Toán cao cấp C2 - Chương II: Không gian vector pdf

NCS. Đặng Văn Cường Toán cao cấp C2
Chương II
KHÔNG GIAN VECTOR
ĐH Duy Tân 1 Khoa KHTN
NCS. Đặng Văn Cường Toán cao cấp C2
Chương II
KHÔNG GIAN VECTOR
Nội dung cơ bản
ĐH Duy Tân 1 Khoa KHTN
NCS. Đặng Văn Cường Toán cao cấp C2
Chương II
KHÔNG GIAN VECTOR
Nội dung cơ bản
(1) Khái niệm không gian vector, các tính chất cơ bản của các
tiên đề, các không gian vector thường gặp.
ĐH Duy Tân 1 Khoa KHTN
NCS. Đặng Văn Cường Toán cao cấp C2
Chương II
KHÔNG GIAN VECTOR
Nội dung cơ bản
(1) Khái niệm không gian vector, các tính chất cơ bản của các
tiên đề, các không gian vector thường gặp.
(2) Tổ hợp tuyến tính cả một hệ vector, biểu thị tuyến tính của một
vector theo một hệ.
ĐH Duy Tân 1 Khoa KHTN
NCS. Đặng Văn Cường Toán cao cấp C2
Chương II
KHÔNG GIAN VECTOR
Nội dung cơ bản
(1) Khái niệm không gian vector, các tính chất cơ bản của các
tiên đề, các không gian vector thường gặp.

(2) Tổ hợp tuyến tính cả một hệ vector, biểu thị tuyến tính của một
vector theo một hệ.
(3) Khái niệm cơ sở, số chiều của một không gian vector. Chứng
minh một hệ là một cơ sở của một không gian vector.
ĐH Duy Tân 1 Khoa KHTN
NCS. Đặng Văn Cường Toán cao cấp C2
Chương II
KHÔNG GIAN VECTOR
Nội dung cơ bản
(1) Khái niệm không gian vector, các tính chất cơ bản của các
tiên đề, các không gian vector thường gặp.
(2) Tổ hợp tuyến tính cả một hệ vector, biểu thị tuyến tính của một
vector theo một hệ.
(3) Khái niệm cơ sở, số chiều của một không gian vector. Chứng
minh một hệ là một cơ sở của một không gian vector.
(4) Tọa độ của một vector trong cơ sở, công thức đổi tọa độ.
ĐH Duy Tân 1 Khoa KHTN
NCS. Đặng Văn Cường Toán cao cấp C2
1 Khái niệm và ví dụ
ĐH Duy Tân 2 Khoa KHTN
NCS. Đặng Văn Cường Toán cao cấp C2
1 Khái niệm và ví dụ
1.1 Định nghĩa không gian vectơ.
ĐH Duy Tân 2 Khoa KHTN
NCS. Đặng Văn Cường Toán cao cấp C2
1 Khái niệm và ví dụ
1.1 Định nghĩa không gian vectơ.
Cho V là một tập hợp khác rỗng , K là trường số (thực hay phức).
Cho hai phép toán:
ĐH Duy Tân 2 Khoa KHTN

NCS. Đặng Văn Cường Toán cao cấp C2
1 Khái niệm và ví dụ
1.1 Định nghĩa không gian vectơ.
Cho V là một tập hợp khác rỗng , K là trường số (thực hay phức).
Cho hai phép toán:
- Phép cộng hai vectơ
V × V → V
(x, y) → x + y
ĐH Duy Tân 2 Khoa KHTN
NCS. Đặng Văn Cường Toán cao cấp C2
1 Khái niệm và ví dụ
1.1 Định nghĩa không gian vectơ.
Cho V là một tập hợp khác rỗng , K là trường số (thực hay phức).
Cho hai phép toán:
- Phép cộng hai vectơ
V × V → V
(x, y) → x + y
- Phép nhân một vô hướng với một vectơ
K × V → V
(λ, x) → λx .
ĐH Duy Tân 2 Khoa KHTN
NCS. Đặng Văn Cường Toán cao cấp C2
Ta bảo V cùng với hai phép toán trên lập thành một không gian
vectơ trên K, hay K - không gian vectơ, nếu 8 tiên đề sau đây
được thoả mãn:
ĐH Duy Tân 3 Khoa KHTN
NCS. Đặng Văn Cường Toán cao cấp C2
Ta bảo V cùng với hai phép toán trên lập thành một không gian
vectơ trên K, hay K - không gian vectơ, nếu 8 tiên đề sau đây
được thoả mãn:

(1) x + y = y + x; ∀x, y ∈ V ; (2)
(x + y) + z = x + (y + z); ∀x, y, z ∈ V ;
ĐH Duy Tân 3 Khoa KHTN
NCS. Đặng Văn Cường Toán cao cấp C2
Ta bảo V cùng với hai phép toán trên lập thành một không gian
vectơ trên K, hay K - không gian vectơ, nếu 8 tiên đề sau đây
được thoả mãn:
(1) x + y = y + x; ∀x, y ∈ V ; (2)
(x + y) + z = x + (y + z); ∀x, y, z ∈ V ;
(3) ∃0
V
∈ V sao cho x + 0
V
= 0
V
+ x = x; ∀x ∈ V ;
ĐH Duy Tân 3 Khoa KHTN
NCS. Đặng Văn Cường Toán cao cấp C2
Ta bảo V cùng với hai phép toán trên lập thành một không gian
vectơ trên K, hay K - không gian vectơ, nếu 8 tiên đề sau đây
được thoả mãn:
(1) x + y = y + x; ∀x, y ∈ V ; (2)
(x + y) + z = x + (y + z); ∀x, y, z ∈ V ;
(3) ∃0
V
∈ V sao cho x + 0
V
= 0
V
+ x = x; ∀x ∈ V ;

(4) ∀x ∈ V, ∃ − x ∈ V sao cho x + (−x) = (−x) + x = 0
V
;
ĐH Duy Tân 3 Khoa KHTN
NCS. Đặng Văn Cường Toán cao cấp C2
Ta bảo V cùng với hai phép toán trên lập thành một không gian
vectơ trên K, hay K - không gian vectơ, nếu 8 tiên đề sau đây
được thoả mãn:
(1) x + y = y + x; ∀x, y ∈ V ; (2)
(x + y) + z = x + (y + z); ∀x, y, z ∈ V ;
(3) ∃0
V
∈ V sao cho x + 0
V
= 0
V
+ x = x; ∀x ∈ V ;
(4) ∀x ∈ V, ∃ − x ∈ V sao cho x + (−x) = (−x) + x = 0
V
;
(5) λ(x + y) = λx + λy; ∀x, y ∈ V ; ∀λ ∈ K;
ĐH Duy Tân 3 Khoa KHTN
NCS. Đặng Văn Cường Toán cao cấp C2
Ta bảo V cùng với hai phép toán trên lập thành một không gian
vectơ trên K, hay K - không gian vectơ, nếu 8 tiên đề sau đây
được thoả mãn:
(1) x + y = y + x; ∀x, y ∈ V ; (2)
(x + y) + z = x + (y + z); ∀x, y, z ∈ V ;
(3) ∃0
V

∈ V sao cho x + 0
V
= 0
V
+ x = x; ∀x ∈ V ;
(4) ∀x ∈ V, ∃ − x ∈ V sao cho x + (−x) = (−x) + x = 0
V
;
(5) λ(x + y) = λx + λy; ∀x, y ∈ V ; ∀λ ∈ K;
(6) (λ + µ)x = λx + µx; ∀x ∈ V ; ∀λ, µ ∈ K;
ĐH Duy Tân 3 Khoa KHTN
NCS. Đặng Văn Cường Toán cao cấp C2
Ta bảo V cùng với hai phép toán trên lập thành một không gian
vectơ trên K, hay K - không gian vectơ, nếu 8 tiên đề sau đây
được thoả mãn:
(1) x + y = y + x; ∀x, y ∈ V ; (2)
(x + y) + z = x + (y + z); ∀x, y, z ∈ V ;
(3) ∃0
V
∈ V sao cho x + 0
V
= 0
V
+ x = x; ∀x ∈ V ;
(4) ∀x ∈ V, ∃ − x ∈ V sao cho x + (−x) = (−x) + x = 0
V
;
(5) λ(x + y) = λx + λy; ∀x, y ∈ V ; ∀λ ∈ K;
(6) (λ + µ)x = λx + µx; ∀x ∈ V ; ∀λ, µ ∈ K;
(7) (λµ)x = λ(µx); ∀x ∈ V ; ∀λ, µ ∈ K;

ĐH Duy Tân 3 Khoa KHTN
NCS. Đặng Văn Cường Toán cao cấp C2
Ta bảo V cùng với hai phép toán trên lập thành một không gian
vectơ trên K, hay K - không gian vectơ, nếu 8 tiên đề sau đây
được thoả mãn:
(1) x + y = y + x; ∀x, y ∈ V ; (2)
(x + y) + z = x + (y + z); ∀x, y, z ∈ V ;
(3) ∃0
V
∈ V sao cho x + 0
V
= 0
V
+ x = x; ∀x ∈ V ;
(4) ∀x ∈ V, ∃ − x ∈ V sao cho x + (−x) = (−x) + x = 0
V
;
(5) λ(x + y) = λx + λy; ∀x, y ∈ V ; ∀λ ∈ K;
(6) (λ + µ)x = λx + µx; ∀x ∈ V ; ∀λ, µ ∈ K;
(7) (λµ)x = λ(µx); ∀x ∈ V ; ∀λ, µ ∈ K;
(8) 1.x = x ∀x ∈ V .
ĐH Duy Tân 3 Khoa KHTN
NCS. Đặng Văn Cường Toán cao cấp C2
∗ Vectơ 0
V
∈ V trong tiên đề (2) được gọi là vectơ không của V
và thường được kí hiệu đơn giản là 0 nếu không sợ nhầm lẫn.
Vectơ −x ∈ V trong tiên đề (3) được gọi là vectơ đối của x.
ĐH Duy Tân 4 Khoa KHTN
NCS. Đặng Văn Cường Toán cao cấp C2

∗ Vectơ 0
V
∈ V trong tiên đề (2) được gọi là vectơ không của V
và thường được kí hiệu đơn giản là 0 nếu không sợ nhầm lẫn.
Vectơ −x ∈ V trong tiên đề (3) được gọi là vectơ đối của x.
∗ Nhờ tiên đề (1) ta có thể viết x + y + z thay cho một trong hai
vế của (1) và còn được gọi là tổng của x, y, z Tổng quát hơn ta có
thể xét tổng n vectơ (n ≥ 2): x
1
+ x
2
+ + x
n
và kí hiệu là
n

i=1
x
i
.
ĐH Duy Tân 4 Khoa KHTN
NCS. Đặng Văn Cường Toán cao cấp C2
∗ Vectơ 0
V
∈ V trong tiên đề (2) được gọi là vectơ không của V
và thường được kí hiệu đơn giản là 0 nếu không sợ nhầm lẫn.
Vectơ −x ∈ V trong tiên đề (3) được gọi là vectơ đối của x.
∗ Nhờ tiên đề (1) ta có thể viết x + y + z thay cho một trong hai
vế của (1) và còn được gọi là tổng của x, y, z Tổng quát hơn ta có
thể xét tổng n vectơ (n ≥ 2): x

1
+ x
2
+ + x
n
và kí hiệu là
n

i=1
x
i
.
∗ Tổng x + (−y) còn được viết là x − y và gọi là hiệu của x và y.
ĐH Duy Tân 4 Khoa KHTN
NCS. Đặng Văn Cường Toán cao cấp C2
∗ Vectơ 0
V
∈ V trong tiên đề (2) được gọi là vectơ không của V
và thường được kí hiệu đơn giản là 0 nếu không sợ nhầm lẫn.
Vectơ −x ∈ V trong tiên đề (3) được gọi là vectơ đối của x.
∗ Nhờ tiên đề (1) ta có thể viết x + y + z thay cho một trong hai
vế của (1) và còn được gọi là tổng của x, y, z Tổng quát hơn ta có
thể xét tổng n vectơ (n ≥ 2): x
1
+ x
2
+ + x
n
và kí hiệu là
n


i=1
x
i
.
∗ Tổng x + (−y) còn được viết là x − y và gọi là hiệu của x và y.
∗ Khi K = R (hay C) thì V được gọi là không gian vectơ thực (hay
phức).
ĐH Duy Tân 4 Khoa KHTN
NCS. Đặng Văn Cường Toán cao cấp C2
∗ Vectơ 0
V
∈ V trong tiên đề (2) được gọi là vectơ không của V
và thường được kí hiệu đơn giản là 0 nếu không sợ nhầm lẫn.
Vectơ −x ∈ V trong tiên đề (3) được gọi là vectơ đối của x.
∗ Nhờ tiên đề (1) ta có thể viết x + y + z thay cho một trong hai
vế của (1) và còn được gọi là tổng của x, y, z Tổng quát hơn ta có
thể xét tổng n vectơ (n ≥ 2): x
1
+ x
2
+ + x
n
và kí hiệu là
n

i=1
x
i
.

∗ Tổng x + (−y) còn được viết là x − y và gọi là hiệu của x và y.
∗ Khi K = R (hay C) thì V được gọi là không gian vectơ thực (hay
phức).
1.2 Một số ví dụ
ĐH Duy Tân 4 Khoa KHTN
NCS. Đặng Văn Cường Toán cao cấp C2
1.3 Các tính chất đơn giản.
ĐH Duy Tân 5 Khoa KHTN