SKKN Rèn luyện kĩ năng giải các bài toán về khai thác đồ thị hàm số trong kì thi THPT quốc gia

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 2

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TỐN VỀ
KHAI THÁC ĐỒ THỊ HÀM SỐ TRONG KÌ THI THPT
QUỐC GIA

Người thực hiện: Lê Thị Hiền
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn

THANH HĨA NĂM 2018

0
SangKienKinhNghiem.net


MỤC LỤC
1. Mở đầu…..............................................................................................
1.1. Lí do chọn đề tài………………………………………………………
1.2. Mục đích nghiên cứu…………………………………………………
1.3. Đối tượng nghiên cứu, phạm vi đề tài………………………………….
1.4. Phương pháp nghiên cứu……………………………………………….
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm......................................................
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm …………………………..
2.1.1. Đạo hàm của hàm số hợp……………………………………………
2.1.2. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm…………………………………...
2.1.3. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị …………………………………

2.1.4. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số…………………………
2.2. Thực trạng của vấn đề……………………………………………….....
2.2.1. Thực trạng vấn đề…………………………………………………….
2.2.2. Kết quả của thực trạng………………………………………………
2.3. Giải quyết vấn đề ……………………………………………………..
2.3.1. Khai thác đồ thị hàm số y  f ( x) ......................................................
2.3.1.1. Xác định khoảng đơn điệu….........................……………………
2.3.1.2. Xác định cực trị của hàm số….................................................……
2.3.1.3. Xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, so sánh các
giá trị của hàm số….………………....………..………..………..………..
2.3.2. Khai thác đồ thị hàm số y  f x ......................................................
2.3. 3. Ngân hàng đề thi về dạng toán khai thác đồ thị hàm số.....................
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm…………………………………..
2.4.1. Về phía học sinh…………………………………….………..……
2.4.2. Về phía giáo viên……………………………………………………
3. Kết luận, kiến nghị……………………….............................................
3.1 Kết luận………………………………………………………................
3.2. Kiến nghị……………….……………………………………………....
Tài liệu tham khảo…..................................................................................
Phụ lục......................................................................................................
Danh mục các đề tài sáng kiến kinh nghiệm đã được hội đồng đánh giá cấp
Sở GD & ĐT xếp loại từ C trở lên..........................................................

Trang
1
1
1
1
1
2

2
2
2
2
3
4
4
5
6
6
6
9
10
14
16
19
19
19
19
19
19

1
SangKienKinhNghiem.net


1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài
Cùng với những đổi mới trong giáo dục là đổi mới trong thi cử. Trong kì
thi Trung học phổ thơng Quốc gia năm 2017, mơn Tốn bắt đầu chuyển từ hình

thức thi tự luận sang thi trắc nghiệm khách quan. Trước kia khi thi tự luận, phần
khảo sát và vẽ đồ thị luôn ln chiếm vị trí quan trọng trong đề thi, giờ đây do
hình thức thi trắc nghiệm nên học sinh khơng phải vẽ đồ thị nữa. Tuy nhiên để
khai thác phần đồ thị này người ra đề đã chuyển hướng sang kiểm tra các em
khả năng đọc đồ thị. Trong đề thi chính thức năm 2017 và đề minh họa của Bộ
giáo dục năm 2018 xuất hiện các bài tốn có giả thiết là cho đồ thị của hàm số
y  f  x , y  f x  và yêu cầu học sinh chỉ ra các tính chất của hàm số

y  f x  như tính đơn điệu, cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, số nghiệm
của phương trình...

Phần kiến thức này tuy là khơng quá khó nhưng cách hỏi mới mẻ cộng
với kiến thức nền tảng chưa vững khiến cho các học sinh THPT mà cụ thể là học
sinh lớp 12 lúng túng khi gặp dạng toán này. Đa số các em chưa định hình được
hướng giải, chưa biết cách khai thác đồ thị và kết nối các kiến thức với nhau để
tìm ra lời giải.
Từ q trình nghiên cứu lí thuyết và đúc rút từ thực tế giảng dạy của bản
thân, tôi muốn chia sẻ với đồng nghiệp kinh nghiệm: Rèn luyện kĩ năng giải
các bài toán khai thác đồ thị hàm số trong kì thi THPT quốc gia.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Thực hiện đề tài này, người viết hướng tới mục đích:
- Hệ thống một cách khoa học các dạng toán liên quan tới khai thác đồ thị hàm
số y  f  x , y  f x  và phương pháp giải.
- Chia sẻ với đồng nghiệp kinh nghiệm để ôn tập phần giải các bài toán khai
thác đồ thị hàm số y  f  x , y  f x  có hiệu quả cho học sinh THPT nói
chung và đặc biệt là học sinh lớp 12 nói riêng.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
- Đề tài tập trung nghiên cứu phần toán liên quan tới khai thác đồ thị hàm số
y  f  x , y  f x  trong đề thi trắc nghiệm trong các năm học 2016-2017 và
2017-2018.

- Các kết quả khảo sát được tiến hành tại các trường THPT trên địa bàn huyện
Triệu Sơn mà chủ yếu là tại trường THPT Triệu Sơn 2.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Khi thực hiện đề tài này tôi đã sử dụng các phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp nghiên cứu lí luận: tìm kiếm, nghiên cứu các tài liệu.

2
SangKienKinhNghiem.net


- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: khảo sát, thống kê, phân tích, so sánh số
liệu.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.1.1. Đạo hàm của hàm số hợp
Định lí: Nếu hàm số u  g x  có đạo hàm tại x là ux và hàm số y  f u  có

đạo hàm tại u là yu thì hàm hợp y  f g x  có đạo hàm tại x là yx  yu .ux .
[3]
2.1.2. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm
Định lí: Giả sử hàm số y  f x  có đạo hàm trên khoảng I .
a) Nếu f  x   0 với mọi x  I thì hàm số y  f x  đồng biến trên khoảng I .
b) Nếu f  x   0 với mọi x  I thì hàm số y  f x  nghịch biến trên khoảng I .
c) Nếu f  x   0 với mọi x  I thì hàm số y  f x  không đổi trên khoảng I .
[1]
2.1.3. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị
Định lí: Giả sử hàm số y  f x  liên tục trên khoảng a; b  chứa điểm x0 và có
đạo hàm trên các khoảng a; x0  và x0 ; b . Khi đó
a) Nếu f  x   0 với mọi x  a; x0 và f  x   0 với mọi x  x0 ; b  thì hàm số
y  f x  đạt cực tiểu tại điểm x0 .

b) Nếu f  x   0 với mọi x  a; x0 và f  x   0 với mọi x  x0 ; b  thì hàm số
y  f x  đạt cực đại tại điểm x0 . [1]
Định lí được viết gọn trong hai bảng biến thiên sau
x
f ' (x)

a

x0
-

b
+

f (x)
f (x0)
(cực tiểu)

3
SangKienKinhNghiem.net


a

x
f ' (x)

x0
+

b
-

f (x0)
(cực đại)

f (x)

2.1.4. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
Cho hàm số y  f x , để tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên
khoảng a; b  ta có thể dựa vào bảng biến thiên của hàm số
● Trường hợp 1
x

a

f ' (x)

x0
-

0

b
+

f (x)
f (x0)

x

a

f ' (x)

x0
-

0

b
+

f (x)
f (x0)

Kết luận: min f x   f x0  .
a ;b

● Trường hợp 2

4
SangKienKinhNghiem.net


x

a

x0

f ' (x)

+

0

b
-

f (x0)
f (x)

x

a

x0

f ' (x)

-

b
+

f (x0)
f (x)

Kết luận: max f x   f x0  .

a ;b

● Trường hợp 3
x

a

f ' (x)

b
+
f (b)

f (x)
f (a)

Kết luận: min f x   f a , max f x   f b  .
a ;b

a ;b

● Trường hợp 4
x

a

f ' (x)

b
-

f (a)
f (x)
f (b)

Kết luận: min f x   f b  , max f x   f a  .
a ;b

a ;b

5
SangKienKinhNghiem.net


2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.2.1. Thực trạng của vấn đề
Trong chương trình tốn THPT nói chung, phần giải tích nói riêng thì
đạo hàm là một phần chiếm tỉ lệ lớn về kiến thức, thời lượng và ứng dụng. Nó là
một cơng cụ rất mạnh để giải quyết các bài toán cả trong giải tích, đại số, thậm
chí là hình học (như các bài tốn về cực trị hình học). Giữa hàm số y  f x  và
đạo hàm của nó y  f  x  có nhiều mối liên hệ chặt chẽ, ví dụ như từ việc xét
hàm y  f  x  có thể kết luận về tính đơn điệu, cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất của hàm y  f x .
Tuy nhiên, sự điều chỉnh của bộ giáo dục trong năm học 2016-2017 về
hình thức thi mơn Tốn từ thi tự luận sang thi trắc nghiệm và thời gian làm bài
từ 180 phút xuống cịn 90 phút đã khiến học sinh ít nhiều lúng túng. Bởi lâu nay
học sinh quen với cách làm bài toán khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số,
học sinh làm việc với công thức của hàm y  f x  và y  f  x  xong rồi mới
vẽ đồ thị của hàm số y  f x . Với hình thức thi trắc nghiệm, việc thay đổi
cách đặt câu hỏi và yêu cầu học sinh biết khai thác đồ thị hàm y  f  x ,

y  f x  cùng với thời gian làm bài rút ngắn, bình quân 1,8 phút một câu đã đòi
hỏi học sinh nắm vững lí thuyết và thành thạo kĩ năng khai thác đồ thị.
Qua khảo sát thực tế tôi thấy thực trạng dạy học phần rèn luyện kĩ năng
giải các bài toán khai thác đồ thị hàm số y  f  x , y  f x  có những đặc
điểm sau:
2.1.1.1. Về phía học sinh
- Các em vẫn cịn quen với việc làm các bài tập theo kiểu xét hàm y  f  x  rồi
suy ra tính đơn điệu, cực trị,... của hàm số chứ chưa quen việc quan sát đồ thị
hàm y  f  x , y  f x  để rút ra các kết luận tương tự.
- Thời gian giải quyết một bài tập dạng này cịn lâu.
- Các học sinh học lực trung bình và yếu gần như không thể giải được các bài
tập dạng này. Trong khi đó, trong kì thi THPT Quốc gia 2017 có tới 4 câu hỏi
dạng này trong mỗi đề, ứng với 0,8 điểm. Do vậy để đạt điểm cao trong kì thi
THPT Quốc gia, nhất định học sinh cần rèn luyện tốt phần này.
2.1.1.2. Về phía giáo viên
Bộ sách giáo khoa hiện hành các bài tập trên 90% là tự luận, các bài tập
cũng được thiết kế theo kiểu thi truyền thống. Các bài tập kiểu khai thác đồ thị
hàm số y  f  x , y  f x  như trong đề thi chính thức THPT quốc gia 2017
và đề minh họa 2018 khơng có trong SGK. Vì thế, giáo viên dạy Tốn ở các
trường THPT chúng tôi đang dạy phần này theo cách sau:
- Tham khảo các tài liệu, các đáp án thi thử của các trường và trao đổi kinh
nghiệm của đồng nghiệp để hình thành một chun đề về dạng tốn khai thác đồ
thị hàm số y  f  x , y  f x .
- Bám sát vào đề thi chính thức THPT quốc gia 2017 và đề minh họa 2018 của
Bộ giáo dục và đào tạo để có hướng ôn tập phù hợp.
6
SangKienKinhNghiem.net


- Tranh thủ thời gian trên lớp, trong các giờ chính khóa và giờ học thêm để

hướng dẫn kĩ năng khai thác đồ thị hàm số y  f  x , y  f x  đồng thời xây
dựng hệ thống bài tập để học sinh thực hành.
Tuy nhiên, do đây là chuyên đề mới, bài tập dạng này chưa nhiều và rải
rác trong các đề thi trên toàn quốc nên khơng phải giáo viên nào cũng có một hệ
thống bài tập đầy đủ. Cộng với thời lượng dành cho phần này chưa nhiều nên
các giáo viên gặp không ít khó khăn trong q trình giảng dạy.
2.1.2. Kết quả của thực trạng
Từ thực tế ấy, tôi đã tiến hành khảo sát học sinh ngay ở các lớp tôi dạy là
12B2, 12B5 sau khi dạy xong chương 1 - Giải tích 12 "Ứng dụng của đạo hàm
để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số " với thời gian làm bài là 15 phút để kiểm
tra các em kĩ năng giải các bài toán khai thác đồ thị hàm số y  f  x , y  f x 
(đề ra dưới dạng câu hỏi trắc nghiệm nhưng có u cầu các em trình bày lời giải
để tránh việc các em lụi đáp án).
Kết quả như sau:
Đa số các em tuy nắm lí thuyết nhưng rất lúng túng trong việc áp dụng vào bài
làm, việc trình bày cịn rối, còn nhầm lẫn giữa đồ thị của hàm số y  f  x  với
đồ thị hàm số y  f x  dẫn tới việc khơng tìm ra được kết quả hoặc kết quả sai.
Bảng thống kê điểm kiểm tra:
Điểm
Lớp
8-10
6,5-dưới 8
5,0-dưới 6,5
Dưới 5,0
12B2 (42HS)
3
15
16
8
12B5 (42HS)

0
8
18
16
2.3. Giải quyết vấn đề
2.3.1. Khai thác đồ thị hàm số y  f  x 
2.3.1.1. Xác định khoảng đơn điệu
Ví dụ 1: (Câu 39 đề minh họa thi THPT QG 2018_Bộ GD-ĐT)
Cho hàm số y  f x . Hàm số y  f  x  có
đồ thị như hình bên. Hàm số y  f 2  x 
đồng biến trên khoảng
A. 1;3.
B. 2;  .
C. 2;1.
D. ; 2  .

Phương pháp: Quan sát đồ thị hàm số y  f ' x  để tìm khoảng dương, âm của
f ' x , từ đó tìm được khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y  f 2  x .
Nhận xét: Dựa vào đồ thị hàm số y  f  x  ta dễ dàng nhận thấy:
7
SangKienKinhNghiem.net


● f  x   0 thì x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị y  f  x  nằm phía
trên trục hồnh.
● f  x   0 thì x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị y  f  x  nằm phía
dưới trục hồnh.
Do đó ta có kết luận:
● x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị y  f  x  nằm phía trên trục
hồnh thì trong khoảng đó hàm số y  f x  đồng biến.

● x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị y  f  x  nằm phía dưới trục
hồnh thì trong khoảng đó hàm số y  f x  nghịch biến.
Lời giải
Từ đồ thị của hàm số y  f  x  ta có:

x  4
 x  1
và f  x   0  
.
f  x   0  
 1  x  1
1  x  4
Mặt khác: y  f 2  x  có y  f  2  x .2  x    f  2  x 
Do đó, hàm số y  f 2  x  đồng biến  y  0   f  2  x   0
 2  x  1
x  3
.
 f  2  x   0  

1

2

x

4

2

x


1


Chọn đáp án C.

Chú ý: Với hình thức thi trắc nghiệm thì với dạng tốn này học sinh có thể dựa
vào hình dáng của đồ thị hàm số y  f  x  để chọn hàm số y  f  x  phù hợp.
Cách chọn hàm này sẽ giúp cho các học sinh có học lực trung bình và yếu giải
quyết bài tốn dễ dàng hơn.
Bài tập này ta cịn có thể làm như sau:
Từ đồ thị hàm số y  f  x , ta nhận thấy đây có thể là đồ thị của hàm đa thức
bậc ba với hệ số a  0 , đồ thị hàm số y  f  x  cắt trục hồnh tại các điểm có
hồnh độ x  1 , x  1 , x  4 nên có thể chọn hàm số
f  x   x  1x  1x  4 
Đặt g ( x)  f 2  x 
Ta có g  x   f  2  x .2  x    f  2  x 

  2  x  12  x  12  x  4 
 x  3x  1x  2 
x  3
g  x   0   x  1

 x  2
Bảng biến thiên

  3  x 1  x 2  x 

8
SangKienKinhNghiem.net

2
0



x

g  x 



1
0





3
0




g x 

Chọn đáp án C.
Ví dụ 2: Cho hàm số y  f x  có đồ thị hàm số

y  f  x  như hình vẽ bên và f 2   f 2   0 .
Hàm số y   f x  nghịch biến trên khoảng nào
dưới đây?
3

A.  1;  .
B. 2; 1.
2

C. 1;1 .
D. 1;2 .
Lời giải
Từ đồ thị hàm số y  f  x , ta có bảng biến thiên
2

x
y



2
0
0





1

0



2
0
0





y

Từ bảng biến thiên ta nhận thấy y  f x   0, x  ¡ .
Đặt g x    f x  , ta có g  x   2 f x . f  x .
2
Do đó hàm số y   f x  nghịch biến  g  x   0
2

 x  2
.
 2 f x . f  x   0  f  x   0  
1

x

2

Chọn đáp án D.

Ví dụ 3: (Đề thi thử trường THPT Chu
Văn An-thi ngày 21.4.2018)
Cho hàm số y  f x  có đồ thị hàm số
y  f  x  như hình vẽ bên.

x2
 x nghịch
2
biến trên khoảng nào dưới đây?
3

A.  1;  .
B. 2;0 .
2


Hàm số

y  f 1  x  

9
SangKienKinhNghiem.net


C. 3;1 .

D. 1;3.

Lời giải

x2
Đặt g x   f 1  x    x
2
Ta có g  x    f  1  x   x  1
x2
Hàm số g x   f 1  x    x nghịch
2
biến  g  x   0
  f  1  x   x  1  0
  f  1  x   1  x
 f  1  x    1  x  (1)
Đặt t  1  x , (1) trở thành
(2)
f  t   t
Kẻ thêm đường thẳng y   x lên hình vẽ
đã cho (dễ thấy đường thẳng này đi qua
các điểm 3;3, 1; 1 và 3; 3).

Dựa vào đồ thị ta có: 2   1  t  3  1  1  x  3  2  x  0 .
Chọn đáp án B.
Chú ý: Trong bài này học sinh dễ mắc sai lầm vẽ thêm đường thẳng y  x  1
lên đồ thị hàm số dẫn tới kết quả sai.
2.3.1.2. Xác định cực trị của hàm số
Ví dụ 1: (Trích đề thi thử trường THPT Nguyễn
Huệ - Ninh Bình)
Cho hàm số y  f x xác định và có đạo hàm
y  f ' x  . Đồ thị của hàm số y  f ' x  như
hình vẽ bên.
Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số y  f x có ba điểm cực trị.
B. Hàm số y  f x đồng biến trên khoảng ;2 
C. Hàm số y  f x nghịch biến trên khoảng 0;1
D. Hàm số y  f x đồng biến trên khoảng ; 1.
Phương pháp: Quan sát đồ thị hàm số y  f ' x  để tìm khoảng dương, âm của
f ' x , từ đó tìm được khoảng đồng biến, nghịch biến của f x  .
Lời giải
Từ đồ thị hàm số y  f ' x  ta có bảng biến thiên
10
SangKienKinhNghiem.net


x
y

1
0





1
0





2

0




y

Chọn đáp án A.
Chú ý khi giải:
Học sinh có thể nhầm lẫn đồ thị hàm số y  f ' x  thành đồ thị hàm số y  f x 
do đọc không kĩ đề dẫn đến chọn sai đáp án.
Ví dụ 2: (Trích đề thi thử Chuyên Bắc Ninh
lần 2-2018)
Cho hàm số y  f x với đạo hàm f ' x  có đồ
thị như hình vẽ bên.
x3
Hàm số g x   f x    x 2  x  2 đạt cực
3
đại tại điểm nào ?
A. x  1.
B. x  1.
C. x  0.
D. x  2.
Phương pháp giải: Dựa vào đồ thị hàm số f ' x  để suy ra bảng biến thiên của
hàm số y  f x , sau đó dựa vào bảng biến thiên của hàm số y  f x  để kết
luận điểm cực trị.
Lời giải
x3
Xét hàm số g ( x)  f x    x 2  x  2, có g '( x)  f ' x   x 2  2 x  1; x  ¡ .
3

2
Ta có: g '( x)  0  f ' x   x  1 *
Từ đồ thị hàm số f ' x  ta thấy:

f ' 0   1  0  1 nên x  0 là một nghiệm của g '( x).
2

f ' 1  0  1  1  x  1 là một nghiệm của g '( x).
2

f ' 2   1  2  1  x  2 là một nghiệm của g '( x).
Vậy phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt x1  0, x2  1, x3  2.
2

Vẽ đồ thị hàm số y  x  1 trên cùng mặt phẳng tọa độ với y  f ( x)
Ta thấy:
Trong khoảng (0;1) thì đồ thị hàm số y  f ( x)
2

nằm phía trên đồ thị hàm số y  x  1 nên
g ( x)  0, x  (0;1)
Trong khoảng (1;2) thì đồ thị hàm số y  f ( x)
2

nằm phía dưới đồ thị hàm số y  x  1 nên
g ( x)  0, x  (1;2) .
Do đó ta có bảng biến thiên
2

11

SangKienKinhNghiem.net


x

g  x 



0
0



1
0





2
0





g x 

Vậy x  1 là điểm cực đại của hàm số y  g ( x).
2.3.1.3. Xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, so sánh các
giá trị của hàm số
Ví dụ 1: (Trích đề thi thử trường THPT Sơn Tây - Hà Nội)
Cho hàm số y  f x  có đồ thị y  f ' x  cắt trục Ox
tại ba điểm có hồnh độ a, b, c như hình vẽ bên.
Khẳng định nào dưới đây có thể xảy ra?
A. f a   f c   f b .
B. f b   f a   f c .
C. f c   f a   f b .
D. f c   f b   f a .
Phương pháp giải: Dựa vào đồ thị hàm số f ' x  để suy
ra bảng biến thiên của hàm số y  f x , sau đó dựa vào
bảng biến thiên của hàm số y  f x  và diện tích hình phẳng để kết luận.
Lời giải
Từ đồ thị hàm số f ' x  ta có bảng biến thiên
x
y





a
0



f a 

y

b
0



c
0





f c 

f b 

Từ bảng biến thiên dễ thấy f b  là số bé nhất trong ba số f a , f b , f c  .
Gọi S1 là phần diện tích giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f ' x  và trục hoành và
nằm bên dưới trục hồnh.
Gọi S2 là phần diện tích giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f ' x  và trục hoành và
nằm bên trên trục hoành.
c

Dựa vào đồ thị y  f ' x  , ta có S2  S1  
b

c

b

b

a

b

f  x dx   f  x dx
a

  f  x dx    f  x dx  f x  b   f x  a
c

b

 f c   f b   f a   f b   f c   f a .
Chọn đáp án C.
Ví dụ 2: (Trích đề thi thử trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc-Lần 2-2018)
12
SangKienKinhNghiem.net


Cho hàm số y  f x  có đạo hàm trên ¡ và
có đồ thị của hàm y  f  x  như hình vẽ bên.
Biết rằng f 0   f 3  f 2   f 5 . Giá trị
nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của y  f x  trên
đoạn 0;5 lần lượt là
A. f 1, f 3.
B. f 2 , f 5 .

C. f 0 , f 5 .
D. f 2 , f 0 .
Phương pháp giải: Dựa vào đồ thị hàm số f ' x  để suy ra bảng biến thiên của
hàm số y  f x , sau đó dựa vào bảng biến thiên của hàm số y  f x  và tính
đơn điệu của hàm số để kết luận.
Lời giải
Từ đồ thị hàm số f ' x  ta có bảng biến thiên
x

0

f ' (x)

0

-

2

3

0

+

5

f(5)

f(0)

f (x)
f(3)
f(2)

Từ bảng biến thiên ta có min f ( x)  f 2   Loại các đáp án A, C.
0;5

Hàm số y  f x  đồng biến trên khoảng (2; 5) nên ta có f 3  f 2 .
Theo giả thiết f 0   f 3  f 2   f 5   f 5   f 0   f 3  f 2   0
 f 5   f 0   max f ( x)  f 5  .
0;5

Chọn đáp án B.
Ví dụ 3: (Trích đề thi chính thức năm 2017-mã đề 101)
Cho hàm số y  f ( x) . Đồ thị của hàm số y  f ( x)
như hình bên. Đặt h( x)  2 f ( x)  x 2 . Mệnh đề nào
dưới đây đúng?
A. h(4)  h(2)  h(2) .
B. h(4)  h(2)  h(2) .
C. h(2)  h(4)  h(2) .
D. h(2)  h(2)  h(4) .

13
SangKienKinhNghiem.net


Phương pháp giải: Dựa vào đồ thị hàm số f ' x  để suy ra bảng biến thiên của
hàm số y  h x  , sau đó dựa vào bảng biến thiên của hàm số y  h x  và diện
tích hình phẳng để kết luận.
Lời giải

Ta có: h( x)  2 f ( x)  2 x
h( x)  0  2 f ( x)  2 x  0
 x  2
 f ( x)  x   x  2 .

 x  4
Trên hình vẽ đã cho, ta kẻ thêm đường thẳng
y  x.
Dựa vào hình vẽ ta có bảng biến thiên

x
h x 





2
0

2
0





4
0





h 2 

h x 

h 4 

h 2 

Từ bảng biến thiên suy ra: max h x   h 2  , min h x  h 2 , h 4 .
2;4

2;4

Dựa vào đồ thị ta có
2

4

2

2

S1  S2  2 S1  2 S2  2   f  x   x  dx  2   x  f  x  dx
2

4

2

2

  h x dx    h x dx  h x  2   h x  2
2

4

 h 2   h 2   h 2   h 4   h 2   h 4 
Vậy h 2   h 2   h 4 .
2.3.2. Khai thác đồ thị hàm số y  f  x 
Ví dụ 1: (Trích đề thi thử trường THPT Quảng Xương 1- Lần1-2018)
Cho hàm số y   x 4  2 x 2 có đồ thị như hình vẽ
bên. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để
phương trình  x 4  2 x 2  log 2 m có bốn nghiệm
thực phân biệt
A. 0  m  1 .
B. m  0 .
C. m  2 .
D. 1  m  2 .
Phương pháp giải: Dựa vào sự tương giao
của đường thẳng y  log 2 m và đồ thị hàm
14
SangKienKinhNghiem.net


số y   x 4  2 x 2 .
Lời giải

Số nghiệm của phương trình đã cho bằng
số giao điểm của đường thẳng y  log 2 m
và đồ thị hàm số y   x 4  2 x 2 .
Dựa vào đồ thị hàm số y   x 4  2 x 2 ta
thấy phương trình  x 4  2 x 2  log 2 m có
bốn nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi 0  log 2 m  1  1  m  2 .
Ví dụ 2:
Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ.

Gọi m là số nghiệm thực của phương trình f ( f ( x))  0 khẳng định nào sau đây
là đúng?
A. m  6 .
B. m  7 .
C. m  5 .
D. m  9 .
Lời giải

Dựa vào đồ thị hàm số y  f ( x) ta dễ thấy

x  a

f ( x)  0   x  1
x  b


1  a  0 
2  b  3
15

SangKienKinhNghiem.net

 f ( x)  a
Do đó ta có: f ( f ( x))  0   f ( x)  1

 f ( x)  b
Trên đồ thị hàm số y  f ( x) kẻ các đường thẳng y  a , y  1 , y  b .
Đường thẳng y  a cắt đồ thị hàm số y  f ( x) tại 3 điểm phân biệt nên phương
trình f ( x)  a có 3 nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 .
Đường thẳng y  1 cắt đồ thị hàm số y  f ( x) tại 3 điểm phân biệt nên phương
trình f ( x)  1 có 3 nghiệm phân biệt x4 , x5 , x6 .
Đường thẳng y  b cắt đồ thị hàm số y  f ( x) tại 1 điểm duy nhất nên phương
trình f ( x)  b có 1 nghiệm duy nhất x7 .
Các nghiệm này dễ thấy khơng trùng nhau nên phương trình f ( f ( x))  0 có 7
nghiệm thực.
Ví dụ 3: (Trích đề thi thử trường THPT Quảng Xương 1- Lần 2-2018)
Cho hàm số y  f x  có đạo hàm f  x  trên khoảng ;   . Đồ thị của hàm số

y  f x  như hình vẽ.

Đồ thị của hàm số y   f x  có bao nhiêu điểm cực đại, điểm cực tiểu?
2

A. 1 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.
C. 2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu.

B. 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.
D. 2 điểm cực tiểu, 3 điểm cực đại.

Phương pháp giải: Dựa vào đồ thị hàm số y  f ( x) để tìm nghiệm của của các

phương trình f ( x)  0 , f ( x)  0 rồi xét dấu. Khi xét dấu của f ( x) thì chú ý
xem tại điểm đó là điểm cự đại hay điểm cực tiểu.
Lời giải
Dựa vào đồ thị hàm số y  f ( x) ta dễ thấy
x  0
f ( x)  0   x  1 (nghiệm kép)

 x  3
Trên đồ thị hàm số y  f ( x) , từ các điểm
16
SangKienKinhNghiem.net


cực trị, kẻ vng góc trục hồnh để xác định hồnh độ của điểm cực trị (có thể
vẽ đồ thị hàm số y  f ( x) trên cùng một hệ trục tọa độ), ta có:

 x  x1

f ( x)  0   x  1
x  x
2


0  x

 1

2

2  x

 3

2

Đặt y  g x    f x  , ta có g  x   2 f x . f  x 
2

g ( x)  0  x  0, x  3, x  1, x  x1 0  x2  1, x  x2 2  x2  3
Bảng xét dấu
x
f(x)
f '(x)
g '(x)

-∞

x1

0
+

0

-

0

-

x2

1
-

-

0

+

+

0

-

0

0

-

+∞

3
0

-

-

0

+

+

0

-

+
+

0

+

Từ bảng xét dấu g ( x) ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x  0 ; x  1 ; x  3 , đạt
cực đại tại x  x1 và x  x2 .
Vậy hàm số có 2 điểm cực đại và 3 điểm cực tiểu.
2.3. 3. Ngân hàng đề thi về dạng toán khai thác đồ thị hàm số
Câu 1: Cho hàm số y  f ( x) có đồ thị như hình vẽ
bên. Hàm số y  f ( x) nghịch biến trên khoảng nào
dưới đây?
A. ; 2 .
B. 1;2 .
C. 0;  .
D. 1;1.

Câu 2: (Trích đề thi thử trường THPT Lương Văn Tụy-2018)
Cho hàm số y  f x  liên tục trên ¡ , đồ thị
của đạo hàm f  x  như hình vẽ bên. Trong các
mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. f đạt cực tiểu tại x  0 .
B. f đạt cực tiểu tại x  2 .
C. f đạt cực đại tại x  2 .
D. cực tiểu của f nhỏ hơn cực đại.
Câu 3: (Trích đề thi thử trường THPT Chuyên Lam Sơn-Lần 1-2018)
Cho hàm số y  f x  . Hàm số y  f  x  có
17
SangKienKinhNghiem.net


đồ thị như hình vẽ bên.
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
A. Hàm số y  f ( x) đồng biến trên ;1 .
B. Đồ thị hàm số y  f ( x) có hai điểm cực trị.
C. Hàm số y  f ( x) đạt cực đại tại x  1 .
D. Đồ thị hàm số y  f ( x) có một điểm cực tiểu.
Câu 4: Cho hàm số y  f x . Hàm số y  f  x 
có đồ thị như hình bên. Hàm số y  f 1  x 
nghịch biến trên khoảng:
A. 0;2  .
B. 1; .
C. 2;0 .
D. ; 3.
Câu 5: (Trích đề thi thử trường THPT Đặng Thúc
Hứa-Lần 1-2018)

Cho hàm số y  f x  xác định, liên tục trên ¡
và có đạo hàm f ' x . Biết rằng hàm số f ' x có
đồ thị như hình vẽ bên.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số y  f x  đồng biến trên khoảng (2;0) .
B. Hàm số y  f x  nghịch biến trên khoảng 0;  .
C. Hàm số y  f x  đồng biến trên khoảng ; 3.
D. Hàm số y  f x  nghịch biến trên khoảng 3; 2  .
Câu 6: (Trích đề thi thử trường THPT Chuyên Đại học Vinh-Lần 2-2018)
Cho hàm số bậc bốn y  f x . Hàm số
y
y  f  x  có đồ thị như hình vẽ bên.
Số điểm cực đại của hàm số
y f

 x  2 x  2 là
2

x

A. 1 .
C. 4 .

B. 2 .
D. 3 .

1

O

1

Câu 7: Cho hàm số y  f x  liên tục trên ¡ .
Đồ thị của hàm số y  f  x  như hình bên.

y

Đặt g x   2 f x   x  1 . Mệnh đề nào dưới
đây đúng?
A. Min g ( x)  g (3) .

2

4

2

3;3

3

3

O

B. Min g ( x)  g (1) .
3;3

1
2

3

x

C. Min g ( x)  g (3) .
3;3

D. Không tồn tại giá trị nhỏ nhất của g ( x) trên 3;3.
18
SangKienKinhNghiem.net


Câu 8: Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm liên tục trên
đoạn 3;3 và đồ thị hàm số y  f  x  như hình vẽ bên.

( x  1) 2
Biết f (1)  6 và g ( x)  f ( x) 
.
2
Kết luận nào sau đây là đúng?
A. Phương trình g ( x)  0 có đúng hai nghiệm thuộc
3;3.
B. Phương trình g ( x)  0 có đúng một ng hiệm thuộc
3;3.
C. Phương trình g ( x)  0 khơng có nghiệm thuộc 3;3.

D. Phương trình g ( x)  0 có đúng ba nghiệm thuộc 3;3.
Câu 9: (Trích đề thi thử trường THPT Chuyên Thái Bình-Lần 5-2018)
Cho hàm số y  f ( x) có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

Tìm số điểm cực trị của hàm số y  e 2 f ( x )1  5 f ( x ) .
A. 1.
B. 2.
C. 4.
Câu 10: (Trích đề thi thử Sở GD & ĐT Quảng Nam-2018)
Cho hàm số y  f x  có đồ thị như hình bên.
Phương trình f x   1 có bao nhiêu nghiệm
thực phân biệt nhỏ hơn 2?
A. 2.
B. 0.
C. 1.
D. 3.

D. 3.

Câu 11: (Trích đề thi thử trường THPT Vinh
Lộc-2018)
Cho hàm số y  f ( x) có đồ thị như hình vẽ bên.
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Giá trị cực tiểu của hàm số bằng 1.
B. Giá trị cực đại của hàm số là 0.
C. Điểm cực tiểu của hàm số là 1.
D. Điểm cực đại của hàm số là 3.
Câu 12: (Trích đề thi thử trường THPT Chuyên
Đại học Vinh-Lần 1-2018)
19
SangKienKinhNghiem.net