ĐỀ THI OLIMPIC TOÁN HỘI TOÁN TRUYỀN THỐNG NĂM 2006 ppt

HỘI TOÁN TRUYỀN THỐNG NĂM 2006
ĐỀ THI OLIMPIC TOÁN
Môn thi: Giải tích
Thời gian làm bài: 180’
Câu 1:
Với mỗi n ∈ N,chou
n
=
4n
n
4
+2n
2
+9
. Đặt
S
n
= u
1
+ u
2
+ + u
n
.
Tìm lim
n→∞
S
n
.
Câu 2:
Cho f là một hàm có đạo hàm liên tục đến cấp 2 trên (a, b). Giả sử có

M>0 để |f

(x)|≤M với mọi x ∈ (a, b). Chứng minh rằng f là liên tục đều
trên (a, b).
Câu 3:
Cho f :

−
π
2
,
π
2

→ (−1, 1) là một hàm số khả vi, f

không âm và liên tục.
Chứng minh rằng tồn tại x
0
∈

−
π
2
,
π
2

sao cho
(f(x

0
))
2
+(f

(x
0
))
2
< 1.
Câu 4:
Cho hàm f liên tục trên R thỏa mãn f (0) = 0 và
|f(x) − f (y)|≤|sin x − sin y|,x,y∈ R.
Chứng minh rằng
π
2

0

f(x)
2
− f(x)

dx ≤
π
4
+1.
Tìm tất cả các hàm f để đẳng thức xảy ra.
Câu 5:
Cho hàm f khả vi đến cấp 2 trên [a, b] và f


(a)=f

(b)=0. Chứng minh
rằng tồn tại c ∈ (a, b) sao cho
|f

(c)|≥
4
(b − a)
2
|f(b) − f(a)|.
1
ĐÁP ÁN
Câu 1:
Ta có
u
n
=
1
n
2
− 2n +3
−
1
n
2
+2n +3
=
1

(n − 1)
2
+2
−
1
(n +1)
2
+2
,n ∈ N.
Đặt ϕ(x)=
1
x
2
+2
thì u
n
= ϕ(n − 1) − ϕ(n +1). Do đó với n ≥ 2,
S
n
= ϕ(0) − ϕ(2) + ϕ(1) − ϕ(3) + + ϕ(n − 1) − ϕ(n +1)
= ϕ(0) + ϕ(1) − ϕ(n +1)− ϕ(n)
=
1
2
+
1
3
−
1
(n +1)

2
+2
−
1
n
2
+2
.
Từ đó ta có lim
n→∞
S
n
=
5
6
.
Câu 2:
Cố định x
0
∈ (a, b). Theo định lý Lagrange, với mỗi x ∈ (a, b) \{x
0
} tồn tại
c
x
∈ (a, b) sao cho f

(x) − f

(x
0

)=f

(c
x
)(x − x
0
). Do đó
|f

(x)|≤|f

(x) − f

(x
0
)| + |f

(x
0
)|≤M|x − x
0
| + |f

(x
0
)|≤M(b −a)+|f

(x
0
)|.

Đặt K = M(b − a)+|f

(x
0
)| > 0, ta có |f

(x)|≤K với mọi x ∈ (a, b). Lúc
đó với x, x

∈ (a, b), dễ thấy
|f(x) − f (x

)|≤K|x − x

|.
Với ε>0 tùy ý cho trước, chọn δ =
ε
K
. Nếu |x − x

| <δthì |f(x) − f (x

)| <ε.
Vậy f liên tục đều trên (a, b).
Câu 3:
Xét hàm số g(x) = arcsin(f (x)). Khi đó g :

−
π
2

,
π
2

→

−
π
2
,
π
2

liên tục trên

−
π
2
,
π
2

, khả vi trên

−
π
2
,
π
2


. Theo định lý Largange, tồn tại x
0
∈

−
π
2
,
π
2

sao
cho
g(
π
2
) − g(−
π
2
)=
f

(x
0
)

1 − (f(x
0
))

2
.π.
Theo giả thiết, vế trái không âm và vế phải nhỏ hơn π.Vìvậy
0 ≤
f

(x
0
)

1 − (f(x
0
))
2
< 1.
2
Từ đây dễ dàng nhận được
(f(x
0
))
2
+(f

(x
0
))
2
< 1.
Câu 4:
Với mỗi x ∈ R, ta có

|f(x)| = |f (x) − f(0)|≤|sin x − sin 0| = | sin x|
và
|f(x)
2
− f(x)| = |f (x)||f (x) − 1|≤|sin x|(| sin x| +1).
Vậy
π
2

0

f(x)
2
− f(x)

dx ≤
π
2

0
sin x(sin x +1)=
π
4
+1.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi f liên tục trên R và với mỗi x ∈ [0,
π
2
],
|f(x)| = sin x và |f(x)−1| = sin x+1, tức là f liên tục trên R và f(x)=− sin x
trên [0,

π
2
].
Câu 5:
Áp dụng khai triển Taylor của hàm f đến cấp 2 tại a và b ta có:
f

a + b
2

= f(a)+
f

(x
1
)
2!

b − a
2

2
và
f

a + b
2

= f(b)+
f


(x
2
)
2!

b − a
2

2
,
với x
1
∈

a,
a+b
2

và x
2
∈

a+b
2
,b

. Do đó
|f(b) − f(a)| =


b − a
2

2
.
1
2
|f

(x
2
) − f

(x
1
)|≤

b − a
2

2
|f

(c)|,
trong đó |f

(c)| = max{|f

(x
1

)|, |f

(x
2
)|} (c = x
1
hoặc c = x
2
). Vậy tồn tại
c ∈ (a, b) sao cho
|f

(c)|≥
4
(b − a)
2
|f(b) − f(a)|.
3