BÀI THUYẾT TRÌNH CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH XẤP XỈ XÁC SUẤT GIỮA CÁC PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ- LUẬT
KHOA KINH TẾ ĐỐI
NGOẠI
LỚP
MÔN: LÝ THUYẾTK12402B
XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ
TỐN

BÀI THUYẾT TRÌNH
CÁC PHƯƠNG PHÁP
TÍNH XẤP XỈ XÁC SUẤT
GIỮA CÁC PHÂN PHỐI
XÁC SUẤT
NHÓM PHƯƠNG UYÊN


 

Giả sử trong N phần tử có M phần tử có tính

1. XẤP XỈ SIÊU BỘI BẰNG PHÂN PHỐI
NHỊ THỨC

chất A, lấy ra ngẫu nhiên n phần tử trong N
phần tử. Gọi X là số phần tử có tính chất A
trong n phần tử lấy ra.
Trong trường hợp n rất nhỏ so với N, thì sự
khác biệt giữa cách lấy có hồn lại và khơng
hồn lại là khơng đáng kể và ta có thể dùng
phân phối nhị thức để xấp xỉ phân phối siêu
bội:

(X~H(N,M,n)) ≈ (X~B(n,p)) khi n << N, khi đó
 p=
q = 1- p


Trong thực tế công thức(2) thường được áp

dụng như sau: Nếu lấy n phần tử từ một tập
hợp gồm N phần tử theo phương thức khơng
hồn lại và n rất nhỏ so với N. Gọi X là số
phần tử có tính chất A nào đó có trong n phần
tử lấy ra thì ta có thể xem .
.Với p
là tỉ lệ phần tử có tính chất A của tập hợp.
Nếu n cố định và N tăng lên vô hạn và tỷ số
thì phân phối siêu bội với tham số N, M, n
sẽ tiến tới phân phối nhị thức với tham số
(n,p), nghĩa là


Ý NGHĨA TRONG THỰC HÀNH
Công thức (2) là khá tốt khi n<0.05N.
Lưu ý:nếu np ≥ 5,nq ≥ 5 thì phân phối nhị

thức xấp xỉ bằng phân phối chuẩn. Vì vậy,
trong trường hợp này, phân phối siêu bội cũng
có thể xấp xỉ được bằng phân phối chuẩn.
Khi N là khá lớn so với n thì việc lấy ra có
hồn lại hay khơng hồn lại được coi là như
nhau.

BÀI TẬP VÍ DỤ


Ví dụ 1: Một nhân viên thuế chọn ngẫu

nhiên một số tờ khai từ nhóm tờ khai đặc
thù để kiểm tra. Kinh nghiệm cho thấy, tỉ
lệ tờ khai khơng thích hợp là 30%.
A) Nếu chọn 6 từ khai từ nhóm 100 tờ
khai thuế đặc thù mà có hơn 1 tờ khai
khơng thích hợp thì nhóm sẽ bị kiểm tra
tồn bộ. Tính xác suất để nhóm bị kiểm
tra tồn bộ.
B) Số tờ khai tối thiểu khơng thích hợp là
bao nhiêu khi kiểm tra 18 trong nhóm
400 tờ khai thuế đặc thù để xác suất
nhóm này bị kiểm tra lại tồn bộ là 0.31


A) GIẢI:
gọi X là số tờ khai khơng thích hợp trong 6 tờ

khai được kiểm tra. X~ H(100,M,6) với M là số
tờ khai khơng thích hợp có trong 100 tờ khai
thuế đặc thù.
Ta có: p =
=
=> M= Np = 100×0.3 = 30

Xác suất nhóm bị kiểm tra tồn bộ là:

P{X>1}=1- P{X=0}- P{X=1}
=

≈ 0.5854


B) Gọi Y là số tờ khai khơng thích hợp khi kiểm tra 18

tờ
Y~ H(400,M,18) => M = 0.3×400 = 120
gọi x0 là số tờ khai khơng thích hợp tối thiểu thì:
P( x0 ≤ Y ≤ 18 ) = 0.31
Vì N = 400 khá lớn so với n =18 ( n < 0.05N = 20 )
suy ra:
Y≈ B(18,0.3), phân phối nhị thức trong trường hợp

này cũng có thể xấp xỉ được bằng phân phối chuẩn
N(np;npq) với np = 18×0.3 =5.4 và npq =
18×0.3×0.7= 3.78
(vì 0.1 ≤ p = 0.31 ≤ 0.5 )


Ta tính:
P(x0 ≤ Y ≤ 18)= P(x0 ≤ Y < 19)

≈ φ(

) – φ(

= 0.5- φ(

) = 0.31 => φ(

)

)

= 0.19= φ(0.49)


là 7.

= 0.49 => x0 ≈ 6.85. vậy x0 tối thiểu


Ví dụ 2:Một lơ hàng có 1000 sản phẩm

trong đó có: 600 sản phẩm tốt và 400
sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên từ lơ hàng
ra 10 sản phẩm. Tìm xác suất để trong
10 sản phẩm lấy ra có 3 sản phẩm tốt ?
Giải:
Gọi X là số sản phẩm tốt lấy ra được trong 10
sản phẩm lấy ra.

 X={0,1,2,...,9,10}vì p = = 0.6 và

n=10 << N= 1000

X ~ H(1000, 600, 10) B(10; 0,6) Suy ra:
 P[X=K] =
Với k=


Gọi A là biến cố lấy được 3 sản phẩm tốt trong

10 sản phẩm lấy ra.
Suy ra: P(A) = P[X=3]=
= 0,04246
Ví dụ 3:Trong một ao cá ni 10.000 con
cá da trơn trong đó có 1000 con cá tra.
Bắt ngẫu nhiên 20 con cá trong ao, tính
xác suất để bắt được 5 con cá tra trong
20 con cá được bắt.
GIẢI :
 Gọi X là số cá tra trong 20 con cá được bắt lên

 => X có phân phối siêu bội : X ~H(10.000,1000,20)
Ta có : p=
=> q= 1- p = 0.9


Do n = 20 << N = 10.000 => ta có thể xấp xỉ siêu bội

bằng phân phối nhị thức hay : X~H(10.000,1000,20) ≈
X~ B(20,0.1)
P( X=5) =
=
≈

0.032
Vậy xác suất để bắt được 5 con cá tra
trong 20 con cá được bắt là 0,032




 4


Ví dụ 5:Một cửa hàng chuyên cung cấp
hàng điện tử; cửa hàng này nhập 2000
nồi cơm điện để bán. Tuy nhiên, trước
khi nhận hàng,doanh nghiệp này cần
kiểm tra để tránh nhận phải hàng kém
chất lượng.
Nhưng nhà sản xuất chỉ cho doanh
nghiệp thử 3 trong 2000 sản phẩm để
kiểm tra. Biết cửa hàng sẽ nhận lô
hàng nếu không quá 1 nồi cơm điện bị
kém chất lượng. Tính xác suất để cửa
hàng này nhận lơ hàng trên nếu trong
lơ hàng có 10 sản phẩm bị kém chất
lượng.


Giải:
Gọi X là số nồi cơm điện bị kém chất lượng
trong 2000 sản phẩm mà cửa hàng được
giao.

X có phân phối kiểu siêu bội :
X~H(2000,10,3)
Nhưng do n=3 << N = 2000 nên X được
xấp xỉ siêu bội bằng phân phối nhị thức
 p=
X~H(2000,10,3) ≈ X~B(3,0.005)
Để cửa hàng nhận lô hàng trên thì X≤1
P(X≤1) = P(X=0) + P(X=1)
=


NHẬN XÉT:
 Qua ví dụ trên cho ta thấy, trong trường

hợp doanh nghiệp nhập một số lượng lớn
hàng hoá trong điều kiện số lượng hàng
doanh nghiệp được kiểm tra rất ít thì
nguy cơ doanh nghiệp nhập phải hàng
kém chất lượng là rất cao.


2.XẤP XỈ NHỊ THỨC BẰNG PHÂN
PHỐI POISSON
 

Giả sử X~B(n,p). khi n lớn,

p bé thì X có phân phối xác
suất xấp xỉ phân phối
poisson với tham số Khi đó:

P(X=k)=


 

Ý NGHĨA TRONG THỰC HÀNH

Trong thực hành : X ~ B(n,p) với n khá lớn, p khá bé

( sao cho npq ≈ np) thì
P{ X=k} ≈ với �=np
(3)
Cơng thức xấp xỉ (3) là khá tốt khi n> 50, p< 0.1
Do n rất lớn, p rất bé, từ định lý này người ta cịn
nói luật phân phối Poisson là luật phân phối của
biến cố hiếm.


Bài tập ví dụ:
Ví dụ 1:
Nước giải khát được chở từ sài gòn xuống vũng
tàu, mỗi xe chở 1000 chai bia sài gòn, 2000 chai
coca và 800 chai nước trái cây.xác suất để mỗi
chai bị bể trên đường tương ứng là 0.2%; 0.11%;
0.3%. nếu không quá 1 chai bị bể thì lái xe được
thưởng:
Tính xác suất có ít nhất 1 chai bia sài gịn bị bể
Tính xác suất để lái xe được thưởng


Ví 

dụ 2:
Xác suất gặp 1 thứ phẩm trong
một kho sản phẩm cơ khí cao cấp
là 0,002. Tìm xác suất để gặp 7
thứ phẩm trong 1000 sản phẩm
kiểm tra.
Giải
n=1000 ; p=0,002 ; k=7 => λ=np=2
Vì n=1000 quá lớn và p=0,002 quá bé
nên ta có xác suất để gặp 7 thứ phẩm
trong 1000 sản phẩm lấy ra là:
P(X=7)≈≈0,0034



Ví  dụ 3:

Một trạm điện thoại trung bình một giờ
có 240 lần gọi đến. tìm xác suất để
trong 1 phút
a) khơng có lần gọi nào ?
b) có từ 2 đến 3 lần gọi ?
Giải:
Gọi X là số lần gọi điện thoại trong 1 phút
Ta có: X~P(α) với α=E(X)==4

P(X=0)= = 0,01832
P(2≤X≤3)= P(X=2) + P(X=3)= =0,34189


 


3. XẤP XỈ NHỊ THỨC BẰNG PHÂN
PHỐI CHUẨN
 
Khi sử dụng phân phối Nhị thức, nếu n khá lớn

thì việc tính tốn theo cơng thức Bernoulli sẽ
gặp khó khăn.
Xét một bài toán sau đây:
Một khách sạn nhận đặt chỗ của 585
khách hàng cho 500 phịng vào ngày 2/9 vì
theo kinh nghiệm của những năm trước
cho thấy có 15% khách đặt chỗ nhưng
khơng đến. Biết mỗi khách đặt một phịng,
tính xác suất có 498 khách đặt chỗ và đến
nhận phịng vào 2/9?