1 GT12 c3 b1 NGUYEN HAM HS 2022

FB: Duong Hung

-Full Chuyên đề dạy thêm lớp 12 mức 7+

⓬
①

Chương 3

Ⓐ

NGUYÊN HÀM

▣ Tóm tắt lý thuyết cơ bản:

Ghi nhớ



Định nghĩa:
Cho hàm số

xác định trên

(

là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số

được gọi là nguyên hàm của hàm số

trên

nếu

với mọi

trên

thì với mỗi hằng số

.
Định lí:
Nếu

là một nguyên hàm của hàm số
cũng là một nguyên hàm của

Nếu
trên

là một nguyên hàm của hàm số
đều có dạng

Do đó

, với

trên

.

thì mọi ngun hàm của

là một hằng số.

là họ tất cả các nguyên hàm của

Ký hiệu
Ghi nhớ

trên

trên

.

.

❷

Tính chất của nguyên hàm
Tính chất 1:

và

Tính chất 2:

với

là hằng số khác

.

Tính chất 3:
Sự tồn tại của nguyên hàm
Định lí: Mọi hàm số

1

liên tục trên

◈ - Zalo 0774860155- chia sẻ file word

, hàm số

đều có nguyên hàm trên

.

WORD XINH


FB: Duong Hung

Ghi nhớ

-Full Chuyên đề dạy thêm lớp 12 mức 7+

❸

Nguyên hàm của hàm số đơn giản

Nguyên hàm của hàm số hợp

Hàm số lượng giác

Ghi nhớ

❹

①. Phương pháp đổi biến số:
Định lý: Cho hàm số
xác định trên

có đạo hàm liên tục trên
Khi đó nếu

và hàm số

là một nguyên hàm của

tức là

Ghi nhớ:

là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên

thì

Ghi nhớ: Cơng thức trên viết gọn dưới dạng

2

thì

Với

②. Phương pháp từn phần:
Định lý: Nếu

liên tục sao cho

◈ - Zalo 0774860155- chia sẻ file word

WORD XINH


FB: Duong Hung

Ⓑ

-Full Chuyên đề dạy thêm lớp 12 mức 7+

▣ Phân dạng tốn cơ bản:

①

▣ Định nghĩa, tính chất của nguyên
hàm

Cách giải:

①. Định nghĩa:
Cho hàm số

xác định trên

(

là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số

được gọi là nguyên hàm của hàm số

trên

nếu

với mọi

.
②. Tính chất của nguyên hàm
và
với

là hằng số khác

.

_Bài tập minh họa:
Câu 1:

Cho biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên
A. I = 2 F ( x ) − 1 + C .

B. I = 2 F ( x ) − x + C .

. Tìm I =   2 f ( x ) − 1dx.

C. I = 2 xF ( x ) − x + C . D. I = 2 xF ( x ) − 1 + C .
Lời giải
Chọn B
Ta có I =   2 f ( x ) − 1dx =  2 f ( x ) dx −  1dx = 2 F ( x ) − x + C.
Câu 2:

Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A.  f ( x ) dx = f ( x ) .

(

)

B.

 kf ( x ) dx = k  f ( x ) dx

C.

  f ( x ) + g ( x ) dx =  f ( x ) dx +  g ( x ) dx với f ( x ) ; g ( x ) liên tục trên

D.

x



dx =

với k 

.
.

1  +1
x với   −1 .
 +1

Lời giải
Chọn B
Ta có  kf ( x ) dx = k  f ( x ) dx với k 

3

◈ - Zalo 0774860155- chia sẻ file word

sai vì tính chất đúng khi k 

\ 0 .

WORD XINH

FB: Duong Hung

Câu 3:

-Full Chuyên đề dạy thêm lớp 12 mức 7+

Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Nếu  f ( x ) dx = F ( x ) + C thì
B.

 kf ( x ) dx = k  f ( x ) dx ( k

 f ( u ) du = F ( u ) + C .

là hằng số và k  0 ).

C. Nếu F ( x ) và G ( x ) đều là nguyên hàm của hàm số f ( x ) thì F ( x ) = G ( x ) .
D.

  f ( x ) + f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx .
1

2

1

2

Lời giải

Chọn C
Mệnh đề C sai, ví dụ f ( x ) = 1 thì F ( x ) = x và G ( x ) = x + 1 cũng đều là nguyên hàm của hàm số

f ( x ) mà F ( x )  G ( x ) .
Câu 4:

Nếu

1

 f ( x ) dx = x + ln x + C

thì f ( x ) là
B. f ( x ) = − x +

A. f ( x ) = x + ln x + C .
C. f ( x ) = −

1
+ ln x + C .
x2

D. f ( x ) =

1
+ ln x + C .
x

x −1
.

x2

Lời giải
Chọn D

x −1
1 1 x −1
1

Ta có  + ln x + C  = − 2 + = 2 , suy ra f ( x ) = 2 là hàm số cần tìm.
x
x
x
x
x

_Bài tập rèn luyện:
Câu 1:Cho f ( x ) , g ( x ) là các hàm số xác định và liên tục trên

. Trong

các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A.   f ( x ) − g ( x )  dx =  f ( x ) dx −  g ( x ) dx .
B.
C.
D.

 2 f ( x ) dx = 2 f ( x ) dx .
  f ( x ) + g ( x ) dx = f ( x ) dx +  g ( x ) dx .
 f ( x ) g ( x ) dx = f ( x ) dx. g ( x ) dx .

Câu 2:Xét f ( x), g ( x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên
sau đây sai?
A.
f ( x)d ( g ( x) ) = f ( x).g ( x) − g ( x).d ( f ( x) ) .
B.
C.
D.

4

. Phát biểu nào



 ( f ( x) + g ( x) ) dx =  f ( x)dx +  g ( x)dx .
 ( f ( x) − g ( x) ) dx =  f ( x)dx −  g ( x)dx .
 ( f ( x) ) dx = (  f ( x)dx ) .
2

2

◈ - Zalo 0774860155- chia sẻ file word

WORD XINH


FB: Duong Hung

-Full Chuyên đề dạy thêm lớp 12 mức 7+

Câu 3:Cho các hàm số y = f ( x ) và y = g ( x ) liên tục trên
đây là sai?
A.
B.
C.
D.

. Mệnh đề nào sau

 kf ( x ) dx = k  f ( x ) dx với k là hằng số khác 0 .
 f  ( x ) dx = f ( x ) + C .
 f ( x ) .g ( x ) dx =  f ( x ) dx. g ( x ) dx .
  f ( x ) + g ( x ) dx =  f ( x ) dx +  g ( x ) dx .

Câu 4:Cho hai hàm số f ( x ) , g ( x ) là hàm số liên tục, có F ( x ) , G ( x ) lần
lượt là nguyên hàm của f ( x ) , g ( x ) . Xét các mệnh đề sau:

( I ) . F ( x ) + G ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) + g ( x ) .
( II ) . k.F ( x ) là một nguyên hàm của k. f ( x ) với k  .
( III ) . F ( x ) .G ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) .g ( x ) .
Các mệnh đề đúng là
A. ( I ) và ( III ) .
C.

( II )

và ( III ) .

B.

(I )

và ( II ) .

D. Cả 3 mệnh đề.

Câu 5:Cho biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên

I =   2 f ( x ) − 1dx.
A. I = 2 F ( x ) − 1 + C .

B. I = 2 F ( x ) − x + C .

C. I = 2 xF ( x ) − x + C .

D. I = 2 xF ( x ) − 1 + C .

. Tìm

Câu 6:Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A.
B.
C.
trên

(  f ( x ) dx ) = f ( x ) .

 kf ( x ) dx = k  f ( x ) dx với k  .
  f ( x ) + g ( x ) dx =  f ( x ) dx +  g ( x ) dx với f ( x ) ; g ( x ) liên tục

.
D.

x



dx =

1  +1
x với   −1 .
 +1

Câu 7:Cho hàm số F ( x ) là một nguyên hàm của hàm f ( x ) trên khoảng K nếu
A. F ( x ) = f  ( x ) .

B. F  ( x ) = f ( x ) .

C. F ( x ) = f  ( x ) .

D. F  ( x ) = f ( x ) .

Câu 8:Cho hai hàm số f ( x ) , g ( x ) là hàm số liên tục, có F ( x ) , G ( x ) lần lượt
là nguyên hàm của f ( x ) , g ( x ) . Xét các mệnh đề sau:

( I ) . F ( x ) + G ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) + g ( x ) .
5

◈ - Zalo 0774860155- chia sẻ file word

WORD XINH


FB: Duong Hung

-Full Chuyên đề dạy thêm lớp 12 mức 7+

( II ) . k.F ( x ) là một nguyên hàm của k. f ( x ) với k  .
( III ) . F ( x ) .G ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) .g ( x ) .
Mệnh đề nào là mệnh đề đúng?
A. ( II ) .
B.
C.

( I ) và ( II ) .

D.

( I) .
( I ) , ( II ) và ( III ) .

Câu 9:Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Nếu  f ( x ) dx = F ( x ) + C thì
B.

 kf ( x ) dx = k  f ( x ) dx ( k

 f ( u ) du = F ( u ) + C .

là hằng số và k  0 ).

C. Nếu F ( x ) và G ( x ) đều là nguyên hàm của hàm số f ( x ) thì

F ( x) = G ( x) .
D.

  f ( x ) + f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx .
1

Câu 10:Nếu

2

1

1

 f ( x ) dx = x + ln x + C

A. f ( x ) =

x + ln x + C .

C. f ( x ) = −

1
+ ln x + C .
x2

Câu 11:Cho

2

thì f ( x ) là

1
f ( x ) = − x + + ln x + C .
x
x −1
D. f ( x ) = 2 .
x
B.

 f ( x ) dx = F ( x ) + C . Khi đó với a  0 , a , b là hằng số ta có

 f ( ax + b ) dx bằng
A.  f ( ax + b ) dx = aF ( ax + b ) + C .
B.
C.
D.

1

 f ( ax + b ) dx = a + b F ( ax + b ) + C .
 f ( ax + b ) dx = F ( ax + b ) + C .
1

 f ( ax + b ) dx = a F ( ax + b ) + C .

Câu 12:Cho hàm số F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên khoảng K .
Chọn khẳng định sai.
A.  f ( x)dx = f ( x) + C .
B.  f ( x)dx = F ( x) + C .
C. F ( x) = f ( x); x  K .

D.

 xf ( x)dx = x  f ( x)dx .

Câu 13:Hàm số F ( x ) = e x là một nguyên hàm của hàm số
3

A. f ( x ) = x3 .e x −1 .
3

C. f ( x ) = 3x .e .
2

6

x3

B.

f ( x ) = ex .

D.

ex

f ( x) = 2 .
3x

3

3

◈ - Zalo 0774860155- chia sẻ file word

WORD XINH


FB: Duong Hung

-Full Chuyên đề dạy thêm lớp 12 mức 7+

Câu 14:Cho hàm số f ( x ) xác định trên K và F ( x ) là một nguyên hàm của

f ( x ) trên K . Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. F  ( x ) = f  ( x ) , x  K . B.
C. F  ( x ) = f ( x ) , x  K .

f  ( x ) = F ( x ) , x  K .

D. F ( x ) = f ( x ) , x  K .

Câu 15:Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Nếu F ( x ) và G ( x ) đều là nguyên hàm của hàm số f ( x ) thì

F ( x) = G ( x).

B.
C.
D.

  f ( x ) + g ( x ) dx =  f ( x ) dx +  g ( x ) dx.
Nếu  f ( x ) dx = F ( x ) + C thì  f ( u ) du = F ( u ) + C.
 kf ( x ) dx = k  f ( x ) dx ( k là hằng số và k  0 ).

Câu 16:Cho hàm số f ( x ) xác định trên K . Khẳng định nào sau đây sai?
A. Nếu f ( x ) liên tục trên K thì nó có ngun hàm trên K .
B. Hàm số F ( x ) được gọi là một nguyên hàm của f ( x ) trên K nếu

F  ( x ) = f ( x ) với mọi x  K .
C. Nếu hàm số F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) trên K thì hàm số

F ( − x ) là một nguyên hàm của f ( x ) trên K .
D. Nếu hàm số F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) trên K thì với mỗi
hằng số C , hàm số G ( x ) = F ( x ) + C cũng là một nguyên hàm của f ( x ) trên K
.

Câu 17:Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số y = x 2 . Giá trị của biểu
thức F  ( 4 ) là
A. 2 .

B. 4 .

C. 8 .

D. 16 .

Câu 18:Cho F ( x ) , G ( x ) lần lượt là các nguyên hàm của các hàm số f ( x ) ,

g ( x ) trên khoảng K . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. F  ( x ) = − f ( x ) , x  K .
B. g  ( x ) = G ( x ) , x  K .
C. F  ( x ) + G ( x ) = f ( x ) − g ( x ) , x  K .
D. F  ( x ) + G ( x ) = f ( x ) + g ( x ) , x  K .

Câu 19:Nếu



f ( x ) dx =

A. f ( x ) = 3x 2 + e x .

7

x3
+ e x + C thì f ( x ) bằng:
3
x4
B. f ( x ) = + e x .
12

◈ - Zalo 0774860155- chia sẻ file word

WORD XINH

FB: Duong Hung

C. f ( x ) = x 2 + e x .

D.

-Full Chuyên đề dạy thêm lớp 12 mức 7+

x4
f ( x) =
+ ex .
3

Câu 20:Cho hàm số f ( x) xác định trên K và F ( x) là một nguyên hàm của hàm
số f ( x) trên K . Khẳng định nào dưới đây đúng?

f ' ( x ) = F ( x ) , x  K .

A. F ' ( x ) = f ' ( x ) , x  K .

B.

C. F ' ( x ) = f ( x ) , x  K .

D. F ( x ) = f ( x ) , x  K .

Câu 21:Mệnh đề nào dưới đây là sai?
A.  f ( x ) − g ( x )  dx = f ( x ) dx − g ( x ) dx với mọi hàm f ( x ) , g ( x )







liên tục trên .
B.   f ( x ) g ( x )  dx =  f ( x ) dx. g ( x ) dx với mọi hàm f ( x ) , g ( x ) liên
tục trên .
C.
f  ( x ) dx = f ( x ) + C với mọi hàm f ( x ) có đạo hàm trên
D.

.

  f ( x ) + g ( x ) dx =  f ( x ) dx +  g ( x ) dx với mọi hàm f ( x ) , g ( x )

liên tục trên

.

Câu 22:Mệnh đề nào sau đây sai?
A. kf ( x ) dx = k f ( x ) dx với mọi hằng số k và với mọi hàm số f ( x )





liên tục trên .
B.  f  ( x ) dx = f ( x ) + C với mọi hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên
.

C.

 ( f ( x ) − g ( x ) ) dx =  f ( x ) dx −  g ( x ) dx , với mọi hàm số f ( x ) ;

g ( x ) liên tục trên
D.

.

 ( f ( x ) + g ( x ) ) dx =  f ( x ) dx +  g ( x ) dx , với mọi hàm số f ( x ) ;

g ( x ) liên tục trên

.

Câu 23:Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. dx = x + C ( C là hằng số).
B.


 0dx = C ( C là hằng số).
1

C.

 x dx = ln x + C ( C là hằng số).

D.



 x dx =

x +1
+ C ( C là hằng số).
 +1

Câu 24:Mệnh đề nào sau đây sai?
A.  kf ( x ) dx = k  f ( x ) dx với mọi hằng số k và với mọi hàm số

f ( x ) liên tục trên
B.

8

.

 f  ( x ) dx = f ( x ) + C

với mọi hàm số f ( x ) có đạo hàm trên

◈ - Zalo 0774860155- chia sẻ file word

.

WORD XINH


FB: Duong Hung

C.

  f ( x ) + g ( x ) dx =  f ( x ) dx +  g ( x ) dx , với mọi hàm số

f ( x ) , g ( x ) liên tục trên
D.

-Full Chuyên đề dạy thêm lớp 12 mức 7+

.

  f ( x ) − g ( x ) dx =  f ( x ) dx −  g ( x ) dx , với mọi hàm số

f ( x ) , g ( x ) liên tục trên

.

Câu 25:Khẳng định nào sau đây là sai?

x +1
+ C ( C là hằng số,  là hằng số).
 +1
x
x
B.  e dx = e + C ( C là hằng số).
A.


 x dx =

C.

 xdx = ln x + C ( C

1

là hằng số, x  0 ).

D. Mọi hàm số f ( x )  0 liên tục trên đoạn  a; b đều có nguyên hàm
trên đoạn  a; b .

2
là một nguyên hàm của
5
f ( x ) = e2 x sin x ( a, b  ) . Tính giá trị biểu thức T = a + 2b − 1.

2x
Câu 26:Biết F ( x ) = e ( a sin x + b cos x ) +

A. −1 .

B.

3
.
5

C. 1 .

2
.

5

D.

(

(

)

)

Câu 27:Cho hai hàm số F ( x ) = ax 2 + 3x + b e 2 x và f ( x ) = 4 x 2 + 10 x + 1 e 2 x .
Tính P = a + 3b khi F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) .
A. −1 .

B. 3 .

Câu 28:Nếu

C. 0 .

 ( x − 2) sin3xdx= −

S = a + b + c bằng
A. S = 15 .
B. S = 10 .
Câu 29:Nếu

( x − a ) cos3x

b

C. S = 14 .

+

1
sin3x + 2017 thì tổng
c

D. S = 3 .

1
 f ( x ) dx = x + ln 2 x + C với x  ( 0; + ) thì hàm số f ( x ) là

1
+ ln ( 2 x ) .
x2
1 1
C. f ( x ) = − 2 + .
x
x
f ( x) =

A.

D. 2 .

(

1
1
+ .
2
x 2x
1
.
D. f ( x ) = x +
2x
f ( x) = −

B.

)

Câu 30:Giả sử F ( x ) = ax 2 − bx + c e x là một nguyên hàm của hàm số

f ( x ) = x .e . Tích abc bằng
2

A. −4 .

9

x

B. 1 .

C. −3 .

D. 4 .

◈ - Zalo 0774860155- chia sẻ file word

WORD XINH


FB: Duong Hung

(

Câu 31:Cho F ( x ) = ax 2 + bx + c

)

-Full Chuyên đề dạy thêm lớp 12 mức 7+

2 x − 1 là một nguyên hàm của hàm số

10 x 2 − 7 x − 2
1

trên khoảng  ; +   . Tính S = a + b + c .
2
2x −1


A. S = −2 .
B. S = 3 .
C. S = 0 .

D. S = −6 .

f ( x) =

(

)

Câu 32:Cho hai hàm số F ( x ) = ln x 2 + 2mx + 4 và f ( x ) =

m để F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) .
A.

3
.
2

B. −

Lờigiải
Chọn B
Ta có F ' ( x ) =

3
.
2

2
.
3

C.

D. −

2x − 3
. Định
x − 3x + 4
2

2
.
3

2 x + 2m
.
x + 2mx + 4
2

F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) khi và chỉ khi
2 x + 2m
2x − 3
3
= 2
 2m = −3  m = −
x + 2mx + 4 x − 3x + 4
2
2

Câu 33:Cho F ( x ) = x − 2x + 1 là một nguyên hàm của hàm số f  ( x ) − 4 x .

4

2

Hàm số y = f ( x ) có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?
A. 3 .

B. 2 .

C. 1 .

D. 0 .

Câu 34:Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x ln x . Tính F  ( x ) .

1
.
x
D. F  ( x ) = x + ln x .

A. F  ( x ) = 1 − ln x .

B. F  ( x ) =

C. F  ( x ) = 1 + ln x .

Câu 35:Hàm số F ( x ) nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số
f ( x ) .g ( x ) , biết F (1) = 3 ,

 f ( x ) dx = x + C

1

và

 g ( x ) dx = x

2

+ C2 .

B. F ( x ) = x 2 + 2

A. F ( x ) = x 2 + 3 .
C. F ( x ) = x 2 + 4 .

D. F ( x ) = x 2 + 1 .

Câu 36:Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên

và có một nguyên hàm là hàm số

y = F ( x ) . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.
B.
C.
D.

10

 x. f ( x ) dx = 2 xF ( x ) + C .
 f ( x ) dx = F ( x ) + C .
 2 x. f ( x ) dx = F ( x ) + C .
 x. f ( x ) dx = F ( x ) + C .
2

2

2

2

2

2

2

2

◈ - Zalo 0774860155- chia sẻ file word

WORD XINH


FB: Duong Hung

-Full Chuyên đề dạy thêm lớp 12 mức 7+

Câu 37:Hàm số F ( x ) = e x là nguyên hàm của hàm số

2

A.

f ( x ) = 2 xe x .
2

B.

f ( x ) = e2 x .

D.

f ( x ) = x 2e x − 1 .

2

ex
C. f ( x ) =
.
2x
Câu 38:Hàm số F ( x ) =

2

1 3 x +1
e ( 9 x 2 − 24 x + 17 ) + C là nguyên hàm của hàm
27

số nào dưới đây.

A. f ( x ) = ( x 2 − 2 x + 1) e3 x +1 . B. f ( x ) = ( x 2 − 2 x − 1) e3 x −1 .

(

)

C. f ( x ) = x 2 + 2 x − 1 e3 x +1 .

D.

f ( x ) = ( x 2 − 2 x − 1) e3 x +1 .

Câu 39:Hãy xác định hàm số f từ đẳng thức sau:

2
.
y3
1
C. − 3 .
y
A.

B. Một kết quả khá
D.

Câu 40:Cho các hàm số f ( x ) =
với x 

4 1
− + C =  f ( y ) dy .

x3 y 2

3
.
y3

20 x 2 − 30 x + 7
; F ( x ) = ( ax 2 + bx + c ) 2 x − 3
2x + 3

3
. Để hàm số F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) thì giá trị của
2

a, b, c là
A. a = 4; b = −2; c = −1.
C. a = 4; b = 2; c = −1.

B. a = 4; b = −2; c = 1.
D. a = 4; b = 2; c = 1.

Câu 41:Hãy xác định hàm số f (u) từ đẳng thứC. eu
B. eu .

A. ev .

C.

ev .

ev

f (v)dv .

eu .

D.

Câu 42:Hãy xác định hàm số f ( x) từ đẳng thứC. x 2
A. 2 x 1.
C. 2x .

C

xy

C

f ( y )dy .

B. khơng tính đượ
D. x .

 ax + b + ce x x 2 + 1 
Câu 43:Cho  
 dx = 9 x 2 + 1 + 2 ln x + x 2 + 1 + 5e x + C .
2


x +1



Tính giá trị biểu thức M = a + b + c .
A. 16 .
B. 10 .
C. 6 .
D. 20 .

(

Câu 44:Biết F ( x ) = ( ax 2 + bx + c ) 2 x − 3 ( a, b, c 
của hàm số f ( x ) =

11

20 x 2 − 30 x + 11
trên khoảng
2x − 3

)

) là một nguyên hàm

3

 ; +  . Tính T = a + b + c .
2


◈ - Zalo 0774860155- chia sẻ file word

WORD XINH


FB: Duong Hung

B. T = 5 .

A. T = 8 .

-Full Chuyên đề dạy thêm lớp 12 mức 7+

C. T = 6 .

D. T = 7 .

ax + b
( 4a − b  0 ) là nguyên hàm
x+4
của hàm số f ( x ) và thỏa mãn: 2 f 2 ( x ) =  F ( x ) − 1 f  ( x ) .
Câu 45:Biết ln có hai số a và b để F ( x ) =

Khẳng định nào dưới đây đúng và đầy đủ nhất?
A. a = 1 , b = −1 .
B. a = 1 , b  \ 4 .
C. a 

, b

D. a = 1 , b = 4 .

.

Câu 46:Cho F ( x ) = ( ax 2 + bx − c ) e2 x là một nguyên hàm của hàm số

(

)

f ( x ) = 2018 x 2 − 3x + 1 e2 x trên khoảng ( −; + ) . Tính T = a + 2b + 4c .
B. T = −3035 .
D. T = −5053 .

A. T = 1011 .
C. T = 1007 .

②

▣ Nguyên hàm của hàm số

Cách giải: Sử dụng các biến biến đổi cơ bản kết hợp với

①. Định nghĩa nguyên hàm
②. Tính chất của nguyên hàm
③. Bảng nguyên hàm cơ bản
_Bài tập minh họa:
Câu 1:

Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 x ( 2− x + 5 ) là


2x  2x
A.
+ 5x  + C .
−
ln2  ln2


 2x 
B. 1 + 5 
+C .
 ln2 

 2x 
C. x + 5 
+C .
 ln2 

D. x + 5.2x.ln2 + C .
Lời giải

Chọn C
Ta có
Câu 2:



 2x 
f ( x ) dx =  2 x ( 2− x + 5 ) dx =  (1 + 5.2 x )dx= dx +  5.2 x dx = x + 5 
+C .
 ln2 

(

)

Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin x − 4 x3 là
A.

cos 2 x
− 8x + C .
2

B. cos x − x 4 + C .

C.

sin 2 x
− 8x + C .
2

D. − cos x − x 4 + C .

Lời giải

12

◈ - Zalo 0774860155- chia sẻ file word

WORD XINH

FB: Duong Hung

-Full Chuyên đề dạy thêm lớp 12 mức 7+

Chọn D
Ta có
Câu 3:

 ( sin x − 4 x )dx = − cos x − x
3

4

+C .

Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = sin 2 x + cos x là
A. − cos 2 x + sin x + C . B. cos2 x − sin x + C .
C. sin 2 x + sin x + C .

D. cos 2 x − sin x + C .
Lời giải

Chọn C
Ta có:

 ( sin 2 x + cos x ) dx = − 2 cos 2 x + sin x + C  = − 2 (1 − 2sin x ) + sin x + C 
1

1

2

1

= sin 2 x + sin x + C .  C = C  − 
2

Câu 4:

Cho F ( x ) = cos 2 x − sin x + C là nguyên hàm của hàm số f ( x ) . Tính f ( π ) .
B. f ( π ) = −1 .

A. f ( π ) = 1 .

D. f ( π ) = −3 .

C. f ( π ) = 0 .
Lời giải

Chọn A
Ta có: f ( x ) = F  ( x )  f ( x ) = −2sin 2 x − cos x . Do đó: f ( π ) = 1 .
_Bài tập rèn luyện:
Câu 1:Hàm số F ( x ) = cos 3x là nguyên hàm của hàm số:
A. f ( x ) = 3sin 3x .
C. f ( x ) =

sin 3 x
.
3

B.

f ( x ) = − sin 3x .

D.

f ( x ) = −3sin 3x .

Câu 2:Khẳng định nào đây đúng?
A.  sin x dx = − sin x + C
B.  sin x dx = − cos x + C .
C.

1

 sin x dx = 2 sin

2

x+C .

Câu 3:Hàm số y = ln x +
1
1
A. y = ln 2 x − .
2
x

C. y = ln x + 1.

 sin x dx = cos x + C .

1
là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?
x
1 1
B. y = − 2 .
x x
1 2
1
D. y = ln x − 2 .
2
x

Câu 4:Cho hàm số f ( x ) =

13

D.

1
. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
3x + 2

◈ - Zalo 0774860155- chia sẻ file word

WORD XINH

FB: Duong Hung

-Full Chuyên đề dạy thêm lớp 12 mức 7+

A.

 f ( x ) dx = 3 ln 3x + 2 + C .

B.

 f ( x ) dx = − (3x + 2)

C.

 f ( x ) dx = − 3(3x + 2)

D.

 f ( x ) dx = ln 3x + 2 + C .

1

1

2

+C .

1

2

+C .

Câu 5:Họ các nguyên hàm của hàm số f ( x ) = cos 2x + 3x là

1
sin 2 x + 3 x 2 + C .
2
1
3
C.
sin 2 x + x 2 + C .
2
2

B. −2sin 2 x + 3 + C .

A.

1
2

D. − sin 2 x +

3 2
x +C .
2

Câu 6:Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x 2 +

x3
+ 3ln x + C.
3
3
C. x + 3ln x + C.

3
là
x

x3
+ ln x + C.
3
3
D. x + ln x + C.

A.

B.

Câu 7:Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số y = 12 x5 .
A. y = 60 x 4 .

B. y = 12 x 6 + 5 .

C. y = 2 x 6 + 3 .

D. y = 12 x 4 .

ex

Câu 8:Họ nguyên hàm của hàm số f x
A. F x

e

x

sin x

2019 C.

B. F x

ex

sin x

C.

C. F x

ex

sin x

2019 x

C.

D. F x

ex

sin x

2019 x

C.

cos x

2019 là

Câu 9:Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 3x + 1 là
3x
+C .
ln 3
C. 3x + x + C .

A.

3x
+ x+C .
ln 3
D. 3x ln x + x + C .

B.

Câu 10:Tính I =  2 x dx .
A.

2 x +1
+C.
x +1

C. 2 + C .
x

14

B. 2 ln 2 + C .
x

2x
+C .
D.
ln 2

◈ - Zalo 0774860155- chia sẻ file word

WORD XINH


FB: Duong Hung

-Full Chuyên đề dạy thêm lớp 12 mức 7+

x

Câu 11:Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e + cos x là

e x +1
+ sin x + C .
A.
x +1
e x +1
− sin x + C .
C.
x +1

B. e x − sin x + C .
D. e x + sin x + C .

Câu 12:Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 3x +
3x 1
− +C .

ln 3 x
1
C.  f ( x ) dx = 3x − + C .
x
f ( x ) dx =

A.

Câu 13:
A. −

1

.
x2

3x 1
+ +C .
ln 3 x
1
f ( x ) dx = 3x + + C .
x

f ( x ) dx =

B.



D.



B.

1
ln 2 − 3 x + C .
3

dx

 2 − 3x bằng
3

( 2 − 3x )

2

+C.

1
C. − ln 3 x − 2 + C .
3

D.

1

( 2 − 3x )

2

+C .

Câu 14:Tìm họ nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = x3 + x + 1 .
A. F ( x ) = 3x + C .
3

C. F ( x ) =

x4 x2
+ + x+C .
4 2

x 4 x3
B. F ( x ) = + + C .
4 2
x3
D. F ( x ) = x 4 + + x + C .
2

Câu 15:Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e3 x +1 là
A.

1 3 x +1
e +C .
3

C. e

3 x +1

B. 3e

+C .

D.

3 x +1

+C.

e3 x +1

+C .
ln e

Câu 16:Tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x ) = cos 2 x là
1
A. − sin 2 x + C .
2

B. 2sin 2x + C .

C. sin 2x + C .

D.

1
sin 2 x + C .
2

5x
Câu 17:Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e .

A.
C.

15

1

 f ( x ) dx = 5 e + C .
 f ( x ) dx = e + C .

5x

5x

B.
D.

 f ( x ) dx = 5e
 f ( x ) dx = e

5x

5x

◈ - Zalo 0774860155- chia sẻ file word

+C .

ln 5 + C .
WORD XINH


FB: Duong Hung

-Full Chuyên đề dạy thêm lớp 12 mức 7+

1
1
− x 2 − là
2

x
3
3
−x 1 x
− − +C .
B.
3
x 3
−2
D.
− 2x + C .
x2

Câu 18:Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
x4 + x2 + 3
+C .
3x
− x4 + x2 + 3
+C .
C.
3x
A. −

Câu 19:Giá trị m để hàm số F ( x ) = mx3 + ( 3m + 2 ) x 2 − 4 x + 3 là một
nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 3x 2 + 10 x − 4
B. m = 2 .

A. m = 0 .

D. m = 3 .

C. m = 1 .

(

)

Câu 20:Nguyên hàm của hàm số 2 x 1 + 3 x 3 là

)

B. x 2 1 + 3x 2 + C .

(

)

2
D. x 1 +



C. 2x x + x3 + C .

Câu 21:Tính
A.

(

(

A. x 2 x + x3 + C .



6 x3 
+C .
5 

 ( x − sin 2 x ) dx .
x2
+ cos2 x + C .
2
x2 1
D.
+ cos2 x + C .
2 2

x2
+ sin x + C .
2

C. x 2 +

)

B.

1
cos2 x + C .

2

Câu 22:Tìm nguyên hàm của hàm số f x

2

A.

3

x

B.

2
27

x

9

C.

2
27

x

9

x

9

x

.

C.

3

9

1

x
3

3

3

x3

C.

x3

C.

D. Đáp án khá
2
Câu 23:Họ nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = sin x là

1
( x − sin x cos x ) + C .
2
1
sin 2 x 
B. F ( x ) =  x −
+C .
2
2 
1
C. F ( x ) = ( 2 x − sin 2 x ) + C .
4
A. F ( x ) =

D. Cả A, C và D đều đúng.

16

◈ - Zalo 0774860155- chia sẻ file word

WORD XINH


FB: Duong Hung

-Full Chuyên đề dạy thêm lớp 12 mức 7+

Câu 24:Gọi F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e− x + cosx . Tìm
khẳng định đúng.
A. F ( x ) = −e− x + s inx + 2019 .
B. F ( x ) = −e− x − cosx + 2019 .
C. F ( x ) = e− x + s inx + 2019 .
D. F ( x ) = e− x + cosx + 2019 .
2x
Câu 25:Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số e và F ( 0 ) =

1
F   là
2
1
e + 50 .
A.
2

B.

201
 Giá trị
2

1
1
e + 200 . D. 2e + 100 .
e + 100 . C.
2

2

Câu 26:Tìm họ của nguyên hàm f ( x ) = tan 2 x .
A.
B.
C.
D.

1

 tan 2 x dx = − 2 ln cos 2 x + C .
 tan 2 x dx = − ln cos 2 x + C .
 tan 2 x dx = 2 (1 + tan
 tan 2 x dx = 2 (1 + tan
1

2

2x) + C .

2

2x ) + C .

A. F ( x) = ln x + e x .

1 x
+ e là
x
x

B. F ( x) = ln x + e + C .

x
C. F ( x) = ln x + e .

D. F ( x) = ln x + e x + C .

Câu 27:Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x) =

Câu 28:

 ( sin 2 x − cos 2 x ) dx bằng
2

2

A.
B.
C.
D.

1
 1

 − cos 2 x + sin 2 x  + C .
2
 2

1
x − sin 2 x + C .

2
1
x + cos 4 x + C .
4
3
( sin 2 x − cos 2 x ) + C .
3

Câu 29:Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = 4 x + sin 3x , biết F ( 0 ) =

2
3

.

17

◈ - Zalo 0774860155- chia sẻ file word

WORD XINH


FB: Duong Hung

cos 3x 1
+ .
3
3
1
C. F ( x ) = 2 x 2 + cos 3x − .

3
A. F ( x ) = 2 x 2 +

-Full Chuyên đề dạy thêm lớp 12 mức 7+

cos 3x
+1.
3
5
D. F ( x ) = 2 x 2 − cos 3 x + .
3
B. F ( x ) = 2 x 2 −

Câu 30:Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin ( 2 x + 1) là:

1
2
1
1
C. F ( x) = cos ( 2 x + 1) + C . D. F ( x) = − cos ( 2 x + 1) .
2
2
A. F ( x) = cos ( 2 x + 1) .

B. F ( x) = − cos ( 2 x + 1) + C .

4
Câu 31:Cho hàm số f ( x ) = sin 2 x . Khi đó

A.

1



1

 f ( x )dx = 8  3x − cos 4 x + 8 sin 8x  + C .

1
1

f
x
d
x
=
3
x
+
cos
4
x
+
sin 8 x  + C .
(
)


8

8

1
1

C.  f ( x )dx =  3x − sin 4 x + sin 8 x  + C .
8
8

1
1

D.  f ( x )dx =  3x + sin 4 x + sin 8 x  + C .
8
8

B.

Câu 32:

 ( 3.2

x

)

+ x dx bằng

2x
2 3

+
x +C .
3.ln 2 3
2x 2 3
+
x +C .
C.
ln 2 3
A.

2x
+ x3 + C .
ln 2
2x 2 3
+
x +C .
D. 3.
ln 2 3
B. 3.

Câu 33:Trong các hàm số sau:
2
(I) f ( x ) = tan x + 2 .

2
.
cos 2 x
2
(III) f ( x ) = tan x + 1 .
(II) f ( x ) =

Hàm số nào có nguyên hàm là hàm số g ( x ) = tan x ?
A. Chỉ (II), (III).
C. Chỉ (II).

B. (I), (II), (III).
D. Chỉ (III).

3x x
Câu 34:Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e .3 là

A. F ( x ) =

( 3.e )

x

ln ( 3.e3 )

( 3.e ) + C .
F ( x) =
ln ( 3.e )
3 x

C.

18

+C .

3

B. F ( x )

(3.e )
=

D. F ( x ) = 3.

3 x

ln 3

+C .

e3 x
+C .
ln ( 3.e3 )

◈ - Zalo 0774860155- chia sẻ file word

WORD XINH


FB: Duong Hung

-Full Chuyên đề dạy thêm lớp 12 mức 7+

Câu 35:  ( cos 4 x cos x − sin 4 x sin x ) dx bằng

1
sin 5 x + C .
5
1
1
C.
sin 4 x + cos 4 x + C .
4
4
A.

1
sin 3 x + C .
3
1
D.
( sin 4 x − cos 4 x ) + C .
4
B.

Câu 36:Cặp hàm số nào sau đây có tính chất: Có một hàm số là nguyên hàm của
hàm số còn lại?
A. e x và e− x .
B. sin 2x và sin 2 x .
C. sin 2x và cos 2 x .

D. tan x 2 và

1
.

cos 2 x

Câu 37:Gọi F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 x , thỏa mãn
1
. Tính giá trị biểu thức T = F ( 0 ) + F (1) + F ( 2 ) + ... + F ( 2017 ) .
ln 2
22018 − 1
A. T =
.
B. T = 22017.2018 .
ln 2
2017
2 −1
22017 + 1
C. T =
.
D. T = 1009.
.
ln 2
ln 2

F ( 0) =

Câu 38:Cho f ( x ) =

4m

+ sin 2 x . Tìm m để nguyên hàm F ( x ) của f ( x ) thỏa



  
mãn F ( 0 ) = 1 và F   = .
4 8
A. m = −

4
.
3

B. m = −

3
.
4

C. m = −

3
4
. D. m = .
3
4

2 x +1 − 5 x −1
. Khi đó:
10 x
2
1
 f ( x ) dx = − 5x.ln 5 + 5.2x.ln 2 + C .
2

1
 f ( x ) dx = 5x.ln 5 − 5.2 x.ln 2 + C .
5x
5.2 x
f
x
d
x
=
−
 ( ) 2 ln 5 ln 2 + C .
5x
5.2 x
 f ( x ) dx = − 2 ln 5 + ln 2 + C .

Câu 39:Cho hàm số f ( x ) =
A.
B.
C.
D.

Câu 40:Cho hàm số f ( x ) xác định trên

\ 1 thỏa mãn f  ( x ) =

f ( 0 ) = 2017 , f ( 2 ) = 2018 . Tính S = f ( 3) − f ( −1) .
A. S = 4 .
C. S = ln 4035 .

19

1
,
x −1

B. S = ln 2 .
D. S = 1 .

◈ - Zalo 0774860155- chia sẻ file word

WORD XINH


FB: Duong Hung

-Full Chuyên đề dạy thêm lớp 12 mức 7+

Câu 41:Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
A. sin 4 x + sin 2 x + x + C .
C.

1
cos 4 x + cos 2 x + x + C .
2

B.

1
sin 4 x + sin 2 x + x + C .
2

Câu 42:Tính nguyên hàm I =

sin 5 x
là
sin x

D. cos 4 x + cos 2 x + x + C .



. Giá trị của a 2 − b là
A. 0.
B. 2.

dx
x 
được kết quả I = ln tan   + 2 + C với
cos x
a b

a, b 

C. 8.

D. 4.

1
là
1 + 8x

1
8x
ln
+C .
B. F ( x ) =
ln 8 1 + 8 x
1
8x
ln
+C .
D. F ( x ) =
ln12 1 + 8 x

Câu 43:Họ nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) =

1
8x
ln
+C .
A. F ( x ) =
12 1 + 8 x
8x
+C .
C. F ( x ) = ln
1 + 8x

 
 = 0.
2
 sin 6 x sin 8 x 

+
B. − 
.
16 
 12
sin 6 x sin 8 x
+
D. −
.
12
16

Câu 44:Tìm nguyên hàm của y = sin x.sin 7 x với F 

sin 6 x sin 8 x
−
.
12
16
sin 6 x sin 8 x
+
C.
.
12
16
A.

Câu 45:Kết quả nào sai trong các kết quả sau?
A.

x2
1 x +1
 1 − x 2 dx = 2 ln x − 1 − x + C .

B.

 tan xdx = tan x − x + C .
2

2 x +1 − 5x −1
1
2
dx =
+ x
+C .
C. 
x
x
10
5.2  ln 2 5  ln 5
D.



x 4 + x −4 + 2
1
dx = ln | x | − 4 + C .
3
x
4x

(

)

Câu 46:Xác định a, b, c để F ( x ) = ax 2 + bx + c e− x là một nguyên hàm của

(

)

hàm số f ( x ) = x − 3x + 2 e .
2

A. a = 1, b = 1, c = 1 .
C. a = −1, b = 1, c = 1 .

−x

B. a = 1, b = 1, c = −1 .
D. a = −1, b = 1, c = −1.

( )

Câu 47:Họ tất cả các nguyên hàm của f x =

20

(sin x +

◈ - Zalo 0774860155- chia sẻ file word

1
3 cos x

)

2

là

WORD XINH


FB: Duong Hung

1
4


+C .
3


1

tan  x +  + C .
C.
4
3




A. − cot  x +

③

-Full Chuyên đề dạy thêm lớp 12 mức 7+


1

cot  x +  + C .
4
3


B.

1
4



D. − tan  x +




+C .

3

▣ Tìm nguyên hàm thỏa mãn ĐK cho trước

Cách giải:
Xác định

là một nguyên hàm của hàm số

Tìm nguyên hàm

sao cho

.

Thế điều kiện

tìm hằng số C

Kết luận cho bài toán.

_Bài tập minh họa:
Câu 1:

Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x 2 − 2 x + 3 thỏa mãn F ( 0 ) = 2 , giá trị của F (1)
bằng
A. 4 .

13
.

3

B.

C. 2 .

D.

11
.
3

Lời giải
Chọn B
Ta có:  x 2 − 2 x + 3dx =

x3
− x 2 + 3x + C .
3

F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) có F ( 0 ) = 2  C = 2 .
Vậy F ( x ) =
Câu 2:

x3
13
− x 2 + 3x + 2  F (1) = .
3
3

 
Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) thoả mãn điều kiện f ( x ) = 2 x − 3cos x , F   = 3 .
2

2

A. F ( x ) = x 2 − 3sin x + 6 +
C. F ( x ) = x 2 − 3sin x +

2
4

4

B. F ( x ) = x 2 − 3sin x −

.

2
4

D. F ( x ) = x 2 − 3sin x + 6 −

.

.

2
4

.

Lời giải
Chọn D
Ta có

 ( 2 x − 3cos x ) dx = x

2

− 3sin x + C  F ( x ) = x 2 − 3sin x + C .



 
F =3
−3+C = 3  C = 6−
4
4
2
2

21

2

◈ - Zalo 0774860155- chia sẻ file word

WORD XINH

FB: Duong Hung

Vậy F ( x ) = x 2 − 3sin x + 6 −
Câu 3:

-Full Chuyên đề dạy thêm lớp 12 mức 7+

2
4

.

Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
nào dưới đây đúng?
A. F ( −1) = 2 − ln 2 .

1
thỏa mãn F ( 5 ) = 2 và F ( 0 ) = 1 . Mệnh đề
x −1

B. F ( 2 ) = 2 − 2ln 2 . C. F ( 3) = 1 + ln 2 .

D. F ( −3) = 2 .

Lời giải
Chọn B
TXĐ: D =

\ 1 .

Ta có: F ( x ) = 

 ln ( x − 1) + C1
1
dx = ln x − 1 + C = 
x −1
ln (1 − x ) + C2

khi
khi

x 1
.
x 1

F ( 5 ) = 2  ln 4 + C1 = 2  C1 = 2 − ln 4 = 2 − 2 ln 2 .
F ( 0 ) = 1  ln1 + C2 = 1  C2 = 1 .
Do đó: F ( x ) = 

ln ( x − 1) + 2 − 2 ln 2 khi
1
dx = 
ln (1 − x ) + 1
khi
x −1


x 1
.

x 1

F ( −1) = ln 2 + 1 .
F ( 2 ) = 2 − 2ln 2 .
F ( 3) = 2 − ln 2 .
F ( −3) = 2ln 2 + 1 .
Câu 4:

Cho hàm số F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 3x 2 − e x + 1 − m với m là tham số. Biết
rằng F ( 0 ) = 2 và F ( 2 ) = 1 − e2 . Giá trị của m thuộc khoảng
B. ( 5;7 ) .

A. ( 3;5 ) .

C. ( 6;8 ) .

D. ( 4;6 ) .

Lời giải
Chọn B
Ta có

 f ( x ) dx =  ( 3x

2

− e x + 1 − m ) dx = x 3 − e x + (1 − m ) x + C .


C = 3

−1 + C = 2
Vì F ( 0 ) = 2 và F ( 2 ) = 1 − e2 nên 
.

2
2
m
=
6
8
−
e
+
2
1
−
m
+
C
=
1
−
e
(
)




Vậy m = 6 .

_Bài tập rèn luyện:

22

◈ - Zalo 0774860155- chia sẻ file word

WORD XINH


FB: Duong Hung

-Full Chuyên đề dạy thêm lớp 12 mức 7+

Câu 1:Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

F (2) = 3 . Tìm F ( x ) :

2x + 1
thỏa mãn
2x − 3

A. F ( x) = x + 2ln(2 x − 3) + 1 . B. F ( x ) = x + 2ln 2 x − 3 + 1 .
C. F ( x) = x + 2ln | 2 x − 3 | −1 . D. F ( x ) = x + 4ln 2 x − 3 + 1 .

Câu 2:Tìm một nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = sin 3x thỏa mãn
 
F =2.
2
cos 3 x 5
+ .

3
3
C. F ( x ) = − cos3x + 2 .

cos 3 x
+ 2.
3
D. F ( x ) = cos3x + 2 .

A. F ( x ) = −

B. F ( x ) = −

Câu 3:Cho hàm số f ( x ) xác định trên

3
1 
,
\   thỏa mãn f  ( x ) =
3x − 1
3

2
f ( 0 ) = 1 và f   = 2 . Giá trị của biểu thức f ( −1) + f ( 3) bằng
3
A. 5ln 2 + 2 . B. 5ln 2 + 3 . C. 5ln 2 − 2 . D. 5ln 2 + 4 .
Câu 4:Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên

, thỏa mãn đồng thời

các điều kiện sau f ( x )  0, x  , f ' ( x ) = −e x . f 2 ( x ) , x 

và f ( 0 ) =

1
2

.Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hồnh độ x0 = ln 2 là
A. 2 x − 9 y + 2ln 2 − 3 = 0 .
B. 2 x − 9 y − 2ln 2 − 3 = 0 .
C. 2 x − 9 y − 2ln 2 + 3 = 0 .
D. 2 x + 9 y − 2ln 2 − 3 = 0 .
Câu 5:Nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x) = 2 x +

1
 
thỏa mãn F   = −1
2
sin x
4

là
A. F ( x ) = − cot x + x 2 +
2
C. F ( x ) = − cot x + x −

2
16

2

16

2
. B. F ( x ) = − cot x + x .

.

2
D. F ( x ) = − cot x + x −

2
4

.

Câu 6:Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f  ( x ) = 3 − 5cos x và f ( 0 ) = 5 . Mệnh
đề nào dưới đây đúng?
A. f ( x ) = 3x − 5sin x + 5 .

B.

f ( x ) = 3x + 5sin x + 5 .

C. f ( x ) = 3x + 5sin x + 2 .

D.

f ( x ) = 3x − 5sin x − 5 .

Câu 7:Tìm một nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = ax +

rằng F ( −1) = 1 ; F (1) = 4 ; f (1) = 0 .

23

◈ - Zalo 0774860155- chia sẻ file word

b
x2

( x  0 ) biết

WORD XINH


FB: Duong Hung

3x 2 3 1
−
− .
A. F ( x ) =
2 2x 2
3x 2 3 7
−
− .
C. F ( x ) =
4 2x 4

-Full Chuyên đề dạy thêm lớp 12 mức 7+

3x 2 3 7

+
+ .
B. F ( x ) =
4
2x 4
3x 2 3 7
+
− .
D. F ( x ) =
2
4x 4

Câu 8:Cho F ( x ) là nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
Tính F ( −2 ) .
A. F ( −2 ) = 2018 .

B. F ( −2 ) = 2020 .

C. F ( −2 ) không xác định.

D. F ( −2 ) = 2 .

x2 + x + 1
và F ( 0 ) = 2018 .
x +1

Câu 9:Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

F (1) = 2 . Tính F ( 2 ) .
A. F ( 2 ) = 2ln 3 − 2 .

C. F ( 2 ) =

1
ln 3 + 2 .
2

B. F ( 2 ) =

1
; biết
2x −1

1
ln 3 − 2 .
2

D. F ( 2 ) = ln 3 + 2 .

Câu 10:Biết hàm số y = f ( x ) có f  ( x ) = 3x 2 + 2 x − m + 1 , f ( 2 ) = 1 và đồ thị
của hàm số y = f ( x ) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng −5 . Hàm số

f ( x ) là
A. x3 + x 2 − 3x − 5 .
C. 2 x3 + x2 − 7 x − 5 .

B. x3 + 2 x 2 − 5x − 5 .
D. x3 + x 2 + 4 x − 5 .

 
 = 2 . Khẳng

4

Câu 11:Cho hàm số y = cos4 x có một nguyên hàm là F ( x ) , F 
định nào sau đây là đúng?
A.
B.
C.
D.

 F ( x ) dx = −

cos4 x
+ 2x + C .
4

 F ( x ) dx = −4cos4 x + 2 x + C .
 F ( x ) dx = −cos4 x + 2 x + C .
 F ( x ) dx = −

cos4 x
+ 2x + C .
16

Câu 12:Gọi F ( t ) là số lượng vi khuẩn phát triển sau t giờ. Biết F ( t ) thỏa
10000
với t  0 và ban đầu có 1000 con vi khuẩn. Hỏi sau 2
1 + 2t
giờ số lượng vi khuẩn là
A. 32118 .
B. 17094 .

C. 9047 . D. 8047 .

mãn F  ( t ) =

24

◈ - Zalo 0774860155- chia sẻ file word

WORD XINH


FB: Duong Hung

-Full Chuyên đề dạy thêm lớp 12 mức 7+

Câu 13:Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) =

y = F ( x ) đi qua điểm (1; −2 ) ,
1
− 3.
x
1
C. F ( x ) = ln x − − 1 .
x
A. F ( x ) = ln x +

x −1
, biết đồ thị hàm số
x2

1
+1 .
x
1
D. F ( x ) = ln x + + 3 .
x
B. F ( x ) = ln x −

1
. Nếu F ( x ) là nguyên hàm của hàm số và đồ thị
sin 2 x
 
y = F ( x ) đi qua điểm M  ;0  thì F ( x ) là
6 

Câu 14:Cho hàm số y =

A.

− 3
+ cot x .
3

C.

3 − cot x .

B. − 3 + cot x .
D.

3
− cot x .
3

Câu 15:Gọi F ( x ) là nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

3
F   = 0 . Khi đó F ( 3) bằng
2
A. −2ln 2 .
B. − ln 2 .

C. 2ln 2 .

1
thỏa mãn
x − 3x + 2
2

D. ln 2 .

Câu 16: F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số y = 2sin x cos3x và

F ( 0 ) = 0 , khi đó
A. F ( x ) = cos 4 x − cos 2 x .
C. F ( x ) =

cos 2 x cos 4 x 1
−
− .

4
8
8
cos 4 x cos 2 x 1
−
+ .
D. F ( x ) =
4
2
4

B. F ( x ) =

cos 2 x cos 4 x 1
−
− .
2
4
4

1
 e −1  3
, biết F 
 = là
2x +1
 2  2
1
B. F ( x ) = ln 2 x + 1 + .
2

Câu 17:Nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) =
1
ln 2 x + 1 + 1 .
2
1
C. F ( x ) = 2 ln 2 x + 1 − .
2
A. F ( x ) =

D. F ( x ) = 2ln 2 x + 1 + 1 .

Câu 18:Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
. Giá trị của F ( −2 ) bằng
A. 1 + ln 3 .
C. 1 +

25

1
ln 3 .
2

1
, biết F ( 0 ) = 1
2x +1

1
(1 + ln 3) .
2
1

D. 1 + ln 5 .
2
B.

◈ - Zalo 0774860155- chia sẻ file word

WORD XINH