BÀI TẬP VÀ LỜI GIẢI VẬT LÝ THỐNG KÊ - THỐNG KÊ CỔ ĐIỂN

Hướng dẫn Bài tập Vật lý thống kê – Thống kê cổ điển
Bài 1. Dùng phân bố chính tắc Gibbs, thiết lập các phân bố sau đây (các dạng khác của
phân bố Maxwell) :
Xác suất để vận tốc của một hạt của hệ có các thành phần vận tốc ở trong khoảng :
( , ),( , ),( , )
x x y y z z
v v dx v v dy v v dz

Xác xuất để độ lớn vận tốc của một hạt của hệ nằm trong khoảng
( , )v v dv
.
Xác suất để động năng của một hạt của hệ có giá trị nằm trong khoảng
( , )d

Sử dụng các kết quả trên tính các giá trị trung bình sau :
a)
2
3
22
2
1
/
( ) ( )
n
n
n
kT
m
vn

b)
8kT
m
v

c)
2
8
3( ) ( )
kT
m
vv

d)
2
2 2 2 2
1
2
3
2
( ) ( )m v v kT

e) Vận tốc có xác suất lớn nhất :
2
0
kT
m
v

Hướng dẫn
 Xác suất để vận tốc của hạt có các thành phần ở trong khoảng đã cho là :
( ) ( , , )
i
mv
m
kT
ii
kT
dW v e dv i x y z
2
2
2

 Xác suất để độ lớn vận tốc của hạt nằm trong khoảng đã cho là :
()
mv
m
kT
kT
dW v e v dv
2
3
2
2
2
4

 Xác suất để động năng của hạt nằm trong khoảng đã cho là :
()

()
kT
dW e d
kT
3
2

a) Ta có
()
mv
n n n
m
kT
kT
v v dW v v e dv
2
3
2
2
2
00
4
.
Đặt
n
mv n
nx
kT
mv kT kT
x v e dv x e dx

kT m m
2
1
1
2
2
2
22
2
2
. Từ đó ta được :
n
nn
nx
n
kT kT
mm
v x e dx
1
3
2 2 2 2
2
22
2
0
.
Trong đó :
()
ax
a x e dx

1
0
là hàm Gamma.
b) Sử dụng kết quả câu a) khi
n 1
, ta có :
/
()
kT kT
mm
v
12
2 2 8
2

c) Ta có
( ) . ( ) ( )v v v v v v v v
2 2 2 2 2
2
. Theo câu b) ta đã có
kT
m
v
8
Áp dụng kết quả câu a) khi
n 2
, ta có
()
kT kT kT
m m m

v
2
3
2 2 5 2 2 3
24
. Từ
đó ta tìm được :
()
kT kT kT
m m m
vv
2
2
3 8 8
3

d) Ta có
.v v v v v v v v
2 2 2
2 2 4 2 2 2 4 2
2
. Áp dụng kết quả câu a) với
n 2
và
n 4
ta có :
()
kT kT
mm
v

2
2 2 5 3
2
và
()
kT kT
mm
v
22
4
7
22
2
15
. Từ đó ta tìm được :
kT kT
mm
m
m v v kT
2
2
2 2 2
2
22
1 3 3
22
15
4
.
e) Từ biểu thức của xác suất

()
mv
m
kT
kT
dW v v e dv
2
3
2
2
2
4
, ta thấy để xác xuất
()dW v
cực đại thì hàm
()
mv
m
kT
kT
f v v e
2
3
2
2
2
4
phải đạt cực đại.
Ta có :
()

mv mv
m mv m mv
kT kT
kT kT kT kT
f v v e ve
22
32
33
22
22
2 4 2
. Từ đó
suy ra :
( ) ,
kT
m
f v v v
2
00
. Lập bảng biến thiên của
()fv
:
v

0
kT
m
2

()fv

0 0 0

()fv

max
f

0 0

Từ đó ta thấy rằng
()fv
đạt cực đại khi
kT
m
v
2
, nói cách khác vận tốc có xác suất lớn
nhất là
kT
m
v
2
0
.
Chú ý : Trong các bài tập trên khi tính toán ta đã sử dụng một số tính chất sau của hàm
Gamma :
( ) ( ) ( ), ( ) ! ( )a a a a n n n1 1 1
và
( )=

1
2
. Khi
đó ta có :
( ) ! , ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3
5 3 3 3 3 1 3 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 4
2 1 1 1 1
và
( ) ( ) ( )=
7 15
5 5 5
2 2 2 2 4
1
.Trong các tập dưới đây, trong nhiều trường hợp ta sẽ
sử dụng công thức sau :
()
m ax
m
m
x e dx
a
1
0
1

Bài 2. Viết phân bố Gibbs cho các dao động tử điều hoà tuyến tính cổ điển và tính giá trị
trung bình của năng lượng của nó .
Hướng dẫn :

Hàm phân bố chính tắc Gibbs có dạng
( , )
( , )
H p q
kT
p q Ae
. Đối với dao động tử điều
hòa tuyến tính
qx
và
( , )
p
mx
m
H x p E
2
22
22
là năng lượng của dao động tử , do
đó phân bố Gibbs cho dao động tử điều hòa tuyến tính có dạng :
()
E
kT
E Ae
. Từ điều
kiện chuẩn hóa
()E dE
0
1
, ta có :

()
EE
kT kT
A e dE A kT e
0
0
11

.AkT 1
, hay
kT
A
1
. Do đó :
()
E
kT
kT
Ee
1
. Năng lượng trung bình :
()
E
kT
E E E dE Ee dE
kT
00
1
. Lấy tích phân từng phần ta được :
( . | ) . |

E E E E
kT kT kT kT
kT
E kT Ee kT e dE e d kT e kT
1
00
00

Bài 3. Thiết lập phương trình trạng thái của hệ khí lý tưởng đơn nguyên tử gồm
N

nguyên tử khí; Biết năng lượng và xung lượng của mỗi hạt khí liên hệ với nhau bởi hệ
thức :
cp

Hướng dẫn : Hàm Hamilton của hệ :
N
i
i
H cp
1
. Tích phân trạng thái của hệ :
()
!( ) !( )
i
cp
HN
kT kT
ii
NN

i
V
Z e d dr e dp
NN
33
1
11
22
(1)
Mặt khác :
()
i
V
dr V
là thể tích của hệ
i
cp
cp
kT kT
i
e dp e p dp
2
0
4
, sử dụng công thức
!
n ax
n
n
x e d x

a
1
0
ta tìm được :
i
cp
kT
kT
i
c
e dp
3
8
. Thay vào (1) ta được :

!( ) !( )
N
N
N N N
kT kT
cc
NN
i
Z V V V T
NN
33
3
33
1
11

88
22

Trong đó :
!( )
N
N
k
c
N
N
3
3
1
8
2
.
Gọi
P
là áp suất của hệ, ta có :
ln
ln ln ln
Z
NkT
V V V
T
P kT NkT V T3

Từ đó suy ra phương trình trạng thái của hệ là :
PV NkT

Chú ý : trong các bài tập thuộc loại này người ta có thể yêu cầu tính thêm các đại lượng
nhiệt động khác như : năng lượng tự do
F
, entropy
S
, nội năng
U
, nhiệt dung đẳng tích
V
C
, thế Gibbs , enthalpy
H
, nhiệt dung đẳng áp
P
C
. Lúc đó ta sẽ sử dụng các hệ thức
liên hệ giữa tích phân trạng thái
Z
và các đại lượng nhiệt động để tính. Chẳng hạn đối với
bài tập trên ta có :
ln ln ln lnF kT Z NkT V T3

ln
ln ln ln ln .
FZ
T T T
VV
S k Z kT Nk V T NkT
3

3

Hay
ln lnS S Nk V Nk T
0
3
với
lnS Nk Nk
0
3
.
ln
ln ln ln
Z
TT
V
U F TS kT NkT V T NkT
22
33

U
V
T
V
C Nk3

ln ln lnF PV NkT V T NkT3

H U PV NkT NkT NkT34

H
P
T
P
C Nk4

Bài 4. Thiết lập mối liên hệ giữa năng lượng, áp suất và thể tích của hệ khí lý tưởng đơn
nguyên tử gồm
N
nguyên tử . Biết rằng năng lượng và xung lượng của mỗi hạt liên hệ
với nhau bởi hệ thức :
3
( : )cp c const

Hướng dẫn : Hàm Hamilton của hệ :
N
i
i
H cp
3
1
. Tích phân trạng thái của hệ :
()
!( ) !( )
i
cp
HN
kT kT
ii
NN

i
V
Z e d dr e dp
NN
3
33
1
11
22
(1)
Mặt khác :
()
i
V
dr V
là thể tích của hệ
|
i
cp
cp cp
kT kT kT
i
kT kT
e dp e p dp e
cc
3
33
2
0
0

4
44
33
. Thay vào (1) ta được :

!( ) !( )
N
N
N N N
kT kT
cc
NN
i
Z V V V T
NN
33
33
1
11
44
22

Trong đó :
!( )
N
N
k
c
N
N

3
3
1
4
2
. Gọi
P
là áp suất của hệ, ta lại có :
ln
ln ln ln
Z
NkT
V V V
T
P kT NkT V T
(1)
Năng lượng của hệ
ln
ln ln ln
Z
TT
V
U kT NkT V T NkT
22
(2)
Từ (1) và (2) ta có ngay :
U PV
.
Các đại lượng nhiệt động khác :
ln ln ln lnF kT Z NkT V T

ln
ln ln ln ln .
FZ
T T T
VV
S k Z kT Nk V T NkT
1

Hay
ln lnS S Nk V Nk T
0
với
lnS Nk Nk
0
.
U
V
T
V
C Nk
;
ln ln lnF PV NkT V T NkT

H U PV NkT NkT NkT2
;
H
P
T
P

C Nk2

Bài 5. Thiết lập phương trình trạng thái của hệ khí lý tưởng đơn nguyên tử gồm
N
nguyên
tử.Biết năng lượng và xung lượng của mỗi hạt khí đó liên hệ với nhau bởi hệ thức
4
cp

Hướng dẫn : Hàm Hamilton của hệ :
N
i
i
H cp
4
1
. Tích phân trạng thái của hệ :
()
!( ) !( )
i
cp
HN
kT kT
ii
NN
i
V
Z e d dr e dp
NN
4

33
1
11
22
(1)
Mặt khác :
()
i
V
dr V
là thể tích của hệ
i
cp
cp
kT kT
i
e dp e p dp
4
4
2
0
4
. Đặt :
//
//
cp
kT kT
kT c c
x p x p dp x dx
4

1 4 3 4
1 4 2 1 4
1
4

Do đó :
//
/
()
i
cp
x
kT kT
kT
i
cc
e dp x e dx
4
3 4 3 4
14
3
4
0
.Thay vào (1) ta được :
//
/
( ) ( )
!( ) !( )
N
N

N N N
kT kT
cc
NN
i
Z V V V T
NN
3 4 3 4
34
33
44
33
1
11
22

Trong đó :
/
()
!( )
N
N
k
c
N
N
34
3
4
3

1
2
.
Gọi
P
là áp suất của hệ, ta có :
ln
ln ln ln
Z
NkT
V V V
T
P kT NkT V T
3
4

Từ đó suy ra phương trình trạng thái của hệ là :
PV NkT

Các đại lượng nhiệt động khác :
ln ln ln lnF kT Z NkT V T
3
4

ln
ln ln ln ln .
FZ
T T T
VV
S k Z kT Nk V T NkT

33
44

Hay
ln lnS S Nk V Nk T
0
với
lnS Nk Nk
3
0
4
.
ln
ln ln ln
Z
TT
V
U F TS kT NkT V T NkT
22
33
44

U
V
T
V
C Nk
3
4
;

ln ln lnF PV NkT V T NkT
3
4

H U PV NkT NkT NkT
7
3
44
;
H
P
T
P
C Nk
7
4

Bài 6. Xác định năng lượng và áp suất của khí lý tưởng gồm
N
hạt chứa trong bình có
thể tích
V
, biết rằng năng lượng của mỗi hạt phụ thuộc vào xung lượng của chúng theo hệ
thức :
0 ( , )ap a

Hướng dẫn : Hàm Hamilton của hệ :
N
i
i

H ap
1
. Tích phân trạng thái của hệ :
()
!( ) !( )
i
ap
HN
kT kT
ii
NN
i
V
Z e d dr e dp
NN
33
1
11
22
(1)
Mặt khác :
()
i
V
dr V
là thể tích của hệ
i
ap
ap
kT kT

i
e dp e p dp
2
0
4
. Đặt :
//
/
ap
kT kT
kT a a
x p x p dp x dx
3
1
13
12
1

Do đó :
//
()
i
ap
x
kT kT
kT
i
aa
e dp x e dx
3

1
33
3
0
44
.Thay vào (1) ta được :
//
/
( ) ( )
!( ) !( )
N
N
N N N
kT kT
ca
NN
i
Z V V V T
NN
3 4 3
3
4
33
4
33
1
11
22

Trong đó :

/
()
!( )
N
N
k
a
N
N
3
4
3
3
1
2
.
Gọi
P
là áp suất của hệ, ta lại có :
ln
ln ln ln
Z
NkT
V V V
T
P kT NkT V T
3

Năng lượng của hệ :
ln

ln ln ln
Z
TT
V
U kT NkT V T NkT
22
33

Các đại lượng nhiệt động khác :
ln ln ln lnF kT Z NkT V T
3

ln
ln ln ln ln .
FZ
T T T
VV
S k Z kT Nk V T NkT
33

Hay :
ln lnS S Nk V Nk T
0
với
lnS Nk Nk
3
0
.
U
V

T
V
C Nk
3
;
ln ln lnF PV NkT V T NkT
3

H U PV NkT NkT NkT
33
1
;
H
P
T
P
C Nk
3
1

Bài 7. Tìm năng lượng tự do, nội năng và nhiệt dung của một cột khí lý tưởng có chiều
cao
h
, diện tích đáy ở trong trọng trường ở nhiệt độ
T
,biết rằng số hạt khí là
N
.
Hướng dẫn : Hàm Hamilton của hệ
i

N
p
i
m
i
H mgz
2
2
1
. Tích phân trạng thái của hệ :
()
!( ) !( )
ii
mgz p
HN
kT kT mkT
ii
NN
i
V
Z e d e dr e dp
NN
2
2
33
1
11
22
(1)
Mặt khác :

( ) ( )
( ) | ( )
i
mgh
kT
h
mgz
mgz mgz
kT kT
kT kT kT
i
mg mg
V
e dr dxdy e dz e e
0
0
1

/
()
i
p
p
mkT mkT
i
e dp p e dp mkT
2
2
2 3 2
22

0
42
. Thay vào (1) ta được :

/
[ ( )( ) ]
!( )
N mgh
kT
N
i
kT
Z e mkT
mg
N
32
3
1
1
12
2

//
[ ( )( ) ] ( )
!( )
mgh mgh
N N N N
kT kT
N
kT

e mkT T e
mg
N
3 2 5 2
3
1
1 2 1
2

Trong đó :
/
!( )
N
N
N
k
mk
mg
N
32
3
1
2
2
. Từ đó ta tìm được :
Năng lượng tự do :
ln [ ln ln( ) ln ]
mgh
kT
F kT Z NkT T e

5
2
1

Nội năng :
ln
[ ln ln( ) ln ]=
mgh
Z
kT
TT
V
U kT NkT T e
22
5
2
1


=
mgh
kT
mgh mgh
kT kT
mgh Nmgh
e
kT
ee
NkT NkT
T

2
2
11
55
22

 Nhiệt dung :
()
mgh
mgh
kT
kT
mgh mgh
kT kT
e
Nmgh
U
V
TT
V
ee
C NkT Nk Nmgh
2
2
11
55
22

Hay :
()

mgh mgh
kT kT
mgh mgh
mgh
kT kT
kT
V
sh
ee
C Nk Nk
22
2
2
2
22
2
55
22

Bài 8. Trong bình hình lập phương cạnh
L
có chứa
N
phân tử khí lý tưởng ở nhiệt độ
T
.
Bình khí được đặt trong trọng trường. Tìm áp suất tác dụng lên mặt trên của bình
Hướng dẫn : Hàm Hamilton của hệ
i
N

p
i
m
i
H mgz
2
2
1
. Tích phân trạng thái của hệ :
()
!( ) !( )
ii
mgz p
HN
kT kT mkT
ii
NN
i
V
Z e d e dr e dp
NN
2
2
33
1
11
22
(1)
Mặt khác :
()

( ) |
i
mgL
kT
L L L
mgz
mgz mgz
L
kT kT
kT kT kT
i
mg mg
V
e dr dx dy e dz L e L e
22
0
0 0 0
1

/
()
i
p
p
mkT mkT
i
e dp p e dp mkT
2
2
2 3 2

22
0
42
. Thay vào (1) ta được :

/
[ ( )( ) ]
!( )
N mgL
kT
N
i
kT
Z L e mkT
mg
N
2 3 2
3
1
1
12
2


//
[ ( )( ) ] ( )
!( )
mgL mgL
N N N N N
kT kT

N
kT
L e mkT L T e
mg
N
2 3 2 2 5 2
3
1
1 2 1
2

Trong đó :
/
[]
!( )
NN
k
mg
N
mk
N
32
3
1
2
2
. Áp suất tác dụng lên mặt trên của bình
là :
ln lnZZ
dL

V L dV
TT
P kT kT
. Vì
VL
3
nên :
dL
dV
L
dV L dL
2
2
1
3
3
.
Từ đó ta có :
[ ln ln ln( ) ln ] [ + ]=
mgL
mg
mgL
kT
kT
NkT NkT
kT
LL
mgL
LL
kT

e
P L T e
e
22
52
2
33
21
1


( / )
[ + ]= [ + ]
mgL mgL
kT kT
mgL kT
mg
NkT NkT
L kT V
L
ee
2
2 1 2 1
33
3
11
(với
VL
3
)

Bài 9. Hỗn hợp hai khí lý tưởng gồm
1
N
hạt khối lượng
1
m
và
2
N
hạt khối lượng
2
m
chứa
trong một bình hình trụ có chiều cao
h
và điện tích đáy . Bình khí được đặt trong trọng
trường với gia tốc
g
. Tìm áp suất đặt lên mặt trên của bình và vị trí của khối tâm .
Hướng dẫn : Gọi
j
Z
là tích phân trạng thái của hạt loại
( , )jj 12
, ta có :

()
!( ) !( )
i
j j i

j
j
jj
p
H m gz
N
m kT
kT kT
j j i i
NN
i
V
jj
Z e d e dr e dp
NN
2
2
33
1
11
22

Mặt khác :
( ) ( )
( ) | ( )
j i j j m gh
j
kT
jj
h

m gz m gz m gz
h
kT kT
kT kT kT
i
m g m g
V
e dr dxdy e dz e e
0
0
1

/
()
i
jj
p
p
m kT m kT
ij
e dp p e dp m kT
2
2
22
2 3 2
0
42
. Thay vào (1) ta được :

/

[ ( )( ) ]
!( )
j
j
j
j
m gh
N
kT
kT
jj
mg
N
i
j
Z e m kT
N
32
3
1
1
12
2


/
/
[ ( )( ) ] ( )
!( )
jj

j
j j j
j
j
m gh m gh
N
N N N
kT
kT kT
jj
mg
N
j
e m kT T e
N
52
32
3
1
1 2 1
2

Trong đó :
/
[]
!( )
j
j
j
j

N
N
k
jj
mg
N
j
mk
N
32
3
1
2
2
.Tích phân trạng thái của hệ là :
j
j
ZZ
2
1
. Do đó áp suất tác dụng lên mặt trên của bình là :
ln ln
ln
jj
ZZ
Z
dh
V V h dV
T
TT

jj
P kT kT kT
22
11
.
Vì thể tích của hình trụ là :
Vh
nên
dh
dV
1
. Từ đó ta tìm được :
[ ln ln( ) ln ]
m gh
j
j
kT
jj
m gh
j
kT
m gh
N m g
kT kT e
kT
jj
h kT
jj
e
P N T e

22
5
2
11
1
1

Hay :
jj
m gh
j
kT
N m g
j
e
P
2
1
1
1

 Nội năng của hệ :
ln
ln
j
Z
Z
TT
V
V

j
U kT kT
2
22
1

= [ ln ln( ) ln ] [ ]
m gh
j
j
kT
j
m gh
j
kT
m gh
m gh
e
kT
j j j
TT
kT
jj
e
kT N T e kT N
2
22
22
55
22

11
1
1

Hay :
()
jj
m gh
j
kT
N m gh
j
j
e
U N kT
2
5
2
1
1
. Gọi
d
E
là động năng trung bình của hệ, theo định lý
phân bố đều động năng ta có :
()
dj
j
E N N kT N kT
2

33
12
22
1
. Từ đó suy ra thế
năng trung bình của hệ là :

()
jj
m gh
j
kT
N m gh
t d j
j
e
E U E N kT
2
1
1
(2)
 Nếu gọi
c
z
là tọa độ của khối tâm, ta có :
tc
E Mgz
(3) , với
M N m N m
1 1 2 2

là khối lượng của hệ. Từ (2) và (3) ta tìm được :
()
( ) ( )
jj
m gh
j
kT
N m gh
tt
cj
j
e
EE
z N kT
Mg N m N m g N m N m g
2
1 1 2 2 1 1 2 2
1
1
1

Bài 10. Biết rằng động năng của chuyển động quay của phân tử 2 nguyên tử đối với khối
tâm của chúng bằng :
sin
()
p
q
I
p

2
2
2
1
2
ở đây
I
là moment quán tính đối với khối
tâm phân tử còn
,pp
là xung lượng suy rộng ứng với các tọa độ cầu
,
. Hãy tính :
tổng thống kê, entropy, nhiệt dung ứng với chuyển động quay của phân tử hai nguyên tử
Hướng dẫn : Tích phân trạng thái của chuyển động quay là :
q
kT
q
Z e d
, trong đó :
( , , , <+ )d d d dp dp p p0 0 2
. Từ đó ta có :
sin
p
p
IkT I kT
q
Z d d e dp e dp
2
2

2
2
22
00
. Sử dụng tích phân Poisson :
ax
e dx
a
2
, ta được :

p
IkT
e dp IkT
2
2
2
và
sin
sin sin
p
I kT
e dp I kT IkT
2
2
2
2
22
. Thay vào biểu thức của
q

Z
ta
có :
( ) sin
q
Z IkT d d IkT
2
2
00
28
.
 Entropy của hệ :

ln
ln ln( ) ln( )
= ln (8 ) ln( ) ln [ln( ) ]
q
Z
q
TT
V
T
S k Z kT k IkT kT IkT
k IkT kT k IkT k k T k Ik
22
2 2 2
1
88
8 8 1

 Nhiệt dung :
{ ln [ ln( ) ]} .
S
k
V
T T T
V
C T T k T k Ik T k
2
81

Bài 11. Cho một khí lý tưởng ở trong hình trụ bán kính đáy
R
, chiều cao
h
. Biết rằng hình
trụ quay quanh trục của nó với vận tốc góc .
a) Xác định áp suất của khí tác dụng lên thành bình.
b)Tìm nội năng của khí.
Hướng dẫn : Khi hình trụ trụ quay quanh trục với vận tốc góc , các hạt khí trong hình
trụ sẽ quay theo với vận tốc góc . Gọi
r
là khoảng cách từ hạt khí tới trục hình trụ, lực
ly tâm tác dụng lên hạt là :
lt
f m r
2
. Lực này liên kết với thế năng ly tâm
()
lt

ur
theo
hệ thức :
()
lt
mr
lt lt lt lt
du
f du f dr m rdr u r
dr
22
2
2
.Từ đó suy
ra, hàm Hamilton của hệ là :
[ ( )] ( )
i i i
NN
p p m r
lt i
mm
ii
H u r
2 2 2 2
2 2 2
11
.
 Tích phân trạng thái của hệ :
!( ) !( )
ii

NN
m r p
HN
kT kT mkT
ii
NN
i
V
Z e d e dr e dp
2 2 2
33
11
22
22
1

 Sử dụng hệ tọa độ trụ
( , , )rz
, ta có :
| ( )
i
hR
mr
m r m r m R
R
hkT
kT
kT kT kT kT
i
mm

V
e dr d dz e rdr h e e
22
2 2 2 2 2 2
22
2
2
2 2 2 2
0
0 0 0
21


/
()
i
p
p
mkT mkT
i
e dp p e dp mkT
2
2
2 3 2
22
0
42

 Thay vào biểu thức của
Z

ta nhận được :
//
!( )
[ ( )( ) ] ( )
N
N m R m R
N N N
hkT
kT kT
Nm
i
Z e mkT T e
2 2 2 2
32
3 2 5 2
2
1
22
2
1
1 2 1

trong đó :
/
!( )
[ ( ) ]
N
NN
kh
Nm

mk
32
32
2
1
2
2
.
a) Áp suất tác dụng lên thành bình :
ln lnZZ
dR
V R dV
TT
P kT kT
.
Vì
V R h
2
nên
dR
dV hR
dV hRdR
1
2
2
. Do đó :
ln
[ ln ln( ) ln ]
mR
kT

mR
kT
mR
mR
e
Z
kT NkT NkT kT
kT
Rh R Rh R Rh
T
e
P T e
22
2
22
2
22
2
5
2
2 2 2 2
1
1

Hay :
( / )
mR
kT
m R kT
NkT

V
e
P
22
22
2
2
1

b) Nội năng của khí :
ln
[ ln ln( ) ln ]
mR
kT
Z
TT
V
U kT NkT T e
22
2
22
5
2
1

[]
mR
kT
mR
kT

mR
e
kT
T
e
NkT
22
22
2
2
22
2
2
52
2
1

, hay :
/
mR
kT
Nm R
e
U NkT
22
22
2
2
5
2

1

Bài 12. Tìm khối tâm của một cột khí lý tưởng nằm trong trọng trường đều, biết rằng gia
tốc trọng trường là
g
, khối lượng một phân tử là
m
và nhiệt độ là
T
.
Hướng dẫn. Gọi
N
là số hạt của hệ , thế năng của hệ là :
N
ti
i
E mgz
1
. Từ đó suy ra
N
ti
i
E mgz
1
(1) . Nếu gọi
c
z
là tọa độ khối tâm của hệ, ta lại có :
tc
E Mgz

(2),
trong đó
M Nm
là khối lượng của hệ. Từ (1) và (2) ta được :
N
ci
i
z mgz
Nmg
1
1
(3)
Để tính
i
z
ta sử dụng hàm phân bố Boltzmann trong trường lực. Biểu thức của hàm phân
bố Boltzmann có dạng :
()
mgz
kT
z Be
. Từ điều kiện chuẩn hóa:
()z dz
0
1
, ta có :
( ) |
mgz mgz
mg
kT kT

kT kT
mg mg kT
B e dz B e B B
0
0
1
.
Do đó :
()
mgz
mg
kT
kT
ze
. Từ đó ta tìm được :
( ) ( | )
mgz mgz mgz
mg mg
kT kT
kT kT kT
i i i i
kT kT mg mg
z z z dz ze dz ze e dz
0
0 0 0


|
mgz
kT kT

kT
mg mg
e
0
. Thay giá trị này vào (3) ta có :
c
kT
z
mg
.
Bài 13. Khảo sát hệ gồm N dao động tử tuyến tính cổ điển với khối lượng
m
và tần số .
Hãy tính tích phân trạng thái của hệ, từ đó xác định sự phụ thuộc nhiệt độ của nội năng và
nhiệt dung của hệ.
Hướng dẫn. Hàm Hamilton của hệ là :
()
N
i
p m x
H
m
2 2 2
1
22
. Tích phân trạng thái :
!( )
N
N m x p
kT mkT

N
i
Z e dx e dp
2 2 2
1
22
2
1
. Sử dụng tích phân Poisson :
ax
e dx
a
2
, ta được :
mx
kT
kT
e dx
m
22
2
2
2
và
p
mkT
e dx mkT
2
2
2

Từ đó suy ra :
!( ) !( )
[ ] .
NN
N
N
NN
kT kT
N m N
i
Z mkT T
2
22
11
22
1
2

Với
!( )
N
N
N
k
N
2
1
2

 Nội năng :
ln
(ln ln )
Z
TT
V
U kT NkT T NkT
22

 Nhiệt dung :
U
V
T
V
C Nk

Bài 17. Sử dụng định lý phân bố đều động năng theo các bậc tự do và định lý virial dưới
dạng:
ii
HH
ii
qq
qp
, tính năng lượng trung bình của dao động tử điều hoà tuyến tính.
Hướng dẫn . Hàm Hamilton của dao động tử là :
p
mx
m
HE
2

22
22
. Do đó, năng
lượng trung bình của dao động tử là :
p
mx
m
EH
2
22
22
(1). Theo định lý phân bố
đều động năng ta có :
p
H
kT
mp
p
2
1
2 2 2
(2). Vì
lim
mx
x
22
2
nên
lim
x

H
. Do đó theo định lý virial, ta có :
H
kT
x
x
1
22
. Từ biểu thức của
H
, ta
lại có :
HH
m x m x kT
xx
xx
2 2 2 2
11
2 2 2 2 2
(3). Thay (2), (3) vào (1) ta tìm được :
kT kT
E kT
22

Bài 18. Sử dụng định lý virial, tính năng lượng trung bình của dao động tử có thế năng.
()u x kx
4
.
Hướng dẫn: Hàm hamilton của dao động tử :
p

m
H kx E
2
4
2
. Do đó, năng lượng
trung bình là :
p
m
E kx
2
4
2
(1). Theo định lý phân bố đều động năng ta có :
p
H
kT
mp
p
2
1
2 2 2
(2). Vì
lim
x
kx
4
nên
lim
x

H
. Do đó theo định lý
virial, ta có :
H
kT
x
x
1
22
. Từ biểu thức của
H
, ta lại có :
.
H
x
x x kx kx
34
11
22
42
.
Từ đó suy ra :
H
kT kT
x
x kx kx
44
1
2 2 4
2

(3). Thay (2), (3) vào (1) ta tìm được :
kT kT kT
E
3
2 4 4

Bài 19. Sử dụng định lý virial, tính năng lượng trung bình của hạt chuyển động trong
trường lực có thế năng
2
()
n
U q q
(
n
: số tự nhiên, : hằng số dương).
Hướng dẫn: Hàm hamilton của hạt :
p
n
m
H q E
2
2
2
. Do đó, năng lượng trung
bình là :
p
n
m
Eq
2

2
2
(1). Theo định lý phân bố đều động năng ta có :
p
H
kT
mp
p
2
1
2 2 2
(2). Vì
lim
n
q
q
2
nên
lim
x
H
. Do đó theo định lý
virial, ta có :
H
kT
q
q
1
22
. Từ biểu thức của

H
, tacó :
.
nn
H
q
q q n q n q
2 1 2
11
22
2
.
Từ đó suy ra :
nn
H
kT kT
qn
q n q q
22
1
2 2 2
(3). Thay (2), (3) vào (1) ta được :
kT kT kT
nn
E
1
2 2 2
1

Bài 20. Chứng minh các hệ thức sau :

a)
ii
HF
qq
F kT
( khi )
i
Hq

Hướng dẫn : Từ định nghĩa của giá trị trung bình trong phân bố chính tắc, ta có :
( ) ( )
( , )
H
kT
i i i
s
H H H
jj
q q Z q
j
F F q p d F e dq dp
1
1


[]
i
sH
H
kT

j j i
Zq
j j i
dp dq F e dq
1
1
(1)
Lấy tích phân từng phần ta có :

i
ii
i
H H H
q
HF
kT kT kT
ii
qq
q
F e dq kT F e kT e dq

Vì
lim
i
q
H
nên
lim .
i
H

kT
q
Fe 0

i
i
H
q
kT
q
kT F e 0
. Do đó :
ii
HH
HF
kT kT
ii
qq
F e dq kT e dq
(2). Thay (2) vào (1) ta được :
()
[ ] ( , )
i i i i
sH
H F F F
kT
j j i
q Z q q q
j j i
F dp dq kT e dq kT q p d kT

1
1

b)
ii
HF
pp
F kT

Hướng dẫn : Từ định nghĩa của giá trị trung bình trong phân bố chính tắc, ta có :
( ) ( )
( , )
H
kT
i i i
s
H H H
jj
p p Z p
j
F F q p d F e dq dp
1
1


[]
i
sH
H
kT

j j i
Zp
j j i
dq dp F e dp
1
1
(1)
Lấy tích phân từng phần ta có :

i
ii
i
H H H
p
HF
kT kT kT
ii
pp
p
F e dp kT F e kT e dp

Vì
lim
i
p
H
nên
lim .
i
H

kT
p
Fe 0

i
i
H
p
kT
p
kT F e 0
. Do đó :
ii
HH
HF
kT kT
ii
pp
F e dp kT e dp
(2). Thay (2) vào (1) ta được :
()
[ ] ( , )
i i i i
sH
H F F F
kT
j j i
p Z p p p
j j i
F dq dp kT e dp kT q p d kT

1
1



Hướng dẫn Bài tập Vật lý thống kê – thống kê lượng tử .
Bài 1. Khảo sát hệ N dao động tử điều hòa tuyến tính độc lập
a) Tính năng lượng tự do và entropy của
N
dao động tử điều hoà tuyến tính độc lập.
b) Tính năng lượng trung bình, nhiệt dung của
N
dao động tử điều hoà tuyến tính độc lập.
Hướng dẫn : Gọi
Z
là tổng thống kê của hệ, ta có :
N
ZZ
1
, trong đó
n
kT
n
Ze
1
0

là tổng thống kê của một dao động tử. Vì phổ năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến
tính là :
( ) ( , , , )

n
nn
1
2
0 1 2
nên, ta có :
()
sh( )
kT
kT kT kT
nn
kT kT kT kT
nn
e e e
Z e e e e
1
2
2
22
1 1 1
22
1
2
00
1

Từ đó ta nhận được :
sh( )
[]
N

kT
Z
1
2
2
.
a) Năng lượng tự do của dao động tử là :
ln ln[ sh( )]
kT
F kT Z NkT
2
2

Entropy của dao động tử :
ch( )
sh( )
ln sh( ) ln sh( )
kT
kT
F
T T kT kT
V
kT
S NkT Nk NkT
2
2
2
2
2
22

hay :
ln sh( ) coth( )
kT kT kT
S Nk Nk
22
2

b) Năng lượng trung bình :
= coth
N
kT
E F TS
22

Nhiệt dung
sh( ) sh( )
coth( ) .( ).
kT kT
E
NN
V
T T kT kT
V
kT
C Nk
2 2 2
22
2
11
2 2 2 2

2

Bài 2. Tính năng lượng trung bình và nhiệt dung của hệ
N
dao động tử điều hoà hai chiều
độc lập có các mức năng lượng
1()
n
n
suy biến bội
1()
n
gn
.
Hướng dẫn : Gọi
Z
là tổng thống kê của hệ, ta có :
N
ZZ
1
, trong đó
()
n
kT
n
n
Z g e
1
0
là tổng thống kê của một dao động tử. Vì phổ năng lượng của dao

động tử điều hòa hai chiều là :
( ) ( , )
n
nn1 0 1
có bội suy biến
()
n
gn1

nên, ta có :
()
sh( )
( ) [ ]
kT
kT
n
n
Z n e
2
1
2
1
1
2
0
1
Từ đó ta nhận được :
sh( )
[]
kT

N
Z
2
2
1
2
.
 Năng lượng trung bình của hệ :

ch( )
ln
sh( )
ln[ sh( )]=
kT
kT
Z
T T kT
V
kT
E kT NkT NkT
2
2
2
2 2 2
2
2
2 2 2

Hay :
coth

kT
EN
2

 Nhiệt dung :
sh sh
coth
kT kT
E
V
T T kT kT
V
kT
C N N Nk
2 2 2
22
2
11
22
2
2

Bài 3. Tính tổng thống kê và năng lượng trung bình của dao động tử 3 chiều mà các mức
năng lượng
3
2
n
n
suy biến bội
12

2
( )( )
()
nn
n
g

Hướng dẫn : Gọi
Z
là tổng thống kê của hệ, ta có :
N
ZZ
1
, với
()
n
kT
n
n
Z g e
1
0
là
tổng thống kê của một dao động tử. Vì phổ năng lượng của dao động tử điều hòa hai chiều
là:
( ) ( , )
n
nn
3
2

01
có bội suy biến
( )( )
()
nn
n
g
12
2
nên, ta có :
()
( )( )
sh( )
[]
n
nn
kT
n
kT
Ze
3
2
12
3
1
1
2
2
0
2

Từ đó ta tìm được :
sh( )
[]
kT
N
Z
2
3
1
2
.
 Năng lượng trung bình của hệ :

ch( )
ln
sh( )
ln[ sh( )]=
kT
kT
Z
T T kT
V
kT
E kT NkT NkT
2
2
2
2 2 2
2
2

3 2 3

Hay :
coth
N
kT
E
3
22

 Nhiệt dung :
sh sh
coth
kT kT
E
NN
V
T T kT kT
V
kT
C Nk
2 2 2
22
2
3 3 1 1
2 2 2 2
2
3

Bài 4. Xác định năng lượng trung bình của hạt có các mức năng lượng không suy biến :
0 1 1 ( : ; , , , )const n
.
Hướng dẫn . Tổng thống kê của hạt
n
kT
kT
nn
e
kT kT
e
Z e e
11
1
1
00
1
.
Năng lương trung bình :
ln
[ln( ) ln( )]
n
Z
kT kT
TT
E kT kT e e
1
22
11

[]
n
kT kT
nn
kT kT kT kT
n
ee
n
kT kT
e e e e
kT
22
2
1 1 1 1
Bài 5. Nếu hạt có spin 1/2 đặt trong từ trường
H
thì các mức năng lượng của nó tách làm
2 :
H
và
H
tương ứng với các moment từ - và + song song hay đối song với từ
trường
H
. Giả sử hệ gồm
N
hạt như thế được đặt trong từ trường
H
ở nhiệt độ

T
. Sử
dụng phân bố chính tắc Gibbs , xác định nội năng, nhiệt dung, moment từ của hệ.
Hướng dẫn : Gọi
Z
là tổng thống kê của hệ, ta có :
N
ZZ
1
, trong đó
n
kT
n
Ze
1

là tổng thống kê của một hạt. Vì hạt chỉ có hai mức năng lượng là
, HH
12

nên :
ch
HH
H
kT kT
kT
Z e e
1
2
. Do đó tổng thống kê của hệ là

[2ch( )]
H
N
kT
Z

 Năng lượng của hệ :
sh
ln
ch
ln[ ch( )]= ( ) .th
H
kT
H
kT
H H H
Z
T T kT kT
V
kT
E kT NkT NkT N H
2
2 2 2
2

 Nhiệt dung của hệ :
ch ch
.( )
HH
kT kT

HH
E
V
T kT
V
kT
C N H Nk
2 2 2
2
11

 Moment từ trung bình của hệ :
z
N
, trong đó
z
là moment từ trung bình cho một
hạt. Mặt khác, xác suất để hạt ở trạng thái với moment từ bằng
i
là
()
i
H
kT
i
We
Z
1
1
.

Do đó momen từ trung bình của một hạt là :
()
z i i
i
W
. Vì moment từ của một
hạt chỉ có thể nhân 2 giá trị bằng và nên :
sh( )
ch( ) ch( )
( ) ( ) .th( )
HH
H
kT kT
kT
HH
kT kT
e e H
z
kT
WW
2

Từ đó ta nhận được moment từ trung binh của hệ là :
.th( )
H
kT
N