TIỂU LUẬN PHÉP NGHỊCH đảo và ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TOÁN HÌNH học PHẲNG

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG-HCM
Khoa Toán – Tin học

TIỂU LUẬN
PHÉP NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG
TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG
Mơn học:

Hình học sơ cấp

Giảng viên: TS. Trần Nam Dũng
Danh sách nhóm
Đinh Tấn Tài – 19110023
Nguyễn Hồng Minh – 19110113
Nguyễn Như Tân – 19110177

Năm học: 2021 - 2022

TIEU LUAN MOI download : moi nhat


Lời mở đầu
Bài tiểu luận là sản phẩm của nhóm chúng em trong mơn Hình học sơ cấp, khoa Tốn
– Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG-HCM. Nhóm nhận thấy rằng trong
chương trình THPT, một số phép biến hình đã được đưa vào giảng dạy như phép tịnh tiến,
phép đối xứng tâm, đối xứng trục, phép vị tự, phép đồng dạng, tuy nhiên phép nghịch đảo
không được đề cập đến. Tuy nhiên trong nhiều bài toán, nếu khơng sử dụng phép nghịch
đảo thì việc tìm lời giải sẽ trở nên khó khăn, ngồi ra sử dụng phép nghịch đảo giúp lời giải
trở nên ngắn gọn, xúc tích hơn.
Phép nghịch đảo là phép biến hình thuộc loại khác, nó cũng bảo tồn lớp các đường
thẳng và đường trịn nhưng nó có thể biến một đường thẳng thành đường trịn và ngược lại.

Chính đặc trưng đó của phép nghịch đảo nên nó trở thành một cơng cụ tư duy hữu ích để
phát triển các bài tốn và cho ta một cách nhìn mới đối với bài tốn đó. Điều đó giúp cho
người học tốn khơng những phát triển được kiến thức hình học của mình mà cịn cung cấp
cho họ một cái nhìn sâu hơn bài tốn. Vì vậy, nhóm chúng em quyết định chọn đề tài “Phép
nghịch đảo và ứng dụng” để tìm hiểu và nghiên cứu.
Bố cục tiểu luận ngoài phần mở đầu và kết luận, tiểu luận gồm 4 chương.
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị: trình bày sơ lược các kiến thức cơ bản có liên quan đến
phép biến nghịch đảo.
Chương 2. Cơ sở lý thuyết: nhằm cung cấp kiến thức cơ bản về phép nghịch đảo,
những tính chất mà chúng em sẽ áp dụng vào một số bài toán ở chương 3.
Chương 3. Ứng dụng vào giải tốn hình học phẳng: vận dụng định nghĩa và tính chất
của phép nghịch đảo vào một số bài tốn chứng minh, quỹ tích, dựng hình trong hình học
phẳng.
Chương 4. Mở rộng (Hình Arbelos và các cặp đường trịn Archimedes): Hình Arbelos dựa trên
hình cơ bản tạo bởi 3 nửa đường tròn ( , , ), còn được gọi là “hình con dao thợ đóng giày”.

Chúng em đã cố gắng hết sức trong quá trình thực hiện nhưng vì kiến thức còn hạn chế
nên chắc chắn tiểu luận còn nhiều thiếu sót. Nhóm chúng em rất mong nhận được sự góp ý
của thầy và các bạn để tiểu luận được hồn thiện hơn.
Xin trân trọng cảm ơn.
NHĨM THỰC HIỆN

TIEU LUAN MOI download : moi nhat


Mục lục
Đôi nét về lịch sử của phép nghịch đảo........................................................................ 1
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ................................................................... 2
I. Giới thiệu phép biến hình.....................................................................................2
1. Khái niệm hình................................................................................................. 2

2. Khái niệm phép biến hình.................................................................................2
3. Tích của hai phép biến hình..............................................................................2
4. Phép biến hình đảo ngược.................................................................................3
5. Phép biến hình có tính chất đối hợp................................................................. 3
II.

Các phần tử bất biến trong một phép biến hình................................................3

III.

Định hướng....................................................................................................... 4

1. Định hướng trong mặt phẳng............................................................................4
2. Định hướng trong khơng gian...........................................................................5
IV.

Một số định nghĩa về góc giữa hai đối tượng................................................... 6

V. Một số vấn đề liên quan đến đường trịn, mặt cầu................................................8
1. Phương tích của một điểm đối với một đường tròn..........................................8
2. Trục đẳng phương của hai đường tròn..............................................................8
3. Hai đường trịn trực giao...................................................................................9
4. Phương tích của một điểm đối với mặt cầu....................................................10
5. Chùm đường tròn............................................................................................10
CHƯƠNG 2. PHÉP NGHỊCH ĐẢO.......................................................................14
I. Định nghĩa và các tính chất của phép nghịch đảo.............................................14
1. Định nghĩa......................................................................................................14
2. Các tính chất...................................................................................................15
II.

Ảnh của đường thẳng và đường tròn qua phép nghịch đảo............................22

III.

Ảnh của mặt phẳng và mặt cầu qua phép nghịch đảo....................................26

IV.

Sự bảo tồn góc qua phép nghịch đảo..............................................................29

V. Biểu thức tọa độ của phép nghịch đảo...............................................................30
1. Ảnh của đường thẳng qua phép nghịch đảo...................................................32
2. Ảnh của đường tròn qua phép nghịch đảo......................................................32

TIEU LUAN MOI download : moi nhat


VI. Cách dựng ảnh qua phép nghịch đảo..............................................................33
1. Phương pháp Compa......................................................................................33
2. Phương pháp tiếp tuyến..................................................................................33
3. Phương pháp đường kính vng góc..............................................................34
VII. Thước vẽ hình nghịch đảo của một hình cho trước........................................35
VIII.

Ảnh của một chùm đường tròn qua phép nghịch đảo.................................38

CHƯƠNG 3. MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG SỬ DỤNG PHÉP
NGHỊCH ĐẢO..........................................................................................................41
Dạng 1: Ứng dụng phép nghịch đảo trong bài tốn chứng minh đẳng thức và tính
tốn..........................................................................................................................41

Dạng 2: Ứng dụng phép nghịch đảo trong bài toán chứng minh thẳng hàng và đồng
quy...........................................................................................................................45
Dạng 3: Ứng dụng phép nghịch đảo trong bài tốn liên quan đến quỹ tích............51
CHƯƠNG 4. PHÉP NGHỊCH ĐẢO.......................................................................57
TRONG HÌNH ARBELOS.........................................................................................57
1. Giới thiệu về Arbelos.........................................................................................57
2. Chuỗi Pappus các đường tròn nội tiếp Arbelos.................................................57

TIEU LUAN MOI download : moi nhat


Đôi nét về lịch sử của phép nghịch đảo
Apollonius xứ Perga (250 – 175 trước Công nguyên) nổi tiếng với cơng trình nghiên
cứu về thiên văn học, trước khi nổi tiếng về các tác phẩm liên quan tới các đường conic.
Thật khơng may, cơng trình gốc của Apollonius về thiên văn học và hầu hết các cơng trình
tốn học của ông (ngoại trừ Conic) đã bị mất và chúng ta chỉ biết về nó từ một bài bình luận
của Pappus ở Alexandria (290–350 sau Công nguyên).
Theo Pappus, Apollonius đã điều tra một họ cụ thể của đường tròn và đường thẳng.
Appollonius đã xác định đường cong:
( , ) là tập hợp các điểm sao cho = ×

, với và là hai điểm nằm trong mặt phẳng, và là một hằng số dương tùy ý.

Đường cong này sẽ trở thành đường thẳng nếu = 1, ngược lại, nó trở thành đường trịn – cịn gọi là đường trịn Apollonius. Ơng đã chứng
minh được rằng với một đường tròn (tâm , bán kính ) thuộc họ đường cong { ( , )} khi và chỉ khi × = 2 với , là hai điểm nằm trên cùng tia đi
qua .

Tầm quan trọng to lớn của phép nghịch đảo đối với hình học sơ cấp là rất rõ ràng nếu
chúng ta nghĩ rằng nó có thể biến một số bài tập có liên quan đến đường trịn và các bài tốn
có cấu trúc tương tự, thành những bài ít phức tạp hơn trong đó một hoặc nhiều đường trịn

đã được thay thế bằng một đường thẳng. Có bằng chứng gián tiếp rằng Apollonius đã sử
dụng phép nghịch đảo để giải quyết các vấn đề thiên văn liên quan đến quỹ đạo thiên thể. Vì
những lý do tương tự, phép nghịch đảo sớm được các nhà Vật lý áp dụng, ví dụ như
Thomson trong lý thuyết điện trường.
Các yếu tố và vòng tròn của Apollonius là một phần của các chuỗi lịch sử khác nhau.
Trong chương 4 chúng ta sẽ khám phá một vấn đề của Apollonius sử dụng phép nghịch đảo
cho các giải pháp của nó.

1

TIEU LUAN MOI download : moi nhat


CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
I.

Giới thiệu phép biến hình.
1. Khái niệm hình.

Ta gọi một tập hợp điểm khác rỗng là một hình.
Muốn chỉ rằng một điểm thuộc về một hình , người ta dùng ký hiệu ∈ hoặc
∋ .

Giao của hai hình và là ∩
∪ .

. Hợp của hai hình và là

Nếu mỗi điểm của một hình , cũng là một điểm của hình thì người ta nói rằng là một tập hợp con hay một bộ phận của và viết ⊂ hay ⊃
.

2. Khái niệm phép biến hình.
Ta ký hiệu tập hợp tất cả các điểm của mặt phẳng là . Khi đó mỗi hình bất kỳ của mặt phẳng đều là một tập con của và được ký hiệu là ⊂ .

Định nghĩa 1.1. Cho một tập hợp bất kỳ khác rỗng. Một song ánh từ vào chính nó được gọi là một phép biến hình của tập
Như vậy cho một phép biến hình : ⟶ là cho một quy tắc để bất kỳ điểm

.

thuộc , ta tìm được một điểm ′ = ( ) hồn tồn xác định thỏa mãn hai điều kiện sau đây:




Nếu , là hai điểm bất kỳ phân biệt của thì ( ), ( ) là hai điểm phân biệt của .

thuộc sao cho

Với một điểm ′ thuộc bao giờ cũng có một điểm

()=

′

.

Điểm ′ được gọi là ảnh của điểm qua phép biến hình
biến hình biến điểm thành điểm ′ và ta có ( ) = ′.

. Ngược lại điểm gọi là tạo ảnh của điểm

′ qua phép biến hình nói trên. Người ta cịn nói phép

3. Tích của hai phép biến hình.

Định nghĩa 1.2. Trong hình học ta thường phải thực hiện nhiều phép biến hình liên

: ⟶ để biến một điểm bất kỳ của

tiếp nhau. Nếu ta dùng một phép biến hình

2

TIEU LUAN MOI download : moi nhat


thành một điểm ′ rồi lại dùng tiếp một phép biến hình thứ hai : ⟶ để biến ′ thành ′′. Ta có:
′

= ( ); ′′= ( ′).

Khi đó phép biến hình ℎ biến thành ′′ gọi là tích của hai phép biến hình và được′′ ký ′hiệu ℎ = . . Ta có:
= ( )= [ ( )].

ℎ( )=( . )( )=

Nói chung tích .

là hai phép biến hình khác nhau.

và tích .

4. Phép biến hình đảo ngược.
Định nghĩa 1.3. Trong mặt phẳng cho phép biến hình biến điểm

thành điểm

′

.

′

Khi đó phép biến hình biến điểm thành điểm gọi là phép biến hình đảo ngược của phép biến hình đã cho.
Ký hiệu −1 là phép biến hình đảo ngược của và
(với là phép biến hình đồng nhất).

−1

( ′) =

. Mỗi phép biến hình có duy nhất một phép biến hình đảo ngược

−1

và ta có:

.

−1

=

−1

.=

5. Phép biến hình có tính chất đối hợp.
Định nghĩa 1.4. Cho phép biến hình biến điểm thành điểm ′, sau đó thực hiện tiếp phép biến hình biến điểm
với thì ta nói phép biến hình có tính chất đối hợp.
Ta có: . ( ) = ( ′) =

AI.

′′

≡hay

2

=

′ thành điểm ′′. Nếu

′′

trùng

.

Các phần tử bất biến trong một phép biến hình.
Định nghĩa 1.5. Điểm được gọi là điểm kép (điểm bất động) đối với một phép biến
hình nào đó nếu ảnh hưởng của nó qua phép biến hình đó là chính nó.
Định nghĩa 1.6. Hình được gọi là hình kép đối với một phép biến hình nào đó nếu ảnh của mỗi điểm trên cũng nằm trên chính .
Chẳng hạn, trong phép đối xứng ( ) thì tâm đối xứng là một điểm bất động duy nhất và mọi đường thẳng qua đều là bất biến. Trong phép đối
xứng (Δ) thì trục đối xứng Δ là hình cố định cịn mọi đường thẳng vng góc với Δ đều là bất biến.

3

TIEU LUAN MOI download : moi nhat


⃗

Trong phép tịnh tiến ( ) ⃗ theo vectơ ⃗ ≠ ⃗0 thì khơng có điểm bất động nào, nhưng mọi đường thẳng có phương của ⃗ (tức song song với ⃗) đều là bất biến.

BI.

Định hướng.
Ở lớp dưới ta thường nói các góc có số đo khơng vượt q 360° như góc nhọn, góc vng, góc bẹt, … Tuy nhiên trong thực
tế nhiều khi chúng ta phải quan niệm góc với nghĩa rộng hơn. Ví dụ khi bánh xe quay một vịng rưỡi thì ta nói rằng nó quay một
°

góc 540 , hơn nữa việc quay đó có thể thực hiện theo hai chiều quay khác nhau. Cùng với việc
định hướng cho đoạn thẳng, đường thẳng, việc định hướng cho góc trong mặt phẳng, không gian sẽ
mang lại cho chúng ta nhiều điều thuận lợi trong việc nghiên cứu hình học cũng như nhiều lĩnh vực
khác.

2. Định hướng trong mặt phẳng.
2

Trong mặt phẳng ℝ cho điểm cố định. Khi đó xung quanh có hai chiều quay. Ta chọn chiều quay ngược chiều kim đồng
hồ là chiều dương, cùng chiều kim đồng hồ là chiều âm.

a. Góc định hướng giữa hai tia.
Định nghĩa 1.7.
Cho hai tia và , chọn tia đầu là
. Ký hiệu là (((( , (().

, tia cuối là

. Khi đó góc định hướng giữa hai tia là hình thu được khi quay tia quanh điểm tới trùng tia

Nhận xét:
 Góc định hướng có nhiều giá trị.
 Góc định hướng dương nếu góc quay theo chiều dương của mặt phẳng và

ngược lại.

4

TIEU LUAN MOI download : moi nhat




Nếu chọn là góc định hướng khi quay tia tới trùng tia , ta có thể quay thêm một số vịng nữa để tia trùng với tia
((

nói trên đều gọi là các giá trị của góc định hướng( suy( rộng (

(((

, () =

. Tất cả các giá trị của các góc

((

, ). Như vậy, góc định hướng suy rộng có vô số giá trị nên được ký hiệu là:
+ 2 ( ∈ ℤ).

b. Góc định hướng giữa hai đường thẳng.
Định nghĩa 1.8. Trong mặt phẳng , cho hai đường thẳng và cắt nhau tại điểm . Góc định hướng giữa hai đường thẳng
quanh điểm đến trùng đường thẳng . Ký hiệu là ( , ).

, là góc quay đường thẳng xung

Khác với góc định hướng giữa hai tia, ta nhận thấy rằng khi quay đường thẳng xung quanh
điểm để đến trùng với thì cứ quay nửa vịng đường thẳng lại đến trùng với đường thẳng một
lần. Như vậy, góc định hướng của hai đường thẳng , xác định sai khác một góc nên được
ký hiệu là:
( , )=
+
( ∈ℤ).

2. Định hướng trong không gian.

5

TIEU LUAN MOI download : moi nhat

Định nghĩa 1.9. Trong không gian cho đường thẳng Δ đã được định hướng. Xung quanh Δ sẽ có hai chiều
quay. Nếu ta chọn một chiều là dương, một chiều là âm thì ta nói rằng ta đã định hướng được khơng gian.

IV.

Một số định nghĩa về góc giữa hai đối tượng.
Trước khi tìm hiểu tính bảo tồn của phép nghịch đảo, ta cùng đi qua một số định nghĩa. Định nghĩa 1.10. (Góc giữa 2 đường thẳng) Cho 2 đường thẳng
2)

là góc giữa 2 đường thẳng

 Nếu


Nếu

1

cắt

2

1

1 và

2.

1

và 2. Đặt ∠(

1,

Ta định nghĩa góc giữa 2 đường thẳng như sau:

∕∕ 2 hoặc 1 ≡ 2 thì ∠( 1, 2) = 0 .

thì ∠( 1, 2) bằng góc nhỏ nhất trong 4 góc tạo thành.

Định nghĩa 1.11. (Góc giữa đường thẳng và đường tròn) Cho đường tròn (O) và đường
thẳng d cắt (O) tại M. Góc giữa đường thằng d và đường trịn (O) là góc giữa tiếp tuyến tại
M của (O) và đường thẳng d.

6

TIEU LUAN MOI download : moi nhat


Định nghĩa 1.12. (Góc giữa 2 đường trịn) giao điểm thứ
nhất là A. Góc giữa 2 đường trịn tiếp tuyến tại A của ( 1) và ( 2).

Cho 2 đường tròn ( 1) và (

2)

cắt nhau tại ( 1) và ( 2) được định nghĩa là góc giữa 2

Chú ý:


Nếu ( 1) và (

2)

tiếp xúc nhau, góc giữa 2 đường trịn này bằng 0°.

 Nếu góc giữa 2 đường

trịn này bằng 90°, thì ta
nói 2 đường trịn này
trực giao với nhau.

Định nghĩa 1.13. (Góc giữa 2 đường cong) Cho 2 đường
cong 1 và 2 cắt nhau tại điểm A mà tại đó chúng có tiếp tuyến. Ta
gọi góc giữa 2 tiếp tuyến đó là góc giữa 2 đường cong 1 và 2 tại
điểm A.

7

TIEU LUAN MOI download :

moi nhat


Một số vấn đề liên quan đến đường tròn, mặt cầu.

V.

1. Phương tích của một điểm đối với một đường tròn.

Định .nghĩa
1.14. Cho đường
tròn ( ; ) và điểm cố định. Đường thẳng Δ thay đổi qua cắt ( ) tại hai điểm và
=
−
= khơng đổi.
((
(

Khi đó
(
((

((
(

((

2

2

. ( gọi là phương tích của điểm

Tích

đối với đường trịn (

Ta có:
/( ) =

(
((

((

.(=

), ký hiệu:

2

−

/( )

.

.

2

.

2. Trục đẳng phương của hai đường tròn.
′

′

′

Định lý 1.15. Cho hai đường tròn ( , ) và ( , ) với khơng trùng . Quỹ tích những điểm có cùng phương tích đối với hai
đường trịn đó là một đường thẳng. Đường thẳng đó được gọi là trục đẳng phương của hai đường trịn đó.
Chứng minh. Gọi là điểm( bất kỳ, là hình chiếu của trên ′, gọi là trung điểm của ′. Ta có:

⇔
⇔
⇔

/( ) =

(

(′2
(

2

((. (((′ =

((2 − ( =

⇔

/( ′)

2

−
2

′2

−

((

(
2

−

2

((

= ′( −

(
(
⇔ (((( + (′( )(((( + ((′) =
′2

(
(
⇔ 2((( + ((). ′(( =

2

′2

−
2

′2

−

′2

.

Suy ra là một điểm cố định. Vậy quỹ tích điểm chính là đường thẳng vng góc với ′ tại điểm

.

8

TIEU LUAN MOI download : moi nhat


Dựng trục đẳng phương.
Để dựng trục đẳng phương của hai đường tròn tả chỉ cần xác định hai điểm của nó hoặc chỉ
một điểm với chú ý rằng trục đẳng phương ln vng góc với đường nối tâm. Từ đó

suy ra:


Nếu ( ) và ( ′) cắt nhau tại hai điểm
thẳng
.



Nếu ( ) và ( ′) tiếp xúc với nhau tại thì trục đẳng phương của chúng là tiếp tuyến
chung của hai đường trịn đó tại .

, thì trục đẳng phương của chúng là đường

3. Hai đường tròn trực giao.

Định nghĩa 1.16. Hai đường tròn được gọi là trực giao với nhau tại một điểm chung
của chúng nếu hai tiếp tuyến ở của hai đường trịn đó vng góc với nhau.

9

TIEU LUAN MOI download : moi nhat


′

Định lý 1.2. Cho hai đường tròn ( , )và ( ,



′

Hai đường tròn ( , )và ( ,

′

). Khi đó các điều sau tương đương.

′

) trực giao với nhau tại .

 Tiếp tuyến tại của đường tròn này đi qua tâm của đường tròn kia.



′2

=

2

/( ′)

′ 2

2

=

2

+

′2

= + .

hoặc

′/( )

=

′2

.

 Một đường thẳng qua tâm của một đường tròn cắt cả hai đường tròn theo hai

cặp điểm liên hợp điều hịa.

4. Phương tích của một điểm đối với mặt cầu.
Định
((
(( nghĩa 1.17. Nếu từ một điểm cố định ta vẽ một cát tuyến thay đổi cắt mặt cầu ( ) bán kính cho trước ở và thì tích
(
(
Tích số

. được gọi là phương tích của điểm

(

((

((
(

. là một số không đổi.

đối với mặt cầu ( ) và được ký hiệu

là
/( )

.

Ta có:
/( ) =

((

((

.(=

2

−

2

.

5. Chùm đường trịn.

a. Định nghĩa.
Định nghĩa 1.18. Chùm đường tròn là tập hợp tất cả những đường tròn nằm trong cùng một mặt phẳng
sao cho có một đường thẳng Δ là trục đẳng phương của bất kỳ hai đường tròn phân biệt nào của tập hợp đó.

10

TIEU LUAN MOI download : moi nhat


Đường thẳng Δ gọi là trục đẳng phương của chùm đường trịn. Vì Δ vng góc với đường nối tâm của các cặp đường
tròn của chùm nên tâm của tất cả các đường trịn đó phải nằm trên một đường thẳng. Đường thẳng đó gọi là đường nối tâm
của chùm.

b. Các loại chùm đường tròn.
Lấy một cặp đường tròn bất kỳ của một chùm đường trịn. Ba trường hợp có thể xảy ra:
chúng cắt nhau, tiếp xúc nhau hoặc không cắt nhau.
Trường hợp 1: Giả sử hai đường tròn ( , ) và ( ′, ′) của chùm đường tròn cắt nhau tại và .
Khi đó trục đẳng phương của chùm là đường thẳng
. Suy ra mọi đường tròn của chùm đều phải đi qua hai điểm và . Đường nối tâm của chùm là trung trực của
đoạn thẳng
. Hai điểm , được gọi là hai điểm cơ sở của chùm.

Một chùm đường tròn như thế được gọi là chùm eliptic.

Trường hợp 2: Giả sử hai đường tròn ( , ) và ( ′, ′) của chùm đường tròn tiếp xúc với nhau tại điểm .

Khi đó trục đẳng phương của chùm là đường thẳng Δ, tiếp xúc với hai đường trịn đó tại . Suy ra mọi đường trịn của chùm đều tiếp xúc với Δ tại điểm .

11

TIEU LUAN MOI download : moi nhat


Trường hợp 3: Giả sử hai đường tròn ( , ) và ( ′, ′) của chùm đường trịn khơng cắt nhau.
Khi đó trục đẳng phương Δ của chùm khơng cắt hai đường trịn đó và do đó khơng cắt bất cứ đường tròn nào của chùm. Nếu ta gọi là giao điểm của Δ và đường
′
tròn nối tâm , thì các tiếp tuyến kẻ từ tới bất kỳ đường tròn nào cũng bằng nhau. Hơn nữa, xét đường tròn ( , ) với = thì mọi đường trịn của chùm đều trực giao với
( , ).

Một chùm như vậy gọi là chùm hyperbolic.

12

TIEU LUAN MOI download : moi nhat


Hai giao điểm , của đường tròn ( , ) với đường nối tâm của chùm hyperbolic gọi là hai điểm tới hạn của chùm. Chúng có tên gọi như vậy vì tâm của mọi đường
trịn thuộc chùm hyperbolic đều nằm trên đường nối tâm nhưng nằm ngoài đoạn thẳng
.

Như vậy chùm hyperbolic được hoàn toàn xác định nếu biết hai điểm tới hạn và . Mọi đường tròn
của chùm đều có tâm nằm trên đường thẳng và ngồi ra phải trực giao với đường trịn đường kính
.

13

TIEU LUAN MOI download : moi nhat


CHƯƠNG 2. PHÉP NGHỊCH ĐẢO
I.

Định nghĩa và các tính chất của phép nghịch đảo
1. Định nghĩa.

Đôi nét về định nghĩa:
Khi học ở trung học cơ sở, ta đã biết bài tốn sau: “Cho đường trịn ( ) và một 2điểm nằm ngồi đường trịn. Vẽ tiếp tuyến đến ( ) ( ∈
( )). Một cát tuyến bất kỳ từ đế ( ) cắt ( ) lần lượt tại hai điểm , . Khi đó, ta ln có
=
. ” .Như vậy ta để ý rằng với một điểm bất kỳ nằm
trên đường trịn ( ) thì ln tồn tại một điểm khác cũng nằm trên ( ) và nằm trên . = 2.
′

Định nghĩa 2.1. Trong mặt phằng Euclide cho một điềm cố định và số thực ≠ 0. Cho tương ứng mỗi điểm khác với một điểm thuộc đường thẳng sao cho
(

((( (((

.

′ = số ).

. Phép tương ứng đó được gọi là phép nghịch đảo cực

, phương tích

Ký hiệu: Phép nghịch đảo cực phương tích được kí hiệu là ( , ) hay , ta có ( ) =
( , ), hoặc ( ) = ′ sẽ chỉ ′ là ảnh của qua phép nghịch đảo cực , phương tích .

′ hoặc

:↦

′, hay một số sách đưa ra ký hiệu

( hay tỉ

( ,

). Ký hiệu

14

TIEU LUAN MOI download : moi nhat


2. Các tính chất.
Tính chất 1: Cực nghịch đảo

khơng có điểm tương ứng qua phép nghịch đảo.

Chứng minh.
Vì thế phép nghịch đảo khơng phải là một phép biến hình của mặt phẳng Euclide.
Nếu bổ sung vào mặt phẳng Euclide một điểm duy nhất gọi là “điểm vô tận” và quy ước
xem điểm đó là ảnh đồng thời là ảnh tạo của điểm qua phép nghịch đảo ( , ). Mặt phẳng được bổ xung điểm vô tận được gọi là mặt
phẳng mở rộng. Phép nghịch đảo trên mặt phẳng mở rộng là một song ánh, tức là một phép biến hình. Khi càng tiến lại gần là cực nghịch

đảo thì ảnh của ( ) sẽ tiến ra xa , tức là nếu → thì ( ) → ∞.

Gọi đường thẳng hợp với điểm vô tận là đường thẳng bổ xung và các đường tròn trong
mặt phẳng được gọi là tập hợp đường tròn nghĩa rộng.
Cho đường thảng bổ xung , hai điểm 1,

2

gọi là đối xứng với nhau qua nếu chúng là ảnh của nhau qua phép đối xứng trục . (Ta quy ước: điểm vô tận đối xứng với điểm vơ

tận).
= 2.

Cho đường trịn ( ,

), hai điểm 1,

2

gọi là đối xứng với nhau qua ( ,

Qua phép nghịch đảo này điểm

) nếu chúng là ảnh của nhau qua phép nghịch đảo cự , phương tích

biến thành điểm vơ tận và điểm vô tận biến thành cực

, nên và điểm vô tận là đối xứng nhau qua ( , ).

Tính chất 2: Phép nghịch đảo có tính chất đối hợp.

Chứng minh.
(( (((
Phép nghịch đảo có tính chất đối hợp vì

ngược lại

′

.

= ( ). Như vậy ∘ ( ) = hay

′= =

2

′.

là một phép đồng nhất.

Tính chất 3: Nếu hai điểm và ′ là tương ứng với nhau qua phép nghịch đảo ( , ) thì , ′, thẳng hàng.

Điều này hiển nhiên đúng theo định nghĩa.
Tính chất 4: Nếu > 0 thì hai điểm và ′ = ( ) cùng nằm về một phía đối với điểm . Khi đó tập hợp những điểm kép của phép nghịch đảo
kính √ . Ta gọi đường tròn này là đường tròn nghịch đảo của phép nghịch đảo ( , ).

( ,

) là đường tròn tâm bán

15

TIEU LUAN MOI download : moi nhat


Nếu điểm nằm ở miền trong của đường tròn nghịch đảo thì điểm ′ = ( ) sẽ nằm ngồi đường tròn nghịch đảo và ngược lại.

Chứng minh.
Giả sử điểm
Ta có:
⇒

(
((

((

.(=

( )= .

là điểm kép.
((

⇒(=√ .

Vậy tập hợp điểm là điểm kép của phép nghịch đảo ( ,
) với > 0 là đường trịn tâm , bán kính √ . Đường trịn đó
được gọi là đường trịn nghịch đảo của phép nghịch đảo ( ,
).

Nhận xét:
Với > 0 thì hai điểm và ′ là ảnh của qua phép nghịch đảo ( , ) sẽ cùng nằm về một phía đối với điểm .
Với < 0 thì hai điểm và ′ là ảnh của quá phép nghịch đảo ( , ) sẽ nằm khác phía đối với điểm .

Tính chất 5: Nếu < 0 thì hai điểm
và ′ = ( ) nằm về hai phía đối với điểm
Khi đó ta khơng có điểm kép và do dó khơng có đường trịn nghịch đảo vì
ảo.

.
< 0.

Do đó đường trịn nghịch đảo của ( , ) khi < 0 sẽ được gọi là đường trịn thực, trong đó tâm của đường trịn là thực và bán kính của đường trịn là

16

TIEU LUAN MOI download : moi nhat


3. Các định lý.
Định lý 2.1. Nếu phép nghịch đảo ( , ) có phương tích > 0 thì mọi đường tròn đi qua hai điểm tương ứng và
( ) đều trực giao với đường tròn nghịch đảo của phép nghịch đảo đó.

Chứng minh.
Theo giả thiết ta có

.

′=

(

((( (((

.

′=

Giả sử (C) là một đường trịn bất kì đi qua M và M'=I(M).
Khi đó :
(((

( )/( )

=

.

′ = (√ )

Nếu đường trịn nghịch đảo tâm O có bán kính = √ thì hệ thức (1) chứng tỏ rằng đường trịn (C) trực giao với đường tròn (O). Ta suy ra mọi đường tròn qua M
và M' (tạo nên một chùm đường tròn) đều trực giao với đường tròn nghịch đảo tâm O bán kính = √ .

Hệ quả: Qua phép nghịch đảo với phương tích k>0, mọi đường trịn trực giao với
đường trịn nghịch đảo đều biến thành chính nó.
Định lý 2.2. Điền kiện cần và đủ để hai điểm bất kỳ là ảnh của nhau trong phép nghịch đảo
đường tròn nghịch đảo của phép nghịch đảo ( , ).

( , ) là có hai đường trịn đi qua hai điểm đó và cùng trực giao với

17

TIEU LUAN MOI download : moi nhat


Chứng minh.
Điều kiện cần:
Gọi (

1),

(

2)

là hai đường tròn đi qua hai điểm A và A’.

Theo tính chất ảnh của một điểm qua phép nghịch đảo, ta có ba điểm O, A, A' thẳng hàng
và
.
.(((

(
′(( =

Ta lại có:
( )/( ) =

((

Do đó (

((
(

. ′ = (√ )2 = .
1) trực giao với đường tròn nghịch đảo tâm .

2)

Tương tự (

cũng trực giao với đường trịn nghịch đảo tâm .

Như vậy, khơng những ta có hai đường trịn đi qua 2 điểm
nghịch đảo.

, ′ và trực giao với đường tròn nghịch đảo mà có hẳn một chùm đường trịn trực giao với đường tròn

Điều kiện đủ:
Giả sử hai đường tròn ( 1) và ( 2) cùng trực giao với đường tròn nghịch đảo của phép nghịch đảo ( , ) ( > 0) và đi qua hai điểm ,
′. Vì đường trịn nghịch đảo trực giao với ( 1) và ( 2) nên tâm của nó nằm trên trục đẳng phương
′ của ( 1) và ( 2). nghĩa là ba điểm , , ′
thẳng hàng.

Lại có:
((

.

((′(

=

( )/( )

= (√ )2 = .

Suy ra tồn tại phép nghịch đảo ( . ):

↦ ’.

18

TIEU LUAN MOI download : moi nhat


Định lý 2.3. Với mỗi phép nghịch đảo, hai điểm bất kỳ không thắng hàng với cực
nghịch đảo, và ảnh của chúng qua phép nghịch đảo đó cùng nằm trên một đường tròn.
Chứng minh.
Gọi A, B hai điểm bất kỳ không thắng hàng và ′, ′ là ảnh của chúng qua phép nghịch đảo tâm , phương tích .

((

Vì
Nên ∆

~∆

̂

((

(′

.
′ ′

=

((

((

(′

.

=

.

̂

Do đó = ′ ′ ′..
̂ ̂

Suy ra

′=

′ ′ = 180

Từ đó ta thấy bốn điểm A, B, A', B' cùng thuộc một đường trịn.
Định lý 2.4. Tích của hai phép nghịch đảo có cùng cực O là I(O, k) và I’(O, k’) là một
phép vị tự tâm O tỉ số .
′

Chứng minh.
Nếu phép nghịch đảo I(O, k) biến M thành M' và phép nghịch đảo I’(O, k') biến M' thành

M” thì :
(( ((
( (′

.

Do đó ta suy ra
Vậy
tích của hai phép nghịch đảo đó là phép vị tự tâm O tỉ số
Nói chung tích của hai phép nói trên khơng giao hốn trừ trường hợp | | = | ′|.

′

.

Hệ quả: Hình dạng ảnh của một hình H trong một phép nghịch đảo khơng phụ thuộc
vào phương tích nghịch đảo mà chỉ phụ thuộc vào vị trí của cực nghịch đảo.
19

TIEU LUAN MOI download : moi nhat


Chứng minh.
Thật vậy giả sử

=(),

1

là ảnh của hình H trong phép nghịch đảo 1( , 1) và

1

()⇒

=

2

=

−1

)=

(

2

2

2

2

là ảnh của hình H trong phép nghịch đảo 2( , 2), khi đó:
( ).

2

2

1 = 1( 2( 2)) = ( 1° 2)( 2) = ( 2)

Với V là một phép vị tự. Do đó

1 và

2

là hai hình đồng dạng.

Định lý 2.5. Nếu phép nghịch đảo I(O. k) biến hai điểm A,B lần lượt thành hai điểm A’,
B’ thì
= | |.
.
′

′

.

Chứng minh.
Ta xét hai trường hợp:
a) Ba điểm O, A, B không thẳng hàng.

Ta có OA.OA’=OB.OB’ hay

=

′

′.

Vậy hai tam giác OAB và OB’A’ đồng dạng nên:
20

TIEU LUAN MOI download : moi nhat


′ ′
b) Ba điểm O, A, B thẳng hàng.
Khi đó ta có
(

(

((′′

((
=

′−

=

(
((

′ ′= .

Lấy trị số tuyệt đối hai vế ta có :

((
(
′ ′=

Định lý 2.6. Lấy và ′ là ảnh của với nằm ngồi đường trịn nghịch đảo, và lấy là giao điểm của

′

Chứng minh.
Ta có:
′

′

=− =−

Chứng minh=

=

′ và đường trịn nghịch đảo. Ta có: