Luận văn:Điều kiện cực trị cho bào toán biến phân và điều khiển tối ưu không trơn docx

Bộ giáo dục và đào tạo
Tr-ờng Đại học Quy nhơn
Lê Đình Trọng
Điều kiện cực trị cho bài toán biến phân
và điều khiển tối -u không trơn
Luận văn thạc sỹ toán học
Quy nhơn - 2008
Bộ giáo dục và đào tạo
Tr-ờng Đại học Quy nhơn
Lê Đình Trọng
Điều kiện cực trị cho bài toán biến phân
và điều khiển tối -u không trơn
Luận văn thạc sỹ toán học
Chuyên ngành : Toán Giải tích
Mã số : 60 46 01
Ng-ời h-ớng dẫn khoa học
TSKH - Huỳnh Văn Ngãi
Quy nhơn - 2008
1
Mục Lục
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Ch-ơng 1. kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1. Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. D-ới vi phân proximal và công thức tổng mờ . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1. Nón pháp tuyến proximal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2. D-ới vi phân proximal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.3. Công thức mờ của d-ới vi phân proximal . . . . . . . . . . . 8
Ch-ơng 2. điều kiện cần cực trị cho bài toán Bolza
tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1. Bài toán Bolza tổng quát - điều kiện cần cực trị . . . . . . . . . . . 12

2.2. Chứng minh định lý 2.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.1 . D-ới vi phân của hàm bao lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.2 . Bài toán phụ: sự nới lỏng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.3 . Điều kiện cần cho bài toán phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.4 . Chứng minh định lí 2.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Ch-ơng 3. bài toán qui hoạch động . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1. Điều kiện cần cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2. Tính chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3. Chứng minh định lý3.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.4. nguyên lý cực đại Pontryagin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2
Một số ký hiệu
N
P
S
(x) Nón pháp tuyến proximal của S tại x.

p
f(x) D-ới vi phân proximal của f tại x.
epif Trên đồ thị của f.
graphf Đồ thị của f.
domf Miền hữu hiệu của f.

S
(x) Hàm chỉ của tập S.
f(x) Giới hạn d-ới vi phân proximal của f tại x.
X

Không gian đối ngẫu của X.
convS Bao lồi của S.
h.k.n Hầu khắp nơi.

S
(x) Khoảng cách từ x tới tập S.
3
Mở đầu
Phép tính biến phân cổ điển ra đời vào thế kỷ 18, gắn liền với những
tên tuổi lớn nh-: Euler, Lagrange, Bernoulli, nhằm mục đích giải quyết những
bài toán cực trị xuất hiện trong vật lý và cơ học. Những thành tựu và ph-ơng pháp
của nó càng ngày càng thâm nhập vào rất nhiều lĩnh vực khoa học, kỷ thuật khác
nhau.
Phép tính biến phân cổ điển chỉ giới hạn xem xét những hàm và toán tử đủ
trơn. Tuy nhiên trong nhiều bài toán thực tiễn, yêu cầu này không phải lúc nào
cũng đảm bảo. Vào khoảng những năm 60 của thế kỷ tr-ớc, một thành tựu nổi bật
trong lý thuyết điều khiển tối -u ra đời đó là nguyên lý cực đại Pontryagin, đ-ợc
đ-a ra bởi nhà toán học xuất chúng ng-ời Nga Pontryagin. Kết quả này đánh dấu
một mốc lớn trong quá trình phát triển của lý thuyết điều khiển tối -u.
Trong khoảng vài chục năm gần đây, với những thành tựu của giải tích không
trơn cụ thể là lý thuyết vi phân tổng quát, cho phép ta xem xét những bài toán
biến phân và điều khiển tối -u mà dữ kiện của nó không nhất thiết trơn. Điều này
không những có ý nghĩa về mặt lý thuyết mà còn mở rộng phạm vi ứng dụng, bởi
vì những bài toán trong thực tiễn th-ờng là không trơn. Hơn nữa, những ph-ơng
pháp và thành tựu của giải tích không trơn cho phép ta đ-a ra chứng minh đơn
giản hơn cho các kết quả biến phân cổ điển, và giúp cho ta có một cái nhìn nhất
quán trong một bối cảnh tổng quát những bài toán biến phân cổ điển.
Mục đích của luận văn không ngoài việc đọc hiểu, hệ thống những kết quả
gần đây về điều kiện cần cực trị cho bài toán biến phân tổng quát Bolza và bài
toán qui hoạch động không trơn nh- điều kiện Euler, Weierstrass, nguyên lý cực

đại. Chủ yếu là những kết quả trong hai bài báo của Rockafellar và Ioffe [4], [5].
Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn đ-ợc chia làm ba ch-ơng.
Ch-ơng I: Trình bày một số khái niệm, định lý sẽ dùng trong các ch-ơng
sau. Chứng minh công thức mờ của d-ới vi phân proximal.
4
Ch-ơng II: Nêu định lý điều kiện cần cực trị cho bài toán tổng quát của Bolza
khi dữ kiện là không trơn và qui trình chứng minh định lý. Đ-a ra hai ví dụ minh
hoạ kết quả của định lý.
Ch-ơng III: Xét bài toán qui hoạch động trong tối -u điều khiển. Chứng
minh điều kiện cần cực trị, nguyên lý cực đại Pontryagin khi dữ kiện là không
trơn.
4
Ch-ơng 1
kiến thức chuẩn bị
Trong ch-ơng này chúng tôi trình bày một số khái niệm, định lý sẽ đ-ợc
dùng ở các ch-ơng sau.
Giả sử X là không gian Banach và cho f : X R {+}. Ta dùng những
ký hiệu sau:
Miền hữu hiệu của hàm f, domf := {x X : f(x) < +}.
Trên đồ thị của hàm f, epif : = {(x, ) domf ì R : f(x) }.
Đồ thị của hàm f, graphf := {(x, ) X ì R : f(x) = }.
Hàm f đ-ợc gọi là chính th-ờng (proper) nếu domf = .
Hàm f là Lipschitz địa ph-ơng tại x X, nếu tồn tại lân cận U của x X và
số K > 0 sao cho
f(x) f(x

) Kx x

, x, x

U. (1.1)
Hàm f đ-ợc gọi là Lipschitz địa ph-ơng trên X, nếu f Lipschitz địa ph-ơng
tại mọi x X.
Hàm f đ-ợc gọi là Lipschitz với hằng số Lipschitz K trên X, nếu (1.1) đúng
với mọi x, x

X.
Hàm số f : X (, +] đ-ợc gọi là nửa liên tục d-ới tại x X nếu
lim inf
xx
f(x) f(x) (với f(x) < ), tức là với mọi > 0, tồn tại lân cận U của x
sao cho
f(x) f(y), y U. (1.2)
Nếu f(x) = +, thì f đ-ợc gọi là nửa liên tục d-ới tại x, nếu với mọi N > 0
tồn tại lân cận U của x sao cho
f(y) N, y U. (1.3)
Hàm f đ-ợc gọi là nửa liên tục d-ới nếu f nửa liên tục d-ới tại mọi x X.
Nếu thay (1.2) và (1.3) t-ơng ứng bởi (1.4) và (1.5) ta đ-ợc định nghĩa hàm
nửa liên tục trên tại x.
f(y) f(x) + , y U. (1.4)
f(y) N, y U. (1.5)
5
Cho S X, hàm chỉ của tập S đ-ợc ký hiệu và xác định nh- sau

S
(x) =

0 nếu x S
nếu x / S
Ta thấy rằng hàm f đạt cực tiểu trên S X khi và chỉ khi f +

S
đạt cực tiểu
trên X.
1.1. Hàm lồi
Hàm f : X R {+} đ-ợc gọi là hàm lồi nếu nó thoả mãn bất đẳng thức
f(x + (1 )y) f(x) + (1 )f(y), x, y X, [0, 1].
Giả sử (X, .) là không gian định chuẩn và f : X R là một phiếm hàm
lồi. Với mọi x X, tập tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục l trên X ký hiệu
f(x) sao cho
f(x) f(x) + l(x x) x X
đ-ợc gọi là d-ới vi phân của f tại x. Một phiếm hàm tuyến tính liên tục l f(x)
gọi là d-ới vi phân của f tại x.
Cho f : R
n
[, +] là một hàm bất kỳ. Hàm
f

(x

) = sup{x

, x f(x)| x R
n
},
đ-ợc gọi là hàm liên hợp của f.
Định lý 1.1.1. [7] Với mọi hàm số f, hàm liên hợp f

là một hàm lồi đóng thoả
mãn bất đẳng thức Fenchel sau
f

(x

) x

, x f(x) x, x

R
n
.
Nói riêng nếu f lồi chính th-ờng thì f

lồi chính th-ờng.
Định lý 1.1.2. [7] Cho f là một hàm trên X thì hàm liên hợp f

là lồi và đóng
trong tôpô yếu* của không gian X

.
Định lý 1.1.3. [8](Moreau - Rockafellar)
Giả sử f
1
, . . . , f
n
là các hàm lồi chính th-ờng trên X. Khi đó
x X, (f
1
+ . . . + f
n
) f

1
(x) + . . . + f
n
(x).
6
Nếu tất cả các f
i
, i = 1, . . . , n là hàm lồi chính th-ờng trên X trừ một số hàm
liên tục tại x domf
1

. . .

domf
n
thì ta có đẳng thức.
Định lý 1.1.4. [8] (Lyapunov)
Cho T là một tập và à
1
, à
2
, . . . , à
n
là các độ đo hữu hạn liên tục xác định trên
một đại số

các tập con của T . Thì hạng của độ đo vectơ m = (à
1
, . . . , à
n

)
là lồi và đóng.
Định lý 1.1.5. [8] (Mazur)
Cho X là một không gian Banach và cho một điểm x thuộc vào một tập đóng
yếu A X. Thì tồn tại một dãy tổ hợp lồi các phần tử của A hội tụ tới x theo
chuẩn.
Chú ý 1.1.6. Một tập F X đ-ợc gọi là đóng yếu theo dãy nếu dãy {x
n
} F
có giới hạn yếu là x thì x X.
Định lý 1.1.7. [1] (Nguyên lý biến phân Ekeland)
Giả sử (X, ) là không gian mêtric đầy đủ và f : X R {+} là một hàm
chính th-ờng nửa liên tục d-ới và bị chặn d-ới. Điểm u X và > 0 thỏa mãn
f(u) inf f + . Khi đó, với bất kỳ > 0, tồn tại v X sao cho
(i) f(v) f(u),
(ii) (v, u) ,
(iii) f(w) +


(w, v) > f(v), w X, w = v.
1.2. D-ới vi phân proximal và công thức tổng mờ
1.2.1. Nón pháp tuyến proximal
Cho X là một không gian Hilbert và S là tập con khác rỗng của X. Giả sử
x X, x / S.
Nếu tồn tại s S sao cho khoảng cách từ s đến x là nhỏ nhất thì s đ-ợc gọi là
hình chiếu của x lên S. Tập gồm các hình chiếu của x lên S ký hiệu là proj
S
(x).
Véc tơ x s đ-ợc gọi là vectơ pháp tuyến proximal của S tại x.
Nón pháp tuyến proximal của tập S tại s ký hiệu N

P
S
(s) đ-ợc xác định nh- sau
N
P
S
(s) :=

X : = t(x s), t 0, s proj
S
(x)

.
7
Hàm khoảng cách
S
: X R đ-ợc xác định bởi

S
(x) := inf{x s : s S},
ta cũng có thể viết (x, S) thay cho
S
(x).
Mệnh đề 1.2.1. [2] a) Bất đẳng thức pháp tuyến proximal
N
S
N
(s) 0 sao cho , s

s s

s
2
s

S.
Hơn nữa, với mọi > 0 cho tr-ớc ta có
b) N
S
N
(s) 0 sao cho , s

s s

s
2
s

S B(s, ).
c) Nếu S là tập lồi và đóng thì
N
S
N
(s) , s

s 0 s

S.
1.2.2. D-ới vi phân proximal
Định nghĩa 1.2.2. [4] Cho X là một không gian Hilbert và f : X R{+ } = R.

D-ới vi phân proximal của hàm nửa liên tục d-ới f tại một điểm x với f(x) hữu
hạn, ký hiệu
p
f(x) là một phần tử x

X

sao cho tồn tại > 0, k > 0,
f(x + u) f(x) x

, u ku
2
, nếu u < .
D-ới vi phân giới hạn proximal của f tại x ký hiệu f(x) và,
f(x) = lim sup
u x
f(u) f(x)

p
f(u).
Ví dụ:
1) Nếu f đạt cực tiểu tại x thì 0
p
f(x).
2) Nếu f = I
S
thì
p
f(x) =
p

I
S
(x) = N
P
S
(x).
3) Nếu f là hàm liên tục trên tập mở U X thì
p
f(x) = f

(x) x U.
Định lý 1.2.3. [ 7] Cho f là hàm nửa liên tục d-ới và x domf. Khi đó

p
f(x) > 0; > 0 : f(y) f(x) + , y x y x
2
y B(x, ).
Khi x S và S là đóng thì
N(S, x) =

0
(x, S). (1.6)
8
Trong đó là hàm khoảng cách với chuẩn trong R
n
.
(x, S) = N(x, S)

B (1.7)

B là hình cầu đơn vị trong R
n
.
1.2.3. Công thức mờ của d-ới vi phân proximal
Trong phần này ta xem xét về -ớc l-ợng xấp xỉ d-ới vi phân của một tổng
các hàm bởi trung bình cộng của xấp xỉ d-ới vi phân.
Định lý 1.2.4. [4] Cho X là một không gian Hilbert và f
1
, . . . , f
k
là (giá trị thực
mở rộng) các hàm xác định và nửa liên tục d-ới trên một lân cận của x, hữu
hạn tại x. Giả sử tính chất nửa liên tục d-ới đ-ợc lấy trên đ-ờng thẳng.
(ULC) Có một > 0 sao cho với bất kì k, các dãy {x
ir
}, i = 1, . . . , k; r = 1, 2, . . .
thuộc hình cầu tâm x bán kính thoả x
ir
x
jr
0 khi r , có một dãy
{u
r
} các phần tử của hình cầu sao cho x
ir
u
r
0 và
lim inf
r

i

f
i
(x
ir
) f
i
(u
r
)

0.
Thì với mọi x


p


i
f
i

(x) và mọi > 0 có u
i
, u

i
, i = 1, . . . , k sao cho

f
i
(u
i
) f
i
(x)


; u
i
x < ,
u

i

p
f
i
(u
i
);



i
u

i
x



< .
Chứng minh. Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử
x = 0; f
i
(0) = 0 và x

= 0. (Nếu không ta thay f
i
(x) bởi f
i
(x+x) f
i
(x)k
1
x

, x)
Ta có 0
p


i
f
i

(0), nghĩa là có N > 0 và > 0 sao cho

i
f
i
(x + 0)

i
f
i
(0) + 0, x Nx
2
, x < .


i
f
i
(x) Nx
2
, khi x < .
Ta có thể giả sử đủ nhỏ để nó không v-ợt quá trong (ULC) và f
i
(x) 1,
nếu x < .
Xét hàm
9

r
(x

1
, . . . , x
k
) =

i
f
i
(x
i
) + N

i
x
i

2
+ r

i,j
x
i
x
j

2
,
= 0 =
r
(0, . . . , 0)

r
= inf


r
(x
1
, . . . , x
k
) : x
i


k.
Do
inf


r
(x
1
, . . . , x
k
) : x
i


= inf

k

i=1
f
i
(x
i
) + N

i
x
i

2
+ r

i,j
x
i
x
j

2

inf

k
i=1
f
i
(x

i
) k.
Lấy x
ir
sao cho
r
(x
ir
, . . . , x
kr
)
r
+
1
r
thì

i
f
i
(x
i
) + r

i,j
x
ir
x
jr

2

r
(x
1r
, . . . , x
kr
) <
1
r
,
k + r

i,j
x
ir
x
jr

2

r
(x
1r
, . . . , x
kr
) <
1
r
,

i,j
x
ir
x
jr

2

1 + kr
r
2

1 + k
r
.
Do đó x
ir
x
jr

2

1 + k
r
0 khi r .
Theo (ULC) có u
r
sao cho x

ir
u
r
0 và
lim inf
r

i

f
i
(x
ir
) f
i
(u
r
)

0,


i
f
i
(x
ir
)

i

f
i
(u
r
) + o(1).
Suy ra
0

i
f
i
(u
r
) + kNu
r

2


i
f
i
(x
ir
) + N

i
x
ir

2
+ o(1),

r
(x
ir
, . . . , x
kr
) + o(1)
1
r
+ o(1) = o(1).
Do đó

i
f
i
(u
r
) + kNu
r

2
0.
Nh-ng

i
f
i
(u

r
) + Nu
r

2
0 vì vậy u
r
0 với tất cả các x
ir
.
Bất đẳng thức trên suy ra
0

i
lim inf
r
f
i
(x
ir
) lim sup
r

i
f
i
(x
ir
) = 0.
Điều này có nghĩa là với mỗi i ta có f

i
(x
ir
) 0 hoặc t-ơng đ-ơng với



f
i
(x
ir
) f
i
(0)



0.
10
Lấy > 0 đủ nhỏ, nh- <

2
và một r = r() sao cho x
ir
< , i = 1, . . . , k và
r
1
() <
3
.

Theo nguyên lý biến phân trơn của Borwein- Preiss [3] có các hàm bậc hai

i
(x) = x
2
a
i
, x +
i
.
Với a
i
2 và các u
i
, i = 1, . . . , k sao cho u
i
x
ir
< và hàm
g(x
1
, . . . , x
k
) =
r
(x
1
, . . . , x
k
) +

i

i
(x
i
),
đạt cực tiểu tại (u
1
, . . . , u
k
) thuộc tập của (x
1
, . . . , x
k
), thoả mãn x
i
< và
g(u
1
, . . . , u
k
) g(x
1r
, . . . , x
kr
) khi u
i
< ,
tức là hàm

i
f
i
(x
i
) + N

i
x
i

2
+ r

i,j
x
i
x
j

2
+


i
x
i

2

a
i
, x
i


,
đạt đ-ợc một cực tiểu địa ph-ơng tuyệt đối tại (u
1
, . . . , u
k
).
Đặt x
i
= u
i
+ h
i
ta có

i
f
i
(u
i
+h
i
)+N

i

u
i
+h
i

2
+r

i,j
u
i
+h
i
(u
j
+h
j
)
2
+


i
u
i
+h
i

2
a

i
, u
i
+h
i




i

f
i
(u
i
) + N

i
u
i

2
+ r

i,j
u
i
u
j

2
+


i
u
i

2
a
i
, u
i


.


i

f
i
(u
i
+ h
i
) f
i
(u
i

) + (N + )(h
i

2
+ 2u
i
, h
i
+ a
i
, h
i


+r

i,j

h
i

2
+ h
j

2
+ 2u
i
u
j

, h
i
h
j


0.
cho tất cả các h
i
đủ nhỏ.
Khi i = 1, . . . , k; h
j
=
ij
h,
u

i
= 2(N + )u
i
a
i
+ 2r

j
(u
i
u
j
) và M = N + + r.

Suy ra
f
i
(u
i
+ h
i
) f
i
(u
i
) u

i
, h Mh
2
, i = 1, . . . , k.
Tức là u

i

p
f
i
(u
i
).
11
Mặc khác từ
u

i
= 2(N + )u
i
a
i
+ 2r

j
(u
i
u
j
)
=

i
u

i
= 2(N + )

i
u
i


i
a
i

+ 2r

i,j
(u
i
u
j
)
= 2(N + )

i
u
i


i
a
i
=

i
u

i
(2N + )

i
u
i
+

i
a
i
2k( 2N + ) + k.2.
Với > 0, lấy <

2
đủ nhỏ thì phần bên phải của bất đẳng thức trên là nhỏ hơn
và f
i
(x) f
i
(0) khi x < .
12
Ch-ơng 2
điều kiện cần cực trị cho bài toán Bolza
tổng quát
2.1. Bài toán Bolza tổng quát - điều kiện cần cực trị
Cho W
1
1
là không gian Banach của các hàm liên tục tuyệt đối trên [0, 1] và lấy
giá trị trong R
n
, với x(t) L
p
(xét chuẩn, x(.)
1
p

= |x(0)| + x(.)
p
, trong đó |.| là
chuẩn Euclicd của một vectơ trong R
n
).
Xét bài toán Bolza tổng quát sau.
Xác định hàm trên W
1
1
làm cực tiểu phiếm hàm
J(x(.)) = l(x(0), x(1)) +

1
0
L(t, x(t), x(t))dt. (2.8)
trong đó các hàm l, L : R
n
R cho tr-ớc không nhất thiết khả vi và liên tục.
Ta nói rằng, cung x

(.) W
1
1
là một cực tiểu mạnh địa ph-ơng của J nếu
J(x

(.)) J(x(.)) với mọi x(.) thuộc tập có dạng

x(.) W

1
1
:


x(t) x

(t)


t [0, 1], > 0

.
Ng-ợc lại, cung x

(.) W
1
1
là một cực tiểu yếu địa ph-ơng của J nếu J(x

(.))
J(x(.)) với mọi x(.) thuộc tập có dạng

x(.) W
1
1
:


x(t) x

(t)


và


x(t) x

(t)


t [0, 1] h.k.n

.
Những giả thiết sau là chuẩn và cần thiết.
A
1
) l(x, y) là hàm nửa liên tục d-ới, có thể bằng + nh-ng không bằng
và l(x

(0), x

(1)) hữu hạn.
A
2
) L(t, x, y) là hữu hạn khắp nơi và là hàm nửa liên tục d-ới của (x, y) khi
t [0, 1] hầu khắp nơi. L(t, x, y) là hàm đo đ-ợc với t theo nghĩa rằng ánh xạ
giá trị tập t epiL(t, ., .) đo đ-ợc từ [0, 1] vào R
n

ì R
n
.
A
3
) Với mọi N > 0 có một > 0 và k(t) L
1
, c(t) L
1
sao cho


L(t, x, y) L(t, x

, y)


k(t)|x x

| và |L(t, x, y)| c(t).
khi
|y x

(t)| N; |x x

(t)| ; |x

x

(t)| .

13
Nội dung chính của ch-ơng này là trình bày chứng minh định lý sau. Nó
cho những điều kiện cần cực trị cho bài toán Bolza tổng quát, đ-ợc giải quyết bởi
Ioffe - Rockafellar. Đây là điều kiện cần cực trị rất tổng quát cho bài toán với dữ
kiện không nhất thiết trơn.
Chú ý rằng khi các dữ kiện là trơn, định lý trên suy ra những điều kiện cần
cực trị cổ điển đã biết.
Định lý 2.1.1. [4] Giả sử x

(t) là một cực tiểu địa ph-ơng của J(x(t)) với chuẩn
lấy trong W
1
1
(hoặc x

(.) là một cực tiểu mạnh cổ điển) và (A
1
) - (A
3
) đ-ợc thoả
mãn thì có một cung p(t) W
1
1
sao cho các điều kiện sau đ-ợc thoả mãn.
a) Điều kiện Euler
p(t) conv{w : (w, p(t)) L(t, x

(t), x

(t))} t [0; 1] h.k.n.

b) Điều kiện Weierstrass
L(t, x

(t), y) L(t, x

(t), x

(t)) + p(t), y x

(t) y, t [0; 1] h.k.n.
c) Điều kiện cắt ngang
(p(0), p(1)) l(x

(0), x

(1)).
Hơn nữa điều kiện Euler (a) và điều kiện chuyển (c) vẫn thoả mãn nếu x

(.)
là một cực tiểu yếu cổ điển.
Hệ quả 2.1.2. Với giả thiết nh- trên,nếu l, L là các hàm trơn, ta có
a) Điều kiện Euler

t

L
y
(t, x

(.), x

(.)


L
x

t, x

(.), x

(.)

= 0 t [0; 1] h.k.n.
b) Điều kiện Weierstrass
L(t, x

(t), y) L(t, x

(t), x

(t)) +
L
y
(t, x

(.), x

(.)), y x

(t) y, t [0; 1] h.k.n.
c) Điều kiện cắt ngang
p(0) =
l
x
(x

(0), x

(0))
p(1) =
l
y
(x

(1), x

(1))
14
2.2. Chứng minh định lý 2.1.1
Để chứng minh định lý, ta cần một số kết quả về d-ới vi phân của hàm bao
lồi sau.
2.2.1. D-ới vi phân của hàm bao lồi
Cho f : R
m
ì R
n
R là một hàm nửa liên tục d-ới. Xét hàm bao lồi của nó
theo biến thứ hai
f(z, y) = conv

y
f(z, y)
là chính th-ờng (luôn lớn hơn và với mọi z tồn tại một y sao cho f(z, y) < ).
Ta đi xem xét mối quan hệ giữa f và f.
Theo định lý Caratheodory về tính chất bao lồi ta có
f(z, y) = inf

0
0, . . . ,
n
0

n
i=1
y
i
= y,

i

i
= 1
n

i=0
(z, y
i
,
i
)

Trong đó
(z, y, ) =





f(z,
y

) nếu > 0,
0 nếu = 0 và y = 0,
+ các tr-ờng hợp khác.
Ta cũng có thể viết
u = (y
0
, . . . , y
n
,
0
, . . . ,
n
) (R
n
)
n+1
ì R
n+1
,
khi

f(z, y) = inf
u
F (z, y, u),
trong đó
F (z, y, u) =
n

i=0
(z, y
i
,
i
) +

u|
n

i=0
y
i
= y;
n

i=0

i
= 1

.
ở đó (u|C) thay thế cho hàm chỉ thị của C.Tức là

C
(u) =

0 nếu u C
nếu u / C
15
Định lý 2.2.1. [4] Giả sử hai điều kiện sau đ-ợc thoả mãn
(B) Với mỗi (z, y) R
m
ì R
n
và mỗi R, có một > 0 sao cho tập

(z, y, u) : |z z| ; |y y| ; F (z, y, u)

là compact.
(C) Tập domf(z, .) = {y : f(z, y) < } không phụ thuộc vào z và với mỗi y
của tập này f(., y) là Lipschitz địa ph-ơng.
Xét (z, y) mà f(z, y) hữu hạn. Thì với mọi (w, v) f(z, y) tồn tại u =
(y
0
, . . . , y
n
,
0
, . . . ,
n
) thoả mãn f(z, y) = F (z, y, u) và n +1 vectơ w
i

, i = 0, . . . , n
sao cho

i

i
w
i
= w; (2.9)
và với mỗi i mà
i
> 0, ta có với y
i
=
y
i

i
(w
i
, v) f(z, y
i
) i. (2.10)
Hệ quả 2.2.2. [4] Với giả thiết đã cho trong định lý trên thì y là điểm hiển lộ
của f tại z theo nghĩa. Cực tiểu của f(z, y) chỉ đạt đ-ợc bởi các vectơ
u = (y
0
, . . . , y
n
,

0
, . . . ,
n
), và với mỗi i mà
i
> 0 vectơ y
i
=
y
i

i
trùng với y

nói cách khác, từ

i

i
y = y,
i
0,

i

i
= 1

i

i
f(z, y
i
) = f(z, y) kéo theo y
i
= y i mà
i
> 0

.
Thì khi (w, v) f(z, y) ta có
w conv{w : (w, v) f(z, y)}. và
f(z, y) f(z, y) + v, y y y.
Để chứng minh định lý, ta cần các mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.2.3. [4] Điều kiện (B) đ-ợc suy ra từ điều kiện
(B
1
) lim inf
z z
y y
0
f(z,
y

) = khi y = 0.
Chứng minh. Ta có
(z, y, ) =

f(z,
y

) nếu > 0,
0 nếu = 0 và y = 0,
+ các tr-ờng hợp khác.
16
và
F (z, y, u) =
n

i=0
(z, y
i
,
i
) +

u|
n

i=0
y
i
= y;
n

i=0

i
= 1

.
Vì f là hàm nửa liên tục d-ới nên là hàm nửa liên tục d-ới. Do đó F cũng là
hàm nửa liên tục d-ới.
Tiếp theo, ta có tập
{(z, y, ) : z Z, [0, 1], (z, y, ) }
bị chặn với mọi tập bị chặn Z R
m
và bất kỳ R.
Thật vậy, nếu trái lại điều này không xảy ra, ta sẽ tìm đ-ợc các dãy {z

}
Z; {

} [0; 1] và một dãy không bị chặn {y

} sao cho (z

, y

,

) .
Không mất tính tổng quát có thể giả sử z

z,

> 0 và 0 < |y

| .
Điều kiện (z

, y

,

) có thể viết lại nh- sau


f(z

,
y



) =



f(z

,
y

)|y

|, với y

=
y

|y

|
;



=


|y

|
0.
Giả sử rằng y

y thì |y| = 1 do đó
lim inf

f(z

,
y




) lim

(

|y

|
) = 0.
Điều này mâu thuẫn với (B
1
).
Bởi tính chất này của , cho bất kỳ tập bị chặn Z R
n
, tồn tại R sao cho
(z, y, ) , khi z Z, [0, 1] .
áp dụng điều này cho Z = {z : |z z| } tại z và > 0.
Với u = (y
0
, . . . , y
n
,
0

, . . . ,
n
) và mọi
|z z| ; |y y| ; F (z, y, u) .
Trở lại công thức của F (z, y, u), từ biểu diển của F (z, y, u)
F (z, y, u) =

n
i=0
(z, y
i
,
i
) +

u|

n
i=0
y
i
= y,

n
i=0

i
= 1

,

= (z, y
i
,
i
) +
n

i=j=0
(z, y
i
,
i
) +

u|
n

i=0
y
i
= y,
n

i=0

i
= 1

ta đ-ợc (z, y
i

,
i
) n và
i
[0; 1] i = 0, . . . , n.
Do tập các (z, y
i
,
i
) thoả mãn
|z z| ;
i
[0; 1] ; (z, y
i
,
i
)
là bị chặn với mỗi R, tính chất bị chặn (B) đúng.
17
Mệnh đề 2.2.4. [4] Điều kiện (B
1
) t-ơng đ-ơng với điều kiện f(z, y) là c-ỡng
bức theo y và đều địa ph-ơng theo z, theo nghĩa
(B
2
) Cho bất kỳ z và > 0 tồn tại một hàm không giảm : [0; +) R với
(0) hữu hạn,
(s)
s
khi s thì

f(z, y) (|y|) khi |z z| .
Chứng minh. Nếu (B
2
) thoả mãn thì
lim inf
z z
y y
0
f(z,
y

) lim inf
y y
0
(
|y|

) = |y| lim
y y
0
(
|y|

)
|y|

= .
Vì vậy (B
1
) đ-ợc thoả mãn.

Ng-ợc lại, với điều kiện (B
1
) ở trên, ta có thể chọn hàm xác định nh- sau
(s) = min
|z z|
|y| s
[0, 1]
(z, y, ).
Thì (B
2
) đ-ợc thoả mãn.
Mệnh đề 2.2.5. [4] Ký hiệu h(z, v) = sup
y
{y, v f(z, y)}.
là hàm Hamilton liên kết với f. Thì (B
2
) t-ơng đ-ơng với
(B
3
) h(z, v) là hàm nửa liên tục trên và hữu hạn khắp nơi.
Chứng minh. Điều kiện đủ: Nếu (B
3
) đúng ta chọn là hàm liên hợp của hàm
(t) = max
|z z|
|v| t
h(z, v).
Thì là hàm thoả mãn điều kiện (B
2
).

Điều kiện cần: Có thể xem h đ-ợc định nghĩa bởi tối -u tham số
h(z, v) = min
y
G(z, v, y), với G(z, v, y) = f(z, y) y, v.
Từ (B
2
) và do f là hàm nửa liên tục d-ới, ta thấy rằng G thoả mãn những
tính chất cơ bản sao cho h là hàm nửa liên tục d-ới. Vậy h là hàm nửa liên tục
trên.
18
Chứng minh của định lí 2.2.1
Chứng minh. Theo định nghĩa, tồn tại các dãy
(w

, v

) (w, v); (z

, y

) (z, y),
với
f(z

, y

) f(z, y) và (w

, v

)
p
f(z

, y

).
Nói riêng, từ tính lồi của f(z, y) theo y ta có
f(z

, y) f(z

, y) f(z

, y

) + v

, y y

y. (2.11)
Do (B) đúng, tập
U(z, y) = {u : F (z, y, u) = f(z, y)}
là khác rỗng khi f(z, y) < , và qua ánh xạ giá trị tập
U : (z, y) U(z, y).
ảnh mọi tập có dạng
{(z, y) : |z z| , |y y| , f(z, y) },
khi đủ nhỏ là một tập bị chặn của các véctơ u, và ta cũng có
lim sup
(z

, y

) (z, y)
f(z

, y

) f(z, y) <
U(z

, y

) = U(z, y). (2.12)
Cho bất kỳ (z, y) trong lân cận của (z

, y

) và bất kỳ u ta có,
F (z, y, u) f(z, y)
f(z

, y

) + w

, z z

+ v

, y y

+ o(|y y

|
2
+ |z z

|
2
),
F (z

, y

, u

) + w

, z z

+ v

, y y

+ o(|y y

|
2
+ |z z

|
2
). (2.13)
Nói cách khác,
n

i=0
(z, y
i
,
i
)
n

i=0
(z

, y

i
(.),

i
)+
+w

, z z

+ v

,
n

i=0
y
i

n

i=0
y

i
(.) +o(|z z

|
2
+
n

i=0
|y
i
y

i
(.)|
2
).

khi

i
0,

i

i
= 1,

i
y
i
= y.
Xét các hàm


i
(z, y) = (z, y,

i
).
19
Thì bất đẳng thức trên có nghĩa là
(w

, v

, . . . , v

)
p


i


i

z

, y

0
, . . . , y

n

. (2.14)
áp dụng Định lý 1.2.4 (chú ý rằng,

i
thực sự không phụ thuộc vào y
i
với
i = j) với mọi = 1, 2, . . . , ta tìm đ-ợc các vectơ (z

i
, y

i
, w

i
, v

i
) sao cho với mọi
i với

i
> 0,







|z

i
z

|
1

; |y

i

y

|
1

,
|v

i
v

|
1

; |

i
w

i
w

|
1

,
( w

i
, v

i
)
p


i
(z

i
, y

i
).
(2.15)
Điều này có nghĩa là với mọi i mà
i
> 0, ta có
f(z,
y
i


i
) f(z

i
,
y

i


i
) +

(
w

i


i
)|z z

i
| + o(|z z

i
|
2
)

+

i
v

i
,

(y
i
y

i
(.))


i
+ o

|y
i
y

i
(.)|
2

. (2.16)
Vậy
(
w

i


i
, v

i
)
p
f(z

i
,
y

i


i
).
Từ (2.12), và tính bị chặn của U đã chú ý, ta có thể giả sử các vectơ
u

= (y

0
, . . . , y

n
,

0
, . . . ,

n
) hội tụ tới một phần tử

u = (y
0
, . . . , y
n
,
0
, . . . ,
n
) U(z, y).
Chú ý rằng theo (C) và (2.15),(2.16), các vectơ
w

i


i
là bị chặn đều nh- w

i
. Giả
sử mỗi w

i
hội tụ tới p
i
với p
i
= 0 nếu
i
= 0.

Do đó theo (2.16), bởi z

i
z, y

i
y
i
và v

i
v, đặt w
i
=
p
i

i
thì với mỗi i
mà
i
> 0 ta nhận đ-ợc,
(w
i
, v) f(z, y
i
/
i
) và

i

i
w
i
=

i
p
i
= w.
Định lý đ-ợc chứng minh.
2.2.2. Bài toán phụ: sự nới lỏng
B-ớc đầu tiên của chứng minh Định lý 2.1.1, ta xét cùng phiếm hàm J nh-
trên nh-ng với giả thiết khác.
20
Thay cho (A
2
) và (A
3
) ta xét các giả thiết sau
(A

2
) L(t, x, y) là hàm nửa liên tục d-ới (giá trị thực mở rộng) nh- là một hàm
của (x, y), ánh xạ giá trị tập t epiL(t, ., .) là đo đ-ợc và tập
domL(t, x, .) = {y : L(t, x, y) < } = R(t)
không phụ thuộc vào x và bị chặn bởi một hàm bình ph-ơng khả tích r(t), tức
là |x| r(t) nếu x R(t).
(A

3
) |L(t, x, y) L(t, x

, y)| (t, |x x

|) và |L(t, x, y)| c(t),
với mọi x, x

thuộc hình cầu bán kính tâm x

(t) và y R(t), ở đây w(t, ) là
hàm Caratheodory không âm với hầu hết t, đơn điệu và hội tụ tới 0 khi 0
và c(t) là hàm khả tích.
Chú ý rằng ẩn trong điều kiện (A

3
) là w(t, ) c(t) và

1
0
w(t, )dt 0 khi 0.
Với > 0, ký hiệu L

(t, x, y) là bao lồi của L(t, x, y)+|y x

(t)|
2
theo biến thứ
ba, và J

(.) là hàm nhận đ-ợc từ J(.) bằng cách thay thế L(t, x, y) bởi L

(t, x, y)
d-ới dấu tích phân. Ta viết L và J thay cho L

và J

khi = 0.
Định lý 2.2.6. [4] Giả thiết rằng các điều kiện (A
1
), (A

2
) và (A

3
) đ-ợc thoả mãn.
Giả sử x

(.) là một cực tiểu địa ph-ơng của J(.) trên W
1
1
, thì x

(.) là một cực
tiểu địa ph-ơng của J

(.) trong W
1

1
và J

(x

(.)) = J(x

(.)) cho bất kỳ > 0 đủ
nhỏ.
Chứng minh. Tr-ớc hết ta khẳng định
L

t, x

(t), x

(t)

= L

t, x

(t), x

(t)

h.k.n. (2.17)
Giả sử trái lại, tức là có một > 0 sao cho khi t thuộc một tập có độ đo d-ơng,
tập U

(t) gồm các vectơ.
u = (y
0
, . . . , y
n
,
0
, . . . ,
n
) (R
n
)
n+1
ì R
n+1
, với

i
0;

i

i
= 1;

i

i
y
i

= x

(t);

i

i
L(t, x

(t), y
i
) L(t, x

(t), x

(t)) (2.18)
là khác rỗng.
Mặt khác, nh- R(t) là bị chặn đều, ta tìm đ-ợc một số > 0 sao cho
21
J(x(.)) J(x

(.)) với mọi x(.) mà x(0) = x

(0) và x(t) = x

(t) trên một tập có độ
đo không nhỏ hơn 1 .
Chọn một tập có độ đo d-ơng nhỏ hơn sao cho U

= với mọi t và

đặt
u(t) =

y
0
(t), . . . , y
n
(t),
0
(t), . . . ,
n
(t)

,
là một chọn đo đ-ợc của U

trên .
Ta có thể mở rộng u(t) tới phần còn lại của [0; 1] bằng cách lấy
y
i
(t) = x

(t);
i
(t) = (n + 1)
1
.
Dễ thấy

i

i
(t)y
i
(t) = x

(t) cho hầu hết t.
Đặt
= {(
0
(.), . . . ,
n
(.)) :
i
(t) 0, i = 0, . . . , n,

i

i
(t) = 1 h.k.n}.
= {(
0
(.), . . . ,
n
(.)) :
i
(t) {0, 1}, i = 0, . . . , n,

i

i
(t) = 1 h.k.n}.
Thì rõ ràng (
0
(t), . . . ,
n
(t)) với hầu hết t.
Theo định lý Lyapunov về độ đo vectơ, cho tập hữu hạn tuỳ ý các hàm vectơ
h
s
(t) = (h
s
0
(t), . . . , h
s
n
(t)) L
1
; s = 1, . . . , m,
thì ảnh của và qua ánh xạ
(
0
, . . . ,
n
)


1
0

i

i
(t)h
s
i
(t)dt, . . . ,

1
0

i

i
(t)h
m
i
(t)dt

là trùng nhau (và là lồi compact). Do đó, tồn tại một dãy {(

0
(.), . . . ,

n
(.)} các
phần tử của sao cho

1
0

i


i
(t)y
i
(t)dt =

1
0

i

i
(t)y
i
(t)dt =

1
0
x

(t)dt = x

(1) x

(0),
và

1
0

i


i
(t)h
i
(t)dt

1
0

i

i
(t)h
i
(t)dt, (h
0
(.), . . . , h
n
(.)) L
1
. (2.19)
Đặt
x

(t) = x(0) +

t
0

i


i
()y
i
()dt.
Thì (2.19) cùng với tính bị chặn của R(t) suy ra x

(.) hội tụ đều về x

(.) và do
(A

3
) bởi áp dụng định lý làm trội hội tụ đều của Lebesgue ta đ-ợc
lim

J(x

(.)) = lim


l(x

(0), x

(1)) +

1
0
L(t, x

(t), x

(t))dt

22
= l(x

(0), x

(1)) + lim


1
0
L(t, x

(t), x

(t))dt
= l(x

(0), x

(1)) + lim


1
0

i


i
(t)L(t, x

(t), y
i
(t))dt
= l(x

(0), x

(1)) +

1
0

i

i
(t)L(t, x

(t), y

i
(t))dt. (2.20)
Tiếp theo, (2.19) suy ra
lim


J(x

(.)) J(x

(.))

=




i

i
(t)L(t, x

(t), y
i
(t)) L(t, x

(t), x

(t))

dt < 0.
Mặc khác, x

(t) = x

(t) trên phần bù của , mà nó là một tập có độ đo lớn
hơn 1 và x

(0) = x

(0); x

(1) = x

(1), ta đ-ợc J(x

) J(x

) theo cách chọn
của . Điều này mâu thuẫn. Vậy (2.17) đ-ợc chứng minh.
Trong chứng minh, ta cần bổ đề sau.
Bổ đề 2.2.7. [4] Giả sử f là một hàm nửa liên tục d-ới trên R
n
thoả mãn (B),
và (z, y) sao cho f(z, y) = f(z, y); f là bao lồi của f đối với y. Lấy một > 0
và đặt
f

(z, y) = f(z, y) + |y y|
2

.
thì y là điểm hiển lộ cho f

tại z. Hơn nữa nếu có một dãy các vectơ
u

= (y

0
, . . . , y

n
,

0
, . . . ,

n
) sao cho

i
0,

i


i
= 1,
và

i


i
y

i
y;

i


i
f

(z, y

i
) f

(z, y) = f(z, y),
thì

i


i
(y

i

y)
2
0.
Chứng minh. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử

i


i
(y

i
y)
2
hội tụ
tới a. Ta có
f(z, y) = lim


i


i
f

(z, y

i
),