Phép vị tự, phép tịnh tiến và ứng dụng trong giải toán hình học phẳng

Header Page 1 of 161.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Đoàn Thị Thúy

PHÉP VỊ TỰ, PHÉP TỊNH TIẾN VÀ
ỨNG TRONG TRONG GIẢI TOÁN
HÌNH HỌC PHĂNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2016

Footer Page 1 of 161.


Header Page 2 of 161.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Đoàn Thị Thúy

PHÉP VỊ TỰ, PHÉP TỊNH TIẾN VÀ
ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TOÁN

HÌNH HỌC PHẲNG

Chuyên ngành: Hình Học

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS Nguyễn Năng Tâm

Hà Nội – Năm 2016

Footer Page 2 of 161.


Header Page 3 of 161.
1

Lời cảm ơn
Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành
tới các thầy cô giáo trong Khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đã tận
tình giúp đỡ chỉ bảo em trong suốt thời gian theo học tại khoa và trong thời gian
làm khóa luận.
Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS.TS. Nguyễn
Năng Tâm - Giảng viên Khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, người
trực tiếp hướng dẫn em, luôn tận tâm chỉ bảo và định hướng cho em trong suốt quá
trình làm khóa luận để em có được kết quả như ngày hôm nay.
Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng, song thời gian và kinh nghiệm bản thân còn
nhiều hạn chế nên khóa luận không thể tránh khỏi những thiếu sót rất mong được
sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo, các bạn sinh viên và bạn đọc.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 02 tháng 05 năm 2016
Sinh viên
Đoàn Thị Thúy

Footer Page 3 of 161.


Header Page 4 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

ĐOÀN THỊ THÚY

Lời cam đoan

Khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân em dưới sự hướng dẫn tận
tình của thầy giáo PGS.TS. Nguyễn Năng Tâm.
Trong khi nghiên cứu hoàn thành đề tài nghiên cứu này em đã tham khảo một
số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Em xin khẳng định kết quả của đề tài "Phép vị tự, phép tịnh tiến và ứng
dụng vào giải toán hình học phẳng" là kết quả của việc nghiên cứu, học tập
và nỗ lực của bản thân, không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác. Nếu
sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.
Hà Nội, ngày 02 tháng 05 năm 2016
Sinh viên
Đoàn Thị Thúy

i

Footer Page 4 of 161.

Header Page 5 of 161.

Mục lục

Lời mở đầu

1

1 Kiến thức chuẩn bị

1

1.1

1.2

1.3

1.4

Phép biến hình trong mặt phẳng . . . . . . . . . . . .

1

1.1.1

Định nghĩa phép biến hình (xem [1]) . . . . . .

1

1.1.2

Sự xác định phép biến hình (xem [1]) . . . . . .

1

1.1.3

Tích của hai phép biến hình (xem [1])

. . . . .

2

Phép dời hình trong mặt phẳng . . . . . . . . . . . . .

2

1.2.1

Định nghĩa phép dời hình (xem [1]) . . . . . . .

2

1.2.2

Tính chất của phép dời hình (xem [1]) . . . . .

2

Phép tịnh tiến trong mặt phẳng . . . . . . . . . . . . .

3

1.3.1

định nghĩa phép tịnh tiến (xem [1]) . . . . . . .

3

1.3.2

Các tính chất của phép tịnh tiến (xem [1]) . . .

4

1.3.3

Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến (xem [1]) .

5

Phép vị tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.4.1

Định nghĩa phép vị tự (xem [1]) . . . . . . . . .

5

1.4.2

Các trường hợp đặc biệt (xem [1]) . . . . . . . .

6

1.4.3

Tính chất của phép vị tự (xem [1]) . . . . . . .

6

1.4.4

tích của hai phép vị tự (xem [1])

7

Footer Page 5 of 161.

ii

. . . . . . . .


Header Page 6 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

ĐOÀN THỊ THÚY

2 Ứng dụng phép tịnh tiến và phép vị tự vào giải toán
hình học phẳng

8

2.1

Bài toán chứng minh . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.1.1

Bài toán chứng minh . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.1.2

Giải bài toán chứng minh nhờ sử dụng phép biến
hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.3

2.2

2.3

2.4

9

Khai thác bài toán chứng minh nhờ sử dụng
phép biến hình . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Bài toán tính toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.2.1

Bài toán tính toán . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.2.2

Ứng dụng phép biến hình vào giải toán tính toán 20

2.2.3

Khai thác bài toán tính toán nhờ phép biến hình 21

Bài toán quỹ tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.3.1

Bài toán quỹ tích . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.3.2

Giải bài toán quỹ tích nhờ phép biến hình . . .

30

2.3.3

Khai thác bài toán quỹ tích nhờ phép biến hình

31

Bài toán dựng hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

2.4.1

Bài toán dựng hình . . . . . . . . . . . . . . . .

40

2.4.2

Giải bài toán dựng hình nhờ phép biến hình . .

40

2.4.3

Khai thác bài toán dựng hình nhờ phép biến hình 41

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Footer Page 6 of 161.

iii

51


Header Page 7 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

ĐOÀN THỊ THÚY

Lời mở đầu
Việc đưa nội dung các phép biến hình vào chương trình toán ở bậc
trung học cơ sở và THPT không chỉ nhằm cung cấp cho học sinh
những công cụ mới để giải toán mà còn tập trung cho học sinh làm
quen với các phương pháp tư duy và suy luận mới, biết nhìn nhận sự
việc và các hiện tượng xung quanh trong cuộc sống với sự vận động và

biến đổi của chúng để nghiên cứu, tìm tòi, khám phá, tạo cơ sở cho sự
ra đời của những phát minh và sáng tạo trong tương lai. Thí dụ như
trước đây khi cần chứng minh hai tam giác nào đó bằng nhau, học
sinh thường phải chứng minh cạnh và góc của hai tam giác đó thỏa
mãn các điều kiện được nêu ra trong các định lý nói về hai tam giác
bằng nhau.
Sau khi học các phép biến hình trong mặt phẳng người ta có thể
định nghĩa sự bằng nhau của hai tam giác và tổng quát hơn đối với
hai hình phẳng bất kì như sau: " Hình H được gọi là bằng hình H’ nếu
có một phép dời hình trong mặt phẳng biến hình H thành hình H’.
Như vậy, khái niệm "bằng nhau" của hai hình phẳng được xây dựng
dựa trên khái niệm về phép dời hình là một phép biến hình.
Dựa trên các mối quan hệ và các bất biến của các thứ hình học
khác nhau đó, người ta có thể tìm ra các phương pháp và công cụ
khác nhau để giải một bài toán. Ngoài ra có thể dựa vào một bài toán
cụ thể nào đó với phép biến hình chúng ta còn có khả năng tạo ra các

Footer Page 7 of 161.

1


Header Page 8 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

ĐOÀN THỊ THÚY

bài toán mới khác nhau và đây là một việc làm mang lại nhiều hứng
thú trong việc tìm tòi nghiên cứu hình học học. Hơn nữa việc lựa chọn
các công cụ thích hợp trong mỗi loại toán hình học khác nhau là một

việc làm cần thiết giúp chúng ta tiết kiệm được thời gian và công sức
giải toán.
Xuất phát từ nhận thức trên và lòng ham mê môn học với sự hướng
dẫn tận tình của thầy giáo PGS.TS.Nguyễn Năng Tâm , em mạnh
dạn chọn đề tài: “Phép tịnh tiến, phép vị tự và ứng dụng vào
giải toán hình học phẳng” để thực hiện khóa luận tốt nghiệp của
mình.
Khóa luận được trình bày trong hai chương:
• Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này trình bày một số kiến thức về phép tịnh tiến
và phép vị tự bao gồm định nghĩa, tính chất và một số chú ý
quan trọng.
• Chương 2: ứng dụng của phép vị tự, phép tịnh tiến vào giải toán
hình học phẳng
Trong chương này trình bày một số kiến thức về ứng dụng của
phép vị tự và phép tịnh tiến vào giải bài toàn chứng minh, bài
toán tính toán, bài toán dựng hình và bài toán quỹ tích.
Do là lần đầu thực tập nghiên cứu, thời gian có hạn và năng lực
bản thân còn hạn chế nên chắc chắn bài nghiên cứu này khó tránh
khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận được những đóng góp, ý kiến

Footer Page 8 of 161.

2


Header Page 9 of 161.

của các thầy cô và bạn đọc để đề tài này được hoàn chỉnh và đạt kết
quả cao hơn.

Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 02 tháng 05 năm 2016
Sinh viên
Đoàn Thị Thúy

Footer Page 9 of 161.

3


Header Page 10 of 161.

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về phép tịnh tiến và
phép vị tự bao gồm định nghĩa, tính chất, một số chú ý quan trọng
nhằm thuận tiện cho việc trình bày ở các mục sau.

1.1
1.1.1

Phép biến hình trong mặt phẳng
Định nghĩa phép biến hình (xem [1])

Một song ánh f : P → P từ tập điểm của P lên chính nó được gọi là
phép biến hình của mặt phẳng.
1.1.2

Sự xác định phép biến hình (xem [1])

Muốn xác định một phép biến hình f : P → P ta cần nêu rõ quy tắc
f đó bằng cách xác định sau đây:
- Quy tắc f được xác định bằng các phép dựng hình cơ bản trong
mặt phẳng như: tìm giao điểm của hai đường thẳng đã được xác định
nào đó, dựng đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với một
đường thẳng cho trước.

Footer Page 10 of 161.

1


Header Page 11 of 161.

- Quy tắc f còn được xác định bởi biểu thức liên hệ giữa tọa độ
(x; y) của điểm M với tạo độ (x ; y ) của điểm M = f (M ) đối với hệ
tọa độ Oxy cho trước nào đó.
1.1.3

Tích của hai phép biến hình (xem [1])

Nếu ta dùng một phép biến hình f : P → P để biến một điểm M
bất kì của P thành một điểm M’ rồi lại dùng phép biến hình thứ hai
g : P → P biến M’ thành M". Ta có: M’=f (M) và M"= g(M’).
Khi đó phép biến hình h biến điểm M thành điểm M" gọi là tích
của hai phép biến hình f và g và kí hiệu: h = g ◦ f .
Ta có h(M) = (g ◦ f )(M) = M’ = g(M’) =g[f (M)].

1.2

Phép dời hình trong mặt phẳng

1.2.1

Định nghĩa phép dời hình (xem [1])

Một phép biến hình f : P → P được gọi là một phép dời hình nếu
trong mặt phẳng P với hai điểm M, N bất kì và hai ảnh của chúng lần
lượt là M’ = f (M); N’ = f (N) ta luôn có M’N’ = MN.
1.2.2

Tính chất của phép dời hình (xem [1])

Tính chất 1

Phép dời hình biến ba điểm A,B,C thẳng hàng với B nằm giữa A và
C thành ba điểm A’,B’,C’ thẳng hàng với B’ nằm giữa A’ và C’
Hệ quả 1.1. Phép dời hình biến một đường thẳng thành một đường
thẳng, biến tia thành tia, biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng

Footer Page 11 of 161.

2


Header Page 12 of 161.

bằng nó.
Hệ quả 1.2. Phép dời hình biến một tam giác thành một tam giác
bằng nó, biến một góc thành một góc bằng nó, biến một đường tròn

thành một đường tròn bằng nó với tâm đường tròn này thành tâm
đường tròn kia.
Tính chất 2

Tích của hai phép dời hình là phép dời hình.
Tính chất 3

Tích các phép dời hình có tính chất kết hợp.
Tính chất 4

Tập hợp các phép dời hình lập thành một nhóm các phép biến hình
với phép toán là tích các phép biến hình.
Tính chất 5

Nếu ABC và A B C là hai tam giác bằng nhau thì phép dời hình biến
tam giác ABC thành tam giác A B C .

1.3
1.3.1

Phép tịnh tiến trong mặt phẳng
định nghĩa phép tịnh tiến (xem [1])

−
Trong mặt phẳng P cho vectơ →
v , phép biến hình biến mỗi điểm M
−−→
−
thành điểm M’ sao cho vectơ MM = →
v gọi là phép tịnh tiến theo

−
−.
vectơ →
v và được kí hiệu T→
v

Footer Page 12 of 161.

3


Header Page 13 of 161.

−
−
Vectơ →
v gọi là vectơ tịnh tiến. Ta có T→
v (M) = M
Định lý 1.3.1. Phép tịnh tiến là một phép dời hình.
chứng minh :
- Giả sử A,B là hai điểm bất kì trong mặt phẳng và qua phép tịnh
−
tiến T→
v chúng lần biến thành các điểm A’, B’.
−−→ −−→ −
ta có AA = BB = →
v.

ta suy ra :
−−→ −−→ −−→ −−→ −−→

AA + A B = BB + A B =A B .
−→ −−→
vậy, AB = A B .
Ta có, AB = A’B’ và như vậy ta đã chứng minh được phép tịnh
tiến là một phép dời hình.
→
−
−
Chú ý : Nếu vectơ tịnh tiến →
v = 0 thì khi đó phép tịnh tiến trở
− = e.
thành phép đồng nhất. Ta có : T→
0

Hệ quả 1.3. Nếu phép biến hình biến hai điểm A, B bất kì lần lượt
−→ −−→
thành hai điểm A ,B sao cho vectơ AB = A B thì nó là phép tịnh tiến
−→ −−→
−
theo vectơ →
v = AB = A B .
1.3.2

Các tính chất của phép tịnh tiến (xem [1])

Định lý 1.3.2. Phép tịnh tiến là một phép dời hình nên nó có đầy đủ
các tính chất của phép dời hình.
→
−
−

Định lý 1.3.3. Nếu phép tịnh tiến theo vectơ →
v = 0 biến điểm M
thành điểm M’ thì ta cũng có phép tịnh tiến biến điểm M’ thành điểm
−
− . Ta suy ra
M với vectơ tịnh tiến là −→
v . Như vậy ta có T−1 = T →
→
−
v

−
−
T−→
v .T→
v = e (phép đồng nhất).

Footer Page 13 of 161.

4

−v


Header Page 14 of 161.

→
−
−
Định lý 1.3.4. Qua phép tịnh tiến vectơ →

v = 0 thì các đường thẳng
−
nhận vectơ →
v làm vectơ chỉ phương đều biến thành chính nó.
−
− là một phép
Định lý 1.3.5. Tích của hai phép tịnh tiến T→
v và T→
v
→
−
−
tịnh tiến với vectơ tịnh tiến bằng →
v +v.

Định lý 1.3.6. Phép tịnh tiến hoàn toàn được xác định nếu ta biết
−
được vectơ tịnh tiến →
v của nó.
1.3.3

Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến (xem [1])

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho phép tịnh tiến theo vectơ
→
−
−
v . Biết tọa độ của vectơ →
v là (a;b).
Giả sử điểm M(x;y)

biến thành điểm M’(x’;y’)


x = x + a
Khi đó ta có:

y = y + b
Công thức trên gọi là biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến theo
−
vectơ →
v (a;b).

1.4
1.4.1

Phép vị tự
Định nghĩa phép vị tự (xem [1])

Trong mặt phẳng cho một điểm O cố định và một số k = 0. Phép biến
−−→
hình biến mỗi điểm M của mặt phẳng thành điểm M’ sao cho OM =
−−→
kOM được gọi là phép vị tự tâm O, tỉ số k. Phép biến hình này được
kí hiệu là VOk . Điểm O gọi là tâm vị tự, số k gọi là tỉ số vị tự.

Footer Page 14 of 161.

5

Header Page 15 of 161.

Như vậy, phép vị tự sẽ được xác định khi biết tâm vị tự và tỉ số vị
tự k của nó.
1.4.2

Các trường hợp đặc biệt (xem [1])

−−→ −−→
- Nếu tỉ số vị tự k = 1, khi đó OM = OM , tức là M’ trùng với M,
lúc đó phép vị tự là phép đồng nhất.
−−→
−−→
- Nếu tỉ số vị tự k = -1, khi đó OM = - OM tức là đoạn thẳng
MM’ nhận O làm trung điểm, lúc đó phép vị tự là phép đối xứng tâm
O và ta có O là điểm kép.
1.4.3

Tính chất của phép vị tự (xem [1])

Tính chất 1

Nếu phép vị tự VOk biến hai điểm A, B lần lượt thành hai điểm A’, B’
−−→
−→
thì A B = k AB.
Hệ quả 1.4. Nếu phép vị tự biến A thành A’, biến B thành B’ thì
đường thẳng AB và A’B’ song song với nhau hoặc trùng nhau và
A B = |k|AB.
Hệ quả 1.5. Phép vị tự biến một tam giác thành một tam giác đồng

dạng với nó và biến một góc thành một góc bằng nó có các cạnh tương
ứng cùng phương.
Tính chất 2

Phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng.

Footer Page 15 of 161.

6


Header Page 16 of 161.

Tính chất 3

Phép vị tự biến một đường tròn thành một đường tròn.
1.4.4

tích của hai phép vị tự (xem [1])

- Tích của hai phép vị tự cùng nhận O làm tâm và có tỉ số vị tự lần
lượt là k1 , k2 là một phép vị tự tâm O có tỉ số vị tự k = k2 ◦ k1 .
∗ chứng minh:
theo giả thiết ta có:
−−→
−−→
OM = k1 OM .
−−→
−−−→
−−→

OM = k2 OM = k2 k1 OM
−−−→
−−→
vậy OM = k OM với k = k2 ◦ k1

Footer Page 16 of 161.

7


Header Page 17 of 161.

Chương 2
Ứng dụng phép tịnh tiến và phép
vị tự vào giải toán hình học phẳng
Chương này chúng ta trình bày ứng dụng của phép vị tự và phép tịnh
tiến vào giải bài toán chứng minh, bài toán tính toán, bài toán tìm
quỹ tích và bài toán dựng hình trong hình học phẳng.

2.1
2.1.1

Bài toán chứng minh
Bài toán chứng minh

Bài toán chứng minh được chứa đựng trong hầu hết bài toán hình học
như: bài toán tính toán, bài toán quỹ tích, bài toán dựng hình...
Đó là các bài toán cần chỉ ra mệnh đề "A ⇒ B" là đúng, trong đó
A là giả thiết, B là kết luận.
Ta xuất phát từ giả thiết A và những mệnh đề đúng đã biết bằng

những lí luận chặt chẽ và suy luận logic, dựa vào các định nghĩa, các
tính chất, các định lý của đối tượng toán học để đi đến kết luận B.

Footer Page 17 of 161.

8


Header Page 18 of 161.

2.1.2

Giải bài toán chứng minh nhờ sử dụng phép biến hình

Giải một bài toán hình học phẳng nhờ sử dụng phép biến hình nói
chung gồm ba thao tác chính:
- Lựa chọn phép biến hình.
- Thực hiện phép biến hình.
- Rút ra kết luận của bài toán.
Nhờ phép biến hình, thông qua việc dựng các hình phụ ta có thể
mang những điều kiện đã cho của bài toán và những hình liên quan
đến việc chứng minh vốn rời rạc nhau thành một hình mới làm cho
chúng có quan hệ với nhau giúp việc chứng minh được tiến hành thuận
lợi. Cũng có thể từ các tính chất của phép biến hình ta có thể chứng
minh được các kết quả về tính đồng quy, thẳng hàng, sự bằng nhau
của các góc, của các tam giác, các đường tròn...
2.1.3

Khai thác bài toán chứng minh nhờ sử dụng phép biến
hình

Ta có thể nêu ra một số phương hướng đề xuất một bài toán từ bài
toán đã cho như sau: - Từ bài toán ban đầu có thể biểu diễn dưới dạng
mệnh đề "A ⇒ B". Qua một phép biến hình f mệnh đề trên tương
ứng thành "A ⇒ B "
Lợi dụng tính 1 − 1 của phép biến hình và cách suy luận khi chứng
minh, ta có thể xem mệnh đề đảo "B ⇒ A" có đúng không, nếu đúng
ta có thể ra cả bài toán điều kiện cần và đủ.
- Thay đổi một vài điều kiện giả thiết, đặc biệt hóa, tương tự hóa,
khái quát hóa... của bài toán để ra bài toán mới.

Footer Page 18 of 161.

9


Header Page 19 of 161.

Xin minh họa sau đây bằng một vài bài toán sử dụng phép tịnh
tiến và phép vị tự để giải bài toán chứng minh.
Bài tập 2.1. Chứng minh rằng một tứ giác có đường nối trung điểm
hai cạnh đối diện bằng nửa tổng hai cạnh còn lại là hình thang. Từ
kết quả vừa có suy ra điều kiện tương đương để một tứ giác là một
hình bình hành.
Giải:

Hình 2.1:

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC.
Theo giả thiết, đường nối trung điểm của hai cạnh đối diện bằng

nửa tổng hai cạnh còn lại.
1
Tức là MN = (AB + CD).
2

(1)

−→
Giả sử E là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo vectơ AB. Tức là

Footer Page 19 of 161.

10


Header Page 20 of 161.

−→ −→
CE = AB.
Suy ra ABEC là hình bình hành có hai đường chéo là BC và AE.
Mà N là trung điểm của BC ⇒ N cũng là trung điểm của AE.
Trong tam giác AED có MN là đường trung bình


MN = 1 DE
2
⇒

MN//DE

(2)

Từ (1) và (2) ⇒ DE= AB + CD
⇒ DE = CE + DC
⇒ D, E, C thẳng hàng.
−→
−→
Mà CE và AB cùng phương
−→
−→
⇔ DE và AB cùng phương.
⇔ AB // DC ⇒ ABCD là hình thang.
⇒ điều kiện tương đương để một tứ giác là hình bình hành là:
Tứ giác có hai đường nối trung điểm của hai cặp cạnh đối diện
bằng nửa tổng hai cạnh còn lại.
Tức là P, N, Q, M lần lượt là trung điểm của AB, AD, DC, BC
thỏa mãn:


MN = 1 (AB + CD)
2
1

PQ = (DA + BC)
2
⇒ ABCD là hình bình hành.

Footer Page 20 of 161.

11

Header Page 21 of 161.

Bài tập 2.2. Chứng minh tam giác có hai phân giác trong bằng nhau
là một tam giác cân.
Giải:

Hình 2.2:

Cho tam giác ABC
• Xét trường hợp 1: C2 > A1 .





CF = AE



Xét hai tam giác ACF và tam giác AEC có: AC chung





C2 > A1
Suy ra AF > CE.
−→

Gọi K là ảnh của F qua phép tịnh tiến theo AE
→: F → K
Ta có: T−
AE

⇒ CF = AF = FK
Suy ra tam giác KFC cân tại F.

Footer Page 21 of 161.

12


Header Page 22 of 161.

Hay FKC = FCK.
⇔ K1 + K4 = C2 + C3
⇔ A1 + K4 = C2 + C3 (A1 = K1 do AEKF là hình bình hành)
Mà theo giả sử ta có: C2 > A1 suy ra K4 > C3 .
Suy ra trong tam giác KEC thì CE > KE = AF, điều này mâu
thuẫn với giả sử. Vậy không thể có C2 > A1 .
• Trường hợp 2: C2 < A1 .
Tương tự như trên ta cũng có mâu thuẫn với giả thiết nên không
thể có C2 < A1 .
Vậy C2 = A1 ⇔ C = A.
⇒ Tam giác ABC cân đỉnh B.
Nhận xét: Trên đây là một cách giả nhờ vào phép biến hình cụ
thể là phép tịnh tiến giúp bài toán đơn giản hơn rất nhiều.

Footer Page 22 of 161.

13


Header Page 23 of 161.

Bài tập 2.3. Cho tam giác ABC và A’,B’,C’ lần lượt là trung điểm
của các cạnh BC, CA, AB. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, O
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và H là trực tâm của tam
giác ABC. Chứng minh ba điểm G, O, H thẳng hàng.

Giải:

Hình 2.3:

Theo giả thiết, tam giác A’B’C’ là ảnh của tam giác ABC trong
1
phép vị tự tâm G, tỉ số vị tự k = − . Ta có:
2
−−→ 1 −→
GA = GA.
2
−−→
1 −→
GB = − GB.
2
−−→
1 −→
GC = − GC.
2

Mặt khác H là trực tâm tam giác ABC và O’ trực tâm của tam giác
−→
1 −→
A’B’C’ nên O là ảnh của H trong phép vị tự tâm G và GO = − GH.
2
Như vậy, ba điểm G, O, H thẳng hàng.

Footer Page 23 of 161.

14


Header Page 24 of 161.

Nhận xét:
Nếu gọi O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’B’C’ ta cũng
−−→
1 −→
cũng có GO = − GO.
2
Vậy bốn điểm: G, O, H, O’ cùng thuộc một đường thẳng. Đó là
đường thẳng Ơle.

Footer Page 24 of 161.

15


Header Page 25 of 161.

Bài tập 2.4. Chứng minh rằng trong một tam giác ba điểm: trực
tâm, trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp thẳng hàng.
Giải:

Hình 2.4:

Xét tam giác ABC có H là trực tâm, G là trọng tâm và O làm tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Cần chứng minh ba điểm H, G, O thẳng hàng.
1
• Xét phép vị tự tâm G tỉ số k = − ta có:
2
−1

VG 2 : A → A
AH → d
Với đường thẳng d đi qua A và vuông góc với BC.

Footer Page 25 of 161.

16