007 đề HSG toán 8 huyện 2015 2016

ĐỀ THI OLYMPIC HUYỆN
MÔN TOÁN LỚP 8
Năm học 2015-2016
(Thời gian làm bài : 120 phút)
Bài 1. Phân tích thành nhân tử: x4  6 x2  7 x  6
Bài 2. Cho x, y, z là các số thực không âm. Tìm giá trị nhỏ nhất của :
x 4  y 4  z 4 biết x  y  z  2

Bài 3. Cho x, y, a, b là những số thực thỏa mãn:

x4 y 4 x2  y 2


và x 2  y 2  1
a
b
ab
Chứng minh:

x 2006 y 2006
2


a1003 b1003  a  b 1003

Bài 4. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức:
ab
bc
ca
1 1 1




 
bc  a 2 ac  b 2 ab  c 2 a b c

Bài 5. Cho tam giác vuông cân ABC  AB  AC  . Trên cạnh AB lấy điểm M sao
cho BM  2MA , trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C vẽ đường thẳng
Bx vuông góc với AB, trên Bx lấy điểm N sao cho BN 

1
AB . Đường thẳng MC
2

cắt NA tại E , đường thẳng BE cắt đường thẳng AC tại F .
a) Chứng minh AF  AM .
b) Gọi H là trung điểm của FC. Chứng minh EH  BM


ĐÁP ÁN
Bài 1.
x4  6x2  7 x  6
 x 4  2 x3  2 x3  4 x 2  2 x 2  4 x  3x  6
 x3  x  2   2 x 2 ( x  2)  2 x  x  2   3  x  2 
  x  2   x3  2 x 2  2 x  3

  x  2   x3  3 x 2  x 2  3 x  x  3
  x  2   x 2  x  3  x  x  3   x  3 
  x  2  x  3  x 2  x  1

Bài 2.

Áp dụng công thức Bunhiacopski ta có:
2

4
2
2
 x  y  z    x  y  z    3 x  y  z  

2

 9  x 2  y 2  z 2   27  x 4  y 4  z 4 
2

 16  27  x 4  y 4  z 4   x 4  y 4  z 4 

Vậy GTNN của x 4  y 4  z 4 là

16
27

16
2
x yz
27
3

Bài 3.
Từ giả thiết suy ra:
4

4

x
y

a
b

x


2

 y2 

ab

2

  bx 4  ay 4   a  b   ab  x 2  y 2 

2

 b 2 x 4  a 2 y 4  2abx 2 y 2  0   bx 2  ay 2   0
2

x2 y 2 x2  y 2
1
 bx  ay  0 




a
b
ab
ab
2006
2006
2006
x
y
1
x
y 2006
2
 1003  1003 
 1003  1003 
(dpcm)
1003
1003
a
b
a
b
a  b
a  b
2

2

Bài 4.
Ký hiệu vế trái là A, vế phải là B, xét hiệu A  B

ab
1
bc
1
ca
1





bc  a 2 a ac  b 2 b ab  c 2 c
a 2  ab  bc  a 2 b 2  bc  ac  b 2 c 2  ac  ab  c 2



a  bc  a 2 
b  ac  b 2 
c  ab  c 2 


ba  c

a  bc  a



2



c b  a 

b  ac  b

2





a c  b 

c  ab  c 2 

Do a, b, c bình đẳng nên giả sử a  b  c, khi đó b  a  c   0, c  b  a   0 ,
a c  b  0
a3  b3  c3  abc  a3  abc  b3  abc  c3 

 A B 


b  ac  b 2 

a b  c 

b  ac  b

Mà

ba  c

2







c b  a 

b  ac  b 2 



a c  b

c  ab  c 2 

ba  c

a  bc  a 2 


a b  c 

c  ab  c 2 

1
1
nên A  B  0 đpcm

2
b  ac  b  c  ab  c 2 



ba  c

b  ac  b 2 

ab  ac
ac  ab

b  ac  b 2  c  ab  c 2 


Bài 5.

K
F
A
E
M
N

C

B
a) Đường thẳng EC cắt đường thẳng BN tại K.
Ta có: AC  AB  gt  , KB  AB  gt   FC / / KB
AF AE 

AF AC
AF AC
AB 2
NB EN 



 AF 

AC AE 
NB NK
AB NK
2 NK

NK EN 

AC AM 1
AC
1
AB
1

 

 

AB 2
BK MB 2
KN  NB 2
KN 
2
2 AB
1
3

  4 AB  2 KN  AB  KN  AB
2 KN  AB 2
2

1

(2)

AB 2 AB

 AF  AM (Đpcm)
Từ (1) và (2)  AF 
3 AB
3
b) Từ chứng minh trên suy ra AFB  AMC  ABF  ACM
Mà ABF  AFB  900  ACM  AFB  900

 FEC  900  EH 
Mà FH  FA  AH 

FC
 FH
2

AC AC 2 AC


 BM  EH  BM  dfcm 
3
3
3