
06:
2
=−+ yxd
. Trung điểm của
một cạnh là giao điểm của d
1
với trục Ox. Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật
Ta có:
Idd
21
=∩
. Toạ độ của I là nghiệm của hệ:
3 0 9 / 2
6 0 3 / 2
x y x
x y y
− − = =
 

⇔
 
+ − = =
 
. Vậy
9 3
;
2 2
I
 
=
 ÷
 
Do vai trò A, B, C, D nên giả sử M là trung điểm cạnh AD
OxdM
1
∩=⇒
Suy ra M( 3; 0)
Ta có:
23
2
3
2
9
32IM2AB
22
=







+






−==
Theo giả thiết:
22
23
12
AB
S
AD12AD.ABS
ABCD
ABCD
===⇔==
Vì I và M cùng thuộc đường thẳng d
1

ADd
1
⊥⇒
Đường thẳng AD đi qua M ( 3; 0) và vuông góc với d
1
nhận

)1;1(n
làm VTPT nên có PT:
03yx0)0y(1)3x(1 =−+⇔=−+−
. Lại có:
2MDMA ==
Toạ độ A, D là nghiệm của hệ PT:
( )





=+−
=−+
2y3x
03yx
2
2

GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ
WWW.ToanCapBa.Net
10
WWW.ToanCapBa.Net
HÌNH HỌC PHẲNG ÔN THI ĐẠI HỌC
( ) ( )



±=−
−=

⇔



=−+−
+−=
⇔



=+−
+−=
⇔
13x
x3y
2)x3(3x
3xy
2y3x
3xy
2
2
2
2



=
=
⇔
1y

2x
hoặc



−=
=
1y
4x
. Vậy A( 2; 1), D( 4; -1)
Do






2
3
;
2
9
I
là trung điểm của AC suy ra:



=−=−=
=−=−=
213yy2y

729xx2x
AIC
AIC
Tương tự I cũng là trung điểm của BD nên ta có B( 5; 4)
Vậy toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật là: (2; 1), (5; 4), (7; 2), (4; -1)
36) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm
1
;0
2
I
 
=
 ÷
 
Đường thẳng AB có phương trình: x – 2y + 2 = 0, AB = 2AD và hoành độ điểm A âm. Tìm tọa
độ các đỉnh của hình chữ nhật đó.
+)
5
( , )
2
d I AB =

⇒
AD =
5
⇒ AB = 2
5
⇒ BD = 5.
+) PT đường tròn ĐK BD: (x - 1/2)
2

+ y
2
= 25/4
+) Tọa độ A, B là nghiệm của hệ:
2 2
2
1 25
2
( )
( 2;0), (2;2)
2 4
2
2 2 0
0
x
y
x y
A B
x
x y
y
 =




=
− + =
 


⇔ ⇒ −


= −


− + =



=



(3;0), ( 1; 2)C D
⇒ − −
37) Trong mặt phẳng với hệ toạ đ ộ Oxy cho điểm C(2;-5 ) và đường thẳng
:3 4 4 0x y∆ − + =
. Tìm
trên
∆
hai điểm A và B đối xứng nhau qua I(2;5/2) sao cho diện tích tam giác ABC bằng15.
Gọi
3 4 16 3
( ; ) (4 ; )
4 4
a a
A a B a
+ −
⇒ −

. Khi đó diện tích tam giác ABC là

1
. ( ) 3
2
ABC
S AB d C AB= → ∆ =
.
Theo giả thiết ta có
2
2
4
6 3
5 (4 2 ) 25
0
2
a
a
AB a
a
=

−
 
= ⇔ − + = ⇔
 ÷

=
 


Vậy hai điểm cần tìm là A(0;1) và B(4;4).
38)Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho elíp
2 2
( ): 1
9 4
x y
E + =
và hai điểm A(3;-2) , B(-3;2) . Tìm
trên (E) điểm C có hoành độ và tung độ dương sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất
Ta có PT đường thẳng AB:2x+3y=0
Gọi C(x;y) với x>0,y>0.Khi đó ta có
2 2
1
9 4
x y
+ =
và diện tích tam giác ABC là
1 85 85
. ( ) 2 3 3
2 13 3 4
2 13
ABC
x y
S AB d C AB x y= → = + = +
2 2
85 170
3 2 3
13 9 4 13
x y
 

≤ + =
 ÷
 
Dấu bằng xảy ra khi
2 2
2
1
3
9 4
2
2
3 2
x y
x
x y
y


+ =

=
 
⇔
 
 
=
=




. Vậy
3 2
( ; 2)
2
C
GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ
WWW.ToanCapBa.Net
11
WWW.ToanCapBa.Net
HÌNH HỌC PHẲNG ÔN THI ĐẠI HỌC
39) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai đường thẳng (d
1
) : 4x - 3y - 12 = 0 và (d
2
): 4x + 3y - 12 = 0.
Tìm toạ độ tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác có 3 cạnh nằm trên (d
1
), (d
2
), trục Oy
Gọi A là giao điểm d
1
và d
2
ta có A(3 ;0)
Gọi B là giao điểm d
1
với trục Oy ta có B(0 ; - 4)
Gọi C là giao điểm d
2

với Oy ta có C(0 ;4)
Gọi BI là đường phân giác trong góc B với I thuộc OA khi đó ta có
I(4/3 ; 0), R = 4/3
40) Cho điểm A(-1 ;0), B(1 ;2) và đường thẳng (d): x - y - 1 = 0. Lập phương trình đường tròn đi qua
2 điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng (d).
Vì đường tròn đi qua A, B và tiếp xúc với d nên ta có hệ phương trình
2 2 2
2 2 2
2 2
(1 )
(1 ) (2 )
( 1) 2
a b R
a y R
a b R

+ + =

− + − =


− − =

2
0
1
2
a
b
R


=

⇔ =


=

Vậy đường tròn cần tìm là: x
2
+ (y - 1)
2
= 2
41)Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có trọng tâm G(−2, 0) biết phương trình các cạnh
AB, AC theo thứ tự là 4x + y + 14 = 0;
02y5x2 =−+
. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C
Tọa độ A là nghiệm của hệ
{ {
4x y 14 0 x 4
2x 5y 2 0 y 2
+ + = = −
⇔
+ − = =
⇒ A(–4, 2)
Vì G(–2, 0) là trọng tâm của ∆ABC nên



−=+

−=+
⇔



++=
++=
2yy
2xx
yyyy3
xxxx3
CB
CB
CBAG
CBAG
(1)
VìB(x
B
, y
B
) ∈ AB ⇔ y
B
= –4x
B
– 14 (2); C(x
C
, y
C
) ∈ AC ⇔
5

2
5
x2
y
C
C
+−=
( 3)
Thế (2) và (3) vào (1) ta có
2
3 2
2
2
1 0
4 14 2
5 5
B C
B B
C
C C
B
x x
x y
x
x y
x
+ = −

= − ⇒ = −



⇒
 
= ⇒ =
− − − + = −



Vậy A(–4, 2), B(–3, –2), C(1, 0)
42)Cho đường tròn (C): x
2
+ y
2
– 2x + 4y + 2 = 0. Viết phương trình đường tròn (C')
tâm M(5, 1) biết (C') cắt (C) tại các điểm A, B sao cho
3AB =
.
Phương trình đường tròn (C): x
2
+ y
2
– 2x + 4y + 2 = 0 có tâm I(1, –2)
3R =
Đường tròn (C') tâm M cắt đường tròn (C) tại A, B nên AB ⊥ IM tại trung điểm H của đoạn AB.
Ta có
2
3
2
AB
BHAH ===

. Có 2 vị trí cho AB đối xứng qua tâm I.
Gọi A'B' là vị trí thứ 2 của AB. Gọi H' là trung điểm của A'B'
Ta có:
2
2 2
3 3
IH' IH IA AH 3
2 2
 
= = − = − =
 ÷
 ÷
 
Ta có:
( ) ( )
2 2
MI 5 1 1 2 5= − + + =
và
2
7
2
3
5HIMIMH =−=−=
;
3 13
MH' MI H'I 5
2 2
= + = + =
Ta có:
13

4
52
4
49
4
3
MHAHMAR
2222
1
==+=+==

43
4
172
4
169
4
3
'MH'H'A'MAR
2222
2
==+=+==
Vậy có 2 đường tròn (C') thỏa ycbt là: (x – 5)
2
+ (y – 1)
2
= 13
GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ
WWW.ToanCapBa.Net
12

WWW.ToanCapBa.Net
HÌNH HỌC PHẲNG ÔN THI ĐẠI HỌC
hay (x – 5)
2
+ (y – 1)
2
= 43
GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ
WWW.ToanCapBa.Net
13