Tài liệu giảng dạy Toán rời rạc lý thuyết đồ thị (NgànhNghề Công nghệ thông tin – Trình độ Cao đẳng)

TẬP ĐOÀN DỆT MAY VIỆT NAM
TRƢỜNG CAO ĐẲNG KINH TẾ - KỸ THUẬT TP.HCM

TÀI LIỆU GIẢNG DẠY
MƠN HỌC: TỐN RỜI RẠC & LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ
NGÀNH/NGHỀ: CƠNG NGHỆ THƠNG TIN
TRÌNH ĐỘ: CAO ĐẲNG

TP. HỒ CHÍ MINH, năm 2019


TUYÊN BỐ BẢN QUYỀN
Tài liệu này thuộc loại sách giáo trình nên các nguồn thơng tin có thể đƣợc phép
dùng nguyên bản hoặc trích dùng cho các mục đích về đào tạo và tham khảo.
Mọi mục đích khác mang tính lệch lạc hoặc sử dụng với mục đích kinh doanh
thiếu lành mạnh sẽ bị nghiêm cấm.


LỜI GIỚI THIỆU
Tài liệu giảng dạy đƣợc biên soạn dựa trên tài liệu Toán rời rạc của GS. Nguyễn
Hữu Anh, trƣờng Đại học Tổng hợp TP. Hồ Chí Minh, tài liệu Lý thuyết đồ thị của
Pts. Nguyễn Cam, Pts. Chu Đức Khánh.
Tài liệu giảng dạy Toán rời rạc và lý thuyết đồ thị đƣợc dùng làm tài liệu học
tập cho sinh viên ngành Cơng nghệ thơng tin, đƣợc trình bày theo đúng chƣơng trình
mơn học đã đƣợc xây dựng.
Tài liệu giảng dạy này giúp cho sinh viên những kiến thức cơ bản về Toán rời
rạc, Lý thuyết đồ thị.
Tài liệu giảng dạy bao gồm:
Phần 1: Toán rời rạc
Chƣơng 1: Cơ sở logic
Chƣơng 2: Phƣơng pháp đếm

Chƣơng 3: Quan hệ
Chƣơng 4: Hàm Bool và đại số Bool
Phần 2: Lý thuyết đồ thị
Chƣơng 1: Đồ thị
Chƣơng 2: Các bài toán về chu trình
Chƣơng 3: Cây
Chƣơng 4: Bài tốn về con đƣờng ngắn nhất
Trong q trình biên soạn, mặc dù đã có nhiều cố gắng nhƣng không tránh khỏi
những hạn chế và một số thiếu sót nhất định, nhóm tác giả rất mong nhận đƣợc những
ý kiến đóng góp của quý đọc giả để tài liệu giảng dạy này ngày càng hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn
TP. HCM, ngày ….. tháng ….. năm
Tham gia biên soạn
Ths. Võ Thị Thục Hà


MỤC LỤC
Phần 1: Toán rời rạc
Chƣơng 1: CƠ SỞ LOGIC ..................................................................................... 1
I. Phép tính mệnh đề............................................................................................... 1
1. Khái niệm về mệnh đề ................................................................................. 1
2. Phân loại mệnh đề........................................................................................ 1
3. Các phép toán logic ..................................................................................... 1
4. Dạng mệnh đề .............................................................................................. 1
II. Qui tắc suy diễn ................................................................................................. 5
III. Vị từ và lƣợng từ .............................................................................................. 7
1. Vi từ ............................................................................................................. 7
2. Lƣợng từ ...................................................................................................... 7
IV. Nguyên lý quy nạp ........................................................................................... 8
Chƣơng 2: PHƢƠNG PHÁP ĐẾM ........................................................................ 9

I. Tập hợp ............................................................................................................... 9
1. Khái niệm về tập hợp ................................................................................... 9
2. Các phép toán trên tập hợp ........................................................................ 10
3. Tính chất của các phép tốn ...................................................................... 10
4. Tích Descartes của tập hợp ........................................................................ 11
II. Ánh xạ.............................................................................................................. 11
III. Giải tích tổ hợp ............................................................................................... 13
1. Phép đếm ................................................................................................... 13
2. Giải tích tổ hợp .......................................................................................... 14
Chƣơng 3: QUAN HỆ .......................................................................................... 17
I. Quan hệ ............................................................................................................. 17
II. Quan hệ tƣơng đƣơng ...................................................................................... 18
III. Quan hệ thứ tự ................................................................................................ 18
Chƣơng 4: ĐẠI SỐ BOOL VÀ HÀM BOOL ..................................................... 20
I. Đại số Bool ....................................................................................................... 20
II. Hàm Bool......................................................................................................... 21
III. Mạng các cổng và công thức tối tiểu ............................................................. 24
1. Các cổng logic ........................................................................................... 24
2. Tổ hợp các cổng logic................................................................................ 25


3. Tối thiểu hóa hàm Boole ........................................................................... 25
IV. Phƣơng pháp bảng Karnaugh ......................................................................... 25
Phần 2: Đồ thị
Chƣơng 1: ĐỒ THỊ .............................................................................................. 29
I. Định nghĩa ........................................................................................................ 29
II. Biểu đồ ............................................................................................................. 29
III. Bậc của một đỉnh ............................................................................................ 30
1. Định lý ....................................................................................................... 30
2. Hệ luận 1 .................................................................................................... 30

3. Hệ luận 2 .................................................................................................... 30
4. Hệ luận 3 ........................................................................................................
IV. Ma trận liên kết .............................................................................................. 31
V. Đƣờng và chu trình .......................................................................................... 31
VI. Sự liên thơng .................................................................................................. 32
VII. Sự đẳng hình ................................................................................................. 32
VIII. Đồ thị có hƣớng ........................................................................................... 33
Chƣơng 2: CÁC BÀI TỐN VỀ CHU TRÌNH .................................................. 35
I. Chu trình Euler.................................................................................................. 35
1. Euler và bài tốn 7 cầu ở KONIGSBURG ................................................ 35
2. Chu trình Euler .......................................................................................... 35
II. Chu trình Hamilton .......................................................................................... 38
1. Định nghĩa ................................................................................................. 38
2. Quy tắc tìm chu trình Hamilton ................................................................. 39
3. Định lý ....................................................................................................... 40
4. Định lý ....................................................................................................... 40
5. Định lý (Dirac)........................................................................................... 40
6. Định lý (Konig) ......................................................................................... 40
Chƣơng 3: CÂY ................................................................................................... 41
I. Khảo sát tổng quát ............................................................................................ 41
1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản............................................................ 41
2. Định lý (Daisy Chain Theorem) ................................................................ 41
3. Tâm và bán kính của cây ........................................................................... 41
4. Cây m-phân................................................................................................ 42
II. Cây nhị phân và phép duyệt cây ...................................................................... 43


1. Định nghĩa ................................................................................................. 43
2. Phép duyệt cây ........................................................................................... 43
III. Cây bao trùm .................................................................................................. 44

1. Định nghĩa ................................................................................................. 44
2. Định lý ....................................................................................................... 44
3. DFS và BFS ............................................................................................... 44
4. Định lý ....................................................................................................... 46
IV. Cây bao trùm nhỏ nhất ................................................................................... 46
1. Định nghĩa ................................................................................................. 46
2. Định lý ....................................................................................................... 53
3. Giải thuật PRIM ........................................................................................ 48
4. Giải thuật Kruskal ......................................................................................
50
410
Chƣơng 4: BÀI TOÁN VỀ CON ĐƢỜNG NGẮN8 NHẤT ................................ 52

10
I. Giới thiệu bài toán ............................................................................................
52
II. Giải thuật DIJKSTRA ..................................................................................... 52


TÀI LIỆU GIẢNG DẠY MƠN HỌC/MƠ ĐUN
Tên mơn học: Tốn rời rạc và lý thuyết đồ thị
Mã môn học: MH 09
Thời gian thực hiện môn học: 45 giờ; (Lý thuyết: 43 giờ; Thực hành, thí nghiệm,
thảo luận, bài tập: 0 giờ; Kiểm tra: 2 giờ)
I. Vị trí, tính chất của mơn học:
- Vị trí: Mơn học đƣợc bố trí sau khi ngƣời học học xong các mơn học chung.
- Tính chất: Là môn học cơ sở ngành bắt buộc.
II. Mục tiêu mơn học:
- Kiến thức:
 Trình bày đƣợc các kiến thức về cơ sở logic, các quy tắc của phép suy luận.

 Phân biệt đƣợc các hàm logic và mạch logic.
 Trình bày đƣợc các khái niệm cơ bản của lý thuyết đồ thị; Biểu diễn đồ thị; Đồ
thị Euler và Đồ thị Hamilton; Cây và cây nhị phân; Bài toán đƣờng đi ngắn
nhất.
- Kỹ năng:
 Xác định cơ sở logic, các quy tắc của phép suy luận, các phƣơng pháp chứng
minh, các hàm logic và mạch logic.
 Biểu diễn đƣợc các phép toán trên đồ thị, cây nhị phân.
- Năng lực tự chủ và trách nhiệm:
 Chủ động, tích cực trong học tập và rèn luyện
 Tích cực tham gia tự học, tham gia xây dựng bài, làm việc nhóm
III. Nội dung mơn học:
1. Nội dung tổng qt và phân bổ thời gian:
Số
TT

1
2
3
4
5
6

Tên chƣơng, mục

Phần 1: Toán rời rạc
Chƣơng 1: Cơ sở logic
Chƣơng 2: Phƣơng pháp đếm
Chƣơng 3: Quan hệ
Chƣơng 4: Hàm Bool và đại số Bool

Phần 2: Lý thuyết đồ thị
Chƣơng 1: Đồ thị
Chƣơng 2: Các bài toán về chu trình

Thời gian (giờ)
Thực hành,
thí nghiệm, Kiểm
Tổng
Lý
số thuyết thảo luận,
tra
bài tập
6

6

6
3
5

6
2
5

6

6

6

6

1


Chƣơng 3: Cây
7
6
Chƣơng 4: Bài toán về con đƣờng ngắn
6
6
nhất
Cộng
45
43
2. Nội dung chi tiết:
Phần 1: Toán rời rạc
Chƣơng 1: Cơ sở logic
1. Mục tiêu:
- Trình bày đƣợc các phép tính mệnh đề.
- Sử dụng đƣợc các quy tắc suy diễn.
- Trình bày đƣợc các khái niệm vị từ, lƣợng tử.
- Sử dụng đƣợc nguyên lý quy nạp.
2. Nội dung chƣơng:
2.1. Phép tính mệnh đề
2.2. Quy tắc suy diễn
2.3. Vị từ và lƣợng tử
2.4. Nguyên lý quy nạp
Chƣơng 2: Phƣơng pháp đếm
1. Mục tiêu:

- Trình bày đƣợc khái niệm tập hợp và các phép tốn.
- Trình bày các khái niệm ánh xạ.
- Thực hiện các bài tốn giải tích tổ hợp.
2. Nội dung chƣơng:
2.1. Tập hợp
2.2. Ánh xạ
2.3. Giải tích tổ hợp
Chƣơng 3: Quan hệ
1. Mục tiêu:
- Phân biệt đƣợc các quan hệ.
- Phân biệt đƣợc quan hệ tƣơng đƣơng.
2. Nội dung chƣơng:
2.1. Quan hệ
2.2. Quan hệ tƣơng đƣơng
2.3. Thứ tự
Kiểm tra
Chƣơng 4: Hàm Bool và đại số Bool
1. Mục tiêu:
- Trình bày đƣợc khái niệm đại số Bool, hàm Bool.
7
8

1

2

Thời gian: 6 giờ

Thời gian: 1 giờ
Thời gian: 2 giờ

Thời gian: 1 giờ
Thời gian: 2 giờ
Thời gian: 6 giờ

Thời gian: 2 giờ
Thời gian: 2 giờ
Thời gian: 2 giờ
Thời gian: 3 giờ

Thời gian: 5 giờ


- Giải đƣợc các bài toán về đại số Bool.
- Trình bày đƣợc mạch logic, cơng thức đa tối tiểu.
- Sử dụng đƣợc phƣơng pháp biểu đồ Karnaugh.
2. Nội dung chƣơng:
2.1. Đại số Bool
2.2. Hàm Bool
2.3. Mạch logic & công thức đa tối tiểu
2.4. Phƣơng pháp biểu đồ Karnaugh
Phần 2: Lý thuyết đồ thị
Chƣơng 1: Đồ thị
Thời gian: 6 giờ
1. Mục tiêu:
- Trình bày các khái niệm, định nghĩa đồ thị.
- Trình bày đƣợc khái niệm bậc, ma trận liên kết, đƣờng, chu trình.
- Phân biệt đồ thị có hƣớng và vơ hƣớng.
- Thực hiện các bài tốn đồ thị.
2. Nội dung chƣơng:
2.1. Định nghĩa

Thời gian: 1 giờ
2.2. Biểu đồ
2.3. Bậc của một đỉnh
Thời gian: 1 giờ
2.4. Ma trận liên kết
2.5. Đƣờng, chu trình
Thời gian: 1 giờ
2.6. Sự liên thơng
2.7. Sự đẳng hình
Thời gian: 1 giờ
2.8. Đồ thị có hƣớng
Thời gian: 2 giờ
Chƣơng 2: Các bài tốn về chu trình
Thời gian: 6 giờ
1. Mục tiêu:
- Trình bày đƣợc khái niệm chu trình, đƣờng Euler.
- Biết cách tìm chu trình và đƣờng Euler.
- Trình bày đƣợc khái niệm chu trình Hamilton.
- Biết cách tìm chu trình và đƣờng Hamilton.
2. Nội dung chƣơng:
2.1. Chu trình Eurler
Thời gian: 3 giờ
2.2. Chu trình Hamilton
Thời gian: 3 giờ
Chƣơng 3: Cây
Thời gian: 7 giờ
1. Mục tiêu:
- Trình bày đƣợc các khái niệm, định nghĩa cây.
- Trình bày và thực hiện đƣợc phép duyệt cây nhị phân.
- Trình bày đƣợc khái niệm cây bao trùm.

- Thực hiện cách tìm cây bao trùm nhỏ nhất.


2. Nội dung chƣơng:
2.1. Khảo sát tổng quát
Thời gian: 1 giờ
2.2. Cây nhị phân và phép duyệt cây
Thời gian: 1 giờ
2.3. Cây bao trùm
Thời gian: 2 giờ
2.4. Cây bao trùm nhỏ nhất
Thời gian: 2 giờ
Kiểm tra
Thời gian: 1 giờ
Chƣơng 4: Bài toán về con đƣờng ngắn nhất
Thời gian: 6 giờ
1. Mục tiêu:
- Trình bày đƣợc khái niệm về con đƣờng ngắn nhất.
- Sử dụng đƣợc giải thuật Dijstra để tìm con đƣờng ngắn nhất.
2. Nội dung chƣơng:
2.1. Giới thiệu bài toán
Thời gian: 3 giờ
2.2. Giải thuật Dijstra
Thời gian: 3 giờ
IV. Điều kiện thực hiện mơn học:
1. Phịng học chun mơn hóa/nhà xƣởng: phịng học lý thuyết.
2. Trang thiết bị máy móc: máy vi tính.
3. Học liệu, dụng cụ, ngun vật liệu: sách, tập, slide, máy chiếu, máy tính, giấy
A4, các loại giấy dùng minh họa, các hình vẽ minh họa lý thuyết.
V. Nội dung và phƣơng pháp đánh giá:

1. Nội dung:
- Kiến thức:
 Biểu diễn đồ thị; Đồ thị Euler và Đồ thị Hamilton; Cây và cây nhị phân; Bài
toán đƣờng đi ngắn nhất.
- Kỹ năng:
 Xác định các quy tắc của phép suy luận, các phƣơng pháp chứng minh, các
hàm logic và mạch logic.
- Năng lực tự chủ và trách nhiệm:
 Tích cực tham gia tự học, tham gia xây dựng bài, làm việc nhóm
2. Phƣơng pháp:
Các kiến thức và kỹ năng trên sẽ đƣợc đánh giá qua các nội dung tự nghiên
cứu, ý thức thực hiện môn học, kiểm tra thƣờng xuyên, kiểm tra định kỳ và bài
kiểm tra kết thúc môn học:
- Điểm môn học bao gồm điểm trung bình các điểm kiểm tra: tự nghiên cứu,
điểm kiểm tra thƣờng xuyên, kiểm tra định kỳ có trọng số 0,4 và điểm thi kết
thúc mơn học có trọng số 0,6.
- Điểm trung bình các điểm kiểm tra là trung bình cộng của các điểm kiểm tra
thƣờng xuyên, điểm kiểm tra định kỳ và tự nghiên cứu theo hệ số của từng loại


-

điểm. Trong đó, điểm kiểm tra thƣờng xuyên và điểm tự nghiên cứu đƣợc tính
hệ số 1, điểm kiểm tra định kỳ tính hệ số 2.
Hình thức thi: thi viết (60 phút) (đƣợc thông báo vào đầu mỗi học kỳ).

VI. Hƣớng dẫn thực hiện môn học:
1. Phạm vi áp dụng mơn học: Chƣơng trình mơn học đƣợc sử dụng để giảng dạy cho
trình độ Cao đẳng.
2. Hƣớng dẫn về phƣơng pháp giảng dạy, học tập môn học:

- Đối với giảng viên:
+ Trƣớc khi giảng dạy cần phải căn cứ vào nội dung của từng bài học chuẩn bị
đầy đủ các điều kiện cần thiết để đảm bảo chất lƣợng giảng dạy.
+ Khi thực hiện chƣơng trình mơn học cần xác định những điểm kiến thức cơ bản,
xác định rõ các yêu cầu về kiến thức, kỹ năng ở từng nội dung.
+ Cần liên hệ kiến thức với thực tế sản xuất và đời sống, đặc biệt là các phần
mềm thực tế sử dụng mạng Internet có hiệu quả.
- Đối với ngƣời học:
+ Chủ động, tích cực tiếp thu kiến thức, tự nghiên cứu, chuẩn bị bài theo nội dung
giảng viên hƣớng dẫn, yêu cầu trƣớc khi đến lớp.
+ Cần thực hiện tất cả các bài tập và tự nghiên cứu các bài tốn thực tế về mơn
học đã có sẵn nhằm mục đích củng cố, ghi nhớ, khắc sâu kiến thức đã học.
+ Xây dựng kế hoạch tự học, tự nghiên cứu cho cá nhân.
+ Tham dự ít nhất 70% thời gian học lý thuyết và đầy đủ các bài học tích hợp, bài
học thực hành, thực tập và các u cầu của mơn học đƣợc quy định trong
chƣơng trình môn học.
3. Những trọng tâm cần chú ý:
- Kiến thức về cơ sở logic, các quy tắc của phép suy luận, các phƣơng pháp
chứng minh, các hàm logic và mạch logic.
- Cơ bản của lý thuyết đồ thị; Biểu diễn đồ thị; Đồ thị Euler và Đồ thị Hamilton;
Cây và cây nhị phân; Bài toán đƣờng đi ngắn nhất.
- Phân tích đƣợc cơ sở lý thuyết giải quyết bài tốn.
4. Tài liệu tham khảo:
[1]. Toán rời rạc – GS. Nguyễn Hữu Anh – NXB Giáo dục
[2]. Lý thuyết đồ thị - PTS. Nguyễn Cam, PTS. Chu Đức Khánh – NXB Trẻ
[3]. Đề cƣơng bài giảng mơn Tốn rời rạc và lý thuyết đồ thị – Trƣờng Cao đẳng
Kinh tế - Kỹ thuật Vinatex Tp. Hồ Chí Minh.


Phần 1: Toán rời rạc – Chƣơng 1: Cơ sở logic

1

Chƣơng 1

CƠ SỞ LOGIC
I. Phép tính mệnh đề
1. Khái niệm về mệnh đề
Mệnh đề tốn học (hoặc nói tắt làmệnh đề) đƣợc hiểu nhƣ là một khẳng định
nào đó có giá trị chân lý xác định (đúng hoặc sai nhƣng không thể vừa đúng vừa sai).
Ta thƣờng ký hiệu các mệnh đề bởi các chữ cái P, Q, R,…
Nếu P là mệnh đề đúng, ta nói P có chân trị đúng và viết P = 1.
Nếu Q là mệnh đề sai, ta nói Q có chân trị sai và viết Q = 0.
Ví dụ:
P : “6 là số chẵn”
Q : “Paris là thủ đô nƣớc Anh”
R : “Hôm nay trời đẹp làm sao !”
S: “x+2<7“
Ta có P=1, Q=0 cịn R, S không phải là mệnh đề. (S là vị từ, sẽ khảo sát sau)
2. Phân loại mệnh đề
Các mệnh đề đƣợc xây dựng từ các mệnh đề khác nhờ liên kết chúng lại bằng
các liên từ và, hay, nếu, thì hoặc trạng từ không gọi là các mệnh đề phức hợp.
Ví dụ : “Nếu trời mƣa thì tơi ở nhà” là mệnh đề phức hợp.
Các mệnh đề không đƣợc xây dựng từ các mệnh đề khác nhờ các liên từ và,
hay, nếu, thì hoặc trạng từ khơng gọi là các mệnh đề nguyên thủy hay sơ cấp.
Ví dụ : “Sắt nặng hơn gỗ”, “Số 12 chia hết cho 5” là các mệnh đề sơ cấp.
3. Các phép toán logic
Từ một hoặc nhiều mệnh đề ta có thể xây dựng những mệnh đề mới bằng các
phép toán logic. Sau đây là các phép toán cơ bản :
Phép phủ định.

Phủ định của mệnh đề P đƣợc ký hiệu bởi P hay P (đọc “khơng P”) là mệnh
đề có chân trị đƣợc xác định bởi bảng sau:
P P
0 1
1 0
Ví dụ :

P : “Trái đất quay”

P : “Trái đất không quay”


Phần 1: Toán rời rạc – Chƣơng 1: Cơ sở logic

2

Phép nối liền
Phép nối liền của hai mệnh đề P, Q đƣợc ký hiệu bởi P  Q (đọc “P và Q”) là
mệnh đề có chân trị đƣợc xác định bởi bảng sau :
P Q PQ
0 1

0

0 0

0

1 1

1

1 0

0

Vậy mệnh đề PQ chỉ đúng khi cả P và Q đều đúng, cịn sai trong các trƣờng
hợp cịn lại.
Ví dụ :
P : “ số 2 là số nguyên tố ”
Q : “ 2 là số chẵn “.
PQ : “ 2 là số nguyên tố và là số chẵn “.
Ta có P=1, Q=1, do đó PQ=1.
Phép nối rời.
Phép nối rời của hai mệnh đề P, Q đƣợc ký hiệu bởi P  Q (đọc “ P hay Q” ) là
mệnh đề có chân trị đƣợc xác định bởi bảng sau :
P Q PQ
0 1

1

0 0

0

1 1
1 0

1
1

Vậy mệnh đề PQ chỉ sai khi cả P và Q đều sai, còn đúng trong các trƣờng hợp
cịn lại.
Ví dụ :

P : “Hùng đang đọc báo “.
Q : “ Hùng đang xem tivi “.

Ta có PQ : “ Hùng đang đọc báo hay (hoặc) xem ti vi “.
Phép kéo theo.
Mệnh đề P kéo theo mệnh đề Q đƣợc ký hiệu bởi P  Q là mệnh đề có chân trị
đƣợc xác định bởi bảng sau :


Phần 1: Toán rời rạc – Chƣơng 1: Cơ sở logic

3

P Q P Q
1 1
1 0

1
0

0 1

1

0 0

1

Vậy mệnh đề P Q chỉ sai khi P đúng và Q sai, còn đúng trong các trƣờng hợp
còn lại. Trong mệnh đề P Q, P đƣợc gọi là giả thiết, Q đƣợc gọi là kết luận.
Ví dụ :

a/b = c  a = bc (ngƣợc lại chƣa chắc đúng).

Phép kéo theo hai chiều
Mệnh đề P tƣơng đƣơng với mệnh đề Q đƣợc ký hiệu bởi P  Q là mệnh đề
xác định bởi (P Q)  (QP), từ đó ta có bảng chân trị đƣợc xác định bởi bảng sau
:
P Q PQ
1 1

1

1 0
0 1

0
0

0 0

1

Ta thƣờng đọc mệnh đề P Q là “ P khi và chỉ khi Q”, “P nếu và chỉ nếu Q “,
“ P là điều kiện cần và đủ để có Q”

Ví dụ : “Một số chia hết cho 3 khi và chỉ khi nó có tổng các chữ số chia hết cho 3”
4. Dạng mệnh đề.
Các định nghĩa.
Dạng mệnh đề là một “biểu thức logic” (tƣơng tự biểu thức đại số trong đại số)
Đƣợc xây dựng từ :
Các mệnh đề (hằng mệnh đề).
Các biến mệnh đề.
Các phép toán logic thao tác trên các hằng mệnh đề và biến mệnh đề theo một
thứ tự nhất định.
Ví dụ :
E(p, q, r) = (p  q)  (P  ( r ))
Là một dạng mệnh đề trong đó p,q,r là các biến mệnh đề còn P là một hằng
mệnh đề .


Phần 1: Toán rời rạc – Chƣơng 1: Cơ sở logic

4

Giả sử E, F là hai dạng mệnh đề, khi ấy E, E F, E  F, E  F, E  F là các
dạng mệnh đề.
Định nghĩa 1: Hai dạng mệnh đề E và F gọi là tƣơng đƣơng logic nếu chúng có cùng
chân trị. Khi đó ta viết E  F
Ví dụ: xây dựng bảng chân trị của các dạng mệnh đề pq, p, q, p, pq
p q p q P q p q pq

.

0 0 1

1

1

1

1

0 1 1
1 0 0

0
1

1
0

1
0

1
0

1 1 0

0

1

1

1

Từ bảng trên , ta có :

p  q  p  q

Định nghĩa 2:
Một dạng mệnh đề đƣợc gọi là một hằng đúng nếu nó luôn lấy chân trị 1.
Một dạng mệnh đề đƣợc gọi là một hằng sai hay mâu thuẩn nếu nó ln lấy
chân trị 0.
Ví dụ:
Dạng mệnh đề p p là một hằng sai.
Dạng mệnh đề p p là một hằng đúng.
Ta có: Hai dạng mệnh đề E và F tƣơng logic khi và chỉ khi E  F là một hằng
đúng.
Định nghĩa 3:
Dạng mệnh đề F đƣợc gọi là hệ quả logic của dạng mệnh đề E nếu E  F là
một hằng đúng. Khi đó ta viết E  F
Ví dụ: p  (q r)  p  (q  r)
Các quy luật logic
Định lý : Với p, q, r là các biến mệnh đề, 1 là hằng đúng, 0 là hằng sai, ta có các tƣơng
đƣơng logic sau :
1. Luật phủ định của phủ định :
pp
2. Qui tắc De Mogan:
(pq) pq
(pq) pq
3. Luật giao hoán

Phần 1: Toán rời rạc – Chƣơng 1: Cơ sở logic

5

pq  qp
pq  qp
4. Luật kết hợp.
p(qr)  (pq)r
p(qr)  (pq)r
5. Luật phân bố.
p(qr)  (pq)(pr)
p(qr)  (pq)(pr)
6. Luật lũy đẵng.
pp  p
pp  p
7. Luật trung hòa.
p1  p
p0  p
8. Luật về phần tử bù.
p  p  0
p  p  1
9. Luật thống trị.
p0  0
p1  1
10. Luật hấp thụ.
p(pq)  p
p(pq)  p
Ví dụ 1: Chứng minh ( p  q )  r  p  ( q  r )
Ví dụ 2: Chứng minh dạng mệnh đề sau là hằng đúng

(( p  q )  p )  q
II. Qui tắc suy diễn
Suy luận và qui tắc suy diễn.
Suy luận là rút ra mệnh đề mới từ một hoặc nhiều mệnh đề đã có.
Mệnh đề đã có gọi là tiền đề, mệnh đề mới gọi là kết luận.
Trong chứng minh toán học, xuất phát từ một số khẳng định đúng p1, p2,… pn
gọi là tiền đề, ta áp dụng các qui tắc suy diễn để suy ra tính đúng của một mệnh đề q
gọi là kết luận, hay nói cách khác mệnh đề p1  p2  …  pn  q là một hằng đúng.


Phần 1: Toán rời rạc – Chƣơng 1: Cơ sở logic

6

Ta dùng sơ đồ sau:
p1
p2
.
.
pn
___
q
Một số qui tắc suy diễn
1. Qui tắc Modus Ponens (phƣơng pháp khẳng định)
Đƣợc thể hiện bởi hằng đúng:

[( p  q )  p ]  q

Ví dụ 1: Tục ngữ có câu : “Trăng quầng trời hạn, trăng tán trời mƣa”
Nếu trăng tán thì trời mƣa

pq

mà trăng tán

p

Kết luận: trời mƣa

q

.

Ví dụ 2:
Nếu Lan lƣời học thì sẽ khơng đạt mơn tốn rời rạc

pq

mà Lan lƣời học

p

Vậy Lan khơng đạt mơn tốn rời rạc

q

.

2. Qui tắc Modus Tollens (phƣơng pháp phủ định)
Qui tắc này đƣợc thể hiện bởi hằng đúng sau:

[ ( p  q )  q ]  p
Ví dụ :
Nếu Hùng chăm học thì sẽ đạt mơn tốn rời rạc p  q
Hùng khơng đạt mơn tốn rời rạc

p

Vậy Hùng khơng chăm học

q

.

3. Tam đoạn luận
Dựa theo hằng đúng : (p  q)  (q  r)  (p  r)
Ví dụ :
Nếu chúng ta đồn kết thì chúng ta mạnh
Nếu chúng ta mạnh thì chúng ta đánh thắng mọi kẻ thù
Vậy nếu chúng ta đồn kết thì chúng ta đánh thắng mọi kẻ thù

pq
qr
p  r

.


Phần 1: Toán rời rạc – Chƣơng 1: Cơ sở logic

7

4. Qui tắc mâu thuẫn (chứng minh bằng phản chứng)
Dựa theo hằng đúng: p  q  [(p  q)  0]
Ví dụ : Dùng phƣơng pháp phản chứng cho chứng minh sau:
pr
p  q
qs

.

r  s
III. Vị từ và lƣợng từ
1. Vi từ.
Định nghĩa : Vị từ là một khẳng định p(x,y,…) trong đó x,y,.. là biến có giá trị trong
những tập cho trƣớc A, B, .. sao cho :
 Bản thân p(x,y,…) không phải là mệnh đề.
 Nếu thay x, y,… bởi các giá trị cụ thể a  A, b  B ta sẽ đƣợc một mệnh đề
p(a,b,…).
 Các biến x,y,.. gọi là biến tự do của vị từ.
Ví dụ 1:

p(n) = “ n là một số nguyên tố “ là một vị từ theo biến tự do n  N

Ví dụ 2:

q(x,y) = “ x = y + 3 “ là một vị từ theo hai biến tự do x,y  R

2. Lƣợng từ
Dùng hai lƣợng từ “với mọi” và “tồn tại” để chuyển một vị từ thành mệnh đề.
Định nghĩa: Giả sử p(x) là một vị từ theo biến x  A .

 Mệnh đề “với mọi x  A, p(x)” ký hiệu bởi “x  A, p(x)” đƣợc gọi là lƣợng
từ hóa của vị từ p(x) bởi lƣợng từ khái quát  .
 Mệnh đề “tồn tại x  A, p(x)” ký hiệu bởi “x  A, p(x)” đƣợc gọi là lƣợng từ
hóa của vị từ p(x) bởi lƣợng từ khái quát  .
Nếu A là một tập hữu hạn phần tử A = a1, a2, …, an thì:
 x p(x) tƣơng đƣơng với mệnh đề p(a1)  p(a2)  …  p(an)
 x p(x) tƣơng đƣơng với mệnh đề p(a1)  p(a2)  …  p(an)
Ví dụ :

Cho vị từ p(n) = “ n là một số nguyên tố “ .
Mệnh đề n  N, p(n) có chân trị là 0 (sai)
Mệnh đề n  N, p(n) có chân trị là 1 (đúng)

Định lý (sự hoán vị các lƣợng từ ) Nếu p(x,y) là một lƣợng từ theo hai biến x, y thì
các mệnh đề sau là đúng:
i. [ x  A, y  B, p(x,y) ]  [ y  B, x  A, p(x,y) ]


Phần 1: Toán rời rạc – Chƣơng 1: Cơ sở logic

8

ii. [ x  A, y  B, p(x,y) ]  [ y  B, x  A, p(x,y) ]
iii. [ x  A, y  B, p(x,y) ]  [ y  B, x  A, p(x,y) ]
Mệnh đề đảo của iii. khơng đúng, thí dụ p(x,y) = “ x + y = 1” .
Phủ định của lƣợng từ.
 (x  A, p(x) )  x  A, p(x)
 (x  A, p(x) )  x  A, p(x)
Ví dụ :Một hàm thực f(x) liên tục tại x0  R đƣợc định nghĩa bởi:
 > 0,  > 0, x  R, ( x - x0  < )  ( f(x) – f(x0)  <  )

Lấy phủ định ta sẽ đƣợc định nghĩa hàm f(x) không liên tục tại x0  R :
 > 0,  > 0, x  R, ( x - x0  < )  ( f(x) – f(x0)    )
IV. Nguyên lý quy nạp.
Nguyên lý quy nạp: Mệnh đề n  N, p(n) là hệ quả của mệnh đề
P(0)  [n  N, p(n)  p(n+1)]
Để chứng minh p(n) đúng với mọi n  N, ta thực hiện 2 bƣớc:
Bƣớc 1 (cơ sở): Kiểm chứng p(0) đúng.
Bƣớc 2 (quy nạp): Giả sử n  N đúng, ta chứng minh p(n+1) đúng.
Ví dụ 1: Chứng minh  n  N ta có :
0+1+…+n=

n(n  1)
2

Ví dụ 2: cơ Lan cầm 1 tờ giấy và cắt thành 7 mảnh, sau đó nhặt một trong những mảnh
giấy đã cắt và lại cắt thành 7 mảnh và cứ tiếp tục cắt nhƣ vậy. Sau một hồi cô Lan thu
những mảnh giấy đã cắt và đếm đƣợc 122 mảnh. Hỏi cô Lan đếm đúng hay sai ?
Hƣớng dẫn : Tổng số mảnh giấy có dạng 6k+1.


Phần 1: Toán rời rạc – Chƣơng 2: Phƣơng pháp đếm

9

Chƣơng 2

PHƢƠNG PHÁP ĐẾM
I. Tập hợp
1. Khái niệm về tập hợp
Tập hợp là một trong những khái niệm cơ bản (ngun thủy) của tốn học,

khơng đƣợc định nghĩa, mà làm cơ sở để định nghĩa các khái niệm khác.
Ví dụ:
Tập hợp các bài thơ của Hàn Mặc Tử.
Tập hợp các nghiệm số thực của phƣơng trình x2+3x-4=0.
Họ các đƣờng trịn đồng tâm.
Lớp các hàm đa thức.
Hệ các phƣơng trình tuyến tính.
Diễn tả tập hợp
Cách 1: Nêu ra tính chất đặc trƣng của các phần tử tạo ra tập hợp, thƣờng đƣợc thể
hiện bởi một vị từ p(x) theo một biến x :
A =  x  U  p(x)
-

U đƣợc gọi là tập hợp vũ trụ.
Ví dụ :

A =  x  N  x là số nguyên tố 

A =  x  R  x2 -1 = 0 
Cách 2 : Liệt kê tất cả các phần tử viết trong hai dấu ngoặc nhọn   cách nhau bởi dấu
”;” hoặc “,”
Ví dụ :

A =  -1, 1 
B =  -2; 5; 7; 105 

Tập hợp rỗng
Tập hợp khơng có phần tử nào gọi là tậo hợp rỗng. Ký hiệu .
Nhƣ vậy |A| = 0
Tập hợp con. Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B thì ta nói

A là tập hợp con của B, ký hiệu A  B.
Nhƣ vậy :

A  B  (x, x  A  x  B )

Từ định nghĩa ta có :
A
AA
Nếu A  B và B  A th2 ta nói A bằng B và viết A = B


Phần 1: Toán rời rạc – Chƣơng 2: Phƣơng pháp đếm

Nếu A ≠ B thì A  B và B  A
2. Các phép toán trên tập hợp
Định nghĩa : Giả sử A, B là hai tập hợp con của tập hợp vũ trụ U.
1. Phép giao: A  B =  x  U  (x  A)  (x  B) 
2. Phép hợp: A  B =  x  U  (x  A)  (x  B) 
3. Phần bù: A =  x  U  x A 
3. Tính chất của các phép tốn
i. Tính giao hốn.
AB=BA
AB=BA
ii. Tính kết hợp.
(A  B)  C = A  (B  C)
(A  B)  C = A  (B  C)
iii. Tính phân phối.
A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
iv. Công thức De Morgan.

A  B = A B
A  B = A B
v. Phần tử trung hòa.
A =A
A U=U
vi. Phần bù.
A A = U
A A = 
vii. Tính thống trị.
AU=U
A=
Ghi chú:
Ta có thể viết A  B  C thay cho (A  B)  C hay A  (B  C)
n

và

 A = A 1  A2  …  A n
i

i 1

10


Phần 1: Toán rời rạc – Chƣơng 2: Phƣơng pháp đếm

n

 A = A 1  A2 

i

11

…  An

i 1

4. Tích Descartes của tập hợp
Tích Descartes của hai tập hợp A, B ký hiệu AxB là các cắp có thứ tự (a,b) trong đó a
 A, b  B.
AxB =  (a,b)  a  A, b  B 
Ví dụ: Nếu A=a,b, B=1,2,3 thì
AxB =  (a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3) 
Định lý : Cho các tập hợp hữu hạn A, B, A1, A2, ,… An .Ta có:
AxB = A . A
 A1 x A2 x … x An  = A1.A2…An
II. Ánh xạ
Định nghĩa 1:
Một ánh xạ f từ tập hợp X vào tập hợp Y, ký hiệu f:XY, là phép tƣơng ứng
liên kết mỗi phần tử x  X với một phần tử duy nhất y  Y.
Khi ấy ta viết :

f: X 

Y

x  y=f(x)
X gọi là tập nguồn, Y gọi là tập đích
Phần tử y = f(x) gọi là ảnh của x, x gọi là nghịch ảnh của y

f(X) = y  Y   x  X, y = f(x)  gọi là miền giá trị của f.
Ví dụ :
Phép tƣơng ứng

f:R R
x  y = 2x+1

là một ánh xạ từ R vào R.
Phép tƣơng ứng
Xy =

f:R R
2
x5

không phải là ánh xạ từ R vào R.
Định nghĩa 2:
i. Nếu A là một tập con của X thì ảnh của A bởi f là tập hợp
f(A) = y  Y   x  A, y=f(x) 
ta cũng viết f(A) = f(x)  x  A
ii. Nếu B là tập con của Y thì ảnh ngƣợc của B là tập hợp


Phần 1: Toán rời rạc – Chƣơng 2: Phƣơng pháp đếm

12

f -1(B) =  x  X  f(x)  B 
Định nghĩa 3 (các loại ánh xạ) Cho ánh xạ f:XY
f đƣợc gọi là đơn ánh nếu x1, x2  X , x1 ≠ x2  f(x1 ) ≠ f(x2)

f đƣợc gọi là toàn ánh nếu f(X) = Y
f đƣợc gọi là song ánh nếu f dồng thời là đơn ánh và toàn ánh.
Chú ý: Nếu f: XY là song ánh, khi ấy y  Y, !x  X: f(x)=y
Do đó tƣơng ứng yx là một ánh xạ từ Y vào X và gọi là ánh xạ ngƣợc của f,
ký hiệu f -1
Ví dụ:
Cho f : Z  Q sao cho f(x) =

x
, f đơn ánh nhƣng khơng tồn ánh.
2

Cho f : R  R sao cho f(x) = x3, f là song ánh, f-1(x) =
Cho f : R  R , f(x) = 2x+1 là song ánh và f -1(x) =

3

x

x 1
2

Định nghĩa 4 (ánh xạ hợp): Cho hai ánh xạ
f : X  Y và g : Y  Z
Anh xạ hợp h là ánh xạ từ X vào Z xác định bởi:
h = gof : X  Z
x  h(x) = g(f(x))
Ví dụ: Cho f : R  R xác định bởi f(x) = cos(x)
và g : R  R xác định bởi g(x) = x3+1
Ta có gof : R  R xác định bởi gof(x) = g(f(x)) = g(cos(x)) = cos2x+1

Định lý: Giả sử f là một ánh xạ từ X vào Y, A1, A2 là hai tập con tùy ý của X, B1, B2 là
hai tập con tùy ý của Y. Ta có:
f(A1  A2) = f(A1)  f(A2)
f(A1  A2)  f(A1)  f(A2)
f -1(B1  B2) = f -1 (B1)  f -1 (B2)
f -1(B1  B2) = f -1 (B1)  f -1 (B2)
III. Giải tích tổ hợp
1. Phép đếm
a. Nguyên lý cộng
Giả sử một công việc đƣợc phân thành n trƣờng hợp riêng biệt:


Phần 1: Toán rời rạc – Chƣơng 2: Phƣơng pháp đếm

13

Trƣờng hợp 1 có m1 cách, trƣờng hợp 2 có m2 cách, …, trƣờng hợp n có mn
cách. Khi đó số cách chọn thực hiện công việc là m1 + m2 +…+ mn
Ví dụ: Cho tập hợp A = {a, b, c}. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một tập con B của A
Giải: Một tập hợp con B của A có số phần tử từ 0 cho đến 3 :
Trƣờng hợp 1: B = 0 , có 1 cách chọn (  ).
Trƣờng hợp 2: B = 1 , có 3 cách chọn ( {a}, {b}, {c} ).
Trƣờng hợp 3: B = 2 , có 3 cách chọn ( {a,b}, {a,c}, {b,c} ).
Trƣờng hợp 4: B = 1 , có 1 cách chọn ( {a, b, c} ).
Vậy số cách chọn là 1+3+3+1 = 8
Chú ý: Nguyên lý cộng có thể phát biểu dƣới dạng ngơn ngữ tập hợp nhƣ sau:
Cho A1, A2, … An là các tập hợp rời nhau, ta có:
A1  A2  …  An  = A1 + A2 + … +An 
Ví dụ: Một trƣờng PTTH có 250 học sinh lớp 10, 200 học sinh lớp 11 và 150 học sinh
lớp 12. Hỏi số học sinh tổng cộng của trƣờng là bao nhiêu ?

250 + 200 + 150 = 600
b. Nguyên lý nhân.
Giả sử một công việc đƣợc thực hiện qua n bƣớc liên tiếp, bƣớc 1 có m1 cách,
bƣớc 2 có m2 cách, …, bƣớc n có mn cách. Khi đó số cách chọn thực hiện công việc là
m1 . m2 … mn
Ví dụ1: Trong một lớp học có 30 ngƣời. Có bao nhiêu cách cử một ban đại diện gồm
một lớp trƣởng, một lớp phó, một thủ quỹ ?
Giải: Việc cử ra ban đại diện gồm 3 bƣớc:
Bƣớc 1: cử lớp trƣởng, có 30 cách.
Bƣớc 2: cử lớp phó , có 29 cách.
Bƣớc 3: cử thủ quỹ , có 28 cách.
Vậy theo ngun lý nhân, có 30.29.28 = 24360 cách.
Ví dụ 2: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau chia hết cho 10 ?
Giải: Đặt x = a1 a2 a3 a4 a5 là số thỏa mãn bài tốn.
a5 có 1 cách chọn (vì x chia hết cho 10 nên a5 = 0 ).
a4 có 9 cách chọn.
a3 có 8 cách chọn.
a2 có 7 cách chọn.
a1 có 6 cách chọn.
Theo nguyên lý nhân có 1.9.8.7.6 = 3024 số thỏa mãn yêu cầu.


Phần 1: Toán rời rạc – Chƣơng 2: Phƣơng pháp đếm

14

Ví dụ 3: Có bao nhiêu dãy nhị phân có độ dài bằng 7 ?
Giải : Mỗi một bit trong dãy nhị phân có 2 cách chọn. Theo nguyên lý nhân có 27 =
128 dãy nhị phân có độ dài 7.
Chú ý: Nguyên lý nhân có thể phát biểu dƣới dạng ngôn ngữ tập hợp nhƣ sau:

Cho A1, A2, … An là các tập hợp , ta có:
A1 x A2 x … x An  = A1 . A2 . … .An 
c. Nguyên lý bù trừ.
Khi hai công việc có thể đƣợc làm đồng thời ta tính tổng số cách làm từng công
việc rồi trừ đi số cách làm đồng thời cả hai cơng việc.
Ví dụ 1: Có bao nhiêu dãy nhị phân có độ dài bằng 8 hoặc bắt đầu bằng bit 1 hoặc kết
thúc bằng hai bit 00 ?
Giải : Số dãy nhị phân dài 8 bit bắt đầu bằng 1 là 27 = 128.
Số dãy nhị phân dài 8 bit kết thúc bằng 00 là 26 = 65.
Số dãy nhị phân dài 8 bit bắt đầu 1 và kết thúc 00 là 25 = 32
Vậy tổng số dãy nhị phân cần tìm là 128+64+32 = 160
Chú ý: Nguyên lý bù trừ có thể phát biểu dƣới dạng ngôn ngữ tập hợp nhƣ sau:
Cho A1, A2, … An là các tập hợp , ta có:
A1  A2  = A1 + A2 -  A1  A2 
A1  A2  A3  = A1 + A2 + A3  -  A1  A2  -  A1  A3  -  A2  A3 
+  A 1  A2  A 3 
Ví dụ 2: Trong một lớp học có 180 sinh viên. Trong số này có 55 sinh viên chọn học
mơn Anh văn, 45 sinh viên chọn học môn Anh văn và 15 sinh viên chọn học cả hai
môn Anh văn, Pháp văn. Hỏi có bao nhiêu sinh viên khơng theo học Anh văn lẫn Pháp
văn.
Giải: Gọi A, B lần lƣợt là tập sinh viên chọn học môn Anh văn, Pháp văn.
Ta có A = 55, B = 45, A  B = 15.
Số SV theo học Anh hoặc Pháp văn là A + B - A  B = 55+45-15 = 85
Vậy số SV không học cả Anh lẫn Pháp văn là 180 - 85 = 95
2. Giải tích tổ hợp
a. Hoán vị
Định nghĩa: Một hoán vị của n phần tử là một nhóm có thứ tự gồm đủ mặt n phần tử
đã chọn.
Ví dụ : Với M = {1,2,3} ta có tất cả các hốn vị sau đây của M:
(1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1)