Tính ổn định mũ bình phương trung bình của nghiệm của hệ phương trình sai phân ngẫu nhiên

Lời nói đầu
Bất cứ hệ thống nào dù là hệ thèng kü tht, hƯ sinh th¸i hay hƯ thèng
x· héi…, bao giờ cũng tồn tại và phát triển ở trạng thái ổn định nhất. Đối với
các hệ thống điều chỉnh tự động thì ổn định là chỉ tiêu cơ bản mà ngời ta cần
quan tâm. Bởi vì một hệ thống muốn sử dụng đợc thì trớc tiên phải ổn định.
Lý thuyết ổn định là một bộ phận quan trọng trong lý thuyết định tính
phơng trình vi phân. Vấn đề nghiên cứu tính ổn định ngẫu nhiên là một trong
những bài toán quan trọng của lý thuyết ổn định của các hệ động lực ngẫu
nhiên.
Trong luận văn này chúng tôi tập trung nghiên cứu tính ổn định mũ bình
phơng trung bình của hệ phơng trình sai phân ngẫu nhiên nhờ phơng pháp thứ 2
của Liapunov thông qua hàm ngẫu nhiên Liapunov và đợc phát biểu theo ngôn
ngữ của các phơng trình ma trận Liapunov rời rạc. Với mục đích đó luận văn đợc hình thành gồm hai chơng:
Chơng 1. Trình bày khái niệm ổn định của hệ phơng trình vi phân
và tìm điều kiện cho hệ ổn định.
Trong chơng này chúng tôi giới thiệu các khái niệm cơ bản của lý thuyết
ổn định và một số phơng pháp khảo sát điều kiện ổn định của hệ phơng trình vi
phân và chứng minh các kết quả cho một số điều kiện ổn định của hệ phơng
trình vi phân.
Chơng 2. Trình bày khái niệm ổn định mũ của hệ phơng trình sai
phân và tìm điều kiện cho hệ ổn định mũ.
Trong chơng này đầu tiên chúng tôi giới thiệu các khái niệm ổn định mũ,
tiếp theo chúng tôi đa ra và chứng minh các điều các điều kiện cho tính ổn định
mũ của hệ phơng trình sai phân.
Luận văn đợc hoàn thành tại trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn tận tình
của PGS. TS. Phan Đức Thành. Nhân đây tôi xin bày tỏ lòng biết ơn và kính
trọng sâu sắc đến thầy cùng các thầy cô trong khoa Toán và khoa Sau đại học
trờng Đại học Vinh, đặc biệt là các thầy cô trong tổ điều khiển đà giúp đỡ và
tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Vinh, tháng 12 năm 2005
Tác giả

Trần công thành

1


mục lục
Tr
ang
Lời nói đầu
Chơng 1. Một số kiến thức cơ bản về lý thuyết ổn định
của hệ phơng trình vi phân

1
2

2
1.2 Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính
3
1.3 Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất
5
1.4 Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính với ma trận hằng 7
1.5. Phơng pháp hàm Liapunov
9
Chơng 2. Tính ổn định mũ bình phơng trung bình của nghiệm 11
1.1 Bài toán cơ bản của lý thuyết ổn định

của hệ phơng trình sai phân ngẫu nhiên
2.1. Tính ổn định của hệ phơng trình sai phân tất định với
ma trận hằng
2.2. Tính ổn định của hệ phơng trình sau phân với ma trận hằng

dạng tổng quát
2.3. Tính ổn định mũ bình phơng trung bình của hệ phơng
trình sai phân ngẫu nhiên với ma trận hằng.
2.4. Tính ổn định mũ bình phơng trung bình của hệ phơng
trình sai phân ngẫu nhiên với ma trận hằng dạng tổng quát
2.5. Tính ổn định mũ bình phơng trung bình của hệ phơng
trình sai phân víi nhiƠu vect¬ r - chiỊu

(ξ 1, … , ξ r).

2.6. Tính ổn định của hệ phơng trình sai phân tất định có
trễ.

2.7. Tính ổn định mũ bình phơng trung bình của hệ phơng trình sai phân ngẫu
nhiên có trễ
kết luận
tài liệu tham khảo

11
13
15
18
20
22
24
30
31

2

Chơng I
Một số kiến thức cơ bản về lý thuyết ổn định của hệ phơng trình vi phân
Trong chơng này chúng tôi giới thiệu các khái niệm cơ bản của lý thuyết
ổn định và một số phơng pháp khảo sát điều kiện ổn định của hệ phơng trình vi
phân.
1.1 Bài toán cơ bản của lý thuyết ổn định

Xét hệ phơng trình vi phân viết dới dạng ma trận
dY
= F (t , Y )
dt

(1)

víi ®iỊu kiƯn Y(t0) = Y0 .
 y1 
. 
 
Y =  .  = ( y1 ,..., y n )T ;
 
. 
 yn 
 

Trong ®ã

F (t , Y ) =[ f1 (t , y1 ),..., f n (t , y n )]T ;

dy

dy dy
dY
= ( 1 , 2 ,..., n ) T .
dt
dt dt
dt

Định nghĩa 1.1.1. Nghiệm Z = Z(t) của hệ (1) đợc gọi là ổn định theo nghĩa
Liapunov (gọi tắt là ổn định) nếu với mọi > 0, tồn tại = δ (t 0 , ε ) > 0 sao cho mäi
nghiƯm Y = Y(t) tho¶ m·n

Z
ε
Y (t 0 ) −Z (t 0 ) <δ th× Y (t ) − (t ) <

với mọi t t0.

Định nghĩa 1.1.2. Nghiệm Z = Z(t) của hệ (1) đợc gọi là ổn định đều
nếu với mọi > 0, tồn tại = δ (ε ) > 0 sao cho mäi nghiÖm Y = Y(t) tho¶ m·n
Y (t 0 ) −Z (t 0 ) <δ

th×

Y (t ) − (t ) <
Z
ε

víi mäi

t t0 .

Định nghĩa 1.1.3. Nghiệm Z = Z(t) đợc gọi là không ổn định nếu với
> 0 nào đó và với mọi > 0 , tồn tại nghiệm Y = Y(t) sao cho
Y (t 0 ) −Z (t 0 ) <δ

vµ

3

Y (t ) − (t ) ≥
Z
ε

.

ε


Trong hệ phơng trình vi phân (1) nếu Y = 0 và F(t,0) 0 thì nghiệm
Y(t) 0 đợc gọi là nghiệm tầm thờng (hay còn gọi là trạng thái cân bằng).
Định nghĩa 1.1.4. Nghiệm tầm thờng Z(t) = 0 đợc gọi là ổn định nếu với
mọi > 0, tån t¹i δ = δ (t 0 , ε ) > 0 sao cho mäi nghiÖm Y = Y(t) thoả mÃn
Y (t 0 ) <

thì

Y (t ) <


, với mọi t > t0.

Định nghĩa 1.1.5. Nghiệm Z = Z(t) của hệ phơng trình (1) đợc gọi là ổn
định tiệm cận nếu thoả mÃn các điều kiện sau
i) Z = Z(t) là nghiệm ổn định;
ii) Với mọi t t0, tån t¹i ∆ = ∆(t0) > 0 sao cho mäi nghiệm Y(t) thoả
mÃn điều kiện

Y (t 0 ) Z (t 0 ) <∆ th× lim Y (t ) − Z (t ) = 0 .
t +

Định nghĩa 1.1.6. Nghiệm tầm thờng Z(t) = 0 gọi là ổn định tiệm cận
nếu nó thoả mÃn các điều kiện sau
i) Z(t) = 0 là nghiệm ổn định;
ii) Với mọi t t0, tồn t¹i ∆ > 0 sao cho

Y (t o ) <∆ th× lim Y (t ) = 0 .
t→
+∞

1.2 TÝnh ỉn định của hệ vi phân tuyến tính

Xét hệ vi phân tun tÝnh díi d¹ng ma trËn
dY
= A(t )Y + F (t )
dt

(2)

Định nghĩa 1.2.1. Hệ vi phân tuyến tính (2) đợc gọi là ổn định (tơng ứng
ổn định tiệm cận, không ổn định) nếu tất cả các nghiệm của hệ là ổn định (tơng

ứng ổn định tiệm cận, không ổn định).
Định lý 1.2.2. Điều kiện cần và đủ để hệ vi phân tuyến tính (2) ổn định với
mọi F(t) là nghiƯm tÇm thêng X(t) ≡ 0 cđa hƯ thn nhÊt

dY
= A(t )Y
dt

ổn định.

Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử Z = Z(t) là nghiệm của hệ vi phân
tuyến tính (2) và hệ vi phân tuyến tính (2) là hệ ổn ®Þnh víi mäi F(t). Khi ®ã,

4


nghiệm Z = Z(t) ổn định, có nghĩa là với mäi ε > 0 tån t¹i δ > 0 sao cho víi
nghiƯm bÊt kú Y = Y(t) cđa hƯ (2) th×
Y (t ) − (t ) <
Z
ε

Y (t 0 ) Z (t 0 ) < .

khi

(*)

Mặt khác ta có
dY

= A(t )Y + F (t )
dt
dZ
= A(t ) Z + F (t ).
dt

Do ®ã
d (Y − Z )
= A(t )(Y − Z ) .
dt

Đặt (Y-Z) = X thì ta có hệ phơng trình

dX
= A(t ) X
dt

.

Từ điều kiện (*) suy ra víi mäi ε > 0, tån t¹i δ > 0 sao cho nếu
X (t 0 ) <

thì

hệ thuần nhất

X (t ) <


. Điều đó có nghĩa là nghiệm tầm thờng X(t) 0 của

dX
= A(t ) X
dt

ổn định.

Điều kiện đủ: Giả sử nghiệm tầm thờng X(t) 0 của hệ thuần nhất
dX
= A(t ) X
dt

ổn định. Khi đó, nếu X = X(t) lµ mét nghiƯm bÊt kú cđa hƯ

dX
= A(t ) X
dt

sao cho nÕu

|| X (t 0 ) ||< δ (t 0 , ε)

th×

|| X (t ) ||< ε

víi mäi

t ≥t0 .

Nh

vËy, nÕu Z = Z(t) lµ mét nghiƯm nµo đó của hệ vi phân tuyến tính (2) và Y(t) là
nghiệm bất kỳ của hệ đó thì từ bất đẳng thøc
Y (t ) − (t ) <
Z
ε

khi

Y (t 0 ) Z (t 0 ) <

ta suy ra

t t0 .

Điều đó cã nghÜa lµ Z = Z(t) cđa hƯ (2) ỉn định hay hệ phơng trình tuyến
tính (2) ổn định.
Mệnh đề 1.2.3. Hệ vi phân tuyến tính (2) ổn định đều khi và chỉ khi
nghiệm tầm thờng X 0 của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tơng ứng ổn
định ®Òu.

5


Chứng minh. Mệnh đề đợc chứng minh hoàn toàn tơng tự Định lý1.2.2.
Định lý 1.2.4. Hệ phơng trình vi phân tuyến tính (2) ổn định tiệm cận
khi và chỉ khi nghiệm tầm thờng X 0 của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tơng ứng

dY

= A(t )Y
dt

ổn định tiệm cận.

Chứng minh. Định lý đợc trực tiếp suy ra từ khẳng định hiệu giữa hai
nghiệm của hệ vi phân tuyến tính không thuần nhất là một nghiệm của hệ vi
phân tuyến tính thuần nhất tơng ứng.
Hệ quả 1.2.5. Các khẳng đinh sau là đúng cho hệ phơng trình vi phân
tuyến tính.
(a) Hệ vi phân tuyến tính ổn định khi có ít nhất một nghiệm của nó ổn
định và không ổn định nếu một nghiệm nào đó của nó không ổn định.
(b) Hệ vi phân tuyến tính ổn định khi và chỉ khi hệ vi phân thuần nhất tơng ứng ổn định.
(c) Điều kiện cần và đủ để hệ vi phân tun tÝnh (2) víi sè h¹ng tù do F(t)
bÊt kú ổn định tiệm cận là hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tơng ứng ổn định.
1.3 Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất

Xét hệ vi phân tuyến tính thuần nhất dới dạng ma trận:
dY
= A(t )Y
dt

(3)

Định lý 1.3.1. Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (3) ổn định khi và chỉ
khi mọi nghiệm Y = Y(t) (t0 t < ) của hệ đó bị chặn với mọi t t0.
Chứng minh. Điều kiện đủ: Giả sử nghiệm bất kỳ của hệ (3) bị chặn với
mọi t t0. Hệ phơng trình (3) có nghiệm Y = Y(t) = X(t).Y(t0) trong đó X(t) là
nghiệm cơ bản của hệ và X(t0) = I ma trận đơn vị.
Vì X(t) bao gồm các hàm giới nội nên nó giới néi, tøc lµ

X (t ) ≤M

t ≥ t0, M lµ mét h»ng sè d¬ng. Suy tõ Y(t) = X(t).Y(t0) ta cã
Y (t ) = X (t ).Y (t 0 ) ≤ X (t ) . Y (t 0 )

6

.

víi mäi


Do ®ã
Y (t ) ≤M . || Y (t 0 ) || .

ε
Khi ®ã, víi mäi ε > 0 tån t¹i δ = M sao cho mäi nghiƯm Y = Y(t) thoả mÃn
Y (t 0 ) <

thì

Y (t )


.

Điều ®ã cã nghÜa lµ nghiƯm Y(t) ≡ 0 cđa (3) ổn định. Suy ra nghiệm bất kỳ của
hệ (3) ổn định hay hệ (3) ổn định.
Điều kiện cần: Giả sử hƯ (3) tån t¹i mét nghiƯm Z = Z(t) víi Z(t0) 0

không bị chặn với mọi t t0. Cố định hai số dơng > 0 và > 0 vµ xÐt nghiƯm
Y (t ) =

Z (t ) δ
.
Z (t 0 ) 2

.

NhËn thÊy r»ng
|| Y (t 0 ) ||=

|| Z (t 0 ) || δ δ
. = <δ .
|| Z (t 0 ) || 2 2

Mặt khác ta có nghiệm Z(t) không bị chặn đối với một thời ®iĨm t1 > t0 nµo ®ã.
Suy ra
|| Y (t1 ) ||=

|| Z (t1 ) || δ
. >ε .
|| Z (t 0 ) || 2

Nh vËy, nghiƯm tÇm thêng Y0 ≡ 0 của hệ (3) không ổn định, do đó theo Định lý
1..2.2 thì hệ (3) cũng không ổn định, điều này mâu thuẫn giả thiết.
Vậy mọi nghiệm của hệ (3) đều bị chặn.
Định lý 1.3.2. Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (3) ổn định tiệm cận khi
t)
và chỉ khi tất cả các nghiệm Y = Y(t) thoả mÃn điều kiện lim Y (+ = 0 .

t

Chứng minh.Điều kiện cần: Giả sử hệ (3) ổn định tiệm cận. Khi đó tất cả
các nghiệm của nó, kể cả nghiệm tầm thờng Y0 0 cũng ổn định tiệm cận. Do đó,
đối víi nghiƯm Z = Z(t) bÊt kú cđa hƯ (3) ta cã
lim Z (t ) = 0
t →+∞

khi

|| Z (t 0 ) ||< ∆, t 0 ∈(a, ∞)

tuú ý.

XÐt mét nghiƯm bÊt kú Y = Y(t) cđa hƯ (3) víi ®iỊu kiƯn ban ®Çu

7


Y(t0) = Y0 ≠ 0.
Gi¶ sư r»ng
Y (t ) = Z (t ).

|| Y (t 0 ) ||
∆
2

trong ®ã
Z (t ) =

Y (t ) ∆
.
|| Y (t 0 ) || 2

Vì nghiệm Z = Z(t) thoả mÃn điều kiện

|| Z (t 0 ) ||=

.

<
2

nên nghiệm Z = Z(t) thoả

t)
mÃn điều kiƯn lim Z (t ) = 0 . Do ®ã lim Y (+ = 0
t +
t

Điều kiện đủ: Giả sử nghiệm Y = Y(t) của hệ (3) thoả mÃn điều kiƯn
lim Y (t ) = 0 . Khi ®ã víi nghiÖm bÊt kú Y
t →+∞

|| Y (t ) ||<1

= Y(t) (t0 t < ) ta có

khi

T
Vì trên đoạn hữu hạn [t0,T] hàm véctơ liên tục Y(t) bị chặn nên nghiệm Y(t) bất kỳ
bị chặn trên đoạn [t0, ). Do đó theo Định lý 1.3.1, hệ (3) ổn định và nghiệm tầm
thờng của nó ổn định tiệm cận. Từ đó, theo Định lý 1.2.4 ta suy ra tính ổn định
tiệm cận của hệ (3).
1.4 Tính ổn định của hệ vi ph©n tun tÝnh víi ma trËn h»ng

XÐt hƯ vi ph©n tun tÝnh víi ma trËn h»ng sau
dY
= A.Y
dt

(4)

trong ®ã A lµ ma trËn h»ng cÊp (n x n) vµ Y0 = I (I là ma trận đơn vị cấp n x n).
Định nghĩa 1.4.1. Ma trận A đợc gọi là ổn định (hay ổn định Hurwitz) nếu
các nghiệm đặc trng j = j(A) của ma trận A đều có phần thực âm, tức là
Rej(A) < 0 (j = 1,,n).

8


Định lý 1.4.2. Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (4) với ma trận hằng A
ổn định khi và chỉ khi tất cả các nghiệm đặc trng j = j(A) của A đều cóphần
thực không dơng, nghĩa là Rej(A) < 0 (j = 1, …, n).
Chøng minh. §Ĩ chøng minh ®iỊu kiƯn cÇn ta cÇn cã mét sè kiÕn thøc
phơ vỊ lý thut ma trËn nªn ta chØ chøng minh điều kiện đủ của Định lý. Thật
vậy, giả sử j = α j + iβ j ( j = 1, 2,..., p, i = 1 )

là tất cả các nghiệm đặc trng của

ma trận A với các phần thực j âm và k = i k (k =1,, q) là tất cả các
nghiệm đặc trng của ma trận A với phần thực bằng không.
Khi đó, theo kết quả đà biết ở lý thuyết phơng trình vi phân thì nghiệm
bất kỳ của hệ (4) có dạng
p

q

Y (t ) = ∑ e j (cos β j t + i sin β j t ).Pj (t ) + ∑ (cos γ k t + i sin γ k t )Ck
α t

j =1

k =1

trong đó pj(t) là hàm véctơ đa thức nào đó có bậc nhỏ hơn số bộ của j và Ck là
t
véctơ cột hằng số. Vì j < 0 nªn tlim e p j (t ) = 0 .
+
J

Mặt khác Cos k t + i sin k t = 1 .
Vì vậy, từ công thức biểu diễn của Y(t) ta suy ra rằng mọi nghiệm Y(t) bị
chặn víi mäi t ≥ t0. Do ®ã hƯ (4) ỉn định.
Định lý 1.4.3. Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (4) với ma trận hằng A
ổn định tiệm cận khi và chi khi tất cả các nghiệm đặc trng j = j(A) của ma
trận A đều có các phần thực ©m, tøc lµ Reλj(A) < 0 (j = 1,…, n).
Chøng minh. Điều kiện đủ: Giả sử 1,, m (m n) là tất cả các

nghiệm đặc trng của ma trận A vµ Reλj < 0 (j = 1,…, m). Khi đó, theo kết quả
của lý thuyết phơng trình vi phân ta có mỗi nghiệm Y(t) của hệ phơng trình (4)
đều biểu diễn đợc dới dạng:
m

Y (t ) = eJ t p j (t )
j =1

9


trong đó pj(t) là ma trận đa thức. Do Rej < 0 nªn tlim Y (t ) = 0 . Từ đó ta suy ra
+
hệ (4) ổn định tiệm cận.
Điều kiện cần: Giả sử hệ (4) ổn định tiệm cận. Khi đó hệ này ổn định và
do đó theo Định lý 1.4.2 ta cã Reλj ≤ 0 (j = 1,…, m).
Giả sử tồn tại ít nhất một nghiệm đặc trng λs = iµs (1 ≤ s ≤ m) cđa ma
trËn A sao cho Reλs = 0. Khi ®ã nghiƯm Z(t) cđa hƯ (4) cã d¹ng
Z (t ) = e λst .c = (cos µ s t + i sin µ s t ).c

trong đó C là véctơ cột khác không. V× vËy ta cã
|| Z (t ) ||= c ||
||

0.

Suy ra
khi

Z (t ) 0

t.

Điều này mâu thuẫn với tính ổn định tiệm cận của hệ (4). Do đó, Rej(A) < 0
(j = 1,, m). Định lý đợc chứng minh hoàn toàn.

1.5. Phơng pháp hàm Liapunov
Xét hàm số V = V(t,X) liên tục theo t và theo x1,, xn trong miền Z0,
trong đó Z0 ={aĐầu tiên, chúng tôi đa ra các khái niệm cơ bản về các hàm có dấu xác
định và hàm có dấu không đổi.
Định nghĩa 1.5.1. Hàm V(t,X) đợc gọi là hàm có dấu không đổi (dấu dơng hoặc dấu âm) trong miền Z0 nếu V(t,X) 0 (hoặc V(t,X) 0).
Định nghĩa 1.5.2. Hàm V(t,X) đợc gọi là hàm xác định dơng trong miền Z0
nếu tồn tại hàm W(X) sao cho V(t,X) ≥ W(X) > 0 víi X ≠ 0 vµ V(t,0) = W(0) = 0
Hàm V(t,X) đợc gọi là hàm xác định âm trong miền Z0 nếu tồn tại hàm
W(X) sao cho V(t,X) ≤ W(X) < 0 víi X ≠ 0 và V(t,0) = W(0) = 0.
Định nghĩa 1.5.3. Hàm V(t,X) đợc gọi là hàm có giới hạn vô cùng bé
bậc cao khi X → 0 nÕu víi mäi ε > 0 tån t¹i δ = δ (ε ) > 0 sao cho
| V (t , X ) |< ε

khi

|| X ||< δ

10

vµ

t ≥t0 .

Xét hệ phơng trình vi phân nh sau
dX
= F (t , X )
dt

thoả mÃn F(t,0) 0

(5)

Định lý 1.5.4. Nếu đối với hệ (5) tồn tại một hàm xác định dơng V(t,X)
và có đạo hàm theo t xác định âm thì nghiệm tầm thờng X 0 của hệ đà cho
ổn định.
Định lý 1.5.5. Giả sử đối với hệ (5) tồn tại một hàm xác định dơng
V(t,X) có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi X 0 và có đạo hàm theo t xác
định âm. Khi đó nghiệm tầm thờng X 0 của hệ đà cho ổn định tiệm cận.
Định lý 1.5.6. Nếu hệ

dX
= F(X )
dt

xác định hàm V(X) > 0 và

dV
0
dt

thì

nghiệm tầm thờng X 0 của hệ ổn định.
Định lý 1.5.7. Nếu hệ

dX
= F(X )
dt

xác định hàm V(X) > 0 và

dV
<0
dt

thì nghiệm tầm thờng X 0 của hệ ổn định tiệm cận.
Xét hệ phơng trình

dX
= AX
dt

với X(0) = I (I là ma trận đơn vị) và A là

ma trận hằng. Khi đó ta có định lý sau.
Định lý 1.5.8. Nếu tồn tại ma trận H xác định dơng, đối xứng và thoả
dX
= AX
dt

mÃn điều kiện ATH+HA =-I thì hệ

nói trên ổn định tiệm cận. Với I

là ma trận đơn vị.
Chứng minh. Ta chọn hàm Liapunov cđa hƯ
V(X) = XTHX .
Khi ®ã V(X) > 0 vµ

dV d ( X T HX )
=
dt
dt

.

Suy ra
dV dX T
dX
=
.HX + X T H .
dt
dt
dt

11

dX
= AX
dt

lµ

= ( AX ) T .HX + X T HAX
= X T AT HX + X T HAX
= X T ( AT H + HA) X

Do ®ã, nÕu ATH + HA = - I thì

dV
<0
dt

0 ổn định tiệm cận. Suy ra hệ

dX
= AX
dt

nên theo Định lý 1.5.7 thì nghiệm

12

ổn ®Þnh tiƯm cËn.

X


Chơng 2
Tính ổn định mũ bình phơng trung bình của nghiệm
của hệ phơng trình sai phân ngẫu nhiên

2.1. Tính ổn định của hệ phơng trình sai phân tất định với ma
trận hằng

Trong mục này chúng ta xét tính ổn định của hệ phơng trình sau
y(k+1) = Ay(k)

(1)

trong đó k = k0, k0 + 1,…; y ( k0 ) = y0 Ă n và A là ma trận hằng.
Định nghĩa 2.1.1. Nghiệm y = 0 của hệ phơng trình sai phân (1) đợc gọi
là ổn định mũ với p (0;1) nếu tồn tại hằng số N > 0 và 0 < p < 1 độc lập với
k0 và y0 sao cho víi mäi k > k0 vµ y0 ∈ ¡ n thì nghiệm y(k, k0, y0) của hệ phơng
trình đà cho thoả mÃn bất đẳng thức sau
|| y (k , k0 , y0 ) ||≤ N . p k −k0 || y0 || .

Định nghĩa 2.1.2. Ma trận hằng A đợc gọi là hội tụ (hay ổn định Schur)
nếu các nghiệm đặc trng i = i ( A) của ma trận A thoả mÃn điều kiện
| i ( A) |<1

(i = 1, 2, , n).

Mệnh đề 2.1.3. Hệ phơng trình sai phân (1) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi
ma trận A hội tụ.
Chứng minh. Từ hệ phơng trình (1) ta cã
y(k) = Ay(k-1) = A.A y(k-2) = …= Aky(k0) = Aky0.
Gäi λi (i = 1, 2,…, n) lµ các nghiệm đặc trng của ma trận A. Khi đó i là
nghiệm của phơng trình sau det A- I =0 với I là ma trận đơn vị. Khi đó tồn tại
ma trận T không suy biến sao cho

13

λ1


T −1 AT = 


0


0


 = diag (λ ,..., λn ) .
1


λn 


.
.
.

Do ®ã
A = T diag(λ1,…, λn)T-1.
Ta cã
y(k) = Aky0 = T diag (λ1k,…, λnk)T-1y0.
V× vËy ta cã lim y (k ) = 0 khi vµ chØ khi |λi| < 1 (i = 1, , n).

k
Định lý 2.1.4. Hệ phơng trình sai phân (1) ổn định tiệm cận nếu tồn tại
ma trận H xác định dơng, đối xứng (H = HT > 0n x n) thoả mÃn phơng trình ma
trận Liapunov rời rạc (còn gọi là phơng trình Sylvester)
ATHA - H = - G
trong đó G là ma trận xác định dơng, đối xứng tuỳ ý nào đó (G = G T> 0n x n), G
cã thÓ chän là ma trận đơn vị.
Chứng minh. Đối với hệ phơng trình (1) ta chọn hàm Liapunov ở dạng
toàn phơng nh sau V(y(k)) = yT(k)H y(k). NhËn thÊy V(y(k)) > 0 nªn
∆V ( y (k )) = { V ( y (k + 1)) − V ( y (k ))}
= yT ( k + 1) Hy ( k + 1) − y T ( k ) Hy ( k )
= ( Ay ( k ) ) HAy ( k ) − y T ( k ) Hy ( k )
T

(

)

= yT ( k ) AT HA − H y ( k )

Khi đó, nếu ATHA-H =-G thì V(y(k)) = - yT(k)G(y(k)) hay V(y(k))<0
Do đó, theo định lý Liapunov thì hệ phơng trình (1) ổn định tiệm cận.
Định lý 2.1.5. Nghiệm y=0 của hệ phơng trình (1) ổn định mũ với biên
p (0,1) (nghĩa là khi

(
A) < p )

nếu tồn tại ma trận H xác định dơng, đối

14


xứng (H = HT > 0nxn) thoả mÃn phơng trình ma trËn Liapunov rêi r¹c sau
1 T
A HA − H = G
p2

trong đó G là ma trận xác định dơng, ®èi xøng cÊp n nµo ®ã (G = G T > 0nxn),
G có thể là ma trận đơn vị.
Chứng minh. Trong hệ phơng trình (1) ta sử dụng phép đổi biến nh sau
y(k) = pkZ(k).
Khi đó
y(k+1) = pk+1Z(k+1).
Thay các kết quả đó vào hệ (1) ta đợc
pk+1Z(k+1) = A.pkZ(k)
suy ra
Z ( k +1) =

A
Z (k ) .
p

Chän hµm Liapunov cđa hệ (*) là dạng toàn phơng sau
V(Z(k)) = ZT(k)HZ(k).
Nhận thấy r»ng V(Z(k)) > 0 .
Suy ra
∆V ( Z ( k ) ) = {V ( Z ( k + 1) ) − V ( Z ( k ) )}

= Z T ( k + 1) HZ ( k + 1) − Z T ( k ) HZ ( k )

T

A

A
=  Z ( k )  H Z ( k ) − Z T ( k ) HZ ( k )
p

p


T
A
A
= ZT (k)
H Z ( k ) − Z T ( k ) HZ ( k )
p
p
1
= Z T ( k ) 2 AT HAZ ( k ) − Z T ( k ) HZ ( k )
p
 1

= Z T ( k )  2 AT HA − H  Z ( k )
p




15

(*)


Do đó, nếu

1 T
A HA H = G
p2

thì V(Z(k)) = -ZT(k) GZ(k) < 0 . Suy ra hƯ ph-

¬ng trình (*) ổn định mũ với biên p (0,1) kéo theo hệ (1) ổn định mũ với biên
p (0,1).
Do vậy hệ (1) ổn định mũ với biên p (0,1) nếu tồn tại ma trận H xác
định dơng, ®èi xøng tho¶ m·n ®iỊu kiƯn
1 T
A HA − H = G .
p2

2.2. Tính ổn định của hệ phơng trình sau phân với ma trận hằng
dạng tổng quát

Trong mục này ta sẽ xét tính ổn định của hệ phơng trình có dạng nh sau
Dy(k+1) = Ay(k)

(2)

với A và D là các ma trận hằng, D không suy biến.
Định lý 2.1.6. Nghiệm y = 0 của hệ phơng trình (2) ổn định tiệm cận

nếu tồn tại ma trận H xác định dơng, đối xứng (H = HT > 0nxn) thoả mÃn phơng trình ma trận Liapunov rời rạc
ATHA - DTHD = - G
trong đó G là ma trận xác định dơng, ®èi xøng cÊp n t ý, G cã thĨ lµ ma
trận đơn vị.
Chứng minh. Ta chọn hàm Liapunov của hệ (2) nh sau
V(y(k)) = yT(k) DTHdy(k)
Khi ®ã V(y(k)) > 0 suy ra
∆V ( y ( k ) ) = {V ( y ( k + 1) ) − V ( y ( k ) ) }

= y T ( k + 1) D T HDy( k + 1) − y T ( k ) D T HDy( k )

= ( Dy( k + 1) ) HDy( k + 1) − y T ( k ) D T HDy( k )
T

= y T ( k ) AT HAy( k ) − y T ( k ) D T HDy( k )

NÕu ATHA - DTHD = - G th× ∆V(y(k)) < 0 .

16


Định lý 2.1.7. Nghiệm y = 0 của hệ phơng trình (2) ổn định mũ với biên
p (0,1) nếu tồn tại ma trận H xác định dơng, đối xứng (H = HT > 0nxn) thoả
mÃn phơng trình ma trận Liapunov
1 T
A HA − DT HD = −G
p2

trong ®ã G = GT > 0nxn, G cã thÓ chän tuú ý. Ta có thể chọn G là ma trận đơn vị.
Chứng minh. Trong hệ phơng trình (2) ta sử dụng phép ®æi biÕn nh sau

y(k) = pkZ(k).
Khi ®ã
y (k+1) = pk+1Z(k+1).
Thay các kết quả đó vào hệ (2) ta đợc
Dpk+1Z(k+1) = ApkZ(k)
suy ra
DZ(k +1) =

A
Z (k ) .
p

(**)

Chọn hàm Liapunov tơng øng víi hƯ (**) lµ V(Z(k)) = ZT(k) DTHDZ(k) . Khi đó
V(Z(k)) > 0 và
V ( Z ( k ) ) = {V ( Z ( k + 1) ) − V ( Z ( k ) ) }

= Z T ( k + 1) D T HDZ ( k + 1) − Z T ( k ) D T HDZ ( k )

= ( DZ ( k + 1) ) HDZ ( k + 1) − Z T ( k ) D T HDZ ( k )
T

AT
A
H .Z ( k ) − Z T ( k ) D T HDZ ( k )
p
p
1
= Z T ( k ) 2 AT HAZ ( k ) − Z T ( k ) D T HDZ ( k )

p
= DT ( k )

 1



= Z T ( k )  2 AT HA − DT HD  Z ( k )
p


NÕu

1 T
A HA DT HD = G
p2

thì V(Z(k)) < 0

Do đó hệ phơng trình (**) ổn định mũ với biên p (0,1) kéo theo hệ (2) ổn định
mũ với biên p (0,1). Định lý đợc chứng minh hoàn toàn.

17


2.3. Tính ổn định mũ bình phơng trung bình của hệ phơng trình
sai phân ngẫu nhiên với ma trận hằng

Trong mục này chúng tôi sẽ nghiên cứu tính ổn định mũ bình phơng
trung bình của hệ phơng trình sai phân cã d¹ng nh sau

x(k+1) = [A + B ξ(k)] x(k)

(3)

víi A và B là các ma trận hằng và (k) = W(k+1) - W(k) là ồn trắng, tiêu chuẩn
thoả mÃn các điều kiện
E {2(k)} = 1 và E {(k)} = 0 víi k = k0, k0 + 1 … , k0 > 0,
x (k0) = x0;
A và B Ă

.

nxn

Định nghĩa 2.2.1. Nghiệm x = 0 của hệ phơng trình (3) đợc gọi là ổn
định mũ bình phơng trung bình với biên p (0,1) nếu tồn tại hằng số N và
0 < p < 1 độc lập với k0 vµ x0 sao cho víi mäi k > k0vµ x0 Ă

{

x (k, k0, x0) của hệ thoả mÃn điều kiÖn E x( k , k0 , x0 )

2

} ≤ NP

k k0

x0

n

2

thì nghiệm
.

Định lý 2.2.2. Nghiệm x = 0 của hệ phơng trình (3) ổn định mũ bình
phơng trung bình với biên p (0,1), nếu tồn tại ma trận H xác định dơng,
đốixứng (H=HT>0nxn) thoả mÃn phơng trình ma trËn Liapunov sau

(

)

1
AT HA + B T HB − H = G
p2

trong đó G = GT > 0nxn và ta có thể chọn G là ma trận đơn vị.
Chứng minh. Trong hệ phơng trình (3) ta dùng phép đổi biến nh sau x(k)
= pkZ(k).
Khi đó
x(k+1) = pk+1Z(k+1).
Thay các kết qủa đó vào hệ phơng trình (3) ta đợc
pk+1Z(k+1) = [A + B ξ(k)] pkZ(k)

18

suy ra
Z(k +1) =

1
[ A + Bξ ( k )]Z ( k ) .
p

(3.1)

Chọn hàm Liapunov tơng ứng với hệ phơng trình (3) là dạng toàn phơng sau
V(Z(k)) = ZT(k) HZ(k)
khi đó V (Z(x)) > 0 và
V ( Z ( k ) ) = {V ( z ( k + 1) ) − V ( Z ( k ) )}

= Z T ( k + 1) HZ ( k + 1) − Z T ( k ) HZ ( k )
T

1

1
=  [ A + Bξ ( k ) ] Z ( k )  H [ A + Bξ ( k ) ] Z ( k ) − Z T ( k ) HZ ( k )
p

p


1 1
= Z T ( k ) AT + B T ξ ( k ) H [ A + Bξ ( k ) ] Z ( k ) − Z T ( k ) HZ ( k )
p p

[

]

1

= Z T ( k )  2 AT + B T ξ ( k ) H ( A + Bξ ( k ) ) − H  Z ( k )
p


(

)

Do ®ã


 1

E ∆V ( Z ( k ) ) = E  Z T ( k )  2 AT + BT ξ ( k ) H ( A + Bξ ( k ) ) − H  Z ( k ) 
p





 1

= E  Z T ( k )  2 AT HA − H ÷Z ( k )  +
p




1
+ 2 E Z T ( k ) BT HBZ ( k ) ξ 2 ( k ) + Z T ( k ) AT HB + BT HA Z ( k ) ξ ( k )
p

{

}

(

)

{

(

)


 1
 1

= E  Z T ( k )  2 AT HA − H ÷Z ( k )  + 2 E Z T ( k ) B T HBZ ( k )
p


 p

{

}

(Do E{ξ2(k)} =1 vµ E {ξ(k)} = 0)


1

= E Z T ( k )  2 AT HA + B T HB − H  Z ( k ) 
p




(

NÕu

(

)

1
AT HA + B T HB − H = −G
p2

)

th× E{∆V(Z(k))}<0 nên nghiệm của Z=0 của

hệ phơng trình (3.1) ổn định mũ bình phơng trung bình với biên p(0,1) kéo
theo nghiệm x = 0 của hệ phơng trình (3) ổn định mũ bình phơng trung bình với
biên p (0,1). Định lý đợc chứng minh.

19

}


2.4. Tính ổn định mũ bình phơng trung bình của hệ phơng trình
sai phân ngẫu nhiên với ma trận hằng dạng tổng quát

Trong mục này chúng ta sẽ xét tính ổn định mũ bình phơng trung bình
của hệ phơng trình sai phân dạng sau
Dx(k+1) = [A + B (k)] x(k)

(4)

với A, B và D là các ma trận hằng, D là ma trận không suy biến (det D0).

(k) = W(k+1) - W(k) là ồn trắng tiêu chuẩn thoả mÃn điều kiện
E {2(k)} = 1 và E {(k0} = 0.
Định lý 2.2.3. Nghiệm x = 0 của hệ phơng trình (4) ổn định mũ bình
phơng trung bình với biên p(0,1) nếu tồn tại ma trận H xác định dơng, đối
xứng (H = HT > 0nxn) thoả mÃn phơng trình ma trận Liapunov.

(

)

1
AT HA + BT HB − D T HD = −G
p2

trong ®ã G = GT > 0nxn tuú ý, cã thể chọn G là ma trận đơn vị
Chứng minh. Trong hệ phơng trình (4) ta dùng phép đổi biến nh sau
x(k) =pkZ(x).
Khi đó
x(k+1) = pk+1Z(k+1).
Thay các kết quả đó vào hệ (4) ta đợc
Dpk+1Z(k+1) = [A + B (k)]pkZ(k)
suy ra
DZ(k +1) =

1
[ A + Bξ ( k ) ] Z ( k ) .
p

Chọn hàm Liapunov tơng ứng với hệ phơng trình (4) là
V(Z(k)) = ZT(k) DTHDZ(k).
Khi đó V(Z(k)) > 0 vµ

20

(4.1)


∆V ( Z ( k ) ) = {V ( Z ( k ) ) − V ( Z ( k ) )}

= Z T ( k + 1) D T HDZ ( k + 1) − Z T ( k ) D T HDZ ( k )

= ( DZ ( k + 1) ) HDZ ( k + 1) − Z T ( k ) DT HDZ ( k )
T

T

1

1
=  [ A + Bξ ( k ) ] Z ( k )  H [ A + Bξ ( k ) ] Z ( k ) − Z T ( k ) DT HDZ ( k )
p

p


1
= Z T ( k ) AT + B T ( k ) 2 H [ A + Bξ ( k ) ] Z ( k ) − Z T ( k ) DT HDZ ( k )
p

[

]

1

= Z T ( k )  2 AT + BT ξ ( k ) H ( A + Bξ ( k ) ) − DT HD  Z ( k )
p


(

)

Do ®ã


1

E = { ∆V ( Z ( k ) )} = E Z T ( k )  2 ( AT + B T ξ ( k ) ) H ( A + Bξ ( k ) ) − DT HD  Z ( k ) 
p





 1

= E Z T ( k )  2 AT HA − D T HD Z ( k )  +
p





1
+ 2 E {Z T ( k ) B T HBZ ( k )ξ 2 ( k ) + Z T ( k ) ( AT HB + B T HA) Z ( k )ξ ( k )}
p


 1
 1

= E Z T ( k )  2 AT HA − D T HD Z ( k )  + 2 E {Z T ( k ) B T HBZ ( k )}
p




 p

(Do E{ξ2 (k)} = 1 vµ E {ξ(k)} = 0)


1

= E Z T ( k )  2 AT HA + B T HB − DT HD  Z ( k ) 
p




(

NÕu

(

)

1
AT HA + BT HB − D T HD = −G
2
p

)

th× E{∆V(Z(k))} < 0.

Do ®ã nghiƯm Z = 0 cđa hƯ phơng trình (4) ổn định mũ bình phơng trung bình
với biªn p ∈ (0,1) suy ra nghiƯm x = 0 của hệ (4) ổn định mũ bình phơng trung
bình với biên p (0,1).
2.5. Tính ổn định mũ bình phơng trung bình của hệ phơng trình
sai phân với nhiễu vectơ r - chiỊu (ξ 1, … , ξ r)

Trong mơc này chúng tôi sẽ nghiên cứu tính ổn định mũ bình phơng
trung bình của hệ phơng trình sai phân với nhiễu vectơ r - chiều (1, ,r) dạng
sau

21


r


x( k + 1) =  A + ∑ Biξ i ( k )  x( k )
i =1



(5)

víi k = 0, 1, 2 …, x(0) = x 0 vµ A, Bi Rnxn. Các i(k) thoả mÃn điều kiện
E{i(k)} = 0; E {ξi2(k)} = 1 vµ E{ξi(k). ξj(k); i j} = 0 (i = 1, , r).
Định lý 2.2.4. Nghiệm x = 0 của hệ phơng trình (5) ổn định mũ bình
phơng trung bình với biên p (0,1) nếu tồn tại ma trận H xác định dơng, đối
xứng (H=HT> 0nxn) thoả mÃn phơng trình ma trận Liapunov
r
1  T

 A HA + ∑ BiT HBi  − H = −G
2
p 
i =1


trong ®ã G = GT > 0nxn tuỳ ý. G có thể là ma trận đơn vị (i = 1, , r).
Chứng minh. Trong hệ phơng trình (5) ta sử dụng phép đổi biến nh sau
x(k) = pkZ(k)
khi đó
(k+1) = pk+1Z(k+1).
Thay các kết quả đó vào hệ (5) ta đợc
r


p k +1Z(k + 1) = A + ∑ Biξ i ( k )  p k Z ( k )
i =1



suy ra
Z ( k + 1) =

r
1

A + ∑ Biξ i ( k )  Z ( k ) .

p
i =1


(5.1)
Chọn hàm Liapunov tơng ứng với hệ (5.1) là
V(Z(k)) = ZT(k) HZ(k)
khi đó V(Z(k)) > 0 Vµ

22


{

∆V ( Z ( k ) ) = V ( Z ( k + 1) ) − V ( Z ( k ) )
=Z

T

}

( k + 1) HZ ( k + 1) − Z ( k ) H ( k )

T

T

r
r
1

1


=   A + ∑ Biξi ( k )  Z ( k ) ÷ H  A + ∑ Biξi ( k )  Z ( k ) − Z T ( k ) HZ ( k )
p
i =1
i =1


 p

r
r
1 
 

= Z T ( k ) 2  AT + ∑ BiT ξi ( k )  H  A + ∑ Biξi ( k )  Z ( k ) − Z T ( k ) HZ ( k )
p 
i =1
i =1
 


r
r
 1 

 

= Z T ( k )  2  AT + ∑ BiT ξi ( k ) ÷H  A + ∑ Biξi ( k ) ÷− H  Z ( k )
i =1
i =1
 

p 


Do ®ã

{

}

E ∆V ( Z ( k ) ) =
r
r


 1 

 




= E  Z T ( k )  2  AT + ∑ BiT ξi ( k ) ÷H  A + ∑ Biξi ( k ) ÷− H  Z ( k ) 
i =1
i =1
 



p 





 1

= E  Z T ( k )  2 AT HA − H ÷Z ( k )  +
p



r

1  T
 r

T
E  Z ( k ) ∑ BiT HBi Z ( k ) ξ 2 ( k ) ( k )  ∑ AT HBi + BiT HA ÷Z ( k ) ξ ( k ) 
2
p 

i =1
 i =1


r

 1 
 1


= E  Z T ( k )  2 AT HA − H ÷z ( k )  + 2 E  Z T ( k ) ∑ BiT HBi Z ( k ) 
i =1

p


 p 
r


 1 




= E  Z T ( k )  2  AT HA + ∑ BiT HBi ÷− H  Z ( k ) 
i =1




p 




(

+

NÕu

)

r
1  T

 A HA + ∑ BiT HBi  − H = −G th× E {∆V(Z(k))} < 0.
2
p 
i =1


Suy ra nghiệm Z = 0 của hệ phơng trình (5.1) ổn định mũ bình phơng trung
bình với biên p ∈ (0,1), do vËy nghiƯm x = 0 cđa hƯ phơng trình (4) ổn định mũ
bình phơng trung bình với biên p (0,1).
2.6. Tính ổn định của hệ phơng trình sai phân tất định có trễ

Trong mục này chúng tôi nghiên cứu tính ổn định của hệ phơng trình sai
ph©n sau

23


x(k+1) = Ax(k) + A1x(k-h)

(6)

trong đó A và A1 là các ma trận hằng, h Ơ
Định lý 2.2.5. Nghiệm x = 0 của hệ phơng trình (6) ổn định tiệm cận
nếu tồn tại ma trận H xác định dơng, ®èi xøng (H = HT > 0n x n) tho¶ m·n ®iỊu
kiƯn
ATHA - H +AT1 HA1+ I +ATHA1AT1HA < 0
trong đó I là ma trận đơn vị.
Chứng minh. Chọn hàm Liapunov t¬ng øng víi hƯ (6) nh sau
V(x(k)) = x T (k)Hx(k) =

k-1

∑ x ( i ) Qx ( i )
T

i = k-h

trong đó H và Q là các ma trận xác dịnh dơng, đối xứng nào đó.
Khi đó ta cã

{

∆V ( x ( k ) ) = V ( x ( k + 1) ) − V ( x ( k ) )
= xT ( k + 1) Hx ( k + 1) +

k

∑

i = k +1− h

}

xT ( i ) Qx ( i ) − xT ( k ) Hx ( k ) −

k −1

∑ x ( i ) Qx ( i )
T

i=k −h

=  Ax ( k ) + A1 x ( k − h )   A ( k ) + A1 x ( k − h )  − xT ( k ) hx ( k ) +

 

T
T
+ x ( k ) Qx ( k ) − x ( k − h ) Qx ( k − h )
T

= xT ( k ) AT Hx ( k ) + xT ( k − h ) A1T HA1T x ( k − h ) + xT ( k ) AT HA1 x ( k − h ) +
+ xT ( k − h ) A1T HAx ( k ) + xT ( k ) Qx ( k ) − xT ( k ) Hx ( k ) − xT ( k − h ) Qx ( k h )

Đặt

x( k )
y( k ) =  
 x( k − h ) 

th× ta cã

24


 A HA− H + Q A HA
T
∆ V( ky ) = y ( k)  T T  y( k)
 A HA1 A1 HA1 − Q 
T

T
1

.

Khi ®ã nÕu Q = A1T HA1 + I (I lµ ma trËn đơn vị) thì

A HA H + A HA + I
∆ V( ( ky ) = y ( k)  T  y( k)
 A HA1 − I 
T

T

T
1 1

do ®ã nÕu

 A HA − H + A HA + I A HA
 T
<0
 A HA1 − I 
T

T
1 1

th× ∆V(y(k)) < 0 kÐo theo ∆V(x(k)) < 0

25

T
1