TÀI LIỆU CHỦ ĐỀ VÉC TƠ TOÁN 10

Vectơ

Trần Sĩ TùngLê Quang Hải

Véctơ

KHÁI NIỆM VÉCTƠ, CÁC PHÉP TOÁN VÉCTƠ
A. Kiến thức cơ bản
1. Các định nghĩa
- Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B là
- Giá của vectơ là đường thẳng chứa vectơ đó.

uuu
r
AB

.

uuu
r
AB

- Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ,
.
r kí hiệu
0
- Vectơ – khơng là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu .
- Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
- Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.
- Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu
chúng cùng hướng và có cùng độ dài.

r r
a , b ,...
Chú ý: + Ta còn sử dụng kír hiệu
để biểu diễn vectơ.
0
+ Qui ước: Vectơ cùng phương,
cùng hướng với mọi vectơ.
r
0
Mọi vectơ đều bằng nhau.
2. Các phép toán trên vectơ
a) Tổng của hai vectơ
uuu
r uuur uuur
AB + BC = AC
Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta có:
uuu
r .uuur uuur
AB + AD = AC
Qui tắc hình bình hành: Với ABCD là hình bình hành, ta có:
.
r r r r r r r r
r
r r r r
( a +b) + c = a + (b + c) a + 0 = a
a +b =b +a
Tính chất:
;
;
b) Hiệu của hai vectơ

r
r
r
r
r r r
a
a
−a
b
a +b =0
Vectơ đối của r là vectơ
sao cho
. Kí hiệu vectơ đối của là
.
r
0 0
Vectơ đối của là .
r
r r r
a − b = a + ( −b )
Hiệu của hai vectơ :
.
uuu
r uuu
r uuu
r
OB − OA = AB
Qui tắc ba điểm: Với ba điểm O, A, B tuỳ ý, ta có:
.
c) Tích của rmột vectơ với một

r số
a
ka
Cho vectơ và số k ∈ R.
là một vectơ được xác định như sau:
r
r
r
r
ka
a
ka
a
+
cùng hướng với nếu k ≥ 0,
ngược hướng với nếu k < 0.
r
r
ka = k . a
+
.
r
r
r
r r
r
r
r
r
k ( a + b ) = ka + kb (k + l )a = ka + la k ( la ) = (kl ) a

Tính chất: +
;
;
;
Trang 1toanc3.online


Vectơ

Trần Sĩ TùngLê Quang Hải

+

r r
ka = 0

⇔ k = 0 hoặc

r r
a =0

Véctơ

.
r r r
r
r
r
a vaøb ( a ≠ 0) cù
ng phương⇔ ∃k ∈ R : b = ka

- Điều kiện để hai vectơ cùng phương:
uuu
r
uuur
AB = k AC
- Điều kiện ba điểm thẳng hàng:
A, B, C thẳng hàng ⇔ ∃k ≠ 0:
.
- Biểu thị một
vectơ theo hai vectơ không cùng phương: Cho hai vectơ không cùng
r
r r
r
r
r
a, b
x
x = ma + nb
phương
và tuỳ ý. Khi đó ∃! m, n ∈ R:
.
Chú ý:
- Hệ thức trung điểm đoạn thẳng:
uuur uuur r
uuu
r uuu
r
uuuu
r
MA + MB = 0

OA + OB = 2OM
M là trung điểm của đoạn thẳng AB ⇔
⇔
(O tuỳ ý).
- Hệ thức trọng tâm tam giác:
uuu
r uuu
r uuur r
uuu
r uuu
r uuur
uuur
GA + GB + GC = 0
OA + OB + OC = 3OG
G là trọng tâm ∆ABC ⇔
⇔
(O tuỳ ý).
VẤN ĐỀ 1: Khái niệm vectơ
AC , BD
ABCD
O
Ví dụ 1. Cho hình thoiuuur
. Gọiuuur là
giao
điểm
của
hai
đường
chéo
. Xét

uuur
uuur uuu
r
uuur uuur
uuur
uuu
r
uuur
DC DA
BC BC
CD OA
CO BO
DO
AB
các cặp vectơ:
và
,
và
,
và
,
và
,
và
.
a) Hãy chỉ ra mối quan hệ về phương, hướng và độ dài của các vectơ trong mỗi cặp trên.
b) Trong các cặp trên, có bao nhiêu cặp gồm hai vectơ bằng nhau?
Giải
ABCD
a) Do tứ giác

là hình thoi, nên các cặp cạnh đối diện
song song và bằng nhau, hai đường chéo cắt nhau tại trung
điểm của mỗi đường.uuTừ
ur đó
uuu
r
DC
AB
- Hai vectơ
và uuur cùng hướng và cùng độ dài.
uuur
BC
DA
- Hai vectơ uuur và uuur ngược hướng và cùng độ dài.
BC
CD
- Hai vectơ uuu
và
r
uuur khơng cùng phương nhưng có độ dài bằng nhau.
OA
CO
- Hai vectơ uuur và uuur cùng hướng và cùng độ dài.
BO
DO
- Hai vectơ
và
cùng độ dài, nhưng ngược hướng.
b) Theo kết quả câu a) uuur
uuu

r uuur
uuu
r
DC
AB = DC
AB
- Do hai vectơ uuu
r và uuur cùng hướng và cùng độ dài, nên uuu
r uuur .
OA
CO
OA = CO
- Do hai vectơ
và
cùng hướng và cùng độ dài, nên
.

Trang 2toanc3.online


Vectơ

Trần Sĩ TùngLê Quang Hải

Véctơ
uuur
uuur
uuur
BC
BC

DA
- Do hai vectơ
vàuuur cóucùng
độ
dài,
nhưng
ngược
hướng
nên
và
khơng
uur
BO
DO
bằng nhau. Tương
tự
và
khơng bằng nhau. uuur
uuur
uuur
uuur
BC
CD
BC
CD
- Do hai vectơ
và
khơng cùng phương, vì vậy
và
khơng bằnguunhau.

u
r
AB
Vậy
và
uuur trong
uuu
r những
uuur cặp vectơ được xét, có 2 cặp gồm hai vectơ bằng nhau, đó là
DC OA
CO
;
và
.
r
0
Bài 1. Cho tứ giác ABCD. Có thể xác định được bao nhiêu vectơ (khác ) có điểm đầu
và điểm cuối là các điểm A, B, C, D ?
Bài 2. Cho ∆ABC có A′, B′, C′ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.
uuuu
r uuuu
r uuuur
′
′
BC = C A = A′ B′
a) Chứng minh:
uuuur uuuur .
B′C ′ , C ′ A′
b) Tìm các vectơ bằng
.

Bài 3. Cho tứ giác ABCD.
uuurGọiuuM,
ur N,
uuuP,
u
r Qulần
uur lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD,
MP = QN ; MQ = PN
AD, BC. Chứng minh:
.

uuur
DA

VẤN ĐỀ 2: Chứng minh đẳng thức vectơ – Phân tích vectơ

Phương pháp giải: Để chứng minh một đẳng thức vectơ hoặc phân tích một vectơ theo
hai vectơ khơng cùng phương, ta thường sử dụng:
– Qui tắc ba điểm để phân tích các vectơ.
– Các hệ thức thường dùng như: hệ thức trung điểm, hệ thức trọng tâm tam giác.
– Tính chất của các hình.
ABCD
AB = a AD = a 2
Ví dụ 1. Cho hình chữ nhật
với
,
.
uuur uuur uuu
r
DC + BD + AB

a) Tính độ dài của vectơ
uuur uuur . uuu
r uuuu
r
DC + BD + AB = BM
M
b) Xác định điểm
sao cho
.
Giải

Trang 3toanc3.online


Vectơ

Trần Sĩ TùngLê Quang Hải

Véctơ

a) Do hình chữ nhật

(

ABCD

AC = BD = a 2 + a 2

)

2

có

AB = a, AD = a 2

nên độ dài của hai đường chéo:

= a 3.

Theo tính chất giao hốn và kết hợp phép cộng vectơ, ta có:
uu
r uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuu
r uuu
r uuur uuur = u
AB
+ BD + DC = AD + DC = AC
DC + BD + AB = AB + BD + DC
.
uuur uuur uuu
r uuur
DC + BD + AB = AC = a 3
Do đó uuur uuur uuu
r uuur
uuur. uuur uuu
r uuuu
r
DC + BD + AB = AC
DC + BD + AB = BM

b) Do
nên
uuur uuuu
r
⇔ AC = BM
uuur uuuu
r
ABMC
AC = BM
Ta có:
tương
đương
với
tứ
giác
là hình bình
uuuu
r uuu
r uuur
CM = AB = DC
hành. Từ đó
.
C
M
D
Vậy điểm
cần tìm đối xứng với điểm
qua .

(

)

ABCDEF
O
1
Ví dụ 2. Cho lục giácuu
đều
tâm
,
Độ
dài
các
cạnh
bằng
u
r uuu
r uuur uuur uuur uuur r
OA + OB + OC + OD + OE + OF = 0
a) Chứng minh rằng
uuu
r uuur uuu
r uuur uuur
AB + OE AB + CD + EF
b) Tính độ dài của các vec tơ
,
.
Giải
O
ABCDEF

O
a) Do
là tâm của lục giác đều
nên là trung điểm
AD, BE , CF
của các u
đường
chéo
uu
r uuur r uuu
r uuur r uuur uuur r
OA + OD = 0, OB + OE = 0, OF + OC = 0
Khi đó uuu
r uuu
r uuur uuur uuur uuur r
OA + OB + OC + OD + OE + OF = 0
Suyuura
.
u
r uuur uuur uuur uuu
r
AB + OE = FO + OE = FE
b)
uuu
r uuur uuur
AB
+ OE = EF = 1
ABCDEF
1
Từ đó, do độ dài các cạnh của lục giác

bằng nên
.
Bàiuu1.
u
r Cho
uuur6 điểm
uuur A,uuB,
ur C, D, E, F. Chứnguuminh:
ur uuu
r uuur uuur uuur uuur
AB + DC = AC + DB
AD + BE + CF = AE + BF + CD
a)
b)
.
Bài 2. Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng
minh:

Trang 4toanc3.online


Vectơ

Trần Sĩ TùngLê Quang Hải

uuur uuur uuur uuurVéctơuur
AC + BD = AD + BC = 2 IJ
a) Nếu
thì
b)

uuu
r uuu
r uuur uuur r .
GA + GB + GC + GD = 0
c) Gọi G là trung điểm của IJ. Chứng minh:
.
Bài 3. Cho
4r điểm
I,r J lần lượt là trung điểm của BC và CD. Chứng
uuu
uur A,uuB,
r C,
uuurD. Gọi
uuu
2( AB + AI + JA + DA) = 3DB
minh:
.
Bài 4. Cho ∆ABC. Bên ngồi tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS.
uuu
r uur uuu
r r
RJ + IQ + PS = 0
Chứng minh:
.
Bài 5. Cho tam giác
uu
r ABC,
uur có
uurAMr là trung tuyến. I là trung điểm của AM.
2 IA + IB + IC = 0

a) Chứng minh:
. uuu
r uuu
r uuur
uur
2OA + OB + OC = 4OI
b) Với điểm O bất kỳ, chứng minh:
.
Bài 6. Cho ∆ABC có M là trung điểm của BC, G là trọng tâm, H là trực tâm, O là tâm
đường
ngoại
uuur trònuu
uu
r tiếp. Chứnguuminh:
u
r uuur uuur
uuur
uuu
r uuu
r uuur uuur
AH = 2OM
HA + HB + HC = 2 HO
OA + OB + OC = OH
a)
b)
c)
.
Bài 7. Cho hai tam giác ABC và A′B′C′ lần lượt có các trọng tâm là G và G′.
uuur uuur uuuu
r uuuur

′
′
AA + BB + CC ′ = 3GG′
a) Chứng minh
.
b) Từ đó suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác có cùng trọng tâm.
Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Chứng minh:
uuuu
r 1 uuu
r 2 uuur
AM = AB + AC
3
3
.
Bài 8. Cho tam giác ABC.
uuurGọi M
uuu
rlà trung điểm của AB, D là trung điểm của BC, N là
CN = 2 NA
điểm thuộc AC sao cho
. K là trung điểm của MN. Chứng minh:
uuur 1 uuu
r 1 uuur
uuur 1 uuu
r 1 uuur
AK = AB + AC
KD = AB + AC
4
6
4

3
a)
b)
.
Bài 9. Cho hình thang OABC. M, N lần lượt là trung điểm của OB và OC. Chứng minh
rằng:
uuur 1 uuur uuu
r
uuuu
r 1 uuu
r uuu
r
uuuu
r 1 uuur uuu
r
AM = OB − OA
BN = OC − OB
MN = ( OC − OB )
2
2
2
a)
b)
c)
.
Bài 10. Cho ∆ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh rằng:
uuu
r
r 4 uuur
uuur

r 2 uuur
uuuu
r 1 uuur 1 uuuu
r
2 uuuu
4 uuuu
AB = − CM − BN
AC = − CM − BN
MN = BN − CM
3
3
3
3
3
3
a)
b)
c)
.
Bài 11. Cho ∆ABC có trọng tâm G. Gọi H là điểm đối xứng của B qua G.
uuu
r uuur
AB = CD

uuur uuur
AC = BD

Trang 5toanc3.online

Vectơ

Trần Sĩ TùngLê Quang Hải

a) Chứng minh:

uuur 2 uuur 1 uuu
r
AH = AC − AB
3
3

và

uuur
r uuur
1 uuu
CH = − ( AB + AC )
3

Véctơ

.
uuuu
r 1 uuur 5 uuu
r
MH = AC − AB
6
6
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh:

.
uuu
r r uuur r
AB = a , AD = b
Bài 12. Cho hình bình hành ABCD, đặt
Gọi
uur u.uu
r I là rtrung
r điểm của CD, G
BI , AG
a, b
là trọng tâm của tam giác BCI. Phân tích các vectơ
theo
.
Bài 13. Cho hình thang OABC,
AM
uuu
r uu
u
r uulà
ur trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích
uuuu
r
OA, OB, OC
AM
vectơ
theo các vectơ
.
Bài 14. Cho ∆ABC. Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P
uuur uuur uuu

r uuur uuu
r uuu
r r
MB = 3MC , NA = 3CN , PA + PB = 0
sao cho uuuu
.
r uuur
uuu
r uuur
PM , PN
AB, AC
a) Tính
theo
b) Chứng minh: M, N, P thẳng hàng.
VẤN ĐỀ 3: Xác định một điểm thoả mãn đẳng thức vectơ

Phương pháp giải: Để xác định một điểm M ta cần phải chỉ rõ vị tríuu
của
đó đối với
uu
r điểm
r
OM = a
hìnhr vẽ. Thông thường ta biến đổi đẳng thức vectơ đã cho về dạng
, trong đó O
a
và đã được xác định. Ta thường sử dụng các tính chất về:
– Điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số k.
– Hình bình hành.
– Trung điểm của đoạn thẳng.

– Trọng tâm tam giác, …
uuur uuur uuur r
MA − MB + MC = 0
Bài 1. Cho ∆ABC . Hãy xác định điểm M thoả mãn điều kiện:
.
Bài 2. Cho đoạn thẳng AB có trung điểm I. M là điểm tuỳ ý không nằm trên đường
thẳng AB . Trên MI
dài,
uuurkéo
uuu
r ulấy
uur 1 điểm N sao cho IN = MI.
BN − BA = MB
a) Chứng minh:
u.uu
r uur uuur uuuur uuur uuur
NA + NI = ND ; NM − BN = NC
b) Tìm các điểm D, C sao cho:
.
Bài 3. Cho hình bình uhành
ABCD.
uu
r u
uur uuur
uuur
AB + AC + AD = 2 AC
a) Chứng minh rằng:
uu.uu
r uuu
r uuur uuur

3 AM = AB + AC + AD
b) Xác định điểm M thoả mãn điều kiện:
.
Bài 4. Cho tứ giác ABCD . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC.
uuuu
r 1 uuu
r uuur
MN = ( AB + DC )
2
a) Chứng minh:
.
Trang 6toanc3.online


Vectơ

Trần Sĩ TùngLê Quang Hải

uuu
r uuu
r uuur uuur r
OA + OB + OC + OD = 0

Véctơ

b) Xác định điểm O sao cho:
.
Bài 5. Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi M và N lần lượt là trung điểmuurcủauuAB,
r uuCD,
ur uuO

ur là uuur
SA + SB + SC + SD = 4SO
trung điểm của MN. Chứng minh rằng với điểm S bất kì, ta có:
.
Bài 6. Cho ∆ABC. Hãy xác định các điểm I, J, K, L thoả các đẳng thức sau:
uur uur r
uur uuu
r uur uuu
r
2 IB + 3IC = 0
2 JA + JC − JB = CA
a) uuu
b)
r uuur uuur
uuur
uur uuu
r
uuu
r r
KA + KB + KC = 2 BC
3LA − LB + 2 LC = 0
c)
d)
.
Bài 7. Cho ∆ABC. Hãy xác định các điểm I, J, K, L thoả các đẳng thức sau:
uu
r uur uuur
uur uur
uuu
r r

2 IA − 3IB = 3BC
JA + JB + 2 JC = 0
a) uuu
b) uur uuu
r uuu
r uuur uuur
r uuu
r
uuur
KA + KB − KC = BC
LA − 2 LC = AB − 2 AC
c)
d)
.
Bài 8. Cho ∆ABC. Hãy xác định các điểm I, F, K, L thoả các đẳng thức sau:
uu
r
uur uuur
uuu
r uuu
r uuur uuu
r uuur
IA + IB − IC = BC
FA + FB + FC = AB + AC
a) uuu
b)
r uuu
r uuur r
uuuu
r

uuu
r uuu
r r
3KA + KB + KC = 0
3LA − 2 LB + LC = 0
c)
d)
.
Bài 9. Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Hãy xác định các điểm I, F, K thoả các
đẳng
uu
r thức
uur sau:
uur
uur
uuu
r
uuu
r
uuur uuur
IA + IB + IC = 4 ID
2 FA + 2 FB = 3FC − FD
a) uuu
b)
r uuu
r
uuur uuur r
4 KA + 3KB + 2 KC + KD = 0
c)
.

Bài 10. Cho tam giác ABC và điểm M tùyuu
ý.uu
r uuur uuu
r uuur uuur uuur
MD = MC + AB ME = MA + BC
a)
,
,
uuuHãy
r uxác
uur định
uuu
r các điểm D, E, F sao cho
MF = MB + CA
. Chứng
uuur minh
uuur D,uuE,
ur F không
uuuu
r phụ
uuurthuộc
uuurvào vị trí của điểm M.
MA + MB + MC
MD + ME + MF
b) So sánh 2 véc tơ
và
.
VẤN ĐỀ 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng – Hai điểm trùng nhau
Phương pháp chứng minh:
- Để chứng

uuu
r minh
uuur ba điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh ba điểm đó thoả mãn đẳng
AB = k AC
thức
, với k ≠ 0.
-uu
Để
tauuchứng
uu
r chứng
uuur minh hai điểm M, N trùng nhau u
u
r r minh chúng thoả mãn đẳng thức
OM = ON
MN = 0
, với O là một điểm nào đó hoặc
.
Bài 1. Cho bốn điểm O, A, B, C sao cho :
thẳng hàng.

uuu
r
uuu
r uuur r
OA + 2OB − 3OC = 0

. Chứng tỏ rằng A, B, C
Trang 7toanc3.online

Vectơ

Trần Sĩ TùngLê Quang Hải

Véctơ

Bài 2. Cho hình bình hành ABCD. Trên BC lấy điểm H, trên BD lấy điểm K sao cho:
uuur 1 uuur uuur 1 uuur
BH = BC , BK = BD
5
6
uuur uuur .uChứng
uu
r uuurminh:
uuur A,uK,
uu
r H thẳng hàng.
BH = AH − AB; BK = AK − AB
Hướng dẫn:
.
uuu
r
uur
uur
uur JC = − 1 JA
IB = 2 IC
2
Bài 3. Cho ∆ABC với I, J, K lần lượt được xác định bởi:
,

,
uuu
r
uuur
KA = − KB
.
uu
r uuu
r 4 uuur
uu
r uur
uuu
r uuur
IJ = AB − AC
IJ , IK theo AB , AC
3
a) Tính
. (Hướng dẫn:
)
b) Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng (Hướng dẫn: J là trọng tâm ∆AIB).
Bài 4. Cho tam
Trên
uuugiác
r ABC.
uuur u
uu
r các
uuurđường
uuu
r thẳng

uuu
r BC,
r AC, AB lần lượt lấy các điểm M,
MB = 3MC NA = 3CN PA + PB = 0
N, P saoucho
,
.
uuu
r uuur
uu,u
r uuur
PM , PN
AB, AC
a) Tính
theo
.
b) Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng.
Bài 5. Cho hình bình hành ABCD. Trên các tia AD, AB lần lượt lấy các điểm F, E sao
1
1
2
2
cho AD = AF, AB = AE. Chứng minh:
a) Ba điểm F, C, E thẳng hàng.
b) Các tứ giác BDCF, DBEC là hình bình hành.
uu
r uur r uur
uur uuu
r r
IA + 3IC = 0 JA + 2 JB + 3 JC = 0

Bài 6. Cho ∆ABC. Hai điểm I, J được xác định bởi:
,
.
Chứng minh 3 điểm I, J, B thẳng hàng.
uuur
uuur r uuur uuur r
3MA + 4 MB = 0 NB − 3 NC = 0
Bài 7. Cho ∆ABC. Hai điểm M, N được xác định bởi:
,
.
Chứng minh 3 điểm M, G, N thẳng hàng, với G là trọng tâm của ∆ABC.
uuur
uuur uuu
r
uuur uuu
r uuu
r r
MB − 2 MC = NA + 2 NC = PA + PB = 0
Cho ∆ABC. Lấy các điểm M N, P:
uuuu
r uuur
uuu
r uuur
PM , PN theo AB, AC
a) Tính
.
b) Chứng minh 3 điểm M, N, P thẳng hàng.
Bài
uuur 8. uCho
uur tam

uuur giác ABC. Gọi I là trung điểm của BC, D và E là hai điểm sao cho
BD = DE = EC
.uuu
r uuur uuur uuur
AB + AC = AD + AE
a) Chứnguuminh
u
r uuu
r uuur uuur uuur . uur
AS = AB + AD + AC + AE theo AI
b) Tính
. Suy ra ba điểm A, I, S thẳng hàng.
Trang 8toanc3.online


Vectơ

Trần Sĩ TùngLê Quang Hải

Véctơ

VẤN ĐỀ 5: Tập hợp điểm thoả mãn đẳng thức vectơ
Phương pháp giải: Để tìm tập hợp điểm M thoả mãn một đẳng thức vectơ ta biến đổi
đẳng thức vectơ đó để đưa về các tập hợp điểm cơ bản đã biết. Chẳng hạn:
– Tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của
đoạn thẳng đó.
– Tập hợp các điểm cách một điểm cố định một khoảng không đổi đường trịn có tâm là
điểm cố định và bán kính là khoảng khơng đổi.
Bài 1. Cho 2 điểm cố định A, B. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
uuur uuur uuur uuur

uuur uuur uuur
uuur
MA + MB = MA − MB
2MA + MB = MA + 2MB
a)
b)
.
Hướng dẫn: a) Đường trịn đường kính AB; b) Trung trực của AB.
Bài 2. Cho ∆ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
uuur uuur uuur 3 uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
MA + MB + MC = MB + MC
MA + BC = MA − MB
2
a)
b)
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
2 MA + MB = 4 MB − MC
4 MA + MB + MC = 2MA − MB − MC
c)
d)
.
Hướng dẫn:
a) Trung trực của IG (I là trung điểm của BC, G là trọng tâm ∆ABC).
b) Dựng hình bình hành ABCD. Tập hợp là đường trịn tâm D, bán kính BA.
Bài 3. Cho ∆ABC.
uu

r uur
uur r
IA + 3IB − 2 IC = 0
a) Xác định điểm I sao cho: uuur uuur r .
3DB − 2 DC = 0
b) Xác định điểm D sao cho:
.
c) Chứng minh 3 điểm A, I, D thẳng hàng.
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
MA + 3MB − 2 MC = 2 MA − MB − MC
d) Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
.

Trang 9toanc3.online


Vectơ

Trần Sĩ TùngLê Quang Hải

Véctơ

VÉC TƠ TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ

A. Kiến thức cần nhớ
1. Trục toạ độ, toạ độ đối với trục
Trục tọa độ (còn gọi là trục
r hay trục số) là một đường thẳng, mà trên đó đã xác định
r một

O
e
O
e
điểm
và một vectơ có độ dài bằng 1 . Điểm
gọi là gốc toạ độ, vectơ gọi là
vectơ đơn vị của trục.
uuuu
r
r
x
OM
= x0e
0
M
Điểm
trên trục biểu diễn số
nếu
2. Hệ trục tọa độ, tọa độ đối với hệ trục tọa độ
Ox
Hệ trục toạ độ là một hệ gồm hai rtrục
(với vectơ đơn vị
r
Oy
j
i
) và trục
(với vectơ đơn vị ) vng góc với nhau tại
Oy

O
Ox
gốc chung . Trục
được gọi là trục hoành, trục
được gọi là trục tung.
r
Oxy
u
Với mỗi vectơ trên mặt phẳng
, có duy nhất cặp số
r
r
r
( x0 ; y0 )
u = x0i + y0 j
thực
sao cho
.
r
( x0 ; y0 )
u
Cặp số
ở đây được gọi là toạ độ của vectơ
đối với hệ trục. Ta viết
r
r
r
u = ( x0 ; y0 )
u ( x0 ; y0 )
( x0 ; y0 )

u
hay
để chỉ rằng vectơ có tọa độ là
đối với hệ trục toạ
r
x0 , y0
u
độ. Các số
tương ứng gọi là hoành độ, tung độ của vectơ .
uuuu
r
2
2
uuuu
r
OM
=
x
+
y
x
;
y
x
;
y
0
0
(
)

(
)
0
0
0
0
OM
M
Nếu điểm
có toạ độ
thì vectơuuuu
có
toạ
độ
và
.
r
N ( x′; y′ )
MN = ( x′ − x; y′ − y )
M ( x; y )
Với hai điểm
và
thì
và khoảng cách giữa hai
uuuu
r
2
2
MN =| MN |= ( x′ − x ) + ( y′ − y )
M,N

điểm
bằng
.
3. Tính chất
r
r
u = ( x; y ) , v = ( x′; y′ )
k
Cho hai vectơ
và cho số thực . Khi đó
r r
r r
r
u + v = ( x + x′; y + y′ ) ; u − v = ( x − x′; y − y′ ) ; ku = ( kx; ky )
Trang 10toanc3.online


Vectơ

Trần Sĩ TùngLê Quang Hải

Véctơ

 x = x′
 x = − x′
r r
r
r
u =v ⇔
; u = −v ⇔ 

 y = − y′.
 y = y′
4. Dấu hiệu cùng phương của hai vectơ
r
r
r
v ( x; y )
u ( x′; y′ ) ≠ 0
k
Vectơ
cùng phương với vectơ
khi và chỉ khi tồn tại số sao cho
y = ky′
x = kx′
và
.
5. Tọa độ trung điểm
A ( a1; a2 ) , B ( b1; b2 )
M
AB
Cho hai điểm
. Khi đó trung điểm
của đoạn thẳng
có toạ độ
a +b a +b 
M 1 1; 2 2 ÷
2 
 2

.

6. Tọa độ trọng tâm tam giác
A ( a1; a2 ) , B ( b1; b2 ) , C ( c1; c2 )
ABC
G
Cho tam giác
với
. Khi đó trọng tâm
của tam giác
ABC

có toạ độ

a +b +c a +b +c 
G 1 1 1 ; 2 2 2 ÷
3
3



.

Oxy

A ( 1;2 )

B ( 3; −4 )

Ví dụ 1. Trong mặt phẳng toạ độ
cho hai điểm
và

.
M
AB
a) Tìm toạ độ trung điểm
của
đoạn
uuu
r
uuur .
N
NA = 2 NB
b) Tìm tọa độ điểm
sao cho
.
Giải
 1+ 3
 x = 2 = 2

 y = 2 + ( −4 ) = −1
M ( x; y )
M ( 2; −1)

2
AB
a) Gọi
là trung
của
. Khi
suy ra
.

uuu
rđiểmuu
u
r
uuuđó
r
uuur
uuu
r
uuur
uuur
uuu
r uuu
r
OA − 2OB = ( 1 − 2 ) ON = −ON
NA = 2 NB
ON = 2OB − OA
b) Do
nên
,
suy
ra
.
uuu
r
uuu
r
uuur
OA = ( 1;2 ) OB = ( 3; −4 )
ON = ( 5; −10 )

N ( 5; −10 )
Từ đó, do
,
nên
. Vậy
.
Nhận xét
uuu
r
uuu
r
A ( a1; a2 ) , B ( b1; b2 )
PA = k PB
P
Một cách khái quát, với hai điểm
thì điểm thoả mãn
 a1 − kb1 a2 − kb2 
;

÷
( k ≠ 1)
1− k 
 1− k
có toạ độ
.
A ( 2; −1) , B ( 1;4 )
C ( −2;3)
Oxy
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng toạ độ
cho ba điểm

và
.
Trang 11toanc3.online


Vectơ

Trần Sĩ TùngLê Quang Hải

a) Chứng minh rằng

Véctơ

A, B, C

là ba đỉnh của một tam giác.
G
ABC
b) Tìm toạ độ trọng tâm
của tam giác
.
Giải
−1 5
uuu
r
uuur
uuu
r
≠
AB = ( −1;5) , AC = ( −4;4 )

−4 4
AB
a)
. Do
nên các vectơ
và
uuurTừ giả thiết suy ra
A, B, C
AC
không cùng phương. Suy ra
là ba đỉnh của một tam giác.
2 + 1 + ( −2 ) 1

=
 x =
3
3

 y = ( −1) + 4 + 3 = 2.
G ( x; y )

3
ABC
b) Gọi
là trọng tâm của tam giác
. Khi đó
.
1 
G  ;2 ÷
3 

suy ra
.
uuu
r
r
r
Oxy
OA = 2i − 3 j
A, B
Ví udụ
mặt phẳng toạ độ
cho hai điểm
thoả mãn
,
uu
r 3. rTrong
r
OB = 3i + 2 j
.
O, A, B
a) Chứng minh rằng
khơng thẳng hàng.
C
ABCO
b) Tìm toạ độ của điểm sao cho tứ giác
là hình bình hành.
D
DA = DB
c) Tìm tọa độ của điểm
thuộc trục hồnh sao cho

.
Giải
2 −3
uuu
r
uuu
r
uuu
r
≠
OA = ( 2; −3)
OB = ( 3;2 )
3 2
OA
a)
và
. Vì
nên hai vectơ
và
uuu
rTừ giả thiết suy ra
O, A, B
OB
khơng cùng phương,
hay
không thẳng hàng.
uuu
r
AB = ( 1;5 )
C

ABCO
b) Từ giả thiết suy ra
. Giả sử tìm
được
điểm
sao
cho
tứ
giác
là
uuur
uuur uuu
r
OC = ( 1;5 )
C ( 1;5 )
OC = AB
hình bình hành. Khi đó do
nên
. Suy ra
.
D ( d ;0 ) ∈ Ox

DA =

( 2−d)

2

+ 9, DB =

( 3− d)

2

c) Xét điểm
. Khi đó
2
2
2
DA = DB ⇔ DA = DB 2 ⇔ ( 2 − d ) + 9 = ( 3 − d ) + 4 ⇔ d = 0
Suy ra
.
O ( 0;0 )
D
Vậy điểm
cần tìm trùng với gốc toạ độ
.

+4

.

Trang 12toanc3.online


Vectơ

Trần Sĩ TùngLê Quang Hải

Véctơ

Oxy
A(1;2)
B(3; −4)
Ví dụ 4. Trong mặt phẳng toạ độ
cho
hai
điểm
và
. Tìm toạ độ của
uuu
r uuu
r
C
CA + CB
điểm thuộc trục tung sao cho vectơ
có độ dài ngắn nhất.
Giải
uuu
r
uuu
r
C ( 0; c ) ∈ Oy
CA = ( 1;2 − c )
CB = ( 3; −4 − c )
Xét điểm
. Khi đó
và
.
u

u
u
r
u
u
u
r
uuu
r uuu
r
2
CA + CB = 16 + 4 ( 1 + c )
CA + CB = ( 4; −2 − 2c )
Do đó
, suy ra
.
uuu
r uuu
r
2
CA
+
CB
≥4
( 1 + c ) ≥ 0 ∀c
c = −1
Do
, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
, nên
, đẳng

uuu
r uuu
r
C ( 0; −1) ∈ Oy
c = −1
CA + CB
thức xảy ra khi và chỉ khi
. Vậy với điểm
thì vectơ
có
độ dài ngắn nhất.
Nhận xét
uuu
r uuu
r
uur
C
CA + CB = 2CI
I
AB
-uuVới
mỗi
điểm
đều
có
,
với
là
trung
điểm

. Suy ra vectơ
u
r uuu
r
uur
CA + CB
CI
có độ dài ngắn nhất khi và chỉ khi vectơ
có độ dài ngắn nhất. Từ đó, do
C
C
I
thuộc trục tung, nên là hình chiếu vng góc của trên trục tung.
C
∆
- Khái
qt,
ta
có
bài
tốn
tìm
được
điểm
thuộc
đường
thẳng
sao cho vectơ
uuu
r

uuu
r
α,β
α CA + β CB
có độ dài ngắn nhất, với
là hai hằng số cho trước.
VẤN ĐỀ 1: Toạ độ trên hệ trục
Bài 1. Viết tọa độ của các vectơ sau:
r
r r 1r
r r r r
r
r
a = 2i + 3 j ; b = i − 5 j ; c = 3i ; d = −2 j
3
a)
.
r
r
r
r
r
r
r
r
r r r
r
1
r
3

a = i − 3 j ; b = i + j ; c = −i + j ; d = −4 j ; e = 3i
2
2
b)
.
r r
r
r
u = xi + yj
u
Bàir 2. Viết dưới
khi
r dạng r
r biết toạ độ của vectơ là:
u = (2; −3); u = (−1;4); u = (2;0); u = (0; −1)
a) r
.
r
r
r
u = (1;3); u = (4; −1); u = (1;0); u = (0;0)
b)
.
r
r
a = (1; −2), b = (0;3)
Bài 3. Cho
. Tìm toạ độ của các vectơ sau:

Trang 13toanc3.online

Vectơ

Trần Sĩ TùngLê Quang Hải

Véctơ

a)

r
r r r r r r r
r
x = a + b ; y = a − b ; z = 2a − 3b

.

b)

r r
r r
r
r
r 1r
u = 3a − 2b ; v = 2 + b ; w = 4a − b
2

.

r 

r
1 r
a = (2;0), b =  −1; ÷, c = (4; −6)

2
Bài 4. Cho
r
r .r
r
d = 2a − 3b + 5c
a) Tìm toạ độ của vectơ
.
r r
r r
ma + b − nc = 0
b) Tìm 2 số m, n sao cho: r
.
r
r
c theo a , b
c) Biểu diễn vectơ
.
A(3; −5), B(1;0)
Bài 5. Cho hai điểm
uuur . uuu
r
OC = −3 AB
a) Tìm toạ độ điểm C sao cho:
.
b) Tìm điểm D đối xứng của A qua C.

c) Tìm điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k = –3.
Bài 6. Cho ba điểm A(–1; 1), B(1; 3), C(–2; 0).
a) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng.
b) Tìm các tỉ số mà điểm A chia đoạn BC, điểm B chia đoạn AC, điểm C chia đoạn AB.
Bài 7. Cho ba điểm A(1; −2), B(0; 4), C(3; 2).
uuu
r uuur uuur
AB, AC , BC
a) Tìm toạ độ các vectơ
.
b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn
uuuu
r AB.uuu
r uuur
CM = 2 AB − 3 AC
c) Tìm tọa độ điểm M sao cho: uuur
uuur
uuur . r
AN + 2 BN − 4CN = 0
d) Tìm tọa độ điểm N sao cho:
.
Bài 8. Cho ba điểm A(1; –2), B(2; 3), C(–1; –2).
a) Tìm toạ độ điểm D đối xứng của A qua C.
b) Tìm toạ độ điểm E là đỉnh thứ tư của hình bình hành có 3 đỉnh là A, B, C.
c) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.

Trang 14toanc3.online


Vectơ

Trần Sĩ TùngLê Quang Hải

Véctơ

TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
A. Kiến thức cần nhớ
r
a
O

r A
a

r
b

r
b B

1. Góc giữa hai vectơ
uuu
r r uuu
r r
r r r
a, b ≠ 0
OA = a, OB = b
Cho
. Từ một điểm O bất kì vẽ
.

r r ·
·AOB
( a, b ) = AOB
0
Khi đó
với 0 ≤
≤ 1800.
Chú ý:
r
r r
( ar, b )
a
⊥b
+
= 900 ⇔
r
r
( ar, b ) 0 ar, b
+
=0 ⇔
cùng hướng
r r
r r
( a, b )
a, b
+
= 1800 ⇔
ngược hướng
r r
r r

( a, b ) = ( b , a )
+
2. Tích vơ hướng của hai vectơ
rr r r
r r
a.b = a . b .cos ( a , b )
• Định nghĩa:
.
r r r2 r 2
a.a = a = a
Đặc biệt:
.
Trang 15toanc3.online


Vectơ

Trần Sĩ TùngLê Quang Hải

Véctơ

r r r
a, b , c

• Tính chất: Với
bất kì và ∀k∈R, ta có:
r r r
rr rr
rr rr
a ( b + c ) = a.b + a.c

a.b = b .a
+
;
;
r
r
r
r2
r
r r
r
r
r
( ka ) .b = k ( a.b ) = a. ( kb )
a ≥ 0;
a2 = 0 ⇔ a = 0
;
.
r
r
r
r
r
r
2
2
( ar + b ) = ar 2 + 2ar.b + b 2
( ar − b ) = ar 2 − 2ar.b + b 2
+
;

;
r2 r2 ( r r ) ( r r )
a −b = a −b a +b
.
r r
r r
rr
rr
(
)
(
a
,
b
a
,b )
a.b
a.b
+
>0⇔
nhọn
+
<0⇔
tù
r
r
r
r
( a, b )
a.b

=0⇔
vuông.
3. Biểu thức toạ độ của tích vơ hướng
r
rr
r
a
.b = a1b1 + a2b2
a
b
• Cho = (a1, a2), = (b1, b2). Khi đó:
.
r
r
a1b1 + a2b2
cos(
a
,
b
)
=
r
r r
a12 + a22 . b12 + b22 a ⊥ b ⇔ a1b1 + a2b2 = 0
a = a12 + a22
•
;
;
• Cho

AB = ( xB − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2

A( x A ; y A ), B( xB ; yB )

. Khi đó:
.
ABC
O
Ví dụ 1. Cho tam giác đều
tâm , cóuu
độ
các cạnh
ur dài
uuur bằng
uuu
r 1. uuur uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuu
r
AC AB
BC OA
BC OB
CB
AB
a) Xác định góc giữa các cặp véctơ
và

,
và
và
,u
và
.u
uuur uu,u
uuur uu
r
uuu
r uu
r
uuu
r
r
AC AB
BC OA
OB OA
AB
b) Tính
và
,
và
,
và
,
uuur tích
uuu
r vơ hướng
uuu

r của các cặp vectơ sau:
BC OB
CB
và
,
và
.
Giải
·
·
ABC
CAB
= ·ABC = BCA
= 60°
a) Do tam giác
đều, nên
.
uuu
r uuur
·
AB; AC = CAB = 60°
Suy ra
.
CA ( H.4.13)
ABCD
D
B
Gọi
là điểm đối xứng với
qua

. Khi đó tứ giác
là một hình
uuur uuur
·
AD = BC
BAD
= 180° − ·ABC = 120°
thoi, do đó
và
.
uuu
r uuur
uuu
r uuur uuuuu
r
AB; BC = AB; AD = BAD = 120°
Suy ra
.

(

)

(

) (

)

Trang 16toanc3.online

Vectơ

Trần Sĩ TùngLê Quang Hải

Véctơ

OA, P
BC
N
M
là trung điểm của
và
là trung điểm của
là điểm đối xứng với
A, N , O, M
C
O
ABC
qua . Khiuuu
đó,
do
là
tâm
của
tam
giác
đều
,

nên
thẳng hàng,
u
r uuu
r
uuur uuur
AM ⊥ BC , MN = OA
MP = BC
và
.
uuu
r uuur
uuuu
r uuur
OA; BC = MN ; MP = 90°
Q
O
M
Suy ra
. Lấy điểm
đối xứng với
qua
. Khi đó tứ
·
BOCQ
OCQ
= 60°
giác
là một hình thoi, có
.

Gọi

M

(

Suy ra

(

) (

)

uuu
r uuu
r
uuur uuu
r uuuuu
r
OB; CB = CQ; CB = BCQ = 30°

) (

)

.
2

3

1
AM = AB − BM = 1 −  ÷ =
2
2
2

b) Do
Do

O

AM ⊥ BC

nên

2

2

.

uuu
r uuu
r
2
2 3
3
OA = OB = OA = AM = × =
3
3 2

3

ABC
là tâm của tam giác đều
, nên
uuu
r uuur uuu
r uuur
uuu
r uuur
1
AB ×AC = AB ×AC ×cos AB; AC = 1 ×1 ×cos60° =
2

(

)

Suy ra
uuu
r uuur uuu
r uuur
uuu
r uuur
1
AB ×BC = AB ×BC ×cos AB; BC = 1 ×1 ×cos120° = − ;
2

(

)

uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r
3 3
1
OA ×OB = OA ×OB ×cos OA; OB =
× ×cos120° = −
3 3
6

(

)

uuu
r uuur uuu
r uuur
uuu
r uuur
3
OA ×BC = OA ×BC ×cos OA; BC =
×1 ×cos90° = 0
3

(

)

uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r
3
1
OB ×CB = OB ×CB ×cos OB; CB =
×1 ×cos30° =
3
2

(

)

.

;

;

;
.

Trang 17toanc3.online


Vectơ

Trần Sĩ TùngLê Quang Hải

Véctơ

uuu
r uuu
r
OB, CB

O′
Nhận xét. Ta có thể xác định góc giữa hai vectơ
như sau: Lấy
đối xứng với
O
C′
C
B   ( H.4.14 )
B
qua và
đối xứng với qua
.
uuu

r uuu
r
uuuuruuur
uuuu
r uuu
r uuur uuu
r
· ′BC ′ = OBC
·
OB
;
CB
=
BO′; BC ′ = O
= 30°
BO′ = OB, BC ′ = CB
Khi đó, do
, nên
.

(

) (

)

N
AB = 2 R
M
Ví dụ 2. Cho nửa đường trịn với đường kính

. Gọi
và
là hai điểm trên
BN
AM
I
nửa đường trịn sao cho
hai
dây
cung
và
cắt
nhau
tại
một
điểm
.
uur uuuu
r uur uuu
r
AI ×AM = AI ×AB
a) Chứnguuminh
rằng
.
r uuuu
r uur uuur
AI ×AM + BI ×BN
R
b) Tính
theo .

Giải

·AMB = 90° ( H.4.15a )
a) Do
thuộc nửa đường tròn với đường kính
nên
.
uur uuu
r
·
BAM
= Al ; AB
·
AM = AB ×cos BAM
Suy ra
. Từ đó, để ý rằng
, ta có
uur uuuu
r uur uuuu
r
uur uuuu
r
uur uuu
r
·
AI ×AM = AI ×AM ×cos AI ; AM = AI ×AM = AI ×AB ×cos BAM
= AI ×AB.

M

AB

(

(

)

)

uur uuur uur uuu
r
uur uuu
r
BI ×BN = BI ×BA = − BI ×AB
b) Tương tự như phần a), ta cũng được
.
uur uuuu
r uur uuur uur uuu
r uur uuu
r uuu
r uur uur
AI ×AM + BI ×BN = AI ×AB − BI ×AB = AB × AI − BI
Suy ra
uuu
r uur uur uuu
r2
= AB × AI + IB = AB = 4 R 2 . 

(

(

)

)

r r r ur
a ×b = a ×b′

ur
b′

Nhận xét. Một cách khái quát, ta chứng minh được
, trong đó
là hình
r
r
a ( H.4.15 b )
b
chiếu vng góc của vectơ trên giá của vectơ
. Kết quả này được gọi là
định lí chiếu.

Trang 18toanc3.online


Vectơ

Trần Sĩ TùngLê Quang Hải

Véctơ

$
A = 120°, AB = 3.
ABC
A
Ví dụ 3.uCho
tam
giác
cân
tại
,
có
ur uuu
r uur uur uuu
r uur
AB. AC AB.CB AC.CB.

a) Tính
,
,
b) Tính độ dài cạnh BC.
c) Lấy điểm
Giải

M

trên cạnh

BC

a) Do tam giác ABC cân tại A,
uur uuu
r uur uuu
r
uur uuu
r

(

sao cho

MB = 2 MC .

°
$
A = 120 , AB = 3.

)

°

AB. AC = AB . AC .cos AB; AC = 3.3.cos120 =

uur uur uuu
r
CB = AB − AC

uuu

r uuu
r

Tính

MA.MB.

nên

9
2

Theo quy tắc ba điểm ta có
uur uur uur uur uuu
r uur 2 uur uuu
r

và do đó
 9  27
2
AB.CB = AB. AB − AC = AB − AB. AC = 3 −  − ÷ =
 2 2

(

)

;
uuu
r uur uuu

r2  9  2
27
AC .CB. = AC . AB − AC = AC . AB − AC =  − ÷− 3 = −
2
 2
.
uur uuu
r uur

uuu
r uur

uuu
r uur uuu
r

(

)

BC = AC − AB.

b) Theo quy tắc ba điểm ta có
uur 2 uuu
r uur 2 uuu
r 2 uur 2
2

(

BC = BC = AC − AB

Suy ra
c) Gọi
BC

)

Từ đó
uuu
r uur 2

 9
2
= AC + AB − 2 AC . AB = 3 + 3 − 2.  − ÷ = 27
 2

.

BC = 3 3.

I

là trung điểm của

BC

. Do

M

MB = 2 MC , I
BC
thuộc cạnh
và
là trung điểm
uuu
r 2 uur uu
r 1 uur
MB =

, nên theo kết quả của Ví dụ 2, Bài 9, ta có
uur uuu
r uu
r uuu
r uu
r  2 1  uur 1 uur
MI = MB + BI = MB − IB =  − ÷.CB = CB
6
3 2
Suy ra
Từ đó, theo định lí chiếu, ta được

3

CB , IB =

2

CB.

Trang 19toanc3.online


Vectơ

Trần Sĩ TùngLê Quang Hải

Véctơ

uuu
r uuu
r uur uuu
r 1 2 uur 2

MA.MB = MI .MB = . .CB = 3.
6 3

Nhận xét

uur

XY

XY

- Để tính độ dài của u
một
, trước hết ta biểu thị vectơ
theo hai vectơ

r r đoạn thẳng
uur
a, b
XY
không cùng phương
đã biết, rồi tính bình phương vơ hướng của vectơ
uuu
r 1 uur uur
MA = BA + 2CA .
- Nhờ vào kết quả của Ví dụ 2, bài 9, ta chứng minh được
uuu
r uuu
r 2 uur uur uur uur
MA.MB =

9

( BA.CB + 2CA.CB ) .

việc tính các tích vơ hướng

3

(

và

Suy ra

uuu

r uuu
r

uurBởi
uur vậy ucũng
ur uur có thể tính tích vơ hướng
BA.CB

)

MA.MB

nhờ vào

CA.CB.

Bài 1. Cho
BC
hướng:
uuu
rtam
uuurgiác ABC vuông tại A, ABuu=ur a,
uuu
r = 2a. Tính các tích vơ u
uu
r uuur
AB. AC
AC.CB
AB.BC
a)

b)
c)
Bài 2. Cho
Tính
uuu
rtam
uuurgiác ABC đều cạnh bằng a.
uuu
r uuu
r các tích vơ hướng:
uuu
r uuur
AB. AC
AC.CB
AB.BC
a)
b)
c)
Bài 3. Cho bốn điểm
uuu
r uuA,
ur B,uuC,
ur uD
uu
r bấtuukì.
ur uuu
r
DA.BC + DB.CA + DC. AB = 0
a) Chứng minh:
.

b) Từ đó suy ra một cách chứng minh định lí: "Ba đường cao trong tam giác đồng qui".
Bài 4. Cho tam giác ABC u
với
ba
AD,
BE,
uur u
uurtrung
uuu
r tuyến
uuu
r u
uu
r uu
ur CF. Chứng minh:
BC. AD + CA.BE + AB.CF = 0
.
Bài 5. Cho hình vng ABCD cạnh a. Tínhuugiá
thức
u
r trị
uuucác
r ubiểu
uur u
uur sau:
uuu
r uuur
( AB + AD)( BD + BC )
AB. AC
a) uuur uuu

b)
r uuur uuu
r
uuu
r uuur
( AC − AB )(2 AD − AB )
AB.BD
c)
d)uur
uuu
r uuur uuur uuur uuur u
( AB + AC + AD )( DA + DB + DC )
e)
a2
a2
2a 2
−a 2
Đáp số: a)
b)
c)
d)
e) 0
Bài 6. Cho tam giác ABC có AB = 2, BC = 4, CA = 3.
Trang 20toanc3.online


Vectơ

a) Tính

Trần Sĩ TùngLê Quang Hải

uuu
r uuur
AB. AC

Véctơ

, rồi suy ra cosA.

uuur uuur
AG.BC
b) Gọi G là trọng tâm của ∆ABC. Tính
.
uuu
r uuu
r uuu
r uuur uuur uuu
r
GA.GB + GB.GC + GC.GA
c) Tính giá trị biểu thức S =
.
uuu
r uuur
uuur
·BAC
AB
, AC
AD
d) Gọi AD là phân giác trong của góc

(D ∈ BC). Tính
theo
, suy ra
AD.
Hướng dẫn
uuur uuur 5
uuu
r uuur
29
3
1
AG.BC =
S =−
AB. AC = −
cos A = −
3
6
2
4
a)
,
b)
c)
uuur AB uuur
uuur 3 uuur 2 uuur
54
DB =
.DC
AD = AB + AC AD =
5

AC
5
5
d) Sử dụng tính chất đường phân giác
⇒
,
Bài 7. Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, A = 600. M là trung điểm của BC.
a) Tính BC, AM.
uu
r uur r uur
uuu
r
2 IA + IB = 0, JB = 2 JC
b) Tính IJ, trong đó I, J được xác định bởi:
.
2
7
133
19
3
2
Hướng dẫn: a) BC =
, AM =
b) IJ =
Bài 8. Cho tam giác ABC có A(1; –1), B(5; –3), C(2; 0).
a) Tính chu vi và nhận dạnguu
tam
uu
r giác
uuu

rABC.
uuur
CM = 2 AB − 3 AC
b) Tìm toạ độ điểm M biết
.
c) Tìm tâm và bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài 9. Cho tamuu
giác
ABC
có A(1; 2), B(–2; 6), C(9; 8).
u
r uuu
r
AB. AC
a) Tính
. Chứng minh tam giác ABC vng tại A.
b) Tìm tâm và bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC.
c) Tìm toạ độ trực tâm H và trọng tâm G của tam giác ABC.
d) Tính chu vi, diện tích tam giác ABC.
e) Tìm toạ độ điểm M trên Oy để B, M, A thẳng hàng.
f) Tìm toạ độ điểm N trên Ox để tam giác ANC cân tại N.
g) Tìm toạ độ điểm D để ABDC là hình chữ nhật.
h) Tìm toạ độ điểm K trên u
Ox
AOKB
là
ur để u
ur uuu
r hình
r thang đáy AO.

TA + 2TB − 3TC = 0
i) Tìm toạ độ điểm T thoả
k) Tìm toạ độ điểm E đối xứng với A qua B.
l) Tìm toạ độ điểm I chân đường phân giác trong tại đỉnh C của ∆ABC.
Bài 9. Cho tam giác ABC. tìm tập hợp những điểm
sao
uuurM u
uur cho:
uuur uuur
u
u
u
r
u
u
u
r
2
(
MA
−
MB
)(2
MB
− MC ) = 0
MA = 2MA.MB
a)
b)
Trang 21toanc3.online

Vectơ

Trần Sĩ TùngLê Quang Hải

uuur uuur uuur uuur
( MA + MB )( MB + MC ) = 0

Véctơ

uuur uuur uuur uuur
2 MA2 + MA.MB = MA.MC

c)
d)
Bài 10. Cho
cạnh a, tâm O. Tìm
những
uuurhình
uuur vng
uuur uABCD
uuu
r
uuur tập
uuurhợp
uuu
r uuuu
r điểm2 M sao cho:
2
MA.MC + MB.MD = a

MA.MB + MC.MD = 5a
a)
b) uuur uuur uuur uuur uuur
( MA + MB + MC )( MC − MB) = 3a 2
MA2 + MB 2 + MC 2 = 3MD 2
c)
d)
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I
Trắc nghiệm

ABCD
O
Câu 1. Cho hình bình hành
tâm . Xét các vectơ có hai điểm mút lấyuutừ
ur các
O
AC
A B C D
điểm , , ,
và . Số các vectơ khác vectơ – không và cùng phương với
là
6
3
4
2
A. .
B. .
C. .
D. .
AC

B
A C
Câu 2. Cho đoạn thẳng
và
là một điểm nằm giữa , . Trong các khẳng định
sau, khẳng định nào làuumột
u
r khẳng định đúng?
uuu
r
CB
AB
A. Hai vectơ uuu
và
r
uuur cùng hướng.
CA
BC
B. Hai vectơ
và uuur cùng hướng.
uuu
r
AC
AB
C. Hai vectơ uuur và
uuu
r cùng hướng.
AC
BA
D. Hai vectơ

và
cùng hướng.
K , L, M , N
ABCD
O
Câu 3. Cho hình bình hành
tâm . Gọi
tương ứng là trung điểm
AB, BC , CD, DA
các cạnh
. Trong các vectơ có đầu mút lấy từ các điểm
A, B, C , D, K , L, M , O
AK
có bao nhiêu vectơ bằng vectơ
?
6
8
2
4
A. .
B. .
C. .
D. .
·
ABCD
DAB
= 1200
1
Câu 4. Cho hình thoi
có độ dài các cạnh bằng và

. Khẳng định
nào sau đây là đúng ?
uuur
uuur
uuu
r uuur
uuur uuur
BD = 1
AC = 1
AB = CD
BD = AC
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
ABC
G
3
Câu 5.uuCho
đều, trọng tâm , có độ dài các cạnh bằng . Độ dài của
ur tam giác
AG
vectơ
bằng?
3 3
3

3
2 3
2
2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Trang 22toanc3.online


Vectơ

Câu 6. Cho tam giác
bằng ?
13
A.
.

Trần Sĩ TùngLê Quang Hải

ABC

vuông tại

A

và

AB = 3, AC = 4

Véctơ

. Độ dài của vectơ

uuu
r uuu
r
CB + AB

2 13

4
2
.
C. .
D. .
·ABC = 60°
AB = 2, BC = 4
ABC
Câu
có
và
. Độ dài của vecto
uuur 7.
uuu

rCho tam giác
AC − BA
bằng
19
19
2
2
4
A. .
B.
.
C.
.
D.
.
uur
uur
ABC
IB + 2 IC = 0
I
Câu 8. Cho tam giác
và điểm sao cho
. Khẳng định nào sau đây là
mộtuu
khẳng
r
uuđịnh
ur uđúng
uu
r ?

uur uuu
r
uuur
AI = 2 AC − AB
AI = AB − 2 AC
A.
B.
uuu
r uuur .
uuu
r
uuur.
uur AB − 2 AC
uur AB + 2 AC
AI =
AI =
−3
3
C.
.
D.
.
G
ABC
BC
M
Câu 9. Gọi
là trọng tâm của tam giác
và
là trung điểm cạnh

. Khẳng
địnhuunào
đây
u
r sau
uuuu
r là một khẳng định đúng ?
uuu
r uuur
uuur
GA = 2GM
AB + AC = 3 AG
A. uuuu
B. uuu
.
r
uuuu
r.
r
uuuu
r
AM = 3MG
3GA = 2 AM
C.
.
D.
.
Oxy
A(−3;1) B(2; −1) C (4;6)
Câu 10. Trong mặt phẳng tọa độ

cho ba điểm
,
,
. Trọng
G
ABC
tâm
của tam giác
có tọa độ là
(1;2)
(2;1)
(1; −2)
(−2;1).
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Oxy
A(−3;3) B (5; −2)
G (2;2)
Câu 11. Trong mặt phẳng tọa độ
cho ba điểm
,
và
. Tọa
C

G
ABC
độ của điểm sao cho là trọng tâm tam giác
là
(5;4)
(4;5)
(4;3)
(3;5)
A.
.
B.
.
C.
.
D. uuu
r uu.ur
ABCD
a
AB. AC
Câu 12. Cho hình vng
với độ dài cạnh bằng . Tích vơ hướng
bằng
2
a
a2
a2 2
2
a2
2
A.

.
B.
.
C. .
D.
.
B.

Trang 23toanc3.online


Vectơ

Trần Sĩ TùngLê Quang Hải

r r
a, b

r
0

r r r r
a, b = a . b

Véctơ

hai vectơ
cùng khác . Khi đó
tương đương với
Câur 13. Cho

r
r
r
a
b
a
b
A. r và r cùng phương.
B. r vàr ngược hướng.
a
b
a ⊥b
C. và cùng hướng
.
D.
.
r r
r r
r r
r
a, b = − a . b
a, b
0
cùng khác . Khi đó
Câur 14. Cho
r hai vecto
r
r tương đương với
a
b

a
b
A. r và r cùng phương.
B. r vàr ngược hướng.
a
b
a ⊥b
C. và cùng hướng
.
D.
.
uuur uuu
r
·
ABC
BC
=
2
ABC = 60°
BC.CA
AB = 1
Câu 15. Cho tam giác
có
,
và
. Tích vơ hướng
bằng
3
− 3
3

−3
A.
.
B.
.
C. .
D.
.
A ( 2; −1) , B ( −1;5 )
C ( 3m;2m − 1)
Oxy
Câu 16. Trong mặt phẳng toạ độ
cho ba điểm
và
AB ⊥ OC
m
. Tất cả các giá trị của tham số sao cho
là
m = −2
m=2
m = ±2
m=3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

AB = 1, AC = 2
M , N, P
ABC
A
Câu 17. Cho tam giác
vuông tại
với
. Lấy
tương ứng
BC , CA, AB
2 BM = MC , CN = 2 NA, AP = 2 PB
thuộc các cạnh
sao
cho
. Giá trị của tích
uuuu
r uuur
AM .NP
vơ hướng
bằng
2
1
−
3
0
2
1
A. .
B.
.

C. .
D. .
M , N,P
ABC
Câu 18. Cho tam giác
đều các cạnh có độ dài bằng 1. Lấy
lần lượt thuộc
AP
BC , CA, AB
BM = 2 MC , CN = 2 NA
AM ⊥ NP
AB
các cạnh
sao cho
và
. Tỉ số của
bằng
5
7
5
7
7
5
12
12
A.
.
B.
.
C. .

D. .
ABC
3a
M
Câu 19. Cho tam giác
đều có độ dài các cạnh bằng
. Lấy
điểm
thuộc cạnh
uuur
uuur
BC
MB = 2MC
MC
MA
sao cho
. Tích vơ hướng của hai vectơ
và
bằng

Trang 24toanc3.online


Vectơ

Trần Sĩ TùngLê Quang Hải

Véctơ
2

A.

a
2

−
.

B.

2

a
2

.

C.

a2

.

−a 2 .
D.
uuur uuur uuur uuur
MC − MB = MC − AC

ABC
M

Câu 20. Cho tam giác
. Tập hợp các điểm
thoả mãn
là
BC
A
A. đường trịn tâm bán kính
.
BC
A
B. đường thẳng đi qua và song song với
.
BC
C. đường tròn đường kính
.
BC
A
D. đường thẳng đi qua và vng góc với
.
Tự luận
Bài 1. Cho bốn điểm
uuur A,uuB,
ur C,uuD.
ur Gọi
uuurI, J lần
uu
r lượt là trung điểm của AB và CD.
AC + BD = AD + BC = 2 IJ
a) Chứng minh:
.uuu

r uuu
r uuur uuur r
GA + GB + GC + GD = 0
b) Gọi G là trung điểm của IJ. Chứng minh:
.
c) Gọi P, Q là trung điểm của các đoạn thẳng AC và BD; M, N là trung điểm của các
đoạn thẳng AD và BC. Chứng minh rằng ba đoạn thẳng IJ, PQ và MN có chung trung
điểm.
Bài 2. Cho tam giác ABC và một điểm M tuỳ
uuuu
rý. uuur uuu
r uuur uuur uuur
MD = MC + AB ME = MA + BC
a)
,
,
uuuHãy
r uxác
uur định
uuu
r các điểm D, E, F sao cho
MF = MB + CA
. Chứng minh
D,
phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
uuurcácuuđiểm
ur uu
ur E, Fukhông
uuu
r uuur uuur

MA + MB + MC
MD + ME + MF
b) So sánh hai tổng vectơ:
và
.
Bài 3. Cho ∆ABC với trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM.
uu
r uur uur r
2 IA + IB + IC = 0
a) Chứng minh:
. uuu
r uuu
r uuur
uur
2OA + OB + OC = 4OI
b) Với điểm O bất kì, chứng minh:
.
Bài 4. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi I là trung điểm BC và G là trọng tâm
∆ABC. Chứng minh:
uur
uuur uuu
r
uuur uuu
r uuur uuur
2 AI = 2 AO + AB
3DG = DA + DB + DC
a)
.
b)
.

Bài 5. Cho ∆ABC có A(4; 3) , B(−1; 2) , C(3; −2).
a) Tìm tọa độ trọng tâm G của ∆ABC.
b) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
Bài 6. Cho A(2; 3), B(−1; −1), C(6; 0).
a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
b) Tìm tọa độ trọng tâm G của ∆ABC.
c) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.

Trang 25toanc3.online