Các chuyên đề thường gặp từ cơ bản đến nâng cao

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG

1


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG

CHUYÊN
ĐỀ 16

MẶT CẦU, KHỐI CẦU

MỤC LỤC

PHẦN A. CÂU HỎI
Dạng 1. Diện tích xung quanh, bán kính

Câu 1.

(Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Diện tích của mặt cầu bán kính
4
π R2
2
πR
2π R 2
3
A.
B.
C.

R

bằng:
D.

4π R 2

Câu 2.

(THPT THIỆU HÓA – THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho mặt cầu có diện tích bằng
16π a 2
. Khi đó, bán kính mặt cầu bằng
a 2
2 2a
2a
2a
2
A.
B.
C.
D.

Câu 3.

(CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Diện tích mặt cầu bán kính
4π a 2
4π a 2
16π a 2
16a 2
3
A.

.
B.
.
C.
.
D.
.

Câu 4.

2a

(THPT NGHĨA HƯNG NĐ- GK2 - 2018 - 2019) Diện tích của một mặt cầu bằng
Bán kính của mặt cầu đó là.
8cm
2cm
4cm
6cm
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

2

là

16π ( cm2 )

.


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG

( S)

Câu 5.

(SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tính diện tích mặt cầu
4π
vi đường trịn lớn của nó bằng
S = 32π
S = 16π
S = 64π
S = 8π
A.
B.
C.
D.

khi biết chu

Câu 6.

Cho ba hình cầu tiếp xúc ngồi nhau từng đơi một và cùng tiếp xúc với một mặt phẳng. Các tiếp
3

4 2
điểm của các hình cầu trên mặt phẳng lập thành tam giác có các cạnh bằng , và . Tích bán
kính của ba hình cầu trên là
3
6
9
12
A.
B.
C.
D.

Dạng 2. Thể tích

Câu 7.

Câu 8.

Câu 9.

(Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Thể tích của khối cầu bán kính
3
4
π R3
π R3
4π R 3
4
3
A.
B.

C.

R

bằng
D.

2π R 3

a
(ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Thể tích khối cầu bán kính bằng :
π a3
4π a 3
2π a 3
4π a 3
3
3
A.
B.
C.
D.
(THPT ĐƠNG SƠN THANH HĨA NĂM 2018-2019 LẦN 02) Thể tích khối cầu bán kính
bằng
36π ( cm3 ) .
108π ( cm3 ) .
9π ( cm3 ) .
54π ( cm3 ) .
A.
B.
C.

D.

3 cm

( S)

Câu 10.

(THPT LÊ XOAY VĨNH PHÚC LẦN 1 NĂM 2018-2019) Cho mặt cầu
có diện tích
2
2
4πa ( cm ) .
( S)
Khi đó, thể tích khối cầu
là
3
3
4πa
πa
64πa 3
16πa 3
3
3
3
cm 3 ) .
cm ) .
cm ) .
cm ) .
(

(
(
(
3
3
3
3
A.
B.
C.
D.

Câu 11.

(CHUYEN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho mặt cầu có diện tích
36π a 2
bằng
. Thể tich khối cầu là
3
18π a
12π a 3
36π a 3
9π a 3
A.
.
B.
.
C.
.
D.

.

Câu 12.

( S)

(CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN LẦN 3 NĂM 2018-2019) Cắt mặt cầu
bằng một
9π cm 2
4cm
mặt phẳng cách tâm một khoảng bằng
được thiết diện là một hình trịn có diện tích
.
( S)
Tính thể tích khối cầu
.
3


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG

A.
Câu 13.

250π
3
3 cm

.

B.

2500π
cm3
3

Một khối đồ chơi gồm hai khối cầu

ứng là

r2 =

r1 , r2

thỏa mãn

1
r1
2

C.

( H1 ) , ( H 2 )

kính bằng

A.

C.

.

180cm3

( H1 )

. Thể tích của khối cầu
bằng
3
160 cm
135 cm3
C.
D.
R=2

. Người ta bỏ vào đó một quả cầu có bán

. Tính lượng nước cịn lại trong bán cầu ban đầu.

112 

V =  24 3 −
÷π
3 

8
V= π
3

D.

tiếp xúc với nhau, lần lượt có bán kính tương

Cho một bán cầu đựng đầy nước với bán kính
2R

.

500π
3
3 cm

(tham khảo hình vẽ).

Biết rằng thể tích của tồn bộ khối đồ chơi bằng
90 cm3
120 cm3
A.
B.
Câu 14.

.

25π
3
3 cm

V=

. B.

16π
3

.

(

)

V = 24 3 − 40 π
.

D.

.

Dạng 3. Khối cầu nội tiếp, ngoại tiếp khối đa diện
Dạng 3.1 Khối cầu nội tiếp, ngoại tiếp khối lăng trụ

Câu 15.

R
(MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017) Tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp một hình lập phương có
2a.
cạnh bằng
R = 3a
R = 2 3a
R=a
100

A.
B.
C.
D.
4


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG

Câu 16.

(MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Cho mặt cầu bán kính
a
cạnh . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
3R
2 3R
a=
a=
a = 2R
3
3
A.
B.
C.

R

ngoại tiếp một hình lập phương

D.

a = 2 3R

Câu 17.

(THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình hộp chữ nhật
ABCD. A ' B ' C ' D '
AB = a AD = AA ' = 2a
có
,
. Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp của hình hộp
chữ nhật đã cho bằng
3π a 2
9π a 2
9π a 2
3π a 2
4
4
A.
B.
C.
D.

Câu 18.

(CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH LẦN 1 NĂM 2018-2019) Thể tích khối cầu ngoại
1 2 3
tiếp hình hộp chữ nhật có ba kích thước , , là
9π
7π 14

9π
36π
2
3
8
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

Câu 19.

(TRƯỜNG THPT HỒNG HOA THÁM HƯNG N NĂM 2018-2019) Thể tích khối cầu
3 cm
ngoại tiếp hình lập phương cạnh
là
27π 3
9π 3
27π 3
9π 3
2
2
8
A.
cm3.
B.

cm3.
C.
cm3.
D.
cm3.

Câu 20.

(CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Diện tích mặt cầu ngoại
a a 3 2a
tiếp khối hộp chữ nhật có kích thước ,
,
là
2
2
8a
4π a
16π a 2
8π a 2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

ABC. A′B′C ′
(SỞ GD&ĐT BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình lăng trụ đứng

có
ABC
AC ′
A AB = a 3 BC = 2a
đáy
là tam giác vuông tại ,
,
, đường thẳng
tạo với mặt phẳng
( BCC ′B′ )
30°
một góc
. Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đã cho bằng:
2
3π a
6π a 2
4π a 2
24π a 2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Dạng 3.2 Khối cầu nội tiếp, ngoại tiếp khối chóp
Dạng 3.2.1 Khối chóp có cạnh bên vng góc với đáy
Câu 21.

Câu 22.

S . ABCD
(THPT QUỲNH LƯU 3 NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Cho hình chóp
có
SA ⊥ ( ABCD ) SA = a
ABCD
a
,
và đáy
nội tiếp đường trịn bán kính bằng . Bán kính mặt cầu
S . ABCD
ngoại tiếp hình chóp
là
5


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG

A.
Câu 23.

a 3
3

.

B.

a 3

2

.

C.

a 5
2

.

D.

a 2
3

.

S . ABC
(GKI THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho hình chóp
có đáy
ABC
AB = a
SA
B
là tam giác vng cân tại
và
. Cạnh bên
vng góc với mặt phẳng đáy.
0

SC
60
Đường thẳng
tạo với mặt đáy một góc
. Tính diện tích mặt cầu đi qua 4 đỉnh của hình
S . ABC
chóp
.
32a 2π
8a 2π
8a 2π
4a 2π
3
3
A.
B.
C.
D.

Câu 24.

(CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH YÊN BÁI LẦN 01 NĂM 2018-2019) Cho hình chóp
( ABCD )
SA = a 6
S . ABCD
a
có đáy là hình vng cạnh . Cạnh bên
và vng góc với đáy
.
S . ABCD

a
Tính theo diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp
.
2
2
2
8π a
2π a
2a 2
a 2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

Câu 25.

(THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 01 NĂM 2018-2019) Trong khơng gian, cho hình chóp
SA, AB, BC
SA = a, AB = b, BC = c.
S . ABC
có
đơi một vng góc với nhau và
Mặt cầu đi qua
S , A, B, C
có bán kính bằng

2(a + b + c)
1 2
.
a + b2 + c 2 .
2
2
2
2
2
2
a +b +c .
2 a +b +c .
3
2
A.
B.
C.
D.

Câu 26.

ABCD
BCD
C AB
(MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017) Cho tứ diện
có tam giác
vng tại ,
( BCD ) AB = 5a BC = 3a CD = 4a
R
vng góc với mặt phẳng

,
,
và
. Tính bán kính
của mặt
ABCD
cầu ngoại tiếp tứ diện
.
R=
A.

Câu 27.

5a 2
3

R=
B.

5a 3
3

R=
C.

(MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Cho hình chóp

5a 2
2

R=
D.

5a 3
2

AB = 3a

S . ABCD

có đáy là hình chữ nhật với
,
BC = 4a SA = 12a
SA
R
,
và
vng góc với đáy. Tính bán kính
của mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp
A.

S . ABCD

13a
R=
2

.
B.

R=

R = 6a

C.

6

5a
2

R=

D.

17a
2


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG

Câu 28.

Câu 29.

Câu 30.

Câu 31.

Câu 32.

S . ABC
(KTNL GV THUẬN THÀNH 2 BẮC NINH NĂM 2018-2019) Cho hình chóp
có tam
( ABC ) SA = 5, AB = 3, BC = 4
ABC
B SA
giác
vuông tại ,
vng góc với mặt phẳng
.
. Tính
S . ABC
bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
5
5 2
R=
R=
R=5
R=5 2
2
2
A.
.
B.
.
C.
.
D.

.
SABC
ABC
(KTNL GIA BÌNH NĂM 2018-2019) Cho hình chóp
có đáy
là tam giác vng tại
SA
⊥
(
ABC
)
BC
=
6
SA
=
6
B AB = 8
,
,
. Biết
và
. Tính thể tích khối cầu có tâm thuộc phần
SABC
khơng gian bên trong của hình chóp và tiếp xúc với tất cả các mặt phẳng của hình chóp
.
16π
625π
256π
25π

9
81
81
9
A.
B.
C.
D.

S . ABC
(THPT AN LÃO HẢI PHỊNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hình chóp
có đường cao
SA
=
6
a
,
AB
=
2
a
,
AC
=
4
a
SA
ABC
A
, đáy

là tam giác vng tại . Biết
. Tính bán kính mặt cầu
S . ABC
ngoại tiếp hình chóp
?
R = 2a 7
R = 2a 3
r = 2a 5
R = a 14
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
S . ABCD
(THPT GIA LỘC HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp
có đáy
2a
SA
ABCD
2a
là hình chữ nhật có đường chéo bằng
, cạnh
có độ dài bằng
và vng góc
S . ABCD
với mặt phẳng đáy. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

?
a 6
a 6
2a 6
a 6
2
4
3
12
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

·
BAC
= 60°

BC = a
(HSG BẮC NINH NĂM 2018-2019) Cho hình chóp
có
,
,
SA ⊥ ( ABC )
SB
SC

M N
A
. Gọi
, lần lượt là hình chiếu vng góc của
lên
và
. Bán kính mặt
A, B, C , M , N
cầu đi qua các điểm
bằng
2a 3
a 3
2a
a
3
3
A.
B.
C.
D.
S.ABC

7


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG

Câu 33.

Câu 34.

Câu 35.

Câu 36.

Câu 37.

S . ABCD
(PEN I - THẦY LÊ ANH TUẤN - ĐỀ 3 - NĂM 2019) Hình chóp
có đáy là hình chữ
AB = a, SA ⊥ ( ABCD ) SC
450
nhật,
,
tạo với mặt đáy một góc
. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
a 2
S . ABCD
S . ABCD
có bán kính bằng
. Thể tích của khối chóp
bằng
3
a 3
2a 3 3
3
2a 3
2a 3
3
3

A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
S . ABCD
(CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hình chóp
có ABCD là hình
a SA ⊥ ( ABCD ), SA = a 3.
vng cạnh bằng .
Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp?
a 5
.
a 5.
a 7.
2a.
2
A.
B.
C.
D.
S . ABCD
ABC
(THPT GANG THÉP THÁI NGUN NĂM 2018-2019) Cho hình chóp
có đáy
SA
B BC = 2a

H K
là tam giác vuông cân tại ,
, cạnh bên
vng góc với đáy. Gọi ,
lần lượt là
SB
SC
AHKCB
A
hình chiếu của
lên
và
, khi đó thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp
là
3
3
3
2π a
8 2π a
πa
3
2π a
2
3
3
A.
.
B.
.
C.

.
D.
.
SABC
ABC
(THPT N KHÁNH - NINH BÌNH - 2018 - 2019) Cho hình chóp
, đáy
là tam
a; SA ⊥ ( ABC )
H, K
SB; SC
A
giác đều cạnh
. Gọi
lần lượt là hình chiếu vng góc của
trên
.
A
,
B
,
C
,
K
,
H
5
Diện tích mặt cầu đi qua điểm
là
2

4π a
4π a 2
π a2
3π a 2
9
3
3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

SABC
(GKI CS2 LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp
có
ABC
AB = a
SA
B
đáy
là tam giác vng cân tại
và
. Cạnh bên
vng góc với mặt phẳng đáy.
0
SC

60
Đường thẳng
tạo với đáy một góc
. Tính diện tích mặt cầu đi qua bốn đỉnh của hình chóp
SABC

A.

8a 2π

.

B.

32a 2
π
3

.

C.

8

8a 2π
3

D.

4a 2π

.


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG

Câu 38.

Câu 39.

S . ABC
(THPT YÊN PHONG SỐ 1 BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp
có
( ABC )
SA
ABC
B
vng góc với mặt phẳng
, tam giác
vuông tại
. Biết
SA = 2a, AB = a, BC = a 3
R
. Tính bán kính
của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
1
x=3; y =
a
2a 2
a 2

2
A. .
B.
.
C.
.
D.
.

(THPT N PHONG SỐ 1 BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp tam giác đều
SA, SB, SC
S . ABC
có các cạnh bên
vng góc với nhau từng đơi một. Biết thể tích của khối
3
a
S . ABC
6
r
chóp bằng
. Tính bán kính của mặt cầu nội tiếp của hình chóp
.
a
2a
a
r
=
r
=
r=

3 3+ 2 3
3 3+ 2 3
3+ 3
r = 2a
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

(

Câu 40.

Câu 41.

Câu 42.

)

(

(CỤM LIÊN TRƯỜNG HẢI PHỊNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp

)

S . ABCD

có
( ABCD )
ABCD
SA = a 2
a
đáy
là hình vng cạnh bằng . Đường thẳng
vng góc với đáy
.
(α)
SC
M
A
M
Gọi
là trung điểm
, mặt phẳng
đi qua hai điểm
và
đồng thời song song với
SB, SD
E, F
S , A, E , M , F
BD
cắt
lần lượt tại
. Bán kính mặt cầu đi qua năm điểm
nhận giá trị
nào sau đây?

a 2
a
a 2
a
2
2
B.
C.
D.
A.
S . ABCD
(ĐỀ GK2 VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Trong khơng gian cho hình chóp
có
AB = BC = 1, AD = 2
SA
ABCD
SA = 1
đáy
là hình thang vng tại A và B với
, cạnh bên
và
Smc
E
AD
vng góc với đáy. Gọi
là trung điểm
. Tính diện tích
của mặt cầu ngoại tiếp hình
S .CDE
chóp

.
Smc = 11π
S mc = 5π
Smc = 2π
S mc = 3π
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

S . ABC
ABC
(SỞ GD&ĐT BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp
có đáy
là tam
( ABC ) AB = 2, AC = 4, SA = 5
A SA
giác vuông tại ,
vng góc với mặt phẳng
và
. Mặt cầu đi
S . ABC
qua các đỉnh của hình chóp
có bán kính là:

9

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG

R=

25
2

R=

5
2

A.
.
B.
.
Dạng 3.2.2 Khối chóp có mặt bên vng góc với đáy

Câu 43.

Câu 44.

Câu 45.

Câu 46.

Câu 47.

C.

R=5

R=

.

D.

10
3

.

ABCD
(THPT-THANG-LONG-HA-NOI-NAM-2018-2019 LẦN 01) Cho tứ diện
có các mặt
( ABD ) ( ACD )
ABC
BCD
và
là các tam giác đều cạnh bằng 2; hai mặt phẳng
và
vng góc với
ABCD
nhau. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
.
2 3
6

2 2
2
3
3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
S . ABC
ABC
(KSCL THPT NGUYỄN KHUYẾN LẦN 05 NĂM 2018-2019) Hình chóp
có đáy
1,
SAB
là tam giác đều cạnh bằng mặt bên
là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vng góc
S . ABC
với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp
.
5π
5 15π
5 15π
4 3π
V=
V=
V=

V=
3
18
54
27
A.
B.
C.
D.

S . ABCD
(THPT AN LÃO HẢI PHỊNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hình chóp
có đáy là
0
AB = 2a CD = a ·ABC = 60
SAB
hình thang cân,
,
,
. Mặt bên
là tam giác đều và nằm trong mặt
( ABCD ) .
S . ABC
R
phẳng vng góc với
Tính bán kính
của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp
.
a 3
2a 3

2a
R=
R=
R=
R=a
3
3
3
A.
B.
C.
D.
S . ABCD
(THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 1) Cho hình chóp
có đáy
ABCD
SAD
A
B AB = BC = a, AD = 2a
là hình thang vng tại
và ,
. Tam giác
đều và nằm
S . ABC
trong mặt phẳng vng góc với đáy. Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
theo
a
.
6π a 2
10π a 2

3π a 2
5π a 2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

(HỌC MÃI NĂM 2018-2019-LẦN 02) Cho hình chóp

S . ABC

là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy
S . ABC
ngoại tiếp hình chóp
.
10

AB = a, ·ACB = 300

có
( ABC )

. Biết

. Tính diện tích mặt cầu

SAB
S mc


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG

Smc =

A.
Câu 48.

Câu 49.

Câu 50.

7π a 2
3

S mc =

.

B.

13π a 2
3

Smc =

.

C.

7π a 2
12

.

D.

S mc = 4π a 2

.

S . ABCD
(KTNL GV BẮC GIANG NĂM 2018-2019) Cho hình chóp
có đáy là hình vuông cạnh
a SAB
S
,
là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy. Tính diện tích
của mặt
S . ABCD
cầu ngoại tiếp hình chóp
4π a2
7π a2
S
=
S
=

2
S = 3π a
S = 7π a 2
3
3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

(THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp
S . ABCD
ABCD
SAB
a
có đáy
là hình vng cạnh , tam giác
đều và nằm trong mặt phẳng
V
vng góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích
của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
3
3
7 21π a
7 21π a
4 3π a 3

4 3π a 3
V=
V=
V=
V=
54
18
81
27
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

ABCD
(SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho tứ diện
có
( ACD )
( BCD )
AB = BC = AC = BD = 2a, AD = a 3
; hai mặt phẳng
và
vng góc với nhau.
ABCD
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
bằng

2
2
64πa
4πa
16πa 2
64πa 2
27
27
9
9
A.
B.
C.
D.
S . ABCD

ABCD
có đáy
là hình
( ABCD )
SAB
chữ nhật. Tam giác
nằm trong mặt phẳng vng góc với mặt phẳng
. Biết rằng
·
AB = a, AD = a 3
S . ABCD
ASB = 60°
và
. Tính diện tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp

.
2
2
2
2
13π a
13π a
11π a
11π a
S=
S=
S=
S=
2
3
2
3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Dạng 3.2.3 Khối chóp đều
Câu 51.

(THPT NGHĨA HƯNG NĐ- GK2 - 2018 - 2019) Cho hình chóp

Câu 52.

(THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Nếu tứ diện đều có cạnh bằng
a
thì mặt cầu ngoại tiếp của tứ diện có bán kính bằng:
a 2
a 2
a 6
a 6
6
4
4
6
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

Câu 53.

(ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Cho hình chóp tứ giác đều
11

S . ABCD

có cạnh đáy

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG

bằng
A.
Câu 54.

3 2a ,

R = 3a

cạnh bên bằng
.

B.

5a.

Tính bán kính

R = 2a

R

của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
25a
R=
R = 2a
8

C.
.
D.
.

.

(ĐỀ 15 LOVE BOOK NĂM 2018-2019) Hình chóp đều
tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là
4π a 2
π a2
2π a 2
A.
.
B.
.
C.

S . ABCD

S . ABCD.

tất cả các cạnh bằng
D.

2π a 2

a

. Diện

.

Câu 55.

(THPT CHUN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hình chóp tứ giác đều có góc
60°
giữa mặt bên và mặt đáy bằng
. Biết rằng mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó có bán kính
R = a 3.
Tính độ dài cạnh đáy của hình chóp tứ giác đều nói trên.
12
3
9
a
a
a
2a
5
2
4
A.
B.
C.
D.

Câu 56.

(GKI CS2 LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp đều
ABC

AB = a
600
có đáy
là tam giác đều cạnh
, góc giữa mặt bên với mặt phẳng đáy bằng
. Tính

S . ABC

bán kính mặt cầu đi qua bốn đỉnh của hình chóp

A.

a 3
2

.

B.

7a
12

.

S . ABC

C.

7a

16

.

D.

a
2

.

Câu 57.

(THPT CHUN VĨNH PHÚC LẦN 02 NĂM 2018-2019) Cho hình chóp tứ giác đều có góc
60°
giữa mặt bên và mặt đáy bằng
. Biết rằng mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó có bán kính
R = a 3.
Tính độ dài cạnh đáy của hình chóp tứ giác đều nói trên.
12
3
9
a
a
a
2a
5
2
4
A.

.
B.
.
C.
.
D.
.
Dạng 3.2.4 Khối chóp khác
Câu 58.

O
ABC
(CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2018-2019 LẦN 1) Cho mặt cầu tâm
và tam giác
·
BC = a
S
BAC = 300
có ba đỉnh nằm trên mặt cầu với góc
và
. Gọi
là điểm nằm trên mặt cầu,
khơng thuộc mặt phẳng
phẳng
V=

A.

( ABC )

3 3
πa
9

bằng

600

( ABC )

và thỏa mãn

SA = SB = SC

, góc giữa đường thẳng

SA

V
O
a
. Tính thể tích
của khối cầu tâm
theo .
32 3 3
4 3 3
15 3 3
V=
πa
V=

πa
V=
πa
27
27
27
B.
C.
D.
12

và mặt


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG

SA =

Câu 59.

Câu 60.

(CHUYÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hình chóp S.ABC có
cạnh cịn lại cùng bằng a. Bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là:
a 13
a
a 13
a 13
R=
R=

R=
R=
2
3
3
6
A.
B.
C.
D.
Cho hình chóp
·
BSC
= 60°

A.

C.
Câu 61.

Câu 62.

Câu 63.

7π a
18

2

7π a

3

2

S . ABC

a 3
2

, các

SA = SB = SC = a ·ASB = ·ASC = 90°
có
,
,

. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

B.

D.

7π a 2
12
7π a 2
6

S . ABCD
(SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC NĂM 2018 - 2019 LẦN 01) Cho hình chóp
ABCD

a
S
có đáy
là hình vng cạnh bằng . Hình chiếu vng góc của
trên mặt phẳng
( ABCD )
AC
AC = 4 AH
SH = a
H
là điểm
thuộc đoạn
thoả mãn
và
. Tính bán kính mặt cầu
S . ABCD
nội tiếp hình chóp
(mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt bên của hình chóp)
4a
4a
4a
4a
9 + 13
5 + 17
5 + 13
9 + 17
A.
.
B.
.

C.
.
D.
.

S . ABCD
(CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hình chóp
có
AB
=
3,
AD
=
4
ABCD
đáy
là hình chữ nhật,
và các cạnh bên của hình chóp tạo với mặt đáy một
60°.
góc
Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
250 3
125 3
50 3
500 3
V=
π
V=
π
V=

π
V=
π
3
6
3
27
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
S . ABCD
(CHUYEN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hình chóp
a
SAB
ABCD
SCD
S
có
là hình vng cạnh , tam giác
đều và tam giác
vng cân tại . Tính
diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
7π a 2
8π a 2
5π a 2

π a2
3
3
3
A.
.
B.
.
C.
.
D.

13


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG

Câu 64.

Câu 65.

Câu 66.

Câu 67.

Câu 68.

ABCD
có
là hình

( ABCD )
AB = 3a BC = 4a
S
I
chữ nhật tâm
cạnh
,
. Hình chiếu của
trên mặt phẳng
là trung
( ABCD )
SB
45°
ID
điểm của
. Biết rằng
tạo với mặt phẳng
một góc
. Tính diện tích mặt cầu
S . ABCD
ngoại tiếp hình chóp
.
25π 2
125π 2
125π 2
a
a
a
4π a 2
2

4
2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

(CHUYÊN HƯNG YÊN NĂM 2018-2019 LẦN 03) Cho hình chóp

S . ABCD

ABCD
AB = CD = 3
(CHUN HẠ LONG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho tứ diện
có
,
AD = BC = 5 AC = BD = 6
ABCD
,
. Tính thê tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện
.
35 35
π
35 35 π
35 π
35

6
A.
( đvtt).
B.
( đvtt).
C.
( đvtt). D.
( đvtt).
O
(THPT YÊN PHONG SỐ 1 BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho đường trịn tâm
có
P
( )
AB = 2a
O
A
I
đường kính
nằm trong mặt phẳng
. Gọi
là điểm đối xứng với
qua . Lấy
( P)
S
SI
SI = 2a
R
điểm sao cho
vng góc với mặt phẳng
và

. Tính bán kính
của mặt cầu qua
O
S
đường trịn tâm
và điểm .
a 65
a 65
7a
R= .
R=
.
R=
.
R = a 5.
4
16
4
A.
B.
C.
D.

S . ABC
(LIÊN TRƯỜNG THPT TP VINH NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Cho hình chóp
có đáy
0
·
·
= SCB

= 90
ABC
B AB = BC = 3a 2 SAB
A
là tam giác vuông cân tại ,
,
. Biết khoảng cách từ
( SBC )
2a 3
S . ABC
đến mặt phẳng
bằng
. Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
.
3
3
3
3
72 18π a
18 18π a
6 18π a
24 18π a
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

O. ABC
(CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp
có
·
= 90° ·AOC = 120°
OA = OB = OC = a ·AOB = 60° BOC
S
OB
,
,
,
. Gọi là trung điểm cạnh
.
S . ABC
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
là
a
a 7
a 7
a
4
4
2
2
A.
B.
C.
D.

14

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG

Câu 69.

ABCD
AB = 6a
(ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỈNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Cho tứ diện
có
,
a 74
CD = 8a
ABCD
và các cạnh cịn lại bằng
. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
.
100 2
S=
πa .
S = 25π a 2 .
S = 100π a 2 .
S = 96π a 2 .
3
A.
B.
C.
D.

Dạng 4. Bài toán thực tế, cực trị

Câu 70.

(HSG BẮC NINH NĂM 2018-2019) Một cơ sở sản suất đồ gia dụng được đặt hàng làm các
V = 28π a 3 ( a > 0 )
chiếc hộp kín hình trụ bằng nhơm đề đựng rượu có thể tích là
. Để tiết kiệm
sản suất và mang lại lợi nhuận cao nhất thì cơ sở sẽ sản suất những chiếc hộp hình trụ có bán kính
R
R
là
sao cho diện tích nhơm cần dùng là ít nhất. Tìm
R = a3 7
R = 2a 3 7
R = 2a 3 14
R = a 3 14
A.
B.
C.
D.

Câu 71.

(MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội tiếp mặt cầu có bán

9

V

kính bằng , tính thể tích của khối chóp có thể tích lớn nhất.
V = 144 6

V = 144
V = 576 2
A.
B.
C.
Câu 72.

Câu 73.

Câu 74.

D.

V = 576

(SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC NĂM 2018 - 2019 LẦN 01) Trong tất cả các hình
9
chóp tứ giác đều nội tiếp mặt cầu có bán kính bằng , khối chóp có thể tích lớn nhất bằng bao
nhiêu ?
144 6
576
576 2
144
A.
.
B.
.
C.
.
D.

.
Oxyz
C
(THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 3) Trong không gian
, lấy điểm
Ox, Oy
A, B
Oz
OC = 1
trên tia
sao cho
. Trên hai tia
lần lượt lấy hai điểm
thay đổi sao cho
OA + OB = OC
O. ABC
. Tìm giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
?
6
6
6
6
4
3
2
A.
B.
C.
D.

S . ABCD
ABCD
(KTNL GV THPT LÝ THÁI TỔ NĂM 2018-2019) Cho hình chóp
có đáy
là
6 cm AB = 4 cm
hình bình hành, các cạnh bên của hình chóp bằng
,
. Khi thể tích khối chóp
S . ABCD
S . ABCD
đạt giá trị lớn nhất, tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp
.
2
2
2
12π cm
4π cm
9π cm
36π cm 2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

15

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG

PHẦN B. ĐÁP ÁN THAM KHẢO
Dạng 1. Diện tích xung quanh, bán kính
Câu 1.
Chọn D
Câu 2.
Chọn C
S = 4π R 2 = 16π a 2 ⇒ R = 2a
Ta có:
S = 4π R 2 = 4π ( 2a ) = 16π a 2
2

Câu 3.

Ta có:

.
4π R = 16π ⇔ R = 4 ⇒ R = 2(cm).
2

Câu 4.
Câu 5.

2

Ta có:
Chọn B

( S)

Nhận xét : Đường tròn lớn của mặt cầu

là đường tròn đi qua tâm của mặt cầu

kính của đường trịn lớn cũng là bán kính của mặt cầu
Chu vi đường trịn lớn của mặt cầu

Câu 6.

Vậy diện tích mặt cầu
Chọn B

Nhận xét: Đường tròn
hai điểm

A

và

B

( S)

là

( S)

bằng

S = 4π R 2 = 16π

( O1 ; R1 ) ( O2 ; R2 )
,

. Khi đó ta có:

( S)

( S)

nên bán

.

4π ⇒ 2π R = 4π ⇔ R = 2

.

.

tiếp xúc ngoài, cùng tiếp xúc với một đường thẳng tại

AB = 2 R1 R2
O1 , O2 , O3

.
R1 , R2 , R3

Gọi tâm các mặt cầu lần lượt là
có bán kính lần lượt là
.
Vì các tiếp điểm của các mặt cầu với mặt phẳng tiếp xúc lập thành tam giác có các cạnh bằng

4, 2

và

3

nên ta có hệ phương trình:

2 R1 R2 = 4

2 R2 R3 = 2 ⇒ 8 R1 R2 R3 = 2.4.3

2 R3 R1 = 3
16

hay

R1 R2 R3 = 3

.


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG

Dạng 2. Thể tích
Câu 7.
Chọn B
Câu 8.
Chọn C

Câu 9.

Thể tích khối cầu là:

4
4
V = .π .R3 = .π .33 = 36π ( cm3 ) .
3
3

R = a (cm)
. Theo đề ta có
. Vậy
.
3
3
4π R
4π a
3
( S) V = 3 = 3 ( cm )
Khi đó, thể tích khối cầu
là:
.
R

Câu 11. Gọi là bán kính mặt cầu.
36π a 2
4π R 2 = 36π a 2 ⇔ R 2 = 9a 2 ⇒ R = 3a
Mặt cầu có diện tích bằng
nên
4
4
V = π R 3 = π (3a )3 = 36π a 3
3
3
Thể tích khối cầu là
( S)
I
R
Câu 12. Gọi và
lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu
.
h = d ( I , ( P ) ) = 4 cm
( P)
4cm
Gọi
là mặt phẳng cách tâm một khoảng bằng
. Ta có
.
( P)
( S)
r
cắt mặt cầu
theo được thiết diện là một hình trịn có bán kính .
π r 2 = 9π ⇔ r = 3 cm

Theo giả thiết ta có
.
4
500π
V = π R3 =
2
2
S
(
)
R = r + h = 5 cm
3
3 cm3
Ta có
. Suy ra thể tích khối cầu
là
.
Câu 13. Chọn C
4 3
( H1 ) V1 = 3 π r1
 Thể tích khối
là
4 3
( H 2 ) V2 = 3 π r2
 Thể tích khối
là

Câu 10.

Gọi mặt cầu có bán kính

R

4π R 2 = 4π a 2

3

4
4
4
4 1  9 4
 9
V = V1 + V2 = π r13 + π r23 = π r13 + π  r1 ÷ =  π r13 ÷ = V1
3
3
3
3 2  8 3
 8

 Tổng thể tích 2 khối là
9
V1 = 180 ⇒ V1 = 160
8
 Suy ra

17


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG

Câu 14.
Khi đặt khối cầu có bán kính

R′ = 2 R

R

vào khối cầu có bán kính
ta được phần chung của hai
h
khối cầu. phần chung đó gọi là chỏm cầu. Gọi là chiều cao chỏm cầu. Thể tích khối chỏm cầu

h

Vc = π h 2  R′ − ÷
3

là
.
với

h = R ′ − R ′2 − R 2 = 4 − 4 2 − 22 = 4 − 2 3

.

2
4 − 2 3  2π
⇒ Vc = π 4 − 2 3  4 −
64 − 36 3
÷=

3 ÷

 3

(

)

(

)
.

1 4
16π
V = . π R3 =
2 3
3

Thể tích một nửa khối cầu
.
Thể tích khối nước còn lại trong nửa khối cầu:
16π 2π
112 

Vn = V − Vc =
−
64 − 36 3 =  24 3 −
÷π
3

3
3 


(

)

Dạng 3. Khối cầu nội tiếp, ngoại tiếp khối đa diện
Dạng 3.1 Khối cầu nội tiếp, ngoại tiếp khối lăng trụ
Câu 15. Chọn A

18

.


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG

Câu 16.

AC′ = 2 3a
Đường chéo của hình lập phương:
. Bán kính
Chọn B

Gọi

O = AC ′ ∩ A′C ⇒ O

Câu 17.

AC′
=a 3
2

là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương.

R = OA =
Bán kính mặt cầu:
Chọn A

R=

1
a 3
2 R 2 3R
AC ′ =
⇒a=
=
2
2
3
3

Bán kính khối cầu là một nửa đường chéo của hình hộp chữ nhật:
1
1 2
3
R=

AB 2 + AD 2 + BB '2 =
a + (2 a) 2 + (2a) 2 = a
2
2
2
.
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật là:
19

.


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG
2

 3a 
S = 4π R = 4π  ÷ = 9π a 2
 2 
2

.

Câu 18.
Gọi

R

là bán kính khối cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật.
R=

Ta có

1
1 2
14
1 + 22 + 32 =
BD′ =
2
2
2

.
3

Vậy thể tích khối cầu là:

4  14 
4
7π 14
3 =
π 
÷
V = πR
÷ =
3
2


3
3

.

B

A
D

C

O
F
Câu 19.
Gọi

R

Ta có

E

G

H

là bán kính khối cầu ngoại tiếp hình lập phương

CE = AB. 3 = 3 3

cm. Suy ra

1
3 3
R = CE =
2
2

ABCD.EFGH

cm.

3

Thể tích khối cầu là:

4
4  3 3  27 3
V = π R 3 = π 
π
÷ =
3
3  2 ÷
2


20

cm3.

.

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG

Câu 20.

ABCD. A′B′C ′D′
AB = a AD = a 3 AA′ = 2a
Xét hình hộp chữ nhật là
có
,
,
.
′
AC
ABCD. A′B′C ′D′
I
I
Gọi là trung điểm
, suy ra là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật
.
ABCD. A′B′C ′D′
Ta có bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp
là:
1
1
R = AC ′ =
AB 2 + AD 2 + AA′2 = a 2
2
2

.
2
2
S = 4π R = 8π a
Vậy diện tích mặt cầu là:
.

Câu 21.
Gọi

H

là hình chiếu vng góc của

· ′A = 30°
⇒ (·AC ′, ( BCC ′B′ ) ) = HC

ABC

là tam giác vuông tại
AH =

Ta có:

A

trên

BC ⇒ AH ⊥ ( BCC ′B′ )

.

.

AC = a
A AB = a 3 BC = 2a
,
,
suy ra
.

AB. AC a 3
=
2
2
BC
2 ⇒ AC ′ = 2 AH = a 3 ⇒ AA′ == AC ′ − AC = a 2

21

.


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG

BC B′C ′
I I′
I I′
Gọi ,
lần lượt là trung điểm

,
. Dễ thấy ,
lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp
∆ABC ∆A′B′C ′
,
.
O
O
II ′
Gọi là trung điểm của
suy ra
là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đã cho.
2

Bán kính mặt cầu là :

2

a 6
 BC   BB′ 
R = OB = 
÷ +
÷ =
2
 2   2 

Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đã cho bằng:

.
S = 4π R 2 = 6π a 2

.

Dạng 3.2 Khối cầu nội tiếp, ngoại tiếp khối chóp
Dạng 3.2.1 Khối chóp có cạnh bên vng góc với đáy
O
SA J
I
Câu 22. Gọi điểm là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy. là trung điểm
. là tâm mặt cầu ngoại tiếp.

2

Câu 23.

Dễ thấy
Chọn A

AIJO

Theo giả thiết:

là hình chữ nhật. Do đó

a 5
a
JA = AO 2 + AI 2 = a 2 +  ÷ =
2
2

·
SCA
= 600 ⇒ SC = 2a 2
R=

SC
=a 2
2

Bán kính mặt cầu
S = 4π R 2 = 8a 2π
Diện tích
.

.

.

22

.


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG

Câu 24.
Gọi
Gọi

O = AC ∩ BD

I

, đường chéo

là trung điểm của

SC

AC = a 2

.

.

OI

SAC

OI // SA ⇒ OI ⊥ ( ABCD )

Suy ra
là đường trung bình của tam giác
. Suy ra
.
OI
ABCD
Hay
là trục đường tròn ngoại tiếp đáy
.

IS = IC ⇒ IA = IB = IC = ID = IS
I
Mà
. Suy ra
là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp

S . ABCD

.

S . ABCD

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp
S = 4π R 2 = 8π a 2
.
Diện tích mặt cầu:

Câu 25.

Ta có:

 SA ⊥ AB
⇒ SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ AC.

 SA ⊥ BC
23

R = SI =

:

SC
=
2

SA2 + AC 2
=a 2
2

.


CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG

Ta có:
Gọi

O

 BC ⊥ SA
⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ SB.

 BC ⊥ AB

là trung điểm

SC

OA = OB = OC = OS =

SC
.
2

SAC , SBC

Do đó mặt cầu đi qua

Tam giác

2

BCD

2

vng tại

2

C

2

2

2

A

vng lần lượt tại

S , A, B, C

có tâm

SC = SB + BC = SA + AB + BC = a + b + c .
Ta có:
suy ra
Chọn C
2

Câu 26.

, ta có tam giác

2

2

nên áp dụng định lí Pitago, ta được

O

R=

và

B

nên:
R=

và bán kính

SC
.
2

1 2
a + b2 + c 2 .
2

BD = 5a
.

AD = 5a 2.
ABD
B
Tam giác
vuông tại nên áp dụng định lí Pitago, ta được
C
ABCD
B
AD
Vì và cùng nhìn
dưới một góc vng nên tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
là

Câu 27.

trung điểm
Chọn A

Ta có:
Vì

I

AC =

SA ⊥ AC

của

AD

R=
. Bán kính mặt cầu này là:

AB 2 + BC 2 = 5a

nên

SC = SA2 + AC 2 = 13a
24

AD 5a 2
=
.

2
2


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG

Nhận thấy:

 BC ⊥ AB
⇒ BC ⊥ SB

 BC ⊥ SA

Do các điểm

A, B, D

của đoạn thẳng
R=

Vậy
Câu 28.

SC

SC 13a
=
2
2

thì

. Tương tự:

đều nhìn đoạn thẳng
I

CD ⊥ SD

SC

dưới một góc vng nên gọi

là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

S . ABCD

I

là trung điểm

.

.

Chọn A

Gọi

K

AC

là trung điểm

. Gọi

M

là trung điểm

SA

.

Vì tam giác ABC vng tại B nên K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
mp ( ABC ) .
Từ K dựng đường thẳng d vng góc với
mp ( SAC )
SA
MI
I
Trong
dựng
là đường trung trực đoạn
cắt d tại .

ABC

.

Khi đó điểm I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC và bán kính mặt cầu là
5
SA 5
AC = AB 2 + BC 2 = 5 ⇒ AK =
IK = MA =
=
2
2 2
Ta có
. Có
.
R = AI =

AK 2 + IK 2 =

Vậy

Ta có

25 25 5 2
+
=
4
4
2

. Gọi

I

là trung điểm của

IS = IC = IA
nên
(1)
BC ⊥ AB; BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ SB ⇒ ∆SBC
Nên

IS = IC = IB

(2)
25

SC.

vuông tạiB.

Tam giác

R = AI

SAC

.

vuông tại

A