de va dap an mon toan thi tuyen sinh lop 10 khong chuyen tinh khanh hoa nam 2014

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN
KHÁNH HÒA NĂM HỌC: 2013 – 2014
MÔN THI: TOÁN (KHÔNG CHUYÊN)
Ngày thi: 21/06/2013
(Đề thi có 01 trang) (Thời gian: 120 phút - không kể thời gian giao đề)
Bài 1: ( 2,00 điểm) (Không dùng máy tính cầm tay)
1) Chứng minh:
(
)
22 3 2 10 3 11 2− + =

2) Cho biểu thức P =
( 1)
1
a a a
a
a a
−
−
−
+
với a > 0 và a ≠ 1.
Rút gọn rồi tính giá trị của P tại a = 2014
2
.
Bài 2: (2,00 điểm)
1) Tìm x biết
3 2x 3 8x 12 1 2+ − + = +

2) Giải hệ phương trình:
2 2

2 2
3x 4 2(3x 2 ) 11
5 2x 5 11
y y
x y y

− + − = −


− + − = −



Bài 3: (2,00 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parapol (P):
2
1
4
y x= −

1) Vẽ đồ thị (P).
2) Gọi M là điểm thuộc (P) có hoành độ x = 2. Lập phương trình đường thẳng đi qua
điểm M đồng thời cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A và B sao cho
diện tích tam giác OMA gấp đôi diện tích tam giác OMB.
Bài 4: (4,00 điểm)
Cho đường tròn (O; 3cm) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Gọi M là
điểm tùy ý thuộc đoạn OC ( M khác O và C). Tia BM cắt cắt đường tròn (O) tại N.
1) Chứng minh AOMN là một tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh ND là phân giác của
·

ANB
.
3) Tính:
.BM BN

4) Gọi E và F lần lượt là hai điểm thuộc các đường thẳng AC và AD sao cho M là trung
điểm của EF. Nếu cách xác định các điểm E, F và chứng minh rằng tổng (AE + AF) không phụ
thuộc vào vị trí của điểm M.
HẾT
Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ tên thí sinh: ………………………… SBD:……………/ Phòng: ……………………
Giám thị 1: …………………………… Giám thị 2: ……………………………………
ĐỀ CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1: ( 2,00 điểm)
1) Chứng minh:
(
)
22 3 2 10 3 11 2− + =
Ta có:
(
)
22 3 2 10 3 11− + =
2
2( 11 3) 10 3 11
( 11 3) 20 6 11 ( 11 3) ( 11 3)
( 11 3)( 11 3) 11 9 2
= − + =
− + = − + =

= − + = − =
2) P =
( 1)
1
a a a
a
a a
−
−
−
+
(ĐK : a > 0 và a ≠ 1)
Ta có: P=
( 1) 1 1
1
1
1 1 1
a a a a a
a
a
a a a a a
− −
− = − = = −
−
+ + + +
Với a = 2014
2
, ta có : P =
2
2014 1 2014 1 2013− = − =

Bài 2: (2,00 điểm)
1) Tìm x biết
3 2x 3 8x 12 1 2+ − + = +
(ĐK: x ≥ -3/2)
⇔
3 2x 3 2 2x 3 1 2+ − + = +
⇔
2x 3 1 2+ = +
⇔
2 2
( 2x 3) (1 2) 3 2 2+ = + = +
⇔
2x 3 3 2 2+ = =
⇔
x 2=
(thỏa đk)
2) Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
3x 4 2(3x 2 ) 11
5 2x 5 11
y y
x y y

− + − = −


− + − = −



⇔
2 2
2 2
3x 4 6x 4 11 (1)
3 15 6x 15 33 (2)
y y
x y y

− + − = −


− + − = −


Lấy (1) trừ (2), ta có: 11y
2
+ 11y = 22 ⇔ y
2
+y – 2= 0 ⇔ y = 1 hoặc y = -2
* Với y = 1, thay vào (1), ta có pt: 3x
2
+6x + 3=0 ⇔ 3(x+1)
2
= 0 ⇔ x = -1
* Với y = -2, thay vào (1), ta có pt: 3x
2
+6x + 3=0 ⇔ 3(x+1)
2
= 0 ⇔ x = -1

Vậy hpt có nghiệm (x ;y) ∈ { (-1 ;1), (-1 ;-2)}.
Bài 3: (2,00 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parapol (P):
2
1
4
y x= −

1) Vẽ đồ thị (P). ( các em tự vẽ)
2) Gọi M là điểm thuộc (P) có hoành độ x = 2. Lập phương trình đường thẳng đi qua
điểm M đồng thời cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A và B sao cho
diện tích tam giác OMA gấp đôi diện tích tam giác OMB.

Gọi A(x ; 0) và B(0 ; y)
Vì M thuộc (P) có x = 2 nên: y = -1. Vậy M (2 ; -1)
Ta có : S
OMA
=
1
2
.1.OA ; S
OMB
=
1
2
.2.OB
và từ: S
OMA

= 2S

OMB
⇒ OA = 4.OB
hay : x = 4.y ⇔ x = ±4y ⇔
1
4
y
x
= ±
= k
(Với k là hệ số góc của đường thẳng (d) qua M và thỏa điều kiện đề bài).
Đường thẳng qua M(2 ; -1) có hệ số góc k và thỏa điều kiện đề bài là :
(d1) :
1 3
4 2
y x= −
và (d2) : y =
1 1
4 2
x− −

Bài 4: (4,00 điểm)

1) Chứng minh AOMN là một tứ giác nội tiếp.
Ta có :
·
ANB
= 90
0
(góc nội tiếp chắn nửa (O))
·

0
90AOM =
(vì AB ⊥CD tạo O)
Suy ra:
·
ANB
+
·
AOM
= 180
0
⇒ tứ giác AOMN nội tiếp.
2) Chứng minh : ND là phân giác của
·
ANB
.
Ta có : AB, CD là đường kính của (O).
AB ⊥ CD (gt) ⇒
»
»
D DA B=
⇒
·
·
D DAN BN=
⇒ ND là phân giác của góc ANB.
3) Tính:
.BM BN

Do ∆BOM # ∆BNA (gg)

⇒
BO BM
BN BA
=
⇒ BM.BN = BO.BA=3.6=18 ⇒
. 18 3 2BN BM = =
cm
•
M
1
•
2
•
-1 •
•
•
A
• B
O •
4) Ta có: ∆ EAF vuông tại A (
·
0
D 90CA =
, E ∈AC, F∈ AD) có M là trung điểm của EF ⇒ MA
= ME = MF ⇒ M là tâm của đường tròn qua M có bán kính MA ⇒ Điểm E, F là giao điểm
của đường tròn (M; MA) với AC và AD.
Ta có: AM = BM ( vì M nằm trên CD là trung trực của AB)
⇒ MA = MB = ME = MF⇒ tứ giác AEBF nội tiếp ⇒
·
·

D EBF A B=

Ta lại có:
·
·
BDF BCE=
= 90
0
,
suy ra:
·
·
DBF CBE=

Xét tam giác BDF và tam giác BCE, ta có: BC = BD ;
·
·
DBF CBE=
;
·
·
BDF BCE=
= 90
0
nên
∆BDF = ∆BCE(gcg) ⇒DF = CE
Vậy : AE + AF = (AC + CE) + AF=AC+(CE+AF) = AC + (DF+AF) = AC+ AD=2AD
Mà ∆OAD vuông cân tại O nên AD =
2 2 2 2
D 3 3 3 2OA O+ = + =

⇒ AE + AF =
6 2
.
Vậy tổng AE + AF không phụ thuộc vào vị trí điểm M.

(GV Lê Quốc Dũng, THCS Trần Hưng Đạo, Nha Trang)