Giáo trình Cầu bê tông cốt thép: Phần 2 - Trường ĐH Công nghiệp Quảng Ninh

CHƯƠNG 4
TÍNH TỐN DẦM CẦU BTCT THƯỜNG
4.1. NHỮNG QUI TẮC CƠ BẢN
Ngun lý chung để tính tốn kết cấu cầu là: sức kháng của cầu tuỳ theo vật liệu và
cấu tạo phải lớn hơn hiệu ứng của tải trọng tác dụng lên cầu, đó là:
Sức kháng ≥ hiệu ứng của tải trọng

(4.1)

Khi sử dụng các biểu thức trên, cả hai vế bất đẳng thức phải được đánh giá với cùng
điều kiện. Ví dụ, nếu hiệu ứng của tải trọng tác dụng là đưa ra trị số ứng suất nén trên đất nền,
thì trị số đó sẽ được so sánh với trị số sức kháng của đất. Cần phải đánh giá cả hai vế bất đẳng
thức ở cùng một trạng thái giới hạn.
Cần xét sự thay đổi trên cả hai vế của bất đẳng thức (4.1), vế sức kháng của kết cấu sẽ
được nhân với hệ số sức kháng φ, dựa trên cơ sở thống kê, những giá trị này luôn nhỏ hơn 1.
Còn vế hiệu ứng tải trọng được nhân với các hệ số tải trọng γi, các hệ số nầy được chọn dựa
trên cơ sở thống kê và thường lớn hơn 1 (cũng có lúc lấy nhỏ hơn 1). Bởi vì hiệu ứng tải trọng
ở một trạng thái giới hạn bao gồm tổ hợp của các kiểu tải trọng khác nhau (Qi) mà chúng có
những mức độ chính xác dự đoán khác nhau, vế hiệu ứng tải trọng được miêu tả bằng tổng
các giá trị γi Qi. Nếu sức kháng danh định được đưa ra bằng Rn, bất đẳng thức thể hiện mức độ
an toàn tới hạn cần thiết là:

φ Rn ≥ hiệu ứng ∑γi Qi

(4.2)

Bởi vì cơng thức (4.2) bao gồm cả hệ số tải trọng và hệ số sức kháng, phương pháp
thiết kế này được gọi là thiết kế theo hệ số tải trọng và hệ số sức kháng (LRFD). Hệ số sức
kháng φ có thể xét đến một số yếu tố sau:







Đặc tính vật liệu
Phương trình dự đốn cường độ
Trình độ tay nghề của cơng nhân
Hiệu quả của công tác quản lý chất lượng
Hậu quả của hư hỏng

Hệ số tải trọng γi được chọn cho phần tải trọng có thể xem xét một số điều sau:
 Độ lớn của tải trọng
 Phạm vi tải trọng
 Tổ hợp tải trọng
Để lựa chọn hệ số sức kháng và hệ số tải trọng cho kết cấu cầu một cách hợp lý cần áp dụng
lý thuyết xác suất với dữ liệu thống kê phong phú và toàn diện về cường độ vật liệu, khối
lượng vật liệu và về tải trọng tác dụng.
Các ưu nhược điểm của phương pháp LRFD có thể tóm tắt như sau:
Ưu điểm của phương pháp LRFD

1


1. Xét được đến cả các thay đổi của sức kháng và của tải trọng
2. Đạt được mức độ khá đồng nhất về an toàn đối với các trạng thái giới hạn khác nhau của
các loại cầu khác nhau mà khơng cần thực hiện việc phân tích xác suất hoặc thống kê phức
tạp.
3. Khắc phục được các hạn chế và tồn tại của phương pháp thiết kế ASD. Cung cấp một
phương pháp thiết kế hợp lý và nhất quán.
Nhược điểm của phương pháp LRFD

1. Yêu cầu thay đổi trong triết lý thiết kế, phải đào tạo lại kiến thức cho sinh viên và các
kỹ sư.
2. Yêu cầu hiểu biết các khái niệm cơ bản về lý thuyết xác suất thống kê
3. Yêu cầu phải tích luỹ được nhiều dữ liệu xác suất và thống kê để điều chỉnh hệ số sức
kháng cho thích hợp với các tình hình cụ thể của từng trạng thái riêng biệt.
Sau đây trình bầy kỹ về cách xác định các hiệu ứng lực tính tốn
Tổng hiệu ứng lực tính tốn phải được lấy như sau:

Q = ∑ ηi γ iQ i

(4-3)

trong đó:
ηi =

hệ số điều chỉnh tải trọng lấy theo Điều 1.3.2 của 22TCN 272-05

Qi =

tải trọng quy định ở đây

γi

hệ số tải trọng (lấy theo Bảng 1 và 2 của 22TCN 272-05

=

Các cấu kiện và các liên kết của cầu phải thoả mãn phương trình 1.3.2.1.1 cho các tổ hợp
thích hợp của ứng lực cực hạn tính tốn được quy định cho từng trạng thái giới hạn sau đây:
- Trạng thái giới hạn cường độ 1: Tổ hợp tải trọng cơ bản liên quan đến việc sử dụng cho xe

tiêu chuẩn của cầu không xét đến gió
- Trạng thái giới hạn cường độ 2: Tổ hợp tải trọng liên quan đến cầu chịu gió với vận tốc
vượt quá 25m/s
- Trạng thái giới hạn cường độ 3: Tổ hợp tải trọng liên quan đến việc sử dụng xe tiêu chuẩn
của cầu với gió có vận tốc 25m/s
- Trạng thái giới hạn đặc biệt: Tổ hợp tải trọng liên quan đến động đất, lực va của tầu thuyền
và xe cộ, và đến một số hiện tượng thuỷ lực với hoạt tải đã chiết giảm khác với khi là một
phần của tải trọng xe va xô, CT.
- Trạng thái giới hạn sử dụng: Tổ hợp tải trọng liên quan đến khai thác bình thường của
cầu với gió có vận tốc 25m/s với tất cả tải trọng lấy theo giá trị danh định. Dùng để kiểm
tra độ võng, bề rộng vết nứt trong kết cấu bê tông cốt thép và bê tông cốt thép dự ứng lực,

2


sự chảy dẻo của kết cấu thép và trượt của các liên kết có nguy cơ trượt do tác dụng của
hoạt tải xe. Tổ hợp trọng tải này cũng cần được dùng để khảo sát ổn định mái dốc.
- Trạng thái giới hạn mỏi: Tổ hợp tải trọng gây mỏi và đứt gẫy liên quan đến hoạt tải xe cộ
trùng phục và xung kích dưới tác dụng của một xe tải đơn chiếc
Hệ số tải trọng cho các tải trọng khác nhau bao gồm trong một tổ hợp tải trọng thiết kế
được lấy như quy định trong Bảng 1. Mọi tập hợp con thoả đáng của các tổ hợp tải trọng phải
được nghiên cứu. Có thể nghiên cứu thêm các tổ hợp tải trọng khác khi chủ đầu tư yêu cầu
hoặc người thiết kế xét thấy cần thiết. Đối với mỗi tổ hợp tải trọng, mọi tải trọng được đưa
vào tính tốn và có liên quan đến cấu kiện được thiết kế bao gồm cả các hiệu ứng đáng kể do
tác dụng của xoắn, phải được nhân với hệ số tải trọng tương ứng với hệ số làn lấy theo Điều
3.6.11.2 nếu có thể áp dụng. Kết quả được tổng hợp theo phương trình 1.3.2.1-1 và nhân với
hệ số điều chỉnh tải trọng lấy theo Điều 1.3.2.
Các hệ số phải chọn sao cho gây ra tổng ứng lực tính tốn cực hạn. Đối với mỗi tổ
hợp tải trọng cả trị số cực hạn âm lẫn trị số cực hạn dương đều phải được xem xét.
Trong tổ hợp tải trọng nếu tác dụng của một tải trọng làm giảm tác dụng của một tải trọng

khác thì phải lấy giá trị nhỏ nhất của tải trọng làm giảm giá trị tải trọng kia. Đối với tác động
của tải trọng thường xuyên thì hệ số tải trọng gây ra tổ hợp bất lợi hơn phải được lựa chọn
theo Bảng 2. Khi tải trọng thường xuyên làm tăng sự ổn định hoặc tăng năng lực chịu tải của
một cấu kiện hoặc của toàn cầu thì trị số tối thiểu của hệ số tải trọng đối với tải trọng thường
xuyên này cũng phải được xem xét.
Trị số lớn hơn của hai trị số quy định cho hệ số tải trọng TU, CR, SH sẽ được
dùng để tính biến dạng, cịn trị số nhỏ hơn dùng cho các tác động khác.

4.2. TÍNH TỐN BẢN MẶT CẦU
4.2.1. CÁC CƠNG THỨC CƠ BẢN
Tính tốn kết cấu bản mặt cầu bao gồm 2 nội dung chính được thực hiện lần lượt là:
- tính tốn nội lực trong các mặt cắt đặc trưng của bản
- thiết kế và tính duyệt mặt cắt theo các trạng thái giới hạn.
Mỗi Tiêu chuẩn thiết kế của mỗi nước có những quy định khác nhau về cách tính gần
đúng nội lực trong bản mặt cầu, tuy nhiên đều thống nhất về áp dụng các ngun lý cơ học
khi tính tốn theo các phương pháp chính xác hơn, ví dụ khi tính theo phương pháp Phần tử
hữu hạn.
Sau đây trình bầy lần lượt 2 nội dung nói trên
4.2.1.1. Tính tốn nội lực bản mặt cầu theo phương pháp gần đúng
Trong Tiêu chuẩn 22TCN 272-05 hướng dẫn cách tính gần đúng nội lực bản mặt cầu
như sau:
4.2.1.2. Tính duyệt uốn đối với mặt cắt hình chữ nhật có cốt thép thường
Mặt cắt bản mặt cầu ln là dạng mặt cắt chữ nhật, có thể đặt cốt thép đơn hoặc cốt

3


thép kép. Sau đây nêu ra các công thức cơ bản.
a/ Mặt cắt hình chữ nhật cốt thép đơn
0,85.f'c

0,85.f'c.β1.c.b

d

ds

c

a=β1.c

b

Trơc trung hoµ

As.f y

Chiều cao vùng bêtơng chịu nén c được tính tốn dựa trên phương trình cân bằng lực
dọc của mặt cắt:
0,85.f’c.b1.c.b = As.fy
Trong đó:
f’c - cường độ nén qui định của bêtông ở tuổi 28 ngày (MPa)
b1 - hệ số qui đổi, lấy theo qui định
b - chiều rộng tiêt diện (mm)
As - diện tích cốt thép chịu kéo khơng dự ứng lực (mm2)
fy - giới hạn chảy tối thiểu qui định của thanh cốt thép (MPa)
Vậy:

c=

As . f y
0,85. f ' c .β 1 .b

Từ giá trị chiều cao vùng bêtông chịu nén c đã xác định được, thành lập phương trình
mơmen với trọng tâm của vùng bêtơng chịu nén qui ước, cách mép ngồi cùng của vùng
bêtơng chịu nén bằng

a
, xác định sức kháng danh định của mặt cắt:
2

Mn = As.fy.(ds -

a
)
2

Trong đó:
Mn
ds

- sức kháng danh định của mặt cắt (N.mm)
- khoảng cách từ trọng tâm cốt thép khơng dự ứng lực chịu kéo đến mép ngồi
cùng của vùng bêtông chịu nén (mm)
a = b1.c - chiều dày của khối ứng suất tương đương (mm)

4


b/ Mặt cắt hình chữ nhật cốt thép kép

0,85.f'c

A's.f'y
0,85.f'c.β1.c.b

d

ds

c

a=β1.c

b

Trơc trung hoµ

As.f y

Chiều cao vùng bêtơng chịu nén c được tính tốn dựa trên phương trình cân bằng lực
dọc của mặt cắt:
0,85.f’c.b1.c.b + A’s.f’y = As.fy
Trong đó:
A’s
f'y

- diện tích cốt thép chịu nén không dự ứng lực (mm2)
- giới hạn chảy của cốt thép chịu nén (MPa)

Vậy:

c=

As . f y − A' s . f ' y
0,85. f ' c .β1 .b

Từ giá trị chiều cao vùng bêtông chịu nén c đã xác định được, thành lập phương trình
mơmen với trọng tâm của vùng bêtông chịu nén qui ước, cách mép ngồi cùng của vùng
bêtơng chịu nén bằng

a
, xác định sức kháng danh định của mặt cắt:
2

Mn = As.fy.(ds -

a
a
) – A’s.f’y.(d’s - )
2
2

Trong đó:
ds - khoảng cách từ trọng tâm cốt thép không dự ứng lực chịu kéo đến mép ngồi cùng
của vùng bêtơng chịu nén (mm)
d’s - khoảng cách từ trọng tâm cốt thép không dự ứng lực chịu nén đến mép ngồi cùng
của vùng bêtơng chịu nén (mm)

4.3. CẤU TẠO VÀ TÍNH TỐN DẦM
4.3.1. TÍNH DẦM BTCT THƯỜNG VỀ CƯỜNG ĐỘ CHỊU MÔMEN UỐN

Theo quy định của 22TCN 272-05, cần tính duyệt theo các trang tháí giới hạn sau:
-

TTGH cường độ 1,

5


-

TTGH cường độ 2
TTGH cường độ 3
TTGH đặc biệt

Tính tốn kết cấu Dầm chủ cũng như Dầm ngang bao gồm 2 nội dung chính được thực hiện
lần lượt là:
- tính toán nội lực trong các mặt cắt đặc trưng của dầm
- thiết kế và tính duyệt mặt cắt theo các trạng thái giới hạn.
Phần tính tốn nội lực dầm đã được trình bầy ở các Chương trước, Sau đây chỉ trình
bầy về tính duyệt mặt cắt bêtơng cốt thép thường. Dạng mặt cắt tính tốn của dầm có thể là
mặt cắt chữ nhật hoặc mặt cắt chữ T, có cốt thép đơn hoặc cốt thép kép. Trong mục tính tốn
bản, đã trình bầy về mặt cắt chữ nhật,vì vậy sau đây chi trình bầy mặt cắt chữ T.

4.3.1.1. Các trường hợp chịu lực của mặt cắt chữ T
Khi tính tốn mặt cắt chữ T, có hai trường hợp có thể xảy ra tùy theo vị trí của trục
trung hồ của mặt cắt :
- Trường hợp thứ 1 : Nếu Trục trung hoà đi qua cánh dầm: 0 < c ≤ hf
Mặt cắt chữ T có chiều cao vùng bêtơng chịu nén nhỏ hơn chiều dày bản cánh. Khi đó,
mặt cắt được tính tốn như đối với mặt cắt chữ nhật với chiều rộng của mặt cắt bằng chiều
rộng của bản cánh b và chiều cao của mặt cắt bằng chiều dày của bản cánh hf. Trình tự và nội

dung tính toán mặt cắt chữ nhật được thực hiện như đã giới thiệu ở phần trên.
- Trường hợp thứ 2 : Nếu Trục trung hoà đi qua sườn dầm : hf < a Mặt cắt chữ T có chiều cao vùng bêtông chịu nén lớn hơn chiều dày bản cánh. Phần
bêtông chịu nén của mặt cắt hình được chia thành hai vùng: vùng bêtông chịu nén ở sườn dầm
và vùng bêtông chịu nén ở cánh dầm. Trình tự và nội dung tính tốn mặt cắt được thực hiện
cụ thể như sau.

4.3.1.2. Tính duyệt Mặt cắt hình chữ T có cốt thép thường
a/ Mặt cắt hình chữ T cốt thép đơn

6


b

0,85.f'c

d

0,85.f'c.β1.hf.(b-bw)

a=β1.c

ds

c

bw

0,85.f'c.β1.c.bw

As.f y

Trơc trung hoµ

Chiều cao vùng bêtơng chịu nén c được tính tốn dựa trên phương trình cân bằng lực
dọc của mặt cắt:
0,85.f’c.b1.c.bw + 0,85.f’c.b1.hf.(b – bw) = As.fy
Trong đó:
bw - chiều rộng của bản bụng
hf
- chiều dày bản cánh chịu nén

(mm)
(mm)

Vậy:

c=

As . f y − 0,85. f ' c .β1 .h f .(b − bw)
0,85. f ' c .β1 .bw

Điều kiện:

c > hf

Từ giá trị chiều cao vùng bêtông chịu nén c đã xác định được, thành lập phương trình
mơmen với trọng tâm của vùng bêtơng chịu nén qui ước, cách mép ngồi cùng của vùng
bêtơng chịu nén bằng

a
, xác định sức kháng danh định của mặt cắt Mn (N.mm):
2

Mn = As.fy.(ds -

a
a hf
) + 0,85.f’c.b1.hf.(b – bw).( )
2
2 2

b/ Mặt cắt hình chữ T cốt thép kép
b
0,85.f'c

ds

d

a=β1.c

d

c

hf

bw

0,85.f'c.β1.hf.(b-bw)
A's.fy
0,85.f'c.β1.c.bw

As.fy

Trơc trung hoµ

7


Chiều cao vùng bêtơng chịu nén c được tính tốn dựa trên phương trình cân bằng lực
dọc của mặt cắt:
0,85.f’c.b1.c.bw + 0,85.f’c.b1.hf.(b – bw) + A’s.f’y = As.fy
Trong đó:
A’s
f'y

- diện tích cốt thép chịu nén khơng dự ứng lực
- giới hạn chảy của cốt th1ép chịu nén

(mm2)
(MPa)

Vậy:

c=

As . f y − A' s . f ' y −0,85. f ' c .β 1 .h f .(b − bw )

0,85. f ' c .β1 .bw

Điều kiện: c > hf
Từ giá trị chiều cao vùng bêtông chịu nén c đã xác định được, thành lập phương trình
mơmen với trọng tâm của vùng bêtơng chịu nén qui ước, cách mép ngồi cùng của vùng
bêtông chịu nén bằng

a
, xác định sức kháng danh định của mặt cắt:
2

Mn = As.fy.(ds -

a
a
a hf
) – A’s.f’y.(d’s - ) + 0,85.f’c.b1.hf.(b – bw).(
)
2
2
2
2

4.3.2. KIỂM TRA SỨC KHÁNG UỐN CỦA KẾT CẤU
Các kết cấu Bản mặt cầu cũng như kết cấu Dầm chủ, Dầm ngang cần phải được kiểm
tra sức kháng uốn và kiểm tra điều kiện cốt thép tối đa và cốt thép tối thiểu.
Sức kháng uốn tính toán Mr phải lấy như sau : (Điều 5.7.3.2.1.)
Mr = φ Mn
Trong đó :
Mn - sức kháng danh định (N.mm)

ϕ
- hệ số sức kháng quy định ở Điều 5.5.4.2
+ với kết cấu bêtông cốt thép thường, không dự ứng lực: lấy bằng 0,90
+ với kết cấu bêtông cốt thép dự ứng lực:
lấy bằng 1,00
Mômen uốn cực đại tại mặt cắt đang xét tính theo các trạng thái giới hạn cường độ phải
thoả mãn phương trình sau:
Mu ≤ Mr

8


4.3.3. KIỂM TRA HÀM LƯỢNG CỐT THÉP THEO ĐIỀU KIỆN CHỊU UỐN
Các giới hạn về hàm lượng cốt thép (kiểm tra độ dẻo) được qui định tại Điều 5.7.3.3.
của 22TCN272-05.

4.3.3.1. Hàm lượng cốt thép tối đa
Hàm lượng thép dự ứng lực và thép không dự ứng lực tối đa phải được giới hạn sao cho :

c
de

≤ 0,42

Với:

de =

A ps fps d p + A s fy d s
A ps fps + A s fy

Trong đó:
c
- khoảng cách từ thớ chịu nén ngoài cùng đến trục trung hoà, chiều cao vùng bêtông
chịu nén (mm)
de - khoảng cách hữu hiệu tương ứng từ thớ chịu nén ngoài cùng đến trọng tâm lực kéo
của cốt thép chịu kéo (mm)
Nếu phương trình

c
de

≤ 0,42 khơng thoả mãn thì mặt cắt sẽ bị coi là quá nhiều thép.

Mặt cắt quá nhiều thép có thể được dùng trong các cấu kiện dự ứng lực hay dự ứng lực một
phần chỉ khi phân tích và thực nghiệm chứng tỏ có thể thực hiện được độ dẻo đầy đủ của kết
cấu. Không cho phép các mặt cắt bê tông cốt thép quá nhiều thép. Với mục đích của điều quy

định này, các cấu kiện sẽ được coi như là kết cấu bê tông cốt thép nếu tỷ lệ dự ứng lực một
phần, như quy định trong Điều 5.5.4.2.1, nhỏ hơn 50%:

PPR =

A ps . f py
A ps . f py + As . f y

< 50%

4.3.3.2. Hàm lượng cốt thép tối thiểu
Lượng cốt thép tối thiểu của kết cấu được qui định cụ thể tại điều 5.7.3.3.2 .

Trừ khi có các quy định khác, cịn ở bất kỳ một mặt cắt nào đó của cấu kiện chịu
uốn, lượng cốt thép thường và cốt thép dự ứng lực chịu kéo phải đủ để phát triển sức
kháng uốn tính tốn Mr, ít nhất bằng 1 trong 2 giá trị sau, lấy giá trị nhỏ hơn:
điều kiện thứ 1:

9


1,2 lần sức kháng nứt Mcr được xác định trên cơ sở phân bố ứng suất đàn hồi và
cường độ chịu kéo khi uốn fr của bê tông theo quy định trong Điều 5.4.2.6:
+ đối với bêtơng có tỷ trọng thơng thường:
0,63. f ' c
+ đối với bêtơng có tỷ trọng thấp – cát :

0,52. f ' c

+ đối với bêtơng có tỷ trọng thấp các loại:
0,45. f ' c
Với Mcr được tính tốn theo cơng thức sau (điều 5.7.3.6.2):
M cr = f r .

Ig
yt

Trong đó:
- mơmen qn tính của mặt cắt ngun đối với trọng tâm tiết diện, khơng
tính cốt thép (mm2)
yt
- khoảng cách từ trục trung hoà đến thớ chịu kéo ngoài cùng (mm)
yt = d – c

Ig

điều kiện thứ 2
1,33 lần mơmen tính tốn cần thiết dưới tổ hợp tải trọng - cường độ thích hợp quy
định trong bảng 3.4.1.1 – tổ hợp và hệ số tải trọng.
Phải áp dụng các quy định của Điều 5.10.8 về cốt thép co ngót và nhiệt độ.
Đối với các cấu kiện bêtơng cốt thép thường, khơng có cốt thép dự ứng lực thì lượng
cốt thép tối thiểu được coi là thoả mãn nếu:

Vmin ≥ 0,03

fc′
fy

Trong đó:
Vmin - tỷ lệ giữa cốt thép chịu kéo và diện tích nguyên
f’c
- cường độ quy định của bê tông (MPa)
fy
- cường độ chảy dẻo của thép chịu kéo (MPa)
Đối với các dầm chữ T có bản bụng dầm chịu kéo, việc xác định tỷ lệ cốt thép
thường thực tế ρ để so sánh với yêu cầu này phải căn cứ vào chiều rộng của bản bụng
dầm.
4.3.4. TÍNH DẦM BTCT THƯỜNG VỀ CƯỜNG ĐỘ CHỊU LỰC CẮT
4.3.4.1. Mơ hình thanh kéo - nén
Các cấu kiện BTCT chịu tải trọng vng góc với trục phải đủ sức kháng đối với lực
cắt cũng như mômen uốn và lực dọc trục. Cơ chế kháng cắt của các dầm cao cũng khác với
dầm mảnh. Các chỉ dẫn của AASHTO khuyến cáo sử dụng mơ hình thanh kéo - nén [5.6.3]
khi khoảng cách từ điểm lực cắt bằng không tới gối nhỏ hơn 2 lần chiều cao có hiệu của dầm
hoặc khi tải trọng gây ra ít nhất 1/2 lực cắt tại gối nằm trong khoảng cách 2 lần chiều cao có

10


hiệu. Đối với các dầm cao, mặt cắt khơng cịn phẳng khi chịu lực và mơ hình thanh bê tơng
chịu nén, cốt thép chịu kéo sẽ mô tả cơ chế chịu lực của cấu kiện tốt hơn như trong hình 4.1.
vùng nút
0.85φf'cMAX

thanh chịu kéo

diện tích
neo có hiệu

Lực kéo phân
bố trên chiều
dài này

Nút dàn

Lực nén
Lực kéo

Hình 4.1. Mơ hình thanh kéo - nén cho dầm cao (a) Sự truyền lực, (b) hình chiếu đầu
dầm, (c) mơ hình dàn (AASHTO hình C5.6.3.2-1)

Các cấu kiện dầm cầu nói chung là mảnh và có thể coi mặt cắt cấu kiện trước và sau khi
chịu lực vẫn phẳng. Do đó lý thuyết thiết kế dầm là sự mô tả mối quan hệ giữa ứng suất, biến
dạng, đặc trưng tiết diện và tải trọng. Các dầm BTCT thường được thiết kế chống phá hoại do
uốn tại các vị trí mơmen lớn nhất. Tuy nhiên, khả năng chịu uốn này không thể đạt được nếu
sự phá hoại cắt xảy ra sớm hơn do kích thước và cốt thép sườn dầm khơng đủ. Mơ hình thiết

kế mặt cắt theo AASHTO [A5.8.3] được sử dụng để đánh giá sức kháng cắt của các dầm cầu
điển hình. Mơ hình này thoả mãn điều kiện cân bằng lực, biến dạng và dùng các đường cong
ứng biến kinh nghiệm cho cốt thép và bê tông nứt xiên. Cơ sở và chi tiết của mơ hình mặt cắt
có thể xem trong tài liệu của Vecchio và Collins (1986, 1988) và sách của Collins và Mitchell
(1991).
Sức kháng cắt danh định của mặt cắt Vn được lấy theo trị số nhỏ hơn trong hai giá trị sau
đây (theo điều 5.8.3.3):
Vn = Vc + Vs + Vp
(4.4)
Vn = 0,25.f’c.bv.dv + Vp
Phương trình thứ 2 thể hiện sự đảm bảo không cho bêtông bụng dầm bị vỡ trước khi cốt thép
ngang chảy.
trong đó Vc là cường độ kháng cắt danh định của bê tông, Vs là cường độ kháng cắt danh
định của cốt thép sườn và Vp là cường độ kháng cắt danh định do thành phần thẳng đứng của
dự ứng lực xiên tạo ra. Trong Ptr. 4.4, Vp có thể được xác định từ hình dạng của đường cáp
cịn Vc và Vp có thể được xác định bằng cách cân bằng ứng suất, biến dạng của sườn bê tông
cốt thép theo mặt cắt xiên. Việc xây dựng phương trình cho Vc và Vs dựa trên mơ hình dàn có
góc thay đổi và lý thuyết trường nén sửa đổi được trình bày ở các mục sau.
4.3.4.2. Mơ hình dàn có góc thay đổi

11


Mơ hình dàn tương tự là một trong những mơ hình phân tích lực cắt trong dầm bê tơng cốt
thép sớm nhất. Theo Mitchell và Collins (1991), mơ hình này có khoảng 100 năm trước khi
Ritter đưa ra vào năm 1899 và Morsch thí nghiệm vào năm 1902.
Thanh nén
bê tơng

Thanh

nén thép

Mô men qui ước

Lực cắt qui ước

Lực trong thanh đứng

Lực trong thanh chịu kéo

Hình 4.2. Mơ hình dàn cho dầm chịu tải phân bố đều (a) Mơ hình dàn góc thay đổi (b)
mơ hình thanh kéo- nén được đơn giản hoá (c) Sơ đồ tách một phần dàn, (d) biểu đồ
nội lực trong dàn

12


Một ví dụ về mơ hình dàn có góc thay đổi của một dầm chịu tải trọng phân bố đều được
mơ tả trên hình 4.2a. Nó tương tự như mơ hình của Hsu (1993). Các đường nét đứt thể hiện
các thanh bê tông chịu nén là các thanh biên trên và thanh xiên của dàn. Các đường nét liền
thể hiện các thanh chịu kéo thép là các thanh biên dưới và thanh đứng của dàn. Diện tích thép
biên dưới bằng diện tích cốt thép dọc chịu uốn và các thanh đứng là cốt đai với khoảng cách s.
Các thanh biên trên chịu nén bằng bê tông cân bằng với các thanh biên dưới bằng thép chịu
kéo, tạo ra cặp ngẫu lực kháng mômen uốn. Các thanh bê tông xiên chịu nén tạo với trục dầm
một góc θ và nối đỉnh của cốt đai với biên dưới. Các thanh xiên có hình nan quạt tại giữa và
tại gối sẽ truyền tải trọng cho từng thanh cốt đai. Nội lực trong thanh biên ở giữa nhịp bằng
mômen ở dầm giản đơn tương đương chia cho cánh tay đòn dv.
Trong AASHTO [A5.8.2.7] dv được xác định là chiều cao có hiệu tính theo phương vng
góc với trục trung hồ giữa các hợp lực của lực kéo và nén do uốn nhưng không cần lấy nhỏ
hơn giá trị lớn của 0.9de và 0.72h. Chiều cao có hiệu de từ thớ chịu nén ngồi cùng tới trọng

tâm của lực kéo và h là chiều cao tồn bộ của cấu kiện.
Trong thiết kế khơng cần thiết phải xét tất cả các cốt đai và thanh xiên khi xây dựng mơ
hình dàn cho một dầm bê tơng. Các cốt đai trên một đoạn dầm có thể gộp lại thành một phần
tử thẳng đứng và sẽ tạo ra một mơ hình dàn đơn giản hố. Có thể thấy rằng, có nhiều cách để
xây dựng mơ hình dàn. Trong ví dụ ở đây, dầm được chia thành 6 khoang, tải trọng trên mỗi
khoang là wL/6. Chọn chiều cao chịu cắt có hiệu dv =L/9, có θ = 2/3. Nội lực trong các thanh
dàn có thể xác định bằng phương pháp mặt cắt hoặc tách nút.
Sự thay đổi lực trong cốt đai và lực trong cốt chịu kéo được thể hiện trên hình 4.2(d). Do
đặc tính của dàn, biểu đồ các lực này có dạng bậc thang. Biểu đồ nội lực trong cốt đai luôn
nằm dưới biểu đồ lực cắt của dầm trong khi biểu đồ nội lực trong cốt thép chịu kéo luôn ở
trên biểu đồ mômen của dầm chia cho dv. Nếu thể hiện nội lực trong các thanh chịu nén biên
trên thì nó sẽ nằm dưới biểu đồ nội lực tính từ mơmen của dầm giản đơn. Sự khác biệt này có
thể giải thích bằng cách xét sự cân bằng các nút ở biên trên và biên dưới. Sự có mặt của lực
nén trong các thanh xiên làm giảm lực kéo trong các thanh đai đứng, làm giảm lực nén trong
các thanh biên trên và làm tăng lực kéo trong thanh biên dưới.
Xét điều kiện cân bằng cho một mặt cắt chịu cắt thuần tuý (M=0) như trong hình 4.3. Cân
bằng các lực đứng được:

V = ƒ 2 bv d v cos θ sin θ
Hoặc

ƒ2 =

V
bv d v cos θ sin θ

(4.5)

trong đó f2 là ứng suất nén chủ trong sườn dầm và bv là chiều rộng nhỏ nhất của sườn dầm
trong phạm vi chiều cao dv. Từ việc cân bằng lực có tan θ = V/Nv và

(4.6)
N v = V cot θ
với Nv là lực kéo theo phương dọc cần thiết để cân bằng với lực cắt V. Giả thiết lực kéo Nv
được chia đều cho các biên trên và dưới của dàn, làm tăng lực kéo thanh dưới và giảm lực nén
thanh trên. Phần lực kéo 0.5Vcotgθ được thêm vào lực kéo M/dv trong phần bên phải của hình
4.2(d). Đường nét đứt là giá trị gần đúng nhất thể hiện lực kéo trong các thanh.

Av ƒ v =

Vsbv sin θ sin θ Vs
=
tan θ
bv d v cos θ sin θ d v

A ƒ d
V = v v v cot θ
s

(4.7)

13


Mặt cắt có mơ
men bằng 0

Hình 4.3. Điều kiện cân bằng cho dàn góc thay đổi (a) Sườn nứt nghiêng (b) Mặt
cắt ngang (c) lực kéo trong cốt thép sườn
Không thể xác định ngay khả năng chịu cắt V từ hệ 3 Ptr. 4.5-4.7 vì có tới 4 ẩn số θ, fv, Nv
và f2. Một cách giải là giả thiết θ =45° và giá trị cho fv như một phần của fy khi thiết kế cường

độ. Ptr. 4.7 cho khả năng chịu lực cắt phụ thuộc vào ứng suất kéo trong cốt đai và hướng của
ứng suất nén chủ trong bê tông mà không phụ thuộc vào cường độ chịu kéo của bê tơng. Nói
cách khác, mơ hình dàn có góc xiên thay đổi chỉ phụ thuộc vào thành phần Vs trong Ptr. 4.3,
thành phần Vc được coi là bằng khơng.
Tóm lại, mơ hình dàn có góc thay đổi cho thấy một cách rõ ràng qua Ptr. 4.7 rằng lực cắt
theo phương ngang trên một mặt cắt ngang tạo ra lực dọc trục và làm tăng lực kéo trong cốt
thép dọc. Tuy nhiên, nó có hai thiếu sót: khơng thể dự đốn được hướng của ứng suất chính
và bỏ qua cường độ chịu kéo của bê tông. Cả hai thiếu sót này được khắc phục bằng lý thuyết
vùng nén sửa đổi, trong đó sự phù hợp biến dạng sẽ là phương trình thứ tư cho phép xác định
khả năng chịu lực cắt V.
4.3.4.3 Lý thuyết vùng nén sửa đổi
Trong thiết kế các dầm thép có sườn tương đối mỏng, các khoang sườn giữa các sườn tăng
cường chịu ứng suất cắt được xem như chịu ứng suất kéo khi lực nén xiên gây ra mất ổn định.
Độ ổn định cục bộ của sườn dầm phụ thuộc vào hướng của ứng suất kéo chủ, khoảng cách
sườn tăng cường, chiều cao dầm, chiều dầy sườn và cường độ chảy của vật liệu. Lý thuyết
trường kéo đã được phát triển để xác định mối quan hệ giữa những tham số này và để dự đoán
cường độ chịu cắt của sườn dầm thép.
Đối với dầm bê tông cốt thép chịu ứng suất cắt, trạng thái làm việc tương tự cũng xảy ra
trừ hiện tượng nứt do kéo và sườn dầm chủ yếu chiu nén xiên. Và lý thuyết trường nén đã

14


được phát triển để giải thích trạng thái làm việc của các dầm BTCT chịu cắt. Ban đầu, lý
thuyết trường nén giả thiết ngay khi sườn bị nứt, ứng suất kéo chủ sẽ triệt tiêu. Tuy nhiên sau
đó lý thuyết này đã được sửa đổi để xét tới ứng suất kéo chủ và đưa ra sự mô tả phù hợp hơn
với cơ chế phá hoại do cắt.
Hình 4.4 thể hiện trạng thái ứng suất ở sườn dầm BTCT trước và sau khi nứt. Mỗi trường
hợp được biểu diễn qua một vịng trịn Mo ứng suất. Trước khi nứt (hình 4.4a), sườn dầm
được xem như là đồng nhất và vòng tròn ứng suất có tâm trùng với gốc toạ độ, bán kính v và

2θ = 90°. Sau khi nứt (hình 4.4b), cốt thép ở sườn chịu kéo và bê tông chịu nén do đó hướng
của ứng suất chính θ sẽ nhỏ hơn 45°. Nếu không bỏ qua cường độ chịu kéo của bê tơng thì
trạng thái ứng suất của lý thuyết trường nén sửa đổi (hình 4.4b) sẽ được dùng để mơ tả điều
kiện làm việc của sườn dầm BTCT.
Vịng trịn ứng suất Mo cho phần bê tông chịu nén ở hình 4.4c được giải thích cụ thể ở
hình 4.5. Một phần tử BTCT chịu cắt thuần tuý ứng với một vịng trịn ứng suất như hình
4.5a. Sự tương tác bên trong phần tử tạo ra lực nén trong bê tông và lực kéo trong cốt thép.
Phần bê tông của phần tử được giả thiết chịu toàn bộ lực cắt và lực nén và ứng với vịng trịn
ứng suất ở hình 4.4c và 4.5b. Góc xiên 2θ phụ thuộc vào giá trị tương đối giữa lực cắt và lực
nén.

Hình 4.4. Trạng thái ứng suất trong sườn dầm BTCT chịu cắt thuần tuý
(a) Trước khi nứt f1 = f2 = v , θ= 45°; (b) Lý thuyết trường nén f1 = 0,
θ< 45°; (c)Lý thuyết trường nén sửa đổi f1 ≠ 0, θ< 45° (theo Mitchell và Collins,
1991)
Khơng có vịng trịn ứng suất ứng với cốt thép vì sức kháng cắt của nó được bỏ qua. ứng
suất kéo ƒs*, ƒv* là các ứng suất kéo giả định của bê tông tương đương với lực kéo trong cốt
thép. Sử dụng phép cộng biểu đồ như hình 4.5b và 4.5c có:

15


f s* bv s x = f s As
f s* =

As
fs = ρ x fs
bv s x

(4.8)

và

f v* bv s x = f v Av
f v* =

Av
fv = ρ v fv
bv s x

(4.9)

trong đó sx là khoảng cách thẳng đứng của cốt thép dọc , s là cự ly giữa các cốt đai.

ρx =

As
= tØ sè cèt däc, vµ
bv s x

(4.10)

ρv =

Av
= tØ sè cèt ngang
bv s

(4.11)

ứng suất giữa bê tơng và cốt thép có thể khơng giống nhau sau khi bê tông bị nứt do mô
đun đàn hồi của bê tông và cốt thép khác nhau nhưng biến dạng của chúng thì bằng nhau. Từ
điều kiện này sẽ có thêm một phương trình để tạo thành hệ phương trình và từ đó có thể xác
định góc nghiêng θ và cường độ chịu cắt của cấu kiện BTCT. Việc xác định nghiệm của hệ
phương trình được thực hiện bằng cách coi sườn dầm như một phần tử tấm mỏng với ứng
suất, biến dạng có thể xác định bằng các vịng tròn Mo ứng suất, biến dạng.
Trước khi viết các phương trình cân bằng của lý thuyết trường nén sửa đổi, cần xác định
các điều kiện cân bằng dựa trên một vòng tròn Mo biến dạng. Xét phần tử sườn dầm BTCT bị
nứt có trạng thái ứng suất 2 phương và các biến dạng trung bình là theo phương dọc, ngang và
45° lần lượt là εx, εr và ε45. Biến dạng vng góc là độ dãn dài trên một đơn vị chiều dài (hình
4.6a), cịn biến dạng cắt là sự thay đổi góc γ từ góc vng ban đầu (hình 4.6b). Do giả thiết
các đặc trưng vật liệu là đối xứng nên góc này ở hai bên góc vng ban đầu bằng nhau.
Hướng của biến dạng cắt tương ứng với hướng dương giả thiết của ứng suất cắt trên hình 4.5.

Hình 4.5. Phần tử BTCT chịu cắt thuần tuý (a) Bê tông cốt thép; (b) Thanh chống bê
tông; (c)Cốt thép

16


Một vịng trịn biến dạng có thể xác định nếu biết ba biến dạng tại một điểm và góc giữa
chúng. Ba biến dạng đó là εx, εr và ε45 . Để xác định góc nghiêng của thanh chịu nén cần xác
định mối quan hệ giữa các biến dạng này với các biến dạng chính trung bình ε1, ε2 và góc θ.

Hình 4-6. Điều kiện cân bằng của phần tử sườn dầm bị nứt:
a) Biến vị trung bình của một phần tử bị nứt
b) Biến vị bình thường
c) Biến vị cắt
d) Vịng trịn Mo biến dạng e) Tương quan hình học

Xét một nửa vịng trịn biến dạng trên hình 4.6e, giả thiết toàn bộ biến dạng là dương (trục
γ/2 ở bên trái hình vẽ). Trước tiên có thể xác định tâm vịng trịn bằng trung bình cộng của εx
và εr hoặc của ε1 và ε2 , có

ε x + ε t ε1 + ε 2
=
2
2
Như vậy ứng suất kéo chính ε 1 = ε x + ε t − ε 2

(4.12)

Đường kính của đường trịn bằng đơn vị nên bán kính bằng 1/2 và đoạn thẳng đứng AE
bằng:

AE = 12 sin 2θ = sin θ cos θ
cã sin 2 θ + cos 2 θ = 1
n ª n ED = 12 cos 2θ + 12 = 12 (cos 2 θ − sin 2 θ) + 12 (cos 2 θ + sin 2 θ) = cos 2 θ
vµ BE = 1 − cos 2 θ = sin 2 θ
Từ mối quan hệ này và các tam giác đồng dạng có các phương trình cân bằng sau:

17


ε x − ε 2 = (ε1 − ε 2 )sin 2 θ

(4.13)

ε t − ε 2 = (ε1 − ε 2 )cos 2 θ

(4.14)

γ xt = 2(ε1 − ε 2 )sin θ cos θ

(4.15)

Chia Ptr. 4.13 cho Ptr. 4.14 sẽ được công thức không chứa ε1:

tan 2 θ =

ε x − ε2
εt − ε2

(4.16)

Giá trị tương đối của ε1 và ε2 được thể hiện trên hình 4.6 với ε1 nhỏ hơn ε2 . Điều này là
hợp lý vì khả năng chịu kéo của bê tông nhỏ hơn nhiều so với khả năng chịu nén nên biến
dạng kéo ε1 vuông góc với vết nứt sẽ lớn hơn biến dạng nén ε2 theo phương vết nứt.
Các điều kiện cân bằng của lý thuyết trường nén sửa đổi được xác định bằng cách xét một
nửa cấu kiện như hình 4.7. Sườn dầm BTCT trên hình 4.7a giống như trên hình 4.5a chỉ khác
ở chỗ có thêm ứng suất kéo chủ ƒ1 trong bê tơng.

f1 - ứng suất t.bình

Thay đổi ứng suất
kéo trong bê tơng

Hình 4.7. Các điều kiện cân bằng của thuyết trường nén sửa đổi (a) sườn BTCT bị
nứt (b) mặt cắt ngang, (c) lực kéo trong cốt thép sườn, (d) vịng trịn ứng suất của bê
tơng

18


Cân bằng các lực đứng trong hình 4.7a được

V = f 2 bv d v cos θ sin θ + f 1 bv d v cos θ sin θ
từ phương trình này ứng suất nén chủ có thể biểu diễn như sau:
v
f2 =
− f1
cos θ sin θ

v=

trong đó

(4.17)

V
bv d v

(4.18)

Trong Ptr. 4.17, ƒ2 được giả thiết là ứng suất nén theo hướng thể hiện trên hình 4.7a và
4.7c.
Cân bằng các lực đứng ở hình 4.7c được
Av f v = f 2 sbv sin 2 θ − f 1 sbv cos 2 θ

thay ƒ2 ở Ptr. 4.17 và v ở 4.18 vào được

Av f v d v
(4.19)
cot θ
s
Phương trình này thể hiện sự phân bố sức kháng cắt của bê tông và ứng suất kéo trong cốt
thép sườn dầm. So sánh Ptr. 4.7 với 4.19 thấy rằng so với mơ hình dàn có góc thay đổi, lý
thuyết trường nén sửa đổi đã xét thêm khả năng chịu cắt của bê tông.
Cân bằng các lực dọc ở hình 4.7a có:
V = f 1 bv d v cot θ +

N v = f 2 bv d v cos 2 θ − f 1 bv d v sin 2 θ

Thay ƒ2 ở Ptr. 4.17 vào được

(

)

N v = v cot θ − f 1 bv d v

Nếu khơng có tải trọng dọc trục thì Nv sẽ do cốt thép dọc chịu

N v = Asx f sx + A px f px
Trong đó Asx là tổng diện tích cốt thép dọc, Apx là tổng diện tích thép dự ứng lực dọc, ƒsx
và ƒpx là ứng suất trung bình trên diện tích bvdv trong cốt thép thường và cốt thép dự ứng lực
dọc.
Cân bằng hai phương trình trên và chia cả hai vế cho bvdv

ρ sx f sx + ρ px f px = v cot θ − f 1

(4.20)

trong đó

ρ sx =
ρ px =

Asx
= tØ lÖ cèt thÐp th − êng
bv d v
A px
bv d v

= tØ lƯ cèt thÐp D ¦ L

(4.21)

(4.22)

Với các điều kiện cân bằng về ứng suất và biến dạng đã trình bày, chỉ cịn mối quan hệ
giữa ứng suất và biến dạng là đủ để hoàn thành lý thuyết trường nén sửa đổi. Các mối quan hệ
ứng - biến của bê tông chịu nén, kéo, của cốt thép thường và thép dự ứng lực được thể hiện
trên hình 4.8.
Trong việc xác định sự làm việc của bê tông chịu kéo trên hình 4.8b đã xét tới hai giả thiết:
(1) dùng ứng suất trung bình và biến dạng trung bình trên nhiều vết nứt và (2) các vết nứt
không đủ rộng để lực cắt vẫn có thể truyền qua chúng.

19

Hình 4.9a thể hiện một sườn dầm bị nứt xiên với biểu đồ ứng suất kéo thực và ứng suất
chính trung bình ƒ1 cùng với biến dạng kéo chính trung bình ε1 xác định trên một đơn vị chiều
dài. Đối với sườn bị nứt do biến dạng kéo đàn hồi tương đối nhỏ nên ứng suất kéo chính chủ
yếu là do sự mở rộng của các vết nứt, và bằng

ε1 ≈

w
s mθ

(4.23)

Vách nứt

Hình trụ

(3.20)
Thanh trần

Thanh chơn

Hình 4.8. mối quan hệ cơ bản của các phần tử (a) Bê tông chịu nén, (b) bê tông chịu
kéo, (c) cốt thép thường, (d) thép dự ứng lực.

Trong đó w là bề rộng vết nứt và smθ là khoảng cách trung bình của các vết nứt xiên. Nếu
bề rộng vết nứt w trở nên q lớn, nó sẽ khơng thể truyền lực cắt qua vết nứt theo cơ chế cài
cốt liệu như thể hiện của chi tiết vết nứt. Nói cách khác, nếu vết nứt quá rộng, phá hoại do cắt
sẽ xẩy ra do hiện tượng trượt dọc theo bề mặt vết nứt.
Cơ chế cài cốt liệu được mơ hình hố theo Walraven (1981). Nó dựa trên sự phân tích

thống kê các diện tiếp xúc và hiệu ứng chèn xảy ra giữa các mặt nứt. Tại một vết nứt, xuất
hiện ứng suất cắt cục bộ vci cho phép lực kéo có thể truyền qua vết nứt. Các thí nghiệm đã
được tiến hành để kiểm chứng mơ hình phân tích với sự thay đổi các yếu tố như: cường độ bê
tơng, kích thước cốt liệu lớn nhất, tỉ lệ thể tích cốt liệu so với thể tích bê tơng và bề rộng vết
nứt ban đầu. Các kết quả thí nghiệm cho thấy cường độ chảy là một hàm của căn bậc hai
cường độ chịu nén của bê tơng. Sử dụng các số liệu thí nghiệm của Walraven, Vecchio và
Collins (1986) đã thành lập mối quan hệ giữa lực cắt truyền qua vết nứt và cường độ chịu nén
của bê tông. Công thức của họ sau đó đã được đơn giản hố bởi Collins và Mitchell (1991)

20


bằng cách bỏ qua ảnh hưởng của ứng suất cắt nén cục bộ tại vết nứt và đưa ra giới hạn của vci
như sau:

0.18 Ä'c
vci ≤
0.3 + 24w / (amax + 16 )

(4.24)

trong đó :
w - bề rộng vết nứt (mm),
amax - kích thước lớn nhất của cốt liệu (mm),
f'c - cường độ chịu nén của bê tông (MPa).
Việc giới hạn ứng suất cắt vci trên vết nứt theo Ptr. 4.24 sẽ đảm bảo việc phá hoại trượt
khơng xảy ra.

Hình 4.9. Truyền lực cắt qua vết nứt (a) sườn dầm nứt do lực cắt, (b) ứng suất trung
bình giữa các vết nứt, (c) ứng suất cục bộ tại vết nứt

Các ứng suất trung bình trên mặt cắt 1-1 hình 4.9a trong các thanh chịu nén của bê tông đã
được dùng để xây dựng các Ptr. 4.17, 4.19 và 4.20. ứng suất trong các cốt thép dọc và ngang
cũng là ứng suất trung bình do ảnh hưởng cứng của cốt thép trong bê tơng như trên hình 4.8c.
Tại một vết nứt theo mặt cắt 2-2 trên hình 4.9a và 4.9c, ứng suất kéo trong bê tông bị triệt
tiêu, cơ chế cài cốt liệu xuất hiện và ứng suất trong cốt thép tăng tới khi đạt giới hạn chảy.

21


Cả hai tập hợp các ứng suất ở hình 4.9b và 4.9c phải cân bằng theo phương của lực cắt V.
Điều kiện cân bằng này có thể thể hiện như sau:

Av Äv

dv cot θ
bd
d cot θ
bd
+ vci v v sin θ
+ Ä1 v v cos θ = Av Äy v
s
sin θ
s
sin θ

giải phương trình này theo ứng suất kéo chính được:

Ä1 ≤ vci tan θ +

Av

( Äv − Äy )
bv s

(4.25)

trong đó f1 bị giới hạn bởi giá trị của vci trong Ptr. 4.24.
Hợp lực của các ứng suất trong hình 4.8b và 4.8c phải bằng nhau:

Nv + Ä1

bv dv
bd
sin θ = N y + vci v v cos θ
sin θ
sin θ

Thay vci từ Ptr. 3.22 vào ta có:



A
N y = Nv + Ä1bv dv + Ä1 − v (Äy − Äv ) bv dv cot 2 θ
bv s



(4.26)

trong đó

N y = Asx Äy + A px Äps

(3.27)

Nv = Asx Äsx + A px Äpx

(3.28)

với Asx là tổng diện tích của cốt thép dọc, Apx là tổng diện tích của cốt thép dự ứng lực dọc,
fy là giới hạn chảy của cốt thép thường, fps là ứng suất trong thép dự ứng lực, fsx và fpx là ứng
suất trung bình trên diện tích bvdv của cốt thép thường và cốt thép dự ứng lực nằm trong bê
tông. Ptr. 4.26 là giới hạn thứ hai của f1 cho thấy rằng nếu cốt thép dọc bắt đầu chảy tại một
vết nứt thì ứng suất kéo chính trong bê tơng đã đạt tới giá trị lớn nhất và không vượt quá:

Ä1 ≤

(N y − Nv )
bv dv

sin 2 θ +

Av
(Äy − Äv )cos 2 θ
bv s

và có thể biểu diễn dưới dạng định nghĩa ứng suất:

[

]

Ä1 ≤ ρ sx (Äy − Äsx ) + ρ px (Äps − Äpx ) sin 2 θ + ρ v (Äy − Äv )cos 2 θ

(4.29)

trong đó tỉ lệ cốt thép ρsx, ρpx và ρv như Ptr. 4.21, 4.22 và 4.11.
Sự làm việc của dầm BTCT dưới tác dụng của lực cắt đã có thể xác định từ các mối quan
hệ nêu trên. Theo Collins và Mitchell (1991), cần tiến hành theo trình tự 17 bước để xác định
V trong Ptr. 4.19 như một hàm của ứng suất kéo chính ε1. Tương tự, Hsu (1993) đưa ra một
sơ đồ và một ví dụ minh hoạ trình tự tính tốn để tạo ra đường cong ứng biến.
Rõ ràng các trình tự tính tốn này là q phức tạp để áp dụng vào thực tế. Vì vậy các tác
giả Collins và Mitchell (1991) đã tiếp tục phát triển và đơn giản hoá giả thiết này nhằm phục
vụ cho thực tế thiết kế. Điều này đuợc trình bày trong mục 4.3.4.3
4.3.4.3 Thiết kế chống cắt sử dụng lý thuyết trường nén sửa đổi
Trở lại công thức cơ bản của sức kháng cắt danh định ở Ptr. 4.4, ta có
Vn − Vp = Vc + Vs

(4.30)

Thay sức kháng cắt của bê tông và cốt thép đai từ Ptr. 4.19 được
Vn − Vp = f 1 bv d v cot θ +

fv f v dv
cot θ
s

(4.31)

22

Nếu giả thiết rằng ở trạng thái giới hạn fv = fy , Ptr. 4.24 và 4.25 sẽ trở thành biên trên của
ứng suất kéo chủ trung bình

f 1 ≤ v ci tan θ ≤

0.18 f c'
tan θ
24w
0. 3 +
(amax + 16)

(4.32)

Ptr. 4.31 có thể biểu diễn thành
f c' bv d v +

Vn − Vp = β

fv f v dv
cot θ
s

(4.33)

trong đó

0.18
24w
0.3 +

amax + 16

β≤

(4.34)

Khi đó bề rộng vết nứt w có thể biểu diễn dưới dạng tích của biến dạng chính trung bình ε1
và khoảng cách trung bình giữa các vết nứt smθ :

w = ε1s mθ
Để đơn giản hoá, Collins và Mitchell (1991) giả thiết rằng cự ly vết nứt smθ
kích thước lớn nhất của cốt liệu là 20mm. Từ đó có cận trên của β:
0.18
β≤
0.3 + 200ε 1

(4.35)
= 300mm và
(4.36)

Cùng với giới hạn của f1 bởi ứng suất cắt xiên ở Ptr. 4.32, f1 được giả thiết là tuân theo mối
quan hệ trên hình 3.8b:
f1 =

α 1α 2 0.33 f c'
1 + 500ε 1

(4.37)

với α1 là hệ số xét tới điều kiện liên kết của cốt thép trong bê tơng:

α1 = 1.0 cho cốt thép có gờ
α1 = 0.7 cho cốt thép trơn, sợi hay tao thép cường độ cao
α1 = 0 cho cốt thép không liên kết với bê tông
và α2 là hệ số xét tới điều kiện tải trọng:
α2 = 1.0 cho tải trọng ngắn hạn, không lặp
α2 = 0.7 cho tải trọng lâu dài, tải trọng lặp
Nếu thay 4.37 vào 4.31 và kết hợp với 3.33 ta được:
α α 0.33 cot θ
β= 1 2
1 + 500ε 1
giả thiết hệ số liên kết α1α2 bằng đơn vị, ta có mối quan hệ thứ hai với β phụ thuộc và biến
dạng kéo chính trung bình ε1:
0.33 cot θ
(4.38)
β=
1 + 500ε 1
Theo cơng thức tính cường độ chịu cắt trước đây trong AASHTO-1996, cường độ chịu cắt
danh định của dầm BTCT thuờng là (đơn vị inch-pound)
fv f y d
Vn = 2 f c' bw d +
(4.39)
s
23


So sánh với Ptr. 4.33 và biết rằng bw = bv và d gần bằng dv , hai công thức sẽ cho cùng một
kết quả nếu θ = 45° và β = 2 (chú ý β ở đơn vị inch-pound phải chia cho 12 để chuyển dang
đơn vị SI). Như vậy sự cải tiến của lý thuyết trường nén sửa đổi là nó có thể xét tới sự thay
đổi phương và độ lớn của ứng suất kéo chủ ở sườn dầm. Phương và độ lớn không cố định
nhưng thay đổi theo độ lớn tương đối của ứng suất cắt cục bộ và biến dạng dọc.

Trong cả hai Ptr. 4.36 và 4.38, khi biến dạng kéo tăng (thể hiện qua biến dạng kéo chính
trung bình ε1) làm giảm β và lực cắt mà bê tơng có thể chịu được. Để xác định tham số ε1, lý
thuyết trường nén sửa đổi đưa ra các điều kiện tương ứng của vòng tròn Mo và được xác định
trong Ptr. 4.12-4.16. Thay Ptr. 4.16 vào 4.12 có:

ε 1 = ε x + (ε x − ε 2 )cot 2 θ

(4.40)

phương trình này cho thấy ε1 phụ thuộc vào biến dạng kéo dọc εx, biến dạng nén chủ ε2 và
phương của các biến dạng (hoặc ứng suất) chính θ.
Biến dạng nén chủ ε2 có thể xác định từ mối quan hệ trên hình 4.8a và mối quan hệ ứng
biến:

  ε   ε 2 
Ä2 = Ä2max 2 1  −  2  
  ε' c   ε' c  
đặt biến dạng ε'c tại đỉnh ứng suất nén f'c bằng -0.002, giải phương trình bậc 2 được


ε 2 = −0.0021 − 1 −


f2 

f 2max 

(4.41)

trong đó f2max là ứng suất kéo lớn nhất

f 2max =

f c'
0.8 + 170ε 1

(4.42)

ứng suất nén chủ f2 tương đối lớn so với ứng suất kéo chủ f1 như trên hình 3.8a. Vì vậy f2
có thể tính một cách đơn giản từ Ptr. 4.17:
v
f2 =
(4.43)
sin θ cos θ
trong đó ứng suất cắt trong bê tơng v phải xét tới phần triết giảm do thành phần thẳng đứng
Vp của tao cáp dự ứng lực xiên, bằng
v=

Vn − Vp
bv d v

=

Vn − φ .Vp

(4.44)

φ .bv d v

Thay phương trình 4.42 và 4.43 vào Ptr. 4.41 được





ε 1 = ε x + ε x + 0.0021 − 1 −

v 0.8 + 170ε 1
f c' sinθcosθ

 2
 cot θ



(4.45)


ε1 sẽ tính được khi biết θ, v/f'c và εx.
Trước khi tính biến dạng dọc εx ở phần chịu kéo của sườn dầm cần làm rõ mối quan hệ
giữa các thuật ngữ đã xác định ở trên. Trước tiên, Ptr. 4.19 thể hiện điều kiện cân bằng theo
phương dọc ở hình 4.7a sẽ được viết lại như sau

Nv = (v cot θ − Ä1 )bv dv = V cot θ − Ä1bv dv

(4.46)

Xét Ptr. 4.26 thể hiện điều kiện cân bằng dọc theo hình 4.9 được viết với fv = fy :

N y ≥ Nv + Ä1bv dv + Ä1bv dv cot 2 θ

(4.47)
24


Thay 4.46 vào 4.47 và dùng Ptr. 4.27 để biểu diễn Ny ta được

Asx Äsx + A px Äps ≥ V cot θ + Ä1bv dv cot 2 θ

(4.48)

thay 4.19 vào 4.48 có

Asx Äsx + A px Äps ≥ 2Ä1bv dv cot 2 θ +
trong đó

Av Äy dv
s

cot 2 θ = (2Vc + Vs )cot θ

Vc = Ä1bv dv cot θ = β Ä'c bv dv
Vs =

Av Äy dv
s

(4.49)
(4.50)

cot θ

(4.51)
Do cốt thép dọc chủ yếu nằm ở phía chịu kéo của phần tử chịu uốn nên Ptr. 4.49 có thể viết
dưới dạng gần với diện tích thép chịu kéo As và Aps bằng cách giả thiết chia chiều cao chịu cắt
dv cho 2 được:

As Äy + A ps Äps ≥ (Vc + 0.5Vs )cot θ

(4.52)

Tuy nhiên từ Ptr. 4.30 có thể viết

Vc + 0.5Vs = Vn − 0.5Vs - Vp
như vậy lượng cốt thép dọc cần để chịu cắt là

V

As Äy + A ps Äps ≥  c − 0.5Vs − Vp  cot θ
 φv


(4.53)
Sau quá trình biến đổi các phương trình cân bằng trên, yêu cầu về khả năng chịu lực cắt
được thể hiện ở Ptr. 4.53. Hiện tượng này đã quan sát được từ trước đây trong nghiên cứu sức
kháng cắt bằng mơ hình dàn trong đó lực cắt được thể hiện bằng thêm lực kéo vào trong thanh
kéo của dàn và bớt lực nén trong thanh nén. Tuy nhiên điều này khơng được xét tới trong
trình tự thiết kế chống cắt thực tế. Sự thiếu sót này có thể dẫn tới một sai sót nghiêm trọng,
đặc biệt ở các vùng chịu lực cắt lớn và chắc chắn sẽ được sửa trong các ấn bản mới của các
qui trình thiết kế.
Cùng với việc đảm bảo chống cắt như trong Ptr. 4.53, cốt thép dọc còn phải đảm bảo đủ để

chịu lực kéo do mômen Mu và lực dọc Nu như hình 4.10. Điều này dẫn đến qui định cốt thép
dọc chịu kéo trong AASHTO [A5.8.3.5]:

As Äy + A ps Äps ≥

V

Mu
N
+ 0.5 u +  c − 0.5Vs − Vp  cot θ
dv φ Ä
φα  φv


(4.54)
trong đó φf, φα và φv lần lượt là các hệ số kháng uốn, lực dọc, cắt lấy theo AASHTO
[5.5.4.2]:
Trạng thái giới hạn cường độ
Hệ số φ
Uốn và kéo bê tông cốt thép
0.90
Bê tông dự ứng lực
1.00
Cắt và xoắn
Bê tông trọng lượng thông thường
0.90
Bê tông nặng
0.70

25