Đề thi HSG lớp 12 có đáp án đề 18

Đề thi học sinh giỏi khối 12
Thời gian: 180 phút
Bài 1:
Cho hàm số:
0
3
4
2
3
1
23
=++=
xxxy
Câu1 (2,5đ): Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
Câu2(2đ): Viết phơng trình đờng tròn đi qua các điểm cực trị của
(C) và gốc
toạ độ
Bài 2: Giải các phơng trình
Câu1(2đ) :
013sin12cos4cos8
2
=++
xxx
Câu2(2đ) :
3
3
1221
=+
xx
Bài 3:
Câu1(2đ) :Không dùng bảng số hoặc máy tính. Chứng minh rằng

tg55
0
>1,4
Câu2(2đ): Giải phơng trình: 2004
x
+ 2006
x
= 2. 2005
x
Câu3(3đ): Tính tích phân sau




+
=
2
2
2
sin4
cos


dx
x
xx
I
Bài 4: (2đ)Trong mặt phẳng toạ độ {xoy}. Cho Elíp (E) có phơng trình

1

49
22
=+
yx
và điểm M(1;1)
Một đờng thẳng đi qua điểm M, cắt (E) tại P;Q. Các tiếp tuyến của (E)
tại
P; Q cắt nhau tại I. Tìm tập hợp các điểm I
Bài 5:(2,5đ) Trong không gian cho hệ toạ độ {oxyz}. Cho điểm A(a;0;0)
B(0;b;0) C(0;0;c)
và M(1;2;4) thuộc mặt phẳng ABC. Viết phơng trình mặt phẳng ABC
để cho thể
tích của khối OABC nhỏ nhất.
Bài Nội dung Điểm
Bài 1
Câu1
------
----
Câu2
1/ Tập xác định: R
2 /Chiều biến thiên
a/ y'=x
2
+2x-2

--------------------------------------------------------------------------------
y'= 0 x
2
+2x-2= 0
31

2;1
=
x

324
=
y
---------------------------------------------------------------------------------

b/ y'' = 2x+2 = 0 x= -1 y = 4
---------------------------------------------------------------------------------
c/ Bảng biến thiên:
x
-
31

- 1
31
+
+
y'' - 0 +
y
+
-
324
+
4
324

3/ Đồ thị

y

324
+
4



324



31

-1O
31
+
x
Ta có

22')1(
3
1
++=
xyxy
y'= 0 tại x
i
y(x
i
) = - 2x

i
+2
------------------------------------------------------------------------------
Vậy:
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5




=+
+=
(2)
(1)
022
22
2
ii
ii
xx
xy
--------------------------------------------------------------------------
Từ (1) và (2) ta có
048
2
=+
ii

yy
(3)
Vậy phơng trình đờng tròn đi qua các điểm Cực trị có dạng
(y
2
- 8y+4) + (x
2
+2x-2) + t(y+2x-2) = 0
----------------------------------------------------------------------------
Vì đờng tròn đi qua O(0;0) nên ta có
2 - 2t = 0 t = 1
Thay t = 1 Ta có
x
2
+ y
2
+4x -7y = 0
0.5
0.5
0.5
Bài 2
Câu1
------
--
Câu2
8cos 4x.cos
2
2x +
x3sin1

+1 = 0
4(1+cos4x)cos4x+
x3sin1

+1= 0
--------------------------------------------------------------------------------
(2cos4x+1)
2
+
x3sin1

= 0










=
=

=
=+

13sin
2

1
4cos
03sin1
014cos2
x
x
x
x
------------------------------------------------------------------------------










=
=

=
=

13sin
2
1
sin.3sin
13sin

2
1
sin.3sincos3cos
x
xx
x
xxxx
vì sin3x = 1 nên cox3x = 0
sinx =





+=
+=
=




2
6
5
2
6
2
1
sin
lx

kx
x

3
3
1221
=+
xx
(1)
Đặt
3
12
=
xy
Ta có
12
3
=
xy



=+
=+

(2)

xy
yx
21

)1(21
)1(
3
3

(x- y)(x
2
+ y
2
+ xy + 2) = 0
Vì x
2
+ y
2
+ xy + 2 > 0 mọi x nên x= y
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
------------------------------------------------------------------------------
Thay x=y vµo ph¬ng tr×nh (1). Ta cã
x
3
-2x+ 1 = 0
---------------------------------------------------------------------------------
⇔
2
51
1

±−
=
=
x
x
0.5
0.5
0.5
Bµi 3
C©u1
------
-
Ta cã

xtgx 0 Hayx

cos
1
(x)f' x -tgxf(x)
2
x0 tg
2

2
>>⇔>
∀>
−
=−=⇔=
<<>⇔>⇔<<
)0()(

0
cos
cos1
1
0
2
2
fxf
x
x
x
x
xtgx
π
αα
π
α
0
18
1
18
1
)
184
(55
0
>=⇔
+
=
−

+
=+=
2
t)-(1
2
(t) g'
t-1
t1
g(t)Goi
π
π
ππ
tg
tg
tgtg
VËy hµm g(t) lµ hµm ®ång biÕn
------------------------------------------------------------------------------
Tõ

4,1)
6
1
()
18
(
)
18
()
18
(

1818
>>⇔





>
>
gg
gtgg
tg
π
ππ
ππ
------------------------------------------------------------------------------
VËy

4,1)
18
(55
0
>=
π
tggtg
-----------------------------------------------------------------------------
Ta cã
2004
x
+ 2006

x
= 2. 2005
x
⇔ 2006
x
- 2005
x
= 2005
x
- 2004
x
Gäi x
0
lµ méi nghiÖm cña ph¬ng tr×nh
Ta cã
0.5
0.5
0.5
0.5
C©u2
------
--
C©u3

0000
2004200520052006
xxxx
−=−
§Æt

)2004()2005(
)1()(')1()(
1
0
1
0
0000
ff
txtxtftttf
xxxx
=
−−=⇔−−=
−−
-------------------------------------------------------------------------
V× f(t) liªn tôc trªn [2004;2005] nªn ∃ α ∈[2004; 2005] ®Ó

20042005
)2004()2005(
)(
−
−
=
ff
f
α
--------------------------------------------------------------------------------
V×
0)('0)2004()2005(
=⇒=−
α

fff
Suy ra
0)1()('
1
0
1
0
00
=−−=
−−
xx
xxf
ααα

-------------------------------------------------------------------------------




=
=
⇔



=−+
=
⇔=−−
−−
−−

1
0
0)1(
0
0])1[(
0
0
11
0
11
0
00
00
x
x
x
x
xx
xx
αα
αα

-----------------------------------------------------------------------------------
Ta cã
21
2
2
2
2
2

2
2
22
sin4
sin4sin4
cos
III
dx
x
cox
dx
x
x
dx
x
xx
I
+=
−
+
−
=
−
+
=
∫ ∫∫
− −−
π
π
π

π
π
π
------------------------------------------------------------------------------
∫
∫∫∫
−
−−
−
=+=
−
+
−
=
−
=
0
2
2
12111
2
0
2
0
2
2
2
2
2
1

sin4
sin4sin4sin4
π
π
π
π
π
dx
x
x
III
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
x
I
11
I
-----------------------------------------------------------------------
§Æt x= -t dx= -dt
x= 0 t = 0
x=-
2
π
t=

2
π
Ta cã
∫∫
−
−=
−
=
−
2
0
2
0
2
2
sin4sin4
π
π
dt
t
t
dx
x
x
11
I
-------------------------------------------------------------------------------
0.5
0.5
0.5

0.5
0.5
0.5