Tính Giải Được Và Các Tính Chất Của Nghiệm Cho Một Số Phương Trình Phi Tuyến Chứa Số Hạng Phi Địa Phương Dạng Kirchhoff-Carrier

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LÊ HỮU KỲ SƠN

TÍNH GIẢI ĐƯỢC VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA
NGHIỆM CHO MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN
CHỨA SỐ HẠNG PHI ĐỊA PHƯƠNG DẠNG
KIRCHHOFF-CARRIER

Ngành: TỐN GIẢI TÍCH
Mã số ngành: 62460102

TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC

Tp. Hồ Chí Minh - năm 2022


Cơng trình được hồn thành tại: Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên – Đại Học Quốc
Gia Thành Phố Hồ Chí Minh.
Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. LÊ THỊ PHƯƠNG NGỌC

Phản biện 1: PGS.TS. Nguyễn Bích Huy
Phản biện 2: PGS.TS. Mai Đức Thành
Phản biện 3: TS. Đào Nguyên Anh
Phản biện độc lập 1: PGS.TS. Nguyễn Hữu Khánh
Phản biện độc lập 2: TS. Đào Quang Khải

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Cơ sở đào tạo họp tại
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG-HCM,
vào hồi 9 giờ 00, ngày 06 tháng 08 năm 2022.

Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện:
1. Thư viện Tổng hợp Quốc gia Tp.HCM
2. Thư viện trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG-HCM
3. Thư viện Trung tâm ĐHQG-HCM


Mở đầu
Lý thuyết phương trình vi phân và đạo hàm riêng là một trong những lĩnh vực quan trọng
của toán lý thuyết và áp dụng. Các bài toán này xuất hiện rất nhiều trong vật lý, cơ học, sinh
học, , và đã được nghiên cứu một cách rộng rãi bởi nhiều nhà tốn học. Q trình tìm kiếm
lời giải cho các bài tốn này đã có sự góp phần rất lớn của nhiều kết quả lý thuyết trong giải
tích hàm (lý thuyết không gian Sobolev, lý thuyết điểm bất động, lý thuyết nửa nhóm, ) và
giải tích số (phương pháp phần tử hữu hạn, ).
Một trong những bài toán thuộc lý thuyết phương trình đạo hàm riêng được nghiên cứu
sâu rộng bởi nhiều nhà toán học là bài toán giá trị biên cho phương trình đạo hàm riêng nói
chung và cho phương trình sóng nói riêng. Nhiều kết quả khác nhau trong việc nghiên cứu các
lớp bài toán này đã được đăng trên các tạp chí khoa học uy tín của nhiều tác giả nổi tiếng
như J.L. Lions, H. Brézis, F.E. Browder, . Số lượng các tạp chí có cơng bố các kết quả liên
quan đến lĩnh vực này chiếm một tỷ lệ rất lớn trong đó có các tạp chí chuyên về lĩnh vực nầy
ở nhiều nhà xuất bản lớn như nhà xuất bản Elsevier, Springer, Taylor & Francis, . Ngoài
ra, nhiều hội nghị quốc tế về lĩnh vực phương trình vi phân đạo hàm riêng nói chung và lý
thuyết bài tốn biên nói riêng đã được sự quan tâm của đơng đảo các nhà tốn học trong và
ngồi nước.
Hiện nay có rất nhiều phương pháp được sử dụng để nghiên cứu các phương trình vi phân
và phương trình đạo hàm riêng với những điều kiện biên khác nhau như phương pháp biến
phân, phương pháp điểm bất động, . Tuy nhiên chúng ta vẫn chưa có một phương pháp
tổng quát để tiếp cận mọi bài toán biên phi tuyến vốn dĩ rất phong phú và đa dạng. Việc lựa
chọn phương pháp thích hợp để nghiên cứu các bài tốn là một yếu tố rất quan trọng. Chính
vì vậy, vấn đề khảo sát các bài toán biên, đặc biệt là các bài tốn biên phi tuyến, là cần thiết

và có ý nghĩa thực tiễn.
Luận án này nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất nghiệm và một số tính chất của nghiệm của
các phương trình sóng phi tuyến trong hình vành khăn có chứa số hạng phi địa phương có
dạng như sau
utt

=

µ t, u(1, t), ku(t)k20 , ku x (t)k20 (u xx +

1
ux )
x

(1)

f x, t, u, u x , ut , ku(t)k20 , ku x (t)k20 , ρ < x < 1, 0 < t < T,

liên kết với điều kiện biên Dirichlet không thuần nhất
u(ρ, t) = g0 (t), u(1, t) = g1 (t),
(2)
hoặc liên kết với điều kiện biên Robin-Dirichlet
u(ρ, t) = u x (1, t) + ζu(1, t) = 0,
(3)
và điều kiện đầu
u( x, 0) = u˜ 0 ( x ), ut ( x, 0) = u˜ 1 ( x ),
(4)
trong đó µ, f , g, u˜ 0 , u˜ 1 , g0 , g1 là các hàm cho trước; ρ, ζ là các hằng số cho trước, với 0 < ρ < 1,
ζ 0. Các số hạng phi tuyến xuất hiện ở hai vế của (1) chứa các số hạng phi địa phương dạng
tích phân như sau

ku(t)k20 =

Z 1
ρ

xu2 ( x, t)dx, ku x (t)k20 =

Z 1
ρ

xu2x ( x, t)dx.

Với f = 0, µ = µ(ku x (t)k20 ), thì (1) là phương trình sóng phi tuyến hai chiều mô tả dao
động phi tuyến của màng hình vành khăn Ω1 = f( x1 , x2 ) : ρ2 < x12 + x22 < 1g như sau
Utt

µ1 krU (t)k2 (Ux1 x1 + Ux2 x2 ) = 0, ( x1 , x2 ) 2 Ω1 , 0 < t < T,

1


trong đó dao động của màng Ω1 chỉ phụ thuộc vào x =
u( x, t).
Thật vậy theo biến đổi qua tọa độ cực
x1 = x cos ϕ, x2 = x sin ϕ, 0 ϕ < 2π, ρ < x < 1,
ta có
Utt ( x1 , x2 , t)

=

Ux1 x1 + Ux2 x2

=

krU (t)k2

=

µ1 krU (t)k2

=

utt ( x, t),
1
u xx + u x ,
x

kUx1 (t)k2 + kUx2 (t)k2 = 2π
µ1 2π ku x (t)k20

q

Z 1
ρ

x12 + x22 , và t, tức là U ( x1 , x2 , t) =

xu2x ( x, t)dx = 2π ku x (t)k20 ,

µ ku x (t)k20 .

Trong q trình dao động, diện tích của màng Ω1 và lực căng tại các điểm trên đó thay
đổi theo thời gian.
Điều kiện biên (2) mô tả trên đường tròn nhỏ Γρ = f( x1 , x2 ) : x12 + x22 = ρ2 g và đường tròn
lớn Γ1 = f( x1 , x2 ) : x12 + x22 = 1g có dao động cho trước phụ thuộc thời gian.
Điều kiện biên (3) trên đường tròn lớn Γ1 , tức là u x (1, t) + ζu(1, t) = 0, mơ tả các ràng
buộc đàn hồi, trong đó ζ là hằng số cơ học. Trong khi đó, điều kiện biên trên đường tròn nhỏ
Γρ đòi hỏi u(ρ, t) = 0, có nghĩa là trên đường trịn nhỏ Γρ của màng được giữ cố định.
Trong G.F. Carrier, Quart. J. Appl. Math. 3 (1945) 157-165, Carrier đã thành lập phương
trình mơ tả dao động của một sợi dây đàn hồi có kể đến lực căng có thay đổi nhỏ xuất hiện
ρutt

1+

EA
LT0

Z L
0

u2 (y, t)dy u xx = 0,

(5)

trong đó u( x, t) là độ dịch chuyển theo phương x, T0 là lực căng tại các vị trí của sợi dây, E là
môđun Young, A là thiết diện của sợi dây, L là chiều dài của sợi dây và ρ là khối lượng riêng
của vật liệu cấu tạo sợi dây. Rõ ràng, nếu tính chất của một loại vật liệu khác nhau thay đổi
theo x và t, khi đó ta có phương trình thuộc dạng hyperbolic (N.A. Larkin, Math. Problems
in Engineering, 8 (2002) 15-31).

utt

B( x, t,

Z 1
0

u2 (y, t) dy)u xx = 0.

(6)

µ(ku x (t)k20 ),

Với f = 0, µ =
phương trình (1) thuộc dạng Kirchhoff đã nhận được nhiều
sự chú ý. Vào năm 1876, G.R. Kirchhoff, Teuber, Leipzig, 1876, Section 29.7.đã khảo sát dao
động ngang nhỏ của một sợi dây đàn hồi có độ dài L, khi giả sử lực căng tại mỗi điểm của sợi
dây, chỉ có thành phần theo chiều dọc, có mơ hình
! tốn học
Z L
2
2
∂u
Eh
∂2 u
∂ u
ρh 2 ( x, t) = P0 +
(7)
(y, t) dy
( x, t) ,

2L 0 ∂y
∂t
∂x2
với u ( x, t) mô tả sự dịch chuyển theo biến không gian x tại thời điểm t, và ρ là khối lượng riêng
của vật liệu cấu tạo nên sợi dây, h là thiết diện sợi dây, L là chiều dài sợi dây, E là modulus
Young của sợi dây, P0 là lực căng dây tại thời điểm ban đầu.
Việc nghiên cứu sự tồn tại và các tính chất nghiệm của phương trình sóng nói chung và
phương trình sóng phi tuyến dạng Kirchhoff-Carrier nói riêng nhận được nhiều sự chú ý.
Trong Hongwei Zhang, Changshun Hou, Qingying Hu, Boundary Value Problems, 2013,
2013:166, H Zhang và các cộng sự đã khảo sát bài toán
utt + ut + u xxxx M (ku x k2 )u xx = 0, 0 < x < L, t > 0,

2


với điều
8 kiện biên động
< u (0, t) = u xx (0, t) , t > 0,
u xx ( L, t) + u x ( L, t) = 0, t > 0,
:
utt ( L, t) + ut ( L, t) u xxx ( L, t) + M (ku x k2 )u x ( L, t) = f (u ( L, t)) ,
và điều kiện đầu u ( x, 0) = u0 ( x ) , ut ( x, 0) = u1 ( x ) , 0 < x < L, với f (s) = jsj p

1 + sm , p > 2, m

2

1 là các hằng số dương và ku x k =

Z L

0

2

s, M (s) =

u2x ( x, t)dx. Dựa vào bất đẳng thức

Nakao, kết hợp với các xây dựng một tập ổn định, tác giả thu được đánh giá tắt dần của
năng lượng, hơn nữa tác giả cũng tìm một điều kiện đủ về dữ liệu ban đầu để nghiệm tắt
dần. Tính chất bùng nổ của nghiệm với năng lượng ban đầu dương đủ nhỏ và năng lượng đầu
âm thu được nhờ sử dụng bổ đề hàm lồi. Các cơng trình nghiên cứu điều kiện biên động của
phương trình sóng Kirchhoff có thể nêu như: Park và các cộng sự trong J.Y. Park S.H. Park,
Electronic J. of Differ. Equations 2003 (80) (2003) 1-7, Larkin và Doronin trong G.G. Doronin,
N.A. Larkin, Nonlinear Anal. 8, 1119-1134 (2002), Gerbi và Said-Houari trong S. Gerbi, B.
Said-Houari, Adv. Differ. Equations 13 (2008) 1051-1060. Ngồi ra phương trình sóng chứa số
hạng nguồn phi tuyến có dạng
(8)
utt + α∆2 u M (kruk2 )∆u + g (ut ) = f (u) , trong Ω R+ ,
cũng nhận được nhiều sự quan tâm, khi nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm, đánh giá
tính tắt dần của nghiệm tồn cục và tính bùng nổ của nghiệm với một số điều kiện thích
hợp như Wu và Tsai trong S.T. Wu, L.Y. Tsai, Taiwan. J. of Math. 13B (6) (2009) 2069-2091.
Santos cùng các đồng sự trong M.L. Santos, M.P.C. Rocha, D.C. Pereira, Electronic J. Qual.
Theory Differ. Equ. 6 (2015) 1-28 khảo sát sự tồn tại và tính tắt dần mũ của hệ Kirchhoff với
điều kiện biên phi địa phương. Guedda và Labani trong M. Guedda, H. Labani, Bull. Belg.
Math. Sci. 9 (2002) 39-46 đã đưa ra một điều kiện đủ để nghiệm của phương trình (8) bùng nổ
với g (ut ) = ut với điều kiện biên động. Trong N.T. Long, T.M. Thuyet, Demonstratio Math.
32 (4) (1999) 749-758, N.T. Long và T.M. Thuyết đã chứng minh được sự tồn tại và duy nhất
nghiệm toàn cục trong trường hợp hàm M có thể nhận giá trị khơng âm.
Trong Yang Zhijian, Wang Yunqing, J. Differ. Equations, 249 (2010) 3258-3278, Yang

Zhijian, Wang Yunqing đã chứng minh được sự tồn tại nghiệm tồn cục của bài tốn dạng
Kirchhoff
8
< utt M (kruk2 )∆u ∆ut + h (ut ) + g (u) = f ( x ) trong Ω R+ ,
uj = 0, t > 0,
: ∂Ω
u ( x, 0) = u0 ( x ) , ut ( x, 0) = u1 ( x ) , x 2 Ω.
Trong L.T.P. Ngoc, N.A. Triet, N.T. Long, Boundary Value Problems (2016) 2016: 20,
Ngọc, Triết, Long đã nghiên cứu bài toán biên phi địa phương và giá trị đầu
utt ∆u + Ku + λut =Z a juj p 2 u + f ( x, t) , x 2 Ω, t > 0,
∂u
∂ν

( x, t) = g ( x, t) +

Ω

h ( x, y, t) u (y, t) dy, x 2 ∂Ω, t > 0,

u ( x, 0) = u0 ( x ) , ut ( x, 0) = u1 ( x ) ,
với Ω là miền bị chặn trong R N với ∂Ω là biên trơn, ν là vector đơn vị hướng ra ngoài biên
∂Ω; a = 1, K, λ, p là các hằng số cho trước, và u0 , u1 , f , g, h là các hàm cho trước. Trong
trường hợp a = 1, các tác giả đã sử dụng phương pháp xấp xỉ Faedo-Galerkin để chứng minh
sự tồn tại nghiệm mạnh và các lý luận trù mật cho sự tồn tại nghiệm yếu. Với a = 1, g = 0,
2N 2
K > 0, λ > 0, và 2 < p
3 cùng một số điều kiện của dữ kiện đầu, điều kiện các
N 2 , N
hàm f , h thích hợp các tác giả đã chứng minh được nghiệm tắt dần mũ bằng cách thiết lập
một phiếm hàm Lyapunov thích hợp.

Tính tắt dần và bùng nổ của các phương trình sóng phi tuyến liên kết với các loại điều
kiện biên khác nhau, như biên phi địa phương, biên phi tuyến hay điều kiện biên nhiều điểm

3


cũng được nghiên cứu. Trong L.T.P. Ngoc, N.A. Triet, A.P.N. Dinh, N.T. Long, Numerical
Functional Analysis and Optimization, 38 (9) (2017) 1173-1207, Ngọc và các cộng sự đã xét
bài toán
utt u xx + u + λut = a juj p 2 u + f ( x, t) , 0 < x < 1, t > 0
với điều
8 kiện biên phi địa phương
Z t
Z 1
> u (0, t) = g (t)
<
H (t s) u (0, s) ds +
k ( x, t) u ( x, t) dx,
x

>
:

0

u x (1, t) = g1 (t)

0Z

0

0Z

t

0

H1 (t

s) u (1, s) ds +

0

1

0

k1 ( x, t) u ( x, t) dx,

và điều kiện đầu u ( x, 0) = u0 ( x ) , ut ( x, 0) = u1 ( x ) , với j aj = 1, λ > 0, p > 2 là các hằng số cho
trước. Các hàm f , gi , Hi , k i (i = 0, 1) là các hàm số cho trước mà điều kiện của nó sẽ chỉ ra sau.
Các tác giả đã chứng minh được hai kết quả về sự tồn tại nghiệm bài toán bằng phương pháp
Galerkin và cá lý luận trù mật. Trong trường hợp a = 1, λ > 0, p > 2 và gi = 0, bằng cách xây
1

dựng một phiếm hàm Lyapunov thích hợp, nếu ku0 k2H 1 ku0 k L p + p ∑i=0 hk i (0) , u0 i u0 (i ) > 0
cùng năng lượng ban đầu, các hàm f , k i , Hi đủ nhỏ thì năng lượng của nghiệm sẽ tắt dần mũ
khi t ! ∞. Tuy nhiên trong trường hợp a = 1, thì bài tốn có duy nhất nghiệm tồn cục
có năng lượng tắt dần mũ khi t ! ∞ mà không cần dữ liệu ban đầu (u0 , u1 ) đủ nhỏ. Kết quả
này có thể xem là một mở rộng của L.T.P. Ngoc, N.T. Long, Comm. on Pure and Appl. Anal.

12 (5) (2013) 2001-2029.. Trong N.T. Long, L.T.P. Ngoc, J. Math. Anal. Appl. 385 (2) (2012)
1070-1093,
8 Long,∂ Ngọc đã xét bài toán sóng phi tuyến với điều kiện biên hai điểm
< utt ∂x (µ ( x, t) u x ) + f (u, ut ) = F ( x, t) , 0 < x < 1, 0 < t < T,
µ (0, t) u x (0, t) = h0 u (0, t) + λ0 ut (0, t) + h˜ 0 u (1, t) + λ˜ 0 ut (1, t) + g0 (t) ,
:
µ (1, t) u x (1, t) = h1 u (1, t) + λ1 ut (1, t) + h˜ 1 u (0, t) + λ˜ 1 ut (0, t) + g1 (t) ,
và điều kiện đầu u ( x, 0) = u˜ 0 ( x ) , ut ( x, 0) = u˜ 1 ( x ) , với hi , λi , h˜ i , λ˜ i là các hằng số cho trước
và µ, f , F, gi (i = 0, 1) là các hàm cho trước. Các tác giả đã chứng minh được sự tồn tại duy
nhất nghiệm yếu và bằng cách xây dựng phiếm hàm Lyapunov cùng các điều kiện thích hợp,
tính tắt dần mũ của nghiệm toàn cục được chứng minh. Kết quả này cũng là một mở rộng
của L.X. Truong, L.T.P. Ngoc, A.P.N. Dinh, N.T. Long, Nonlinear Anal. TMA. 74 (18) (2011)
6933-6949 trong trường hợp µ = 1, f (u, ut ) = Ku + λut , K, λ > 0.
Ngồi ra, phương trình sóng Kirchhoff chứa số hạng đàn hồi nhớt có dạng
Z t
8
> utt M kruk2 ∆u + g (t s) ∆u (s) ds + h (ut ) = f (u) , x 2 Ω, t > 0,
<
0
(9)
>
: u = 0, ( x, t) 2 ∂Ω [0, ∞),
u ( x, 0) = u0 ( x ) , ut ( x, 0) = u1 ( x ) , x 2 Ω,
cũng được dành nhiều sự quan tâm. Với trường hợp h (ut ) = ∆ut , trong S.T. Wu, L.Y. Tsai,
Taiwan. J. of Math. 10 (4) (2006) 979-1014, Wu và Tsai đã chứng minh được sự tồn tại nghiệm
toàn cục, tắt dần, và bùng nổ trong điều kiện dữ kiện đầu thích hợp. Các tác giả đã thu được
tính bùng nổ của nghiệm địa phương với năng lượng đầu dương đủ bé. Với kết quả tắt dần,
các tác giả giả sử rằng tồn tại một hằng số r > 0 : g0 (t)
rg (t) , 8t 0. Và trong S.T.Wu,
J. Math. Anal. Appl. 364 (2) (2010) 609-617, Wu đã cải tiến kết quả tắt dần với một điều

kiện yếu hơn của hàm g (g0 (t) 0 với mọi t 0). Khi h (ut ) = αut , α là một hằng số dương
và f (u) = 0, Santos và các cộng sự trong J. Ferreira, M.L. Santos, M.P. Matos, W.D. Bastos,
Math. and Computer Modelling, 39 (2004) 1285-1295 đã chứng minh được sự tồn tại nghiệm
tồn cục và tính tắt dần của nghiệm.
Với trường hợp M = 1 và g 6= 0, Cavalcanti cùng các cộng sự trong M.M. Cavalcanti,
V.N. Domingos Cavalcanti, J.A. Soriano, Electronic J. of Differ. Equations, 2002 (44) (2002)
14 pages đã nghiên cứu phương trình
p

utt

∆u +

Z t
0

g (t

s) ∆u (s) ds + a ( x ) ut + jujγ u = 0, ( x, t) 2 Ω
4

(0, ∞) ,

(10)


với điều kiện đầu và điều kiện biên như ở (9) và các tác giả đã chứng minh được tính tắt dần
của nghiệm.
Ngồi tính chất tắt dần của nghiệm, thì tính bùng nổ nghiệm trong thời gian hữu hạn
cũng được dành nhiều sự quan tâm. Trong S.A. Messaoudi, Mathematische Nachrichten, 260

(2003) 58-66, Messaoudi đã xét phương trình
utt

∆u +

Z t
0

g (t

s) ∆u (s) ds + aut jut jm

2

= b j u jr

2

u,

(11)

( x, t) 2 Ω (0, ∞) , ở đó, tác giả đã chứng minh được mọi nghiệm yếu với năng lượng đầu âm
sẽ bùngZnổ tại thời gian hữu hạn nếu r > m và
∞

0

r 2
r 2+1/r ,

g (s) ds

(12)

và nếu dữ kiện ban đầu thuộc vào các không gian hàm thích hợp và m r thì tác giả chứng
minh được sự tồn tại của nghiệm toàn cục. Kết quả này được chính Messaoudi cải tiến trong
S.A. Messaoudi, J. Math. Anal. Appl. 320 (2) (2006) 902-915, với điều kiện năng lượng ban
đầu dương và một số điều kiện thích hợp của hàm g, m, và r.
Trong W. Liu, Topological Methods in Nonlinear Anal. 36 (1) (2010) 153-178, Liu đã nghiên
cứu phương trình
utt

∆u +

Z t
0

g (t

s) ∆u (s) ds

ω∆ut + µut = jujr

2

u,

(13)

( x, t) 2 Ω (0, ∞) , với cùng điều kiện đầu và điều kiện biên như ở (9). Sử dụng kỹ thuật hàm
lồi cùngZđiều kiện
∞
r 2
h
i,
g (s) ds
(14)
2
0
r 2 + 1/ 1 δˆ r + 2δ 1 δˆ
với δˆ = max f0, δg , tác giả đã chứng minh được nghiệm với năng lượng đầu không dương cũng
như năng lượng đầu dương bùng nổ tại thời gian hữu hạn.
Dưới đây chúng tôi cũng đề cập đến các tính chất bùng nổ và tắt dần của nghiệm cho một
số hệ phương trình sóng phi tuyến.
Bài8tốn
Z t
>
> utt ∆u + g1 (t s) ∆u (s) ds + jut jm 1 ut = f 1 (u, v) , x 2 Ω, 0 < t < T,
>
>
>
Z 0t
>
>
<
vtt ∆v + g2 (t s) ∆v (s) ds + jvt jγ 1 vt = f 2 (u, v) , x 2 Ω, 0 < t < T,
(15)
0
>

> u ( x, t) = v ( x, t) = 0, ( x, t) 2 ∂Ω [0, T ),
>
>
>
>
u ( x, 0) = u0 ( x ) , ut ( x, 0) = u1 ( x ) , x 2 Ω,
>
:
v ( x, 0) = v0 ( x ) , vt ( x, 0) = v1 ( x ) , x 2 Ω,
được khảo sát bởi Han và Wang trong X. Han and M. Wang, Nonlinear Anal. TMA. 71 (11)
(2009) 5427–5450, với Ω là miền bị chặn với biên ∂Ω trơn trong Rn , n = 1, 2, 3. Dưới các giả
thiết thích hợp ở các hàm f i , gi (i = 1, 2) , dữ liệu đầu và các tham số trong (15), các tác giả đã
chứng minh được sự tồn tại nghiệm địa phương, nghiệm tồn cục, và tính bùng nổ (khi năng
lượng đầu E (0) < 0). Kết quả bùng nổ của nghiệm sau đó được Messaoudi và Said-Houari
trong S.A. Messaoudi, B. Said-Houari, J. Math. Anal. Appl. 365 (1) (2010) 277-287. đã phát
triển trong trường hợp năng lượng ban đầu dương.
Liang và Gao trong F. Liang and H. Gao, Boundary Value Problems, vol. 2011, article 22,
(2011) 19 pages đã xét bài toán:
8
Z t
> u
<
∆u + g1 (t s) ∆u (s) ds ∆ut = f 1 (u, v) , x 2 Ω, 0 < t < T,
tt
Z 0t
(16)
>
: vtt ∆v + g2 (t s) ∆v (s) ds ∆vt = f 2 (u, v) , x 2 Ω, 0 < t < T,
0

với điều kiện đầu và điều kiện biên giống ở bài toán 15. Dưới các điều kiện thích hợp của các

5


hàm f i , gi (i = 1, 2) và dữ liệu ban đầu nằm trong một tập ổn định, các tác giả đã chứng minh
được nghiệm tắt dần mũ. Ngược lại, nếu dữ liệu ban đầu nằm trong tập không ổn định, các
tác giả đã chứng minh được nghiệm với năng lượng ban đầu dương sẽ bùng nổ tại thời gian
hữu hạn.
Hệ(phương trình sóng chứa số hạng đàn hồi đa thức dạng
utt u xx + λ1 jut jr1 2 ut = f 1 (u, v) + F1 ( x, t) ,
(17)
vtt v xx + λ2 jvt jr2 2 vt = f 2 (u, v) + F2 ( x, t) ,
được Khoa và các cộng sự xét trong V.A. Khoa, L.T.P. Ngoc, N.T. Long, Evolution equations
and control
theory, 8 (2) (2019) 359-395 với điều kiện biên phi tuyến
(
u (0, t) = 0,
u x (1, t) + K1 ju (1, t)j p1 2 u (1, t) = µ1 jut (1, t)jq1 2 ut (1, t) ,
v x (0, t) + K2 jv (0, t)j p2 2 v (0, t) = µ2 jvt (0, t)jq2 2 vt (0, t) , v (1, t) = 0,
và điều kiện đầu
u ( x, 0) = u˜ 0 ( x ) , ut ( x, 0) = u˜ 1 ( x ) ,
v ( x, 0) = v˜0 ( x ) , vt ( x, 0) = v˜1 ( x ) .
Với một số điều kiện thích hợp, các tác giả đã chứng minh được hai định lý về sự tồn tại
nghiệm dựa vào phương pháp Galerkin và các lý luận trù mật. Ngoài ra, các tác giả cũng thu
được kết quả về tính bùng nổ của nghiệm và tính tắt dần mũ của nghiệm. Trong L.T.P. Ngoc,
N.T. Long, Math. Meth. Appl. Sci. 37 (2014) 464-487, Ngọc, Long cũng khảo sát bài toán (17)
với điều kiện biên
u (0, t) = u (1, t) = 0,
v x (0, t) + K jv (0, t)j p 2 v (0, t) = µ jvt (0, t)jq 2 vt (0, t) , v (1, t) = 0,

cũng thu được các kết quả tương tự.
Trong N.T. Long, H.H. Ha, L.T.P. Ngoc, N. A. Triet, Comm. Pure and Appl. Anal. 19 (1)
(2020)8455-492, Long và các cộng sự đã khảo sát hệ phương trình
∂
>
u
(µ ( x, t) u x ) + λ1 jut jr1 2 ut = f 1 (u, v) + F1 ( x, t) ,
>
< tt ∂x 1
Z t
r2 2
∂ ¯
∂
µ
x,
t
v
+
λ
v
g (t s) ∂x
v
+
v
(
(
)
(µ2 ( x, s) v x ( x, s)) ds
)
j

j
x
t
t
tt
2
2
∂x
>
0
>
:
= f 2 (u, v) + F2 ( x, t) , 0 < x < 1, 0 < t < T,
với điều kiện biên
µ1 (0, t) u x (0, t) = G (u (0, t)) + λ¯ 1 jut (0, t)jr¯1 2 ut (0, t) g0 (t) ,
u (1, t) = v (0, t) = v (1, t) = 0,
và điều kiện đầu
u ( x, 0) = u˜ 0 ( x ) , ut ( x, 0) = u˜ 1 ( x ) ,
v ( x, 0) = v˜0 ( x ) , vt ( x, 0) = v˜1 ( x ) .
Sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình được các tác giả chứng minh dựa vào phương pháp
Galerkin và các lý luận trù mật. Trong trường hợp r1 = r2 = r¯1 = 2, µ¯ 2 ( x, t) µ¯ 2 ( x ) và một
số điều kiện thích hợp, các tác giả đã thu được kết quả về sự bùng nổ của nghiệm. Hơn nữa,
trong điều kiện năng lượng ban đầu dương đủ nhỏ, tính tắt dần mũ của nghiệm cũng đã được
chứng minh.
Trong Wenjun Liu, Gang Li, Linghui Hong, Journal of Function Spaces, Vol. 2014, Article
ID 284809, 21 pages, Wenjun Liu cùng các cộng sự đã nghiên cứu một hệ sóng Kirchhoff chứa

6

số hạng
8 đàn hồi nhớt
Z t
> u
>
M kruk22 ∆u + g1 (t s) ∆u(s)ds ∆ut = f 1 (u, v) , x 2 Ω, t > 0,
tt
>
>
>
Z 0t
>
>
<
2
vtt M krvk2 ∆v + g2 (t s) ∆v(s)ds ∆vt = f 2 (u, v) , x 2 Ω, t > 0,
(18)
0
>
>
u
( x, t) = v ( x, t) = 0, ( x, t) 2 ∂Ω [0, ∞),
>
>
>
> u ( x, 0) = u0 ( x ) , ut ( x, 0) = u1 ( x ) , x 2 Ω,
>
:
v ( x, 0) = v0 ( x ) , vt ( x, 0) = v1 ( x ) , x 2 Ω,
với Ω là miền bị chặn trong Rn , n

1 với biên trơn ∂Ω, M là hàm số dương Lipschitz địa
phương và gi : R+ ! R+ (i = 1, 2) , ( f 1 , f 2 ) : R2 ! R2 . Các tác giả đã chứng minh được hai
kết quả bùng nổ: một là cho nghiệm với điều kiện năng lượng ban đầu không dương cũng như
trường hợp năng lượng ban đầu dương, trường hợp còn lại là điều kiện năng lượng ban đầu
dương tùy ý. Cuối cùng là kết quả tắt dần của nghiệm toàn cục dưới một số điều kiện thích
hợp của hàm gi (i = 1, 2) .
Nội dung chính của luận án gồm 3 chương 2, 3 và 4 được đề cập như dưới đây.
Trong Chương 2, chúng tơi khảo sát Bài tốn (1) với f
f x, t, u, u x , ut , ku(t)k20 liên kết

với điều
8 kiện biên Robin-Dirichlet2 như sau 2
> utt µ(t, u (1, t) , ku(t)k0 , ku x (t)k0 )(u xx + 1x u x )
>
<
= f ( x, t, u, u x , ut , ku (t)k20 ), ρ < x < 1, 0 < t < T,
(19)
>
u
(
ρ,
t
)
=
u
x (1, t ) + ζu (1, t ) = 0,
>
:
u( x, 0) = u˜ 0 ( x ), ut ( x, 0) = u˜ 1 ( x ).
Một số kết quả về sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu địa phương và thiết lập một khai triển

tiệm cận của nghiệm yếu trong các bài toán dạng Kirchhoff-Carrier được nhiều tác giả nghiên
cứu như N.T. Long, J. Math. Anal. Appl. 306 (1) (2005) 243-2, N.T. Long, A.P.N. Dinh, T.N.
Diem, J. Math. Anal. Appl. 267 (1) (2002) 116-134, N.T. Long, L.T.P. Ngoc, Demonstratio
Math. 40 (2) (2007) 365-392,.N.T. Long, A.P.N. Dinh, T.N. Diem, Boundary Value Problems
2005 (3) (2005) 337-358, N.H. Nhan, L.T.P. Ngoc, T.M. Thuyet, N.T. Long, Lithuanian Math.
J. 57 (1) (2017) 80-108. Việc xây dựng một thuật giải nhằm giúp tăng tốc độ hội tụ về nghiệm
bài toán cũng được quan tâm, như trong L.T.P. Ngoc, B.M. Tri, N.T. Long, FILOMAT, 31 (6)
(2017) 1755-1767.
Tiếp nối các ý tưởng và mơ hình của các cơng trình liên quan, trong Chương 2 chúng tôi
đã chứng minh được sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu địa phương Bài toán (19) bằng cách
kết hợp thuật giải xấp xỉ tuyến tính, phương pháp xấp xỉ Faedo-Galerkin, và các kỹ thuật về
tính compact. Hơn nữa, nhằm xây dựng một thuật giải hội tụ về nghiệm yếu bài tốn nhanh
hơn, chúng tơi xét Bài tốn (19) với các hàm
(20)
µ µ(ku(t)k20 ), f
f ( x, t, u, kuk20 ),
và một số điều kiện thích hợp, để thiết lập một thuật giải lặp cấp cao mà tại đó, tốc độ hội
tụ đạt đến cấp N. Trong [S2], chúng tôi đã thu được kết quả này với hàm µ và µ0 bị chặn bởi
một hàm lũy thừa như sau
0<µ
µ(z) C1 (1 + z p ), 8z 0,
(21)
0
jµ (z)j C2 (1 + z p 1 ), 8z 0,
trong đó µ > 0, p > 1, C1 > 0, C2 > 0 là các hằng số. Trong phần này, chúng tôi cải tiến kết
quả và cũng thu được kết quả về thuật giải lặp cấp N mà không cần phải sử dụng điều kiện
(21) cho hàm µ. Kết quả này tổng quát hơn [S2] và đã được cơng bố trong [S3].
Ngồi ra, chúng tôi cũng khảo sát khai triển tiệm cận của nghiệm theo một tham số bé ε
đến cấp N + 1. Các kết quả của chương này là tổng quát hơn so với các công bố ở [S1].
Trong Chương 3 của luận án, chúng tơi khảo sát Bài tốn (1) trong trường hợp hàm

7


µ(t, ku (t)k20 , ku x (t)k20 ) với điều kiện biên Dirichlet khơng thuần nhất như sau
8
2
2
1
>
> utt µ(t, ku(t)k0 , ku x (t)k0 )(u xx + x u x )
<
2
= f ( x, t, u, u x , ut , ku(t)k0 , ku x (t)k20 ), ρ < x < 1, 0 < t < T,
(22)
>
>
: u(ρ, t) = g0 (t), u(1, t) = g1 (t),
u( x, 0) = u˜ 0 ( x ), ut ( x, 0) = u˜ 1 ( x ).
Trong chương này, qua phép đổi ẩn hàm và sử dụng thuật giải lặp xấp xỉ tuyến tính, ta có
thể chứng minh được Bài tốn (22) có duy nhất nghiệm yếu địa phương. Tiếp theo, ta khảo
sát trong một lớp bài toán hẹp hơn, để tìm kiếm một số tính chất nghiệm như tính tắt dần
hay bùng
8 nổ của nghiệm.2 Cụ thể với bài toán
< utt µ(ku x (t)k0 )(u xx + 1x u x ) + λut = f (u) + F ( x, t), ρ < x < 1, t > 0,
(23)
u(ρ, t) = u(1, t) = 0,
:
u( x, 0) = u˜ 0 ( x ), ut ( x, 0) = u˜ 1 ( x ),
cùng với điều kiện các hàm µ, f , F, u˜ 0 , u˜ 1 thích hợp, ta có thể chứng minh được nghiệm của

Bài tốn
Và cuối cùng, khi xét lớp các bài toán
8 (23) tắt dần mũ.
2
< utt µ(ku x (t)k0 )(u xx + 1x u x ) + λut = f (u), ρ < x < 1, 0 < t < T,
(24)
u(ρ, t) = u(1, t) = 0,
:
u( x, 0) = u˜ 0 ( x ), ut ( x, 0) = u˜ 1 ( x ),
cùng với điều kiện các hàm µ, f , u˜ 0 , u˜ 1 thích hợp, ta có thể chứng minh được nghiệm của Bài
toán (24) bùng nổ tại thời điểm hữu hạn. Và các kết quả này được công bố tại [S4]. Việc khảo
sát tính tắt dần hay bùng nổ nghiệm của các bài toán dạng Kirchhoff được nhiều nhà toán
học quan tâm.
Trong Gongwei Liu, Boundary Value Problems 2014, 2014: 230, Gongwei Liu đã nghiên
cứu bài
8tốn Dirichlet cho 2phương trình sóng dạng Kirchhoff
< utt M (kru (t)k )∆u + ut = g (u) trong Ω (0, ∞) ,
(25)
u ( x, t) = 0 trên ∂Ω (0, ∞) ,
:
u ( x, 0) = u0 ( x ) , ut ( x, 0) = u1 ( x ) , x 2 Ω,
với Ω là miền bị chặn có biên trơn, số hạng nguồn g bị chặn theo hàm đa thức tại vô cùng.
Với M (s) là hàm dương khả vi liên tục trên [0, ∞) và M (s) 1, j M0 (s)j sα với mọi s > 1,
α 0 và dữ liệu ban đầu thích hợp thì Bài tốn (25) tồn tại nghiệm toàn cục tắt dần mũ. Mặt
khác, nếu điều kiện các hàm M, g và dữ liệu đầu phù hợp, thì nghiệm u của (25) bùng nổ tại
thời gian hữu hạn T .
Việc nghiên cứu nghiệm tồn cục, tính tắt dần và tính bùng nổ của nghiệm trong các
phương trình sóng Kirchhoff-Carrier nhận được nhiều sự quan tâm. Ta có thể kể ra một số
cơng trình, như Cavalcanti và các cộng sự trong M.M. Cavalcanti, V.N. Domingos Cavalcanti,
J.A. Soriano, Comm. Contemp. Math. 6 (5) (2004) 705-731, Miranda và các cộng sự trong

Miranda, M. Milla, Jutuca, L.P. San Gil, Comm. Partial Differ. Equations, 24 (9-10) (1999)
1759-1800, J. Y. Park và các cộng sự trong J.Y. Park, J.J. Bae, I.H. Jung, Nonlinear Anal.
TMA. 50 (2002) 871-884, J.Y. Park, J.J. Bae, Appl. Math. Comput. 129 (2002) 87-105, Santos
và các cộng sự trong M.L. Santos, J. Ferreira, D.C. Pereira, C.A. Raposo, Nonlinear Anal.
TMA. 54 (2003) 959-976, Takeshi Taniguchi trong Takeshi Taniguchi, J. Math. Anal. Appl.
361 (2010) 566-578, Tokio Matsuyama và Ryo Ikehata trong Tokio Matsuyama, Ryo Ikehata,
J. Math. Anal. Appl. 204 (1996) 729-753. Đặc biệt, Zhijian Yang và các cộng sự trong các
cơng trình Pengyan Ding, Zhijian Yang, Comm. on Pure and Appl. Anal. 18 (2) (2019) 825843, Z.J. Yang, J. Differ. Equations, 242 (2007) 269-286, Z.J. Yang, P.Y. Ding, J. Math. Anal.
Appl. 434 (2016) 1826-1851 đã nghiên cứu tính tắt dần của nghiệm trong các phương trình
dạng Kirchhoff trên tồn khơng gian R N .
µ

8


Cuối
lớp bài toán đặc trưng ở Chương 2, cụ thể là
8 cùng, với việc khai thác một
>
utt µ(ζu2 (1, t) + ku x (t)k20 )(u xx + 1x u x )
>
<
= λut + f (u) + F ( x, t), ρ < x < 1, 0 < t < T,
(26)
>
u
(
ρ,
t
)

=
u x (1, t) + ζu(1, t) = 0,
>
:
u( x, 0) = u˜ 0 ( x ), ut ( x, 0) = u˜ 1 ( x ),
chúng tôi đã chứng minh được tính tắt dần và bùng nổ tại thời gian hữu hạn của nghiệm. Các
ý tưởng chứng minh được thừa hưởng ở Chương 3, và kết quả này được chúng tôi công bố ở
[S5] khi xét ζ = 0. Tuy nhiên khi xét ζ > 0 và hàm µ
µ(ku x (t)k20 ) chúng tơi vẫn chưa thể
chứng minh được tính tắt dần và bùng nổ của nghiệm lúc này. Đây vẫn là vấn đề mở đối với
chúng tơi.
Tồn bộ các kết quả được trình bày trong luận án đã được cơng bố trong [S1]-[S5]. Ngồi
ra một phần kết quả đã được báo cáo tại các hội nghị: Toán học miền Trung và Tây nguyên
lần 2, Trường Đại học Đà Lạt, 09-11/12/2017; Dại hội Tốn học tồn quốc lần thứ 9, Nha
Trang 14-18/8/2018; Khoa học lần thứ 11, tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên TP. HCM
ngày 9-10/11/2018; Toán học miền Trung và Tây nguyên lần 3, Trường Đại học Tây Nguyên,
2-4/8/2019; Khoa học lần thứ 12, tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên TP. HCM ngày
18-19/12/2020.

Chương 1
Bổ túc công cụ
1.1

Các không gian hàm thông dụng
Định nghĩa các không gian hàm thông dụng được nêu trong nhiều tài liệu giải tích. Luận
án sử dụng các khơng gian hàm sau W m,p (0, T ) , L p (0, T ) = W 0,p (0, T ) , H m (0, T ) ; W m,p ( Q T ) ,
, Q T = Ω (0, T ) , và có viết lại ký hiệu cho gọn hơn trong trường hợp
L p (QT ) , H m (QT ) ,
Ω = (ρ, 1) :
W m,p = W m,p (ρ, 1), L p = L p (ρ, 1), H m = W m,2 (ρ, 1), 1 p ∞, m = 0, 1,

.
Có thể xem định nghĩa các khơng gian hàm này trong hai tài liệu Haim Brezis, Functional
Analysis, Sobolev space and Partial Differential Equations, Springer, 2011, và J.L. Lions, Quelques
méthodes de résolution des problems aux limites non-linéares, Dunod; Gauthier-Villars, Paris, 1969.
Xét riêng không gian L2 , chuẩn được ký hiệu bởi k k . Ký hiệu ( , ) để chỉ tích vơ hướng
thơng thường trong L2 .
Ngồi ra, ta cũng chú ý rằng L2 , H 1 , H 2 là các không gian Hilbert lần lượt đối với các tích
vơ hướng

hu, vi =

Z 1
ρ

xu ( x ) v ( x ) dx, hu, vi + hu x , v x i, hu, vi + hu x , v x i + hu xx , v xx i.

(1.1)

Các chuẩn trong không gian L2 , H 1 và H 2 lần lượt sinh bởi các tích vơ hướng (1.1) được ký
hiệu lần lượt là k k0 , k k1 và k k2 .
Không gian L p (0, T; X ), 1 p ∞
Cho không gian Banach X với chuẩn k k X , và X 0 là không gian đối ngẫu của nó. Ta ký
hiệu L p (0, T; X ) , 1
p ∞, để chỉ không gian Banach của các hàm u : (0, T ) ! X đo được,
sao cho kuk L p (0,T;X ) < +∞, trong đó
8
Z T
1/p
>
>

p
<
, nếu 1 p < ∞,
ku (t)k X dt
0
kuk L p (0,T;X ) =
>
>
nếu p = ∞.
: esssup ku (t)k X ,
0< t < T

Bổ đề 1.1. Nếu f 2 L p (0, T; X ) và f 0 2 L p (0, T; X ) , 1
p
∞, thì f bằng hầu khắp nơi một
hàm liên tục từ [0, T ] ! X.
Giả sử X0 , X, X1 là các không gian Banach sao cho X0 ,! X ,! X1 là các phép nhúng liên
9


tục, Xi phản xạ với i = 0, 1 và phép nhúng X0 ,! X là compact. Ta định nghĩa không gian
W (0, T ) như sau n
o
p1 (0, T; X ) ,
W (0, T ) = v 2 L p0 (0, T; X0 ) : v0 = dv
2
L
1
dt
pi ∞, i = 0, 1. Không gian W (0, T ) được trang bị bởi chuẩn

kvkW (0,T ) = kvk L p0 (0,T;X0 ) + kv0 k L p1 (0,T;X1 ) ,
khi đó W (0, T ) là khơng gian Banach và phép nhúng W (0, T ) ,! L p0 (0, T; X ) là liên tục.
Ta có kết quả sau.
Định lý 1.2. Nếu 1 < p0 , p1 < ∞, thì phép nhúng W (0, T ) ,! L p0 (0, T; X ) là compact.

với 1

Chương 2
Tính giải được và các tính chất của nghiệm cho phương trình sóng
Kirchhoff-Carrier phi tuyến trong hình vành khăn liên kết với điều
kiện biên Robin-Dirichlet
2.1

Giới thiệu
Trong chương này chúng tôi khảo sát bài tốn Robin-Dirichlet cho phương trình sóng
Kirchhoff-Carrier
phi tuyến trong hình vành khăn
8
u
µ
(
t,
u (1, t) , ku(t)k20 , ku x (t)k20 )(u xx + 1x u x )
>
tt
>
<
= f ( x, t, u, u x , ut , ku (t)k20 ), ρ < x < 1, 0 < t < T,
(2.1)
>

u
(
ρ,
t
)
=
u
(
1,
t
)
+ ζu(1, t) = 0,
x
>
:
u( x, 0) = u˜ 0 ( x ), ut ( x, 0) = u˜ 1 ( x ),
trong đó µ, f , u˜ 0 , u˜ 1 là các hàm cho trước; ρ 2 (0, 1) và ζ 0 là các hằng số.
Nội dung của chương được trình bày ở 4 mục, từ Mục 2.2 đến Mục 2.5. Nội dung Mục
2.2 giới thiệu về không gian hàm và các phép nhúng được dùng xuyên suốt chương, Mục 2.3
trình bày về sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của Bài toán (2.1), bằng phương pháp xấp
xỉ tuyến tính, kết hợp với phương pháp Faedo-Galerkin và các phương pháp compact yếu,
ta chứng minh Bài tốn (2.1) có duy nhất nghiệm yếu địa phương. Tiếp theo, ở Mục 2.4 với
µ
µ(ku (t)k20 ) và f
f ( x, t, u, ku (t)k20 ), một thuật giải lặp cấp cao được xây dựng để thu
được một dãy lặp hội tụ cấp N về nghiệm yếu của Bài toán (2.1).
Cuối cùng, trong Mục 2.5, bằng cách khai triển Taylor của các hàm cho trước µ, µ1 , f và
f 1 đến cấp N + 1, chúng tôi thiết lập một khai triển tiệm cận của nghiệm yếu u = uε đến cấp
N + 1 theo một tham số bé ε cho bài toán
1

ux )
x
2
f ( x, t, u, u x , ut , ku (t)k0 ) + ε f 1 ( x, t, u, u x , ut , ku (t)k20 ),

utt

=

µ(ku (t)k20 ) + εµ1 (ku (t)k20 ) (u xx +

ρ < x < 1, 0 < t < T, liên kết với (2.1)2,3 với µ 2 C N +1 (R+ ) , µ1 2 C N (R+ ) , µ (z) µ > 0,
µ1 (z) 0 với mọi z 2 R+ , f 2 C N +1 [ρ, 1] R+ R3 R+ , f 1 2 C N +1 [ρ, 1] R+ R3 R+ .
Phần dưới đây là một số khơng gian hàm và các cơng cụ có liên quan trong chương này.
2.2 Không gian hàm và các phép nhúng
Ta đặt V = v 2 H 1 : v (ρ) = 0 .
Rõ ràng V là khơng gian con đóng trong H 1 và trên V hai chuẩn kvk H 1 và kv x k là tương
0
đương. Mặt khác, V nhúng liên tục và trù mật trong L2 . Ta đồng nhất L2 với L2 (đối ngẫu
của L2 ), ta có V ,! L2 ,! V 0 . Ta ký hiệu h , i là cặp tích đối ngẫu của V và V 0 .
Ta có các bổ đề sau.

10


Bổ đề 2.1. Phép nhúng V ,! C0 Ω là compact và với mọi v 2 V, ta có
p
1 ρ
p kv x k ,
(i)

1 ρ kv x k , (ii)
k v kC0 (Ω)
kvk
2
1 ρ
2
p k v x k0 ,
(iv) kv x k0 + v2 (1) kvk20 ,
(iii) kvk0
p2ρ
3 k v k1 .
(v)
jv (1)j
Với hằng số ζ 0, ta định nghĩa dạng song tuyến tính
a (u, v) = ζu (1) v (1) +

Z 1
ρ

xu x ( x ) v x ( x ) dx, với mọi u, v 2 V.

(2.2)

Chú ý 2.1. Trên L2 , hai chuẩn v 7! kvk và v 7! kvk0 là tương đương. Tương tự hai chuẩn
v 7! kvk H 1 và v 7! kvk1 tương đương trên H 1 , và sáu chuẩn v 7! kvk H 1 , v 7! kvk1 , v 7! kv x k ,
q
p
v 7! kv x k0 , v 7! kv x k20 + v2 (1), và v 7! kvk a = a (v, v) tương đương trên V.

Bổ đề 2.2. Dạng song tuyến tính a ( , ) được định nghĩa như (2.2) là liên tục trên V

bức trên V, nghĩa là,
(i) j a (u, v)j C1 kuk1 kvk1 , (ii) a (v, v) C0 kvk21 ,

với mọi u, v 2 V, C0 =

1
2

minf1,

2ρ
g
(1 ρ )2

V và cưỡng

và C1 = 1 + 3ζ.

Bổ đề 2.3. Tồn tại một cơ sở Hilbert w j của không gian L2 gồm các hàm w j ứng với các giá trị λ j
sao cho
(i)
0 < λ1 λ2
λ j λ j +1
, lim λ j = +∞,
j!+∞

a w j , v = λ j w j , v với mọi v 2 V, j = 1, 2,
.
q
Hơn nữa, fw j / λ j g cũng là một cơ sở Hilbert của V đối với tích vơ hướng a ( , ) .

(ii)

Mặt khác, ta cũng có w j là nghiệm của bài tốn biên sau
(
∂
Aw j
w jxx + 1x w jx = 1x ∂x
xw jx = λ j w j , trong Ω,
(2.3)
w j (ρ) = w jx (1) + ζw j (1) = 0, w j 2 C ∞ ([ρ, 1]) .
Bổ đề 2.3 được suy ra từ Định lý 1.6 với H = L2 (Ω) , V = v 2 H 1 : v (ρ) = 0 và a( , )
được xác định ở (2.2).
Ta cũng thấy rằng, toán tử A : V ! V 0 trong (2.3) được xác định duy nhất bởi Bổ đề
Lax-Milgram, nghĩa là,
a (u, v) = h Au, vi 8u, v 2 V.
q
Bổ đề 2.4. Trên V \ H 2 , ba chuẩn v 7! kvk H 2 , v 7! kvk2 =
q
v 7! kvk2 = kv x k20 + k Avk20 là tương đương.

2.3

kvk20 + kv x k20 + kv xx k20 và

Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán
¯ = fu 2 L∞ (0, T; V \ H 2 ) : u0 2 L∞ (0, T; V ), u00 2 L∞ (0, T; L2 )g, thỏa
Ta gọi hàm u 2 W
phương trình biến phân
D
E

hu00 (t), vi + µ(t, u (1, t) , ku(t)k20 , ku x (t)k20 ) a(u(t), v) = f ( x, t, u, u x , u0 , ku (t)k20 ), v ,
với mọi v 2 V, a.e. t 2 (0, T ) và điều kiện đầu
u(0) = u˜ 0 , u0 (0) = u˜ 1 ,
trong đó a( , ) được xác định bởi (2.2).

11


Cho trước T > 0, ta thành lập các giả thiết sau:
( H1 ) u˜ 0 2 V \ H 2 , u˜ 1 2 V; u˜ 0 (1) + ζ u˜ 0x (1) = 0;
( H2 ) µ 2 C1 [0, T ] R R2+ , và tồn tại một hằng số µ > 0 sao cho
µ(t, y1 , y2 , y3 ) µ > 0, 8(t, y1 , y2 , y3 ) 2 [0, T ] R R2+ ;
¯ [0, T ] R3 R+ sao cho
( H3 ) f 2 C0 Ω
(i) f (ρ, t, 0, y2 , 0, y4 ) = 0, 8(t, y2 , y4 ) 2 [0, T ] R R+ , và
¯ [0, T ] R3 R+ , i = 1, 3, 4, 5, 6.
(ii) Di f 2 C0 Ω
Với mỗi M > 0 và T 2 (0, T ], ta đặt
W ( M, T ) = u 2 L∞n 0, T; V \ H 2 : u0 2 L∞ (0, T; V ) , u00 2 L2 (oQ T ) ,
max kuk L∞ (0,T;V \ H 2 ) , ku0 k L∞ (0,T;V ) , ku00 k L2 (QT )
L∞

0, T; L2

M g,

(2.4)

W1 ( M, T ) = fu 2 W ( M, T ) : utt 2
g.

Ta chọn số hạng đầu tiên u0
0, giả sử rằng um 1 2 W1 ( M, T ). Ta tìm um 2 W1 ( M, T )
(m 1) sao cho
hu00m (t), vi + µm (t) a(um (t), v) = h Fm (t) , vi , 8v 2 V,
(2.5)
um (0) = u˜ 0 , u0m (0) = u˜ 1 ,
với 8
< µ (t) = µ [um 1 ] (t) = µ t, um 1 (1, t) , kum 1 (t)k2 , krum 1 (t)k2 ,
0
0
m
(2.6)
: Fm (t) = f [um 1 ] ( x, t) = f x, t, um 1 (t), Oum 1 (t), u0 (t), kum 1 (t)k2 .
0
m 1

Khi đó
Định lý 2.5. Giả sử ( H1 ) ( H3 ) thỏa. Khi đó tồn tại các hằng số dương M, T sao cho, với u0 0
thì dãy lặp fum g W1 ( M, T ) cho bởi (2.5), (2.6).
Để chứng minh Định lý 2.5 ta sử dụng xấp xỉ Faedo-Galerkin với cơ sở Hilbert fw j g của
(k)

(k)

(k)

V như trong Bổ đề 2.3. Đặt um (t) = ∑kj=1 cmj (t)w j , trong đó, các hàm số cmj (t) là nghiệm
của hệ(phương
trìnhEvi phân cấp hai
D

(k)
(k)
uă m (t), w j + àm (t) a(um (t), w j ) = Fm (t) , w j , j = 1,
, k,
(2.7)
(k)
(k)
um (0) = u0k , u˙ m (0) = u1k ,
với 8
< u0k = ∑k α(k) w j ! u˜ 0 mạnh trong V \ H 2 ,
j =1 j
(2.8)
: u1k = ∑k β(k) w j ! u˜ 1 mạnh trong V.
j =1 j
(k)

Bổ đề 2.6. Hệ (2.7), (2.8) có duy nhất nghiệm cmj (t), 1

j

k trên đoạn [0, T ].

Định lý 2.7. Giả sử ( H1 ) ( H3 ) thỏa. Tồn tại các hằng số M > 0 và T > 0 được chọn như ở Định
lý 2.5 sao cho:
(i) Bài tốn (2.1) có duy nhất nghiệm yếu u 2 W1 ( M, T ).
(ii) Dãy xấp xỉ tuyến tính fum g được xác định bởi (2.5)-(2.6) hội tụ mạnh về u trong không gian
Banach W1 ( T ) = fu 2 L∞ (0, T; V ) : u0 2 L∞ (0, T; L2 )g và có đánh giá
M
k m , 8 m 2 N,
(2.9)

kum ukW1 (T )
1 kT T
với hằng số k T 2 [0, 1) độc lập với m, trong đó chuẩn trong W1 ( T ) là kvkW1 (T ) = kvk L∞ (0,T;V ) +
kv0 k L∞ (0,T;L2 ) .

12


2.4

Thuật giải lặp cấp cao
Xét bài toán (2.1) tương ứng với µ µ(ku(t)k20 ) và f
f ( x, t, u, ku (t)k20 ) như sau
8
2
2
1
< utt µ(ku(t)k0 )(u xx + x u x ) = f ( x, t, u, ku (t)k0 ), ρ < x < 1, 0 < t < T,
(2.10)
u(ρ, t) = u x (1, t) + ζu(1, t) = 0,
:
u( x, 0) = u˜ 0 ( x ), ut ( x, 0) = u˜ 1 ( x ).
Ta liên kết (2.10)1 một dãy lặp fum g được xác định bởi
∂2 u m
∂t2

µ(kum (t)k20 )

=

∂2 u m
∂x2

∑

+

1 ∂um
x ∂x

Aij f [um

1 ]( um

um

1)

i

0 i+ j N 1

kum (t)k20

kum

2 j
1 ( t )k0

,

(2.11)

j

1
ρ < x < 1, 0 < t < T, với Aij f [um 1 ] = i!j!
D3i D4 f ( x, t, um 1 , kum 1 (t)k20 ), um thỏa (2.1)2,3 và
u0 0.
Trước tiên, cho trước T > 0, ta thành lập các giả thiết sau:
( H 1 ) u˜ 0 2 V \ H 2 , u˜ 1 2 V, u˜ 0 (1) + ζ u˜ 0x (1) = 0;
( H 2 ) µ 2 C1 (R+ ) , và tồn tại hằng số µ > 0 : µ (z) µ > 0, 8z 0;
( H 3 ) f 2 C0 ([ρ, 1] [0, T ] R R+ ) : f (ρ, t, 0, z) = 0, 8t 2 [0, T ] , z 0 và
j
(i) D3i D4 f 2 C0 ([ρ, 1] [0, T ] R R+ ), 1 i + j N,
j
i
(ii) D1 D3 D4 f 2 C0 ([ρ, 1] [0, T ] R R+ ), 0 i + j N 1.
Các ký hiệu W ( M, T ) , W1 ( M, T ) , W1 ( T ) như ở Mục 2.3 cũng sử dụng lại trong đoạn này.
Ta thiết lập dãy lặp fum g với số hạng đầu tiên ta chọn u0
0, và giả sử rằng um 1 2
W1 ( M, T ), ta tìm um 2 W1 ( M, T ) (m 1) thỏa bài toán biến phân
hu00m (t), vi + µm (t) a(um (t), v) = h Fm (t) , vi , 8v 2 V,
(2.12)
um (0) = u˜ 0 , u0m (0) = u˜ 1 ,
với 8
>
µm (t) = µ kum (t)k20 ,
>
>

>
<
j
Fm ( x, t) =
Aij f [um 1 ](um um 1 )i kum (t)k20 kum 1 (t)k20 ,
(2.13)
∑
>
0 i+ j N 1
>
>
>
2
: A f [u
1
i j
i + j N 1.
m 1 ] = i!j! D3 D4 f ( x, t, um 1 , k um 1 ( t )k0 ), i, j 2 Z+ , 0
ij

Ta có các định lý về sự tồn tại và sự hội tụ dãy lặp fum g trên đây như sau.
Định lý 2.8. Giả sử ( H 1 ) ( H 3 ) thỏa. Khi đó tồn tại các hằng số dương M chỉ phụ thuộc vào u˜ 0 , u˜ 1 ,
µ, ζ, ρ và T chỉ phụ thuộc vào u˜ 0 , u˜ 1 , µ, f , ζ, ρ sao cho với u0 0, thì tồn tại dãy lặp fum g W1 ( M, T )
được xác định bởi (2.12) và (2.13).
Chứng minh Định lý 2.8 cần sử dụng các bổ đề sau.
Bổ đề 2.9. Giả sử g 2 C (R+ ; R), và hàm số Φ g được xác định như sau
(
sup j g(u)j , r > 0,
0 u r
Φ g (r ) =

r = 0,
j g(0)j ,
thì Φ g 2 C (R+ ; R+ ) và Φ g là hàm không giảm sao cho
j g( x )j Φ g (j x j), với mọi x 2 R+ .
(k)

Xét cơ sở fw j g trong V như Bổ đề 2.3. Đặt um (t) =

k

∑ j=1 cmj (t)w j , với các hàm số cmj
(k)

thỏa hệ
( phng trỡnh vi tớch phõn cp hai phi tuyn sau
(k)
(k)
(k)
(k)
huă m (t), w j i + µm (t) a(um (t), w j ) = h Fm (t) , w j i, j = 1,
(k)
u m (0)

=

(k)
u˜ 0k , u˙ m (0)

= u˜ 1k ,

13

(k)

, k,

(2.14)


trong đó
8
< u˜ 0k =
:

và

k

∑ j =1 α j w j
k
(k)
u˜ 1k = ∑ j=1 β j w j
(k)

8
(k)
>
>
>
< µm (t) = µ

(k)
>
>
>
: Fm ( x, t) =

với

Aij f [um

1]

=

! u˜ 0 mạnh trong V \ H 2 ,
! u˜ 1 mạnh trong V,

(k)

um (t)

∑

2
0

,

Aij f [um

(k)
1 ]( um

1)

um

i

(k)

um (t)

0 i+ j N 1
2
1
i j
i!j! D3 D4 f ( x, t, um 1 , k um 1 ( t )k0 ),

Bổ đề 2.10. Giả sử ( H 1 )
(k)

i, j 2 Z+ , 0

2

kum

0

i+j

N

,

(2.16)

1.

( H 3 ) thỏa. Cố định M > 0 và T > 0, thì hệ (2.14), (2.15) có duy nhất

(k)

nghiệm um (t) trên đoạn [0, Tm ] [0, T ] .
Bổ đề 2.11. Tồn tại một hằng số T > 0 độc lập với k và m sao cho
(k)

(2.15)

j

2
1 ( t )k0

(k)

Sm (t) = u˙ m (t)
M2

2
0

(k)

(k)

+ µm (t) um (t)

2
a

(k)

+ u˙ m (t)

2
a

(k)

(k)

+ µm (t) Aum (t)

2
0

+

Z t
0

(k)

uă m (s)

2
0

ds

8t 2 [0, T ] , với mọi k và m 2 N.
Định lý 2.12. Giả sử ( H1 ), ( H2 ) và ( H 3 ) thỏa. Khi đó, tồn tại hai hằng số dương M, T sao cho:
(i) Bài tốn (2.10) có duy nhất nghiệm u 2 W1 ( M, T ).
(ii) Dãy lặp fum g, được xác định bởi (2.12)-(2.13) hội tụ mạnh đến u trong W1 ( T ) thỏa một đánh
m
giá sai số kum ukW1 (T ) CT ( β T ) N , 8m 2 N, với CT và 0 < β T < 1 là các hằng số chỉ phụ thuộc
vào T.
2.5 Khai triển tiệm cận của nghiệm yếu bài toán
( H3 ) thỏa. Ta bổ sung thêm các điều kiện sau
Trong mục này, giả sử ( H1 ), H 2
( H20 ) µ1 2 C1 (R+ ) , µ1 (z) 0, 8z 2 R+ ;
¯ R+ R3 R+ sao cho
( H30 ) f 1 2 C0 Ω
(i) f 1 (ρ, t, 0, y2 , 0, y4 ) = 0, 8(t, y2 , y4 ) 2 R+ R R+ , và
¯ R+ R3 R+ , i = 1, 3, 4, 5, 6.
(ii) Di f 1 2 C0 Ω
Ta xét bài
toán

nhiễu
sau,
với
ε là một tham số bé và jεj 1 :
8
< utt + µε [u] Au = Fε [u]( x, t), ρ < x < 1, 0 < t < T,
u (ρ, t) = u x (1, t) + ζu (1, t) = 0,
( Pε )
:
u( x, 0) = u˜ 0 ( x ), ut ( x, 0) = u˜ 1 ( x ),
với 8
1 ∂
>
>
u xx + 1x u x ,
> Au = x ∂x ( xu x ) =
>
>
<
µε [u] = µε ku (t)k20 = µ ku (t)k20 + εµ1 ku (t)k20 ,
>
>
Fε [u]( x, t) = f [u]( x, t) + ε f 1 [u]( x, t),
>
>
>
: f [u]( x, t) = f x, t, u, u , u , ku (t)k2 , f [u]( x, t) = f x, t, u, u , u , ku (t)k2 .
t

x

1

0

1

t

x

0

Tiếp theo, ta khảo sát khai triển tiệm cận của nghiệm uε với một tham số bé ε. Cho đa
N , và x = ( x ,
chỉ số 8
α = ( α1 ,
, α N ) 2 Z+
, x N ) 2 R N , ta đặt
1
+ α N , α! = α1 !
α N !,
< j α j = α1 +
N, α
α, β 2 Z+
β () αi βi 8i = 1,
, N,
: α
α
α

x = x1 1
x NN .
Ta có bổ đề sau mà chứng minh có thể tìm thấy trong N.T. Long, L.X. Truong, Nonlinear
Anal. TMA. 67 (3) (2007) 842-864.

14


Bổ đề 2.13. Cho m, N 2 N và x = ( x1 ,
m
N
x εi
=
i =1 i
(m)
số Pk [ N, x ], m
8

∑

với các hệ

(m)

Pk

∑

[ N, x ] =

trong đó
(m)

mN
k=m

>
< uk ,
>
:

k

∑

(m)

α2 Ak

(m)
Pk [ N, x ]εk ,

, x N ) 2 R N , ε 2 R. Khi đó

mN, phụ thuộc vào x = ( x1 ,
, x N ), được xác định bởi công thức
1 k N, m = 1,
m! α
x , m k mN, m 2,
α!

(N)

n

N : j α j = m,
A k ( N ) = α 2 Z+

N

∑i=1 iαi = k

o

.

Tiếp theo, ta giả sử rằng
(N)
( H2 ) µ 2 C N +1 (R+ ), µ1 2 C N (R+ ), với µ(z) µ > 0, µ1 (z) 0, 8z 2 R+ ;
(N)
¯ R + R3 R + ) , f 1 2 C N ( Ω
¯ R+ R3 R+ ) sao cho
( H3 ) f 2 C N +1 (Ω
f (ρ, t, 0, y2 , 0, y4 ) = f 1 (ρ, t, 0, y2 , 0, y4 ) = 0, 8(t, y2 , y4 ) 2 R+ R R+ .
Giả sử 8
u0 là một nghiệm yếu duy nhất của bài toán ( P0 ) tương ứng với ε = 0, nghĩa là,
> u000 + µ[u0 ] Au0 = f [u0 ] F0 , ρ < x < 1, 0 < t < T,
>
<
u0 (ρ, t) = u0x (1, t) + ζu0 (1, t) = 0,

( P0 )
0
>
> u0 ( x, 0) = u˜ 0 ( x ), u0 ( x, 0) = u˜ 1 ( x ),
:
u0 2 W1 ( M, T ).
Ta xét 8
uk , 1 k N, là các nghiệm yếu của các bài tốn sau:
u00 + µ[u0 ] Auk = Fk , ρ < x < 1, 0 < t < T,
>
>
< k
uk (ρ, t) = ukx (1, t) + ζuk (1, t) = 0,
( P˜k )
> uk ( x, 0) = u0k ( x, 0) = 0,
>
:
uk 2 W1 ( M, T ),
với Fk , 1 k N, được xác định bởi công thức
8
¯ 1 [ N, f , u0 , ~u]
ˆ 1 [ N, µ, u0 , ~u] Au0 , k = 1,
f 1 [ u0 ] + Φ
µ1 [ u0 ] + Φ
>
>
>
¯
¯
>

~
~
Φ
[
N,
f
,
u
,
u
]
+
Φ
[
N
1,
f
,
u
,
u
>
0
1 0 ]
k 1
< k
ˆ
~
µ
[

u
]
+
Φ
[
N,
µ,
u
,
u
]
Au
0
1
k 1
1 0
Fk =
>
ˆ j+1 [ N, µ, u0 , ~u] + Φ
ˆ j [ N 1, µ , u0 , ~u] Aui 1 , 2 k N,
Φ
>
∑
1
>
>
>
i + j=k,
:
1 i N +1,1 j N 1

¯ [ N, f , u0 , ~u], Φ
ˆ k [ N, µ, u0 , ~u], 1 k N, được xác định bởi các công thức dưới đây
với Φ
8 k¯
1
~
Φ
[
N,
f
,
u
,
u
]
= ∑ γ!
D γ f [u0 ]Ψk [γ, N, u0 , ~u, ], 1 k N,
0
>
> k
>
1
γ
k
>
j
j
>
>

!
(γ )
(γ )
(γ )
(γ )
>
< Ψk [γ, N, u0 , ~u, ] =
Pk 1 [ N, ~u] Pk 2 [ N, ~u0 ] Pk 3 [ N, r~u] Pk 4 [2N, β ],
∑
˜

2

1

3

(k1 , ,k4 )2 A(γ,N ),
>
>
k1 + +k4 =k
>
>
>
˜
>
, k4 ) 2 Z4+ : γi k i
Nγi , γ4 k4 2Nγ4 , 8i = 1, 2, 3g,
>
: A(γ, N ) = f(k1 ,

γ = ( γ1 ,
, γ4 ) 2 Z4+ , 1 jγj N,
và
8
(m)
1 (m)
ˆ k [ N, µ, u0 , ~u] = ∑k
>
µ [u0 ] Pk [2N, ~σ ], 1 k N,
Φ
>
m=1 m!
>
>
>
~σ = (σ1 ,
, σ2N ),
>
>
8
>
<
2hu0 (t) , u1 (t)i,
k = 1,
>
>
>
< 2hu0 (t) , uk (t)i + ∑ hu j (t) , uk j (t)i, 2 k N,
>
>

>
σk =
j k
>
>
>
>
>
>
N + 1 k 2N.
> ∑ hu j (t) , uk j (t)i,
>
:
:
j k

15

(2.17)

(2.18)

(2.19)


Khi đó, ta có định lý sau.
(N)
(N)
Định lý 2.14. Giả sử ( H1 ), ( H2 ) và ( H3 ) thỏa. Khi đó tồn tại các hằng số M > 0 và T > 0
sao cho, với mọi ε 2 [ 1, 1], bài tốn ( Pε ) có duy nhất một nghiệm yếu uε 2 W1 ( M, T ) thỏa đánh giá

tiệm cận đến cấp N + 1 như sau
uε

N

∑ k =0 u k ε k

W1 ( T )

CT j ε j N +1 ,

với các hàm uk , 0 k N lần lượt là các nghiệm yếu của các bài toán ( P0 ), ( P˜k ), 1 k N, và CT
là một hằng số chỉ phụ thuộc vào N, T, ρ, ζ, f , f 1 , µ, µ1 , uk , 0 k N.
Trong chứng minh Định lý 2.10, các bổ đề sau được sử dụng.
¯ k [ N, f , u0 , ~u], 1 k N, được xác định như (2.18). Đặt h = ∑ N uk εk , ta có
Bổ đề 2.15. Với Φ
k =0
N
¯ k [ N, f , u0 , ~u]εk + jεj N +1 R¯ N [ f , u0 , ~u, ε],
f [ h ] = f [ u 0 ] + ∑ k =1 Φ
với k R¯ N [ f , u0 , ~u, ε]k ∞
C, và C là một hằng số chỉ phụ thuộc vào N, T, f , uk , 0 k N.
2
L (0,T;L )

ˆ k [ N, µ, u0 , ~u], 1
Bổ đề 2.16. Với Φ

có

k

N, được xác định như (2.19). Khi đó h =

N

∑k=0 uk εk , ta

N

ˆ k [ N, µ, u0 , ~u]εk + jεj N +1 Rˆ N [µ, u0 , ~u, ε],
µ [ h ] = µ [ u 0 ] + ∑ k =1 Φ
với Rˆ N [µ, u0 , ~u, ε] L∞ (0,T;L2 ) C, và C là một hằng số chỉ phụ thuộc vào N, T, µ, uk , 0

Đặt u = uε 2 W1 ( M, T ) là nghiệm yếu
N
∑k=0 u8k εk uε h thỏa bài tốn
> v00 + µε [v + h] Av = Fε [v + h] Fε [h]
>
<
+ Eε ( x, t),
v
(
ρ,
t
)
=
v
(
1,

t
)
+
ζv
(
1,
t
)
=
0,
>
x
>
:
v( x, 0) = v0 ( x, 0) = 0,
với
Eε ( x, t) = f [h] f [u0 ] + ε f 1 [h] (µ[h]
(N)

k

N.

duy nhất của bài tốn ( Pε ). Đặt v = uε

(µε [v + h] µε [h]) Ah
ρ < x < 1, 0 < t < T,

µ[u0 ] + εµ1 [h]) Ah

(N)

N

∑k=1 Fk εk .

Bổ đề 2.17. Giả sử ( H1 ), ( H2 ) và ( H3 ) thỏa. Khi đó tồn tại một hằng số C sao cho
k Eε k L∞ (0,T;L2 ) C jεj N +1 ,
với C là một hằng số chỉ phụ thuộc vào N, T, f , f 1 , µ, µ1 , uk , 0 k N.
Bổ đề 2.18. Cho dãy fζ m g thỏa
ζ m σζ m 1 + δ với mọi m 1, ζ 0 = 0,
với 0 σ < 1, δ 0 là các hằng số cho trước. Khi đó
ζ m δ/(1 σ ) với mọi m 1.
2.6 Kết luận Chương 2
Trong chương này, luận án chứng minh được sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của phương
trình sóng Kirchhof-Carrier phi tuyến trong hình vành khăn liên kết với điều kiện biên RobinDirichlet bằng cách thiết lập thuật giải xấp xỉ tuyến tính. Nghiệm yếu của Bài tốn có được
do sự hội tụ của dãy xấp xỉ tuyến tính trong một khơng gian hàm thích hợp (Định lý 2.7).
Kết quả này tổng quát hóa của [S1] mà [S1] như là một trường hợp riêng.
Ngoài ra, nhằm tăng tốc độ hội tụ của dãy lặp về nghiệm yếu của Bài toán, một thuật giải
lặp cấp cao cũng được thiết lập với µ µ(ku (t)k20 ), f
f ( x, t, u, ku (t)k20 ) (Định lý 2.12). Kết
quả này được công bố trong [S3]. Hơn nữa, đây là một kết quả tốt hơn so với [S2] trước đó,
khi chỉ cần giả thiết của hàm µ khả vi liên tục trên R+ , khơng nhất thiết µ (z) và µ0 (z) phải
bị chặn như (21).

16


Bên cạnh
8 đó, Luận án cũng thiết lập khai triển tiệm cận của nghiệm yếu Bài toán nhiễu

< utt + µε [u] Au = Fε [u]( x, t), ρ < x < 1, 0 < t < T,
u (ρ, t) = u x (1, t) + ζu (1, t) = 0,
( Pε )
:
u( x, 0) = u˜ 0 ( x ), ut ( x, 0) = u˜ 1 ( x ),
với 8
>
> Au = 1 ∂ ( xu x ) =
u xx + 1x u x ,
>
x ∂x
>
<
µε [u] = µε (ku (t)k20 ) = µ(ku (t)k20 ) + εµ1 (ku (t)k20 ),
>
>
Fε [u]( x, t) = f [u]( x, t) + ε f 1 [u]( x, t),
>
>
:
f [u]( x, t) = f ( x, t, u, ut , u x , ku (t)k20 ), f 1 [u]( x, t) = f 1 ( x, t, u, ut , u x , ku (t)k20 ).
Kết quả này được phát biểu trong Định lý 2.14 và tổng quát hơn trong [S1].

Chương 3
Tính giải được và các tính chất của nghiệm cho phương trình sóng
Kirchhoff-Carrier phi tuyến trong hình vành khăn liên kết với điều
kiện biên Dirichlet không thuần nhất
3.1

Giới thiệu

Trong chương này, chúng tơi khảo sát bài tốn Dirichlet khơng thuần nhất cho phương
trình sóng
trong hình vành khăn
8 phi tuyến Kirchhoff-Carrier
2
2
1
u
µ
(
t,
u
(
t
)k
,
u
(
t
)k
)(
u
k
k
>
tt
x
xx + x u x )
0
0

>
<
= f ( x, t, u, u x , ut , ku (t)k20 , ku x (t)k20 ), ρ < x < 1, 0 < t < T,
(3.1)
>
> u(ρ, t) = g0 (t) , u (1, t) = g1 (t) ,
:
u( x, 0) = u˜ 0 ( x ), ut ( x, 0) = u˜ 1 ( x ),
trong đó ρ 2 (0, 1) là hằng số, µ, f , g0 , g1 , u˜ 0 , u˜ 1 là các hàm số cho trước thỏa một số
điều kiện thích hợp. Chương này gồm có ba nội dung chính, đầu tiên ta sử dụng phương
pháp tuyến tính hóa, phương pháp Faedo-Galerkin cùng một số phép nhúng compact để
chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu địa phương của bài tốn (3.1). Hơn nữa, nếu
µ µ(ku x (t)k20 ), f
λut + f (u) và g0 (t) = g1 (t) 0 với λ > 0 là một hằng số cùng một
số điều kiện thích hợp, nghiệm yếu của bài toán (3.1) bùng nổ tại thời gian hữu hạn. Cuối
cùng, nếu µ
µ(ku x (t)k20 ), f
λut + f (u) + F ( x, t) và g0 (t) = g1 (t)
0 với λ > 0 và
nếu

Z ku˜ 0x k2
0
0

µ (z) dz

p

Z 1

ρ

xdx

Z u˜ 0x
0

f (z) dz > 0, năng lượng ban đầu và k F (t)k0 đủ nhỏ thì mọi

nghiệm yếu tồn cục sẽ tắt dần mũ khi t ! ∞. Phương pháp sử dụng ở đây là thiết lập phiếm
hàm Lyapunov phù hợp cùng với một số đánh giá.
3.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm
Trước tiên, ta có các bổ đề sau:
Bổ đề 3.1. Phép nhúng H01 ,! C0 Ω là compact và với mọi v 2 H01 , ta có
p
1 ρ
1 ρ
p kv x k ,
p
(i) kvkC0 (Ω)
1 ρ kv x k , (ii) kvk
(iii) kvk0
k v x k0 .
2
2ρ
Ta định nghĩa dạng song tuyến tính
R1
a¯ (u, v) = ρ xu x ( x ) v x ( x ) dx, 8u, v 2 H01 .
(3.2)
Bổ đề 3.2. Dạng song tuyến tính a¯ ( , ) được xác định ở (3.2) là liên tục trên H01 H01 và cưỡng

bức trên H01 , nghĩa là,
(i) j a¯ (u, v)j ku x k0 kv x k0 , 8u, v 2 H01 , (ii) a¯ (v, v) kv x k20 , 8v 2 H01 .
Bổ đề 3.3. Tồn tại một cơ sở Hilbert w j của L2 gồm các hàm w j ứng với các giá trị λ j sao cho

17


(i)

0 < λ1

λ2

λj

λ j +1

, lim λ j = +∞,
j!+∞

a¯ w j , v = λ j w j , v với mọi v 2 H01 , j = 1, 2,
.
q
1
Hơn nữa, fw j / λ j g cũng là một cơ sở Hilbert của H0 đối với tích vơ hướng a¯ ( , ) .
(ii)

Mặt khác, ta cũng có w j là nghiệm của bài toán biên sau
(
∂

¯ j
w jxx + 1x w jx = 1x ∂x
Aw
xw jx = λ j w j , trong (ρ, 1) ,
(3.3)
∞
w j (ρ) = w j (1) = 0, w j 2 C ([ρ, 1]) .
Bổ đề 3.3 được suy ra từ Định lý 1.6 với H = L2 (Ω) , V = H01 và a( , ) = a¯ ( , ) được xác
định ở (3.2).
0
Ta cũng thấy rằng, toán tử A¯ : H01 ! H01 = H 1 trong (3.3) được xác định duy nhất
bởi Bổ đề Lax-Milgram, nghĩa là,
¯ vi 8u, v 2 H 1 .
a¯ (u, v) = h Au,
0
q
1
2
Bổ đề 3.4. Trên H0 \ H , hai chuẩn v 7! kvk H1 \ H 2 = kv x k20 + kv xx k20 và v 7! kvk2 =
0
q
¯ 2 là tương đương, hơn nữa
kv x k20 + Av
0
C1ρ kvk H1 \ H 2
0

với C1ρ =

p

(1

k v k2

ρ)ρ3 , C2ρ =

s

C2ρ kvk H 1 \ H 2 8v 2 H01 \ H 2 ,
0

2
1+ 2.
ρ

Cho trước T > 0, ta đặt các điều kiện sau:
( H1 ) g0 , g1 2 C3 ([0, T ]) ;
( H2 ) u˜ 0 2 H 2 , u˜ 1 2 H 1 , u˜ 0 (ρ) g0 (0) = u˜ 0 (1) g1 (0) = 0;
( H3 ) µ 2 C1 [0, T ] R2+ , µ (t, y, z) µ > 0, 8 (t, y, z) 2 [0, T ] R2+ ;
( H4 ) f 2 C1 [ρ, 1] [0, T ] R3 R2+ , thỏa các điều kiện
f (ρ, t, y1 , y2 , y3 , y, z) = f (1, t, y1 , y2 , y3 , y, z) = 0,
8 (t, y1 , y2 , y3 , y, z) 2 [0, T ] R3 R2+ .
Đặt v ( x, t) = u ( x, t) ϕ ( x, t) , trong đó ϕ ( x, t) = 1 1 ρ f[ g1 (t) g0 (t)] x + g0 (t)

Bài8tốn (3.1) đưa về bài tốn có điều kiện biên thuần nhất
¯ = f˜[v]( x, t), ρ < x < 1, 0 < t < T,
< vtt + µ[v](t) Av
v (ρ, t) = v (1, t) = 0,
:

v ( x, 0) = v˜0 ( x ) , vt ( x, 0) = v˜1 ( x ) ,
trong đó
8
>
µ[v](t) = µ t, kv + ϕk20 , kv x + ϕ x k20 ,
>
>
>
>
2
2
>
˜
>
>
< f [v]( x, t) = f x, t, v + ϕ, v x + ϕ x , vt + ϕt , kv + ϕk0 , kv x + ϕ x k0
1
ϕtt + ϕ˜ (t) µ[v](t),
>
>
x
>
>
g (t) g (t)
>
>
ϕ˜ (t) = ϕ x ( x, t) = 1 1 ρ0 , v˜0 ( x ) = u˜ 0 ( x ) ϕ ( x, 0) ,
>
>
:

v˜1 ( x ) = u˜ 1 ( x ) ϕt ( x, 0) , (v˜0 , v˜1 ) 2 ( H01 \ H 2 ) H01 .
Bây giờ, với mỗi M > 0 và T 2 (0, T ] , ta xét tập
W ( M, T ) = v 2 L∞ 0, T; H01 \ H 2 : v0 2 L∞ 0, T; H01 , v00 2 L2 ( Q T ) ,
M
, kv0 k L∞ (0,T;H 1 )
M, kv00 k L2 (QT )
kvk L∞ (0,T;H1 \ H2 )
p
0
0
µ C1ρ
¯ ( M, T ) : utt 2 L∞ 0, T; L2 ,
W 1 ( M, T ) = u 2 W

ρg1 (t)g .

(3.4)

(3.5)

M

và ta thiết lập dãy qui nạp tuyến tính fvm g như sau.
Ta chọn số hạng đầu tiên v0 v˜0 , giả sử vm 1 2 W 1 ( M, T ). Ta tìm vm 2 W 1 ( M, T ) (m
18

o

,

1)


sao cho

với

hv00m (t), wi + µm (t) a¯ (vm (t), w) = h Fm (t) , wi , 8w 2 H01 ,
vm (0) = v˜0 , v0m (0) = v˜1 ,

(3.6)

(

µm (t) = µ[vm 1 ](t) = µ t, kvm 1 (t) + ϕ (t)k20 , krvm 1 + ϕ x k20 ,
(3.7)
Fm (t) = f˜[vm 1 ]( x, t).
Sự tồn tại và sự hội tụ của dãy fvm g ở trên được cho ở hai định lý sau.
Định lý 3.5. Giả sử ( H1 ) ( H4 ) thỏa. Khi đó tồn tại các hằng số M, T sao cho bài tốn (3.6),
(3.7) có nghiệm vm 2 W 1 ( M, T ).
Để chứng minh Định lý 3.5 ta sử dụng xấp xỉ Faedo-Galerkin với cơ sở Hilbert fw j g của
(k)

H01 như trong Bổ đề 3.4. Đặt vm (t) =

k

∑ j=1 cmj (t)w j , với các hệ s cmj
(k)

(k)

tha h phng trỡnh

vi phõn
tớnh E
D
( tuyn
(k)
(k)
vă m (t), w j + µm (t) a¯ (vm (t), w j ) = Fm (t) , w j ,
(k)

(k)

vm (0) = v˜0k , v˙ m (0) = v˜1k , j = 1,

với

8
< v0k =
:

k

(3.8)

, k,

∑ j=1 α j w j ! v˜0 mạnh trong H01 \ H2 ,

k
(k)
v1k = ∑ j=1 β j w j ! v˜1 mạnh trong H01 .
(k)

(3.9)

Ta đặt
(k)

(k)

Sm (t) = v˙ m (t)

2
0

(k)

+ v˙ mx (t)

2
0

(k)

+ µm (t)

vmx (t)

2
0

(mk) (t)
+ Av

2
0

+

Z t
0

(k)

vă m (s)

2
0

ds,
(3.10)

v
1m (t) = g100 (t) ϕ˜ (t) µm (t), σρm (t) =
Khi đó, từ (3.8), (3.10), và (3.11) ta có
Z t

ρg000 (t) + ϕ˜ (t) µm (t).

2

2

(k)
(k)
(k)
¯ (mk) (s)
ds
Sm (t) = Sm (0) + µ0m (s) vmx (s) + Av
0
0
0
Z tD
Z tD
E
E
(k)
(k)
+2
Fm (s) , v˙ m (s) ds + 2
Fmx (s) , v˙ mx (s) ds

+2

Z0 t

0
(k)

(k)

σ1m (s)v˙ mx (1, s)ds + 2
6

S m (0 ) + ∑ j =1 I j .

Z t0
0

(k)

σρm (s)v˙ mx (ρ, s)ds +

Bổ đề 3.6. Ta có các đánh giá sau
(i) jµ0m (t)j µ¯ M , a.e. t 2 (0, T ),
(ii) j Fm ( x, t)j F¯1 ( M ), a.e. ( x, t) 2 Q T = (ρ, 1)
(iii) k Fmx (t)k0 F¯2 ( M ), a.e. t 2 (0, T ),
0 (t)
(iv) σ1m
σ¯ 1M , a.e. t 2 (0, T ),

(3.11)

Z t
0

(k)

vă m (s)

2
0

(3.12)
ds

(0, T ),

σ¯ ρM , a.e. t 2 (0, T ),
σ0ρm (t)
¯
trong đó, µ¯ M , F1 ( M ), F¯2 ( M ), σ¯ 1M , σ¯ ρM , là các hằng số phụ thuộc vào M.
Định lý 3.7. Giả sử ( H1 ) ( H4 ) thỏa. Khi đó tồn tại các hằng số dương M, T sao cho:
(i) Bài tốn (3.4) - (3.5) có duy nhất nghiệm v 2 W 1 ( M, T ).
(ii) Hơn nữa, dãy quy nạp tuyến tính fvm g được xác định bởi (3.6), (3.7) hội tụ mạnh trong không
gian Banach W 1 ( T ) = fv 2 L∞ (0, T; H01 ) : v0 2 L∞ (0, T; L2 )g về v và có đánh giá sai số
2M m
k , 8 m 2 N,
k v m v kW 1 ( T )
1 kT T
(v)

19


với hằng số k T 2 [0, 1) độc lập với m.
Trong Định lý 3.7, chuẩn của W 1 ( T ) là kvkW (T ) = kvk L∞ (0,T;H1 ) + kv0 k L∞ (0,T;L2 ) .
1

0

3.3

Tính bùng nổ của nghiệm sau thời gian hữu hạn
Trong phần này, ta xét bài toán (3.1) tương ứng với f = λut + f (u), µ = µ(ku x (t)k20 ),
g0 ( t ) =
8 g1 (t) 0, như sau
< utt µ(ku x (t)k20 )(u xx + 1x u x ) + λut = f (u), ρ < x < 1, 0 < t < T,
(3.13)
u(ρ, t) = u(1, t) = 0,
:
u( x, 0) = u˜ 0 ( x ), ut ( x, 0) = u˜ 1 ( x ),
với λ > 0, 0 < ρ < 1 là các hằng số và u˜ 0 , u˜ 1 , µ, f là các hàm cho trước thỏa các điều kiện sau
b2 ) µ 2 C1 (R) và tồn tại hằng số µ > 0 sao cho µ(y) µ > 0, 8y 2 R;
(H
b3 ) f 2 C1 (R), f (0) = 0.
(H
Khi đó ta thu được định lý sau.
b2 ) và ( H
b3 ) thỏa. Khi đó bài tốn (3.13) có duy
Định lý 3.8. Giả sử (u˜ 0 , u˜ 1 ) 2 ( H01 \ H 2 ) H01 , ( H
nhất nghiệm địa phương
u 2 C ([0, T ]; H01 ) \ C1 ([0, T ]; L2 ) \ L∞ (0, T; H01 \ H 2 ),
u0 2 L∞ (0, T; H01 ), u00 2 L∞ (0, T; L2 ),
với T > 0 đủ nhỏ.
Tiếp theo, để khảo sát tính bùng nổ nghiệm, ta cần thêm vào các giả thiết sau.
( H2 ) µ 2 C1 (R+ ) , và tồn tại các hằng số µ > 0, µ¯ 1 > 0 sao cho
(i) µ(y) µ >Z 0, 8y 0,
y

(ii) yµ(y)

( H3 )

f 2

C1 (R),

(ii)

Z y

(i) y f (y)
0

µ¯ 1

0

µ(z)dz, 8y

0;

f (0Z) = 0 và tồn tại các hằng số p > 2, d1 > 2, d¯1 > 0 sao cho
y

d1

0

f (z)dz

f (z)dz, 8y 2 R,

d¯1 jyj p , 8y 2 R;

( H4 ) d1 > 2µ¯ 1 , với d1 , µ¯ 1 như ở ( H2 )(ii ), ( H3 )(i ).
Trong luận án có đưa ra các ví dụ về các hàm số f và µ thỏa ( H3 ) và ( H4 ).
Định lý 3.9. Giả sử ( H2 ) ( H4 ) thỏa. Cho (u˜ 0 , u˜ 1 ) 2 ( H01 \ H 2 ) H01 sao cho H (0) =
1
2

ku˜ 1 k20

1
2

Z ku˜ 0x k2
0
0

µ(z)dz +

Z 1
ρ

xdx

Z u˜ 0 ( x)

0

f (z)dz > 0, khi đó nghiệm yếu u = u( x, t) của bài

toán (3.13) bùng nổ ở thời gian hữu hạn.
Để chứng minh Định lý 3.9 ta cần các bổ đề sau.
Bổ đề 3.10. Giả sử s = 2/(1 2η ) p, ta thu được
2
p
2/(1 η )
kv x k20 + kvk L p , với mọi v 2 H01 .
kvksL p + kvk0
ρ
3.4 Tính tắt dần của nghiệm
Trong phần này ta khảo sát tính tắt dần của nghiệm bài tốn (3.1) ứng với hàm
f := λut + f (u) + F ( x, t), µ := µ(ku x (t)k20 ) và g0 (t) = g1 (t) 0, như sau
8
< utt µ(ku x (t)k20 )(u xx + 1x u x ) + λut = f (u) + F ( x, t), ρ < x < 1, t > 0,
(3.14)
u(ρ, t) = u(1, t) = 0,
:
u( x, 0) = u˜ 0 ( x ), ut ( x, 0) = u˜ 1 ( x ),
với µ, f , F, u˜ 0 , u˜ 1 là các hàm cho trước và λ > 0, 0 < ρ < 1 là các hằng số.
Ta thành lập các giả thiết sau
( H 2 ) µ 2 C1 (R+ ) và tồn tại các hằng số µ > 0, µ¯ 1 > 0 : µ(y) µ > 0, 8y 0,

20


( H 3 ) f 2 C1 (R) , f (Z0) = 0 và tồn tại các hằng số α, β > 2; d2 , d¯2 > 0, sao cho

y
(i) y f (y) d2
f (z)dz, với mọi y 2 R,
(ii)

Z y

0
L∞

0

d¯2 jyjα + jyj β , với mọi y 2 R;

f (z)dz

R+ ; L2 \ L1 R+ ; L2 , F 0 2 L2 R+ ; L2 và tồn tại hai hằng số
( H4 ) F 2
C¯ 0 > 0, γ¯ 0 > 0 sao cho k F (t)k0 C¯ 0 e γ¯ 0 t , 8t 0.
Trong luận án có đưa ra các ví dụ về hàm f thỏa ( H 3 ).
Trước tiên, ta xây dựng phiếm hàm Lyapunov sau
L(t) = E(t) + δΨ(t),
với δ > 0 sẽ chọn sau và
!
2
Z
E(t) =

với

1
2

2

1
2

ku0 (t)k0 +

1
p

( g u0 ) (t) +

ku x (t)k0

0

µ(z)dz

+ 1p I (t),

Ψ(t) = hu0 (t), u(t)i + λ2 ku(t)k20 ,

( g u0 ) (t) =

Z t
0

I (t) = I (u(t)) =

(3.16)
2

s) ku0 (s)k0 ds, g (t) = 2λe

g (t

Z ku x (t)k2
0
0

(3.15)

µ(z)dz

p

Z 1

xdx

ρ

Z u( x,t)
0

2kt , 0

< λ < λ, k > 0,

f (z)dz + ( g u0 ) (t) .

Khi đó ta có định lý sau.
Định lý 3.11. Giả sử ( H 2 ) ( H 4 ) thỏa. Cho (u˜ 0 , u˜ 1 ) 2 ( H01 \ H 2 ) H01 sao cho I (0) > 0 và
năng lượng ban đầu E(0) thỏa 2
3
s
s
α
β
1
ρ
1
ρ
β 25
Rα 2 +
R
> 0,
(3.17)
η =µ
pd¯2 (1 ρ) 4
ρ
ρ

với R =

Đặt µmax

1/2

1
, E = ( E(0) + ρ ) exp (ρ ) , ρ = k F k L1 (R+ ;L2 ) .
2
pµ
= max µ (z) < d + η , với µ , d2 như trong ( H¯ 2 ), ( H 3 )(i ).

2pE
( p 2) µ

2

0 z R2

¯ γ¯
Khi đó mọi nghiệm yếu tồn cục của Bài toán (3.14) đều tắt dần mũ, i.e., là tồn tại các hằng số C,
sao cho
2
(3.18)
¯ ), 8t 0.
ku0 (t)k0 + ku x (t)k20 C¯ exp( γt
Trong chứng minh Định lý 3.9, các bổ đề sau được sử dụng.
Bổ đề 3.12. Phiếm hàm năng lượng E(t) được xác định ở (3.15) thỏa
2
1
1
0
(i)
E0 (t)

2 k F ( t )k0 + 2 k F ( t )k0 k u ( t )k0 ,
(3.19)
2
(ii) E0 (t)
λ λ ε21 ku0 (t)k0 + 2ε1 k F (t)k20 k ( g u0 ) (t) , 8ε1 > 0.
1
Bổ đề 3.13. Giả sử ( H 2 ) ( H 4 ) thỏa. Cho (u˜ 0 , u˜ 1 ) 2 ( H01 \ H 2 ) H01 sao cho I (0) > 0 và
(3.17) thỏa. Khi đó I (t) > 0, 8t 0.
Bổ đề 3.14. Giả sử các điều kiện của Bổ đề 3.13 thỏa. Đặt
2

E1 (t) = ku0 (t)k0 +

Z ku x (t)k2
0
0

µ(z)dz + I (t).

Khi đó tồn tại các hằng số dương β¯ 1 , β¯ 2 sao cho
β¯ 1 E1 (t) L(t) β¯ 2 E1 (t), 8t 0,
với δ đủ nhỏ.

21

(3.20)
(3.21)


Bổ đề 3.15. Giả sử các điều kiện của Bổ đề 3.11 thỏa. Phiếm hàm Ψ(t) được xác định ở (3.16) thỏa

δ1 d2
d2
2
Ψ0 (t) ku0 (t)k0
I (t) + 2ε12 k F (t)k20 +
( g u0 ) (t)
p
p
(3.22)
Z ku x (t)k2
0
1
d2 pµ
(1 ρ )2
δ1 d2 η
µ(z)dz,
+η
µmax
ε2
µmax p
d2
p
4ρ
0
với mọi ε2 > 0, δ1 2 (0, 1).
3.5 Kết luận Chương 3
Trong chương này, bằng phép đổi ẩn hàm và tuyến tính hóa các số hạng phi tuyến, chúng
tôi chứng minh được sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu địa phương của Bài toán (3.1) (Định
lý 3.7). Hơn nữa, trong một lớp các trường hợp đặc biệt của bài tốn (3.1), tính bùng nổ tại
thời gian hữu hạn của nghiệm được chứng minh (Định lý 3.9), và tính tắt dần của nghiệm khi

t ! ∞ cũng được chứng minh bằng cách sử dụng một phiếm hàm Lyapunov thích hợp (Định
lý 3.11). Ngồi ra, nếu số hạng nguồn có dạng tổng qt hơn thì chúng tơi vẫn chưa khảo sát
được các tính chất nghiệm như trên.

Chương 4
Một chú ý về tính tắt dần và bùng nổ của nghiệm của phương trình
sóng phi tuyến Kirchhoff trong hình vành khăn liên kết với điều kiện
biên Robin-Dirichlet
4.1

Giới thiệu
Kế thừa những ý tưởng trong việc khảo sát tính tắt dần và bùng nổ của nghiệm ở Chương
3. Trong chương này, ta quan tâm đến tính tắt dần và bùng nổ của nghiệm trong một trường
hợp riêng so với lớp Bài toán (2.1). Cụ thể là một lớp bài toán Robin-Dirichlet cho phương
trình sóng
8 phi tuyến Kirchhoff trong2 hình vành khăn có dạng
1
2
>
> utt µ(ζu (1, t) + ku x (t)k0 )(u xx + x u x )
<
= λut + f (u) + F ( x, t), ρ < x < 1, 0 < t < T,
(4.1)
>
u(ρ, t) = u x (1, t) + ζu(1, t) = 0,
>
:
u( x, 0) = u˜ 0 ( x ), ut ( x, 0) = u˜ 1 ( x ),
trong đó các hằng số ρ 2 (0, 1), ζ 0, λ > 0 và các hàm µ, f , F, u˜ 0 và u˜ 1 là cho trước.
4.2 Tính bùng nổ của nghiệm sau thời gian hữu hạn

8 Trong phần này, Bài toán (4.1) được khảo sát với F ( x, t) 0 như sau
> utt µ ku x (t)k2 + ζu2 (1, t) (u xx + 1 u x ) + λut = f (u), ρ < x < 1, 0 < t < T,
<
0
x
(4.2)
u(ρ, t) = u x (1, t) + ζu(1, t) = 0,
>
:
u( x, 0) = u˜ 0 ( x ), ut ( x, 0) = u˜ 1 ( x ),
với λ > 0, ζ 0, 0 < ρ < 1 là các hằng số cho trước và u˜ 0 , u˜ 1 , µ, f là các hàm cho trước thỏa
các điều kiện dưới đây
b1 ) u˜ 0 2 V \ H 2 , u˜ 0 (1) + ζ u˜ 0x (1) = 0, u˜ 1 2 V;
(H
b2 ) µ 2 C1 (R) và tồn tại hằng số µ > 0 sao cho µ(y) µ > 0, 8y 2 R;
(H
b3 ) f 2 C1 (R), f (0) = 0.
(H
Khi đó ta có định lý về sự tồn tại nghiệm yếu như sau.
b1 ) ( H
b3 ) thỏa. Khi đó Bài tốn (4.2) có nghiệm yếu địa phương
Định lý 4.1. Giả sử ( H
1
u 2 C ([0, T ]; V ) \ C ([0, T ]; L2 ) \ L∞ (0, T ; V \ H 2 ),
(4.3)
u0 2 L∞ (0, T ; V ), u00 2 L∞ (0, T ; L2 ),
với T > 0 đủ nhỏ.
Trước tiên, để thu được kết quả bùng nổ, ta thành lập các điều kiện sau.

22

( H2 )

µ 2 C1 (R+ ) , và tồn tại các hằng số µ > 0, µ¯ 1 > 0 sao cho
(i) µ(y) µ >
0,
Z 0, 8y
y

(ii) yµ(y)

( H3 )

f 2

(i)

(ii)

µ¯ 1

0

0;

y

y f (y)
Z y

µ(z)dz, 8y

0

f (0)Z= 0 và tồn tại các hằng số p > 2, d1 > 2, d¯1 > 0 sao cho

C1 (R),

d1

f (z)dz, 8y 2 R,

0

d¯1 jyj p , 8y 2 R;

f (z)dz

( H4 ) d1 > 2µ¯ 1 , với d1 , µ¯ 1 trong ( H2 )(ii ), ( H3 )(i ).
Trong luận án có đưa ra các ví dụ về các hàm số f và µ thỏa ( H2 ), ( H3 ), ( H4 ).
Định lý 4.2. Giả sử ( H2 ) ( H4 ) thỏa. Khi đó, với mọi (u˜ 0 , u˜ 1 ) 2 (V \ H 2 ) V sao cho H (0) =
1
2

ku˜ 1 k20

1
2

Z ku˜ 0 k2
a
0

µ(z)dz +

Z 1

xdx

ρ

Z u˜ 0 ( x)
0

f (z)dz > 0. Khi đó, nghiệm yếu u = u( x, t) của Bài

toán (4.2) bùng nổ ở thời gian hữu hạn.
Chứng minh Định lý 4.2 bổ đề sau đây rất cần thiết.
Bổ đề 4.3. Giả sử s = 2/(1 2η ) p, ta thu được
2
2/(1 η )
p
kvksL p + kvk0
kvk2a + kvk L p , 8v 2 V.
(4.4)
ρ
4.3 Tính tắt dần của nghiệm
Để thu được các kết quả về tắt dần mũ của nghiệm, các giả thiết sau được thành lập,
( H 1 ) u˜ 0 2 V \ H 2 , u˜ 0 (1) + ζ u˜ 0x (1) = 0, u˜ 1 2 V;

( H 2 ) µ 2 C1 (R+ ) và tồn tại hằng số µ > 0 sao cho µ(z) µ > 0, 8z 2 R+ ;
( H 3 ) f 2 C1 (R) , Zf (0) = 0 và tồn tại các hằng số α, β > 2; d2 , d¯2 > 0, sao cho
y

(i) y f (y)

(ii)

Z y
0

d2

f (z)dz, với mọi y 2 R,

0

d¯2 jyjα + jyj β , với mọi y 2 R;

f (z)dz

( H 4 ) F 2 L∞ R+ ; L2 \ L1 R+ ; L2 , F 0 2 L2 R+ ; L2 và tồn tại hai hằng số
C¯ 0 > 0, γ¯ 0 > 0 sao cho k F (t)k0 C¯ 0 e γ¯ 0 t , với mọi t 0.
Trong luận án có đưa ra các ví dụ về hàm f thỏa ( H 3 ).
Ta sẽ chứng minh rằng, nếu

Z ku˜ 0 k2
a
0

µ(z)dz

p

Z 1

xdx

ρ

Z u˜ 0 ( x)
0

f (z)dz > 0 và nếu năng lượng

ban đầu, và k F (t)k0 đủ nhỏ, thì mọi nghiệm yếu tồn cục của (4.1) sẽ tắt dần mũ khi t ! +∞.
Trước tiên, ta xây dựng phiếm hàm Lyapunov sau
L(t) = E(t) + δΨ(t),
với δ > 0 được chọn sau và
!
E(t) =

với

1
2

2

ku0 (t)k0 +

1
2

1
p

( g u0 ) (t) +

Z ku(t)k2
a
0

µ(z)dz

+ 1p I (t),

Ψ(t) = hu0 (t), u(t)i + λ2 ku(t)k20 ,

( g u0 ) (t) =

Z t
0

I (t) = I (u(t)) =

g (t

0

Khi đó ta có định lý sau.

(4.6)
2

s) ku0 (s)k0 ds, , g (t) = 2λe

Z ku(t)k2
a

µ(z)dz

(4.5)

p

Z 1

xdx

ρ

23

Z u( x,t)
0

2kt ,

0 < λ < λ, k > 0,

f (z)dz + ( g u0 ) (t) .