78 HSG 18 TPHOCHIMINH

Website:tailieumontoan.com
ĐỀ THI CHỌN HSG TP HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC 2017-2018
Câu 1: (3,0 điểm)
Cho hai số a, b thỏa điều kiện: a  b  1 ,
2018
2018
Tính giá trị của biểu thức P  a  b .
2

2

a 4  b4 

1
2.

Câu 2: (3,0 điểm)
Giải phương trình:

5 x  2 3 x  6 .

Câu 3: (2,0 điểm)
Hình bên gồm 9 hình vng giống hệt nhau, mỗi
2
hình vng có diện tích 4 cm . Các điểm A, B, C , D là
đỉnh của các hình vng. Điểm E nằm trên đoạn
CD sao cho AE chia 9 hình vng thành hai phần
có diện tích bằng nhau. Tính độ dài đoạn CE .
Câu 4: (4,0 điểm)



 
.
1) Cho hai số thực x, y . Chứng minh rằng 
2) Các số A; B; C ; D; A  C; B  C ; A  D; B  D là tám số tự nhiên khác
1  x2 1  y 2  2 x 1  y 2

nhau từ 1 đến 8. Biết A là số lớn nhất trong các số A, B, C , D . Tìm

A .
Câu 5: (5,0 điểm)

 O  đường kính AB  4cm .
1) Cho nửa đường trịn
0
·
»
Góc DAB  30 và cung DB là một phần của đường
trịn tâm A . Tính diện tích phần tơ đậm.
2) Cho tứ giác nội tiếp ABCD có hai đường chéo
vng góc với nhau tại I . Đường thẳng qua I vng góc AD cắt cạnh
BC tại N . Đường thẳng qua I vng góc BC cắt cạnh AD tại M .
Chứng minh rằng nếu AB  CD  2 MN thì ABCD là hình thang.
Câu 6: (3,0 điểm)

Một ơ tô dự định đi từ thành phố A đến thành phố  B với vận tốc
không đổi là  v km / h . nếu vận tốc ơ tơ đó tăng thêm 20% thì nó sẽ
đến B sớm hơn dự định 1 giờ. Tuy nhiên sau khi đi được 120 km
với vận tốc v , ô tô tăng thêm 25% và đến B sớm hơn dự định 48
phút. Tính quãng đường giữa hai thành phố.
……………….HẾT…………….

Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu. Giám thị khơng giải thích gì thêm.
Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

mơn

tốn:

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website:tailieumontoan.com
Họ và tên thí sinh:…………………………………………….….Số báo danh:
………………….

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

mơn

tốn:

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website:tailieumontoan.com
LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TP HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC 20172018
Câu 1: (3,0 điểm)
Cho hai số a, b thỏa điều kiện: a  b  1 ,
2018
2018
Tính giá trị của biểu thức P  a  b .
2

2

a 4  b4 

1
2.

Lời giải
1
2 

1
1
1

2
2
a 2b 2 
a
1

a

 =4
4 
Ta có
=2 
1
1
2
2
a2 
b2 
4
2
2
a

1

0


4a  4a  1  0 


2 
2 .
a 4  b4 

Do đó

Pa



2 1009

 a 2  b 2   2a 2b 2
2

 b



2 1009

1009

1
 
2

1009

1

 
2



1
1008

2

.

Câu 2: (3,0 điểm)
Giải phương trình:

5 x  2 3 x  6 .
Lời giải

ĐKXĐ: 3  x  5 .Bình phương 2 vế của phương trình ta được:

 5  x   x  3  4  3  x   36

5 x 4
Với ĐK:

3  x 

 4

 5  x   x  3

 19  3 x

19
3 .Ta có phương trình

16  5  x   x  3   19  3x 

2

 25 x 2  146 x  121  0
  x  1  25 x  121  0
121
 x  1 hay
25 ( thỏa mãn điều kiện)
 121 
S  1;

 25  .
Vây phương trình có tập nghiệm
x

.
Câu 3: (2,0 điểm)
Hình bên gồm 9 hình vng giống hệt nhau, mỗi
2
hình vng có diện tích 4 cm . Các điểm A, B, C , D
là đỉnh của các hình vng. Điểm E nằm trên
đoạn CD sao cho AE chia 9 hình vng thành hai
phần có diện tích bằng nhau. Tính độ dài đoạn

CE .
Lời giải

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

mơn

tốn:

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website:tailieumontoan.com
Mỗi hình vng có diện tích 4 cm
cm .

2

nên mỗi hình vng nhỏ có cạnh là 2

1
1
S AOE  SOBMC  S9 hinh vuong  4  .9.4  22cm 2

2
2
1
22.2 11
OA.OE  22
OE 
  cm 
 2

4
2
( vì OA  4.2  8cm ).
11
7
CE  OE  OC   2   cm 
2
2
Vậy
.

Câu 4: (4,0 điểm)

1) Cho hai số thực x, y . Chứng minh rằng 
Lời giải

1  x2   1  y2   2 x  1  y2 

.

 1  x2   1 y2   2x  1 y2 

Ta có
2 2
2
2
2
 x y  x  y  1  2 x  2 xy


x



 x  1

2

 2 x  1   x 2 y 2  2 xy 2  y 2   0
2

  xy  y   0
2

( bất đẳng thức đúng).
1 x   1 y   2x  1 y2 

Vậy
.
A
;
B

;
C
;
D
;
A

C
;
B

C; A  D; B  D là tám số tự nhiên khác
2) Các số
nhau từ 1 đến 8. Biết A là số lớn nhất trong các số A, B, C , D . Tìm
2

2

A.

Lời giải
3  A  B  C  D   36  A  B  C  D  12

Ta có tổng của 8 số:
Mà B  C  D  1  2  3  6  A  6 .
Hơn nữa 4 A  A  B  C  D  12  A  3 .

 1 .

B, C , D   1; 2;3  B  C  D  6

Nếu A  4 
. Điều này mâu thuẫn (1).
B, C , D   1; 2;3; 4
B, C , D   1; 2; 4
Nếu A  5 
. (1)  B  C  D  7 . Do đó
.
Do A  D và A  C bé hơn bằng 8 nên C , D  4  B  4 . Nếu C  1, D  2 thì
A  C  B  D  6 là vô lý. Nếu C  2, D  1 thì A  D  B  C  6 là vô lý.
B, C , D   1; 2;3; 4;5
Do đó A chỉ có thể là 6, suy ra
. Từ (1) ta có
B  C  D  6 . Do đó B, C , D   1; 2;3 . Hơn nữa A  D, A  C  8 nên C , D  3 ,
suy ra B  3 . Với C  1, D  2 hay hay C  2, D  1 đều thỏa mãn yêu cầu
đề bài. Vậy A  6 .
Câu 5: (5,0 điểm)
Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

mơn

tốn:

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

Website:tailieumontoan.com
·
 O  đường kính AB  4cm . Góc DAB
 30 và cung
1) Cho nửa đường tròn
»
DB
là một phần của đường trịn tâm A . Tính diện tích phần tơ đậm.
Lời giải
2p
Sphần trắng = SDOAE + Squạt OBE = 3 +
3
2
3
Sphần tôđậm  Snửa hình tròn  Squạt ABD  2Sphần trắng
Sphần trắng  SOAE  Squạt OBE  3 

 2 


4
2 
 2 3 

3
3


 2  2 3

Câu 6: (3,0 điểm)

Một ô tô dự định đi từ thành phố A đến thành phố B với vận tốc
không đổi là vkm/ h . Nếu vận tốc ô tơ đó tăng thêm 20% thì nó sẽ
đến B sớm hơn dự định 1 giờ. Tuy nhiên sau khi đi được 120 km
với vận tốc v, ô tô tăng thêm 25% và đến B sớm hơn dự định 48
phút. Tính quãng đường giữa hai thành phố.
Lời giải
48 4
= =
Đổi đơn vị : 48 phút 60 5 (giờ).
( km) là quãng đường giữa hai thành phố A và B ( s> 0) .Nếu vận
Gọi s
tốc ơ tơ đó tăng thêm 20% thì nó sẽ đến B sớm hơn dự định 1 giờ nên
ta có phương trình:
s
s
s
=1
v=
v v+ 20%
Û
6 ( 1) .
Sau khi đi được 120  km với vận tốc  v , ô tô tăng thêm 25% và đến  B
120
s- 120
s 4
= v+ 25%v v 5

sớm hơn dự định 48 phút nên ta có phương trình: s
(2)
ìï
s
ïï
v=
ïï
6
í
ìï v = 60
ïï 120 s- 120
s 4
ïí
=
ïï
ï s = 360
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: ỵï 2 v+ 25%v v 5 Û îï
Vậy quãng đường giữa hai thành phố A và B là 360 km.

……………..HẾT……………
Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

mơn

tốn:

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website:tailieumontoan.com

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

mơn

tốn:

TÀI LIỆU TỐN HỌC