Tài liệu Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh khá giỏi số học 6

tai lieu, luan van1 of 98.

 

 

 
TRƯỜNG ĐH THỦ
ĐÔ HÀ NỘI
 
KHOA KHOA HỌC
TỰ NHIÊN
 

 

 

 
 
 
LƯƠNG THỊ GIANG

 
 

MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG
HỌC SINH KHÁ, GIỎI SỐ HỌC LỚP 6
 
 
 

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP  
Chuyên ngành: Sư phạm Toán học
 
 
 
 
 
 
 
Hà Nội, tháng 5 năm 2019
 

document, khoa luan1 of 98.


tai lieu, luan van2 of 98.

TRƯỜNG ĐH THỦ ĐÔ HÀ NỘI
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN
 
 
 
 

LƯƠNG THỊ GIANG
 
 
 

MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG
HỌC SINH KHÁ, GIỎI SỐ HỌC LỚP 6
 
 
 

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP 
Chuyên ngành: Sư phạm Toán học
 
 
 
GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN: T.S Phạm Xuân Hinh

Hà Nội, tháng 5 năm 2019

document, khoa luan2 of 98.


tai lieu, luan van3 of 98.

LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, em xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học 
Thủ đơ Hà Nội và ban chủ nhiệm khoa Khoa học Tự nhiên đã tạo mọi điều 
kiện thuận lợi để em hồn thành khóa luận tốt nghiệp này. 
 

Có được sự hồn thành của khóa luận, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc 

đến Tiến sĩ Phạm Xn Hinh – người thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ, 
truyền thụ cho em những kiến thức bổ ích, những kinh nghiệm q báu trong 

suốt q trình thực hiện đề tài. 
 

Do thời gian và trình độ có hạn nên khóa luận cịn nhiều hạn chế. Vì 

vậy, em rất mong nhận được sự đóng góp chỉ bảo của các thầy cơ giáo và các 
bạn sinh viên để em có thể hồn thiện hơn về đề tài của mình. 
 

Em xin chân thành cảm ơn! 

 

 

 

 

 

 

 

Hà Nội, tháng 5 năm 2019 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

               Lương Thị Giang 

 
 
 
 

1
document, khoa luan3 of 98.

Sinh viên 


tai lieu, luan van4 of 98.

MỤC LỤC
TRANG
LỜI CẢM ƠN ........................................................................................................ 1
PHẦN MỞ ĐẦU .................................................................................................... 4

CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG KHĨA LUẬN................................................... 6
PHẦN NỘI DUNG ................................................................................................ 7
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN ............................................................................ 7
1.1. PHÉP CHIA HẾT .................................................................................. 7
1.1.1. Định nghĩa phép chia ..................................................................... 7
1.1.2. Các tính chất .................................................................................. 7
1.1.3. Một số dấu hiệu chia hết ................................................................ 8
1.2. ƯCLN, BCNN ....................................................................................... 9
1.2.1. Ước chung lớn nhất (ƯCLN) ......................................................... 9
1.2.2. Bội chung nhỏ nhất (BCNN) ....................................................... 10
1.3. DẠNG TOÁN “ SUY LUẬN LOGIC ” ............................................... 11
1.3.1. Vận dụng nguyên lý Dirchlet ....................................................... 11
1.3.2. Phương pháp lập bảng. ................................................................ 11
1.3.3. Phương pháp giải ngược từ cuối. ................................................ 12
1.4. DẠNG TOÁN CHUYỂN ĐỘNG ........................................................ 12
CHƯƠNG 2: CÁC PHƯƠNG PHÁP ................................................................. 14
2.1. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CHIA HẾT ........................... 14
2.1.1. Phương pháp 1: Đựa vào định nghĩa phép chia hết ..................... 14
2.1.2. Phương pháp 2: Sử dụng dấu hiệu chia hết. ................................. 15
2.1.3.Phương pháp 3: Sử dụng tính chất chia hết ................................... 17
2.1.4. Dùng định lí về chia có dư .............................................................. 20
2.1.5. Phương pháp 5: Sử dụng nguyên tắc Dirichlet. ............................ 21
2.2 Một số dạng toán về ƯCLN, BCNN ........................................................ 22
2.2.1. Bài toán cơ bản liên quan đến ước và bội .................................... 23

2
document, khoa luan4 of 98.


tai lieu, luan van5 of 98.

2.2.2. Tìm số tự nhiên khi biết một số yếu tố trong đó có các dữ kiện
về ƯCLN, BCNN ...................................................................................... 26
2.2.3. Tìm ƯCLN của các biểu thức số .................................................... 30
2.3.4. Vận dụng thuật tốn Ơ-Clit tìm ƯCLN ........................................ 32
2.3. Một số dạng tốn suy luận và phương pháp giải. .................................... 33
2.3.1. Ngun lý Dirchlet với các bài toán đại số .................................... 33
2.3.2. Phương pháp lập bảng. .................................................................. 37
2.3.3.Phương pháp lựa chọn tình huống ................................................. 40
2.3.4. Phương pháp tính ngược từ cuối ................................................... 43
2.4. Một số dạng tốn chuyển động và phương pháp giải. ............................. 46
2.4.1. Chuyển động cùng chiều ................................................................ 46
2.4.2. Chuyển đơng ngược chiều:............................................................. 50
2.4.3. Chuyển động của vật có chiều dài đáng kể ................................... 52
2.4.4. Chuyển động có dịng nước ............................................................ 53
2.4.5. Chuyển động có vận tốc thay đổi trên từng đoạn ......................... 55
2.4.6.Vận tốc trung bình .......................................................................... 58
CHƯƠNG 3: MỘT SỐ BÀI TẬP ....................................................................... 61
PHẦN KẾT LUẬN .............................................................................................. 80
TÀI LIỆU THAM KHẢO................................................................................... 81

3
document, khoa luan5 of 98.


tai lieu, luan van6 of 98.

PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Mơn tốn là mơn khoa học cơ bản trong hệ thống giáo dục phổ thơng. 

Nó phát triển năng lực sáng tạo và khả năng tư duy logic cho học sinh, rèn 
luyện kĩ năng phân tích tổng hợp, rèn tính cẩn thận, kiên trì, tính chính xác, 
tính chủ động, vận dụng sáng tạo kiến thức vào thực tế, giúp ích rất nhiều cho 
cuộc sống. Song mơn Tốn là mơn học khá khó với nhiều học sinh. Mặc dù 
vậy, những người học sẽ tìm thấy điều lý thú nếu có sự say mê, phương pháp 
học đúng, nghiên cứu mơn học một cách nghiêm túc. 
 

Trong chương trình Tốn bậc THCS, mỗi khối lớp đều có những nội 

dung, chun đề bồi dưỡng học sinh khá giỏi. Đây là một trong những nội 
dung quan trọng trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi THCS những vấn 
đề này cũng được đề cập thường xun đặc biệt đối với các học sinh tham gia 
kì thi học sinh giỏi thì đây là một trong những vấn đề quan trọng mà bắt buộc 
những học sinh này phải vượt qua. 
 

Với tất cả lý do trên, tơi quyết định chọn đề tài “Một số chun đề bồi 

dưỡng học sinh khá giỏi số học 6”. 
2. Mục đích nghiên cứu
          Trên cơ sở các kiến thức được học ở trường Đại học Thủ đơ Hà Nội, 
các tài liệu bồi dưỡng thường xun, sách giáo khoa, sách bài tập và thực tiễn 
học tập của học sinh, nghiên cứu đề tài nhằm tìm ra những phương pháp giải 
các chun đề, nội dung một cách hiệu quả nhất để góp phần giúp học sinh 
đào sâu và rèn luyện năng lực tư duy Tốn học nói chung và bộ mơn số học 
nói riêng. 
          Xây dựng hệ thống bài tập về ứng dụng của nội dung này trong giảng 
dạy, bồi dưỡng học sinh khá giỏi lớp 6. 

4
document, khoa luan6 of 98.


tai lieu, luan van7 of 98.

3. Đối tượng nghiên cứu
          Khóa luận tập chung nghiên cứu những phương pháp giải các dạng 
tốn, chun đề nâng cao dành cho các học sinh khá giỏi số học 6 
4. Phạm vi nghiên cứu
Khóa luận tập trung nghiên cứu những chun đề chính của số học 6: 
Phép chia hết, ƯCLN, BCNN, Tốn suy luận logic, Tốn chuyển động.Đây 
đều là những chun đề chúng ta sẽ gặp trong các đề thi địi hỏi học sinh phải 
nắng bắt và thành thạo trong việc giải các bài tốn. 
5. nhiệm vụ nghiên cứu
Hệ thống những kiến thức cơ bản nhất về lý thuyết một số chun đề 
trong chương trình đại số lớp 6.
Sưu tầm và phân loại các chun đề một cách cụ thể và phương pháp 
giải từng dạng.
Đề xuất được hệ thống một số bài tốn học sinh khá giỏi và các đề thi 
học sinh giỏi tốn 6.
6. Phương pháp nghiên cứu
Thực hiện đề tài này, tơi kết hợp sưu tầm tài liệu và sử dụng các 
phương pháp sau:
 - Phương pháp nghiên cứu lý luận; 
 - Phương pháp phân tích; 
  

- Phương pháp tổng hợp; 
 - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm. 

5
document, khoa luan7 of 98.


tai lieu, luan van8 of 98.

CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG KHĨA LUẬN
 

N    :        Tập hợp các số tự nhiên 
N*  :        Tập hợp các số tự nhiên khác 0 

   :         Mọi 
   :         Phép kéo theo, phương trình hệ quả 
   :        Phép tương tương, phương trình tương đương 

      :            Thuộc 

      :         Chia hết 
ƯCLN:    Ước chung lớn nhất 
BCNN:    Bội chung nhỏ nhất 
HCN:       Hình chữ nhật 
TG:          Thời gian 

 
 
 
 
 

 

6
document, khoa luan8 of 98.


tai lieu, luan van9 of 98.

PHẦN NỘI DUNG

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN
1.1. PHÉP CHIA HẾT
1.1.1. Định nghĩa phép chia
Cho 2 số ngun a và b trong đó  b  0  ta ln tìm được hai số ngun q 
và r duy nhất sao cho:  a  bq  r  với  0  r  b .   
Trong đó: a là số bị chia, b là số chia, q là thương, r là số dư. 
Khi a chia cho b có thể xảy ra  b  số dư:  r  0;1; 2;....; b .  
Đặc biệt:  r  0  thì  a  bq . Khi đó ta nói a chia hết cho b hay b chia hết cho a. 
Ký hiệu:  a  b hay  ba  
Vậy  a  b   Có số nguyên q sao cho  a  bq  
1.1.2. Các tính chất
1.  Với  a  0  có  a a  
2.  Nếu    a  b  và  ba    a c  
3.  Với  a  0   có  0a  
4.  Nếu a,b > 0 và  a  b  ;  ba  a  b  
5.  Nếu    a  b  và c bất kì có  ac b  
6.  Nếu    a  b    a   b  .  
7.  Với  a    có  a  1.  
8.  Nếu   a  b  và  c b  a  c b  
9.  Nếu  a  m   và  a  n  và  m, n   1  a  mn . 

10.  Nếu  a  b  và  n  0  a n  b n . 
11.  Nếu  ac b  và   a,b   1  c b  

7
document, khoa luan9 of 98.


tai lieu, luan van10 of 98.

12.  Nếu  a  b ,  cb và m, n bất kì có:  am  cn  b  
13.  Nếu  a  b  và  c d  ac bd  
14.  Tích n số nguyên liên tiếp chia hết cho n! 
15.   a n  p (p nguyên tố)   a  p  
 
1.1.3. Một số dấu hiệu chia hết
Gọi  N    a n a n 1.....a 1a 0  
 Dấu hiệu chia hết cho 2 
+ N 2  a 0  2  a 0  0;2;4;6;8  
 Dấu hiệu chia hết cho 5 
+  N5  a o 5  a 0 0;5.  
 Dấu hiệu chia hết cho 4 (hoặc 25) 
+  N 4 (hoặc 25)  a 1a 0  4 (hoặc 25). 
 Dấu hiệu chia hết cho 8 (hoặc 125) 
+   N8 (hoặc 125)  a 2 a 1a 0 8 ( hoặc 125). 
 Dấu hiệu chia hết cho 3 (hoặc9) 
+   N3  ( hoặc 9)   a n  a n 1  .......  a 0 3 (hoặc 9). 
 Nhận xét: Dư trong phép chia của một số cho 3 (hoặc 9) cũng chính là  
dư trong phép chia tổng các chữ số của số đó cho 3 (hoặc 9). 
 Dấu hiệu chia hết cho 11 
+   N 11   a 0  a 2  .....   a 1  a 3  .....  11.  

 Dấu hiệu chia hết cho 19 
+   N 19   a n  2a n 1  2 2 a n  2  ......  2 n a 0 19  . 
8
document, khoa luan10 of 98.


tai lieu, luan van11 of 98.

 Dấu hiệu chia hết 101 



 



+   N101   a1a 0  a 5a 4  .....  a 3a 2  a 7 a 6  ..... 101 . 


 Dấu hiệu chia hết cho 27 (hoặc 37) 





 (hoặc 37)   a 2a1a 0  a 5a 4a 3  .....  27  (hoặc 37). 
+   a1 ,a 2 ,......,a n N 27
 Dấu hiệu chia hết cho 7 (hoặc 13) 



 



     +  N 7 (hoặc13)   a 2a1a 0  a 8a 7a 6  ...  a 5a 4a 3  a11a10a 9  ... 7  


      (hoặc 13). 
1.2. ƯCLN, BCNN
1.2.1. Ước chung lớn nhất (ƯCLN)
 Ước: Cho a, b là hai số nguyên. Nếu  a  b  thì b được gọi là ước của a. 
 Ước  chung:  Mỗi  số  nguyên  được  goi  là  ước  chung  của  nhiều  số 
a1 ,a 2 ,.....,a n A  khi đó là ước của mỗi số đó. 

 Ước chung lớn nhất 
Ước  chung  lớn  nhất  của  các  số  nguyên  a1 ,a 2 ,......,a n   là  số  lớn  nhất 
trong tập hợp các ước chung của chúng. 
Kí hiệu: ƯCLN   a1 ,a 2 ,......,a n   hay   a1 ,a 2 ,......,a n   
 Tính chất 
+ Với  k  Z,k  0  ta có: (ka1 ,ka 2 ,...., ka n )  k(a1 ,a 2 ,....,a n ) . 
+ 

Với 

k  Z,k  0  

và 

a n  (a1 ,a 2 ,...., a n )

 a1 a 2
 
 , ,....,  
k
k
k
k


+  Nếu   (a,b)  1 và  b ac   thì  b c  

9
document, khoa luan11 of 98.

k a,i  1,2,....,n  

ta 

có


tai lieu, luan van12 of 98.

+  Nếu   (a,b)  1 và  (a,c)  1  thì  (a,bc)  1.  
1.2.2. Bội chung nhỏ nhất (BCNN)
 Bội: Nếu một số a chia hết cho một số b thì a được gọi là bội của b. 
 Bội  chung:  Một  số  nguyên  được  gọi  là  bôi  chung  của  các  số 
a1 ,a 2 ,......,a n   khi nó là bội của mỗi số đó. 

 Bội chung nhỏ nhất: Mỗi bội chung  m  0 của các số   a1 ,a 2 ,......,a n  gọi 

là  bội  chung  nhỏ  nhất  của  các  số  đó  nếu  mọi  bơi  chung    của  các  số  
a1 ,a 2 ,......,a n đều là bội chung của m. 

Kí hiệu: BCNN  (a, b)  a, b  

ab
. 
UCLN(a, b)

 Tính chất 
+ Với  k  Z,k  0 ta có: 

( a, b)   ka1 , ka2 ,....., kan   k  a1 , a2 ,...., an .  
+Với 

k  Z,k  0  

an
 a1 a 2
 , ,....,
d
d d

d a i ,i  1,2,...,n

và 

ta 

có: 

  a 1 , a 2 ,....,a n 
 

d


m m
m
+  M   a1 ,a 2 ,.....,a n    , ,....,   1.  . 
an 
 a1 a 2

+ Nếu các số  a1 ,a 2 ,......,a n  ngun tố sánh đơi thì  
     (a,b)   a1 ,a 2 ,.....,a n   a1 ,a 2 ,.....,a n .  
+ Nếu số nguyên b là bội chung của các số  a1 ,a 2 ,......,a n  ngun tố sánh 
đơi thì b là bội của tích   a1.a 2 ...a n .  

10
document, khoa luan12 of 98.


tai lieu, luan van13 of 98.

1.3. DẠNG TOÁN “SUY LUẬN LOGIC”
1.3.1. Vận dụng ngun lý Dirchlet
Ngun lý Dirichlet là một định lý có thể chứng minh dễ dàng bằng phản 
chứng đã được nhà tốn học Đức Dirichlet áp dụng để chứng minh nhiều định 
lý tốn học. 
 Ngun tắc Dirichlet thường được phát biểu dưới dạng hình học đơn giản 

như sau: “Nếu nhốt 9 con thỏ vào 4 cái chuồng thì phải có một chuồng ít nhất 
là 3 con thỏ. Ngun tắc này cịn được phát biểu dưới dạng khác: 
Dạng 1: Nếu có một ánh xạ từ tập hợp M có n + 1 phần tử vào tập hợp N 
có n phần tử  ít  nhất cũng có  hai phần tử của tập  hợp M  có cùng  một ảnh  là 
một phần tử của tập hợp M có cùng một ảnh là một phần tư của tập hợp N qua 
ánh xạ đó: 
Dạng 2: Nếu tập hợp E gồm n tập hợp con gồm n phần tử và được phân ra 
thành n tập hợp con đơi  một khơng vng góc với nhau mà N > nk thì có ít 
nhất một tập hợp con chứa nhiều hơn một phần tử. 
Dạng 3: Minh họa bằng hình ảnh 
Nếu nhốt N con thỏ vào n chuồng mà N > nk thì có ít nhất một chuồng dốt 
nhiều hơn k con thỏ. 
1.3.2. Phương pháp lập bảng.
Các bài tốn giải bằng phương pháp lập bảng thường xuất hiện hai nhóm đối 
tượng: (chẳng hạn tên người và nghề nghiệp, hoặc vận động viên và giải 
thưởng, hoặc tên sách và màu bìa, …). Khi giải ta thiết lập một bảng gồm các 
hàng và các cột. Các cột ta liệt kê các đối tượng thuộc nhóm thứ nhất, cịn các 
hàng ta liệt kê các đối tượng thứ 2. 
Dựa vào điều kiện trong đề bài ta loại bỏ dần (ghi số 0) các ơ (là giao của mỗi 
hàng và mỗi cột). Những ơ cịn lại (khơng bị loại bỏ) là kết quả của bài tốn.

11
document, khoa luan13 of 98.


tai lieu, luan van14 of 98.

1.3.3. Phương pháp giải ngược từ cuối.
Có một số bài tốn mà ta có thể tìm số chưa biết bằng cách thực hiện liên 
tiếp các phép tính đã cho trong bài tốn. Khi giải bài tốn theo phương pháp 

này thì kết quả của  một phép tính sẽ trở thành  một phần đã biết trong phép 
tính liền sau đó, cứ tiếp tục như thế cho đến khi tìm được số phải tìm. Ta nói 
rằng bài tốn được giải theo phương pháp tính ngược từ cuối. 
1.4. DẠNG TỐN CHUYỂN ĐỘNG
Các cơng thức tốn chuyển động: 
+ Tính vận tốc (km/giờ): v = S : t 
+ Tính qng đường (km): S = v . t 
+ Tính thời gian (giờ): t = S : v 
Tính thời gian đi: TG đi = TG đến – TG khởi hành – TG nghỉ (nếu có) 
Tính thời gian khởi hành: TG khởi hành = TG đến – TG đi 
a) Cùng chiều Đi cùng lúc, đuổi kịp nhau 
- Tìm hiệu vận tốc: v = v1 – v2 
- Tìm thời gian đi đuổi kịp nhau 
TG đi đuổi kịp nhau bằng = Khoảng cách hai xe : Hiệu vận tốc 
- Chỗ kịp đuổi nhau cách điểm khởi hành = Vận tốc . TG đi đi kịp nhau 
b) Cùng chiều đi, khơng cùng lúc, đuổi kịp nhau 
- Tìm thời gian xe (người) đi trước (nếu có) 
- Tìm qng đường xe đi trước: S = v . t 
- Tìm TG đi đuổi kịp nhau = Qng đường xe (người) đi trước: Hiệu vận tốc  
- Ơ tơ đuổi kịp xe máy lúc = Thời điểm khởi hành của ơ tơ + TG đi đuổi kịp 
nhau. 
*Lưu ý: TG xe đi trước = TG xe ơ tơ khởi hành – TG xe máy khởi hành  
12
document, khoa luan14 of 98.


tai lieu, luan van15 of 98.

c) Ngược chiều, đi cùng lúc, đi lại gặp nhau 
- Tìm tổng vận tốc : v = v1 + v2 

- Tìm TG để đi gặp nhau: 
TG đi để gặp nhau = S khoảng cách 2 xe : Tổng vận tốc 
- Ơ tơ gặp xe máy lúc: 
Thời điểm khởi hành của ơ tơ (xe máy) + TG đi gặp nhau 
- Chỗ gặp nhau cách điểm khởi hành = Vận tốc + TG đi gặp nhau 
*Lưu ý: TG xe đi trước = TG xe ơ tơ khởi hành – TG xe máy khởi hành 
d) Ngược chiều, đi trước, đi lại gặp nhau 
- Tìm TG xe (người) đi trước (nếu có) 
- Tìm qng đường xe đi trước : S = v . t 
-  Tìm  qng  đường  cịn  lại  =  Quãng  đường  đã  cho  (khoảng  cách  hai  xe)  – 
Qng đường xe đi trước. 
- Tìm tổng vận tốc: v1+ v2 
- Tìm TG đi để gặp nhau = Qng đường cịn lại : Tổng vận tốc  
*Một số chú ý khác 
- (v1 + v2) = S : t (đi gặp nhau) 
- S = (v1 + v2) . t (đi gặp nhau) 
- (v1 – v2) = S : t (đi đuổi kịp nhau) 
Thời gian đi gặp nhau = Thời điểm gặp nhau lúc 2 xe – Thời điểm khởi hành 
2 xe 
- Tính vận tốc xi dịng = v thuyền khi nước lặng + v dịng nước 
- Tính vận tốc ngược dịng = v thuyền khi nước lặng – v dịng nước 
- Tính vận tốc dịng nước = (v xi dịng – v ngược dịng) : 2 

13
document, khoa luan15 of 98.


tai lieu, luan van16 of 98.

- Tính vận tốc khi nước lặng = v khi nước lặng = v xi dịng – v dịng nước 

- Tính vận tốc tàu (thuyền) khi nước lặng = v ngược chiều + v dịng nước 

                           
 
 
 
 
 
CHƯƠNG 2: CÁC PHƯƠNG PHÁP
2.1. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CHIA HẾT
2.1.1. Phương pháp 1: Đựa vào định nghĩa phép chia hết
Để chứng minh a chia hết cho b (b khác 0), ta biểu diễn số a dưới dạng 
một 
tích các thừa số, trong đó có một thừa số bằng b (hoặc chia hết cho b), a= b.

 k  N hoặc a = m . k (m chia hết cho b)
Bài 1: Các tích sau có chia hết cho 4 khơng? 
      a) 5.12   

 

 

b)14.28 

 

Giải 
a. 5 .1 2    5 .3 .4  4  (Vì 12 = 3.4 chia hết cho 4) 
b. 14.28 4  (Vì 28 = 7.4 chia hết cho 4) 

c. 126.527 4  (Vì 527 = 143.4 chia hết cho 4) 
Bài 2: Không thực hiện phép chia chứng tỏ rằng: 
   a) 39.2015 chia hết cho 13 
   b) 009.2010 chia hết cho 3 

14
document, khoa luan16 of 98.

 

 

c) 126.572 


tai lieu, luan van17 of 98.

   c) 187.2014 chia hết cho 17 
Giải
a. Ta có:  39.2015  3.13.2015 13  (vì  13 1 3 ) 
b. Ta có:  2010  3  nên  2009.20103 
c. Ta có:  18717  nên  187.201417  
Bài 3: Chứng tỏ rằng số có dạng  aaa bao giờ cũng chia hết cho 3, cho 37      
Giải 
Ta có: aaa  a.111  a.3.37  chia hết cho 3, cho 37
Bài 4: Chứng tỏ rằng số có dạng  abcabc  bao giờ cũng chia hết cho 11, chia 
hết cho 7 và chia hết cho 13. 
Giải 
Ta có:  abcabc  abc000  abc  abc(1000  1)  abc.1001  abc.11.7.13  
Nên  abcabc  chia hết cho 11, chia hết cho 7 và chia hết cho 13. 

Bài 5: Chứng minh rằng, nếu lấy một số có 2 chữ số cộng với số gồm 2 chữ 
số ấy viết theo thứ tự ngược lại, ta ln được một số chia hết cho 11. 
Giải 
Gọi hai số đó là ab và ba. 
Ta có:   ab  bc  10a  b  10b  a  11a  11b  11(a  b)11  
2.1.2. Phương pháp 2: Sử dụng dấu hiệu chia hết.
Bài 1: Tìm các số a,b sao cho  a56b45 . 
Giải 
Ta thấy 45 = 5.9 mà   5; 9   1 . Vậy  a56b45  a56b5  và  a56b9 . 

15
document, khoa luan17 of 98.


tai lieu, luan van18 of 98.

       a56b  5  b  0;5  









+ Nếu b = 0 ta có số  a56b9   a  5  6  09   a  119  a  7 . 
+ Nếu b = 5 ta có số a56b9   a  5  6  59   a  169  a  2  
   Vậy a = 7, b = 0 ta có số 7560. 
           a = 2, b = 5 ta có số 2565. 

Bài 2: Tìm các chữ số a,b sao cho a – b = 4 và  7a5b13.  
Giải 
Số  7a5b1 3   7  a  5  b  1 3  13  a  b  3.  
Ta có 13 chia cho 3 dư 1 nên để  13  a  b 3  thì (a+b) chia cho 3 dư 2 (1) 
Mà theo đầu bài a – b = 4 nên  0  b  5  4  a  9  4   a  b   14  (2) 
Mặt khác a – b là số chẵn nên a + b là số chẵn (3) 
Từ (1), (2) và (3) suy ra:  a  b 8;14.  

a  b  8
a  6
+ Với 
. Số cần tìm là: 76521. 

a  b  4  b  2
a  b  14
a  9

+ Với 
. Số cần tìm là: 79551. 
a

b

4
b

5


Bài 3: Cho  A  2  22  23 ....  260 . Chứng minh rằng A chia hết cho 3,7. 

          Giải 
         + Viết A dưới dạng: 

A  (2  22 )  (23  24 )  ....  (259  260 )  
    

 2(1  2)  23 (1  2)  .....  259 (1  2)
3

59

 

 2.3  2 .3  .....  2 .3
16
document, khoa luan18 of 98.


tai lieu, luan van19 of 98.

      3(2  23  .....  259 )3  
Vậy A3. 
           + Viết A dưới dạng 

A  (2  22  23 )  (24  25  26 )  ....  (258  259  260 )  
 2(1  2  22 )  2 4 (1  2  22 )  .....  258 (1  2  22 )
 2.7  2 4.7  .....  258.7
 7(2  2 4  .....  258 ) 7

 

Vậy A  7 . 
2.1.3. Phương pháp 3: Sử dụng tính chất chia hết
Chú ý: Trong n số ngun liên tiếp có 1 và chỉ 1 số chia hết cho n  ( n  1) . 
Chứng minh: Lấy n số ngun liên tiếp chia cho n thì được n số dư khác nhau 
đơi một, trong n số dư khác nhau đơi một này có duy nhất một số dư bằng 0, 
tức là có duy nhất một số chia hết cho n.
Bài 1: Chứng minh rằng: 
a) Tích của hai số ngun liên tiếp ln chia hết cho 2. 
b) Tích của 3 số ngun liên tiếp chia hết cho 6. 
c) Tích của hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8.        
Giải 
a. Trong 2 số ngun liên tiếp bao giờ cũng có 1 số chẵn  

 Số chẵn đó chia hết cho 2. 
Vậy tích của 2 số ngun liên tiếp ln chia hết cho 2. 
b. Tích  của  2  số  ngun  liên  tiếp  ln  chia  hết  cho  2  nên  tích  của  3  số 
liên  
tiếp ln chia hết cho 2. 
Trong 3 số ngun liên tiếp bao giờ cũng có 1 số chia hết cho 3. 

17
document, khoa luan19 of 98.


tai lieu, luan van20 of 98.

Tích 3 số đó chia hết cho 3, mà (2,3) = 1 
Vậy tích của 3 số ngun liên tiếp ln chia hết cho 6. 
c. Hai số chẵn liên tiếp có dạng 2n và 2n +1 (với  n  Z ) do đó tích của 

chúng là : 2n (2n + 1) =4n (n + 1) mà n và n +1 là 2 số ngun liên tiếp nên 
có một số chia hết cho 2, do đó  n(n  1) 2 suy ra  4n(n  1)8 . 
Vậy tích của 2 số chẵn liên tiếp chia hết cho 8. 
Bài 2: Chứng minh rằng:   n 4  6 n 3  11n 2  6 n  24  với n  Z .        
       Giải
        n 4  6n 3  11n 2  6n  n(n 3  6n 2  11n  6)  
           n.  ( n 3  n 2 )  (11n 2  1 1n )  (6  6 n 2 )   
           n.  n 2 (n  1)  11n (n  1)  6(n 2  1)   
2
           n.(n  1)  n  11n (n  1)  6(n  1)   
2
           (n  1)(n  5n  6)  n(n  1)(n  2)(n  3)  

     Ta có: 
           n.(n  1) 2  (Ví dụ 1) 
           n.(n  1).(n  2)3  (Ví dụ 1) 
           n.(n  1).(n  2).(n  3) 4  (Tích của 4 số ngun liên tiếp có ít nhất một 
số chia hết cho 4) 
          n.(n 1).(n  2).(n  3)24  
        Vậy  n 4  6n 3  6n  11n 2  6n  24n  Z . 
Bài 3: Chứng minh rằng:   n 4  4 n 3  14 n 2  16n  384  n chẵn, n  4 . 

18
document, khoa luan20 of 98.


tai lieu, luan van21 of 98.

Giải 
Vì n chẵn,  n  4 ta đặt  n  2k, k  2.  

Ta có:  n4  4n3  4n2  16n  16k4  32k3 16k2  32k  
 16k(k 3  2k 2  k  2)  16k(k  2)(k  1)(k  1)  

Với  k  2  nên k-2, k-1, k+1, k là 4 số tự nhiên liên tiếp nên trong 4 số đó có 1 
số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 4 nên  (k  2).(k 1).(k 1)k8  
Mà  (k  2)(k 1)k3 , (3,8) = 1 
 (k  2)(k 1)(k  1)k24  
16(k  2)(k 1)(k  1)k16.24  

16(k  2)(k 1)(k  1)k384  

Vậy   n 4  4n 3  14n 2  16n 384n  chẵn, n  4 . 
Bài 4: Với p là số nguyên tố p > 3. Chứng minh rằng: p2  1 24 .
Giải:
Có  p 2  1  (p  1)(p  1)  vì p là số nguyên tố nên p > 3
 p  1  2k(k  2,3,...)  p  1  2k  2

Ta có:  (p  1)(p  1)  4k(k  1)8  
Xét 3 số tự nhiên liên tiếp p-1, p, p+1 có 1 số chia hết cho 3. Vì p ngun tố 
nên p khơng chia hết cho 3 
 p  1 hoặc  p  1  chia hết cho 3 
 (p  1)(p  1)3 và  (p  1)(p  1)8  

Vậy   p 2  1 24  

19
document, khoa luan21 of 98.


tai lieu, luan van22 of 98.

2.1.4. Dùng định lí về chia có dư
Để chứng minh n chia hết cho p ta xét mọi trường hợp về số dư khi chia n 
cho p:
Ta viết: n = p.k + r, trong đó r = 0, 1, …,p-1; k  N . Rồi xét tất cả các trường 
hợp của r.
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì tích (n + 3) . (n + 6) chia 
hết cho 2         
Giải 
Với mọi n ta có thể viết hoặc n = 2k +1 hoặc n = 2k 
Với n = 2k +1 ta có: 

 n  3. n  6    2k  1  3. 2k  1  6    2k  4 . 2k  7 2  
Với n = 2k ta có:  n  3 n  6    2k  3 2k  6    2k  3 . k  3 .2 2  
Vậy với mọi  n  N  thì  n  3 n  6  2 . 
Bài 2: Chứng minh rằng:  
a) Tích của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3. 
b) Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 4 
Giải 
a. Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là n, n +1, n +2, 
Tích của 3 số tự nhiên liên tiếp là  n  n  1 n  2   
Mọi số tự nhiên khi chia cho 3 có thể nhận 1 trong 3 số dư 0 ;1; 2 
Nếu r = 0 thì   n 3  n  n  1. n  2 3  
Nếu r = 1 thì  n  3k  1  ( k là số tự nhiên) 
 n  2  3k  1  2  (3k  3)3  

 n  n  1 .  n  2 3  
20
document, khoa luan22 of 98.

tai lieu, luan van23 of 98.

Tóm lại, n  n  1 . n  23  với mọi n là số tự nhiên 
b. Chứng minh tương tự ta có: n  n  1 . n  2  n  4  4  với mọi n là số 
tự nhiên. 
Sau khi  giải bài tập  này,  giáo  viên  u cầu  học sinh  nêu bài tập  này ở dạng 
tổng qt. 
Giáo viên khắc sâu cho học sinh: Tích của n số tự nhiên liên tiếp ln chia hết 
cho n. 
Nhận xét: Phương pháp này thường được sử dụng khi chứng minh  một biểu 
thức có chứa biến chia hết cho các số tự nhiên có một chữ số. Khi chứng minh 
một  biểu  thức  chia  hết  cho  các  số  tự  nhiên  lớn  hơn  10  ta  khơng  sử  dụng 
phương pháp này vì nó phải xét nhiều trường hợp. 
2.1.5. Phương pháp 5: Sử dụng ngun tắc Dirichlet. 
Nội dung của ngun tắc Dirichlet: “Nếu có n + 1 con thỏ, xếp vào n 
chuồng, thì ít nhất một chuồng chứa 2 con thỏ trở lên”.
Đối với dạng tốn này giáo viên khơng đi sâu mà chỉ giới thiệu cho học sinh 
biết và bài tập vận dụng suy luận dễ hiểu. 
Bài 1: Cho 3 số lẻ, chứng minh rằng tồn tại hai số có tổng hoặc hiệu chia hết 
cho 8. 
Giải 
Một  số  lẻ  chia  cho  8  thì  số  dư  chỉ  có  thể  là  một  trong  bốn  số  sau:  1; 
3;5;7, ta chia 4 số dư này (4 con thỏ) thành 2 nhóm (2 lồng) 
Nhóm 1: dư 1 hoặc dư 7 
Nhóm 2: dư 3 hoặc dư 5 
Có 3 số lẻ (3 thỏ) mà chỉ có hai nhóm số dư nên tồn tại hai số thuộc cùng một 
nhóm  

21

document, khoa luan23 of 98.


tai lieu, luan van24 of 98.

Nếu 2 số dư bằng nhau thì hiệu của chúng chia hết cho 8 
Nếu 2 số dư khác nhau thì tổng của chúng chia hết cho 8 
Bài 2: Chứng minh rằng trong 6 số tự nhiên bất kì ln tìm được 2 số có hiệu 
chia hết cho 5.
Giải 
Một số khi chia cho 5 có thể nhận một trong các số dư là: 0; 1; 2; 3; 4. 
Trong 6 số tự nhiên bất kì khi chia cho 5 ln tồn tại ít nhất 2 số có cùng số 
dư (ngun tắc Dirichlet). Hiệu của hai số chia hết cho 5. 
Bài 3:  Một  lớp  có  50  học  sinh.  Chứng  minh  rằng  có  ít  nhất  5  học  sinh  có 
tháng sinh giống nhau. 
Giải 
Giả sử có khơng q 4 học sinh có tháng sinh giống nhau 
Một năm có 12 tháng, khi đó số học sinh của lớp có khơng q: 12.4=48 ( học 
sinh  ),(  ít  hơn 50  học sinh  ).Vậy  theo  ngun  tắc Dirichlet phải có  ít  nhất  5 
học sinh có tháng sinh giống nhau. 
2.2 Một số dạng tốn về ƯCLN, BCNN
Kiến thức nâng cao. 
+ Cho ƯCLN (a, b) = d. Nếu chia a, b cho d thì thương của chúng là những số 
ngun tố cùng nhau. 
+ Mối quan  hệ đặc biệt  giữa ƯCLN của 2 số a, b (kí  hiệu (a,  b))  và  BCNN 
của 2 số a, b (kí hiệu  a,b ) với tích của 2 số a và b là: 
*Chứng minh: Đặt   a, b   d  a  md  và  b  md . Với  m,n  *  
   m, n   1 Từ (1)   ab  mnd 2 ; a, b   mnd  
    a, b  . a, b   d.  mnd   mnd 2  ab  

22
document, khoa luan24 of 98.


tai lieu, luan van25 of 98.

 Vậy  a.b   a,b  .a,b  (đpcm) 
2.2.1. Bài toán cơ bản liên quan đến ước và bội
Bài 1: Tìm số chia và thương của một phép chia có số bị chia bằng 145, số dư 
bằng 12 biết rằng thương khác 1(số chia và thương là các số tự nhiên). 
Giải 
Gọi x là số chia, a là thương, ta có 145 = ax + 12 (x > 12). Như vậy, x 
là ước của 145 – 12 = 133 
Phân tích ra thừa số ngun tố: 133 = 7. 19 
Ước của 133 mà lớn hơn 12 là: 19 và 133 
Nếu số chia bằng 19 thì thương bằng 7. Nếu số chia bằng 133 thì thương bằng 
1 (trái với đề bài). 
Vậy số chia bằng 19 và thương bằng 7. 
Bài 2:  Một  phép  chia  số  tự  nhiên  có  số  bị  chia  bằng  3193.  Tìm  số  chia  và 
thương của phép chia đó, biết rằng số chia có hai chữ số. 
Giải 
          Nhận xét: 
1) Loại suy: 
3193 khơng chia hết cho 2   3193 khơng chia hết cho 2k   khơng chia hết 
cả 4k, 6k, 8k. 
Tương tự: 3193 khơng chia hết cho 3k, 5k, 7k, 9k. 

Số chia của 3193 là một số ngun tố 
Gọi số chia là ab   b chỉ có thể là 1, 3, 7, 9 
Ngồi ra, ta nhận thấy thương của phép chia cũng phải là một số ngun tố  

2) Phép thử: 

23
document, khoa luan25 of 98.