Sóng ở bề mặt phân cách trong ngưng tụ Bose – Einstein hai thành phần không hòa tan

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018. ISBN: 978-604-82-2548-3

SÓNG Ở BỀ MẶT PHÂN CÁCH TRONG NGƯNG TỤ
BOSE - EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN KHƠNG HỒ TAN
1

2

Đặng Thị Minh Huệ , Lê Thị Thắng
1
Bộ môn Vật lý, Khoa Năng lượng - Trường Đại học Thủy lợi

Email:
2

Bộ mơn Hố học, Khoa Môi trường - Trường Đại học Thủy lợi

1. GIỚI THIỆU

2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Ngưng tụ Bose – Einstein (BEC) là trạng
thái mới của vật chất xảy ra khi nhiệt độ
được hạ xuống đến nhiệt độ tới hạn gần 0K
(còn gọi là ở nhiệt độ cực thấp). Khi ngưng
tụ xảy ra, mật độ hạt ngưng tụ tăng đột
biến. Các nghiên cứu lý thuyết và thực
nghiệm về ngưng tụ Bose – Einstein nhiều
thành phần (BECs) khơng hồ tan đã cho
chúng ta một bức tranh tổng quát về các
tính chất vật lý của BECs, trong đó tính

siêu lưu và động lực học siêu lưu ở bề mặt
phân cách của hai thành phần ngưng tụ
đang là mối quan tâm đặc biệt của vật lý
ngưng tụ [1-3, 5-8]. Những năm gần đây, có
một số cơng trình nghiên cứu về điều kiện
bất ổn định thủy động lực ở bề mặt của
BECs như bất ổn định Kelvin – Helmholtz,
bất ổn định Rayleigh – Taylor hay bất ổn
định Richtmayer – Meshkov [6, 7 ,8]. Các
nghiên cứu này đều chỉ ra rằng cách tiếp
cận thủy động lực và phương pháp
Bogoliubov - de Gennes cho kết quả về bất
ổn định động lực trong BEC hai thành phần
bị phân tách cũng giống như ở chất lưu cổ
điển. Tuy nhiên các hiệu ứng ở bề mặt phân
cách của hai thành phần ngưng tụ khơng
hồ tan vẫn cịn chưa sáng rõ, nhất là hiện
tượng sóng ở bề mặt phân cách [3]. Vì vậy,
ở bài báo này chúng tơi tập trung nghiên
cứu về sóng mao dẫn ở bề mặt phân cách
hình trụ của BEC hình trụ hai thành phần
khơng hồ tan.

Để đạt được mục đích nghiên cứu, tác giả
sử dụng cách tiếp cận thủy động lực học và lý
thuyết Gross – Pitaevski (GP) bắt đầu từ
Lagrangian thoả mãn phương trình GP:
2
2


L   dr P1  P2  g12  1  2 ,
(1)





trong đó:
 j

g jj
2
4
2
 j 
j ,
t
2m j
2
 j ( j  1,2 ) là các hàm sóng, mj là các khối
Pj  i *j



lượng nguyên tử của thành phần ngưng tụ.
Các hằng số tương tác g11 và g 22 được biểu
diễn
qua
độ
dài

tán
xạ
2
1
1
aik : g jk  2 h aik ( m j  mk ) phải thoả mãn
điều kiện khơng hồ tan.
Với mơ hình Lagrangian (1), phương trình
GP được viết là
2
2
   2 2
i 1   
  g11  1  g12  2  1 ,
 2m

t
j


 2  2 2
2
2
i

  g22  2  g12 1  2 . (2)
t  2m2

Dựa vào mơ hình (1) tác giả tiến hành
nghiên cứu lý thuyết về điều kiện tồn tại sóng

ở bề mặt phân cách trong ngưng tụ BECs
khơng hồ tan. Kết quả nghiên cứu được
trình bày ở mục 3.
3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

Trước hết, để tạo thành hỗn hợp ngưng tụ
thì các hằng số tương tác phải luôn dương. Ở

536


Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018. ISBN: 978-604-82-2548-3

nhiệt độ cực thấp, bỏ qua chuyển động nhiệt,
hệ ở trạng thái bền. Khi hệ trộn lẫn thì năng
lượng toàn phần tương ứng của hệ gọi là
năng lượng trộn lẫn E ov:
2
N202
N N 
1  N10
Eov  g11
 g22
 2g12 10 20 . (3)
2 V
V
V 
trong đó V là thể tích của hệ ngưng tụ, N10 và
N02 là số ngun tử của các thành phần
ngưng tụ.

Trạng thái khơng hồ tan của hai thành
phần ngưng tụ xảy ra khi các thành phần
ngưng tụ tồn tại ở các vị trí khác nhau trong
không gian tương ứng với tương tác giữa các
thành phần là tương tác đẩy, g12 > 0. Năng
lượng toàn phần của hệ lúc này gọi là năng
lượng tách pha E seg và có giá trị nhỏ hơn giá
trị tương ứng khi hai thành phần trộn lẫn:
2
N 202 
1  N10
Eseg  g11
 g22
(4)
.
2  V1
V2 
Lưu ý rằng V 1 + V 2 = V và E seg đạt cực tiểu
N102
N 202
khi g11
 g 22
.
V1
V2
Do đó, năng lượng tách pha của hệ được viết
là
2
N2
N N 

1 N
Eseg  g11 10  g22 20  2 g11g22 10 20 . (5)
2 V
V
V 
Sự chênh lệch năng lượng giữa E ov và E seg là
N N
E  Eov  Eseg  g12  g11g22 10 20 .
(6)
V
Từ (6) cho thấy điều kiện để hệ ngưng tụ
Bose –Einstein hai thành phần không hoà tan
là ∆E > 0 tương đương với
g122  g11 g 22 .
(7)
iψ
Xét thấy, nếu thay ψj = e j thì các phương
trình (1) và (2) khơng thay đổi nên
Lagrangian (1) các phương trình GP (2) bất
biến đối với phép biến đổi pha của nhóm đối
xứng Unita U(1)xU(1). Như vậy, nếu hệ bất
biến với phép biến đổi Lorent thì phải có hai
mode Nambu Goldstone (NG) được sinh ra
trong hệ [4].
Đối với hệ BECs khơng chuyển động có
mặt phân cách hình trụ, Lagiangian được viết
gần đúng như sau:






R

L  2  dz   rdrP1   rdrP2    S
R
0

, với α là tenxơ hệ số sức căng mặt ngồi và S
là diện tích mặt ngồi. Phương trình Laplace
cho hệ có dạng:
1 1 
(8)
P1  R, z, t   P2  R, z, t       ,
 R1 R2 
ở đây R 1 và R2 là bán kính của đường chu vi
trong và ngồi của bề mặt phân cách hình trụ.

Bằng phép dịch trường:
 j  r, z, t   nj  r, z, t ei  r,z,t
j

n j  r, z ,t   n0 j   n j  r, z, t 

 j  r, z, t   

,
,

n j 0 g jj

  j

,
g11 n1   A1I 0  kr  sin 

,
g22 n2   A2 K0  kr  sin .
(9)
Thay (9) vào hệ phương trình GP (2)
chúng tơi thu được các nghiệm j và năng
lượng tương ứng của hệ.
Để xác định hệ thức tán sắc, chúng tôi sử
dụng điều kiện biên
R h  1 
h  2 






t m1  r r  R0 m2  r r R0

(10)

và sử dụng hàm Bessel cho R 1 và R 2
R1 ( r )  const . I 0  kr  ,
R2 ( r )  const .K0  kr  .

(11)
Kết quả thu được biểu thức năng lượng
của hai mode NG:
A I  kR  k
A K  kR  k
1   1 1 0 ;2   21 1 0 . (12)
m1
 m2
Rõ ràng có hai mode năng lượng ứng với
hai mode NG trong hệ, kết quả này hoàn toàn
phù hợp với định lý Goldstone. Mặt khác,
biểu thức năng lượng này có dạng như năng
lượng của phonon trong hệ. Do đó có thể
khẳng định rằng hai mode NG trong hệ chính
là hai mode phonon. Hai mode này trở thành
một mode dị thường tại k = 0.
Vì ngưng tụ BEC có tính siêu lưu, phổ
năng lượng của các hạt Bose trong không
gian xung lượng là E = v s . k [7].

537


Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018. ISBN: 978-604-82-2548-3

Như vậy, tốc độ sóng âm trong ngưng tụ
BEC là
vs  

AI

kR0  k
1 1



A21K1  kR0  k

.
(13)
 m1
 m2
Thay (10) vào phương trình Laplace (8)
thu được:
 Bk  k 2 R02  1
2
 
, B 0.
(14)
2
R0
Phương trình (14) chứng tỏ rằng năng
1
lượng các mode NG là ảo nếu k  . Khi đó
R0
khơng tồn tại các mode phonon trong hệ nên
khơng có sự mao dẫn của sóng ở bề mặt phân
cách của hai thành phần ngưng tụ BEC. Như
vậy, sóng mao dẫn ở bề mặt phân cách chỉ
xuất hiện khi
1

(15)
k .
R0

chứng sự chính xác của định lý Goldstone.
Kết quả này cho thấy mơ hình nghiên cứu và
phương pháp nghiên cứu trình bày ở bài báo
này là phù hợp và cho kết quả đáng tin cậy.
5. TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Ao P. and Chui S. T. (1998), Binary Bose Einstein condensate mixtures in weakly and
strongly segregated phases, Phys. Rev.
A58, 4836.
[2] Indekeu J. O. and Schaeybroeck B. Van.
(2004),
Extraordinary Wetting phase
diagram for mixtures of Bose - Einstein
condensates, Phys. Rev. Lett. bf 93, 210402.
[3] Ketterle W. (1999), Experimental studies of
Bose-Einstein condensation, Physics Today,
December, pp. 30-35.
[4] Golds tone J., Salam A., and Weinberg
(1962). Broken Symmetries, Phys. Rev.
127, 965.
[5] Matthews M. R. , J. R. Ensher, D. S. Hall,
C. E. Weiman, and E. A. Cornell (1998),
4. KẾT LUẬN
Dynamics of Component Separation in a
binary mixture of Bose - Einstein
Khảo sát điều kiện tồn tại sóng ở bề mặt

condensate, Phys. Rev. Lett. 81, 1539.
phân cách hai thành phần ngưng tụ Bose –
Einstein khơng hồ tan (cịn gọi là sóng mao [6] Myatt C. J., Burt E. A., Ghrist R. W.,
Cornell E, A., and Weiman C. E. (1997),
dẫn ở mặt phân cách) bằng cách tiếp cận thuỷ
Production of two overlapping Bose động lực theo lý thuyết GP, chúng tôi thu
Einstein condensates by sympathetic
được các kết quả chính như sau:
cooling, Phys. Rev. Lett. 78, 586.
1. Xây dựng được biểu thức giải tích về
[7] Papp S. B. , J. M. Pino, and C. E. Wieman
điều kiện khơng hồ tan của hệ ngưng tụ
(2008), Tunable Miscibility in a dual BEC hai thành phần.
species Bose - Einstein condensates, Phys.
2. Đã tìm ra hệ thức tán sắc đối với các
Rev. Lett. 101, 040402.
mode Nambu-Goldstone trong hệ BECs hai [8] Tran Huu Phat, Nguyen Tuan Anh, Le Viet
thành phần khơng hồ tan. Từ đó tìm ra điều
Hoa, and Dang Thi Minh Hue (2016),
Phase structure of binary Bose - Einstein
kiện tồn tại sóng mao dẫn ở mặt phân cách
condensates at finite temperature,
hai thành phần ngưng tụ Bose – Einstein
International Journal of Modern Physics B,
khơng hồ tan trong khơng gian xung lượng:
Vol. 30, No. 26, pp 1-18 (1650195), DOI:
1
k  . Đây là kết quả mới của bài báo.
10.1142/SO217979216501952.
R0

3. Khẳng định các mode sóng trong hệ
BECs là các mode phonon, đồng thời minh

538