skkn vận dụng tốt tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số dạng toán lớp 7

KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH
VẬN DỤNG TỐT TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN LỚP 7

A. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Bối cảnh của đề tài
Trong q trình dạy học mơn tốn ở trường THCS đặc biệt là lớp 7, khi
học về tính chất của dãy tỉ số bằng nhau tôi nhận thấy việc áp dụng lí thuyết vào
giải một số bài tập cịn nhiều hạn chế: chưa linh hoạt trong quá trình giải bài tập,
học sinh ít đi sâu nghiên cứu kiến thức đã học, việc giải bài tập còn nhiều lúng
túng, vận dụng kiến thức không phù hợp.
Xuất phát từ thực tế này, tơi đã tiến hành phân loại các bài tốn theo
những đặc trưng riêng của nó, đưa ra cách giải chung nhất cho từng dạng toán
nhằm giúp học sinh khắc phục những hạn chế trên. Hơn nữa để giúp học sinh
chuyên cần hơn, u thích, say mê mơn học hơn, trong q trình giảng dạy, tơi
thấy cần thiết phải khai thác, phát triển, mở rộng kiến thức cơ bản.
Với lượng kiến thức của học sinh mới vào lớp 7, các em đã có trong tay
một số kĩ năng giải tốn như biến đổi các phép toán: cộng, trừ, nhân, chia, nâng
lên luỹ thừa. Nhưng rất nhiều khó khăn mà các em sẽ gặp phải khi học và làm
các bài tập đòi hỏi khả năng phân tích, sự tư duy, sáng tạo. Như vậy, rất cần thiết
phải trang bị tri thức, phương pháp để các em khơng cịn cảm thấy lúng túng,
ngại khó khi gặp một số bài tốn khá phức tạp.
2. Thực trạng của vấn đề
Qua thực tế giảng dạy môn Toán 7, đặc biệt khi hướng dẫn học sinh giải
các dạng bài tập về dãy tỉ số bằng nhau, tôi nhận thấy ở học sinh còn tồn tại một
số hạn chế sau:
- Chưa vận dụng hợp lí kiến thức đã học vào các dạng bài tập cụ thể.

2

- Thường tỏ ra lúng túng, ngại suy nghĩ khi gặp các dạng bài tập mới, đòi
hỏi khả năng tư duy, lập luận logic, tính sáng tạo, tổng hợp kiến thức.
- Chưa hiểu rõ tính chất, chưa nắm được một số kiến thức cơ bản dẫn đến
việc nhầm lẫn trong q trình biến đổi, thiếu sót khi kết luận.
- Nhiều em chưa xác định được các bài toán cùng dạng, chưa tổng qt
được bài tốn để tìm ra cách giải chung cho từng dạng toán.
- Khả năng quan sát bài toán chưa tốt, chưa linh hoạt vận dụng kiến thức,
hướng giải quyết bài tốn cịn hạn chế.
3. Lí do chọn đề tài
Trước thực trạng trên, tôi đã luôn trăn trở, tìm hiểu và nghiên cứu để tìm
ra được biện pháp nhằm khắc phục những hạn chế trên, giúp học sinh đạt được
kết quả tốt hơn trong học tập, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục.
Thấy được sự cần thiết đó, với việc áp dụng thành cơng các chun đề
trước tôi đã mạnh dạn thực hiện đề tài: “Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vận
dụng tốt tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số dạng Toán lớp 7”.
Với một hệ thống bài tập được sắp xếp từ dễ đến khó, phù hợp với nhiều đối
tượng học sinh, nhằm kích thích tính tư duy, suy luận logic, tính sáng tạo các
em. Mỗi dạng bài tập đều có phương pháp chung, một số ví dụ đã chọn lọc cách
giải hợp lí và một số bài tập tương tự, với mong muốn giúp học sinh dễ dàng tìm
hiểu và có thể tự nghiên cứu sâu hơn về các dạng bài tập này.
Tính chất về dãy tỉ số bằng nhau chỉ là một mảng kiến thức nhỏ được giới
thiệu qua một tiết lí thuyết trong chương trình sách giáo khoa Đại số 7, nhưng
đằng sau đó là một chuỗi các bài tập, ứng dụng rất nhiều trong việc nghiên cứu
các nội dung kiến thức sau này.
Việc hệ thống, phân loại được các dạng bài tập giúp học sinh tiếp cận kiến
thức một cách nhẹ nhàng hơn, hứng thú hơn. Qua đó, giáo viên có thể dễ dàng
phát triển, mở rộng kiến thức, giúp các em thấy được sự cần thiết phải tích cực
nghiên cứu và thấy được sự ứng dụng rộng rãi của mảng kiến thức này.

3

Đề tài cũng giúp cho bản thân có cơ hội mở rộng nghiên cứu, nâng cao
kiến thức, làm quen với việc phân loại kiến thức theo chuyên đề.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. Cơ sở lí luận
Việc giảng dạy bài tập tốn khơng thể cứng nhắc, đơn điệu, tùy theo từng
bài tốn ta có các cách giải khác nhau.
Dạy học giải các bài tập tốn có ý nghĩa rất quan trọng:
- Củng cố, đào sâu, hệ thống hoá kiến thức đã học của học sinh, rèn luyện
kĩ năng, kĩ xảo.
- Mang tính chất ứng dụng những kiến thức đã được học vào từng bài toán
cụ thể, vào thực tế và những vấn đề mới.
- Để học sinh tự đánh giá năng lực nhận thức của mình và cũng giúp giáo
viên đánh giá được mức độ tiếp thu kiến thức, khả năng học toán của từng em.
- Gây hứng thú học tập tốn của học sinh, từ đó phát huy được các phẩm
chất trí tuệ, các năng lực cần thiết mà mục tiêu giáo dục THCS đề ra.
Tính chất của tỉ lệ thức, của dãy tỉ số bằng nhau là một phần kiến thức rất
nhỏ trong chương trình tốn 7, tuy nhiên khơng vì thế mà chúng ta xem nhẹ nội
dung này. Bởi chính những kiến thức này các em được gặp lại ở các lớp trên,
đặc biệt là trong quá trình chứng minh hình học khi biến đổi để tìm ra các đoạn
thẳng tỉ lệ, biến đổi các tỉ số đồng dạng của hai tam giác để tính độ dài đoạn
thẳng, tìm ra các tỉ số cần chứng minh…Vì vậy, ngồi việc dạy lí thuyết, giáo
viên chú ý khắc sâu kiến thức trọng tâm của bài học. Tôi đã phân loại các bài
tốn theo từng dạng trong q trình dạy học của mình, để giúp các em có được
những kĩ năng tốt, kinh nghiệm quí báu khi giải các bài tập có liên quan.
2. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu tài liệu và sản phẩm của hoạt động sư phạm.
- Phương pháp nghiên cứu và tổng kết kinh nghiệm giáo dục.

4


- Phương pháp nêu và giải quyết vấn đề.
- Nghiên cứu hệ thống các bài tập cùng dạng, phát triển tư duy học sinh.
3. Mục đích nghiên cứu
- Phát huy những tiềm năng toán học ở học sinh.
- Nâng cao chất lượng học tập mơn tốn.
- Được trau dồi kiến thức, rèn luyện kĩ năng, nâng cao về chuyên môn,
nghiệp vụ sư phạm.
- Được chia sẻ, trao đổi với đồng nghiệp trong cùng bộ môn.
4. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu
Phạm vi triển khai: Đề tài này có thể áp dụng rộng rãi cho tất cả các giáo
viên dạy Tốn cấp THCS, học sinh u thích bộ mơn tốn.
Phạm vi nghiên cứu của đề tài: Các vấn đề được trình bày trong đề tài này
là các chuyên đề sắp xếp theo từng dạng tốn, mỗi dạng có phương pháp giải và
một số bài tập áp dụng mà tôi đã tích lũy được trong q trình giảng dạy và
nghiên cứu.
Đối tượng áp dụng: Tất cả các đối tượng học sinh từ trung bình đến những
học sinh khá, giỏi với một hệ thống bài tập đã được sắp xếp từ dễ đến khó.
5. Nội dung thực hiện
5.1. Ơn tập kiến thức cơ bản
5.1.1 Tỉ lệ thức
a) Định nghĩa
a c

Tỉ lệ thức là đẳng thức giữa hai tỉ số b d .

Trong đó:
a, b, c, d là các số hạng.

a, d gọi là ngoại tỉ.
b, c gọi là trung tỉ.

5


b) Tính chất
Tính chất 1
a c

Nếu b d thì a.d  b.c .

Tính chất 2
Nếu a.d  b.c và a, b, c, d  0 thì ta có:
a c

b d;

a b

c d;

d c

b a;

d b

c a

5.1.2. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
a) Tính chất
a c e
 
b
d f ta suy ra:
Từ dãy tỉ số bằng nhau
a c e ace
a c e
a c e
  


b d f bd  f bd  f bd  f

(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
b) Chú ý
a b c
 
Khi có dãy tỉ số x y z ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số x, y, z .

Ta còn viết a : b : c  x : y : z
5.2. Ôn tập kiến thức liên quan
5.2.1. Lũy thừa của một thương
n

x
xn

 

yn
 y

 x, y  Q; n  N ; y  0 

5.2.2. Một số tính chất cơ bản
a a.m

b b.m

 m  0

a c
a
c
 

b d
b.n d .n
n

 n  0
n

a c
a  c 
     
b d
 b   d   n N 

6. Một số ví dụ minh họa

6


6.1. Dạng 1: Bài tập về chứng minh tỉ lệ thức
6.1.1. Phương pháp giải
- Vận dụng tính chất các phép tốn, tính chất của tỉ lệ thức hoặc tính chất
của dãy tỉ số bằng nhau để biến đổi linh hoạt giả thiết của bài toán để được điều
cần phải chứng minh.
- Trong q trình biến đổi ln nhìn về điều mình cần phải suy ra để lựa
chọn phương pháp biến đổi phù hợp nhất, chính xác nhất để được điều cần phải
suy ra.
6.1.2. Một số ví dụ
a c
a
c
 1

Ví dụ 1: Cho b d . Chứng minh rằng: a  b c  d

Hướng dẫn
Đây là một bài toán cơ bản về chứng minh tỉ lệ thức. Dạng tốn này
khơng khó, tuy nhiên đối với nhiều học sinh có thể gặp lúng túng trong việc lựa
chọn cách biến đổi. Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh biến đổi theo một số
cách sau:
a c
a b
a b a b
a a b

a
c
     
 


Cách 1: Có b d c d c d c  d c c  d a  b c  d
a c
  k  a  k .b
Cách 2: Đặt b d
, c  k .d

Khi đó:
a
kb
kb
k



a  b kb  b b  k  1 k  1
c
kd
kd
k



c  d kd  d d  k  1 k  1
a

c

Vậy: a  b c  d
a c
  ad  bc  ac  ad  ac  bc  a  c  d   c  a  b 
Cách 3: Có b d

7




a
c

a b c d

Đối với cách 3, thông thường học sinh khó nhận ra được trong q trình
biến đổi. Tuy nhiên, giáo viên cũng cần hướng dẫn nhằm giúp những học sinh
khá giỏi có thêm hướng biến đổi trong việc giải toán về chứng minh tỉ lệ thức.
a c
2a  3b 2c  3d


Ví dụ 2: Cho b d . Chứng minh rằng: 2a  3b 2c  3d

Ở dạng bài này, để áp dụng được tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, học
sinh cần phải vận dụng được một số tính chất cơ bản để biến đổi trước một bước
như sau:
a c

a b
2a 3b
   

Có b d c d 2c 3d

Nếu học sinh chưa phát hiện ra cách làm, giáo viên có thể hướng dẫn sau
đó yêu cầu học sinh áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để suy ra điều
phải chứng minh.
Hướng dẫn
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
2a 3b 2a  3b 2a  3b
2a  3b 2a  3b
2a  3b 2c  3d







2c 3d 2c  3d 2c  3d
2c  3d 2c  3d
2a  3b 2c  3d
2a  3b 2c  3d

Vậy 2a  3b 2c  3d

2
Ví dụ 3: Cho b  ac . Chứng minh rằng:

a 2  b2 a

b2  c2 c

2
Ở bài này, học sinh dễ dàng nhận biết được b  b.b , từ đó giáo viên có thể

gợi ý cho học sinh áp dụng tính chất của tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau để suy
ra điều phải chứng minh.
n

n

a c
a c 
     
Giáo viên có thể gợi ý thêm nếu b d  b   d   n  N  .

8


Hướng dẫn

Có

b 2  ac 

a b
a 2 b2

a 2 b 2 a 2  b 2 a 2  ac a  a  c  a
  2  2 2  2  2



b c
b
c
b
c
b  c 2 ac  c 2 c  a  c  c

a 2  b2 a

2
2
Vậy: b  c c

Ví dụ 4: Cho 6 số khác 0 là thỏa mãn điều kiện:

x22  x1.x3 ; x32  x2 .x4 ; x42  x3 .x5 ; x52  x4 .x6 .
Chứng tỏ rằng:
Đây là một dạng tốn khó, học sinh cần phải có kĩ năng quan sát, phân
tích để tìm hướng giải. Giáo viên có thể hướng dẫn để học sinh phân tích bài
tốn theo từng bước.
Hướng dẫn
Từ các đẳng thức, giáo viên yêu cầu học sinh suy ra các tỉ lệ thức:
x22  x1.x3 

x1 x2


x2 x3

x32  x2 .x4 

x2 x3

x3 x4

x42  x3 .x5 

x3 x4

x4 x5

x52  x4 .x6 

x4 x5

x5 x6

Đến đây học sinh dễ dàng áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để
suy ra được:
x1 x2 x3 x4 x5 x1  x2  x3  x4  x5





x2 x3 x4 x5 x6 x2  x3  x4  x5  x6

Do đó:
x1 x1  x2  x3  x4  x5

x2 x2  x3  x4  x5  x6

9


x2 x1  x2  x3  x4  x5

x3 x2  x3  x4  x5  x6
x3 x1  x2  x3  x4  x5

x4 x2  x3  x4  x5  x6
x4 x1  x2  x3  x4  x5

x5 x2  x3  x4  x5  x6
x5 x1  x2  x3  x4  x5

x6 x2  x3  x4  x5  x6
5

x1 x2 x3 x4 x5  x1  x2  x3  x4  x5 
. . . . 

x2 x3 x4 x5 x6  x2  x3  x4  x5  x6 
Giáo viên gợi ý để học sinh suy ra

Từ đó suy ra

Qua các ví dụ trên, tôi nhận thấy với dạng bài tập này, học sinh cần phải
biết sử dụng linh hoạt kiến thức để tạo ra dãy tỉ số bằng nhau hợp lí, kết hợp với
dữ kiện đã cho để đi đến điều phải chứng minh. Có nhiều cách để chứng minh
một tỉ lệ thức, song giáo viên cần lựa chọn cách phù hợp nhất với khả năng nhận
thức của từng đối tượng học sinh giúp các em dễ hiểu, dễ trình bày.
6.1.3. Bài tập tự luyện
a c
5a  3b 5a  3b


Bài 1: Cho b d . Chứng minh rằng: 5c  3d 5c  3d .
ab ca

Bài 2: Chứng minh rằng: nếu a  bc thì a  b c  a .
2

a 2  b 2 ab
a c


2
2
Bài 3: Cho b d . Chứng minh rằng: c  d cd .
7 a 2  3ab 7c 2  3cd
a c


2
2
2

2
Bài 4: Cho b d với a, b, c, d  0 . Chứng minh rằng: 11a  8b 11c  8d .

Bài 5: Chứng minh rằng: Nếu a  c  2b và 2bd  c  b  d  .
a b c
a 3  b3  c3 a
 

3
3
3
Bài 6: Cho b c d . Chứng minh rằng: b  c  d d .
2
2
Bài 7: Cho bốn số khác 0 là: a1 , a2 , a3 , a4 thỏa mãn a2  a1.a3 và a3  a2 .a4 .

10


a13  a23  a33 a1

3
3
3
a

a

a
a4 .

2
3
4
Chứng minnh rằng:
k m nk

Bài 8: Cho k , m, n  N . Chứng minh rằng: Nếu k  m.n thì k  m n  k .
*

2

6.2. Dạng 2: Tìm các số chưa biết trong dãy tỉ số bằng nhau
6.2.1. Phương pháp giải
- Chủ yếu áp dụng tính chất cơ bản của dãy tỉ số bằng nhau (tùy vào điều
kiện đã cho của bài toán).
- Trong nhiều trường hợp, chúng ta cần áp dụng các tính chất của tỉ lệ
thức để biến đổi điều kiện đã cho sau đó mới áp dụng tính chất của dãy tỉ số
bằng nhau một cách dễ dàng hơn.
- Trong quá trình biến đổi cần lưu ý đến dấu của số cần tìm, trong trường
hợp có số mũ chẵn hoặc tích của hai số để tránh tìm ra đáp án khơng thỏa u
cầu của bài tốn. Cũng cần lưu ý đến các trường hợp có thể xảy ra để tránh bỏ
sót những giá trị cần tìm.
6.2.2. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Tìm hai số x, y biết:
a) 7 x  2 y và 5 x  2 y  8
Giáo viên đặt câu hỏi nhằm hướng dẫn học sinh: đề bài đã có dãy tỉ số
bằng nhau hay chưa? làm thế nào để có 5x ; 2y ? Sau khi trả lời các câu hỏi trên,
học sinh có thể dễ dàng vận dụng tính chất của tỉ lệ thức để biến đổi điều kiện
đầu bài về dãy tỉ số bằng nhau và áp dụng tính chất để tìm ra đáp án.
Có:

7x  2 y 

x y 5x 2 y
 

2 7 10 14

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
5x 2 y 5x  2 y 8



 2
10 14 10  14 4

Do đó:

x
 2  x  2.2  4
2

11


y
 2  y  2.7  14
7

Vậy: x  4 , y  14

b) x : 3  y : 4 và xy  48
Đây là một dạng toán tìm hai số khi biết tích và tỉ số của chúng. Giáo
viên hướng dẫn cho học sinh phương pháp chung để giải các bài toán dạng này.
Cụ thể trong bài này, giáo viên có thể hướng dẫn như sau:
x y

Có x : 3  y : 4 hay 3 4
x y
  k  x  3k
Đặt 3 4
, y  4k
2
2
Vì xy  48 nên 3k .4k  48  12k  48  k  4  k  2

Với k  2  x  3.2  6 , y  4.2  8
Với k  2  x  3.  2   6 , y  4.  2   8
Vậy: x  6 , y  8 hoặc x  6 , y  8
Ở dạng bài tập này, giáo viên cần lưu ý với học sinh một số trường hợp
kết luận chưa đủ các giá trị cần tìm.
x y

2
2
c) 5 4 và x  y  36
2
Để áp dụng được tính chất của dãy tỉ số bằng nhau cần làm xuất hiện x ,

y 2 . Muốn vậy giáo viên cần gợi ý học sinh vận dụng tính chất:
n

n

a c
a  c
     
Nếu b d  b   d 

 n N  .
Hướng dẫn

x y
x2 y2
 

2
2
Có 5 4 25 16 và x  y  36

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
x 2 y 2 x 2  y 2 36



4
25 16 25  16 9

12

Do đó:
x2
 4  x 2  25.4  100  x  10
25
y2
 4  y 2  16.4  64  y  8
16

Vậy: x  10 , y  8 hoặc x  10 , y  8
Lưu ý: Trong trường hợp này, x và y cùng dấu nhằm giúp học sinh có
kết luận chính xác về các giá trị cần tìm.
Ví dụ 2: Tìm ba số x, y, z biết:
a)

x

y z

2 3 và 4 x  3 y  2 z  36

Ở dạng bài này, giáo viên gợi ý cho học sinh làm xuất hiện 4x , 3y , 2z .
Khi đó, bài tốn trở nên đơn giản hơn nhiều.
Hướng dẫn
Có

x

y z 4x 3 y 2z
 



2 3 4
6
6

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
4 x 3 y 2 z 4 x  3 y  2 z 36




9
4
6
6
46 6
4

Do đó:

x9

y
 9  y  2.9  18
2
z
 9  z  3.9  27
3

Vậy x  9 , y  18 , z  27

x y y z


b) 5 6 ; 8 7 và x  y  z  69

Bài này có đến hai dãy tỉ số bằng nhau. Giáo viên cần hướng dẫn để học
sinh đưa về một dãy tỉ số bằng nhau, từ đó học sinh có thể tự áp dụng tính chất
để tìm ra đáp án.

13


Hướng dẫn
x y
x
y
 

Có 5 6 20 24
y z
y
z
 

và 8 7 24 21 .
x
y
z



Do đó: 20 24 21

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
x
y
z
x yz
69




3
20 24 21 20  24  21 23

Vậy: x  20.3  60 , y  24.3  72 , z  21.3  63
c) 2 x  3 y ; 5 y  7 z và 3x  5 z  7 y  30
Giáo viên có thể chia nhỏ bài toán để nhiều học sinh cùng thực hiện.
Chẳng hạn: 1 học sinh vận dụng tính chất của tỉ lệ thức để đưa về dãy tỉ số bằng
nhau;1 học sinh biến đổi dãy tỉ số làm xuất hiện 3x , 7 y , 5z ; một học sinh biến
đổi dữ kiện 3x  5 z  7 y  30  3x  7 y  5 z  30 ; một học sinh áp dụng tính chất của
dãy tỉ số bằng nhau để tìm kết quả và rút ra kết luận.
Hướng dẫn
Có

2x  3y 

x y
x
y

 

3 2
21 14 ;

5 y  7z 

y z
y
z
 

7 5
14 10

3x  5 z  7 y  30  3 x  7 y  5 z  30
x
y
z 3x 7 y 5 z





Do đó: 21 14 10 63 98 50

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
3x 7 y 5 z 3x  7 y  5 z 30





2
63 98 50 63  98  50 15

Vậy: x  21.2  42 , y  14.2  28 , z  10.2  20

14


x 1 y  2 z  3


3
4 và x  2 y  3z  14
d) 2

Làm xuất hiện 2 y , 3z thực hiện như ví dụ trên, tuy nhiên trong trường
hợp này học sinh cần nắm vững tính chất phân phối của phép nhân đối với phép
cộng để thực hiện phép nhân một số với một tổng (một hiệu).
Hướng dẫn
x  1 2.  y  2  3.  z  3 
x 1 y  2 z  3




3
4 hay 2
6

12
Có 2

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
x  1 2  y  2  3  z  3  x  1  2  y  2   3  z  3   x  2 y  3 z   6 14  6





1
2
6
12
2  6  12
8
8

Vậy: x  2.1  1  3 , y  3.1  2  5 , z  4.1  3  7
Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh thực hiện theo cách làm sau nhằm
giúp học sinh rèn luyện khả năng quan sát bài tốn để tìm ra hướng giải khi gặp
các bài toán tương tự.
x 1 y  2 z  3


 k  x  2k  1
3
4
Đặt 2
, y  3k  2 , z  4k  3

Vì x  2 y  3z  14 nên  2k  1  2  3k  2   3  4k  3  14
 2k  1  6 k  4  12 k  9  14
 8k  6  14
 8k  8  k  1

Vậy: x  2.1  1  3 , y  3.1  2  5 , z  4.1  3  7

Ví dụ 3: Tìm hai số x, y biết:
x y

4 4
a) 2 4 và x y  16

Hướng dẫn
x y
  k  x  2k
Đặt 2 4
, y  4k

15


Vì x y  16 nên
4

4

Với
Với

k

 2k  .  4 k 
4

4

 16   8k 2   24  8k 2  2  k  
4

1
2

1
1
1
 x  2.  1 y  4.  2
2
2
2
,

k

1
 1
 1
 x  2.     1 y  4.     2
2

 2
 2
,

Vậy x  1 , y  2 hoặc x  1 , y  2
4
4
Giáo viên cũng có thể hướng dẫn theo cách: làm xuất hiện x , y sau đó

giải theo phương pháp tìm hai số khi biết tích và tỉ số của chúng. Tuy nhiên, dù
giải theo cách nào thì giáo viên cũng cần giúp học sinh nhận xét được “ x và y
là hai số cùng dấu” để có kết luận chính xác.
y2  x2 x2  y 2

10 10
5
b) 3
và x y  1024

Đây là dạng tốn khá khó đối với học sinh, có thể dùng để dạy nâng cao
cho những học sinh khá, giỏi.
Hướng dẫn
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
2
2
2
2
2
2
2

2
y 2  x2 x2  y 2  x  y    y  x   x  y    y  x 



3
5
53
53



2 y2 2x2
y2


 x2  y 2  4x2
8
2
4
10 10
x10 .  4 x 2   1024
x
y

1024
Vì
nên
5

1024 210
 x  5  10  1
4
2
20

 x  1  y  2

Giáo viên cần gợi ý cho học sinh nhận xét được hai số x , y có thể cùng
dấu hoặc trái dấu để có kết luận đầy đủ các giá trị cần tìm.
Vậy x  1 , y  2 hoặc x  1 , y  2 hoặc x  1 , y  2 hoặc x  1 , y  2

16


2x 1 3y  2 2x  3y 1


7
6x
c) 5

Đề bài chỉ cho một dãy tỉ số bằng nhau mà khơng có thêm một mối quan
hệ của hai số x và y như các dạng bài đã gặp. Học sinh có thể sẽ thấy trở ngại
về điều đó và vị trí của x trong dãy tỉ số bằng nhau. Giáo viên gợi ý để học sinh
nhận xét được mối quan hệ giữa 2 x  1 , 3 y  2 và 2 x  3 y  1 , khi đó bài tốn gần
như đã được giải quyết.
Hướng dẫn
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
2 x  1 3 y  2 2 x  3 y  1  2 x  1   3 y  2  2 x  3 y  1





5
7
6x
57
12
2 x  3 y 1 2x  3 y 1

 6 x  12  x  2
6x
12
Khi đó:
2x 1 3 y  2

7
Thay x  2 vào đẳng thức 5
ta được:
2.2  1 3 y  2
3y  2


 1  3y  2  7  y  3
5
7
7

Vậy x  2 , y  3 .

Dạng bài tập này về kiến thức thì khơng q khó nhưng rất cần đến khả
năng quan sát và kĩ năng biến đổi, nếu không cẩn thận sẽ dễ dẫn đến sự nhầm
lẫn, thiếu sót. Cũng cần đến sự linh hoạt đưa bài toán về dạng quen thuộc đã biết
cách giải.
6.2.3. Bài tập tự luyện
Bài 1: Tìm các số a, b, c, d biết:
a b c
 
a) 3 4 5 và a  2b  3c  35

a b b c


b) 5 6 ; 8 7 và a  b  c  69

1
2
3
a b c
3
4 và a  b  15
c) 2

6
9
18
a b c
2
5 và  a  b  c  120
d) 11

Bài 2: Tìm x, y, z biết:

17


4
2
3


a) x  1 y  2 z  2

và xyz  12

x
y
z


 x yz
y

z

1
x

z


1
x

y

2
b)
x 2 x 3


2
2
2
y
3 ; z 5 và x  y  z  217
c)
x  16 y  25 z  9


3
16
25 và 2 x  1  1
d) 9

Bài 3: Tìm x , biết:
x 3 5

a) x  5 7

72  x 3


b) x  18 5

x 1 x  2

c) x  2 x  3

Bài 4: Tìm a, b, c biết:
a 1 b  2 c  2


3
2 và a  2b  c  6
a) 5
12a  15b 20c  12a 15b  20c


7
9
11
b)
và a  b  c  48
2a 3b 4c


c) 3 4 5 và a  b  c  49

d) 5a  8b  20c và a  b  c  3

6.3. Dạng 3: Bài toán có lời văn

6.3.1. Phương pháp giải
- Dùng dãy tỉ số bằng nhau để chuyển lời văn của bài toán thành biểu thức
đại số để tính tốn. Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau tìm ra đáp án.
- Khi gọi kí hiệu nào đó là dữ liệu chưa biết của bài tốn thì cần đặt điều
kiện và đơn vị (nếu có) của kí hiệu đó. Khi tìm được kết quả cần đối chiếu với
điều kiện xem nó có thỏa mãn khơng để có kết luận chính xác nhất.
6.3.2. Một số ví dụ

18


Ví dụ 1: Một cửa hàng có ba tấm vải dài tổng cộng 126m. Sau khi bán đi
1
2
3
2 tấm vải thứ nhất, 3 tấm vải thứ hai và 4 tấm vải thứ ba thì số vải cịn lại ở ba

tấm vải bằng nhau. Hãy tính chiều dài của mỗi tấm vải lúc ban đầu.
Giáo viên đặt câu hỏi gợi mở để học sinh tìm lời giải. Sau đó u cầu học
sinh gọi các kí hiệu là dữ liệu cần tìm. Chú ý với học sinh về đơn vị và điều kiện
của kí hiệu đó.
Hướng dẫn
Gọi số mét vải của ba tấm vải lần lượt là a(m), b(m), c(m) (a, b, c > 0).
Giáo viên yêu cầu học sinh xác định số mét vải còn lại ở mỗi tấm vải sau
khi bán và dùng dãy tỉ số bằng nhau để diễn đạt lại bài tốn.
1
a
Số mét vải cịn lại ở tấm vải thứ nhất là: 2 (m)
1
b

Số mét vải còn lại ở tấm vải thứ hai là: 3 (m)
1
c
Số mét vải còn lại ở tấm vải thứ ba là: 4 (m)
1
1
1
a b c
3
4 và a  b  c  126
Theo đề bài ta có: 2

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a b c a  b  c 126
  

 14
2 3 4 23 4
9

Do đó :
a
 14  a  2.14  28
2
b
 14  b  3.14  42
3
c
 14  c  4.14  56
4

Lưu ý với học sinh đối chiếu lại điều kiện của các kí hiệu đã gọi để có kết
luận chính xác.

19


Vậy chiều dài của mỗi tấm vải lúc ban đầu lần lượt là: 28m, 42m, 56m.
Ví dụ 2: Có ba cái tủ đựng tất cả 2250 quyển sách. Nếu chuyển 100
quyển từ tủ thứ nhất sang tủ thứ ba thì số sách ở tủ thứ nhất, thứ hai, thứ ba tỉ lệ
với 16; 15; 14. Hỏi trước khi chuyển thì ở mỗi tủ có bao nhiêu quyển sách?
Bài này có thể gây khó khăn cho học sinh ở chỗ: số lượng sách trong mỗi
tủ trước và sau khi chuyển. Giáo viên có thể chia nhỏ bài tốn nhằm kích thích
nhiều đối tượng học sinh suy nghĩ.
Hướng dẫn
Gọi số quyển sách lúc đầu ở tủ thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là:
*
a(quyển), b(quyển), c(quyển) ( a, b, c  N và a, b, c  2250 ).

Giáo viên có thể đặt câu hỏi: Sau khi chuyển, số sách trong mỗi tủ thay
đổi như thế nào?
Số quyển sách ở các tủ sau khi chuyển lần lượt là:
Tủ thứ nhất: a  100 (quyển)
Tủ thứ hai: b (quyển)
Tủ thứ ba: c  100 (quyển)
a  100 b c  100


15
14 và a  b  c  2250

Theo đề bài ta có: 16

Đến đây giáo viên có thể cho học sinh tự tìm ra cách giải để tìm các dữ
liệu chưa biết và rút ra kết luận.
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a  100 b c  100 a  100  b  c  100 2250




 50
16
15
14
16  15  14
45

Do đó :
a  100
 50  a  100  16.50  a  16.50  100  900
16
b
 50  b  15.50  750
15
c  100
 50  c  100  14.50  c  14.50  100  600
14

Các số a  900 , b  750 , c  600 thỏa mãn điều kiện đầu bài.

20


Vậy trước khi chuyển thì số quyển sách ở tủ thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần
lượt là : 900 quyển, 750 quyển, 600 quyển.
a
Ví dụ 3: Tìm giá trị của phân số b biết rằng nếu cộng thêm vào cả tử và

mẫu của phân số đó với cùng một số khác 0 thì giá trị của phân số khơng đổi.
Giáo viên gợi ý cho học sinh gọi số cộng thêm vào là một kí hiệu nào đó
và tỉ số bằng nhau để diễn đạt lại bài tốn. Sau đó áp dụng tính chất của dãy tỉ số
a
bằng nhau để tìm giá trị của phân số b .

Hướng dẫn
a
Giả sử cộng thêm vào cả tử và mẫu của phân số b với cùng một số x (
x  0 ).

a ax

Theo đề bài ta có: b b  x

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a a x a xa x


 1
b b x b  x b x

Đây là một dạng tốn khó đối với học sinh, ngay cả với những học sinh
khá giỏi, khó ở việc dùng dãy tỉ số để diễn đạt lại lời văn của bài tốn. Giáo viên
cần phải kiên trì hướng dẫn từng bước, từ việc phân tích ban đầu để tìm ra yếu
tố bài cho, yếu tố cần tìm và mối quan hệ giữa chúng,... rồi đến cách gọi kí hiệu
kèm thêm đơn vị và điều kiện của kí hiệu,...đặc biệt là kết luận phải chính xác
với yêu cầu của đề bài.
6.3.3. Bài tập tự luyện
Bài 1: Số học sinh của ba khối 6, 7, 8 tỉ lệ với 10, 9, 8. Tính số học sinh của mỗi
khối, biết rằng số học sinh của khối 8 ít hơn số học sinh của khối 6 là 50 học
sinh.
Bài 2: Học sinh của lớp 7A được chia thành ba tổ tỉ lệ với 2, 3, 4. Tìm số học
sinh mỗi tổ, biết lớp 7A có 45 học sinh.

21


2
Bài 3: Một trường có ba lớp 6. Biết rằng 3 số học sinh của lớp 6A bằng số học
4
sinh của lớp 6B và bằng 5 số học sinh của của lớp 6C. Lớp 6C có số học sinh ít

hơn tổng số học sinh của hai lớp kia là 57 học. Tính số học sinh của mỗi lớp.
Bài 4: Ba thửa đất hình chữ nhật có diện tích bằng nhau. Chiều rộng của các
thửa thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là 22,5m; 20m; 18m. Chiều dài thửa thứ
nhất kém chiều dài thửa thứ hai là 5m. Hãy tính chu vi của mỗi thửa đất đó.
Bài 5: Ba cơng nhân phải sản xuất số sản phẩm như nhau. Công nhân thứ nhất,
thứ hai, thứ ba hồn thành cơng việc với thời gian lần lượt là 9 giờ, 6 giờ, 7 giờ
30 phút. Hỏi trong 1 giờ mỗi công nhân sản xuất được bao nhiêu sản phẩm? Biết
rằng trong 1 giờ, công nhân thứ hai sản xuất nhiều hơn công nhân thứ nhất là 3
sản phẩm.

6.4. Dạng 4: Tính giá trị của biểu thức
6.4.1. Phương pháp giải
- Chủ yếu áp dụng tính chất của tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng
nhau để biến đổi biểu thức và tìm ra giá trị của biểu thức.
- Ở dạng tốn này địi hỏi cần có khả năng quan sát, dự đốn kết quả, từ
đó tìm ra được hướng biến đổi phù hợp.
6.4.2. Một số ví dụ
x y z
 
Ví dụ 1: Cho x, y, z thỏa mãn: 2 5 7 ( x, y, z  0 ).

x yz
Tính: P = x  2 y  z

Thoạt nhìn, học sinh có thể thấy lúng túng vì cách cho biểu thức P mà bài
tốn khơng có đủ các điều kiện để tìm các giá trị của x, y, z . Giáo viên có thể gợi
ý một chút để học sinh tìm giá trị của P.
Hướng dẫn

22


x y z
  k
Đặt 2 5 7
( k  0 ) suy ra x  2k , y  5k , z  7 k .

x yz
2 k  5k  7 k 4 k 4




Khi đó: P = x  2 y  z 2k  10k  7k 5k 5

Giáo viên cũng có thể hướng dẫn học sinh áp dụng tính chất của dãy tỉ số
bằng nhau để tìm giá trị của P như sau:
x y z x y z x y z
  

 x  y  z  2x
4
Có 2 5 7 2  5  7
x y z x  2y  z x  2y  z
5x
  

 x  2y  z 
5
2
và 2 5 7 2  10  7

x yz
2x 4x 4



x  2 y  z 5x 5x 5
2
Khi đó: P =
a

b
c


Ví dụ 2: Tính giá trị của biểu thức Q, biết rằng: Q = b  c c  a a  b

Với bài này, học sinh có thể dễ dàng tìm ra đáp áp bằng cách áp dụng tính
chất của dãy tỉ số bằng nhau như sau:

 a  b  c  1
a
b
c



Q = b  c c  a a  b 2(a  b  c ) 2
Kết quả trên chỉ đúng trong trường hợp a  b  c  0 . Giáo viên có thể đặt
câu hỏi: Nếu a  b  c  0 thì sao? Sau đó hướng dẫn học sinh cách giải bài tốn
trên theo cách hồn chỉnh hơn.
Hướng dẫn

 a  b  c
a
b
c



Có Q = b  c c  a a  b 2(a  b  c )

 a  b  c  1
a
b
c



Nếu a  b  c  0 thì Q = b  c c  a a  b 2(a  b  c ) 2
a
b
c
c



 1
Nếu a  b  c  0 thì a  b  c . Khi đó: Q = b  c c  a a  b c

Vây:

23


1
Nếu a  b  c  0 thì Q = 2 .

Nếu a  b  c  0 thì Q = 1 .
x y y z zt t  x




z

t
t

x
x

y
yz
Ví dụ 3: Cho biểu thức: M =

Tính giá trị của biểu thức M biết:

x
y
z
t



y  z t z t  x t  x  y x  y  z

Đây là một dạng bài tốn khó. Học sinh chỉ quen với cách tính trên dãy tỉ
số bằng nhau, mà biểu thức M thì khơng phải ở dạng này. Giáo viên có thể
hướng dẫn bài này để giúp cho những học sinh khá, giỏi có thêm kiến thức về
tính giá trị của biểu thức.
Hướng dẫn
x

y
z
t



Có: y  z  t z  t  x t  x  y x  y  z


x
y
z
t
1 
1 
1 
1
y z t
z t  x
tx y
x yz

x y  z t x y  z t x y z t x y  z t



zt  x
tx y
x yz
hay y  z  t

Nếu x  y  z  t  0 thì y  z  t  z  t  x  t  x  y  x  y  z  x  y  z  t
x y y z z t t  x



 1111  4
z

t
t

x
x

y
y

z
Khi đó: M =

Nếu x  y  z  t  0 thì x  y  ( z  t ) và y  z  ( x  t )
x y y  z z t t  x



 ( 1)  (1)  ( 1)  (1)  4
z

t

t

x
x

y
y

z
Khi đó: M =

Vậy:
M = 4 khi x  y  z  t  0 .
M = 4 khi x  y  z  t  0 .
Các dạng bài tập về tính giá trị của biểu thức như trên gây khá nhiều khó
khăn cho học sinh bởi những suy luận logic và tính phức tạp của nó. Song với sự
nhiệt tình, kiên trì hướng dẫn của giáo viên, học sinh sẽ có được cảm giác của

24


người khám phá ra những điều thú vị, cảm xúc của người chiến thắng. Điều đó
góp phần kích thích học sinh, tạo sự hứng thú cho các em trên con đường chinh
phục các bài toán tiếp theo.
6.4.3. Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho

A=

x  2 y  3z

x  2 y  3z . Tính A biết x, y, z tỉ lệ với 5, 4, 3.

abc bcd cd a d ab



d
a
b
c
Bài 2: Cho 4 tỉ số bằng nhau:

Tìm giá trị của mỗi tỉ số trên.
ab bc cd d a



Bài 3: Tính giá trị của biểu thức: N = c  d d  a a  b b  c
2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d



a
b
c
d
Biết rằng:

6 x2  y2
x y

A
 ; x, y  0
2
2
15 x  3 y với 5 2
Bài 4: Giá trị của biểu thức
. Tính A.

Bài 5: Cho

P

8x  2 y  5z
6 x  4 y  7 z với x : y : z = 3 : 2 : 1. Tính giá trị của biểu thức P.

6.5. Dạng 5: Bài tập hình học
Chủ yếu áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số bài tập
hình học khơng cần hình vẽ, bài tập về tính chu vi, diện tích một số hình phẳng
đơn giản đã học ở Tiểu học.
6.5.1. Phương pháp giải
- Dùng phương pháp đại số chuyển bài tốn về dạng biến đổi, áp dụng
tính chất cơ bản của các đẳng thức, dãy tỉ số bằng nhau.
- Áp dụng các cơng thức tính chu vi, diện tích tam giác, hình vng, hình
chữ nhật, từ đó biến đổi dựa trên tính chất của tỉ lệ thức để đưa về dãy tỉ số bằng
nhau.

25


- Một số bài tốn cần kết hợp định lí về tổng ba góc của một tam giác,

định lí Py- ta- go.
6.5.2. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích 300m 2, có hai cạnh tỉ
lệ với 4 và 3. Tính chiều dài và chiều rộng của khu vườn.
Để giải được bài này, học sinh cần nhớ lại cơng thức tính diện tích của
hình chữ nhật đã học ở Tiểu học. Gọi các kí hiệu cho các dữ kiện cần tìm và
dùng dãy tỉ số bằng nhau để diễn đạt lại bài toán như các ví dụ trên sau đó áp
dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau và tìm ra kết quả.
Hướng dẫn
Gọi chiều dài và chiều rộng của khu vườn lần lượt là x (m) và y (m)  x  y  0 
x y

Theo đề bài ta có: x. y  300 và 4 3

Giáo viên cần lưu ý về sự tương ứng của x và y với 4 và 3 để tránh sai
x y

lầm dẫn đến có tỉ lệ thức 3 4 .

Đến đây học sinh có thể dễ dàng áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng
nhau để tìm ra đáp án: x  20 m và y  15 m.
x y
  k  x  4k
Đặt 4 3
, y  3k .
2
Vì x. y  300 nên 4k .3k  300  k  25  k  5

mà x  y  0 , do đó:
x  4.5  20

y  3.5  15

Vậy chiều dài và chiều rộng của khu vườn lần lượt là: 20m và 15m.
µ
µ
µ
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có A
và Bµ tỉ lệ với 3 và 15, C  4A . Tính số

đo các góc của tam giác ABC.

26