Đề ôn tập cuối kỳ môn Đại số tuyến tính - Đại Học Bách Khoa

ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng
TP. HCM — 2012.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2012. 1 / 12
Câu 1.
Cho hai ma trận A =


2 2 1
2 5 3
2 3 5


và
B =


3 1 2
−1 2 4
2 6 3


. Tìm ma trận X thỏa
AX − X = B
T
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2012. 2 / 12
Câu 2.
Trong R
4

cho không gian con
U =< (1, 1, 2, 2), (2, −1, 1, 0) >, z = (1, 2, 3, 1).
a) Tìm m để v = (1, 2, −1, m) thuộc U.
b) Tìm cơ sở và số chiều U
⊥
.
c) Tìm hình chiếu của z xuống U
⊥
.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2012. 3 / 12
Câu 3.
Trong R
4
cho 2 không gian con
U =< (1, 1, −2, 1), (1, 2, 1, 0) >
V :

x
1
+ 2x
2
+ 3x
3
− 5x
4
= 0
2x
1
− x
2

+ 2x
3
+ x
4
= 0
a) Tìm cơ sở và số chiều của U ∩ V .
b) Tìm cơ sở và số chiều của U + V
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2012. 4 / 12
Câu 4.
Trong R
2
: x = (x
1
, x
2
), y = (y
1
, y
2
). Xét tích vô
hướng (x, y ) = 2x
1
y
1
+ 2x
1
y
2
+ 2x
2

y
1
+ 3x
2
y
2
.
Tính khoảng cách giữa 2 véctơ u, v với
u = (2, −1), v = (1, 3).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2012. 5 / 12
Câu 5.
Cho ánh xạ f : R
3
→ R
3
, biết ma trận của f
trong cơ sở B = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 1)} là
A =


1 −2 1
3 2 0
−1 3 4


. Tìm f (4, 3, 6)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2012. 6 / 12
Câu 6.
Cho ma trận cấp 3
A =



0 2 2
−1 −3 −2
1 5 4


Tìm một ma trận B ∈ M
3
(R) sao cho B
3
= A.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2012. 7 / 12
Câu 7.
Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc
bằng phép biến đổi trực giao, nêu rõ phép biến đổi
f (x
1
, x
2
, x
3
) = x
2
1
−2x
2
2
−2x
2

3
−4x
1
x
2
+4x
1
x
3
+8x
2
x
3
.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2012. 8 / 12
CHÚC CÁC EM ĐẠT KẾT QUẢ TỐT
TRONG KỲ THI SẮP TỚI
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2012. 9 / 12