Phương pháp giải phương trình lượng giác bằng phương pháp lạ và mới

CHƯƠNG XI: NHẬN DẠNG TAM GIÁC

I. TÍNH CÁC GÓC CỦA TAM GIÁC

Bài 201: Tính các góc của
A
BCΔ
nếu :

()()()()
3
sin B C sin C A cos A B *
2
++ ++ +=


Do
A
BC
+
+=π

Nên:
()
3
*sinAsinBcosC
2
⇔
+−=

+−
⎛⎞
⇔−
⎜⎟
⎝⎠
−
⇔−=
−
⇔− +=
−−
⎛⎞
−=
⇔
−+−
⎜⎟
⎝⎠
−−
⎛⎞
⇔− + =
⎜⎟
⎝⎠
−
⎧
=
⎪
⎪
⇔
⎨
−
⎪

=
⎪
⎩
==
⇔
2
2
2
2
2
2
2
=
A
BAB C 3
2 sin cos 2 cos 1
22 2
CAB C1
2cos cos 2cos
22 22
CCAB
4cos 4cos cos 1 0
222
CAB AB
2cos cos 1 cos 0
22 2
CAB AB
2 cos cos sin 0
22 2
CAB

2cos cos
22
AB
sin 0
2
C
2cos cos0 1
2
A
2
⎧
π
⎧
⎪
=
⎪⎪
⇔
⎨⎨
−
⎪⎪
=
=
⎩
⎪
⎩
π
⎧
==
⎪
⎪

⇔
⎨
π
⎪
=
⎪
⎩
C
23
B
AB
0
2
AB
6
2
C
3


Bài 202: Tính các góc của
A
BC
Δ
biết:
()
5
cos2A 3 cos 2B cos2C 0 (*)
2
+++=

Ta có:
() ()()
2
5
*2cosA123cosBCcosBC
2
0
⇔
−+ + − + =
⎡⎤
⎣⎦


(
)
() ()
() ()
()
()
⇔− −+=
⎡⎤
⇔
−−+−−
⎣⎦
⎡⎤
⇔− −+ −=
⎣⎦
−=

⎧
−=
⎧
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
=
=−
⎪⎪
⎩
⎩
⎧
=
⎪
⇔
⎨
==
⎪
⎩
2
2
2
2
2
0
0
4cos A 4 3cosA.cos B C 3 0
2cosA 3cos B C 3 3cos B C 0
2cosA 3cos B C 3sin B C 0
sin B C 0

BC 0
3
3
cos A
cos A cos B C
2
2
A30
BC75
=



Bài 203: Chứng minh
A
BCΔ
có nếu :
0
C 120=
A
BC
sin A sin B sin C 2sin sin 2sin (*)
22 2
++− ⋅ =


Ta có
A
BABCC ABC
(*) 2sin cos 2sin cos 2sin sin 2sin

22 2222
CAB CC AB A
2cos cos 2sin cos 2cos 2sin sin
22 22 2 2
CAB C AB
cos cos sin cos cos
22 2 22
CAB AB AB
cos cos cos cos cos
22 2 22
CAB AB
2cos cos cos cos cos
222 22
+−
⇔+=
−+
⇔+=+
−
⎛⎞
⇔+=⋅
⎜⎟
⎝⎠
−+
⎡⎤
⇔+=
⎢⎥
⎣⎦
⇔=
2
B

2
+

C1
cos
22
⇔=
(do
A
cos 0
2
>
và
B
cos 0
2
>
vì
A
B
0;
22 2
π
<
<
)
⇔=
0
C120

Bài 204: Tính các góc của
C
Δ
ΑΒ
biết số đo 3 góc tạo cấp số cộng và
33
sin A sin B sin C
2
+
++=


Không làm mất tính chất tổng quát của bài toán giả sử
A
BC<<

Ta có: A, B, C tạo 1 cấp số cộng nên A + C = 2B
Mà
A
BC++=π
nên
B
3
π
=

Lúc đó:
33
sin A sin B sin C
2

+
++=


33
sin A sin sin C
32
3
sin A sin C
2
AC AC 3
2sin cos
222
BAC3
2cos cos
222
3AC3
2. cos
222
CA 3
cos cos
22 6
π+
⇔++=
⇔+=
+−
⇔=
−
⇔=
⎛⎞

−
⇔=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
−π
⇔==


Do C > A nên có:
CΔΑΒ
−π
π
⎧
⎧
=
=
⎪
⎪
⎪
⎪
ππ
⎪⎪
+= ⇔ =
⎨⎨
⎪⎪
ππ
⎪⎪
==
⎪⎪

⎩
⎩
CA
C
26
2
2
CA A
36
BB
33


Bài 205: Tính các góc của
A
BCΔ
nếu

(
)
()
⎧
+≤
⎪
⎨
++=+
⎪
⎩
22 2
bca 1

sin A sin B sin C 1 2 2


Áp dụng đònh lý hàm cosin:
22
bca
cos A
2bc
+−
=
2
2

Do (1): nên
co
22
bca+≤
s A 0
≤

Do đó:
A
A
24
ππ
≤<π⇔≤ <
22
π

Vậy

()
A2
cos cos
242
π
≤
=∗

Mặt khác:
sin A sin B sinC++
BC BC
sin A 2sin cos
22
+
−
=+


A
BC
sin A 2 cos cos
22
−
=+


2
12 1
2
⎛⎞

≤
+⋅
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

()
−
⎛⎞
≤
⎜⎟
⎝⎠
BC
do * và cos 1
2

Mà sin A sin B sin C 1 2 do (2)++=+
Dấu “=” tại (2) xảy ra
⎧
=
⎪
⎪
⎪
⇔=
⎨
⎪
−
⎪
=
⎪

⎩
sin A 1
A
2
cos
22
BC
cos 1
2
π
⎧
=
⎪
⎪
⇔
⎨
π
⎪
=
=
⎪
⎩
A
2
BC
4


Bài 206: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A, năm 2004)
Cho

A
BCΔ
không tù thỏa điều kiện

(
)
cos2A 2 2cosB 2 2cosC 3 *++=
Tính ba góc của
A
BCΔ


* Cách 1: Đặt M =
cos2A 2 2cosB 2 2cosC 3
+
+−

Ta có: M =
2
BC BC
2cos A 4 2 cos cos 4
22
+
−
+−

⇔ M =
2
A
BC

2cos A 4 2sin cos 4
22
−
+−

Do
A
sin 0
2
>
và
B - C
cos 1
2
≤

Nên
2
A
M2cosA42sin 4
2
≤
+−

Mặt khác:
A
BCΔ
không tù nên
0A
2

π
<
≤


⇒≤ ≤
⇒≤
2
0cosA1
cos A cos A
Do đó:
A
M2cosA42sin 4
2
≤+ −


2
2
2
A
A
M12sin 42sin
22
AA
M4sin 42sin 2
22
A
M22sin 1 0
2

⎛⎞
⇔≤− + −
⎜⎟
⎝⎠
⇔≤− + −
⎛⎞
⇔≤− − ≤
⎜⎟
⎝⎠
4

Do giả thiết (*) ta có M=0
Vậy:
2
0
0
cos A cos A
A90
BC
cos 1
2
BC45
A1
sin
2
2
⎧
⎪
=
⎪

⎧
=
−
⎪⎪
=⇔
⎨⎨
==
⎪
⎩
⎪
⎪
=
⎪
⎩

* Cách 2:
()
* cos2A 22cosB 22cosC 3 0⇔+ + −=
()
()
()
()
2
2
2
2
2
2
2
BC BC

cos A 2 2 cos cos 2 0
22
ABC
cos A cos A cos A 2 2 sin cos 2 0
22
AABC
cos A cos A 1 1 2sin 2 2 sin cos 2 0
222
ABC BC
cos A cos A 1 2 sin cos 1 cos 0
22 2
ABC B
cos A cos A 1 2 sin cos sin
22
+−
⇔+ −=
−
⇔−++ −=
−
⎛⎞
⇔−+−+ −
⎜⎟
⎝⎠
−−
⎛⎞⎛
⇔−−−−−
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝
−−
⎛⎞

⇔−−−−
⎜⎟
⎝⎠
=
⎞
=
⎟
⎠
C
0(*)
2
=

Do
A
BCΔ
không tù nên và
co
cos A 0≥
s A 1 0
−
<

Vậy vế trái của (*) luôn
≤
0
Dấu “=” xảy ra
cos A 0
A
BC

2sin cos
22
BC
sin 0
2
⎧
⎪
=
⎪
−
⎪
⇔=
⎨
⎪
−
⎪
=
⎪
⎩


⎧
=
⎪
⇔
⎨
==
⎪
⎩
0

0
A90
BC45
Bài 207: Chứng minh
A
BCΔ
có ít nhất 1 góc 60
0
khi và chỉ khi
sin A sin B sin C
3(*)
cos A cos B cosC
+
+
=
+
+

Ta có:

()
(
)
(
)
(*) sin A 3 cos A sin B 3 cosB sin C 3 cosC 0⇔− +− +− =

sin A sin B sin C 0
333
AB AB

2sin cos sin C 0
23 2 3
πππ
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
⇔−+−+−=
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
+π − π
⎛⎞ ⎛
⇔−+−
⎜⎟ ⎜
⎝⎠ ⎝
⎞
=
⎟
⎠

CABCC
2sin cos 2sin cos 0
22 3 2 26 26
CABC
2sin cos cos 0
26 2 26
⎡π π⎤ − π π
⎛⎞ ⎛⎞⎛⎞
⇔−− +− −
⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠ ⎝⎠⎝⎠
⎣⎦

π⎡ − π⎤
⎛⎞ ⎛⎞
⇔−− +−=
⎜⎟ ⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠ ⎝⎠
⎣⎦
=

π− ππ
⎛⎞ ⎛⎞⎛
⇔−=∨ =−=−
⎜⎟ ⎜⎟⎜
⎝⎠ ⎝⎠⎝
CABC
sin 0 cos cos cos
26 2 26 3 2
+
⎞
⎟
⎠
AB

π−π+−+π+
⇔=∨ =− ∨ =−
CABABABA
26 2 3 2 2 3 2
B

ππ

⇔=∨=∨=CAB
33
π
3


Bài 208: Cho
A
BCΔ
và V = cos
2
A + cos
2
B + cos
2
C – 1. Chứng minh:
a/ Nếu V = 0 thì
A
BCΔ
có một góc vuông
b/ Nếu V < 0 thì
A
BCΔ
có ba góc nhọn
c/ Nếu V > 0 thì
A
BCΔ
có một góc tù

Ta có:

()()
2
11
V
1cos2A 1cos2B cos 1
22
=
++++−


()
()()
()
()(
2
2
2
1
V cos2A cos2B cos C
2
)
V
cos A B .cos A B cos C
V cosC.cos A B cos C
V
cosC cos A B cos A B
V
2cosC cos A cosB
⇔= + +
⇔= + −+

⇔=− −+
⇔=− −+ +
⎡⎤
⎣⎦
⇔=−

Do đó:
a / V 0 cos A 0 cos B 0 cosC 0
=
⇔=∨=∨=

⇔
A
BCΔ
⊥
tại A hay
A
BCΔ
⊥
tại B hay
A
BC
Δ
⊥
tại C
b / V 0 cos A.cos B.cosC 0
<
⇔>

⇔
A
BCΔ
có ba góc nhọn
( vì trong 1 tam giác không thể có nhiều hơn 1 góc tù nên
không có trường hợp có 2 cos cùng âm )
c / V 0 cos A.cosB.cosC 0>⇔ <


cos A 0 cos B 0 cos C 0⇔<∨<∨<
⇔
A
BCΔ
có 1 góc tù.
II. TAM GIÁC VUÔNG

Bài 209: Cho
A
BCΔ
có
+
=
Bac
cotg
2b

Chứng minh
A
BCΔ
vuông

Ta có:
Bac
cotg
2b
+
=

++
⇔= =
B
cos
2R sin A 2R sin C sin A sin C
2
B
2R sin B sin B
sin
2

+−
⇔=
BACA
cos 2 sin . cos
22
BB
sin 2 sin .cos
22
C
2
B

2

−
⇔= >
2
BBAC B
cos cos . cos (do sin 0)
22 2 2

−
⇔= >
BAC B
cos cos (do cos 0)
22 2

−−
⇔= ∨=
⇔=+∨=+
BACBCA
2222
A
BCCAB

ππ
⇔=∨=
⇔Δ Δ
AC
22
ABC vuông tại A hay ABC vuông tại C

Bài 210: Chứng minh
A
BCΔ
vuông tại A nếu

bc a
cos B cosC sin Bsin C
+=


Ta có:
bc a
cos B cosC sin Bsin C
+=

⇔+=
+
⇔=
2R sin B 2R sin C 2R sin A
cosB cosC sin Bsin C
sin BcosC sin C cos B sin A
cos B.cos C sin Bsin C


()
+
⇔=
⇔=
sin B C

sin A
cos B.cos C sin Bsin C
cos B cos C sin Bsin C (do sin A 0)>

()
⇔−
⇔+=
π
⇔+=
⇔Δ
cos B.cos C sin B.sin C 0
cos B C 0
BC
2
ABC vuông tại A
=


Bài 211: Cho
A
BCΔ
có:

A
BC ABC1
cos cos cos sin sin sin (*)
222 2222
⋅⋅−⋅⋅=

Chứng minh

A
BCΔ
vuông
Ta có:
⇔=+
+− +−
⎡⎤⎡
⇔+ =−−
⎢⎥⎢
⎣⎦⎣
⎤
⎥
⎦
A
BC1 ABC
(*) cos cos cos sin sin sin
2222 222
1AB ABC11AB AB
cos cos cos cos cos sin
22 22222 2
C
2

−−
⎡⎤⎡⎤
⇔+ =−−
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
−−
⇔+ =−+=−+

22
CABC CABC
sin cos cos 1 sin cos sin
222 222
CC ABC C C C AB
sin cos cos cos 1 sin cos 1 sin cos sin
22 2 2 2 2 2 2
C
2

−−
⇔+ =+
2
C C AB C C AB C
sin cos cos cos cos cos sin
22 2 2 2 2 2

−
⎡⎤⎡⎤
⇔−= −
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
−
⎡⎤⎡ ⎤
⇔− − =
⎢⎥⎢ ⎥
⎣⎦⎣ ⎦
CC C ABC C
cos sin cos cos sin cos
22 2 2 2 2

CCCAB
sin cos cos cos 0
222 2

−
⇔=∨=
−−
⇔ =∨= ∨=
π
⇔=∨=+∨=+
πππ
⇔=∨=∨=
CCCA
sin cos cos cos
222 2
CCABCB
tg 1
22222
C
ABCBAC
24
CAB
222
B
A

Bài 212:
Chứng minh
A
BCΔ

vuông nếu:
3(cos B 2 sin C) 4(sin B 2 cos C) 15+++=
Do bất đẳng thức Bunhiacốpki ta có:

22
3cosB 4sinB 9 16 cos B sin B 15+≤+ +=

và
22
6sin C 8cosC 36 64 sin C cos C 10+≤+ +=

nên: 3(cos B 2 sin C) 4(sin B 2 cos C) 15+++≤
Dấu “=” xảy ra
cosB sin B 4
tgB
34
sin C cosC 4
cotgC=
68
⎧⎧
==
⎪⎪
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
⎪⎪
=
⎪⎪
⎩⎩
3

3


⇔=
π
⇔+=
tgB cotgC
BC
2


A
BC⇔Δ
vuông tại A.

Bài 213: Cho
A
BCΔ
có:
sin 2A sin 2B 4 sin A.sin B
+
=

Chứng minh
A
BCΔ
vuông.
Ta có:
+=sin 2A sin 2B 4 sin A.sin B
[

]
[]
⇔+ −=−+−−
⇔+=−+ −
2sin(A B) cos(A B) 2 cos(A B) cos(A B)
cos(A B) 1 sin(A B) cos(A B)

[
]
⇔− = − −cos C 1 sin C cos(A B)

⇔− + = − −
2
cos C(1 sin C) (1 sin C). cos(A B)

⇔− + = −
2
cos C(1 sin C) cos C.cos(A B)

⇔= −+ = −cos C 0 hay (1 sin C) cos C.cos(A B) (*)

⇔=cos C 0

( Do nên
sin C 0>
(1 sin C) 1−+ <−
Mà .Vậy (*) vô nghiệm.) cosC.cos(A B) 1−≥−
Do đó
A
BCΔ

vuông tại C
III. TAM GIÁC CÂN

Bài 214:Chứng minh nếu
A
BCΔ
có
C
tgA tgB 2 cotg
2
+=

thì là tam giác cân.

Ta có:
C
tgA tgB 2 cotg
2
+=

C
2cos
sin(A B)
2
C
cos A.cos B
sin
2
C
2cos

sin C
2
C
cos A.cos B
sin
2
CC C
2sin cos 2cos
22
C
cos A cosB
sin
2
+
⇔=
⇔=
⇔=
2


⇔
2
CC
sin cos A.cos B do cos 0
22
⎛⎞
=>
⎜⎟
⎝⎠

()()(
()
()
⇔− = ++ −⎡⎤
⎣⎦
⇔− =− + −
⇔−=
⇔=
11
1cosC cosAB cosAB
22
1 cosC cosC cos A B
cos A B 1
)
A
B


A
BC⇔Δ
cân tại C.

Bài 215:
Chứng minh
A
BCΔ
cân nếu:

33

A
BB
sin .cos sin .cos
22 22
=
A


Ta có:
33
A
BB
sin .cos sin .cos
22 22
=
A


22
A
B
sin sin
11
22
AA BB
cos cos cos cos
22 22
⎛⎞ ⎛⎞
⎜⎟ ⎜⎟
⇔=

⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠

(do
A
cos
2
>
0 và
B
cos
2
>
0 )

22
33
22
A
AB B
tg 1 tg tg 1 tg
2222
ABAB
tg tg tg tg 0
2222
AB A BAB
tg tg 1 tg tg tg .tg 0 (*)
22 2 222
⎛⎞⎛⎞

⇔+=+
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
⇔−+−=
⎛⎞⎡ ⎤
⇔− +++ =
⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠⎣ ⎦


⇔=
A
B
tg tg
22
( vì
22
A
BAB
1tg tg tg tg 0
2222
+
++ >
)

⇔=
A
B

A
BC⇔Δ
cân tại C

Bài 216: Chứng minh
A
BCΔ
cân nếu:

()
22
22
22
cos A cos B 1
cotg A cotg B (*)
sin A sin B 2
+
=+
+

Ta có:
(*)
22
22 2 2
cos A cos B 1 1 1
2
sin A sin B 2 sin A sin B
+
⎛⎞

⇔=+
⎜⎟
+
⎝⎠
−

22
22 2 2
cos A cos B 1 1 1
1
sin A sin B 2 sin A sin B
+
⎛⎞
⇔+=+
⎜⎟
+
⎝⎠

⎛⎞
⇔=+
⎜⎟
+
⎝⎠
22 2 2
2111
2
sin A sin B sin A sin B

()
⇔=+

2
22 2 2
4 sin A sin B sin A sin B
()
22
0sinAsinB
sin A sin B
⇔= −
⇔=

Vậy
A
BCΔ
cân tại C
Bài 217: Chứng minh
A
BCΔ
cân nếu:

()
C
a b tg atgA btgB (*)
2
+= +


Ta có:
()
C
a b tg atgA btgB

2
+= +

()
⇔+ = +
C
a b cotg atgA btgB
2

⎡⎤⎡
⇔− +−
⎢⎥⎢
⎣⎦⎣
CC
a tgA cotg b tgB cotg 0
22
⎤
=
⎥
⎦

++
⎡⎤⎡
⇔− +−
⎢⎥⎢
⎣⎦⎣
⎤
=
⎥
⎦

A
BA
a tgA tg b tgB tg 0
22
B

−−
⇔+
++
=
A
BBA
a sin b sin
22
0
AB AB
cos A. cos cos B. cos
22

−
⇔= −=
A
Bab
sin 0 hay 0
2 cos A cos B

⇔= =
2R sin A 2R sin B
ABhay
cos A cos B

⇔= = ⇔Δ
A
BhaytgA tgB ABC
cân tại C
IV. NHẬN DẠNG TAM GIÁC

Bài 218: Cho
A
BCΔ
thỏa:
acosB bcosA asinA bsinB (*)
−
=−

Chứng minh
A
BCΔ
vuông hay cân

Do đònh lý hàm sin:
a 2RsinA,b 2RsinB
=
=

Nên (*)
(
)
22
2R sin A cosB 2R sin Bcos A 2R sin A sin B⇔−=−

()()()
()
[]
() ()()
() ()
() ()
22
sin A cos B sin B cos A sin A sin B
11
sin A B 1 cos 2A 1 cos 2B
22
1
sin A B cos 2B cos 2A
2
sin A B sin A B sin B A
sin A B 1 sin A B 0
sinA B 0 sinA B 1
ABAB
2
⇔−=−
⇔−=− −−
⇔−= −
⇔−=− + −
⎡⎤
⎣⎦
⇔−−+=
⎡⎤
⎣⎦

⇔−=∨+=
π
⇔=∨+=

vậy
A
BCΔ
vuông hay cân tại C
Cách khác
()
−=−
⇔−=+ −
22
sin A cos B sin B cos A sin A sin B
sin A B ( sin A sin B) ( sin A sin B)

()
+− +−
⇔−=
A
BAB ABAB
sin A B ( 2sin cos ) (2 cos sin )
22 22

()()
(
)
() ()
⇔−=+ −
⇔−=∨+=

π
⇔=∨+=
sin A B sin A B sin A B
sin A B 0 sin A B 1
ABAB
2

Bài 219
A
BCΔ
là tam giác gì nếu

()
()
(
)
(
)
22 22
absinAB absinAB(*+−=−+)


Ta có: (*)
()
(
)
(
)
()
22 22 2 2 2

4R sin A 4R sin B sin A B 4R sin A sin B sin A B⇔+ −=− +
()()
(
)()
22
sin A sin A B sin A B sin B sin A B sin A B 0⇔−−++−++
⎡⎤⎡
⎣⎦⎣
=
⎤
⎦
=

()
22
2sin A cos A sin B 2sin Bsin A cosB 0⇔−+

sin A cos A sin Bcos B 0⇔− + =
(do và
si
)
sin A 0> n B 0>
sin 2A sin 2B
2A 2B 2A 2B
ABAB
2
⇔=
⇔=∨=π−
π
⇔=∨+=

Vậy
A
BCΔ
cân tại C hay
A
BCΔ
vuông tại C.

Bài 220:
A
BCΔ
là tam giác gì nếu:

22
a sin 2B b sin 2A 4ab cos A sin B (1)
sin 2A sin 2B 4 sin A sin B (2)
⎧
+=
⎨
+=
⎩
Ta có:
(1)
22 22 2 2
4R sin A sin 2B 4R sin Bsin 2A 16R sin A sin B cos A⇔+=

()
22 2
22

sin A sin 2B sin Bsin 2A 4sin A sin Bcos A
2sin A sin B cos B 2sin A cos A sin B 4 sin A sin B cos A
sin A cos B sin B cos A 2sin Bcos A (do sin A 0,sin B 0)
sin A cos B sin B cos A 0
sin A B 0
AB
⇔+=
⇔+=
⇔+= >
⇔−=
⇔−=
⇔=
2
>
Thay vào (2) ta được

2
sin 2A 2sin A=

()
2
2sinAcosA 2sin A
cosA sinA dosinA 0
tgA 1
A
4
⇔=
⇔= >
⇔=
π

⇔=

Do đó
A
BCΔ
vuông cân tại C
V. TAM GIÁC ĐỀU

Bài 221: Chứng minh
A
BCΔ
đều nếu:

(
)
bc 3 R 2 b c a (*)=+−
⎡⎤
⎣⎦


Ta có:(*)
()()
(
)
2RsinB 2RsinC 3 R 2 2RsinB 2RsinC 2RsinA⇔=+−
⎡
⎤
⎣
⎦

()
(
)
⇔=+−2 3 sin B sin C 2 sin B sin C sin B C+
()
⇔=+−−2 3 sin Bsin C 2 sin B sin C sin B cos C sin C cos B

⎡⎤⎡
⇔−− +−−
⎢⎥⎢
⎣⎦⎣
13 13
2sinB1 cosC sinC 2sinC1 cosB sinB 0
22 22
⎤
=
⎥
⎦

⎡π⎤⎡π⎤
⎛⎞ ⎛⎞
⇔−−+−−=
⎜⎟ ⎜⎟
⎢⎥⎢⎥
⎝⎠ ⎝⎠
⎣⎦⎣⎦
sin B 1 cos C sin C 1 cos B 0 (1)
33

Do và

sin B 0>
1cosC 0
3
π
⎛⎞
−−
⎜⎟
⎝⎠
≥


sin
và
C 0>
1cosB 0
3
π
⎛⎞
−−
⎜⎟
⎝⎠
≥

Nên vế trái của (1) luôn
0≥
Do đó, (1)
cos C 1
3
cos B 1
3

⎧π
⎛⎞
−
=
⎜⎟
⎪
⎪⎝ ⎠
⇔
⎨
π
⎛⎞
⎪
−
=
⎜⎟
⎪
⎝⎠
⎩


CB
3
π
⇔==

⇔
A
BC
Δ
đều.

Bài 222: Chứng minh
A
BCΔ
đều nếu
333
2
3
sin Bsin C (1)
4
abc
a(
abc
⎧
=
⎪
⎪
⎨
−−
⎪
=
⎪
−−
⎩
2)


Ta có: (2)
32233
aabacabc⇔− − =−−
3

(
)
23
abc b c⇔+=+
3


(
)( )
(
)
22
22 2
abc bcb bcc
abbcc
⇔+=+ −+
⇔=−+
2
c

(do đl hàm cosin)
22 22
bc2bccosAbcb⇔+− =+−

⇔=
π
⇔=⇔=
2bc cos A bc
1

cos A A
23

Ta có: (1)
4sinBsinC 3⇔=
()()
⇔−−+
⎡⎤
⎣⎦
2cosB C cosB C 3=

(
)
⇔−+
⎡⎤
⎣⎦
2cosB C cosA 3=

()
π
⎛⎞ ⎛ ⎞
⇔−+= =
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎝⎠ ⎝ ⎠
1
2 cos B C 2 3 do (1) ta có A
23

()
⇔−=⇔=cos B C 1 B C

Vậy từ (1), (2) ta có
A
BCΔ
đều

Bài 223:
Chứng minh
A
BCΔ
đều nếu:

sin A sin B sin C sin 2A sin 2B sin 2C++= + +

Ta có:
(
)
(
)
sin 2A sin 2B 2sin A B cos A B+= + −


(
)
2sinCcos A B 2sinC (1)=−≤

Dấu “=” xảy ra khi:
(
)
cos A B 1

−
=

Tương tự:
sin 2A sin 2C 2sin B
+
≤
(2)
Dấu “=” xảy ra khi:
(
)
cos A C 1
−
=

Tương tự:
sin 2B sin 2C 2sin A
+
≤
(3)
Dấu “=” xảy ra khi:
(
)
cos B C 1
−
=

Từ (1) (2) (3) ta có:
(
)

(
)
2 sin2A sin2B sin2C 2 sinC sinB sin A++ ≤ ++

Dấu “=” xảy ra
(
)
()
()
−
=
⎧
⎪
⇔−=
⎨
⎪
−
=
⎩
cos A B 1
cos A C 1
cos B C 1

A
⇔
==BC


⇔
A

BCΔ
đều

Bài 224: Cho
A
BCΔ
có:

222
111 1
(*)
sin 2A sin 2B sin C 2cos A cos Bcos C
++=

Chứng minh
A
BCΔ
đều

Ta có: (*)
⇔++
22 22 22
sin 2B.sin 2C sin 2A sin 2C sin 2A sin 2B

()
()
sin2A.sin2B.sin2C
sin 2A sin 2Bsin 2C
2cos A cos BcosC
4 sin A sin Bsin C sin 2A sin 2Bsin 2C

=⋅
=

Mà:
(
)
(
)(
=−−+
⎡⎤
⎣⎦
4 sin A sin B sin C 2 cos A B cos A B sin A B
)
+
)
+


()
()(
=−+
⎡⎤
⎣⎦
=+−
=++
2cosA B cosCsinC
2 sin C cos C 2 cos A B sin A B
sin 2C sin 2A sin 2B
Do đó,với điều kiện
A

BCΔ
không vuông ta có
(*)
22 2 2 2 2
sin 2Bsin 2C sin 2A sin 2C sin 2A sin 2B⇔++
(
)
()()
=++
=++
⇔−+−
222
22
sin 2A.sin 2B.sin 2C sin 2A sin 2B sin 2C
sin 2A sin 2B sin 2C sin 2B sin 2A sin 2C sin 2C sin 2A sin 2B
11
sin2Bsin2A sin2Bsin2C sin2Asin2B sin2Asin2C
22

()
2
1
sin2Csin2A sin2Csin2B 0
2
+−=

sin2Bsin2A sin2Bsin2C
sin 2A sin 2B sin 2A sin 2C
sin 2A sin 2C sin 2Csin 2B
=

⎧
⎪
⇔=
⎨
⎪
=
⎩

=
⎧
⇔
⎨
=
⎩
sin 2A sin 2B
sin 2B sin 2C
A
BC⇔==
A
BC
⇔
đều

Bài 225: Chứng minh
A
BCΔ
đều nếu:
a cos A bcos B c cosC 2p
(*)
a sin B b sin C c sin A 9R

+
+
=
+
+


Ta có:
a cos A b cosB c cosC++

()
()()
()()
2R sin A cos A 2R sin BcosB 2R sin C cosC
R sin 2A sin 2B sin 2C
R 2sin A B cos A B 2sin C cosC
2R sin C cos A B cos A B 4R sin Csin A sin B
=
++
=++
⎡⎤
=+−+
⎣⎦
⎡⎤
=−−+=
⎣⎦

Cách 1:
a sin B bsin C c sin A
+

+

()
()
2223
2R sin A sin B sin B sin C sin C sin A
2R sin A sin Bsin C do bđt Cauchy
=++
≥

Do đó vế trái :
3
a cos A bcos B c cosC 2
sin A sin Bsin C
a sin B b sin C c sin A 3
+
+
≤
++
(1)
Mà vế phải:
()
++
==++
2p a b c 2
sin A sin B sin C
9R 9R 9

3
2

sin A sin Bsin C
3
≥
(2)
Từ (1) và (2) ta có
( * ) đều
sin A sin B sin C ABC⇔==⇔Δ
Cách 2: Ta có: (*)
4R sin A sin Bsin C a b c
a sin B b sin C c sin A 9R
+
+
⇔=
++


abc
4R
abc
2R 2R 2R
bcca
9R
ab
2R 2R 2R
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
+
+
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
⇔=

⎛⎞⎛⎞
++
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠


(
)
(
)
9abc a b c ab bc ca⇔=++ ++

Do bất đẳng thức Cauchy ta có
3
222
3
abc abc
ab bc ca a b c
++≥
++≥

Do đó:
()( )
abcabbcca 9abc++ + + ≥
Dấu = xảy ra
abc⇔==
A
BC
⇔
Δ

đều.

Bài 226: Chứng minh
A
BCΔ
đều nếu
A
()
BC
cot gA cot gB cot gC tg tg tg *
222
++=++


Ta có:
(
)
sin A B
sin C
cot gA cot gB
sin A sin B sin A sin B
+
+= =


2
sin C
sin A sin B
2
≥

+
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
(do bđt Cauchy)

22 2
CC C
2sin cos 2sin
22 2
A
BAB CA
sin .cos cos cos
222
==
B
2
+
−−


C
2tg
2
≥
(1)
Tương tự:
B
cot gA cot gC 2tg
2

+≥
(2)

A
cot gB cot gC 2tg
2
+≥
(3)
Từ (1) (2) (3) ta có

()
A
BC
2 cot gA cot gB cot gC 2 tg tg tg
222
⎛⎞
++ ≥ ++
⎜⎟
⎝⎠

Do đó dấu “=” tại (*) xảy ra
−−−
⎧
==
⎪
⇔
⎨
⎪
==
⎩

=
A
BACBC
cos cos cos 1
222
sin A sin B sin C

A
BC
A
BC đều.
⇔==
⇔Δ

BÀI TẬP
1. Tính các góc của
A
BCΔ
biết:
a/
=+−
3
cos A sin B sin C
2
(ĐS:
2
BC ,A
63
π
π

== =
)
b/
si
(ĐS:
n 6A sin 6B sin 6C 0++=
ABC
3
π
=
==
)
c/
si

n 5A sin 5B sin5C 0++=
2. Tính góc C của
A
BCΔ
biết:
a/
()

()
1cotgA1cotgB 2++=
b/
22
9
A
,Bnhọn

sin A sin B sin C
⎧
⎪
⎨
+=
⎪
⎩

3. Cho
A
BCΔ
có:
⎧
+
+<
⎨
+
+=
⎩
222
cos A cos B cos C 1
sin 5A sin 5B sin 5C 0

Chứng minh
Δ có ít nhất một góc 36
0
.
4. Biết . Chứng minh
222
sin A sin B sin C m++=

a/ m thì 2=
A
BCΔ
vuông
b/ m thì 2>
A
BCΔ
nhọn
c/
m thì 2<
A
BCΔ
tù.
5. Chứng minh
A
BCΔ
vuông nếu:
a/
bc
cos B cosC
a
+
+=

b/
bc a
cos B cosC sin Bsin C
+=

c/

s

in A sin B sin C 1 cos A cosB cosC++=−++
d/
()
()
2
2
21 cosB C
bc
b1cos2B
⎡⎤
−−
−
⎣⎦
=
−

6. Chứng minh
A
BCΔ
cân nếu:
a/
22
1cosB 2ac
sin B
ac
++
=
−

b/
++
=
+−
sin A sin B sin C A B
cot g .cot g
sin A sin B sin C 2 2

c/
2
tgA 2tgB tgA.tg B+=
d/
CC
a cot g tgA b tgB cot g
22
⎛⎞⎛
−= −
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝
⎞
⎟
⎠

e/
()
CB
pbcotg ptg
22
−=

f/
()
C
a b tg atgA btgB
2
+= +

7.
A
BCΔ
là
Δ
gì nếu:
a/
()
A
B
atgB btgA a b tg
2
+
+=+

b/
cc

cos2Bbsin2B=+
c/
++sin 3A sin 3B sin 3C 0=
d/

()()
4S a b c a c b=+− +−
8. Chứng minh
A
BCΔ
đều nếu
a/
()
2acosA bcosB ccosC a b c++ =++
b/
()
=++
23 3 3
3S 2R sin A sin B sin C
c/
si

n A sin B sin C 4 sin A sin B sin C++=
d/
abc
9R
mmm
2
++=
với là 3 đường trung tuyến
ab
m,m,m
c
Th.S Phạm Hồng Danh – TT luyện thi Vĩnh Viễn