TIỂU LUẬN PHÉP NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG-HCM
Khoa Toán – Tin học

TIỂU LUẬN
PHÉP NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG
TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG
Mơn học:

Hình học sơ cấp

Giảng viên: TS. Trần Nam Dũng
Danh sách nhóm
Đinh Tấn Tài – 19110023
Nguyễn Hồng Minh – 19110113
Nguyễn Như Tân – 19110177

Năm học: 2021 - 2022


Lời mở đầu
Bài tiểu luận là sản phẩm của nhóm chúng em trong mơn Hình học sơ cấp, khoa Tốn –
Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG-HCM. Nhóm nhận thấy rằng trong
chương trình THPT, một số phép biến hình đã được đưa vào giảng dạy như phép tịnh tiến,
phép đối xứng tâm, đối xứng trục, phép vị tự, phép đồng dạng, tuy nhiên phép nghịch đảo
không được đề cập đến. Tuy nhiên trong nhiều bài toán, nếu khơng sử dụng phép nghịch đảo
thì việc tìm lời giải sẽ trở nên khó khăn, ngồi ra sử dụng phép nghịch đảo giúp lời giải trở
nên ngắn gọn, xúc tích hơn.
Phép nghịch đảo là phép biến hình thuộc loại khác, nó cũng bảo tồn lớp các đường
thẳng và đường trịn nhưng nó có thể biến một đường thẳng thành đường trịn và ngược lại.
Chính đặc trưng đó của phép nghịch đảo nên nó trở thành một cơng cụ tư duy hữu ích để phát
triển các bài tốn và cho ta một cách nhìn mới đối với bài tốn đó. Điều đó giúp cho người

học tốn khơng những phát triển được kiến thức hình học của mình mà cịn cung cấp cho họ
một cái nhìn sâu hơn bài tốn. Vì vậy, nhóm chúng em quyết định chọn đề tài “Phép nghịch
đảo và ứng dụng” để tìm hiểu và nghiên cứu.
Bố cục tiểu luận ngoài phần mở đầu và kết luận, tiểu luận gồm 4 chương.
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị: trình bày sơ lược các kiến thức cơ bản có liên quan đến
phép biến nghịch đảo.
Chương 2. Cơ sở lý thuyết: nhằm cung cấp kiến thức cơ bản về phép nghịch đảo, những
tính chất mà chúng em sẽ áp dụng vào một số bài toán ở chương 3.
Chương 3. Ứng dụng vào giải tốn hình học phẳng: vận dụng định nghĩa và tính chất
của phép nghịch đảo vào một số bài tốn chứng minh, quỹ tích, dựng hình trong hình học
phẳng.
Chương 4. Mở rộng (Hình Arbelos và các cặp đường trịn Archimedes): Hình Arbelos
dựa trên hình cơ bản tạo bởi 3 nửa đường tròn (𝛼, 𝛽, 𝛾 ), còn được gọi là “hình con dao thợ
đóng giày”.
Chúng em đã cố gắng hết sức trong quá trình thực hiện nhưng vì kiến thức còn hạn chế
nên chắc chắn tiểu luận còn nhiều thiếu sót. Nhóm chúng em rất mong nhận được sự góp ý
của thầy và các bạn để tiểu luận được hồn thiện hơn.
Xin trân trọng cảm ơn.
NHĨM THỰC HIỆN


Mục lục
Đôi nét về lịch sử của phép nghịch đảo ........................................................................ 1
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ................................................................... 2
I. Giới thiệu phép biến hình. ................................................................................... 2
1. Khái niệm hình. ................................................................................................ 2
2. Khái niệm phép biến hình. ................................................................................ 2
3. Tích của hai phép biến hình. ............................................................................. 2
4. Phép biến hình đảo ngược. ............................................................................... 3
5. Phép biến hình có tính chất đối hợp. ................................................................ 3

II.

Các phần tử bất biến trong một phép biến hình................................................ 3

III.

Định hướng. ...................................................................................................... 4

1. Định hướng trong mặt phẳng. ........................................................................... 4
2. Định hướng trong không gian........................................................................... 5
IV.

Một số định nghĩa về góc giữa hai đối tượng. .................................................. 6

V. Một số vấn đề liên quan đến đường tròn, mặt cầu............................................... 8
1. Phương tích của một điểm đối với một đường tròn. ........................................ 8
2. Trục đẳng phương của hai đường tròn. ............................................................ 8
3. Hai đường tròn trực giao. ................................................................................. 9
4. Phương tích của một điểm đối với mặt cầu. ................................................... 10
5. Chùm đường tròn. ........................................................................................... 10
CHƯƠNG 2. PHÉP NGHỊCH ĐẢO ....................................................................... 14
I. Định nghĩa và các tính chất của phép nghịch đảo ............................................. 14
1. Định nghĩa. ..................................................................................................... 14
2. Các tính chất. .................................................................................................. 15
II.

Ảnh của đường thẳng và đường tròn qua phép nghịch đảo............................ 22

III.

Ảnh của mặt phẳng và mặt cầu qua phép nghịch đảo. ................................... 26

IV.

Sự bảo tồn góc qua phép nghịch đảo. ............................................................. 29

V. Biểu thức tọa độ của phép nghịch đảo. .............................................................. 30
1. Ảnh của đường thẳng qua phép nghịch đảo. .................................................. 32
2. Ảnh của đường tròn qua phép nghịch đảo. ..................................................... 32


VI.

Cách dựng ảnh qua phép nghịch đảo. ............................................................. 33

1. Phương pháp Compa. ..................................................................................... 33
2. Phương pháp tiếp tuyến. ................................................................................. 33
3. Phương pháp đường kính vng góc .............................................................. 34
VII. Thước vẽ hình nghịch đảo của một hình cho trước. ....................................... 35
VIII.

Ảnh của một chùm đường tròn qua phép nghịch đảo. ................................ 38

CHƯƠNG 3. MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG SỬ DỤNG PHÉP
NGHỊCH ĐẢO .......................................................................................................... 41
Dạng 1: Ứng dụng phép nghịch đảo trong bài tốn chứng minh đẳng thức và tính
tốn. .......................................................................................................................... 41
Dạng 2: Ứng dụng phép nghịch đảo trong bài toán chứng minh thẳng hàng và đồng
quy. ........................................................................................................................... 45
Dạng 3: Ứng dụng phép nghịch đảo trong bài toán liên quan đến quỹ tích. ........... 51

CHƯƠNG 4. PHÉP NGHỊCH ĐẢO ....................................................................... 57
TRONG HÌNH ARBELOS ......................................................................................... 57
1. Giới thiệu về Arbelos. ........................................................................................ 57
2. Chuỗi Pappus các đường tròn nội tiếp Arbelos. ................................................ 57


Đôi nét về lịch sử của phép nghịch đảo
Apollonius xứ Perga (250 – 175 trước Công nguyên) nổi tiếng với cơng trình nghiên
cứu về thiên văn học, trước khi nổi tiếng về các tác phẩm liên quan tới các đường conic. Thật
khơng may, cơng trình gốc của Apollonius về thiên văn học và hầu hết các cơng trình tốn
học của ông (ngoại trừ Conic) đã bị mất và chúng ta chỉ biết về nó từ một bài bình luận của
Pappus ở Alexandria (290–350 sau Công nguyên).
Theo Pappus, Apollonius đã điều tra một họ cụ thể của đường tròn và đường thẳng.
Appollonius đã xác định đường cong:
𝑐𝑘 (𝐴, 𝐵) là tập hợp các điểm 𝑃 sao cho 𝑃𝐴 = 𝑘 × 𝑃𝐵, với 𝐴 và 𝐵 là hai điểm nằm
trong mặt phẳng, và 𝑘 là một hằng số dương tùy ý.
Đường cong này sẽ trở thành đường thẳng nếu 𝑘 = 1, ngược lại, nó trở thành đường
trịn – cịn gọi là đường trịn Apollonius. Ơng đã chứng minh được rằng với một đường trịn
𝑐 (tâm 𝐶, bán kính 𝑟) thuộc họ đường cong {𝑐𝑘 (𝐴, 𝐵)} khi và chỉ khi 𝐵𝐶 × 𝐴𝐶 = 𝑟 2 với 𝐴, 𝐵
là hai điểm nằm trên cùng tia đi qua 𝐶.
Tầm quan trọng to lớn của phép nghịch đảo đối với hình học sơ cấp là rất rõ ràng nếu
chúng ta nghĩ rằng nó có thể biến một số bài tập có liên quan đến đường trịn và các bài tốn
có cấu trúc tương tự, thành những bài ít phức tạp hơn trong đó một hoặc nhiều đường trịn đã
được thay thế bằng một đường thẳng. Có bằng chứng gián tiếp rằng Apollonius đã sử dụng
phép nghịch đảo để giải quyết các vấn đề thiên văn liên quan đến quỹ đạo thiên thể. Vì những
lý do tương tự, phép nghịch đảo sớm được các nhà Vật lý áp dụng, ví dụ như Thomson trong
lý thuyết điện trường.
Các yếu tố và vòng tròn của Apollonius là một phần của các chuỗi lịch sử khác nhau.
Trong chương 4 chúng ta sẽ khám phá một vấn đề của Apollonius sử dụng phép nghịch đảo
cho các giải pháp của nó.

1


CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
I.

Giới thiệu phép biến hình.

1. Khái niệm hình.
Ta gọi một tập hợp điểm khác rỗng là một hình.
Muốn chỉ rằng một điểm 𝐴 thuộc về một hình 𝐹, người ta dùng ký hiệu 𝐴 ∈ 𝐹 hoặc
𝐹 ∋ 𝐴.
Giao của hai hình 𝐴 và 𝐵 là 𝐴 ∩ 𝐵.
Hợp của hai hình 𝐴 và 𝐵 là 𝐴 ∪ 𝐵.
Nếu mỗi điểm của một hình 𝐴, cũng là một điểm của hình 𝐵 thì người ta nói rằng 𝐴
là một tập hợp con hay một bộ phận của 𝐵 và viết 𝐴 ⊂ 𝐵 hay 𝐵 ⊃ 𝐴.
2. Khái niệm phép biến hình.
Ta ký hiệu tập hợp tất cả các điểm của mặt phẳng là 𝑃. Khi đó mỗi hình 𝐻 bất kỳ của
mặt phẳng đều là một tập con của 𝑃 và được ký hiệu là 𝐻 ⊂ 𝑃.
Định nghĩa 1.1. Cho một tập hợp bất kỳ 𝑃 khác rỗng. Một song ánh từ 𝑃 vào chính
nó được gọi là một phép biến hình của tập 𝑃.
Như vậy cho một phép biến hình 𝑓: 𝑃 ⟶ 𝑃 là cho một quy tắc để bất kỳ điểm
𝑀 thuộc 𝑃, ta tìm được một điểm 𝑀′ = 𝑓 (𝑀) hoàn toàn xác định thỏa mãn hai điều
kiện sau đây:
 Nếu 𝑀, 𝑁 là hai điểm bất kỳ phân biệt của 𝑃 thì 𝑓 (𝑀 ), 𝑓(𝑁) là hai điểm
phân biệt của 𝑃.
 Với một điểm 𝑀′ thuộc 𝑃 bao giờ cũng có một điểm 𝑀 thuộc 𝑃 sao cho
𝑓 (𝑀 ) = 𝑀 ′ .
Điểm 𝑀′ được gọi là ảnh của điểm 𝑀 qua phép biến hình 𝑓. Ngược lại điểm 𝑀

gọi là tạo ảnh của điểm 𝑀′ qua phép biến hình 𝑓 nói trên. Người ta cịn nói phép biến
hình 𝑓 biến điểm 𝑀 thành điểm 𝑀′ và ta có 𝑓 (𝑀) = 𝑀′.

3. Tích của hai phép biến hình.
Định nghĩa 1.2. Trong hình học ta thường phải thực hiện nhiều phép biến hình liên
tiếp nhau. Nếu ta dùng một phép biến hình 𝑓: 𝑃 ⟶ 𝑃 để biến một điểm 𝑀 bất kỳ của

2


𝑃 thành một điểm 𝑀′ rồi lại dùng tiếp một phép biến hình thứ hai 𝑔: 𝑃 ⟶ 𝑃 để biến
𝑀′ thành 𝑀′′ . Ta có:
𝑀′ = 𝑓(𝑀); 𝑀′′ = 𝑔(𝑀′ ).
Khi đó phép biến hình ℎ biến 𝑀 thành 𝑀 ′′ gọi là tích của hai phép biến hình 𝑓 và 𝑔
được ký hiệu ℎ = 𝑔. 𝑓. Ta có:
ℎ(𝑀) = (𝑔. 𝑓)(𝑀) = 𝑀′′ = 𝑔(𝑀′ ) = 𝑔[𝑓 (𝑀)].
Nói chung tích 𝑔. 𝑓 và tích 𝑓. 𝑔 là hai phép biến hình khác nhau.
4. Phép biến hình đảo ngược.
Định nghĩa 1.3. Trong mặt phẳng cho phép biến hình 𝑓 biến điểm 𝑀 thành điểm 𝑀′ .
Khi đó phép biến hình biến điểm 𝑀′ thành điểm 𝑀 gọi là phép biến hình đảo ngược
của phép biến hình 𝑓 đã cho.
Ký hiệu 𝑓 −1 là phép biến hình đảo ngược của 𝑓 và 𝑓 −1 (𝑀′ ) = 𝑀. Mỗi phép
biến hình 𝑓 có duy nhất một phép biến hình đảo ngược 𝑓 −1 và ta có: 𝑓. 𝑓 −1 = 𝑓 −1 . 𝑓 =
𝐼𝑑 (với 𝐼𝑑 là phép biến hình đồng nhất).
5. Phép biến hình có tính chất đối hợp.
Định nghĩa 1.4. Cho phép biến hình 𝑓 biến điểm 𝑀 thành điểm 𝑀′ , sau đó thực hiện
tiếp phép biến hình 𝑓 biến điểm 𝑀′ thành điểm 𝑀′′ . Nếu 𝑀′′ trùng với 𝑀 thì ta nói
phép biến hình 𝑓 có tính chất đối hợp.
Ta có: 𝑓. 𝑓 (𝑀) = 𝑓 (𝑀′ ) = 𝑀′′ ≡ 𝑀 hay 𝑓 2 = 𝐼𝑑.

II.

Các phần tử bất biến trong một phép biến hình.
Định nghĩa 1.5. Điểm được gọi là điểm kép (điểm bất động) đối với một phép biến
hình nào đó nếu ảnh hưởng của nó qua phép biến hình đó là chính nó.
Định nghĩa 1.6. Hình 𝐻 được gọi là hình kép đối với một phép biến hình nào đó nếu
ảnh của mỗi điểm trên 𝐻 cũng nằm trên chính 𝐻.
Chẳng hạn, trong phép đối xứng 𝒟(𝑂) thì tâm đối xứng 𝑂 là một điểm bất động
duy nhất và mọi đường thẳng qua 𝑂 đều là bất biến. Trong phép đối xứng 𝒟(Δ) thì
trục đối xứng Δ là hình cố định cịn mọi đường thẳng vng góc với Δ đều là bất biến.

3


⃗⃗ thì khơng có điểm bất động nào, nhưng
Trong phép tịnh tiến 𝒯 (𝑣⃗ ) theo vectơ 𝑣⃗ ≠ 0
mọi đường thẳng có phương của 𝑣⃗ (tức song song với 𝑣⃗) đều là bất biến.

III.

Định hướng.
Ở lớp dưới ta thường nói các góc có số đo khơng vượt q 360° như góc nhọn,
góc vng, góc bẹt, … Tuy nhiên trong thực tế nhiều khi chúng ta phải quan niệm góc
với nghĩa rộng hơn. Ví dụ khi bánh xe quay một vịng rưỡi thì ta nói rằng nó quay một
góc 540° , hơn nữa việc quay đó có thể thực hiện theo hai chiều quay khác nhau. Cùng
với việc định hướng cho đoạn thẳng, đường thẳng, việc định hướng cho góc trong mặt
phẳng, không gian sẽ mang lại cho chúng ta nhiều điều thuận lợi trong việc nghiên cứu
hình học cũng như nhiều lĩnh vực khác.

1. Định hướng trong mặt phẳng.

Trong mặt phẳng ℝ2 cho điểm 𝑂 cố định. Khi đó xung quanh 𝑂 có hai chiều quay.
Ta chọn chiều quay ngược chiều kim đồng hồ là chiều dương, cùng chiều kim đồng
hồ là chiều âm.

a. Góc định hướng giữa hai tia.
Định nghĩa 1.7. Cho hai tia 𝑂𝑥 và 𝑂𝑦, chọn tia đầu là 𝑂𝑥, tia cuối là 𝑂𝑦. Khi đó góc
định hướng giữa hai tia là hình thu được khi quay tia 𝑂𝑥 quanh điểm 𝑂 tới trùng tia
𝑂𝑦. Ký hiệu là (̅̅̅̅
𝑂𝑥 , ̅̅̅̅
𝑂𝑦).
Nhận xét:
 Góc định hướng có nhiều giá trị.
 Góc định hướng dương nếu góc quay theo chiều dương của mặt phẳng và ngược
lại.
4


 Nếu chọn 𝛼 là góc định hướng khi quay tia 𝑂𝑥 tới trùng tia 𝑂𝑦, ta có thể quay
thêm một số vòng nữa để tia 𝑂𝑥 trùng với tia 𝑂𝑦. Tất cả các giá trị của các góc
̅̅̅̅ , 𝑂𝑦
̅̅̅̅). Như vậy,
nói trên đều gọi là các giá trị của góc định hướng suy rộng (𝑂𝑥
góc định hướng suy rộng có vơ số giá trị nên được ký hiệu là:
(̅̅̅̅
𝑂𝑥 , ̅̅̅̅
𝑂𝑦) = 𝛼 + 𝑘2𝜋 (𝑘 ∈ ℤ).

b. Góc định hướng giữa hai đường thẳng.
Định nghĩa 1.8. Trong mặt phẳng 𝑃, cho hai đường thẳng 𝑎 và 𝑏 cắt nhau tại điểm 𝑂.
Góc định hướng giữa hai đường thẳng 𝑎, 𝑏 là góc quay đường thẳng 𝑎 xung quanh

điểm 𝑂 đến trùng đường thẳng 𝑏. Ký hiệu là (𝑎, 𝑏).
Khác với góc định hướng giữa hai tia, ta nhận thấy rằng khi quay đường thẳng 𝑎 xung
quanh điểm 𝑂 để đến trùng với 𝑏 thì cứ quay nửa vòng đường thẳng 𝑎 lại đến trùng
với đường thẳng 𝑏 một lần. Như vậy, góc định hướng của hai đường thẳng 𝑎, 𝑏 xác
định sai khác một góc 𝑘𝜋 nên được ký hiệu là:
(𝑎, 𝑏) = 𝛽 + 𝑘𝜋 (𝑘 ∈ ℤ).

2. Định hướng trong không gian.

5


Định nghĩa 1.9. Trong không gian cho đường thẳng Δ đã được định hướng. Xung quanh Δ
sẽ có hai chiều quay. Nếu ta chọn một chiều là dương, một chiều là âm thì ta nói rằng ta đã
định hướng được khơng gian.

IV.

Một số định nghĩa về góc giữa hai đối tượng.
Trước khi tìm hiểu tính bảo tồn của phép nghịch đảo, ta cùng đi qua một số định nghĩa.
Định nghĩa 1.10. (Góc giữa 2 đường thẳng) Cho 2 đường thẳng 𝑑1 và 𝑑2 . Đặt ∠(𝑑1 , 𝑑2 )

là góc giữa 2 đường thẳng 𝑑1 và 𝑑2 . Ta định nghĩa góc giữa 2 đường thẳng như sau:

 Nếu 𝑑1 ∕∕ 𝑑2 hoặc 𝑑1 ≡ 𝑑2 thì ∠(𝑑1 , 𝑑2 ) = 0𝑜 .
 Nếu 𝑑1 cắt 𝑑2 thì ∠(𝑑1 , 𝑑2 ) bằng góc nhỏ nhất trong 4 góc tạo thành.
Định nghĩa 1.11. (Góc giữa đường thẳng và đường tròn) Cho đường tròn (O) và đường
thẳng d cắt (O) tại M. Góc giữa đường thằng d và đường trịn (O) là góc giữa tiếp tuyến tại
M của (O) và đường thẳng d.

6


Định nghĩa 1.12. (Góc giữa 2 đường trịn) Cho 2 đường tròn (𝑂1 ) và (𝑂2 ) cắt nhau tại
giao điểm thứ nhất là A. Góc giữa 2 đường trịn (𝑂1 ) và (𝑂2 ) được định nghĩa là góc giữa 2
tiếp tuyến tại A của (𝑂1 ) và (𝑂2 ).

Chú ý:
 Nếu (𝑂1 ) và (𝑂2 ) tiếp xúc nhau, góc giữa 2 đường trịn này bằng 0°.
 Nếu góc giữa 2 đường trịn này bằng 90°, thì ta nói 2 đường trịn này trực giao với
nhau.
Định nghĩa 1.13. (Góc giữa 2 đường cong) Cho 2 đường cong 𝐶1 và 𝐶2 cắt nhau tại
điểm A mà tại đó chúng có tiếp tuyến. Ta gọi góc giữa 2 tiếp tuyến đó là góc giữa 2 đường
cong 𝐶1 và 𝐶2 tại điểm A.

7


V.

Một số vấn đề liên quan đến đường tròn, mặt cầu.
1. Phương tích của một điểm đối với một đường tròn.
Định nghĩa 1.14. Cho đường tròn (𝑂; 𝑅) và điểm 𝑀 cố định. Đường thẳng Δ thay đổi qua
𝑀 cắt (𝑂) tại hai điểm 𝐴 và 𝐵.
̅̅̅̅̅. 𝑀𝐵
̅̅̅̅̅ = 𝑀𝑂2 − 𝑅2 = khơng đổi.
Khi đó 𝑀𝐴
̅̅̅̅̅. 𝑀𝐵
̅̅̅̅̅ gọi là phương tích của điểm 𝑀 đối với đường trịn (𝑂), ký hiệu: 𝒫𝑀/(𝑂) .
Tích 𝑀𝐴

Ta có:
̅̅̅̅̅. 𝑀𝐵
̅̅̅̅̅ = 𝑀𝑂2 − 𝑅2 .
𝒫𝑀/(𝑂) = 𝑀𝐴
2. Trục đẳng phương của hai đường tròn.
Định lý 1.15. Cho hai đường tròn (𝑂, 𝑅) và (𝑂′ , 𝑅′ ) với 𝑂 không trùng 𝑂′ . Quỹ tích những
điểm có cùng phương tích đối với hai đường trịn đó là một đường thẳng. Đường thẳng đó
được gọi là trục đẳng phương của hai đường trịn đó.
Chứng minh. Gọi 𝑀 là điểm bất kỳ, 𝐻 là hình chiếu của 𝑀 trên 𝑂𝑂′ , gọi 𝐼 là trung điểm
của 𝑂𝑂′ . Ta có:
̅̅̅̅̅̅′ − 𝑅′
⇔ 𝒫𝑀/(𝑂) = 𝒫𝑀/(𝑂′) ⇔ ̅̅̅̅̅
𝑀𝑂2 − 𝑅2 = 𝑀𝑂

2

̅̅̅̅̅̅′ 2 = 𝑅2 − 𝑅′ 2 ⇔ (̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅′ )(̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅′ ) = 𝑅2 − 𝑅′2
⇔ ̅̅̅̅̅
𝑀𝑂2 − 𝑀𝑂
𝑀𝑂 + 𝑀𝑂
𝑀𝑂 + 𝑀𝑂
2
̅̅̅̅̅′ = 𝑅2 − 𝑅′2 ⇔ 2(̅̅̅̅̅
̅̅̅̅ . 𝑂𝑂
̅̅̅̅). ̅̅̅̅̅
⇔ 2𝑀𝐼
𝑀𝐻 + 𝐻𝐼

𝑂𝑂′ = 𝑅2 − 𝑅′ .

Suy ra 𝐻 là một điểm cố định. Vậy quỹ tích điểm 𝑀 chính là đường thẳng vng góc với
𝑂𝑂′ tại điểm 𝐻.

8


Dựng trục đẳng phương.
Để dựng trục đẳng phương của hai đường tròn tả chỉ cần xác định hai điểm của nó hoặc
chỉ một điểm với chú ý rằng trục đẳng phương ln vng góc với đường nối tâm. Từ đó
suy ra:
 Nếu (𝑂) và (𝑂′ ) cắt nhau tại hai điểm 𝐴, 𝐵
thì trục đẳng phương của chúng là đường
thẳng 𝐴𝐵.
 Nếu (𝑂) và (𝑂′ ) tiếp xúc với nhau tại 𝐴 thì
trục đẳng phương của chúng là tiếp tuyến
chung của hai đường trịn đó tại 𝐴.
3. Hai đường trịn trực giao.
Định nghĩa 1.16. Hai đường tròn được gọi là trực giao với nhau tại một điểm chung 𝑀
của chúng nếu hai tiếp tuyến ở 𝑀 của hai đường tròn đó vng góc với nhau.

9


Định lý 1.2. Cho hai đường tròn (𝑂, 𝑅)và (𝑂′ , 𝑅′ ). Khi đó các điều sau tương đương.
 Hai đường tròn (𝑂, 𝑅)và (𝑂′ , 𝑅′ ) trực giao với nhau tại 𝑀.
 Tiếp tuyến tại 𝑀 của đường tròn này đi qua tâm của đường tròn kia.
2

2

 𝑂𝑂′ = 𝑂𝑀2 + 𝑂′ 𝑀2 = 𝑅2 + 𝑅′ .
2

 𝒫𝑂/(𝑂′) = 𝑅2 hoặc 𝒫𝑂′/(𝑂) = 𝑅′ .
 Một đường thẳng qua tâm của một đường tròn cắt cả hai đường tròn theo hai cặp
điểm liên hợp điều hòa.
4. Phương tích của một điểm đối với mặt cầu.
Định nghĩa 1.17. Nếu từ một điểm 𝑀 cố định ta vẽ một cát tuyến thay đổi cắt mặt cầu
(𝑆) bán kính 𝑅 cho trước ở 𝐴 và 𝐵 thì tích ̅̅̅̅̅
𝑀𝐴. ̅̅̅̅̅
𝑀𝐵 là một số khơng đổi.
Tích số ̅̅̅̅̅
𝑀𝐴. ̅̅̅̅̅
𝑀𝐵 được gọi là phương tích của điểm 𝑀 đối với mặt cầu (𝑆) và được ký hiệu
là 𝒫𝑀/(𝑆) .

Ta có:
̅̅̅̅̅. 𝑀𝐵
̅̅̅̅̅ = 𝑀𝑂2 − 𝑅2 .
𝒫𝑀/(𝑆) = 𝑀𝐴
5. Chùm đường tròn.
a. Định nghĩa.
Định nghĩa 1.18. Chùm đường tròn là tập hợp tất cả những đường tròn nằm trong cùng
một mặt phẳng sao cho có một đường thẳng Δ là trục đẳng phương của bất kỳ hai đường tròn
phân biệt nào của tập hợp đó.
10

Đường thẳng Δ gọi là trục đẳng phương của chùm đường trịn. Vì Δ vng góc với đường
nối tâm của các cặp đường tròn của chùm nên tâm của tất cả các đường trịn đó phải nằm trên
một đường thẳng. Đường thẳng đó gọi là đường nối tâm của chùm.
b. Các loại chùm đường tròn.
Lấy một cặp đường tròn bất kỳ của một chùm đường trịn. Ba trường hợp có thể xảy ra:
chúng cắt nhau, tiếp xúc nhau hoặc không cắt nhau.
Trường hợp 1: Giả sử hai đường tròn (𝑂, 𝑅 ) và (𝑂′ , 𝑅′ ) của chùm đường trịn cắt nhau
tại 𝐴 và 𝐵.
Khi đó trục đẳng phương của chùm là đường thẳng 𝐴𝐵. Suy ra mọi đường tròn của chùm
đều phải đi qua hai điểm 𝐴 và 𝐵. Đường nối tâm của chùm là trung trực của đoạn thẳng 𝐴𝐵.
Hai điểm 𝐴, 𝐵 được gọi là hai điểm cơ sở của chùm.
Một chùm đường tròn như thế được gọi là chùm eliptic.

Trường hợp 2: Giả sử hai đường tròn (𝑂, 𝑅 ) và (𝑂′ , 𝑅′ ) của chùm đường tròn tiếp xúc
với nhau tại điểm 𝐴.
Khi đó trục đẳng phương của chùm là đường thẳng Δ, tiếp xúc với hai đường trịn đó tại
𝐴. Suy ra mọi đường tròn của chùm đều tiếp xúc với Δ tại điểm 𝐴.

11


Trường hợp 3: Giả sử hai đường tròn (𝑂, 𝑅 ) và (𝑂′ , 𝑅′ ) của chùm đường tròn khơng cắt
nhau.
Khi đó trục đẳng phương Δ của chùm khơng cắt hai đường trịn đó và do đó khơng cắt
bất cứ đường tròn nào của chùm. Nếu ta gọi 𝐻 là giao điểm của Δ và đường tròn nối tâm 𝑂𝑂′ ,
thì các tiếp tuyến 𝐻𝑇 kẻ từ 𝐻 tới bất kỳ đường tròn nào cũng bằng nhau. Hơn nữa, xét đường
trịn (𝐻, 𝑟) với 𝑟 = 𝐻𝑇 thì mọi đường tròn của chùm đều trực giao với (𝐻, 𝑟).
Một chùm như vậy gọi là chùm hyperbolic.

12

Hai giao điểm 𝑃, 𝑄 của đường tròn (𝐻, 𝑟) với đường nối tâm của chùm hyperbolic gọi là
hai điểm tới hạn của chùm. Chúng có tên gọi như vậy vì tâm của mọi đường trịn thuộc chùm
hyperbolic đều nằm trên đường nối tâm nhưng nằm ngoài đoạn thẳng 𝑃𝑄.
Như vậy chùm hyperbolic được hoàn toàn xác định nếu biết hai điểm tới hạn 𝑃 và 𝑄. Mọi
đường tròn của chùm đều có tâm nằm trên đường thẳng 𝑃𝑄 và ngồi ra phải trực giao với
đường trịn đường kính 𝑃𝑄.

13


CHƯƠNG 2. PHÉP NGHỊCH ĐẢO
Định nghĩa và các tính chất của phép nghịch đảo

I.

1. Định nghĩa.

Đôi nét về định nghĩa:
Khi học ở trung học cơ sở, ta đã biết bài tốn sau: “Cho đường trịn (𝑂) và một
điểm 𝐴 nằm ngồi đường trịn. Vẽ tiếp tuyến 𝐴𝐾 đến (𝑂) (𝐾 ∈ (𝑂)). Một cát tuyến
bất kỳ từ 𝐴 đế (𝑂) cắt (𝑂) lần lượt tại hai điểm 𝑀, 𝑁. Khi đó, ta ln có 𝐴𝐾 2 =
𝐴𝑀. 𝐴𝑁” .Như vậy ta để ý rằng với một điểm 𝑀𝑂 bất kỳ nằm trên đường trịn (𝑂) thì
ln tồn tại một điểm 𝑁𝑂 khác cũng nằm trên (𝑂) và nằm trên 𝐴𝑀𝑂 . 𝐴𝑁𝑂 = 𝐴𝐾 2 .
Định nghĩa 2.1. Trong mặt phằng Euclide cho một điềm 𝑂 cố định và số thực 𝑘 ≠ 0.
Cho tương ứng mỗi điểm 𝑀 khác 𝑂 với một điểm 𝑀′ thuộc đường thẳng 𝑂𝑀 sao cho
̅̅̅̅̅
𝑂𝑀. ̅̅̅̅̅̅
𝑂𝑀′ = 𝑘. Phép tương ứng đó được gọi là phép nghịch đảo cực 𝑂, phương tích 𝑘 ( hay tỉ

số 𝑘).
Ký hiệu: Phép nghịch đảo cực 𝑂 phương tích 𝑘 được kí hiệu là 𝐼(𝑂, 𝑘) hay 𝐼𝑂𝑘 , ta có
𝐼(𝑀) = 𝑀′ hoặc 𝐼: 𝑀 ↦ 𝑀′, hay một số sách đưa ra ký hiệu 𝑓(𝑂, 𝑘). Ký hiệu 𝐼(𝑂, 𝑘),𝐼𝑂𝑘 hoặc
𝐼(𝑀) = 𝑀′ sẽ chỉ 𝑀′ là ảnh của 𝑀 qua phép nghịch đảo cực 𝑂, phương tích 𝑘.

14


2. Các tính chất.
Tính chất 1: Cực nghịch đảo 𝑂 khơng có điểm tương ứng qua phép nghịch đảo.
Chứng minh.
Vì thế phép nghịch đảo không phải là một phép biến hình của mặt phẳng Euclide.
Nếu bổ sung vào mặt phẳng Euclide một điểm duy nhất gọi là “điểm vô tận” và quy ước
xem điểm đó là ảnh đồng thời là ảnh tạo của điểm 𝑂 qua phép nghịch đảo 𝐼(𝑂, 𝑘). Mặt phẳng
được bổ xung điểm vô tận được gọi là mặt phẳng mở rộng. Phép nghịch đảo trên mặt phẳng
mở rộng là một song ánh, tức là một phép biến hình. Khi 𝑀 càng tiến lại gần 𝑂 là cực nghịch
đảo thì ảnh của 𝐼(𝑀) sẽ tiến ra xa 𝑂, tức là nếu 𝑀 → 𝑂 thì 𝐼(𝑀) → ∞.
Gọi đường thẳng hợp với điểm vô tận là đường thẳng bổ xung và các đường tròn trong
mặt phẳng được gọi là tập hợp đường tròn nghĩa rộng.
Cho đường thảng bổ xung 𝑑, hai điểm 𝑀1 , 𝑀2 gọi là đối xứng với nhau qua 𝑑 nếu chúng
là ảnh của nhau qua phép đối xứng trục 𝑑. (Ta quy ước: điểm vơ tận đối xứng với điểm vơ
tận).
Cho đường trịn (𝑂, 𝑅), hai điểm 𝑀1 , 𝑀2 gọi là đối xứng với nhau qua (𝑂, 𝑅) nếu chúng
là ảnh của nhau qua phép nghịch đảo cự 𝑂, phương tích 𝑘 = 𝑅2 .
Qua phép nghịch đảo này điểm 𝑂 biến thành điểm vô tận và điểm vô tận biến thành cực
𝑂, nên 𝑂 và điểm vô tận là đối xứng nhau qua (𝑂, 𝑅).
Tính chất 2: Phép nghịch đảo có tính chất đối hợp.
Chứng minh.
Phép nghịch đảo có tính chất đối hợp vì ̅̅̅̅
𝑂𝑃. ̅̅̅̅̅

𝑂𝑃′ = 𝑘 = ̅̅̅̅̅
𝑂𝑃′. ̅̅̅̅
𝑂𝑃 . Do đó 𝑃 = 𝐼(𝑃′ ) và
ngược lại 𝑃′ = 𝐼 (𝑃). Như vậy 𝐼 ∘ 𝐼(𝑃) = 𝑃 hay 𝐼2 là một phép đồng nhất.
Tính chất 3: Nếu hai điểm 𝑀 và 𝑀′ là tương ứng với nhau qua phép nghịch đảo 𝐼(𝑂, 𝑘)
thì 𝑀, 𝑀′ , 𝑂 thẳng hàng.
Điều này hiển nhiên đúng theo định nghĩa.
Tính chất 4: Nếu 𝑘 > 0 thì hai điểm 𝑀 và 𝑀′ = 𝐼(𝑀) cùng nằm về một phía đối với
điểm 𝑂. Khi đó tập hợp những điểm kép của phép nghịch đảo 𝐼(𝑂, 𝑘) là đường trịn tâm 𝑂
bán kính √𝑘. Ta gọi đường tròn này là đường tròn nghịch đảo của phép nghịch đảo 𝐼(𝑂, 𝑘).
15


Nếu điểm 𝑀 nằm ở miền trong của đường tròn nghịch đảo thì điểm 𝑀′ = 𝐼(𝑀) sẽ nằm
ngồi đường tròn nghịch đảo và ngược lại.
Chứng minh.
Giả sử điểm 𝑀 là điểm kép.
Ta có: 𝐼 (𝑀) = 𝑀.
⇒ ̅̅̅̅̅
𝑂𝑀. ̅̅̅̅̅
𝑂𝑀 = 𝑘 ⇒ ̅̅̅̅̅
𝑂𝑀 = √𝑘.
Vậy tập hợp điểm 𝑀 là điểm kép của
phép nghịch đảo 𝐼(𝑂, 𝑘) với 𝑘 > 0 là
đường trịn tâm 𝑂, bán kính √𝑘. Đường
trịn đó được gọi là đường trịn nghịch đảo
của phép nghịch đảo 𝐼(𝑂, 𝑘).
Nhận xét:
Với 𝑘 > 0 thì hai điểm 𝑀 và 𝑀′ là ảnh của 𝑀 qua phép nghịch đảo 𝐼(𝑂, 𝑘) sẽ cùng nằm
về một phía đối với điểm 𝑂.

Với 𝑘 < 0 thì hai điểm 𝑀 và 𝑀′ là ảnh của 𝑀 quá phép nghịch đảo 𝐼(𝑂, 𝑘) sẽ nằm khác
phía đối với điểm 𝑂.
Tính chất 5: Nếu 𝑘 < 0 thì hai điểm 𝑀 và 𝑀′ = 𝐼 (𝑀) nằm về hai phía đối với điểm 𝑂.
Khi đó ta khơng có điểm kép và do dó khơng có đường trịn nghịch đảo vì 𝑘 < 0.
Do đó đường trịn nghịch đảo của 𝐼(𝑂, 𝑘) khi 𝑘 < 0 sẽ được gọi là đường trịn thực, trong
đó tâm của đường trịn là thực và bán kính của đường tròn là ảo.

16


3. Các định lý.
Định lý 2.1. Nếu phép nghịch đảo 𝐼(𝑂, 𝑘) có phương tích 𝑘 > 0 thì mọi đường tròn đi
qua hai điểm tương ứng 𝑀 và 𝑀′ = 𝐼(𝑀) đều trực giao với đường tròn nghịch đảo của phép
nghịch đảo đó.

Chứng minh.
Theo giả thiết ta có ̅̅̅̅̅
𝑂𝑀. ̅̅̅̅̅̅
𝑂𝑀′ = 𝑘.
Giả sử (C) là một đường tròn bất kì đi qua M và M'=I(M).
Khi đó :
𝒫(𝑂)/(𝐶) = ̅̅̅̅̅
𝑂𝑀. ̅̅̅̅̅̅
𝑂𝑀′ = (√𝑘)2 (1).
Nếu đường tròn nghịch đảo tâm O có bán kính 𝑅 = √𝑘 thì hệ thức (1) chứng tỏ rằng
đường tròn (C) trực giao với đường tròn (O). Ta suy ra mọi đường tròn qua M và M' (tạo nên
một chùm đường tròn) đều trực giao với đường trịn nghịch đảo tâm O bán kính 𝑅 = √𝑘.
Hệ quả: Qua phép nghịch đảo với phương tích k>0, mọi đường tròn trực giao với đường
tròn nghịch đảo đều biến thành chính nó.
Định lý 2.2. Điền kiện cần và đủ để hai điểm bất kỳ là ảnh của nhau trong phép nghịch

đảo 𝐼(𝑂, 𝑘) là có hai đường trịn đi qua hai điểm đó và cùng trực giao với đường tròn nghịch
đảo của phép nghịch đảo 𝐼(𝑂, 𝑘).

17


Chứng minh.
Điều kiện cần:
Gọi (𝑂1 ), (𝑂2 ) là hai đường trịn đi qua hai điểm A và A’.
Theo tính chất ảnh của một điểm qua phép nghịch đảo, ta có ba điểm O, A, A' thẳng hàng
và ̅̅̅̅
𝑂𝐴. ̅̅̅̅̅
𝑂𝐴′ = 𝑘.
Ta lại có:
2

̅̅̅̅. ̅̅̅̅̅
𝒫(𝑂)/(𝐶) = 𝑂𝐴
𝑂𝐴′ = (√𝑘) = 𝑘.
Do đó (𝑂1 ) trực giao với đường trịn nghịch đảo tâm 𝑂.
Tương tự (𝑂2 ) cũng trực giao với đường trịn nghịch đảo tâm 𝑂.
Như vậy, khơng những ta có hai đường trịn đi qua 2 điểm 𝐴, 𝐴′ và trực giao với đường
trịn nghịch đảo mà có hẳn một chùm đường tròn trực giao với đường tròn nghịch đảo.
Điều kiện đủ:
Giả sử hai đường tròn (𝑂1 ) và (𝑂2 ) cùng trực giao với đường tròn nghịch đảo của phép
nghịch đảo 𝐼(𝑂, 𝑘) (𝑘 > 0) và đi qua hai điểm 𝐴, 𝐴′. Vì đường trịn nghịch đảo trực giao với
(𝑂1 ) và (𝑂2 ) nên tâm 𝑂 của nó nằm trên trục đẳng phương 𝐴𝐴′ của (𝑂1 ) và (𝑂2 ). nghĩa là ba
điểm 𝑂, 𝐴, 𝐴′ thẳng hàng.
Lại có:
2

̅̅̅̅
𝑂𝐴. ̅̅̅̅̅
𝑂𝐴′ = 𝒫(𝑂)/(𝐶) = (√𝑘) = 𝑘.
Suy ra tồn tại phép nghịch đảo 𝐼(𝑂. 𝑘): 𝐴 ↦ 𝐴’.

18


Định lý 2.3. Với mỗi phép nghịch đảo, hai điểm bất kỳ không thắng hàng với cực nghịch
đảo, và ảnh của chúng qua phép nghịch đảo đó cùng nằm trên một đường tròn.
Chứng minh.
Gọi A, B hai điểm bất kỳ không thắng hàng và 𝐴′ , 𝐵′ là ảnh của chúng qua phép nghịch
đảo tâm 𝑂, phương tích 𝑘.

Vì ̅̅̅̅
𝑂𝐴. ̅̅̅̅̅
𝑂𝐴′ = ̅̅̅̅
𝑂𝐵. ̅̅̅̅̅
𝑂𝐵′ = 𝑘.
Nên ∆𝑂𝐵𝐴~∆𝑂𝐴′𝐵′
̂ ..
̂ = 𝑂′𝐴′𝐵′
Do đó 𝑂𝐴𝐵
̂ = 𝐵𝐵′𝐴′
̂ = 180𝑜 .
Suy ra 𝐵𝐴𝐴′
Từ đó ta thấy bốn điểm A, B, A', B' cùng thuộc một đường trịn.
Định lý 2.4. Tích của hai phép nghịch đảo có cùng cực O là I(O, k) và I’(O, k’) là một
phép vị tự tâm O tỉ số

𝑘′
𝑘

.

Chứng minh.
Nếu phép nghịch đảo I(O, k) biến M thành M' và phép nghịch đảo I’(O, k') biến M' thành
M” thì :
̅̅̅̅̅. 𝑂𝑀
̅̅̅̅̅̅′ = 𝑘, ̅̅̅̅̅̅
𝑂𝑀
𝑂𝑀′. ̅̅̅̅̅̅
𝑂𝑀′′ = 𝑘′.
Do đó ta suy ra

̅̅̅̅̅̅̅
𝑂𝑀′′
̅̅̅̅̅̅
𝑂𝑀′

=

𝑘′
𝑘

.
𝑘′

Vậy tích của hai phép nghịch đảo đó là phép vị tự tâm O tỉ số .

𝑘

Nói chung tích của hai phép nói trên khơng giao hốn trừ trường hợp |𝑘| = |𝑘′|.
Hệ quả: Hình dạng ảnh của một hình H trong một phép nghịch đảo không phụ thuộc vào
phương tích nghịch đảo mà chỉ phụ thuộc vào vị trí của cực nghịch đảo.
19


Chứng minh.
Thật vậy giả sử 𝐻1 là ảnh của hình H trong phép nghịch đảo 𝐼1 (𝑂, 𝑘1 ) và 𝐻2 là ảnh của
hình H trong phép nghịch đảo 𝐼2 (𝑂, 𝑘2 ), khi đó:
𝐻1 = 𝐼(𝐻 ), 𝐻2 = 𝐼2 (𝐻 ) ⇒ 𝐻 = 𝐼2−1 (𝐻2 ) = 𝐼2 (𝐻2 ).
Do đó :
𝐻1 = 𝐼1 (𝑓2(𝐻2) ) = (𝐼1 °𝐼2 )(𝐻2 ) = 𝑉(𝐻2 )
Với V là một phép vị tự. Do đó 𝐻1 và 𝐻2 là hai hình đồng dạng.
Định lý 2.5. Nếu phép nghịch đảo I(O. k) biến hai điểm A,B lần lượt thành hai điểm A’,
B’ thì 𝐴′ 𝐵′ = |𝑘 |.

𝐴𝐵
𝑂𝐴.𝑂𝐵

.

Chứng minh.
Ta xét hai trường hợp:
a) Ba điểm O, A, B không thẳng hàng.

Ta có OA.OA’=OB.OB’ hay

𝑂𝐴

𝑂𝐵

=

𝑂𝐵′
𝑂𝐴′

.

Vậy hai tam giác OAB và OB’A’ đồng dạng nên:
20


𝐴′𝐵′ 𝑂𝐴′ 𝑂𝐴′ . 𝑂𝐴
|𝑘|
=
=
=
𝐴𝐵
𝑂𝐵
𝑂𝐴. 𝑂𝐵 𝑂𝐴. 𝑂𝐵
b) Ba điểm O, A, B thẳng hàng.
Khi đó ta có
𝑘
𝑘
′ 𝐵 ′ = ̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅
𝐴
𝑂𝐵′ − ̅̅̅̅̅
𝑂𝐴′ =

−
̅̅̅̅
𝑂𝐵 ̅̅̅̅
𝑂𝐴
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅ = 𝑘. (𝑂𝐴 − 𝑂𝐵) = 𝑘. −𝐴𝐵 .
𝐴′𝐵′
̅̅̅̅
̅̅̅̅
𝑂𝐴. ̅̅̅̅
𝑂𝐵
𝑂𝐴. ̅̅̅̅
𝑂𝐵
Lấy trị số tuyệt đối hai vế ta có : ̅̅̅̅̅̅
𝐴′𝐵′ = |𝑘 |.

𝐴𝐵
𝑂𝐴.𝑂𝐵

.

Định lý 2.6. Lấy 𝑃 và 𝑃′ là ảnh của 𝑃 với nằm ngồi đường trịn nghịch đảo, và lấy 𝐵 là
giao điểm của 𝑃𝑃′ và đường tròn nghịch đảo. Ta có:
𝐵𝑃
𝐵𝑃′
𝐵𝑃 =
và 𝐵𝑃 =
.
1 + 𝑃𝐵/𝑟

1 − 𝐵𝑃′ /𝑟
′

Chứng minh.
Ta có:
𝑂𝑃′ . 𝑂𝑃
𝑟2
𝑟. 𝐵𝑃
𝐵𝑃
𝐵𝑃 = 𝑟 − 𝑂𝑃 = 𝑟 −
=𝑟−
=
=
𝑂𝑃
𝑟 + 𝐵𝑃 𝑟 + 𝐵𝑃 1 + 𝐵𝑃/𝑟
′

′

Chứng minh 𝐵𝑃 =

𝐵𝑃′
1−𝐵𝑃′ /𝑟

tương tự.

21