chuyên đề vè sự tiếp xúc 2 đường cong

Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Luyn thi i hc, Cao đng 2009
CHUYÊN  LUYN THI TT NGHIP THPT
VÀ LUYN THI I HC, CAO NG 2009
Môn:
TOÁN
Chuyên đ:
S TIP XÚC CA HAI NG CONG
I. MC ÍCH CHUYÊN 
Bài toán tip xúc gia 2 đ th rt hay và khó, tuy nhiên chuyên đ này các bn s nm vng
đc các bc gii và cách làm dng toán này.
II. KIN THC C BN
Hai đng y = f(x), y = g(x) tip xúc vi nhau ti đim có hoành đ x
0
, nu h sau đây
tho mãn:
f(x
0
) = g(x
0
)
f
’
(x
0
) = g’(x
0
)
Xin đa ra vài ví d sau:
Thí d 1: Cho y = x
3
- 3x

2
+ 2. Tìm trên đng thng y = - 2, các đim mà t đó có th v đc
hai tip tuyn ti đng cong và vuông góc vi nhau.
Gii. Gi đim phi tìm là M (
α
, 2).  ý rng đng thng x =
α
đi qua M ct đng
cong và song song vi trc tung và nó không th là tip tuyn, vì th mi tip tuyn vi đng
cong đi qua M (nu có), đu có dng:y = k (x -
α
)+ 2 .
Gi x
0
là hoành đ tip đim. Khi đó ta có h phng trình sau:
x
3
0
- 3x
2
0
+ 2 = k(x
0
-
α
) +2 (1)
3x
0
2
- 6x

0
= k (2)
Thay (2) vào (1) ta có:
2x
3
0
- 3x
2
0
(1 +
α
) + 6
α
x
0
- 4 = 0
ú (x
0
- 2) [2x
2
0
+ (1- 3
α
)x
0
+ 2] = 0 (3)
Vi mi
α
, (3) luôn có nghim x
0

= 2 ng vi nó, t (2) suy ra k = 0
Vì mi tip tuyn ca đng cong đã cho không th có dng x = c, vy không có bt kì
tip tuyn nào ca đng cong đã cho vuông góc vi tip tuyn
y=-2.Vì th đ tho mãn điu kin đu bài, thì phng trình sau (n x
0
)
2x
2
0
+ (1 - 3
α
)x
0
+ 2 = 0 (4)có hai nghim phân bit x’ và x’’, sao cho: (3x’
2

- 6x’) (3x’’
2
- 6x’’) = -1
 tho mãn điu y, h sau đây cn đc tho mãn
Δ
= (1 - 3x
2
0
)
2
- 16 > 0 (5)
9(x’x’’)
2
- 18x’x’’(x’ + x’’) + 36x’x’’ = -1 (6)

Da vào đnh lí Viét, thì x’ + x’’ =
31
;''' 1
2
xx
α
−
=

Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 1
Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Luyn thi i hc, Cao đng 2009
Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 2
Vì th t (6) có: 27x
0
= 55 => x
0
=
55
27
.
Thay x
0
=
55
27
vào (5) thy đúng.
Tóm li: trên đng y = -2, ch có duy nht đim M(
55
,2
27

−
) tho mãn yêu cu đu bài.
Thí d 2.
Cho y = x
3
- 3x
2
. Tìm tt c các đim M nm trên đng cong sao cho t M ch có th
v đc duy nht mt tip tuyn ti đng cong đ cho.
Bài gii
Gi M (
32
,3)
α
αα
−
là đim cn tìm. Tip tuyn qua M ch có th có dng:
y = k(x -
α
) +
α
3
-3
α
2

Gi x
0
là hoành đ tip đim. Ta có h phng trình sau:
x

3
0
- 3x
2
0
= k (x
0
-
α
) +
α
3
- 3
α
2
(1)
3x
3
0
- 6x
0
= k (2)
Thay (2) vào (1), ta có:
2x
3
0
- 3x
2
0
(

α
+ 1) + 6
α
x
0
+
α
3
- 3
α
2
= 0 (*)
ú (x
0
-
α
) [2x
2
0
- (
α
+ 3)x
0
-
α
2
+ 3
α
] = 0
ú (x

0
-
α
)
2
(2x
0
+
α
- 3) = 0
x
0
=
α

x
0
=
3
2
α
−
(3)
Chú ý rng vì y = x
3
- 3x
2
là đng cong bc ba, nên s tip tuyn v đc bng s tip
tuyn vi đng cong. Vì th qua M có 1 tip tuyn duy nht vi đng cong khi và ch khi h
(1) (2) (n x

0
) có nghim duy nht. Da vào (3) điu đó xy ra khi:
3
1
2
α
αα
−
=<=>=
Vy trên đng cong y = x
3
- 3x
2
có mt đim duy nht tho mãn yêu cu đ bài. ó là đim M
(1, - 2)
Nhn xét:
- Ta có th thy M (1, -2) chính là đim un ca đng cong đã cho.
- Bng phép toán tng t bn đc có th d dàng chng minh kt qu tng quát sau:
“Vi đng cong bc ba tu ý y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d, a
0
≠
, đim un là đim duy nht trên
đng cong mà qua đó có đúng 1 tip tuyn vi đng cong”.
- Chính vì M (
α
,

α
3
- 3
α
2
) nm trên đng cong, nên chc chn (*) có nghim x
0
=
α
.
Vì th có th h bc (*) nh đã làm  trên.
- Trong bài đã s dng tính cht “Vi đng cong bc ba mi tip tuyn ch tip xúc vi
đng cong ti mt đim” (d chng minh). Tính cht này xin lu ý không còn đúng vi đng
cong bc bn. Có th xem thí d sau:
Xét hàm s y = x
4
- 2x
2

ú
Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Luyn thi i hc, Cao đng 2009
Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 3
Ta có: y’ = 4x
3
- 4x = 4x (x
2
- 1)
và bng bin thiên sau :
x -
∞

-1 0 1 +
∞

y
’
- 0 + 0 - 0 +
y -1 0 -1
T đó suy ra đ th ca y = x
4
- 2x
2
có dng:
( th)
Ta thy tip tuyn y = -1 tip xúc vi y = x
4
- 2x
2
ti hai đim cc tiu ca nó. Nh vy
thí d này đã chng minh nhn xét ca ta.
Thí d 3
. Cho đng cong y =
2
1
()
1
xx
C
x
++
+

Chng minh rng t đim A(1, -1) luôn k đc 2 tip tuyn vuông góc vi nhau ,đn đ
th (C).
Gii: Vì đng thng x = 1 không th là tip tuyn ca (C), nên mi tip tuyn qua A(1, -
1) (nu có) đu có dng:
y = k (x - 1) - 1
Gi x
0
là hoành đ tip đim, khi đó ta có h

2
00
0
0
2
00
2
0
1
(1)1(1
1
2
(2)
(1)
xx
kx
x
xx
k
x

⎧
++
=−−
⎪
+
⎪
⎨
+
⎪
=
⎪
+
⎩
)


Thay (2) vào (1) ta có:
2
00
2
0
31
0
(1)
xx
x
++
=
+

<=> (3)
2
00
31xx+++=0
Rõ ràng = 3 > 0, vy (3) có hai nghim phân bit t
1
, t
2
.
'
Δ
Nh vy, qua A có hai tip tuyn vi đng cong. Còn li ta chng minh hai tip tuyn
này vuông góc vi nhau. T (2) suy ra hai tip tuyn có h s góc tng ng là:
2
11
1
2
12
2
;
()
tt
k
tt
+
=
+

2
22

2
2
2
2
(1)
tt
k

t
+
=
+
Ta có:
[]
2
12 1212 12
12
2
12 1 2
()2()4(
()1
tt tttt tt)
tt t t
++ ++
=
++ +
kk
(4)
Da vào đnh lí Viet, thì: t
1

+ t
2
= - 3; t
1
t
2
= 1
Thay li vào (4) ta có:
12
2
164
1
(1 3 1)
kk
−
+
=
−+
=
(5)
Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Luyn thi i hc, Cao đng 2009
T (5) suy ra hai tip tuyn cng vuông góc vi nhau => (đpcm)
Thí d 4.
Cho đng cong y =
2
3
2
xx
x
+−

+
(C)
Tìm các đim trên trc hoành, nu t đó k đc mt tip tuyn ca (C). Gi đim phi
tìm là M (
α
, 0). Do x =
α
không th là tip tuyn ca (C), nên mi tip tuyn vi (C) qua M
đu có dng y = k (x -
α
)
Gi x
0
là hoành đ tip đim, khi đó ta có h sau:
2
00
0
0
3
()
2
xx
kx
x
α
+−
=−
+
(1)
2

00
2
0
45
(2)
xx
k
x
++
=
+
(2)
Thay (2) vào (1) ta có:
f(x
0
) = (1 -
α
) x
2
0
+ 2x
0
(3 - 2x) + 6 - 5
α
= 0 (3)
x
0
-2 (4)
≠
Da vào tính cht: Mi tip tuyn ca đng y =

2
(, ' 0)
''
ax bx c
aa
ax b
++
≠
+
ch tip xúc vi
đng cong đó ti mt đim duy nht, nên suy ra ta cn tìm giá tr ca tham s
α
đ h (3) (4)
(n x
0
) có nghim duy nht.
Xét các kh nng sau:
1. Nu
α
≠
1, khi đó (3) (4) 2x
0
+ 1 = 0
x
0

≠
- 2
T đó suy ra h (3) (4) có nghim duy nht trong trng hp này

<=>
2. Nu
α
≠
1. Khi đó h (3) (4) có nghim duy nht khi
a. Hoc
<=>
'2
30
(2) 2 0F
αα
α
⎧
⎪
Δ=− − + =
⎨
−=−−≠
⎪
⎩
α
=
113
2
−±

b. Hoc <=>
'2
30
(2) 2 0F
αα

α
⎧
⎪
Δ=− − + >
⎨
−=−−≠
⎪
⎩
α
= 2
Vy trên trc hoành có 4 đim cn tìm là:
M
1
(1, 0), M
2
(-2, 0), M
3
(
113
2
−+
, 0), M
4
(
113
2
−−
, 0)
III. CNG C KIN THC
Bài 1

: (i hc, cao đng, khi D - 2002)
Tìm m đ đng cong (c) có phng trình
2
(2 1)
1
mxm
x
−−
−
(c)
tip xúc vi đng thng y = x
Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 4
Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Luyn thi i hc, Cao đng 2009
Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 5
Bài gii
xét y =
2
(2 1)
1
mxm
x
−−
−
, Ta có y’ =
2
2
(1)
(1)
m
x

−
−

Gi x
o
là hoành d tip đim ta có h sau đây
2
0
(2 1)
1
o
mxm
x
−−
−
= x
o
(1)
2
2
(1)
(1)
o
m
x
−
−
= 1 (2)
Bài toán tr thành: tìm m đ h (1),(2) (ca x
o

) có nghim:
t (2) suy ra m
≠
1 (vì m = 1, thì VT (2) = 0)
Khi đó (2) tr thành (m - 1)
2
= (x
o
- 1)
2
(*)
Rõ ràng x
o
= m tho mãn, (vì do m
≠
1=> x
o

≠
1)
Thay vào x
o
= m vào (1) thy tho mãn, vì khi đó
VT(1) =
2
(2 1)
1
mmm
m
−−

−
=
2
1
mm
m
−
−
= m = VF (1)
Vy vi mi m 1, h (1) (2) (ca x
o
. chc chn có nghim)
≠
do đó có giá tr cn tìm ca thay s m là m
≠
1.
Bài 2
: Tìm m đ đng cong y = x
4
– 6x
3
+ 12x
2
– 14x + 2m
2
+ m và y = 2x
3
–10x
2
+10x+1 tip

xúc vi nhau
Bài gii
: Gi
0
x
là hoành đ tip đim. Khi đó ta có h sau:
43 2 2 3 2
00 0 0 0 0 0
32 2
00 0 0 0
612142 210101(
4 18 24 14 6 20 10(2)
xx x xmmx x x
xx x x x
⎧
−+ − + +=− + +
⎪
⎨
−+−=−+
⎪
⎩
1)
xxx++−=

Ta thy (2)
⇔
32
000
42444240
⇔

32
00 0
6116xx x 0
−
+−=

⇔
(
0
x
- 1)(
0
x
- 2)(
0
x
- 3) = 0
⇔

0
x
= 1 hoc
0
x
= 2 hoc
0
x
= 3

-
Nu
0
x
= 1. Thay vào (1) và ta có: 2m
2
+ m – 7 = 3
⇔
2m
2
+ m – 10 = 0
⇔
2
5
2
m
m
=
⎡
⎢
⎢
=
−
⎣

-
Nu
0
x
= 2. Thay vào (1) và ta có: 2m

2
+ m – 7 = 0
⇔
m =
157
4
−±

-
Nu
0
x
= 3. Thay vào (1) ta có: 2m
2
+ m – 10 = 0 (Quay v trng hp
0
x
= 1)
Vy các giá tr cn tìm ca m là : m = 2 , m =
5
2
−
, hoc m =
157
4
−±



Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Luyn thi i hc, Cao đng 2009

Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 6
IV. BÀI TP V NHÀ
Bài 1
: Cho y =
2
1
1
x
x
x
−+
−
(C)
Tìm trên Oy các đim có th k đc ít nht mt tip tuyn đn (C).
Bài 2
: Cho y =
2
21
1
x
x
x
++
+
(C)
Tìm trên Oy các đim có th k đc đn (C) 2 tip tuyn vuông góc vi nhau
Bài 3
: Cho hàm s
32
y x 3x 3mx 4

=
−+ +
. Xác đnh m đ đ th hàm s trên tip xúc vi trc
hoành.
Bài 4
: Cho đng cong có hàm s:
(
m
C
)
2
2(1)1
x
mx m
y
x
m
+
−++
=
−
. Tìm m đ ct trc
Ox ti 2 đim và tip tuyn vi
(
ti 2 đim đó vuông góc vi nhau
(
m
C
)
)

m
C

T Toán Trung tâm BDVH
Hocmai.vn
Ngun:
Hocmai.vn