các chuyên đề thường gặp trong kỳ thi tuyển sinh lớp 10 môn toán

NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ

NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM


Biên soạn : NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ

Chương 1:

CĂN BẬC HAI- CĂN BẬC BA

Bài 1: KHAI CĂN BẬC HAI.
I. Điều kiện xác định của một hàm số hay biểu thức chứa căn bậc hai:
1.Hàm số y  A xác đònh khi A  0
B
xác đònh khi A> 0
2.Hàm số y 
A
1
3.Hàm số y 
xác đònh khi A  0
A
Chú ý: Cho biểu thức y  ax 2  bx  c .
 Nếu ax 2  bx  c  0 có 2 nghiệm x ,x (x  x ) thì y có thể phân
1 2 1
2
tích: y  a(x  x )(x  x ) .
1

2

 Ta có: y  (x  x )(x  x )  0  x  x  x .
1
2
1
2
x  x
2
 Ta có: y  (x  x )(x  x )  0  
.
1
2
 x  x1
Ví dụ 1: Tìm miền xác đònh của các hàm số sau:
1
a) y  x  1 
b) y  x 2  5x  6
2x
2x  3
c) y 
d) y  3x2  4x  1  2x  3
2x 2  3x  1
Giải:
1
a) y  x  1 
2x
Điều kiện xác đònh của hàm số là :
x 1  0
x  1

1 x  2


2  x  0  x  2

b) y  x 2  5x  6
Chú ý: x 2  5x  6  0 có 2 nghiệm là x  2 và x  3
nên x 2  5x  6  (x  2)(x  3)
Vậy điều kiện xác đònh của hàm số là :
x  3
x2  5x  6  0  (x  2)(x  3)  0  
x  2
2x  3
c) y 
2x 2  3x  1
1
Chú ý: Ta có: 2x2  3x  1  2(x  1)(x  ).
2
Vậy điều kiện xác đònh của hàm số là:
1
1
2x2  3x  1  2(x  1)(x  )  0  (x  1)(x  )  0
2
2

Trang 1


Biên soạn : NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ

Trang 2

x 1

x  1

2
2
d) y  3x  4x  1  2x  3

1
Chú ý: Ta có: 3x2  4x  1  3(x  1)(x  ).
3
Vậy điều kiện xác đònh của hàm số là:
1
1
3x2  4x  1  3(x  1)(x  )  0  (x  1)(x  )  0
3
3
1
  x 1
3
Ví dụ 2: Tìm miền xác đònh của hàm số sau:
x
3x
y

x 1
x2  4
Giải:

Vậy điều kiện xác đònh của hàm số là :

 x0
x0

1  x  3
 3 x  0

x3



  x2  2x3
 x 1  0  
x

1


  x  2

x2  4  0
(x  2)(x  2)  0

II. Các tính chất cơ bản của căn số:
1. Nếu A,B  0 thì AB  A. B.
2. Nếu A  0, B>0 thì
3.

A
A


.
B
B

A2  A

4. Nếu A B  A 2 .B với A  0.
Ví dụ 1: A  48  16.3  16. 3  4 3.
B  16  42  4  4.

C  ( 3  2)2 

3  2  2  3.

D  2 3  22 .3  12.
Chú ý: A  0 , biểu thức giá trò tuyệt đối luôn dương. Nên

3  2  3  2 là sai

vì 3  2  3  2  0 . Vậy nếu biết chắc giá trò A  0 thì ta mở giá trò tuyệt đối

A  A và giá trò A âm thì ta mở giá trò tuyệt đối A  A và nếu không chắc A là
số dương hay âm thì ta phải có dấu giá trò tuyệt đối.
Ví dụ 2:

9  3 = 3 và (a+1)2 = a+1 (vì chúng ta chưa biết là a+1 có dương hay âm

nên phải có dấu giá trò tuyệt đối).

Biên soạn : NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ

Trang 3

III. Khai căn của một biểu thức: Ta đã biết các tính chất cơ bản sau: với A,B  0


A  B  2 AB  ( A  B)2 

A  B  A  B.



A  B  2 AB  ( A  B)2 

A B.

1) Khai căn thức dạng C  2 D : Chúng ta phân tích C  2 D thành dạng bình phương
như sau: C  2 D  A  B  2 A.B . Tức là: phân tích D = A.B là tích của 2 số dương
A và B sao cho tổng của chúng là C, (C = A+B).
Khi đó:

C  2 D  A  B  2 A.B 
Tương tự cho biểu thức
B sao cho C = A+B thì

2

2

A  B  2 A. B 



A B



2

 A  B.

C  2 D . Khi phân tích D = A.B là tích của 2 số dương A và

C  2 D  A  B  2 A.B 

2

2

A  B  2 A. B 



A B



2



A B.

Tóm lại: Khi phân tích được D = A.B (A, B là 2 số dương) sao cho A + B = C thì ta
khai căn được nhanh chóng như sau:
và C  2 D 

C2 D  A  B

A B.

Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức chứa căn sau:
a) A  3  2 2

b) B  5  2 6

c) E  9  6 2
Giải:

d) F  x  4 x  4

a) Trong A  3  2 2 có

D  2  2.1 thỏa 2  1  3  C nên A  3  2 2  2+ 1  2+1.
b) Trong B  5  2 6 có D= 6 = 3.2 thỏa 3  2 = 5 = C nên

B  52 6 

3  2  3  2.

c) Trong E  9  6 2  9  2(3 2)  9  2 18 có
D  18  6.3 thỏa 3  6  9  C nên

E  96 2 

6  3  6  3.

d) Trong F  x  4 x  4  x  2 4(x  4) có
D  4.(x  4) thỏa 4 + (x  4)  x = C
nên F  x  4 x  4  4  x  4  2  x  4.
2) Khai căn thức dạng C  D : Ta chuyển về trường hợp 1) như sau:

C D 

2C  2 D
1

2C  2 D . Và ta khai căn
2
2

1) ở trên.
Ví dụ 2:

a) E  2  3

b) F  4  7 .

2C  2 D như trường hợp

Biên soạn : NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ

a) E  2  3 

42 3
1

4  2 3 . Trong đó:
2
2

D  3  3.1 thỏa 3  1  4  C nên

Vậy E 

1

42 3 

3 1

2

42 3 

Trang 4

4  2 3 có

3  1  3 1

.

2

b) Ta có: F  4  7 

1

8  2 7 . Trong đó:

8  2 7 có:

2
D  7  7.1 thỏa 7  1  8  C nên

Vậy F  4  7 

8  2 7  7  1  7 1.

7 1

.
2
Ví dụ 3: Rút gọn các căn thức sau:

a) A  6  2 5  13  48 b) B  7  3  13  4 8  10 7  4 3
c) C   5  10  2 3  2 29  12 5

Giải:
a) Trong biểu thức A xét:

13  48  13  2 12  12  1  12  1  2 3  1.
(do ta phân tích D = 12 = 12.1 thoả 12 + 1 = 13 = C)
nên A trở thành: A  6  2 5  (2 3  1)  6  2 4  2 3
mà ta lại có: 4  2 3  3  1  3  1 .
(do ta phân tích D = 3 = 3.1 thoả 3 + 1 = 4 = C)
nên A  6  2( 3  1)  4  2 3 

3  1  3  1.

b) B  7  3  13  4 8  10 7  4 3
Vì

7  4 3  7  2 12 

4  3 2 3

(do ta phân tích D = 12 = 4.3 thoả 4 + 3 = 7 = C)
Nên B  7  3  13  4 8  10(2  3)  7  3  13  4 28  10 3
Ta có:

28  10 3  28  2 75 

25  3  5  3

(do ta phân tích D = 75 = 25.3 thoả 25 + 3 = 28 = C)
Nên B  7  3  13  4(5  3)  7  3  7  4 3
Ta lại có:

7  4 3  7  2 12  2  3

Nên B  7  3  (2  3)  9  3 .
Vậy B = 3.


Biên soạn : NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ

Trang 5

c) C   5  10  2 3  2 29  12 5
Vì

29  12 5  29  2 180)  29  2 20.9 

20  9  2 5  3

Nên C   5  10  2 3  2(2 5  3)   5  10  2 9  4 5
Ta lại có:

9  4 5  9  2 20  9  2 5.4 

5  2  52

Do đó: C   5  10  2( 5  2)   5  6  2 5
Ta lại có:

6  2 5  6  2 5.1  5  1  5  1

Vậy C   5  ( 5  1)  1  1 .
2) Trục Căn ở mẫu thức: Một biểu thức chứa căn ở mẫu sẽ làm trở ngại cho việc tính
toán. Ta làm cho biểu thức ở dưới mẫu khơng còn chứa căn nữa gọi là trục căn ở
mẫu thức. Để làm được như vật, ta dùng tính chất nhân chia dạng liên hợp như sau:
A
A B
(1)

.
B
B
(2)

1
A B
A B


.
A  B ( A  B)( A  B) A  B2

1
A B
A B


.
A  B ( A  B)( A  B) A  B2
Ví dụ1: Tính:
(3)

3
2
3 
2
 2 75  2 3 b) B  
62
4
  6  12  3

2


3
2
3
3



4
1
6
c) C 


3 1
32
3 3
 2



3
3
2 3
5
6 
d) D  

 2


 (3  6) 

 3
 2  3

 5 6

2
4
2
5

6






Giải:

a) A  3 12 

6

6
6 3
 2 75  2 3 = 3. 4.3 
 2 25.5  2 3
3
3
= 6 3  2 3  10 3  2 3  0
3
2
3 
2
6 2
4
6

12

3
b) B  


3
2 
3 

2

3
2. 3
3. 2 
2. 3 
 
6 2
4
6  4.3  3



3
2 
3 
2
2
3


6
6 2 6 6 2 3  6
3
2

a) A  3 12 






Biên soạn : NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ

Trang 6

1
1
1
6.2 3 
18 
9.2  2
6
3
3
4
1
6


c) C 
3 1
32
3 3


4( 3  1)
( 3  2)
6( 3  3)



( 3  1)( 3  1) ( 3  2)( 3  2) ( 3  3)( 3  3)
4
 ( 3  1)  ( 3  2)  ( 3  3)  7.
2
 2


3
3
2 3
5
6 
d) D  

 2 


 (3  6) 

 3
 2  3
 5 6
2
4 2 
5  6 




 2 2  3 2  2. 3. 2   4 6  ( 2  3)2 
5( 5  6)  6( 5  6)

 D
3(
2

3).


  4 2( 2  3) 
6
( 5  6)( 5  6)


52 6 52 6
11

.
. 3.(11)  .
8
6
4 2
Ví dụ 2:
1
1
1
a) Chứng minh rằng:



, k  1.
(k  1) k  k k  1
k
k 1
b) Áp dụng câu a) để tính tổng sau:
1
1
1
1
S


 ... 
1. 2  2. 1 2 3  3 2 3 4  4 3
2010 2009  2009 2010
Giải:
a) Xét vế trái:
1
1
1
1
VT 


.
(k  1) k  k k  1
k. k  1 k  k  1
k. k  1 k  k  1








1
.
k. k  1
k 1



k 1  k





k  k 1
k




1

k 1  k






k 1  k
.
k. k  1

1

k. k  1
k. k  1
k
k 1
Vậy ta có điều phải chứng minh.
1
1
1


, k  1.
b) Theo câu a) ta có:
k k  1  (k  1) k
k
k 1

1 1
 
1. 2  2 1 1
2

1
1
1
Laáy k  2 coù :


2 3 3 2
2
3
1
1
1
Laáy k  3 coù:


3 4 4 3
3
4
Laáy k  1 coù:

1

(1)
(2)
(3)


Biên soạn : NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ

Trang 7

...................................
1
1
1


(2010)
2010 2009  2009 2010
2009
2 010
1
1
Vậy S = 1 
.
Cộng vế theo vế của (1), (2),(3),...,(2010) có: S  1 
2010
2010
Lấy k  2010 có:

Ví dụ 3: Cho 2 số x, y thỏa mãn: (x  x2  3)(y  y2  3)  3
a) Chứng minh rằng: x = –y.
x3  y3
b) Tính giá trị của biểu thức: S 
?
x 20  y11 +2010
Giải:

a) Ta có: (x  x 2  3)(y  y 2  3)  3

(1)

Nhân liên hợp 2 vế của (1) cho (x  x 2  3) , ta được:

(x  x 2  3)(x  x 2  3)(y  y2  3)  3(x  x2  3)
 3(y  y2  3)  3(x  x2  3)
 y  y 2  3   x  x2  3

(* )

Tương tự, ta nhân liên hợp 2 vế của (1) cho (y  y2  3) , ta có:

(x  x 2  3)(y  y2  3)(y  y2  3)  3(y  y2  3)
 3(x  x2  3)  3(y  y2  3)
 y  y2  3   x  x 2  3
(* * )
Cộng 2 vế (*) và (**) ta được: 2y = – 2x hay y = – x.
Vậy y = – x là điều phải chứng minh.
x3  ( x)3
0
b) Thay giá trị y = –x vào biểu thức S ta có: S 

0
20
11
20
11
x  ( x) +2010 x  x +2010
Vậy S = 0.
Ví dụ 4:

1

 k  1  k , k  1.
k  k 1
b) Áp dụng câu a) để tính tổng sau:
1
1
1
1
S


 ... 
1 2
2 3
3 4
2009  2010
Giải:
1
k 1  k
a) Ta có: VT 

 k 1  k .
k  k  1 ( k  1  k )( k  1  k )
Vậy ta có điều phải chứng minh.
1
 k  1  k , k  1.
b) Theo câu a) ta có:
k  k 1

1
Lấy k  1 có :
 2 1
(1)
1 2
a) Chứng minh rằng:


Biên soạn : NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ

Trang 8

1
 3 2
2 3
1
Lấy k  3 có:
 4 3
3 4
...................................
Lấy k  2 có :

1

Lấy k  2009 có:

(2)
(3)

 2010  2009

(2009)

2009  2010

Cộng vế theo vế của (1), (2),(3),...(2009) có : S 

2010  1.

Vậy S = 2010  1 .
III. Rút gọn biểu thức:
1) Rút gọn bằng cách tính trực tiếp: Bằng cách tính tốn tiếp như quy đồng mẫu số, nhân
chia dạng liên hợp để trục căn ở mẫu, khai căn,…Tổng hợp các điều đó thơng qua các ví
dụ sau:
Ví dụ1: Rút gọn biểu thức sau:
 x
2
1  
10  x 
A= 


 :  x  2 

x 2 
x 2
x4 2 x
Giải
 x
2

1  
10  x 
A  


 :  x  2 

x 2 
x 2
x4 2 x
Điều kiện xác đònh : x  0 và x  4.

vì x  4 

2

x  22  ( x  2)( x  2)



x
2
1  
nên A= 


:
x  2  
 ( x  2)( x  2) 2  x


=

x  2( x  2)  ( x  2)
( x  2)( x  2)

.



x 2

x 2
(x  4)  10  x

6
x 2
1
1
.


6
( x  2)( x  2)
x 2 2 x
1
Vậy A 
.
2 x
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức sau:
=

B 

x  2  x2  4
x  2  x2  4



x  2  x2  4
x  2  x2  4

, với x  2
Giải:

B 



x  2  x2  4

2

 

 x  2  x2  4

2



(x  2)  x2  4  (x  2)  x 2  4 

 

Do : (a  b)2  (a  b)2  2(a2  b2 ) nên





x  2  10  x 


x 2



Biên soạn : NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ

Trang 9

2

2 (x  2)2  x 2  4 
2
2
  x  4x  4  x  4
B  
4x  8
2(x  2)

2

2 (x  2)2  x 2  4 
2
2
  x  4x  4  x  4
B  
4x  8
2(x  2)

2x 2  4x 2x(x  2)

 2x.
x2
x2
Vậy B  2x.


Ví dụ 3 : Rút gọn biểu thức sau:
 x
1  x  x x  x 
C  



 , với x  0 và x  1

x  1 
 2 2 x  x  1
Giải:

 x
1  x  x x  x 
C = 





x  1 
 2 2 x  x  1
 x x  1   (x  x)( x  1)  (x  x )( x  1) 

= 
 


x 1 x 1
 2 x 

2
2
(x  1)  x( x  1)  x( x  1) 
=


x 1
2 x 

2

2
x ( x  1)  ( x  1)  4 x
=

 2 x
2
2 x







Vậy C =  2 x.

2) Rút gọn bằng cách đặt ẩn phụ: Một biểu thức chứa nhiều dấu căn phức tạp thì ta có
thể dùng ẩn phụ để làm cho biểu thức đơn giản hơn. Từ đó thực hiện các phép tốn trên
các ẩn phụ. Sau cùng, trả lại ẩn phụ.
Ví dụ 1:Rút gọn biểu thức sau:
 x
2
1  
10  x 
A= 


 :  x  2 

x 2 

x 2
x4 2 x
Giải:
Điều kiện xác đònh : x  0 và x  4.
Đặt y  x  x  y 2 . Thay vào biểu thức A, ta có:

 y
2
1  
10  y2 
A= 


:
y

2


 
2
y  2 
 y 4 2y y2 
 y  2(y  2)  (y  2)   y 2  4  10  y 2 
= 

 : 
2 4
y2
y


 



Biờn son : NGT LNG ANH VN V VN THIN Lấ CAO T

y2
1
1


6
y2 2y
1
1
Vaọy A

.
2y 2 x

=

6

Trang 10

y2 4

.

Vớ d 2:Rỳt gn biu thc sau:
x x y y

2 y
B
xy : (x y)
, vụựi x,y 0
x y

x y


Gii:
2
a x x a
t
. Thay vo biu thc B, ta cú:
b y y b2
a2 .a b2 .b

2b
B=
ab : (a2 b2 )
ab
ab

a3 b3

1

2b
=
ab .

2
2
ab
(a b ) a b
1
2b
= a2 ab b2 ab .

(a2 b2 ) a b
1
2b
= (a b)2 .

2
2
(a b ) a b
a b 2b
ab
=


1
a b a b ab

Vaọy B 1.
Vớ d 3: Cho x, y >0 v x y
2 xy
x y 2 x
y
C =

.
+

x y 2( x y ) x y
y x


Chng minh rng C = 1.
Gii:
a x x a2
t
. Thay vo biu thc C, ta cú:
b y y b2
2ab
a b 2a
b
4ab (a b)2 2a
b
C=

.

+
=
.
+

2(a2 b2 ) a b b a
a2 b2 2(a b) a b b a
a2 2ab b2 a
b
(a b)2 a
b
=
.
+

.
+
2
2
2
2
ab ba a b a b ba
a b
(a b)a
b
a
b
a
b
ab

+

+



1
2
2
ba ab ba ab ab ab
a b
Vaọy C 1 (ủpcm).
3) Rỳt gn bng caựch khai caờn trc tip: Ta phõn tớch trong cn cú dng bỡnh phng khai cn.
A neỏu A 0
i vi cn bc hai, chỳ ý n tớnh cht: A
-A neỏu A< 0


Biên soạn : NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ

Ví dụ 1:Rút gọn các biểu thức sau:
a) A = a

b
a

b) b) B =

x  4(x  1)  x  4(x  1) 

1 
. x 1 
 , với x  1, x  2.
x 1 

x2  4(x  1)
Giải:

b
 0
a) Điều kiện xác đònh :  a
 a  0

A  a

b
b.a
ab
a
 a.
a
a
a2

 ab nếu a  0
Vậy A  
 ab nếu a  0
b) Ta có:
2



x  2 x 1  x  2 x 1  x 1 1
.

2
x  1 
x  4x  4



B 

 B

x  2 (x  1).1  x  2 (x  1).1  x  1  1 
.

 x 1 
(x  2)2
x 1 1

x  1  1 (x  2)
.
x2
x 1

B





 x 1 1 x 1 1
(x  2)

.
nếu x  2

x2
x 1

 x 1 1 x 1 1 x  2
.
nếu 1  x  2

(x  2)
x 1

2

nếu x  2

  x 1
 2
nếu 1  x  2






Ví dụ 2:Rút gọn biểu thức sau:

B=

a b

a2 b4

b2

a2  2ab  b2
Giải:

Điều kiện xác đònh : a  b  0  a  b
B 

ab
a2 b4
a  b a2 b 4

b2 a2  2ab  b2
b2 (a  b)2

Trang 11


Biên soạn : NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ
2
a  b ab

a  b a b2


.
b2 a  b
b2 a  b

Vậy B 

(a  b) a
a b

 a nếu a  b

.
  a nếu a  b

Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức sau:
 a  a2  b2 a  a2  b2
C  

 a  a2  b2 a  a2  b2




C =






 4 a4  a2 b2
:
, với a  b  0
2

b

Giải:
2
2
a  a2  b2  a  a2  b2  4 a2 a2  b2
:
b2

a  a2  b2 a  a2  b2


 




4a a2  b2
.
b2
4a

Vậy C  









b2

 a2  b2 

a  1 khi a > 0

.
a 1 khi a < 0

4) Rút gọn bằng cách bình phương biểu thức: Một biểu thức (A) khơng thể
rút gọn từng phần thì ta có thể tính A2 . Sau khi có được các giá trị của A2 thì
ta suy ra giá trị của A.
Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức: A  x  x2  1  x  x2  1 với x  1
Giải:
Nhận xét: A  0
Xét: A2  x  x2  1  x  x2  1  2 x  x2  1. x  x2  1

 A 2  2x  2



  x 1

x 

 A 2  2x  2 x2

x2  1 x  x2  1
2



2

 A 2  2x  2  2(x  1)  A   2(x  1)
 Vì A  0 nên A 

2(x  1)

Vậy A  2(x  1).
BÀI TẬP

Bài 1: Rút các biểu thức sau :
15  12
1
A=

5 2
2 3
2
2

B

2 1 1
2 1 1

Trang 12


Biên soạn : NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ

 5  2 5  5  3 5

C  
 2 


 2  5  3  5

4
12 
 15
D


 ( 6  11)
6 2 3 6 
 6 1

E
F

1
3 2 2 3
2  3 3 2 2 3
32 2

32 2



17  12 2

G

17  12 2

3 5



2 2  3 5

H

2 3

3 5
2 2  3 5

2 3



2  2 3

2  2 3

Bài 2: Ruùt caùc bieåu thöùc sau :

A = 6+ 2 22 32 6
B  18  4 6  8 3  4 2
C  6 + 2 5  29  12 5

D

5  3  29  12 5

E  62

2  12  18  128

F  2 4 62 5



10  2



G  ( 2  1)( 3  1)( 6  1)(5  2 2  3)

Bài 3 Ruùt caùc bieåu thöùc sau :
x(16  x ) 3  2 x 2  3 x
A 


, vôùi x  0, x  4
x4
2 x
x 2
 a 2
a  0
a  2 
4 
B  

,
vôù
i
  a 


a  2 
a
 a4
 a 2
2
 a 1
a  0
a 1

2 
C  

, vôùi 
  1 

a 1 a 1
 a1
 a 1
x2  x
x2  x
D

 x  1, vôùi x  0
x  x 1 x  x 1

2

 2 x
x  2  x x  x  x  1 
E  


 ,vôùi x  0

x

1
x


2
x

1
x



1 1
 a3  b3
 2 2
b
F
 ab  : a
1
1
 a b




a b

Trang 13


Biên soạn : NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ

Trang 14

Bài 4: Tính giá trò của đa thức :

P(x) = x5  4x 4  3x2  4x  3

x = 2 + 5

Bài 5: Cho biểu thức sau :
 x 3 x   x 3
x 2
9x 
P  1 


 : 
 , với x  0, x  4,x  9
x

9
2

x
3

x
x

x

6


 

a) Rút gọn P

b) Tìm x sao cho P  1.
Bài 6: (HSG lớp 9, Nam Định 2002-203) Rút gọn biểu thức sau:
3 5
3 5
A=

10  3  5
10  3  5
Bài 7:(HSG, lớp 9 TX Hà Đơng, Hà Tây 2002-2003) Rút gọn biểu thức sau:

A  a  b  c  2 ac  bc  a  b  c  2 ac  bc với a,b,c  0
Bài 8: (HSG, lớp 9 TX Hà Đơng, Hà Tây 2003-2004) Cho biểu thức sau:

x4 x4  x4 x4
8 16
1  2
x x
Rút gọn rồi tìm các giá trò nguyên của x để A có giá trò nguyên.
Bài 9:(HSG, lớp 9 TX Hà Đơng, Hà Tây 2003-2004): Rút gọn các biểu thức sau:
A

a) A  4  7  4  7  2
b) B = 6 + 2 2 3 

2  12  18  128

Bài 10: (HSG, lớp 9 TP Pleiku, Gia Lai 2003-2004): Rút gọn biểu thức sau:
A  x  2  2 x  3  x  1  4 x  3 , với 3  x  4

Bài 11: (HSG, lớp 9 TP Pleiku, Gia Lai 2003-2004): Chứng minh giá trị của biểu thức sau:
2x
5 x 1
x  10
M


không phụ thuộc vào giá trò của biến x.
x3 x 2 x4 x 3 x5 x 6
Bài 12: (HSG, lớp 9 TP Bình Thuận 2003-2004): Chứng minh rằng
A

2 3  5  13  48

là số nguyên.
6 2
Bài 13: (Vào lớp 10 chun Tốn Tin ĐHSP Hà Nội 2002-2003): Chứng minh đẳng thức
3
3
1
1
2
2

1
3
3

1 1
1 1
2
2
Bài 14: (Vào lớp 10 chun Tốn Tin ĐHSp Hà nội 2002-2003): Chứng minh rằng số

xo  2  2  3  6  3 2  3
là nghiệm của phương trình: x4  16x 2 + 32 = 0


Biên soạn : NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ

Trang 15

Bài 15: (Vào lớp 10 chun PTNK Trần Phú Hải Phòng 2003-2004):
Cho A =

xy
x2y4
, với x  y, y  0.
y2
x 2  2xy  y 2
2003

27
 27 
Rút gọn A. Tính giá trò của A khi x =
và y =  
7
 7 

Bài 16: (Vào lớp 10 chun Tốn Lê Q Đơn, Đà Nẵng 2003-2004): Thu gọn biểu thức:
2 3 6 84
P
2 3 4
Bài 17: (Vào lớp 10 chun Tốn Hà Nội Amsterdam 2003-2004): Cho biểu thức:
x2  x
2x  x 2(x  1)
P


x  x 1
x
x 1
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P?

2 x
nhận giá trị là số ngun.
P
Bài 18: (Vào lớp 10 chun PTNK Trần Phú Hải Phòng 2004-2005):
c) Tìm x để biểu thức Q 

2x  x 2  1
3x 2  4 x  1
1) Tìm tất cả các giá trò của x để P(x) xác đònh. Rút gọn P(x).
2) Chứng minh rằng nếu x >1 thì P(x).P(  x) < 0.
Bài 19: (Vào lớp 10 chun ĐHQG Hà Nội 2004-2005):
 2x x  x  x x  x 
x 1
x

Cho biểu thức M = 



x  1  2x  x  1 2 x  1
x x 1

1) Hãy tìm điều kiện của x để biểu thức M có nghóa, sau đó rút gọn M.
2) Với giá trò nào của x thì M đạt giá trò nhỏ nhất. Tìm giá trò nhỏ nhất đó của Mù.
Bài 20: (Vào lớp 10 PTNK TpHCM 2007-2008):
Cho biểu thức P(x) =


Cho biểu thức A =





x2  4  2 x  x  1

x2  4  2



x  2 x 1

x(x x  1)
Hãy tìm tất cả các giá trò của x để A  0 ?
Bài 21: (Vào lớp 10 PTNK TpHCM 2007-2008):

Cho (x + x 2 + 2007)(y + y 2 + 2007) = 2007. Tính S = x + y?
Bài 22: (Vào lớp 10 Chun các trường TpHCM 2006-2007): Rút gọn các biểu thức
sau:
A = (2 4 + 6  2 5 )( 10  2 )
2
 a 1
a 1  
2 
B = 

1

 
 , với a > 0 và a  1.
a

1
a

1
a

1




Bài 23: (Vào lớp 10 Chun các trường TpHCM 2006-2007): Rút gọn các biểu thức
sau:

15  12
1
A=

5 2
2 3


Biên soạn : NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ

 a 2
a  2 
4 
B = 

  a 
 , với a > 0 và a  4.
a  2 
a
 a 2
Bài 24: (Vào lớp 10 Chuyên Hà Nội Amsterdam 2005-2006)

Cho biểu thức: P =

x x 1 x x 1 x 1


x x x x
x

1) Rút gọn P.
2) Tìm x để P =

9
.
2

Bài 25: (Vào lớp 10 ĐH Vinh 2005-2006)

8  15
8  15

2
2
Bài 26: (Vào lớp 10 Chuyên tỉnh Hà Nam 2005-2006)
Rút gọn các biểu thức:
Rút gọn biểu thức: A =

2
6

b) Q = x + 1 + 2 x  x + 1  2 x
3 2 2
2
Bài 27: (Vào lớp 10 Chuyên Lê Khiết Quảng Ngãi 2005-2006)
a) P =

1) Thực hiện phép tính: ( 2 + 3) 2  6 +

999

111

1
1
2 x


2 x 2 x 4x
1
Rút gọn biểu thức A và tìm x để A = .
4
2) Cho biểu thức A =

Bài 28: (Vào lớp 10 Chuyên Lê Quý Đôn Quy Nhơn 2005-2006)

1
1
1
1

với a =
và b 
a 1 b 1
2 3
2 3
Bài 29: (Vào lớp 10 Chuyên Hà Nội Amsterdam 2004-2005)
Tính giá trò của biểu thức: A =

 x 1
x  1  1

x
Cho biểu thức: P = 




 x 1
2 
x  1 

 2 x
1) Rút gọn P.
P
2) Tìm x để
 2.
x
Bài 30: (Vào lớp 10 Quốc Học Huế 2004-2005)

2

b
ab  a2

a
a
1) Tìm điều kiện a, b để A được xác đònh.
2) Rút gọn A.
Bài 31: (Vào lớp 10 Chuyên Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2004-2005)
Cho biểu thức: A =

a) Cho biết A= 9 + 3 7 và B = 9  3 7. Hãy so sánh A + B và AB.

Trang 16


Biên soạn : NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ

1  5 5
 1
b) Tính giá trò của M = 

:
 3  5 3  5  5 1
Bài 32: (Vào lớp 10 Chuyên Lê Quý Đôn Quy Nhơn 2004-2005)


a 2
a  2  a 1
2
Chứng minh rằng: 



a 1
 a  2 a  1 a 1  a
Bài 33: (Vào lớp 10 Chuyên Lê Hồng Phong tp HCM 2003-2004)

1
3 2 2 3
.

2  3 3 2 2 3

a) Thu gọn biểu thức: A =

b) Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức: y = (x  1)  2 x  2 + x + 7  6 x  2
Bài 34: (Vào lớp 10 PTNK Trần Phú Hải Phòng 2003-2004)

2

Cho x =

1

1



2 1 1
2 1 1
Tính giá trò của biểu thức: A = (x 4  x3  x 2  2x  1)2003
Bài 35: (Vào lớp 10 Chuyên Trần Đại Nghóa tp HCM 2001-2002)
Thu gọn biểu thức: A = 6  2 2  12  18  8 2
Bài 36: (Vào lớp 10 Chuyên ĐH Sư Phạm HN 2009-2010)
Cho các biểu thức:

A  20a  92  a4  16a 2  64 ;
B  a4  20a3  102a2  40a  200.
1) Rút gọn A.
2) Tìm a để A+B = 0
Bài 37: (Vào lớp 10 Chuyên ĐH Sư Phạm HN 2009-2010)

Cho các số thực x, y thỏa mãn đẳng thức:

1 





1  x2 1  1  y 2  1

Chứng ming rằng: x + y = 0.
Bài 38: (Vào lớp 10 Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2009-2010)
Cho x=

42 3  3



52



3

17 5  38  2

.Tính P = (x2 + x + 1)2009 ?

Trang 17

Biên soạn : NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ

Trang 18

Bài 2: CĂN BẬC BA

I. Định nghĩa: Căn bậc ba của một số a là một số mà lập phương của nó bằng a. Kí hiệu căn bậc ba của a
là: 3 a . Ta có: 3 a  x  x 3  a .
II. Các tính chất của căn bậc ba:

1)

3

a3  a

2)

3

ab  3 a 3 b

3)

3

a

b

3

a

3

b
4) a  b  3 a  3 b.

Ví dụ 1: Tính:

a) 3 8  3 23  2;

3

8  3 (2)3  2

b) 3 162  3 48  3 6  3 33.6  3 23.6  3 6  3 3 6  2 3 6  3 6  0
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức sau:

A = 3 2 5  3 2 5
Dùng đẳng thức: (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
ta có: A3 =



3

3

2 5

 


3

 A3 = 2  5  2  5 + 3

3

2 5
3

 +3

3

2  5 .3 2  5



3

2 5  3 2 5



 2  5  2  5 .A

 A3 = 4  + 3 A 3 1
 A3  3A  4  0
 (A  1)(A 2  A  4)  0
 (A  1)(A 2  A  4)  0
Vậy A = 1.
Ví dụ 3: Giải phương trình: 3 x + 6  3 10  x  4

(* )
Giải:
Để rút gọn vế trái của (*) ta dùng đẳng thức: (a  b)3  a3  b3  3ab(a  b)
3
(*)  3 x + 6  3 10  x  43









 x  6  10  x  33 x + 6.3 10  x 3 x + 6  3 10  x  64
 16  33 x + 6.3 10  x.4  64 (do (* ))

 3 x + 6.3 10  x  4
 (x  6)(10  x)  43

 x2  4x  4  0
x2

Thử lại: thay x = 2 vào (*) thì thỏa.
Vậy x = 2 là nghiệm của phương trình.
BÀI T ẬP


Biên soạn : NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ

Trang 19

Bài 1: (Vào lớp 10 chuyên ĐH Vinh 2004-2005) Tính giá trò của biểu thức:

P = x3  y3  3(x  y)  2004. Biết rằng :

x = 3 3  2 2  3 3  2 2 ; y = 3 17  12 2  3 17  12 2
Bài 2:

1) Chứng minh rằng:
nếu (a  b  c)3  a3  b3  c3 thì a + b = 0 hoặc b + c = 0 hoặc c + a = 0
2) Chứng minh rằng:
nếu 3 x  3 y + 3 z  3 x  y  z thì

2n+1

x  2n+1 y +

2n+1

z  2n+1 x  y  z, n  

3) Giải phương trình: 3 3x  2  3 6  2x + 3 x  1  3 2x  9

Bài 3: Cho 2 số a, b thỏa b >

3

a2
.Chứng minh rằng:
4

4 2
4
(a  b)3 3 ab  a 2 b 2  (a 2  b)3
27
27

a
2
2

ab  a 2 b 2 

5 2 7  3 5 2 7
Bài 5: (Vào lớp 10 Quốc Học Huế 2002-2003)
Bài 4: Tính giá trò của: x =

3

Chứng minh rằng: 3 70  4901  3 70  4901 = 5
Bài 6: (Vào lớp 10 chuyên Lê Quý Đôn, Quy Nhơn 2004-2005)
Tính 3 20  14 2  3 20  14 2

Bài 3: BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA CĂN .
I. Các bất đẳng thức chứa căn:
1. Với a, b  0 : a  b  a  b
2.

A2  A  A  A. Dấu "  " xảy ra khi A  0.

ab
 ab. Dấu "  " xảy ra  a  b.
2
4. (Bất đẳng thức B.C.S): Với mọi a, b,x,y ta có :
3. (Bất đẳng thức Cô-si): Với a, b  0 :

ax  by  (a2  b2 )(x2  y2 ).
Dấu "  " xảy ra  ay  bx.


Biên soạn : NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ

Trang 20

Ví dụ1: Tìm miền xác định của các hàm số sau:
 
x x
x   x  1
2 

a) y 
b) y  2 : 1 


  . 
x 1
x  1 
  1  x    x  2
Giải:
x x
a) y 
x 1
Điều kiện xác đònh của hàm số là :
x  0
 x  0
 x  0


 x  1.

 x  1  0  x  1 x  1
x0

 x0


x  0
 x 2 > 0
 x 2



b) Điều kiện xác đònh của hàm số là :
 x  1 > 0   x >1  x  4  x  4



x  1

1
x
1 

0

0
 1  x
1  x
Ví dụ2: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a) A  x2  6x  9  x2  2x  1
b) B  x2  2y2  6x  4y  11  x2  3y2  2x  6y  4
c) C  x2  y2  4x  2y  5  x 2  y2  6x  2y  8
Giải:
a) A  x2  6x  9  x2  2x  1

 (x  3)2  (x  1)2
 x  3  x 1
 3  x  x  1  (3  x)  (x  1)  4.

 3 x  0
 x3
Gtnn của A là : A min  4  

 1  x  3
x  1  0 x  1

b) B  x2  2y2  6x  4y  11  x2  3y2  2x  6y  4

 (x 2  6x  9)  2(y2  2y  1)  (x2  2x  1)  3(y2  2y  1)
 (x  3)2  2(y  1)2  (x  1)2  3(y  1)2
 B  (x  3)2  (x  1)2 (do (y  1)2  0)
Mà theo ví dụ trên thì A  (x  3)2  (x  1)2  4.
 y 1  0
 y  1
Vậy gtnn(B)  4  

.
 1  x  3  1  x  3
c) C  x2  y2  4x  2y  5  x 2  y2  6x  2y  8


Biên soạn : NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ

Trang 21

 (x 2  4x  4)  (y2  2y  1)  (x2  6x  9)  (y 2  2y  1)
 (x  2)2  (y  1)2  (x  3)2  (y  1)2
 C  (x  2)2  (x  3)2  x  2  x  3  (2  x)  (x  3)  1
 x-2  0
 x2
 x2


Vậy gtnn(C)  1 khi  x -3  0   x  3  
y  1  0 y  -1 y  1




Ví dụ 3: Cho x,y,z  0. Chứng min h rằng : 3x  2y  4z  xy  3 yz  5 zx
Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô - si, ta có:
xy
xy 
2
yz
3(y  z)
yz 
 3 yz 
2
2
zx
5(z  x)
zx 
 5 zx 
2
2
Cộng vế theo vế (1),(2),(3), ta có:

(1)
(2)
(3)

xy  3 yz  5 zx  3x  2y  4z (đpcm)

2 ab


a b
Giải:

Ví dụ 4: Cho a, b  0, chứng min h rằng :

a b

2

Áp bất đảng thức Cô - si :
nên


Vậy

2

a b

2 ab

a b
2 ab
a b

ab

1
ab

ab



ab


ab

ab

ab

ab (đpcm)

Ví dụ 5: Cho a  c;b  c  0, chứng min h rằng :

Cách 1: (1) 

ab

c(a  c)



c(b  c)

ab
ab

Áp dụng bất đẳng thức Cô - si :
c (a  c) 1  c a  c 
.
  

b
a
2 b
a 

1

c(a  c)  c(b  c)  ab

Giải:
c (a  c)
bc c
.

. 1
b
a
b a

(1)


Biên soạn : NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ

bc c 1 bc c

.  
 
b a 2 b
a

và

c(a  c)
c(b  c) 1

 .2  1
ab
ab
2
 c(a  c)  c(b  c)  ab (đpcm).
Cách 2 : Áp dụng bất đẳng thức B.C.S :
Nên



c ac  c bc





Vậy



2

c(a  c)  c(b  c)

2
2
2
2
  c  b  c 
 a  c  c 






2

 ba

c(a  c)  c(b  c)  ab (đpcm).

Ví dụ 6: Tìm giá trò lớn nhất của hàm số : y  4sin x  3 cos x ?
Giải:

Áp dụng bất đảng thức B.C.S :
(4sin x  3 cos x)2  (42  32 )(sin 2 x  cos2 x)  25
 4 sin x  3cos x  5
Vậy y  4 sin x  3 cos x  4sin x  3 cos x  5 (đpcm).

BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA CĂN.
Bài 1: Cho n *

a)

n  1 n 

1
2 n

 n  n 1

1
1
1

 ... 
.
2
3
2025
Chứng min h rằng : 2( 2026  1)  S  90.
b) Cho tổng : S  1 

Bài 2: Cho A =

n 1
n 1
n 1


 ... 
.
n 1
n2
nn

Chứng min h rằng :

1 n
 A  n 1
2

Bài 3:
a) Chứng min h rằng :

n 1  n 1  1
1 
 


2n  1
2 n
n 1 

2 1
3 2
4 3
100  99



 ... 
1 2
23
3 4
99  100
9
Chứng min h rằng : A 
20
2k  1
2k  1

, k  *
Bài 4: a) Chứng min h rằng :
2k
2k  1
b) Cho A 

Trang 22


Biên soạn : NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ

Trang 23

1 3 5 7 2n  1
1
. . . ....

2 4 6 8
2n

2n  1
1
1 
 1
*
 2

Bài 5: a) Chứng min h rằng :
 , k  
(k  1) k
k 1 
 k
b) Chứng min h rằng : P 

b) Chứng min h rằng :

1
2 1
1



1
3 2

 ... 

1
(n  1) n

2

1
1
1
+
+
+...+
1 2
3 4
5 6
2n  1  2n
a) Chứng min h rằng : a  1  a  1  2 a

Bài 6: Cho A =

2n  1  1
2n
 A 
2
2
1
1 1
1 
 

Bài 7: a) Chứng min h rằng :

3 8
k2 

 k
k  k2
b) Chứng min h rằng :





b) Chứng min h rằng :
1
1
S1 

 ... 
3
3
1 3
3 5



S2 

 

1



2 4

3



1



 

4 6

3



1



 ... 

2023  2025



3



1



2114  2116

3



11
90



2
16

1
2

ab a  b
1
1
1
1


 .... 

 1,98
b) Chứng min h rằng :
1.99
2.98
1.99
99.1
Bài 9: Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức sau :
Bài 8: a) Chứng min h rằng :

y 

x 1 2 x  2  x  7  6 x  2
Bài 10: Tìm điều kiện xác đònh của biểu thức :

A = x 2  3x  2 + x + 3  2 x  2  3 x 2  2x  3
Bài 11: Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức sau :
1  4x  4x2  4x2  12x  9
Bài 12: Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức sau :
y 
y 

1  4x  4x2  4x2  12x  9

Bài 13: (Chun Lê Hồng Phong 2003-2004) Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức sau :

A 

3
2  2x  x2  7

Biên soạn : NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ

Trang 24

Bài 4: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN.

I.Các phương trình chứa căn cơ bản: Các phương trình chứa căn thường có các dạng cơ bản sau:

1)

 B 0
A B 
2
A  B

B  0 (hoặc A  0)
2) A  B  
AB

Chọn điều kiện B  0 hoặc A  0 sao cho đơn giản

 A  0,B  0
 A  0,B  0

3) A  B  C  

CAB
A  B  2 AB  C
 AB 

2

4) Phương trình chứa căn bậc ba:
3

f(x)  3 g(x)  3 h(x)

 f(x)  g(x)  3 3 f(x) 3 g(x)



3



f(x)  3 g(x)  h(x)

 f(x)  g(x)  3 3 f(x) 3 g(x) 3 h(x)  h(x)

Nên phương trình có dạng:

3

A  B  A  B3

Chú ý: giải ra nghiệm x phải thay vào phương trình để thử lại.
Ví dụ 1: Giải phương trình:

x2  6x + 6 = 2x  1.
Giải

2x  1  0


x 2  6x + 6 = 2x  1   2
2
x  6x + 6 = (2x  1)
1

x

1
2


x

 
  x  1  x  1
2
3x 2 + 2x  5 = 0

5
x  
3

Vậy x =1 là nghiệm của phương trình.
Ví dụ 2: Giải phương trình:

3x + 4  2x  1 = x+3.

Giải

x + 3  2x  1  3x + 4

x3 0

 
2x  1  0

 x  3  2 x  1  2 x + 3 2 x  1  3x  4