TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN

Mục lục
Lời nói đầu 1
1 Kiến thức chuẩn bị 3
1.1 Quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Chuyển động Brown và tích phân ngẫu nhiên . . . . . . 4
1.3 Quá trình Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Phương trình vi phân ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Một vài kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Tính ổn định của phương trình vi phân ngẫu nhiên 14
2.1 Tính ổn định theo xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Ổn định tiệm cận theo xác suất và tính không ổn định . 17
2.3 Tính khả vi của nghiệm của phương trình ngẫu nhiên với
điều kiện ban đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 p-ổn định mũ và q-ổn định mũ . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 Hệ phương trình ngẫu nhiên tuyến tính 34
3.1 Hệ một chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2 p-ổn định mũ và q-không ổn định mũ . . . . . . . . . . . 40
3.3 Ổn định đều theo nghĩa rộng . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.4 Tính ổn định tiệm cận của hệ tuyến tính với hệ số hằng . 53
Kết luận 60
Tài liệu tham khảo 61
i
LỜI NÓI ĐẦU
Lý thuyết ổn định là một trong những bộ phận quan trọng của lý
thuyết định tính các phương trình vi phân được đặt nền móng bởi A.
Lyapunov, một nhà toán học người Nga vào cuối thế kỉ XIX. Lý thuyết
này phát triển mạnh kể từ đó và ngày càng được ứng dụng nhiều để
phân tích các quá trình thực tiễn. Được sự hướng dẫn của thầy giáo TS.
Trần Quang Vinh, chúng tôi đã chọn đề tài nghiên cứu “Tính ổn định
của hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên”, luận văn này nghiên
cứu sự biến thiên của nghiệm của hệ phương trình vi phân thường với

vế phải ngẫu nhiên.
Cấu trúc của luận văn gồm ba chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Chương này liệt kê các khái niệm cơ
bản về quá trình ngẫu nhiên; định nghĩa chuyển động Brown, tích phân
ngẫu nhiên và một số tính chất của nó; khái niệm về quá trình Markov;
khái niệm về phương trình vi phân ngẫu nhiên và công thức vi phân
Itô; phát biểu một vài kết quả bổ trợ cho các nghiên cứu ở chương 2 và
chương 3.
Chương 2: Tính ổn định của phương trình vi phân ngẫu nhiên. Mục
đích của chương này là nghiên cứu các loại ổn định của phương trình
Itô:
dX(t) = b(t, X)dt +
k

r=1
σ
r
(t, X)dξ
r
(t).
Ta giả sử rằng X(t), b(t, x) và σ
r
(t, x) là các vectơ trong R
l
, và ξ
r
(t)
là quá trình Wiener độc lập. Hơn nữa, ta giả sử các hệ số của phương
trình thỏa mãn điều kiện Lipschitz trong mọi miền bị chặn của x, tức
là:

k

r=1
|σ
r
(t, x) −σ
r
(t, y)| + |b(t, x) −b(t, y)| < B|x −y|.
Các định lý 2.1, 2.5 và 2.8 là sự khái quát hóa những hệ ngẫu nhiên của
phương pháp Lyapunov thứ 2. Tất cả chúng đều yêu cầu điều kiện hàm
1
Lyapunov phải trơn đều theo t và x trong một lân cận của x = 0, có thể
trừ ra tại điểm x = 0. Ở chương này, ta sẽ xét thêm tính ổn định theo
xác suất theo nghĩa mạnh, chính xác là ta sẽ biểu diễn những điều kiện
ổn định không chỉ cho trường hợp |X(t)| → 0 theo xác suất đều theo t,
mà còn trường hợp sup
t>0
|X(t)| → 0 theo xác suất khi |X(0)| → 0.
Chương 3: Hệ phương trình ngẫu nhiên tuyến tính. Chương này dành
cho những nghiên cứu chi tiết về hệ tuyến tính. Trong chương này, ta sẽ
chứng minh rằng tính ổn định hoặc không ổn định của hệ ngẫu nhiên
tuyến tính với hệ số độc lập thời gian được xác định bởi dấu của kỳ
vọng của một biến ngẫu nhiên đã biết, phân phối dừng của một quá
trình Markov đã biết trong không gian l-chiều. Kỳ vọng này sẽ bằng
lim
t→∞
ln |X(t)|
t
-là số mũ Lyapunov của hệ tuyến tính.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Trần Quang Vinh,

người đã giành nhiều công sức, thời gian để hướng dẫn, kiểm tra và giúp
đỡ tác giả trong việc nắm bắt kiến thức cũng như trong việc định hình
hoàn thiện bản luận văn này. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành
tới toàn thể các thầy cô trong khoa Toán - tin, trường Đại học Sư phạm
Hà Nội đã giảng dạy và chỉ bảo tận tình trong suốt quá trình tác giả
học tập tại khoa. Luận văn cũng được hoàn thành nhờ sự quan tâm,
ủng hộ và giúp đỡ của gia đình, bạn bè và tập thể lớp cao học xác suất
K20, mọi người đã luôn bên cạnh để động viên và cho tác giả những lời
khuyên bổ ích.
Hà Nội, ngày 08 tháng 11 năm 2012
Học viên
Lê Phương Thanh
2
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1 Quá trình ngẫu nhiên
Định nghĩa 1.1. Cho T là 1 tập vô hạn nào đó. Nếu với mỗi t ∈ T , X
t
là một biến ngẫu nhiên thì X = (X
t
, t ∈ T) được gọi là hàm ngẫu nhiên
với tham biến t ∈ T .
(i) Nếu T là tập đếm được thì X = (X
t
, t ∈ T ) được gọi là quá trình
ngẫu nhiên với tham số rời rạc.
(ii) Nếu T là 1 khoảng của đường thẳng thực thì X = (X
t
, t ∈ T ) được
gọi là quá trình ngẫu nhiên với tham số liên tục.

Định nghĩa 1.2. Cho quá trình ngẫu nhiên X = (X
t
, t ∈ T) trên không
gian xác suất (Ω, F, P), với mỗi ω ∈ Ω cố định, X
·
(ω) : T → R được gọi
là quỹ đạo của quá trình.
Quá trình X = (X
t
, t ∈ T) được gọi là liên tục (liên tục phải, liên
tục trái) nếu hầu hết các quỹ đạo của nó là hàm liên tục (liên tục phải,
liên tục trái). Nghĩa là: P {ω : X
·
(ω) là hàm liên tục (liên tục phải, liên
tục trái) đối với t ∈ T } = 1.
Quá trình X = (X
t
, t ∈ T) được gọi là quá trình đo được nếu ánh xạ
X : Ω × T → R là đo được đối với σ- đại số tích F × Γ, ở đây Γ là σ-
đại số các tập con của T .
Quá trình X = (X
t
, t ∈ T ) được gọi là quá trình có số gia độc lập
nếu với mọi t
0
< t
1
< < t
n
; t

k
∈ T ; k = 1, , n; những biến ngẫu nhiên
X
t
0
; X
t
1
−X
t
0
; X
t
2
−X
t
1
; ; X
t
n
−X
t
n−1
là những biến ngẫu nhiên độc lập.
3
Định nghĩa 1.3. Một lọc (F
t
, t  0) là 1 họ tăng các σ- đại số con của
F; nghĩa là với mọi 0 < t < s < ∞ thì F
t

⊂ F
s
⊂ F.
Quá trình X = (X
t
, t ∈ T) được gọi là tương thích với lọc (F
t
, t  0)
nếu ∀t  0 X
t
là F
t
- đo được.
Lọc nhỏ nhất mà đối với nó X tương thích được gọi là lọc sinh bởi X.
Kí hiệu F
X
t
, nghĩa là : F
X
t
= σ(X
s
, s  t)
Lọc F
X
t
được gọi là lọc tự nhiên của quá trình ngẫu nhiên (X
t
, t ∈ T).
1.2 Chuyển động Brown và tích phân ngẫu

nhiên
Định nghĩa 1.4. Một quá trình ngẫu nhiên B(t, ω) được gọi là một
chuyển động Brown nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:
1. P {ω : B(0, ω) = 0)} = 1
2. Với 0  s  t bất kì, biến ngẫu nhiên B(t) − B(s) có phân phối
chuẩn kì vọng 0 và variance t −s nghĩa là
P {a  B(t) −B(s)  b} =
1

2π(t −s)

b
a
e
−x
2
/2(t−s)
dx
3. B(t, ω)có số gia độc lập, tức là với bất kì 0  t
1
< t
2
< < t
n
các
biến ngẫu nhiên B(t
1
), B(t
2
) −B(t

1
), , B(t
n
) −B(t
n−1
) độc lập.
4. Hầu tất cả các quỹ đạo của B(t, ω) liên tục, nghĩa là:
P {ω : B(., ω) liên tục} = 1.
Định nghĩa 1.5. Cho (Ω, A, P ) là không gian xác suất cơ sở; L
2
[a, b]
là không gian Hilbert của tất cả các hàm bình phương khả tích trên
[a,b]. B(t, ω) là một chuyển động Brown. Với mỗi f ∈ L
2
[a, b] giới hạn
I(f) = lim
n→∞
I(f
n
) trong L
2
(Ω)(với {f
n
}
∞
n=1
là dãy hàm bước nhảy hội tụ
đến f trong L
2
[a, b]) được gọi là tích phân Wiener của f và ta kí hiệu:

I(f)(ω) =


b
a
f(t)dB(t)

(ω); ω ∈ Ω hcc
4
để đơn giản ta kí hiệu là

b
a
f(t)dB(t) hoặc

b
a
f(t)dB(t, ω).
Định nghĩa 1.6. (Tích phân Itô) Cho B(t) là một chuyển động Brown
thích nghi với lọc {F
t
; a  t  b} sao cho biến ngẫu nhiên B(t) − B(s)
độc lập với σ- trường F
s
.
Kí hiệu L
2
ad
([a, b]×Ω) là không gian các quá trình ngẫu nhiên f(t, ω)
với a  t  b, ω ∈ Ω thỏa mãn các điều kiện:

1. f(t, ω) thích nghi với lọc {F
t
};
2.

b
a
E(|f(t)|
2
)dt < ∞.
Với f làm 1 hàm bất kỳ trong L
2
ad
([a, b] × Ω), tồn tại 1 dãy hàm bước
nhảy {f
n
(t); n = 1} trong L
2
ad
([a, b] ×Ω) sao cho
lim
n→∞

b
a
E(|f(t) −f
n
(t)|
2
)dt = 0.

Ta có
E(|I(f
n
) −I(f
m
)|
2
) =

b
a
E(|f
n
(t) −f
m
(t)|
2
)dt → 0 khi m, n → ∞.
( Ở đây I(f
n
) =

n
i=1
ξ
i−1
(B(t
i
) −B(t
i−1

)))
Do vậy, dãy I(f
n
) là một dãy Cauchy trong L
2
(Ω) và ta có giới hạn
I(f) = lim
n→∞
I(f
n
) trong L
2
(Ω).
Giới hạn này được gọi là tích phân Itô của hàm f và được kí hiệu

b
a
f(t)dB(t).
Định lý 1.1. Cho f, g ∈ L
2
ad
([a, b] ×Ω); α, β là hai số thực. Khi đó:
1. E

b
a
f(t)dB(t) = 0.
2. E|

b

a
f(t)dB(t)|
2
= E

b
a
|f(t)|
2
dt.
3.

b
a
(αf(t) + βg(t))dB(t) = α

b
a
f(t)dB(t) + β

b
a
g(t)dB(t).
4. E(

b
a
f(t)dB(t) ·

b

a
g(t))dB(t)) =

b
a
E(f(t).g(t))dt.
5
Định lý 1.2. (Tính chất Martingale) Giả sử f ∈ L
2
ad
([a, b]×Ω) khi đó
quá trình ngẫu nhiên X(t) =

t
a
f(s)dB(s); a  t  b là một martingale
với lọc {F
t
; a  t  b}.
Định lý 1.3. (Tính chất liên tục) Giả sử f ∈ L
2
ad
([a, b] × Ω) khi đó
quá trình ngẫu nhiên X(t) =

t
a
f(s)dB(s); a  t  b là liên tục, nghĩa
là tất cả các quỹ đạo chuyển động của nó là các hàm liên tục trên khoảng
[a, b].

1.3 Quá trình Markov
Xét quá trình Markov với không gian trạng thái E bất kì, (E, A) là
không gian đo. Một quá trình F
t
-tương thích X = {X
t
}
t0
được gọi là
quá trình markov nếu tính markov sau được thỏa mãn:
∀0  s  t < ∞ và A ∈ A có:
P (X
t+s
∈ A|F
t
= P (X
t+s
∈ A|F
t
).
Nghĩa là: nếu ta biết trạng thái của hệ tại thời điểm hiện tại t thì
mọi thông tin về hành vi của hệ trong quá khứ không còn ảnh hưởng
đến sự biến đổi trong tương lai của hệ.
Kí hiệu P (s, x, t, A) = P (X
t
∈ A|X
s
= x) là xác suất để hệ tại thời
điểm s đang ở trạng thái x sang thời điểm t rơi vào tập A. Ta gọi
P (s, x, t, A) là xác suất chuyển. Hàm P (s, x, t, A) được xác định trên

0  s  t < ∞; x ∈ E, A ∈ A với những tính chất sau:
1. Với mỗi 0  s  t < ∞ và A ∈ A
P (s, X(s); t, A) = P (X(t) ∈ A|X(s)).
2. Với mỗi s  t, x ∈ E, P (s, x, t, ·) là một độ đo xác suất trên E.
3. Với mỗi s  t, A ∈ A hàm P (s, ·, t, A) là một hàm đo được trên E.
4. Phương trình Chapman-Komogorov
P (s, x, t, A) =

E
˙
P (s, x, u, dy) · P(u, y, t, A).
6
Quá trình markov X(t) được gọi là thuần nhất nếu xác suất chuyển
P (s, x, t, A) chỉ phụ thuộc vào hiệu số t −s nghĩa là:
P (s + u, x, t + u, A) = P (s, x, t, A) ∀u.
Khi đó P (s, x, t, A) có dạng P (s, x, t, A) = P(t − s, x, A). Ở đó
P (t, x, A) = P (X
s+t
∈ A|X
s
= x) là xác suất để hệ tại thời điểm s
ở trạng thái x sau một khoảng thời gian t ( tại thời điểm t + s) rơi vào
A. Phương trình Chapman-Komogorov khi đó có dạng:
P (t + s, x, A) =

E
P (t, x, dy)P (s, y, A).
1.4 Phương trình vi phân ngẫu nhiên
Cho ξ(t, ω) là một quá trình Wiener trên khoảng [a, b], xác định trên
không gian xác suất (Ω, F, P ). Cho


N
t
(t  0) là một họ các σ-đại số
các tập trong F thỏa mãn các điều kiện sau:
1.

N
t
1
⊂

N
t
2
nếu t
1
< t
2
.
2. ξ(t) là biến ngẫu nhiên

N
t
- đo được với mỗi t  0.
3. Số gia ξ(t + h) − ξ(t) của quá trình ξ(t) độc lập với mọi biến cố
A ∈

N
t

.
Vi phân ngẫu nhiên Itô dX(t) của quá trình

N
t
- đo được X(t) được định
nghĩa như sau:
dX(t) = b(t)dt +
k

r=1
σ
r
(t)dξ
r
(t).
Trong đó
b(t) ∈ R
l
là vectơ ngẫu nhiên

N
t
- đo được.
σ
1
(t), , σ
k
(t) là các vectơ trong R
l

mà các thành phần của nó
σ
ij
(t); i = 1, , l; j = 1, , k là

N
t
- đo được với mỗi t cố định.
ξ
1
(t), , ξ
k
(t) là các quá trình Wiener

N
t
- đo được độc lập sao cho
các biến ngẫu nhiên ξ
i
(t + h) − ξ
i
(t) độc lập với mọi phần tử trong

N
t
7
với h > 0.
Ta có ∀a < t
1
< t

2
< b
X(t
2
) −X(t
1
) =

t
2
t
1
b(t)dt +
k

r=1

t
2
t
1
σ
r
(t)dξ
r
(t).
Kí hiệu σ
∗
(t) là ma trận liên hợp của σ(t) và A(t) = σ(t).σ
∗

(t).
Ta có công thức Itô sau đây:
Định lý 1.4. Nếu hàm u(t, x), (t ∈ [a, b], x ∈ R
l
) có đạo hàm riêng liên
tục đến cấp 2 theo x, cấp 1 theo t, và quá trình X(t) nhận giá trị trong
R
l
có vi phân Itô
dX(t) = b(t)dt +
k

r=1
σ
r
(t)dξ
r
(t),
Khi đó quá trình η(t) = u(t, X(t)) cũng có vi phân Itô và
dη(t) =

∂u(t, X(t))
∂t
+
l

i=1
b
i
(t)

∂u(t, X(t))
∂x
i
+
1
2
l

i=1
l

j=1
a
ij
(t)
∂
2
u(t, X(t))
∂x
i
∂x
j

dt (1.1)
+
l

i=1
k


r=1
σ
ri
(t)
∂u(t, X(t))
∂x
i
dξ
r
(t).
Định lý 1.5. Kí hiệu C
2
: lớp các hàm số trên E khả vi liên tục 2 lần
theo các biến x
1
, , x
l
và khả vi liên tục theo t. Cho V ∈ C
2
khi đó ta
có:
V (t, X(t)) −V (s, X(s)) =

t
s
LV (u, X(u))du +
k

r=1
l


i=1

t
s
σ
r
i
∂V
∂x
i
dξ
r
(u).
(1.2)
Ở đây
LV (s, x) =
∂V (s, x)
∂s
+
l

i=1
b
i
(s, x)
∂V (s, x)
∂x
+
1

2
l

i,j=1
a
ij
(s, x)
∂
2
V (s, x)
∂x
i
∂x
j
8
Bổ đề 1.6. Cho X(u) là một quá trình thỏa mãn:
X(t) = X(t
0
) +

t
t
0
b(s, X(s))ds +
k

r=1

t
t

0
σ
r
(s, X(s))dξ
r
(s).
trên khoảng hữu hạn [s, T ], V ∈ C
2
, biến ngẫu nhiên τ
U
là thời điểm
mà tại đó quỹ đạo của quá trình X(u) lần đầu tiên đi ra ngoài lân cận bị
chặn U, đặt τ
U
(t) = min(τ
U
, t). Hơn nữa giả sử rằng: P {X(s) ∈ U} = 1.
Khi đó
E[V (τ
U
(t), X(τ
U
(t))) −V (s, X(s))] = E

τ
U
(t)
s
LV (u, X(u))du.
1.5 Một vài kết quả bổ trợ

Định nghĩa 1.7. Cho U là một miền xác định với bao đóng

U trong
không gian E = I × R
l
và tập U
ε
(0) = {(t, x) : |x| < ε}. Ta nói rằng
một hàm V (t, x) là thuộc lớp C
0
2
(U) (kí hiệu V (t, x) ∈ C
0
2
(U)) nếu nó
khả vi liên tục hai lần theo biến x và khả vi liên tục theo t ∈ U, có thể
trừ ra tập x = 0, và nó liên tục trong tập đóng

U \U
ε
(0) với mọi ε > 0.
Định nghĩa 1.8. Cho (Ω, U, P) là một không gian xác suất, M
t
⊂ U
là một họ σ-đại số các biến cố trong Ω, xác định với mỗi t ≥ 0, sao cho
M
s
⊂ M
t
với s < t. Cho y(t, ω), t ≥ 0 là một quá trình ngẫu nhiên

với kỳ vọng hữu hạn Ey(t, ω), sao cho y(t, ω) = y(t) là một biến ngẫu
nhiên M
t
-đo được đối với mỗi t. Một họ (y(t, ω), M
t
) được gọi là một
martingale trên nếu với bất kì s < t ta có:
E(y(t)|M
t
) ≤ y(s) (P −hcc). (1.3)
Nếu trong (1.3) thay dấu bất đẳng thức bởi dấu đẳng thức, ta nhận
được định nghĩa của một martingale.
Xét hệ:
dX(t) = b(t, X)dt +
k

r=1
σ
r
(t, X)dξ
r
(t). (1.4)
9
Bổ đề 1.7. Cho V (t, x) là một hàm khả vi liên tục hai lần đối với biến
x, khả vi liên tục đối với biến t trên tập I × {U \ Γ } và bị chặn trên
tập I × U, ở đây U là một miền bị chặn trong R
l
và Γ ⊂ U là một tập
không đạt được đối với quá trình X(t) được xác định bởi (1.4). Giả sử
LV ≤ 0 trên tập I × {U \ Γ }. Khi đó quá trình V (τ

U
(t), X(τ
U
(t))) là
một martingale trên.
Chứng minh. Kí hiệu τ (U, δ) là thời điểm đầu tiên ra khỏi tập U \U
δ
(Γ ),
τ
U,δ
(t) = min(τ(U, δ), t). Do Γ là không đạt được, điều này kéo theo với
mọi t ta có
τ
U,δ
(t) → τ
U
(t) (hcc). (1.5)
khi δ → 0. Mặt khác ta có
E

V (τ
U,δ
(t), X(τ
U,δ
(t)))|

N
s

≤ V (τ

U,δ
(s), X(τ
U,δ
(s))) (hcc).
Cho δ → 0 trong bất đẳng thức này và sử dụng (1.5) kết hợp với giả
thiết V bị chặn, chúng ta suy ra điều phải chứng minh.
Bổ đề 1.8. Giả sử các hệ số b và σ
r
trong (1.4) thỏa mãn điều kiện
b(t, 0) ≡ 0; σ
r
(t) ≡ 0. (1.6)
Thêm nữa giả sử rằng điều kiện Lipschitz
k

r=1
|σ
r
(t, x) −σ
r
(t, y)| + |b(t, x) −b(t, y)| < B|x −y|. (1.7)
đúng trên tập E = I ×R
l
. Khi đó với bất kỳ số thực β, t ≥ s, x = 0,
E|X
s,x
(t)|
β
≤ |x|
β

exp{k(t −s)}, (1.8)
ở đây k là một hằng số chỉ phụ thuộc vào β và hằng số B của (1.7).
Chứng minh. Hàm số V (x) = |x|
β
là khả vi liên tục hai lần trên miền
|x| > δ với mọi δ > 0 bất kỳ. Áp dụng công thức Itô (1.1) trong miền
này, kí hiệu
Y
s,x
(t) = |X
s,x
(t)|
β
,
10
ta có
Y
s,x
(τ
δ
(t))
= Y
s,x
(s) + β
τ
δ
(t)

s
|X

s,x
(u)|
β−2

(b(u, X
s,x
(u)), X
s,x
(u))du
+
1
2
l

i=1
a
ii
(u, X
s,x
(u))du +
k

r=1
(σ
r
(u, X
s,x
(u)), X
s,x
(u))dξ

r
(u)

+
1
2
β(β −2)
τ
δ
(t)

s
|X
s,x
(u)|
β−4
(A(u, X
s,x
(u))X
s,x
(u), X
s,x
(u))du,
(1.9)
ở đây τ
δ
kí hiệu cho thời điểm đầu tiên ra khỏi tập |x| > δ và τ
δ
(t) =
min(τ

δ
, t). Rõ ràng là biến ngẫu nhiên Y
s,x
(τ
δ
(t)) có một kỳ vọng. Tính
toán kỳ vọng trong (1.9) và sử dụng (1.7) và (1.6), ta nhận được:
EY
s,x
(τ
δ
(t)) ≤ |x|
β
+ kE
τ
δ
(t)

s
Y
s,x
(u)du, (1.10)
với k = k(β, B, l) nào đó. Do vậy τ
δ
(u) = u với u < τ
δ
(t). Từ (1.10) suy
ra
EY
s,x

(τ
δ
(t)) ≤ |x|
β
+ kE
τ
δ
(t)

s
Y
s,x
(τ
δ
(u))du
≤ |x|
β
+ k
t

s
EY
s,x
(τ
δ
(u))du.
Áp dụng Bổ đề Gronwall-Bellman cho bất đẳng thức này, ta thu được
ước lượng
E|X
s,x

(τ
δ
(t))|
β
≤ |x|
β
exp{k(t −s)}. (1.11)
Chọn β = −1 trong (1.11) và sử dụng bất đẳng thức Chebyshev ta có
P
s,x
{τ
δ
(t) < t} <
δ
|x|
e
k(t−s)
.
11
Điều này kéo theo
P
s,x
{τ
δ
< t} → 0 khi δ → 0, (1.12)
với ∀s < t. Cho δ → 0 trong (1.11) kết hợp với (1.12) ta có điều phải
chứng minh.
Bổ đề 1.9. Giả sử các hệ số của (1.4) thỏa mãn (1.6), điều kiện (1.7)
đúng trong mọi miền bị chặn đối với biến x, quá trình X
s,x

0
(t) là chính
quy. Thì khi đó điểm x = 0 là không đạt được với bất kỳ quỹ đạo chuyển
động nào của quá trình nếu x
0
= 0.
Từ Bổ đề 1.7 và 1.9 kéo theo
Bổ đề 1.10. Cho V (t, x) là một hàm thuộc lớp C
0
2
((t > 0) ×U), bị chặn
trên miền (t > 0) × U, ở đây U là một lân cận của điểm gốc và giả sử
rằng LV (t, x) < 0 trong miền này. Khi đó quá trình V (τ
U
(t), X(τ
U
(t)))
là một martingale trên, vì thế
EV (τ
U
(t), X
s,x
(τ
U
(t))) ≤ V (s, x),
với x ∈ U.
Nhận xét 1.11. Bởi theo (1.12) ta có
P
s,x
{τ

δ
(t) → t khi δ → 0} = 1,
do vậy, cho δ → 0 trong (1.9) ta thấy công thức (1.1) áp dụng được cho
hàm |x|
β
trên toàn miền R
l
, mặc dù trên thực tế nếu β < 2, hàm này
không thỏa mãn giả thiết của định lý 3.3 tại điểm 0. Kết quả này còn
đúng với bất kỳ các hàm V (t, x) ∈ C
0
2
(E) sao cho
0 ≤ V (t, x) ≤ k|x|
β
.
Trong chương 2 và chương 3, ta sẽ cần hai định lí sau:
Định lý 1.12. Nếu (y(t, ω), M
t
, t ≥ 0) là một martingale dương, thì
giới hạn
y
∞
= lim
t→∞
y(t, ω)
12
tồn tại hầu chắc chắn và hữu hạn. Hơn nữa,
Ey
∞

= lim
t→∞
Ey(t, ω).
Định lý 1.13. Nếu (y(t, ω), M
t
, t ≥ 0) là một martingale liên tục hầu
chắc chắn, khi đó với bất kỳ k > 0, p ≥ 1
P

sup
t
0
≤t≤T
|y(t, ω)| > k

≤
E|y(T, ω)|
p
k
p
.
13
Chương 2
Tính ổn định của
phương trình vi phân
ngẫu nhiên
2.1 Tính ổn định theo xác suất
Một nghiệm X(t, ω) ≡ 0 của phương trình:
dX(t) = b(t, X)dt +
k


r=1
σ
r
(t, X)dξ
r
(t).
được gọi là ổn định theo xác suất với t ≥ 0 nếu với bất kỳ s ≥ 0 và ε > 0
lim
x→0
P

sup
t>s
|X
s,x
(t)| > ε

= 0.
Ta nhắc lại rằng: một hàm số V (t, x) được gọi là xác định dương trong
một lân cận của tập x = 0 nếu V (t, 0) = 0 và trong lân cận này V (t, x) >
W (x), ở đây W (x) > 0 với x = 0 và liên tục.
Định lý 2.1. Cho {t > 0} × U = U
1
là một miền chứa đường thẳng
x = 0, và giả sử tồn tại một hàm V (t, x) ∈ C
0
2
(U
1

) là hàm xác định
14
dương theo nghĩa Lyapunov và thỏa mãn
LV =
∂V
∂t
+
l

i=1
b
i
(t, x)
∂V
∂x
i
+
1
2
l

i,j=1
a
ij
(t, x)
∂
2
V
∂x
i

∂x
j
≤ 0;
với x = 0. Khi đó nghiệm tầm thường của (1.4) là ổn định theo xác suất.
Chứng minh. Gọi r là một số sao cho r-lân cận U
r
của điểm x = 0 được
chứa trong U cùng với bao đóng của nó. Đặt
V
r
= inf
x∈U\U
r
V (t, x) (V
r
> 0 theo giả thiết).
Theo bổ đề 1.10 ta có
EV (τ
U
r
(t), X
s,x
(τ
U
r
(t))) ≤ V (s, x)
với |x| < r. Từ điều này và bất đẳng thức Chebyshev, ta có
P

sup

s≤u≤t
|X
s,x
(u)| > r

≤
EV (τ
U
r
(t), X
s,x
(τ
U
r
(t)))
V
r
≤
V (s, x)
V
r
.
Cho t → ∞ ta thu được:
P

sup
u≥s
|X
s,x
(u)| > r


≤
V (s, x)
V
r
.
Do V (s, 0) = 0 và V (s, x) là hàm liên tục, từ đó suy ra điều phải
chứng minh.
Nhận xét 2.2. Ta nói rằng nghiệm X(t) ≡ 0 của (1.4) là ổn định đều
theo xác suất với t > 0 nếu với bất kỳ ε > 0 hàm P

sup
t>s
|X
s,x
(t)| ≥ ε

tiến tới 0 khi x → 0, đều trong miền s ≥ 0. Một câu hỏi đặt ra là: điều
kiện đủ cho tính ổn định đều theo xác suất là hàm V (t, x) thỏa mãn giả
sử của định lí 2.1 và nó có giới hạn trên vô cùng bé, nghĩa là,
lim
x→0
sup
t>0
V (t, x) = 0.
15
Định lý 2.3. Giả sử rằng các hệ số b và σ
r
của (1.4) không phụ thuộc
vào thời gian và nghiệm của nó X(t) ≡ 0 ổn định theo xác suất. Giả sử

trong một lân cận của điểm x = 0, điều kiện (1.7) được đáp ứng và thỏa
mãn thêm điều kiện không suy biến
l

i,j=1
a
ij
λ
i
λ
j
> m(x)
l

i=1
λ
2
i
, (2.1)
ở đây m(x) là hàm liên tục sao cho m(x) > 0 với x = 0. Khi đó trong
một lân cận của điểm x = 0 tồn tại hàm xác định dương V (x), khả vi
liên tục hai lần có thể trừ ra tại điểm x = 0, sao cho LV = 0.
Chứng minh. Kí hiệu U
r
= {|x| < r} là một lân cận đủ nhỏ của x = 0
và u
δ
(x) là nghiệm trong miền U
r
\ U

δ
của bài toán
Lu = 0; u|
|x|=r
= 1; u|
|x|=δ
= 0.
Ta có:
u
δ
(x) = P {|X
x
(τ
r,δ
)| = r},
ở đây τ
r,δ
là thời điểm đầu tiên mà ở đó quỹ đạo của quá trình đạt được
tập {|x| = r}∪{|x| = δ}.
Rõ ràng rằng dãy u
δ
(x) các hàm L-điều hòa là hàm đơn điệu tăng
khi δ → 0. Hàm giới hạn của nó V (x) cũng là L-điều hòa. Kí hiệu τ
0
là
thời điểm đầu tiên mà tại đó quỹ đạo của quá trình đi qua điểm 0. Khi
đó từ các mối liên hệ trước đó suy ra rằng

sup
t>0

|X
x
(t)| ≥ r

⊂

δ>0
{|X
x
(τ
r,δ
)| = r}∪{τ
0
< ∞},

δ>0
{|X
x
(τ
r,δ
)| = r} ⊂

sup
t>0
|X
x
(t)| ≥ r

,
và từ bổ đề 1.9 ta có

P

sup
t>0
|X
x
(t)| ≥ r

= lim
δ→0
P {|X
x
(τ
r,δ
)| = r} = V (x).
Do vậy, nghiệm X ≡ 0 là ổn định theo xác suất. Từ trên suy ra
V (x) → 0 khi x → 0. Cuối cùng, theo nguyên lý maximum mạnh, suy ra
16
hàm u
δ
(x) dương và do đó hàm V (x) cũng dương đối với |x| > δ
1
> δ.
Từ đó hàm V (x) là xác định dương theo nghĩa Lyapunov và LV = 0.
Đó là điều phải chứng minh.
Nhận xét 2.4. Hàm Lyapunov trong định lý 2.3 được xây dựng chỉ liên
tục tại 0. Rõ ràng, trong trường hợp tổng quát hàm Lyapunov trơn tại
0 có thể không tồn tại. Điều này sẽ được chỉ rõ nhờ ví dụ dưới đây.
Cho X(t) là quá trình một chiều, cho bởi phương trình
dX = bXdt + σXdξ(t), (2.2)

ở đây b, σ là các hằng số. Hàm sinh của quá trình này là
L =
1
2
σ
2
x
2
∂
2
∂x
2
+ bx
∂
∂x
.
Nếu b < σ
2
/2, nghiệm X(t) ≡ 0 của (2.2) là ổn định, do đó hàm
V (x) = |x|
1−2b/σ
2
thỏa mãn giả thiết của định lí 2.1. Nếu b ≥ 0, hàm
này không khả vi tại 0. Sử dụng nguyên lý maximum cho phương trình
elliptic, có thể chỉ ra rằng bất kỳ hàm V
1
(x) nào thỏa mãn điều kiện
V
1
(0) = 0, V

1
(ε) ≥ δ, thỏa mãn
V
1
(x) ≥ δ(|x|/|ε|)
1−2b/σ
2
,
trong miền 0 < x < ε. Do vậy, rõ ràng khi b > 0 thì không có hàm
Lyapunov trơn tại điểm gốc và độc lập với t. Tương tự có thể chỉ ra rằng
không tồn tại một hàm Lyapunov trơn tại 0, phụ thuộc t nhưng có giới
hạn trên vô cùng bé.
2.2 Ổn định tiệm cận theo xác suất và tính
không ổn định
Nghiệm X(t) ≡ 0 của (1.4) được gọi là ổn định tiệm cận theo xác
suất nếu nó là ổn định và hơn nữa
lim
x→0
P

lim
t→∞
X
s,x
(t) = 0

= 1. (2.3)
17
Trong mục này, ta luôn giả sử rằng điều kiện sau đây được thỏa mãn:
Điều kiện D. Bất kỳ nghiệm nào của (1.4) xuất phát trong miền ε <

|x| < r hầu chắc chắn đạt đến biên của miền này trong một khoảng thời
gian hữu hạn với bất kỳ một số r đủ nhỏ và ε > 0.
Điều kiện D được thỏa mãn nếu tồn tại trong miền 0 < |x| < r một
hàm W (t, x) ∈ C
0
2
({t > 0}×U
r
), sao cho với bất kỳ ε, 0 < ε < r,
W (t, x) ≥ 0, LW (t, x) < −c
ε
< 0, nếu |x| > ε. (2.4)
Trong định lý sau, U ∈ R
l
là một lân cận nào đó của điểm gốc.
Định lý 2.5. Giả sử rằng tồn tại một hàm xác định dương V (t, x) ∈
C
0
2
({t > 0}×U), có giới hạn trên vô cùng bé thỏa mãn LV ≤ 0. Giả sử
điều kiện D đúng. Khi đó, nghiệm X(t) ≡ 0 của (1.4) ổn định tiệm cận
theo xác suất.
Chứng minh. Theo bổ đề 1.10, quá trình ngẫu nhiên V (τ
U
(t), X
s,x
(τ
U
(t)))
là một martingale trên. Theo định lí 1.12, điều này kéo theo rằng hcc:

lim
t→∞
V (τ
U
(t), X
s,x
(τ
U
(t))) = ξ. (2.5)
Kí hiệu B
x
là tập các quỹ đạo của X
s,x
(t) sao cho τ
U
= ∞. Do hàm
V thỏa mãn các giả sử của định lí 2.1, nghiệm X(t) ≡ 0 là ổn định theo
xác suất, và do vậy
P(B
x
) → 1 khi x → 0. (2.6)
Từ điều kiện D suy ra tất cả các quỹ đạo chứa trong tập B
x
, trừ
ra tập có xác suất 0, ta có inf
t>0
|X
s,x
(t)| = 0 và từ bổ đề 1.9 ta cũng có
khẳng định mạnh hơn lim

t→∞
|X
s,x
(t)| = 0.
Do hàm V có giới hạn trên vô cùng bé, ta cũng có
lim
t→∞
V (t, X
s,x
(t)) = 0.
Nhưng từ (2.5) giới hạn
lim
t→∞
V (τ
U
(t), X
s,x
(τ
U
(t))) = lim
t→∞
V (t, X
s,x
(t)).
18
tồn tại đối với hầu hết các quỹ đạo trong B
x
. Vì các lí do trên, giới hạn
này bằng 0. Do đó hàm V (t, x) xác định dương với quỹ đạo trong B
x

,
điều này kéo theo lim
t→∞
|X(t)| = 0.
Từ đó kết hợp với (2.6) ta nhận được chứng minh của định lí.
Hệ quả 2.1. Điều kiện D có thể được thay bởi yêu cầu tồn tại một hàm
W (t, x) thỏa mãn bất đẳng thức (2.4). Hàm V (t, x) cũng thỏa mãn bất
đẳng thức đó nếu LV xác định âm. Ta đã chứng minh định lí Lyapunov
tổng quát về tính ổn định tiệm cận cho các hệ tất định đó là: Nghiệm
X(t) ≡ 0 của (1.4) là ổn định tiệm cận theo xác suất nếu tồn tại trong
miền {t > 0}×U một hàm xác định dương V (t, x) ∈ C
0
2
({t > 0} × U),
có giới hạn trên vô cùng bé, sao cho hàm LV là xác định âm trong miền
này.
Hệ quả 2.2. Điều kiện D luôn đúng nếu ma trận A(t, x) thỏa mãn điều
kiện không suy biến (2.1). Thật vậy, khi đó hàm W = k −|x|
n
thỏa mãn
điều kiện (2.4) nếu chọn k và n thích hợp. Điều này có nghĩa là, nếu điều
kiện (2.1) đúng, thì sự tồn tại một hàm V (t, x) thỏa mãn giả thiết của
định lí 2.1 và có giới hạn trên vô cùng bé cũng đủ để nghiệm X(t) ≡ 0
của (1.4) là ổn định tiệm cận. Từ điều này và định lí 2.3 kéo theo mệnh
đề sau: "Giả sử rằng các hệ số b và σ
r
độc lập với t và điều kiện không
suy biến (2.1) được thỏa mãn. Khi đó, nếu nghiệm của (1.4) ổn định
theo xác suất, thì nó cũng ổn định tiệm cận theo xác suất". Mệnh đề
này có thể được khái quát hóa cho những hệ không thuần nhất phụ thuộc

thời gian. Ví dụ về hệ tất định đã chỉ ra rằng điều kiện (2.1) không thể
giảm đi được.
Vẫn như trước, ta kí hiệu U
r
là tập con {|x| < r} của R
l
.
Định lý 2.6. Giả sử rằng tồn tại một hàm V (t, x) ∈ C
0
2
({t > 0} × U
r
)
sao cho
LV ≤ 0 khi x ∈ U
r
, x = 0, (2.7)
lim
x→0
inf
t>0
V (t, x) = ∞. (2.8)
19
Cho Điều kiện D được thỏa mãn. Khi đó nghiệm X(t) ≡ 0 của (1.4)
không ổn định theo xác suất. Hơn nữa, trong trường hợp này, biến cố

sup
t>0
|X
s,x

(t)| < r

,
có xác suất 0 với mọi s > 0, x ∈ U
r
.
Chứng minh. Kí hiệu τ
r,ε
là thời điểm đầu tiên đạt được tập {|x| =
r}∪{|x| = ε}, τ
r,ε
(t) = min(τ
r,ε
, t). Từ (2.7) ta có
EV (τ
r,ε
(t), X
s,x
(τ
r,ε
(t))) ≤ V (s, x).
đúng trong miền U
r
\ U
ε
với bất kỳ ε < r. Cho t → ∞ và sử dụng
Điều kiện D ta thu được EV (τ
r,ε
, X
s,x

(τ
r,ε
)) ≤ V (s, x). Bất đẳng thức
Chebyshev kéo theo ước lượng
inf
|x|<ε,t>0
V (t, x)P

sup
s<t<τ
ε
|X
s,x
(t)| < r

< V (s, x),
ở đây τ
ε
là lần đầu tiên đạt được tập |x| = ε. Do bổ đề 1.9, τ
ε
→ ∞ hầu
chắc chắn khi ε → 0. Từ bất đẳng thức cuối và (2.8) cho ε → 0 suy ra
điều phải chứng minh.
Nhận xét 2.7. Khẳng định tương tự được suy ra hệ quả của định lý
2.5 cho ta điều kiện đủ cho tính ổn định như sau:
(1) Nghiệm X(t) ≡ 0 của (1.4) là không ổn định nếu điều kiện (2.7),
(2.8) và (2.1) đúng trong miền {t > 0} ×U
r
.
(2) Nghiệm X(t) ≡ 0 của (1.4) là không ổn định nếu điều kiện (2.8)

đúng và hơn nữa sup
ε<|x|<r
LV < 0 với bất kỳ ε > 0.
Định nghĩa 2.1. Nghiệm X(t) ≡ 0 của (1.4) được gọi là ổn định (tiệm
cận) theo nghĩa rộng nếu nó ổn định theo xác suất và đồng thời với mọi
s, x có
P

lim
t→∞
X
s,x
(t) = 0

= 1.
20
Định lý 2.8. Điều kiện đủ để nghiệm X(t) ≡ 0 của (1.4) ổn định theo
nghĩa rộng là nó ổn định đều theo xác suất và hơn nữa quá trình X(t)
là tuần hoàn trong miền |x| < ε với bất kỳ ε > 0.
Chứng minh. Do nghiệm X(t) ≡ 0 ổn định đều theo xác suất, kéo theo
với bất kỳ ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho
sup
δ>0,|y|<δ
P

sup
t>s
|X
s,y
(t)| > ε


< ε.
Kí hiệu τ
δ
là lần đầu tiên mà tại đó quỹ đạo của quá trình đạt được
tập |x| ≤ δ. Theo giả thiết, τ
δ
< ∞ hcc. Sử dụng tính chất Markov mạnh
của quá trình và chọn δ > 0 sao cho |x| > δ, ta có
P

lim
t→∞
|X
s,x
(t)| > ε

=
∞

u=s

|y|=δ
P {τ
δ
∈ du, X
s,x
(τ
δ
) ∈ dy}P


lim
t→∞
|X
u,y
(t)| > ε

=
∞

u=s

|y|=δ
P {τ
δ
∈ du, X
s,x
(τ
δ
) ∈ dy}P

sup
t>u
|X
u,y
(t)| > ε

≤ ε.
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Định lý 2.9. Một điều kiện đủ để nghiệm X(t) ≡ 0 của (1.4) ổn định

theo nghĩa rộng là tồn tại một hàm xác định dương V (t, x) ∈ C
0
2
(E) với
giới hạn trên vô cùng bé sao cho hàm LV là xác định âm và
inf
t>0
V (t, x) → ∞ khi |x| → ∞.
Định lý 2.10. Những điều kiện sau đây là đủ để cho nghiệm X(t) ≡ 0
của (1.4) ổn định theo nghĩa rộng:
(1) Quá trình X(t) là chính qui.
(2) Tồn tại hàm không âm V
1
(t, x) ∈ C
0
2
(E) sao cho hàm LV
1
xác định
âm.
21
(3) Tồn tại hàm xác định dương V
2
(t, x) ∈ C
0
2
(E), có giới hạn trên vô
cùng bé sao cho LV
2
≤ 0.

Chứng minh. Chứng minh được suy ra từ định lí 2.8 và các định lý đã
được nhắc đến trong chương 1 và chương 2. Ta vẫn nhận được khẳng
định đúng nếu thay thế điều kiện (1) bởi điều kiện (1’): tồn tại hàm
không âm V
3
(t, x) ∈ C
0
2
(E) sao cho LV
3
< kV
3
với một hằng số dương
k nào đó và lim
R→∞
inf
|x|>R
V
3
= ∞. Tương tự điều kiện (2) có thể thay bởi
điều kiện (2’): điều kiện không suy biến (2.1) đúng trong tập U
R
\U
ε
với
bất kỳ ε < R hoặc (2) cũng có thể được thay bởi điều kiện yếu hơn là
a
ii
(t, x) > a
R,ε

> 0 với i nào đó.
2.3 Tính khả vi của nghiệm của phương
trình ngẫu nhiên với điều kiện ban đầu
Định lý 2.11. Giả thiết rằng các hệ số của phương trình
dX
s,x
(t) = b(t, X
s,x
)dt + σ(t, X
s,x
)dξ(t), (2.9)
liên tục theo t, x trong R
l
, với các đạo hàm bị chặn liên tục cấp 2 và các
cấp lớn hơn 2 theo x
1
, , x
l
. Khi đó nghiệm X
s,x
(t) của phương trình
(2.9) khả vi liên tục hai lần theo nghĩa trung bình bình phương đối với
x. Các đạo hàm
∂
∂x
i
X
s,x
(t),
∂

2
∂x
i
∂x
j
X
s,x
(t),
do đó cũng liên tục đối với x theo nghĩa trung bình bình phương. Chúng
được xác định bởi hệ thu được bằng cách lấy vi phân (2.9) theo x.
Ở đây ta chỉ xét trường hợp số chiều của không gian l = 1. Dễ thấy
quá trình ngẫu nhiên
Y
x,∆
x
(t) =
1
∆x
[X
x,x+∆x
(t) −X
s,x
(t)].
22
là một nghiệm của phương trình
X
z,∆x
(t) = 1 +
t


s
A(x, ∆x, u)Y
x,∆x
(u)du +
t

s
B(x, ∆x, u)Y
x,∆x
(u)dξ(u).
(2.10)
với
A(x, ∆x, t) =
b(t, X
s,x+∆x
(t)) −b(t, X
s,x
(t))
X
s,x+∆x
(t) −X
s,x
(t)
B(x, ∆x, t) =
σ(t, X
s,x+∆x
(t)) −σ(t, X
s,x
(t))
X

s,x+∆x
(t) −X
s,x
(t)
.
Theo giả thiết của định lí, các hàm |A| và |B| bị chặn hầu chắc chắn
bởi một hằng số k nào đó.
Với bất kỳ n ≥ 1, áp dụng công thức Itô (1.1) cho quá trình
Z(x, ∆x, t) = [Y
x,∆x
(t)]
2n
.
và do vậy từ (2.10) suy ra
Z(x, ∆x, t) = 1 + n
t

s
Z(x, ∆x, u)[2A(x, ∆x, u) + (2n −1)B
2
(x, ∆x, u)]du
+ 2n
t

s
Z(x, ∆x, u)B(x, ∆x, u)dξ(u).
Như trong chứng minh của Bổ đề 1.8, bây giờ ta tính kỳ vọng cả hai
vế của đẳng thức và áp dụng Bổ đề Gronwall-Bellman, ta thu được bất
đẳng thức
E[Y

x,∆x
(t)]
2n
≤ e
k(t−s)
, (2.11)
ở đây hằng số k chỉ phụ thuộc vào cận trên nhỏ nhất của σ

x
, b

x
và số n.
Cụ thể, từ (2.11) suy ra X
s,x+∆x
(t) → X
s,x
(t) theo xác suất khi ∆x → 0.
Do đó các hệ số A và B của (2.10) hội tụ theo xác suất khi ∆x → 0 đến
các hàm b

x
(u, X
s,x
(u)) và σ

x
(u, X
s,x
(u)) một cách tương ứng. Từ đó các

hàm A, B, b

x
và σ

x
cũng bị chặn, điều này suy ra tất cả các moment
23
của hiệu số A − b

x
và B − σ

x
hội tụ đến 0. Vì thế, ta dễ rút ra kết
luận Y
x,∆x
(t) hội tụ theo nghĩa trung bình bình phương khi ∆x → 0 đến
nghiệm của phương trình
ζ
x
(t) = 1 +
t

s
b

x
(u, X
s,x

(u))ζ
x
(u)du +
t

s
σ

x
(u, X
s,x
(u))ζ
x
(u)dξ(u).
(2.12)
Theo cách xác định đó, quá trình ζ
x
(t) = ∂X
s,x
(t)/∂x. Cũng dễ thấy
từ (2.10), (2.11) và (2.12) với bất kỳ số nguyên n ≥ 1



E[ζ
x
(t)]
2n
≤ e
k(t−s)

,
E[Y
x,∆x
(t) −ζ
x
(t)]
2n
→ 0 khi ∆x → 0.
(2.13)
Với những lập luận tương tự ta chứng minh được sự tồn tại và liên
tục của đạo hàm bậc hai.
Bổ đề 2.12. Cho các hệ số của (2.9) liên tục theo t, x và thỏa mãn điều
kiện
σ(t, 0) ≡ 0, b(t, 0) ≡ 0. (2.14)
Cũng giả sử rằng chúng có đạo hàm riêng bậc 1 và bậc 2 bị chặn, liên
tục theo x
1
, , x
l
. Khi đó với bất kỳ số thực β hàm u(s, x) = E|X
s,x
(t)|
β
khả vi liên tục hai lần theo x
1
, , x
l
, có thể trừ ra tại x = 0. Khi đó ta
cũng có












∂u(s, x)
∂x




≤ k
1
|x|
β−1
e
k
2
(t−s)
,




∂

2
u(s, x)
∂x
i
∂x
j




≤ k
1
|x|
β−2
e
k
2
(t−s)
(2.15)
với k
1
> 0, k
2
> 0 nào đó.
Chứng minh. Ta chỉ xét trường hợp l = 1. Trường hợp nhiều chiều có
thể chứng minh tương tự. Áp dụng công thức đạo hàm ta thu được
u

x
(s, x) = βE


|X
s,x
(t)|
β−2
X
s,x
(t)
∂X
s,x
(t)
∂x

. (2.16)
24