Giáo trình Hình học mỏ: Phần 1 - ThS. Ngô Thị Hài

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CƠNG NGHIỆP QUẢNG NINH
-------------------------------------Chủ biên: Th.s Ngơ Thị Hài

GIÁO TRÌNH

HÌNH HỌC MỎ
DÙNG CHO SINH VIấN ĐẠI HỌC TRẮC ĐỊA (LƯU
HÀNH NỘI BỘ)

Năm 2013


LỜI NĨI ĐẦU
Hình học mỏ là học phần chun mơn của ngành Trắc địa mỏ, nó cung cấp
những kiến thức chủ yếu về việc xác định các yếu tố sản trạng của lớp khống
sản, mơ tả bề mặt vách hoặc trụ vỉa bằng các đường đẳng trị, các phương pháp
tính trữ lượng khống sản, các phép tính cơ bản ứng dụng cho bề mặt cấp địa
hình,....Những kiến thức này góp phần hồn chỉnh trình độ cho người Cử nhân
Cao đẳng Trắc địa mỏ của trường Cao đẳng Kỹ thuật mỏ.
Tuy vậy, từ khi có ngành Cao đẳng Trắc địa mỏ đến nay, sinh viên vẫn chưa
có tài liệu chính thức để học tập, tham khảo.
Dựa theo mục tiêu đào tạo của ngành, được sự đồng ý của Bộ môn Trắc địa
và của Lãnh đạo Nhà trường, chúng tôi mạnh dạn viết Giáo trình này nhằm tạo
điều kiện cho sinh viên học tập tốt hơn. Giáo trình này cũng có thể làm tài liệu
tham khảo cho sinh viên ngành Cao đẳng địa chất mỏ hoặc học sinh bậc Trung
cấp của các ngành tương ứng.
Giáo trình gồm 9 chương:
Chương 1 : Hình chiếu có số độ cao (hình chiếu ghi độ cao)
Chương 2 : Biến đổi hình vẽ trong hịnh chiếu có số độ cao
Chương 3 : Các phép tính ứng dụng cho bề mặt cấp địa hình
Chương 4 : Hình chiếu trục đo

Chương 5 : Hình học hố khống sản có ích dạng phẳng(tấm)
Chương 6 : Hình học hố sự phân bố tính chất vật chất khống sản có ích
Chương 7 : Các thơng số phục vụ tính trữ lượng
Chương 8 : Các phương pháp tính trữ lượng
Chương 9 : Thống kê khối lượng tài nguyên mất mát và làm nghèo quặng
Khi viết giáo trình này, chúng tơi chủ yếu dựa vào giáo trình Hình học mỏ
của Tiến sỹ Nguyễn Xuân Thuỵ - Trường Đại học mỏ Địa chất, rồi biên soạn cho
phù hợp với mục tiêu và trình độ của ngành Cao đẳng Trắc địa mỏ của trường.
Trong quá trình viết, chúng tôi thường xuyên nhận được sự cổ vũ, khích lệ
của các đồng chí, đồng nghiệp.
Tuy nhiên, do trình độ có hạn, lại thiếu tài liệu tham khảo, thiếu kiên thức
thực tế, nên mặc dù đã có nhiều cố gắng vẫn khơng tránh khỏi thiếu sót.
Trong q trình sử dụng chúng tơi mong nhận được những ý kiến đóng góp
của đồng nghiệp và học sinh - sinh viên để Giáo trình được hồn chỉnh.
Mọi ý kiến xin gửi về Bộ môn Trắc địa - Khoa Trắc địa Địa chất - Trường
Cao đẳng Kỹ thuật mỏ - Yên Thọ - Đông Triều - Quảng Ninh.
Chúng tôi xin trân trọng cảm ơn !
TÁC GIẢ

2


BÀI MỞ ĐẦU
1. Mục đích và nhiệm vụ của Hình học mỏ
1.1.Mục đích :
-Nghiên cứu và biểu thị rõ ràng các yếu tố sản trạng khống sản có ích (độ
dày, độ sâu, góc nghiêng,... của vỉa quặng).
-Biểu thị đầy đủ đặc tính và chất lượng khống sản.
-Biểu thị q trình biến đổi của vỉa quặng.
1.2.Nhiệm vụ :

-Nghiên cứu một số phương pháp chiếu dùng trong trắc địa.
-Nghiên cứu các phương pháp biến đổi bề mặt cấp địa hình và ứng dụng.
-Nghiên cứu các phương pháp tính trữ lượng khống sản có ích.Phương
pháp thống kê tổn thất tài ngun.
2.Khái qt về các phương pháp biểu diễn khoảng cách trong lòng đất
2.1.Phương pháp chiếu nghiêng
Dựa vào độ dày, độ sâu sản trạng thu được từ các lỗ khoan thăm dò, ....cắt
từng đường cắt theo các tuyến lỗ khoan, dựng biểu đồ theo các lát cắt này sẽ xác
định được hình dáng vỉa quặng (hình 1).
I

3
2

5

I

2

6

4

4
8

h1

III

5

II - II

1

II

1

6

3

I-I

h3

h2

h4

h5

h6

9

7

II
III

a)
b)
Hình 1 : Phương pháp chiếu nghiêng
Hình 1a: Mặt cắt theo tuyến I-I
Hình 1b: Mặt cắt theo tuyến II-II

2.2. Phương pháp tiết diện ngang
Vẽ mặt cắt nằm ngang của hệ thống đường lò theo một mặt cắt nào đó sẽ
biểu diễn được chi tiết các đường lị của hệ thống khai thác (hình 2).
Hình 2a : Mơ tả mặt cắt đứng qua giếng đứng.
Hình 2b : Mơ tả hệ thống đường lị được vẽ theo mặt cắt nằm ngang I-I.
a)
I

x

b)

I

3

o

y

Hình 2 : Phương pháp tiết diện ngang
2.3. Phương pháp mơ hình
Dựa vào bản đồ địa hình và mặt cắt theo khung bản đồ ( cho 1,2 hoặc 3,4
mặt ) dựng thành mơ hình.
Mơ hình là khối vng các mặt bằng kính (Hình 3)
a

d

b

a

b

c f

e e

b

c

g

C

Hình 3 : Phương pháp mơ hình
Phương pháp này đẹp , biểu diễn cụ thể nhưng hơi cầu kỳ nên tốn thời gian.

4


2.4. Phương pháp đường đẳng trị
Nối các điểm có cùng giá trị ( độ cao, hàm lượng, trữ lượng , chiều dày, . . )
thành bình đồ đẳng trị để biểu thị tính chất của địa hình, của vỉa quặng, . . . .
Các đường đẳng trị được vẽ bằng các màu khác nhau tuỳ theo đối tượng mà
nó thể hiện (Hình 4). Phương pháp này do giáo sư Xơbơlepski phát minh năm
1901.

3.0

2.0

3.0

2.0
2.0

1.0

1.5
1.0
0.6

2.0

Bình đồ hàm lượng C%

Bình đồ chiều dày vỉa

Hình 4 : Phương pháp đường đẳng trị
3. Các phép chiếu dùng trong Hình học mỏ
3.1.Phương pháp chiếu hình trung tâm (Tương tự chiếu phim ) (Hình 5)
Tâm chiếu đặt tại O; vật thể được chiếu lên màn hình.

O

Hình 5 : Phương pháp chiếu hình trung tâm
Phương pháp này mơ tả rõ rệt các đường thẳng, đường cong, nhưng không
cho kích thước thật nên khi tính tốn trên bản đồ gặp rất nhiều khó khăn.
3.2. Phương pháp chiếu song song (Hình 6)

5


Hình 6 : Phương pháp chiếu song song

Phương pháp này dùng các nét vẽ song song để biểu thị – còn gọi là
phương pháp vẽ phối cảnh, áp dụng trong kỹ nghệ hoạ . Thường ứng dụng cho
việc chiếu các khối.
Mở rộng phương pháp này trong hình học mỏ có phương pháp chiếu trục
với 3 trục căn bản x, y, z (Hình 7) dùng để mơ tả các hệ thống đường lị khai thác.
Có quy định tỷ lệ riêng cho mỗi trục và trị số riêng cho các góc  ,  .
Z




X

Y
Hình 7: Hệ trục toạ độ dùng trong hình chiếu trục đo

3.3. Phương pháp hình chiếu có số độ cao ( Hình chiếu ghi độ cao )
Dùng phép chiếu thẳng góc, chiếu các điểm (hoặc đường) trong khơng gian
xuống mặt phẳng nằm ngang. Mỗi điểm, đường thẳng khi áp dụng phương pháp
chiếu này đều có kèm theo trị số độ cao. (Hình 8)
Phương pháp này rất thuận tiện cho việc tính tốn trên bản đồ.

A12

B10
C7

b10

a12
H

Hình 8:Hình chiếu có số độ cao

6

c7


Chương 1 . HÌNH CHIẾU CĨ SỐ ĐỘ CAO
1.1 . KHÁI NIỆM
1.1.1.Đặt vấn đề

-Vỉa quặng, hầm lò, vật thể, . . . .đều là khối lập thể trong không gian. Muốn
hình dung và biểu thị nó đầy đủ và khoa học để có thể tính tốn giải quyết mọi
vấn đề thì chỉ có dùng phương pháp chiếu là tiện lợi nhất.
-Trong đó tốt nhất là phương pháp hình chiếu có số độ cao gọi tắt là phương
pháp hình chiếu ghi độ cao.
-Nội dung cơ bản của phương pháp hình chiếu ghi độ cao là : áp dụng
phương pháp chiếu thẳng góc , trên hình chiếu ghi giá trị độ cao tương ứng trong
khơng gian.
1.1.2.Chiếu điểm
Ví dụ : Trong khơng gian có 3 điểm A, B, C với độ cao tương ứng ZA = 10
ZB = 6 ; ZC = -5 . Chọn mặt phẳng nằm ngang (H) ở độ cao tuỳ ý ( thường chọn
bằng O ).
Từ A, B, C hạ các đường thẳng góc xuống mặt phẳng (H) được các điểm
a, b, c . Ghi độ cao tương ứng ở bên cạnh các điểm trên hình chiếu (Hình I - 1)
A10

a10

B6

c(-5)

b6

H
C(-5)

Hình I-1 : Hình chiếu ghi độ cao của các điểm

Phương pháp này được áp dụng để vẽ các đường đẳng cao trong trắc địa.

1.1.3.Chiếu đường thẳng
a.Khái quát :
Như chúnh ta đã biết :
7


- Một đường thẳng được xác định bởi :
+ Hai điểm trên đường thẳng ;
+ Một điểm trên đường thẳng và phương của nó.
- Phương của đường thẳng được xác định bởi :
+ Góc phương vị (  )
+ Góc nghiêng hay góc dốc (  )
- Góc nghiêng hay góc dốc (  ) của đường thẳng là góc hợp bởi
đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng nằm ngang .
Góc  cịn được gọi là góc cắm của đường thẳng.
x

a

a
a
Hình I – 2 : Hình chiếu đường thẳng

Trong trắc địa thường dùng phương pháp này để biểu diễn các đường trung
tâm lò , các đường phương hướng chạy của vỉa.
* Trong phép chiếu này độ dài đoạn thẳng trên bản đồ ( độ dài đoạn thẳng
chiếu ) so với độ dài thật phụ thuộc vào góc nghiêng của đường thẳng :
Nếu góc nghiêng  lớn thì độ dài chiếu nhỏ .
Nếu góc nghiêng  nhỏ thì độ dài chiếu sẽ gần bằng độ dài thật.
* Để tìm độ dài thật phải dựa vào “ đơn vị cự ly ngang” và góc nghiêng

hoặc độ chênh cao .
“ Đơn vị cự ly ngang là hình chiếu của 1 đoạn thẳng mà đẳng cao cự bằng 1.
Hay là hình chiếu của 1 đoạn thẳng có độ chênh cao giữa hai đầu bằng 1”
(Hình I - 3 )
11
10
h=1
9
li
l = 2li
8


l : độ dài hình chiếu

Hình I - 3 : Mơ tả đơn vị cự ly ngang

b.Mơ tả hình chiếu ghi độ cao của đường thẳng
Ví dụ : Mơ tả hình chiếu ghi độ cao của đường thẳng AB , CD (Hình I- 4)
x
a35
y
c11


b(-15)



d

Hình I - 4 : Hình chiếu ghi độ cao của đoạn thẳng

c. Giải các bài toán về đường thẳng
Trong hình học mỏ khi giải các bài tốn về đường thẳng, trên hình
chiếu ghi độ cao của nó thường được xác định những điểm có độ cao là số nguyên
1, 2, 5, 10, 20, . . . . .Muốn xác định những điểm này phải dùng phép phân chia
đường thẳng. Hiện nay thường áp dụng một trong 2 phương pháp :
- Phương pháp giải tích : ứng dụng khi đường thẳng biểu thị bằng 2 điểm.
Giả sử cần phân chia đường thẳng AB có hình chiếu như hình I - 5. Trước
tiên ta phải đo độ dài hình chiếu của AB là l ab, tiếp đó tính độ chênh cao hab, rồi
xác định đơn vị cự ly ngang li theo công thức (I - 1) :
li =

l ab
hab

(I - 1)

Trong đó :
lab : Độ dài hình chiếu của AB
hab : Độ chênh cao giữa A và B
Ví dụ : Hình chiếu của đoạn thẳng AB có lab = 45 mm ; hab = 9 m
Vậy li = 45 : 9 = 5 mm
Có đoạn li = 5 mm, ta phân chia đoạn thẳng như hình vẽ (Hình I - 5)
9

b31

Hình I - 5 : Phân chia đoạn thẳng với đơn vị cự ly ngang là 5 mm

- Phương pháp đồ giải
+ Phương pháp mặt trông nghiêng
Ứng dụng khi đường thẳng được cho bằng 1 điểm và hướng của nó.
Ví dụ : Đường thẳng AB có toạ độ điểm A (XA, , YA , ZA ) ; góc phương vị
o , góc dốc o . Cần biểu diễn đường thẳng AB bằng hình chiếu ghi độ
cao với phân khoảng 5li .
Cách làm :
Vẽ điểm a và đường ab có o .Trên hình chiếu có thể chọn độ dài ab = S
Để phân chia ab, ta dựng mặt cắt qua ab.
Chọn điểm A bất kỳ, trên đường nằm ngang đặt đoạn AK.Từ A dựng đường
có góc dốc o ; từ K kẻ đường vng góc KK’ .Theo thang độ cao KK’ ta phân
chia như hình I - 6. Đánh dấu các điểm cần tìm lên hình chiếu của đoạn ab.
Điểm K có thể lấy tuỳ ý trên đường nằm ngang AK. Từ K dựng KK’ ⊥ AK.
Để phân chia thang độ cao KK’ phải dựa vào tỷ lệ bản đồ và độ chênh cao yêu
cầu. Như ví dụ trên tương ứng với phân khoảng 5li , độ chênh cao yêu cầu sẽ là 5.
Đường nằm ngang AK tương ứng với độ cao 63, bản đồ có tỷ lệ 1/500 muốn có
đường 60, ta phải đo từ K xuống một đoạn 6mm (mỗi mét ở thực tế ứng với 2mm
trên bản đồ) , đánh dấu được điểm 60. Để có điểm 55, ta đo từ điểm 60 xuống 10
mm.Để có các điểm 50, 45, . . . ta tiến hành tương tự.
Từ các điểm 60, 55, 50, . . . kẻ các đường nằm ngang // KA, các đường này
cắt đường AK’ ở các điểm tương ứng.Từ các điểm này gióng vng góc lên đường
AK, được các điểm độ cao trên hình chiếu. Khoảng cách giữa các điểm độ cao
trên AK chính là khoảng cách ngang cần tìm.Đánh dấu các điểm này lên ab, bài
tốn đã hồn thành.(Hình I - 6)
+ Phương pháp khn đồ hình
Trên giấy bóng kẻ các đường song song và cách đều nhau (1, 2, 3mm,...)
mỗi đường ứng với một độ cao nhất định.Đặt tờ giấy bóng ( khn đồ hình ) lên
hình chiếu ghi độ cao của đoạn thẳng, sao cho 1 đầu đoạn thẳng trùng với độ cao

của 1 đường trên khn đồ hình (Hình I - 7).
A63

b

60

55

50

45

40

K
60

10

40
45

55
50


Hình I - 6 : Phân chia đường thẳng theo phương pháp mặt trơng nghiêng

Xoay khn đồ hình đến khi đầu còn lại của đoạn thẳng trùng với giá trị

độ cao trên khn (nếu là độ cao lẻ thì phải nội suy)
Đánh dấu các giao điểm lên đoạn thẳng . Ghi độ cao vào các điểm đánh
dấu.

a14
b21

12
14
16
18
20
22
24

Hình I - 7 : Phân chia đường thẳng theo phương pháp khuôn đồ hình
1.1.4.Hình chiếu của mặt phẳng
a.Mặt phẳng được xác định bằng một trong các trường hợp sau :
- Toạ độ 3 điểm không cùng nằm trên một đường thẳng;
- Một đường thẳng và một điểm ngồi đường thẳng đó ;
- Hai đường thẳng cắt nhau ;
- Hai đường thẳng song song .
b.Hình chiếu ghi độ cao của mặt phẳng (Hình I - 8)
V
20
10

20
10

11
M

P

0
Ph

M1


Hình I – 8: Bản chất hình chiếu ghi độ cao của mặt phẳng
Trong Hình I - 8 : H - mặt phẳng ngang ; P - mặt phẳng nghiêng ;
V - mặt phẳng đứng ; Ph - vết của mặt phẳng P ;
MN - đường dốc của mặt phẳng P (MN ⊥ Ph);
 - góc dốc của mặt phẳng P.
- Nếu cắt mặt phẳng P bằng các mặt phẳng nằm ngang và cách đều nhau ở
những độ cao chẵn thì ta được các đường nằm ngang song song và cách đều nhau
có độ cao chẵn gọi là các đường đồng mức.
Đường đồng mức ⊥ đường dốc và gọi là đường phương của mặt phẳng.
- Trong hình chiếu ghi độ cao, mặt phẳng được biểu thị ít nhất bằng 2 đường
đồng mức với giá trị độ cao chẵn.
-Hướng của đường phương theo hướng bên trái của đường dốc.
-Góc tính từ trục OX theo chiều kim đồng hồ đến hướng đường phương gọi
là góc phương vị (Hình I - 9).
*Để xác định hướng của đường phương hoặc hướng của đường dốc khi biết
một trong hai yếu tố, ta có thể áp dụng quy tắc bàn tay trái .Quy tắc bàn tay trái
như sau: Khi biết hướng đường dốc : Ngửa bàn tay trái, chụm 4 ngón chỉ theo
hướng đường dốc thì hướng của ngón cái là hướng đường phương.Khi biết hướng
đường phương: Ngửa bàn tay trái, chụm 4 ngón, hướng ngón cái chỉ theo hướng

đường phương thì hướng của 4 ngón chụm là hướng đường dốc.
a)

X

b)

P
M

10
h


N

20
l

10
0

Hình I – 9 : Hình chiếu ghi độ cao của mặt phẳng

12

l

0

MN : đường dốc của P
 : góc phương vị của đường phương ;  : góc đơ của mặt phẳng ;
Để vẽ đường đồng mức thứ 2, ta phải xác định cự ly ngang (l) tương ứng
với khoảng cao đều (h) và tỷ lệ bản đồ 1/M. Có 2 cách xác định cự ly ngang (l).
Cách thứ nhất : dựng mặt cắt đứng giữa 2 đường đồng mức (hình I -9b) đo
được đoạn được l trên bản đồ;
Cách thứ 2 : tính cự ly ngang (l) theo cơng thức :
l = L / M ; L = h cotg
Trong đó:
h :khoảng cao đều ,
 : góc dốc của mặt phẳng .
Sau khi có cự ly ngang (l), dựa vào quy tắc bàn tay trái để xác định hướng
dốc của mặt phẳng, từ đó kẻ 2 đường vng góc với đường đồng mức thứ nhất,
đặt chiều dài (l) lên 2 đường vng góc. Nối 2 đầu mút của 2 đường vng góc,
được đường đồng mức cần vẽ. Các đường khác cũng vẽ tương tự.
1.2. .VỊ TRÍ TƯƠNG QUAN GIỮA CÁC ĐƯỜNG THẲNG
GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VỚI MẶT PHẲNG
VÀ GIỮA MẶT PHẲNG VỚI MẶT PHẲNG

1.2.1.Vị trí tương quan giữa các đường thẳng
a.Hai đường thẳng cắt nhau trong khơng gian
Trên hình chiếu ghi độ cao, chúng cũng cắt nhau ; điểm cắt có toạ độ chung
cho 2 đường đó (Hình I - 10). Đặc biệt , khi 2 đường thẳng cùng nằm trong mặt
phẳng đứng thì hình chiếu của chúng trùng nhau .
a
6

12
10

8
8
7
6
5

c

d

11

7
9
9
10
11

12
13

b

Hình I - 10: Hình chiếu của 2 đường thẳng cắt nhau

b.Hai đường thẳng chéo nhau
Có 2 trường hợp xảy ra :
-Hình chiếu của chúng cắt nhau, nhưng điểm cắt có 2 giá trị độ cao khác
nhau.(Hình I - 11a)

13


-Hình chiếu của chúng // với nhau, nhưng có hướng khác nhau (hình I-11b),
hoặc cùng hướng nhưng có góc dốc khác nhau (Hình I - 11c)
a

b)

h

5
d

a)

6

c)

m

j

12

p

7

7

7
11

8

9
c

6

8

10
9

9

5

10
10
g

11
b

8

4

q

n

k

Hình I - 11: Hình chiếu của 2 đường thẳng chéo nhau

c.Hai đường thẳng song song với nhau
Hình chiếu ghi độ cao của chúng cũng song song với nhau ,cùng
hướng và cùng giá trị góc dốc.Khi 2 đường thẳng cùng nằm trong mặt phẳng đứng
thi hình chiếu của chúng trùng nhau.
1.2.2.Vị trí tương quan giữa đường thẳng và mặt phẳng
a.Đường thẳng nằm trong mặt phẳng :
- Có ít nhất 2 điểm nằm trong mặt phẳng
- Có góc phương vị đ = 0 - 360 ;
- Có góc dốc (đ) thay đổi từ 0 -  ( : góc dốc của mặt phẳng )
đ = 0 khi đường thẳng trùng với đường phương của mặt phẳng ;
đ =  khi đường thẳng trùng với đường dốc của mặt phẳng ;
- Ví dụ về việc xác định vị trí đường thẳng nằm trong mặt phẳng khi
biết góc phương vị hoặc góc dốc của nó .
Ví dụ 1 : Cho mặt phẳng P (0 , 0) ; đường thẳng AB (1) năm trong mặt
phẳng P. Xác định góc dốc 1 của đường thẳng đó 
Bài giải : Xem Hình I - 12.
90º - 0

c
X

60

1

h =10

50
0
O
P

a

1

m

b

l

n

a’
10

1
a

1

b

Hình I - 12 : Xác định góc dốc của đường thẳng

- Trước tiên ,ta dựng mặt phẳng P bằng cách : Chọn điểm O bất kỳ trên tờ
giấy vẽ, từ O dựng trục X, dựng góc o được đường đồng mức thứ nhất (đường
60) của mặt phẳng P.Để dựng đường đồng mức thứ 2 , ta làm như sau :
14


- Kẻ đường nằm ngang mn . Tại m, dựng mc ⊥ mn , đặt mc = h = 10 (h là
khoảng cao đều giữa 2 đường đồng mức của mặt phẳng P ).Từ c dựng góc (90 0 ) được mn = l .Đoạn mn = l chính là khoảng cách nằm ngang giữa 2 đường
đồng mức của mặt phẳng P.Dựa vào đường đồng mức thứ nhất và theo Quy tắc
bàn tay trái , ta vẽ được đường đồng mức thứ 2 (đường 50) của mặt phẳng P, như
đã nêu ở trên.
- Từ a, ta dựng góc phương vị 1 sẽ xác định được hình chiếu của đường
thẳng AB, cắt đường đồng mức thứ 2 của mặt phẳng P tại điểm 1.
- Vẽ mặt cắt qua ab , bằng cách : Kẻ đường nằm ngang ab , đặt đoạn thẳng
a1, từ a dựng aa’ ⊥ ab , đặt aa’ = h . Nối a’1, ta được góc a’1a = 1 .Đây chính là
góc dốc cần tìm của đường thẳng AB.

Ví dụ 2 : Cho mặt phẳng P (0 , 0) và đường thẳng AB nằm trong mặt
phẳng P, đi qua điểm a20 và có góc dốc 1 .Hãy xác định góc phương vị của đường
AB 
30
n
Bài giải :
1

20

k

m
2

a2

p

a

1
k1

0

30
20

Hình I – 13 : Xác định góc phương vị của đường thẳng

-Trước tiên , ta dựng mặt phẳng P , cách làm như ví dụ 1.
-Dựng thang độ cao với 2 đường có giá trị độ cao là 20, 30
-Từ điểm a bất kỳ trên đường 20, dựng góc dốc 1 của đường AB . Cạnh góc
dốc cắt đường 30 ở k1 . Từ k1 dóng vng góc xuống đường 20 được điểm k .
ak : Độ dài nằm ngang của AB giữa 2 đường đồng mức 20 và 30. Từ a ,
dùng compa quay 1 cung có bán kính ak, cắt đường 30 của P ở m và n .Ta được :

am = an = ak với 2 góc phương vị 1 và 2
Như vậy 2 đường thẳng AM và AN cùng nằm trong mặt phẳng P , có cùng
góc dốc 1 nhưng có 2 góc phương vị tương ứng là 1 và 2 .
b.Đường thẳng cắt mặt phẳng
Đường thẳng cắt mặt phẳng ở mọi hướng, đặc biệt nó ⊥ mặt phẳng.
- Trường hợp đường thẳng cắt mặt phẳng (mp) ở hướng bất kỳ
Ví dụ : Cho mp P (1, 1) . Từ điểm b90 ngoài mp cho đường thẳng BC (0, 0).
Xác định toạ độ điểm (c) - đường thẳng cắt mp và độ dài thực BC 
Bài giải : Từ b90 dựng đường bc có 0 , cắt đường 80, 70 của mp P ở 1 và
2
Dựng mặt cắt đi qua BC – xác định được chiều dài thực BC ; từ mặt cắt xác định
được độ cao Zc = 76 và độ dài ngang bc ; đưa c lên bản vẽ, xác định được X c
,Yc.Xem hình I – 14.
x
b90
xc

15

0
P

2
c76 1


B90

90
0

b

2

c 1 80
76

C

70

Hình I – 14 : Xác định toạ độ điểm đường thẳng cắt mặt phẳng

- Trường hợp đường thẳng ⊥ mặt phẳng (Hình I-15)
AB ⊥ P
AB ⊥ MN
và đường đồng mức của P.
P
M
Hình chiếu của AB ⊥
A
hình chiếu đường đồng
mức của P.
Từ hình vẽ ta có :
1 = 90 - 
1

Trong đó :
b

N
1 : Góc dốc của đường thẳng
H
 : Góc dốc của mặt phẳng P
Hình I-15 : Đường thẳng vng góc với mặt phẳng

Ví dụ : Cho mp P . Từ điểm a 85 hạ đường ⊥ P.
Tìm chiều dài thực từ A đến mặt phẳng P ?
Bài giải : Từ điểm a85 hạ đường ⊥ với đường đồng mức của mặt phẳng P được
điểm 1 và 2 (Hình I-16). Dựng mặt cắt đi qua A2 tìm được điểm C do đường AB
cắt mặt phẳng P và độ dài thực từ A đến mặt phẳng P là đoạn AC.
70

90

A85

2

P

80

60

c64

90º

1

1

2

C

a85

Hình I - 16 : Xác định độ dài thực từ một điểm đến mặt phẳng

16

70
60


1.2.3.Vị trí tương quan giữa mặt phẳng và mặt phẳng
a.Khái qt :
Trong khơng gian, 2 mặt phẳng có thể cắt nhau , có thể song song .
Nếu 2 mặt phẳng cắt nhau thì trong hình chiếu ghi độ cao sẽ xảy ra 3
trường hợp :
- Các đường đồng mức của chúng cắt nhau .
- Các đường đồng mức song song , nhưng có hướng ngược nhau .
- Các đường đồng mức song song , có cùng hướng nhưng khoảng cách
giữa các đường đồng mức của 2 mặt phẳng khác nhau.
b.Các ví dụ về mặt phẳng cắt mặt phẳng
Ví dụ 1 : Cho 2 mặt phẳng cắt nhau P1 và P2 . Xác định giao tuyến của 2
mặt phẳng và thành phần thế nằm của nó ?
Bài giải : (Xem Hình I-17)

80

X

70


a

A

b

h=10
a
80

80


70
b

70

Hình I-17 : Xác định giao tuyển của 2 mặt phẳng

- Các đường đồng mức tương ứng (70, 80) của P1 & P2 cắt nhau ở a & b .
+ Nối ab được hình chiếu giao tuyến của P1 & P2 .
+Từ đó xác định được góc phương vị  và góc dốc  của giao tuyến.

- Nếu các đường đồng mức cắt nhau ngoài bản vẽ hay song song với nhau
thì phải dùng mặt phẳng phụ.
Ví dụ 2 : Cho hình chiếu ghi độ cao của 2 mặt phẳng cắt nhau P1 & P2 . Cần
xác định thành phần thế nằm của giao tuyến giữa 2 mặt phẳng đó ?
Bài giải : (Xem hình I-18)
Dựng 2 mặt phẳng phụ Q & S có đường đồng mức cùng giá trị với đường
đồng mức của P1 & P2.
m1n1 , m1' , n1' là giao tuyến giữa Q & S với P1 .
m2n2 , m2' , n2' là giao tuyến giữa Q & S với P2 .
m1n1 cắt m2n2 tại c ; m’1n’1 cắt m’2n’2 tại d
cd chính là giao tuyến của P1 & P2 .
Dựa vào độ cao của C và D tìm được  và  của giao tuyến CD.
- Hai mặt phẳng phụ Q & S có thể là hai mặt phẳng thẳng đứng.
17


Cách thức tiến hành giống như trường hợp 2 mặt phẳng phụ bất kỳ (xem
hình I-19 ) . Tuy nhiên cách xác định điểm c được tiến hành theo chiều ngược lại
với trường hợp 2 mặt phẳng phụ bất kỳ .
50

X

40

50

40

m1

P1

m’1

n1

50
n’1



40
d32

c24
n’2
n2

40

P2

m’2

m2

50

Q

m1

S

n1

c

d

n’1

m’1
50
40

D32
30
C24
20
c

d

32



24

Hình I-18 : Xác định giao tuyến của 2 mặt phẳng bằng
phương pháp mặt phẳng phụ bất kỳ

x

4

P1

8
3

7

c23



d26
6

2
30

5
40

1

Q

S

18

P2


1

2

c

3

4

5

6

d

7

8

40
30

D

C

20

Hình I-19 : Xác định giao tuyển bằng phương pháp
dùng mặt phẳng phụ thẳng đứng

-------------------------------------------

Câu hỏi, bài tập chương 1
1.Thế nào là hình chiếu có số độ cao ? Cách biểu diễn hình chiếu có số độ
cao của đường thẳng, mặt phẳng ?
2.Cách giải các bài toán về phân chia đường thẳng ?
3.Cách xác định góc định hướng, góc dốc của đường thẳng thuộc mặt phẳng
?
4.Phương pháp xác định giao tuyến và thành phần thế nằm của nó ?
5.Cho mp P có P = 45 ; P = 30 ; khoảng cao đêu của mp là h = 10 m
19


;Bản vẽ có tỷ lệ 1/1000 .Đường thẳng AB nằm trong mp P có AB = 105. Hãy
xác định góc dốc của đường AB (AB ) ?
6. Cho mp P có P = 45 ; P = 30 ; khoảng cao đêu của mp là h = 10 m
;Bản vẽ có tỷ lệ 1/1000 .Đường thẳng AB nằm trong mp P đi qua điểm a tự chọn
trên đường đồng mức của mp P. Góc dốc của đường AB là AB = 20. Hãy xác
định góc phương vị của đường AB (AB ) ?
7.Trên bản đồ tỷ lệ 1/1000 , có mp P và đường thẳng bc cắt mp P như hình

vẽ . Hãy xác định điểm C đường thẳng cắt mp và độ dài thực BC ?
b70

P

50
60

8.Cho hình chiếu ghi độ cao của 2 mp cắt nhau như hình vẽ . Hãy xác định
giao tuyến của 2 mặt phẳng và thành phần thế nằm của nó ?
60

50

P1

50
P1

60

----------******----------

20


Chương 2
BIẾN ĐỔI HÌNH VẼ TRONG HÌNH CHIẾU GHI ĐỘ CAO
2.1.PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI MẶT PHẲNG CHIẾU

2.1.1.Thực chất của phương pháp
- Chọn mặt phẳng chiếu phụ ⊥ mặt phẳng chiếu chính .
- Quay mặt phẳng chiếu phụ quanh vết của nó (hay quanh một đường
ngang bất kỳ) về trùng hay // mặt phẳng chiếu chính.
2.1.2.Ví dụ ứng dụng:
a.Cho hình chiếu ghi độ cao của AB là a12b24 .Cần xác định vết của AB với mặt
phẳng chiếu H, độ dài thực AB và góc tạo bởi đường AB với mặt phẳng H ?
Bài giải : (Xem Hình II-1)
b’
a’
b24


a12

c
H

Hình II -1: Xác định vết của đường AB với mặt phẳng chiếu H

Tại a12 dựng a’a12 ⊥ a12b24 ; a12a’ = 12
Tại b24 dựng b’b24 ⊥ b24a12 ; b24b’ = 24
a’b’ kéo dài gặp ab kéo dài tại c ; Điểm c chính là vết của AB với mặt phẳng H
a’b’ chính là độ dài thực của AB ;  là góc dốc của đường AB
b.Cho hình chiếu ghi độ cao của mặt phẳng P và đường AB là a17b19 .
Xác định điểm cắt của đường AB với mp P ; góc dốc p ;
độ dài đường dốc m22n14 của mặt phẳng P ;
Bài giải : (Xem Hình II-2)
m22

a17

M
A

22

c19

C

20



18

b21

B

16

N

n14

14

Hình II - 2 : Xác định điểm cắt của đường AB với mp P

Lấy mặt phẳng đứng đi qua đường dốc m22n14 làm mặt phẳng chiếu phụ.
Tại m22 đặt m22M ⊥ m22n14 với m22M = 22 , được điểm M. Tương tự, được N, A,
B . Đường thẳng MN cắt AB tại C . Hạ điểm C lên a17b19 được điểm c19 .
Điểm c19 là hình chiếu điểm cắt của đường AB với mặt phẳng P.
21


Độ dài MN là độ dài thực của đường dốc m22n14 ;
 là góc dốc của mặt phẳng P.
2.2. PHƯƠNG PHÁP LÀM TRÙNG
2.2.1.Nội dung của phương pháp làm trùng
a.Phạm vi ứng dụng
Phương pháp làm trùng được ứng dụng để xác định giá trị thực về
chiều dài, góc và diện tích .
b. Nội dung
Quay mặt phẳng P quanh vết của nó (hay một đường ngang nào đó ) về vị
trí trùng (hay //) với mặt phẳng chiếu H. Khi đó các thành phần trên mặt phẳng P
chiếu lên mặt phẳng chiếu H , cho ta giá trị thực .(Hình II-3)
P

7
C7

6
5
4

C74
7

Ph

6

K4

5
4

H

Hình II-3 : Nguyên lý của phương pháp làm trùng

Trên hình vẽ : - Điểm C năm trên mặt phẳng P . Hình chiếu của nó trên mặt
phẳng H là c7 .
Nếu quay mặt phẳng P quanh vết của nó (Ph) về vị trí trùng với mặt phẳng H thì
vị trí của C là c74.
c74 nằm trên đường k4c7 (hình chiếu đường dốc của mặt phẳng P) và ở vị trí c74 .
Độ dài k4c74 = K4C7 .
2.2.2. Bài toán ứng dụng
a.Chập điểm
b0

b100

Cho hình chiếu ghi
độ cao của mặt phẳng P .
Điểm b100 thuộc mặt phẳng P .
Xác định vị trí điểm b100

khi quay mặt phẳng P về vị trí
mặt phẳng chiếu H (bản vẽ)

b’
N

70

80

Hình II - 4: Chập điểm

22


- Quay mặt phẳng P quanh vết của nó (Ph) hoặc đường ngang bất kỳ (ở đây
quay P quanh đường 70) về vị trí trùng hoặc // với mặt phẳng chiếu (ở đây quay
P về vị trí // mặt phẳng chiếu) được b0 .
Cách làm : Từ b100 kẻ đường dốc b100N của mặt phẳng P . Từ điểm b100 trên
đoạn ⊥ với b100N đặt đoạn h = 30 (100 – 70 = 30) được điểm b’.
Trên đường Nb100 đặt đoan Nb0 = Nb’ được điểm b0 . Điểm b0 chính là điểm
cần tìm.
b. Xác định khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho điểm C65 và đường thẳng AB bằng hình chiếu ghi độ cao a80b40 .
Xác định khoảng cách từ C đến AB.
Bài giải : Ta thấy điểm c65 và đường a80b40 xác định được một mặt phẳng.
Vì vậy, đầu tiên ta tìm điểm d65 trên đường a80b40. Đường c65d65 là đường đồng
mức của mặt phẳng chứa a80b40 và c65. Quay mặt phẳng đó quanh đường đồng
mức 65 của nó xác định được a0 và b0 là vị trí thực của a80 và b40 (phương pháp
quay xem mục 1). Từ c65 hạ đường ⊥ a0b0 được điểm e . Độ dài đoạn c65e chính

là khoảng cách từ C đến AB .(Hình II - 5)
a’

a0
a80

c65
q
d65
e

p
65

b40
b’
b0

Hình II - 5 : Xác định khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

c.Xác định góc giữa 2 đường thẳng cắt nhau
Ví dụ : Xác định góc giữa các đường lị .
Từ điểm a80 có 2 đường thẳng AB (1,1) và AC (2,2) . Cần xác định
góc  giữa 2 đường thẳng đó ?
Bài giải : (Xem Hình II - 6)
Góc  giữa 2 đường thẳng AB và AC nằm trong mặt phẳng P chứa 2 đường
thẳng đó. Để có giá trị thực của  ta quay mặt phẳng P về vị trí năm ngang.
23

Trước hết, từ điểm a80 ta dựng hình chiếu ghi độ cao của AB và AC được
a80b và a80c.
Dựa vào góc dốc 1, 2 và khoảng chênh cao (tự chọn) h=20, ta dựng mặt
cắt qua ab và ac (Hình II - 6b).
Từ hình II - 6b ta tìm được điểm 1 trên ab và điểm 2 trên ac có độ cao 60.
Đường 1-2 là đường đồng mức 60 của mặt phẳng P.
Quay mặt phẳng P về vị trí nằm ngang quanh đường đồng mức 60 , khi đó
điểm a80 có vị trí a0 . Nối a0 với 1 và 2 . Góc 1a02 =  là góc cần tìm.(Hình II - 6a)
x
a)

b)
a1
1

a0



a’
60
b

a80

1

1

a

2

q

80
2

1

2

60

2

c

Hình II - 6 : Xác định góc giữa 2 đường thẳng

d.Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc hợp bởi đường thẳng đó với
hình chiếu của nó trên mặt phẳng đã cho (Hình II - 7)
A

90º-


a

P

24

B


Hình II - 7 : Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Nếu từ A hạ đường Aa ⊥ P thì góc ABa =  là góc giữa đường thẳng AB
và mặt phẳng P cần tìm.
Như vậy : Nếu biết góc aAB thì có thể xác định được góc  .
Do đó, bài tốn trở về dạng xác định góc giữa 2 đường thẳng ở mục c.
Ví dụ : Cho hình chiếu ghi độ cao của mặt phẳng P và đường AB .
Hãy xác định góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng P.
Bài giải : (Xem Hình II - 8)
a)

x

a0

90º-

b)

a60

a60

a’

60

b30
1

q



c30
n

40

P
30

c30

20

20

n

1
40

Hình II - 8 : Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Từ điểm a60 kẻ an ⊥ đường đồng mức 20 của mặt phẳng P . Trên an
tìm điểm c có độ cao bằng độ cao điểm b (tức là bằng 30).Cách tìm như sau :
Từ a60 , kẻ đường vng góc với vết của mặt phẳng P là 1-n.Trên thang độ
cao tìm được c30.
Đường c30b30 là đường đồng mức của mặt phẳng Q chứa 2 đường an và ab.
Quay mặt phẳng Q quanh đường đồng mức 30 về vị trí năm ngang, lúc đó
điểm a60 ở vị trí a0. Nối a0 với c30 và b30 . Giá trị góc c30a0b30 là giá trị thực của
góc tạo bởi AB và AC.
Từ đó xác định được góc giữa AB với mặt phẳng P
 = 90 - c30a0b30
e.Xác định góc giữa 2 mặt phẳng cắt nhau
Cho 2 mặt phẳng cắt nhau bằng hình chiếu ghi độ cao (hình II - 9) . Cần
xác định góc  tạo bởi 2 mặt phẳng đó ?
Bài giải :
90
80
a)

n
0

80

P1
90

k

25

m0
m

s