016 đề HSG toán 8 huyện 2012 2013

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN
Năm học : 2012-2013
Bài 1. ( 4 điểm)

Cho biểu thức :

 1 − x3

1 − x2
A=
− x ÷:
2
3
 1− x
 1− x − x + x

a) Rút gọn biểu thức

( x ≠ ±1)

A
x = −1

2
3

A
b) Tính giá trị của biểu thức tại
x
A < 0.
c) Tìm giá trị của để

Bài 2 (3 điểm)
2
2
2
( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) = 4.( a 2 + b 2 + c 2 − ab − ac − bc )
Cho
a=b=c
Chứng minh rằng
Bài 3 (3 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình:
11.
Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là
Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng
mẫu số lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân
số đó
Bài 4 (2 điểm)
A = a 4 − 2a3 + 3a 2 − 4a + 5
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài 5 (3 điểm)
ABC
600
BD.
Cho tam giác
vuông tại A có góc ABC bằng
, phân giác
Gọi
M , N, I
BD, BC , CD
theo thứ tự là trung điểm của
AMNI
a) Tứ giác

là hình gì ? Chứng minh.
AB = 4cm.
AMNI
b) Cho
Tính các cạnh của tứ giác
Bài 6. (5 điểm)


Hình thang ABCD

( AB / /CD )

có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường
AD, BC
AB
thẳng qua O và song song với đáy
cắt các cạnh bên
theo thứ tự ở
M,N
a) Chứng minh rằng

OM = ON
1
1
2
+
=
AB CD MN

b) Chứng minh rằng

S AOB = 20082
SCOD = 20092 ( dvdt ).
S ABCD
c) Biết
(dvdt);
Tính


ĐÁP ÁN
Bài 1.

x ≠ ±1

a) Với

thì:

1 − x3 − x + x 2
( 1− x) ( 1+ x)
A=
:
1− x
( 1 + x ) ( 1 − x + x2 ) − x ( 1 + x )
=

( 1 − x ) ( 1 + x + x2 − x )
1− x

= ( 1 + x2 ) :

:

( 1 − x) ( 1 + x)
( 1 + x ) ( 1 − 2 x + x2 )

1
= ( 1 + x 2 ) .( 1 − x )
1− x
2 −5
x = −1 =
3 3

b) Tại
thì
2
  5     5    25   5 
2
A = 1 +  − ÷  − 1 −  − ÷ = 1 + ÷.1 + ÷ = 10
9   3
27
  3     3   

x ≠ ±1

(1+ x ) (1− x) < 0
2

A<0

(1)

c) Với
thì
khi và chỉ khi
( 1)
1 + x2 > 0
x
1− x < 0 ⇔ x >1
Vì
với mọi nên
xảy ra khi và chỉ khi
Bài 2.
Biến đổi đẳng thức để được

a 2 + b 2 − 2ab + b 2 + c 2 − 2bc + c 2 + a 2 + 2ac = 4a 2 + 4b 2 + 4c 2 − 4ab − 4ac − 4bc

Biến đổi để có:
Biến đổi để có:

(a

2

+ b 2 − 2ac ) + ( b 2 + c 2 − 2bc ) + ( a 2 + c 2 − 2ac ) = 0

( a − b)

2

+ ( b − c ) + ( a − c ) = 0 ( *)

2

2


Vì

( a − b)

Nên

( *)

2

≥ 0; ( b − c ) ≥ 0; ( a − c ) ≥ 0
2

2

xảy ra khi và chỉ khi

Từ đó suy ra

( a − b)

2

với mọi

a , b, c

= 0; ( b − c ) = 0; ( a − c ) = 0
2

2

a=b=c

Bài 3.
Gọi tử số của phân số cần tìm là

Phân số cần tìm là

x

thì mẫu số của phân số cần tìm là

x + 11

x
( x ≠ −11)
x + 11

Khi bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số lên 4 đơn vị thì ta được phân số

Theo bài ta có phương trình :

x
x + 15

=
x + 11 x − 7

Giải phương trình và tìm được
−
Từ đó phân số cần tìm là

x = −5 (tm)

5
6

Bài 4.
Biến đổi để có:

A = a 2 ( a 2 + 2 ) − 2a ( a 2 + 2 ) + ( a 2 + 2 ) + 3

= ( a 2 + 2 ) ( a 2 − 2a + 1) + 3 = ( a 2 + 2 ) ( a − 1) + 3
2

x−7
x + 15


Vì

a 2 + 2 > 0∀a

Do đó:
Dấu

(a

"="

2

và

( a − 1)

2

≥ 0∀a

+ 2 ) ( a − 1) + 3 ≥ 3
2

xảy ra khi và chỉ khi

nên

(a

2

+ 2 ) ( a − 1) ≥ 0∀a

∀a
a −1 = 0 ⇔ a = 1

2


Bài 5.

a) Chứng minh được AMNI là hình thang
Chứng minh AN = MI từ đó suy ra tứ giác AMNI là hình thang cân
4 3
8 3
AD =
cm; BD = 2 AD =
cm
3
3
b) Tính được
1
4 3
AM = BD =
cm
2
3
NI = AM =
Tính được
DC = BC =

8 3
1
4 3
cm, MN = DC =

cm
3
2
3

AI =
Tính được

4 3
cm
3

8 3
cm
3


Bài 6.

OM OD ON OC OD OC
=
;
=
;
=
AB BD AB AC DB AC

a) Lập luận để có:
OM ON
⇒

=
⇒ OM = ON
AB AB

b) Xét

Từ

OM DM
=
( 1)
AB
AD

(Định lý Ta let)

OM AM
=
(2)
DC
AD

∆ADC
, Xét
có :
1  AM + DM AD
 1
⇒ OM .
+
=

=1
÷=
( 1) , ( 2 )
AD
AD
 AB CD 

∆ABD

có:

Chứng minh tương tự :

1 
1
1
2
 1
ON .
+
+
=
÷= 2 ⇒
AB CD MN
 AB CD 

c)
S AOB OB S BOC OB
=
,

=
⇒ S AOB .S DOC = S BOC .S AOD
S AOD OD S DOC OD


S AOD = S BOC ⇒ S AOB .S DOC = ( S AOD )

2

Chứng minh được:
2
20082.20092 = ( S AOD ) ⇒ S AOD = 2008.2009
Thay số để có
2
S ABCD = 20082 + 2.2008.2009 + 20092 = ( 2008 + 2009 ) = 4017 2 ( dvdt )
Do đó :