bai tap tim hai so khi biet hai ti so

GIẢI BÀI TỐN TÌM HAI SỚ KHI BIẾT HAI TỈ SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP
BIẾN ĐỔI TỈ SỐ.
(Chuyên đề BDHSG lớp 4 - 5)
1. Nghiên cứu nội dung, chương trình
Nội dung dạy học giải bài tốn “Tìm hai số khi biết hai tỉ số” không đề cập đến trong
sách giáo khoa Tốn lớp 5. Tuy vậy, dạng tốn này có liên quan đến kiến thức về phân số ở
lớp 4-5. Cụ thể:
- Tìm phân số của một số.
+ Muốn tìm phân số của một số, ta lấy số đó nhân với phân số.
Ví dụ: Tìm 3/4 của 16.
3/4 của 16 là: 16 x 3/4 = 12
- Tìm một số khi biết giá trị một phân số của nó.
Muốn tìm một số khi biết giá trị một phân số của nó, ta chia giá trị này cho phân số.
Ví dụ: Tìm số A, biết 2/5 của A là 16.
Số A là: 16 : 2/5 = 40.
- Phương pháp biến đổi tỉ số trong giải tốn.
Ví dụ: Hiện nay tuổi con bằng 1/7 tuổi cha. Sau 15 năm, tuổi con bằng 2/5 tuổi cha.
Tính tuổi của con hiện nay.
Phân tích: Để giải bài tốn này theo cách giải bài tốn Tìm hai số khi biết hai tỉ số thì
học sinh phải biến đổi tỉ số giữa đại lượng thay đổi (tuổi cha hoặc tuổi con) và đại lượng
không thay đổi (hiệu số giữa tuổi cha và tuổi con ở hai thời điểm).
Giải: Hiện nay tuổi con bằng 1/7 tuổi cha hay tuổi con bằng 1: (7-1) = 1/6 (hiệu số giữa
tuổi cha và tuổi con).
Sau 15 năm, tuổi con bằng 2/5 tuổi cha hay tuổi con bằng 2: (5-2) = 2/3 (hiệu số giữa
tuổi cha và tuổi con).
Ta có: 2/3 = 4/6
Ta có sơ đồ: Tuổi con hiện nay:
15 tuổi
Tuổi con sau 15 năm:
Hiệu số phần bằng nhau là: 4 -1 = 3 (phần)
Tuổi con hiện nay là: 15 : 3 = 5 (tuổi)

ĐS:
Hoặc: Vì 1 năm bằng 1 tuổi nên 15 năm bằng 15 tuổi.
Vậy 15 năm tương ứng với số phần là: 2/3 – 1/6 = 3/6
Hiệu số tuổi giữa tuổi bố và tuổi con là: 15 : 3/6 = 30 (tuổi)
Tuổi con là: 30 x 1/6 = 5 (tuổi)
Đáp số: 5 tuổi
2. Các bước giải bài tốn Tìm hai số khi biết hai tỉ số.
Khi gặp bài tốn Tìm hai số khi biết hai tỉ số, học sinh cần thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Đọc đề bài, xác định đại lượng không bị thay đổi và đại lượng bị thay đổi.
Bước 2: So sánh đại lượng bị thay đổi với đại lượng không bị thay đổi (một đại lượng ở
hai thời điểm khác nhau).
Bước 3: Tìm phân số ứng với số đơn vị bị thay đổi.
Bước 4: Tìm đại lượng không bị thay đổi và đại lượng bị thay đổi (Tìm theo yêu cầu của
đề bài).
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu
mẫu miễn phí


3. Hướng dẫn học sinh giải bài tốn về Tìm hai số khi biết hai tỉ số
Dạng 1: Tổng hai số khơng thay đổi
Cách giải:
- Tìm tổng tỉ số của hai số A và B. (xác định đại lượng không đổi)
- Đưa về cùng một đơn vị so sánh.
- Ban đầu so sánh tỉ số của A với tổng tỉ số của A và B.
- Sau khi bớt một lượng ở A và thêm vào ở B thì tổng khơng thay đổi nhưng tổng tỉ
số của A và B thay đổi.
- So sánh tỉ số của A với tổng tỉ số của A và B sau khi thay đổi.
- Tìm lượng bớt chiếm bao nhiêu của tổng hai tỉ số A và B.
- Tính tổng của hai số hoặc từng số
Ví dụ 1: Một đàn vịt bao gồm số vịt trên bờ và số vịt dưới ao. Lúc đầu số vịt dưới ao

nhiều gấp 5 lần số vịt trên bờ. Nhưng sau khi có 3 con vịt từ trên bờ nhảy xuống ao bơi lội
thì số vịt dưới ao nhiều gấp 8 lần số vịt trên bờ. Hỏi cả đàn vịt có bao nhiêu con?
Phân tích: Theo bài ra, khi có 3 con vịt từ trên bờ nhảy xuống ao bơi lội thì số vịt dưới
ao, số vịt trên bờ thay đổi; tổng số vịt không thay đổi. Như vậy:
Số vịt dưới ao nhiều gấp 5 lần số vịt trên bờ tức là số vịt trên bờ bằng 1/6 số vịt cả đàn.
Sau khi có 3 con vịt từ trên bờ nhảy xuống ao bơi lội thì số vịt dưới ao nhiều gấp 8 lần số
vịt trên bờ nên số vịt trên bờ bằng 1/9 số vịt cả đàn. Hiểu như trên, bài tốn trở về dạng cơ
bản, khi đó học sinh dễ hiểu đồng thời vận dụng các bước giải nêu trên để giải bài tốn một
cách nhanh chóng.
Bài giải: Cách 1:
Lúc đầu số vịt trên bờ bằng: 1 : ( 1 + 5) =

1
(số vịt cả đàn)
6

Sau khi 3 con từ trên bờ nhảy xuống ao thì số vịt trên bờ bằng:
1
(số vịt cả đàn)
9
1 1
1
Vậy 3 con chiếm số phần vịt của cả đàn là: - =
(số vịt cả đàn)
6 9
18
1
Đàn vịt đó có số con là: 3 :
= 54 (con)
18

1 : (1 + 8) =

Đáp số: 54 con
Cách 2:
Lúc đầu số vịt dưới ao bằng: 5 : ( 1 + 5) = 5/6 (số vịt cả đàn)
Sau khi 3 con từ trên bờ nhảy xuống ao thì số vịt dưới ao bằng:
8 : (1 + 8) = 8/9 (số vịt cả đàn)
3 con vịt chiếm số phần vịt của cả đàn là: 8/9- 5/6 = 1/18 (số vịt cả đàn)
Đàn vịt đó có số con là: 3 : 1/18 = 54 (con)
Đáp số: 54 con
Ví dụ 2: Đội tuyển bóng đá mi ni của huyện A tham dự hội khỏe Phù Đổng cấp tỉnh gồm
các bạn học sinh lớp 4 và lớp 5. Dự định số bạn tham gia đội tuyển bóng đá đang học lớp 4
chiếm

1
của cả đội. Nhưng do một bạn đang học lớp 4 không tham gia được mà thay bởi
5

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu
mẫu miễn phí


một bạn đang học lớp 5, khi đó số bạn đang học lớp 4 tham gia chỉ bằng

1
số thành viên
10

của cả đội. Tính tổng số thành viên của cả đơi bónh đá mi ni?

Phân tích: Lúc đầu số học sinh lớp 4 tham gia học bằng

1
của cả đội nhưng thay
5

một bạn học sinh lớp 4 bằng một học sinh lớp 5 thì lúc này số học sinh lớp 4 tham gia bằng
1
của cả đội. Bởi vì thay một bạn học sinh lớp 4 bằng một học sinh lớp 5 nên tổng số học
10

sinh thi không thay đổi. Mà ta thấy số học sinh lớp 4 được so sánh với tổng số học sinh nên
ta sẽ tìm được một học sinh lớp 4 chiếm bao nhiêu so với phần tổng số học sinh của cả độ
tuyển. Làm được như vậy chúng ta đã giải quyết được bài toán.
Bài giải
1 1
1


( cả đội)
5 10 10
1
Số học sinh tham gia đội tuyển bóng đá là: 1 :
= 10 (học sinh)
10

Một học sinh chiếm tổng số phần của cả đội là:

Đáp số: 10 học sinh
Nhận xét: Cách giải này ngắn gọn hơn cách giải bằng sơ đồ đoạn thẳng. Khơng phải lập

luận dài dịng mà học sinh hiểu vấn đề bài toán nhờ đối tượng so sánh khơng thay đổi (cả
đội) lúc đó chúng ta dễ nhận thấy 1 học sinh chiếm bao nhiêu phần so với số học sinh cả
đội.
Bài toán này khi ra cho học sinh khối 5 chúng ta thay các dự kiện hoặc đổi các dự
kiện đó bằng tỉ số phần trăm (có thể thay giá trị

1
= 20% ...)
5

Ví dụ 3: Đội tuyển của trường A tham gia Hội khoẻ Phù Đổng cấp huyện gồm các bạn học
1
số nam nhưng do
4
1
điều kiện thay bởi một bạn nữ bằng một bạn nam. Khi đó số bạn nữ chiếm số nam. Tính
5

sinh nam và học sinh nữ. Dự định số bạn nữ tham gia đội tuyển chiếm

xem đội tuyển của trường A đi dự hội thao bao nhiêu học sinh?
Phân tích: Theo bài ra, ta nhận thấy số học sinh nữ, số học sinh nam thay đổi; tổng số học
sinh của đội tuyển khơng thay đổi. Từ đó, ta dễ dàng lập tỉ số giữa đại lượng thay đổi (số
học sinh nam, số học sinh nữ) và đại lượng không thay đổi (tổng số học sinh của đội tuyển)
ở hai thời điểm.
Bài giải: Cách 1
Dự định số bạn nữ tham gia đội tuyển bằng 1/4 số nam nên số bạn nữ bằng 1/5 số bạn
trong đội tuyển. Sau đó thay một bạn nữ bằng một bạn nam, khi đó số bạn nữ bằng 1/5 số
bạn nam nên số bạn nữ bằng 1/6 số bạn của đội tuyển.
Một bạn chiếm số phần học sinh cả đội là:

1/5 - 1/6 = 1/30 (số học sinh cả đội tuyển)
Vậy số học sinh đội tuyển của trường A tham gia Hội khoẻ Phù Đổng là:
1 : 1/30 = 30 (học sinh)
Đáp số: 30 học sinh

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu
mẫu miễn phí


Cách 2: Dự định số bạn nữ tham gia đội tuyển bằng 1/4 số nam nên số bạn nam bằng
4/5 số bạn trong đội tuyển. Sau đó thay một bạn nữ bằng một bạn nam, khi đó số bạn nữ
bằng 1/5 số bạn nam nên số bạn nam bằng 5/6 số bạn của đội tuyển.
Một bạn chiếm số phần học sinh cả đội là: 5/6 - 4/5 = 1/30 (số học sinh cả đội tuyển)
Vậy số học sinh đội tuyển của trường A tham gia Hội khoẻ Phù Đổng là:
1 : 1/30 = 30 (học sinh)
Đáp số: 30 học sinh
Cách 3: Phân tích: Vì thay 1 học sinh nữ bằng 1 học sinh nam cho nên tổng số tham gia
Hội khoẻ không thay đổi. Dự định số bạn nữ tham gia đội tuyển chiếm

1
số nam tức là số
4

1
số học sinh cả đội nhưng do điều kiện thay bởi một bạn nữ bằng một bạn
5
1
1
nam. Thì lúc đó số bạn nữ chiếm số nam tức là số học sinh nữ chiếm số học sinh của
5

6

bạn nữ bằng

cả đội. Cho nên ta biểu thị số học sinh nữ dự định lúc đầu là một phần thì số học sinh cả
đội là 5 phần như thế. Sau khi thay 1 học sinh nữ bằng 1 học sinh nam khi đó số nữ 1 phần
thì số học sinh cả đội 6 phần bằng nhau. Từ phân tích trên bài tốn trở lại bài ban đầu.
Giải: Số học sinh nữ so với số học sinh cả đội tuyển là:

1
cả đội tuyển
5

Sau khi thay 1 bạn nữ bằng 1 bạn nam thì số học sinh nữ so với số học sinh cả đội tuyển là:
1
cả đội tuyển
6

Một học sinh chiếm số phần học sinh cả đội là:

1 1 1
 
(cả đội tuyển)
5 6 30

Vậy số học sinh đội tuyển của trường A tham gia Hội khoẻ Phù Đổng là:
1:

1
= 30 (học sinh)

30

Đáp số: 30 học sinh
Ví dụ 4: Đội tuyển trường em tham gia Hội khỏe Phù Đổng cấp huyện, ban đầu số nữ bằng
2
số nam. Sau khi xét theo yêu cầu thay thế một bạn nữ bằng một bạn nam vì thế số nữ lúc
3

này bằng 75% số nam. Hỏi đội tuyển trường em có bao nhiêu bạn? (Đề thi học sinh giỏi
Nam Định)
Phân tích: Ta nhận thấy số học sinh nữ, số học sinh nam thay đổi; tổng số học sinh
tham gia Hội khoẻ phù đổng khơng thay đổi. Từ đó, ta dễ dàng lập tỉ số giữa đại lượng thay
đổi (số học sinh nam, số học sinh nữ) và đại lượng không thay đổi (tổng số học sinh tham
gia Hội khoẻ Phù Đổng) ở hai thời điểm.
2
số nam; số nữ là 2 phần thì số nam 3 phần bằng nhau cho nên tổng
3
2
số phần là 2 + 3 = 5 phần tức là số nữ bằng cả đội tuyển. Sau khi xét theo yêu cầu thay
5
3
thế một bạn nữ bằng một bạn nam vì thế số nữ lúc này bằng 75% số nam (75% = ). Số
4

Ban đầu số nữ bằng

học sinh nữ ba phần thì số học sinh nam 4 phần như thế, số phần biểu thị cho cả đội là 3 +
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu
mẫu miễn phí

4 = 7 phần; số học sinh nữ chiếm

3
số học sinh cả đội. Từ phân tích trên chúng ta giải bài
7

tốn này như sau:
Bài giải
Ta có: 75% =

3
4

2
2
số nam nên số nữ lúc đầu bằng cả đội tuyển.
3
5
3
Sau khi thay một bạn nữ bằng một bạn nam thì số nữ bằng số nam, tức là số nữ lúc này
4
3
bằng cả đội tuyển.
7
3 2 1
 
Vậy một bạn chiếm số phần của cả đội tuyển là:
(cả đội tuyển)
7 5 35

1
Đội tuyển trường em có số bạn là: 1 :
= 35 (bạn)
35

Vì ban đầu số nữ bằng

Đáp số: 35 bạn
Ví dụ 5: Một tủ sách có hai ngăn. Số sách ở ngăn dưới gấp 3 lần số sách ngăn trên. Nếu
chuyển 10 quyển sách ở ngăn trên xuống ngăn dưới thì số sách ngăn dưới gấp 7 lần ngăn
trên. Tính số sách mỗi ngăn.
(Giải tương tự VD trên)
Phân tích: Đọc đề bài toán này Bài toán này lúc đầu chỉ cho biết tỉ số của hai ngăn: ngăn
trên có số sách gấp 3 lần số sách ngăn dưới như vậy số sách ngăn trên 1 phần thì số sách
ngăn dưới là 3 phần bằng nhau. Ta biết thêm dự kiện nữa đó là khi chuyển 10 quyển từ ngăn
trên xuống ngăn dưới thì số sách ngăn dưới gấp 7 lần số sách ngăn trên. Lúc này, số sách
trên là 1 phần thì số sách ngăn dưới 7 phần như thế. Vì tổng số sách của hai khơng thay đổi
từ phân tích trên chúng ta sẽ tìm được 10 quyển sách chiếm bao nhiêu phần tổng số sách
của cả hai ngăn. Khi chúng ta hiểu được như trên thì giải quyết được yêu cầu bài toán.
Bài giải
Coi số sách ngăn trên là một phần thì số sách ngăn dưới 3 phần bằng nhau cho nên số
1
tổng số sách của cả hai ngăn. Sau khi chuyển 10 quyển sách từ ngăn
4
1
trên xuống ngăn dưới thì số sách ngăn trên bằng số sách của cả hai ngăn. Vậy 10 quyển
8

sách ngăn trên bằng

sách chiến phần của cả hai ngăn là:
1 1 1
  (tổng số sách)
4 8 8

Tổng số sách của cả hai ngăn là: 10 :

1
= 80 (quyển sách)
8

1
4

Số sách của ngăn trên là: 80  = 20 (quyển sách)
Số sách ngăn dưới là: 80 – 20 = 60 (quyển sách)
Đáp số: Ngăn trên: 20 quyển
Ngăn dưới: 60 quyển
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu
mẫu miễn phí


2
chiều dài. Nếu thêm vào chiều rộng 4 m
5
2
và đồng thời bớt chiều dài 4 m thì lúc đó chiều rộng bằng
chiều dài. Tính diện tích của
3

Ví dụ 6: Một hình chữ nhật có chiều rộng bằng

hình chữ nhật đó. (Đề thi giáo viên giỏi huyện Can Lộc)
Phân tích: Bài tốn này cũng tương tự như các ví dụ trên, chỉ khác ở chỗ tổng của chiều dài
và chiều rộng được che khuất bởi nửa chu vi. Mà khi thêm chiều rộng 4 m và bớt chiều dài
4 m thì tổng của chiều dài và chiều rộng không đổi tức là (nửa chu vi). Phát hiện được điều
2
2
chiều dài cho nên chiều rộng bằng nửa
5
7
2
chu vi; thêm chiều rộng 4 m và đồng thời bớt chiều dài 4 m thì chiều rộng bằng chiều dài
3
2
tức là chiều rộng bằng nửa chu vi.
5

này là mấu chốt của bài toán. Chiều rộng bằng

Bài giải
Nếu thêm chiều rộng 4 m và đồng thời bớt chiều dài 4 m thì nửa chu vi khơng thay đổi.
2
5

2
nửa chu vi.
7
2
Sau khi thêm chiều rộng, bớt chiều dài thì chiều rộng bằng

chiều dài tức là chiều rộng
3
2
bằng nửa chu vi.
5
2 2 4
Như vậy: 4 m ứng với số phần của nửa chu vi là:   (nửa chu vi)
5 7 35
4
Nửa chu vi hình chữ nhật đó là: 4 :
= 35 (m)
35
2
Chiều rộng hình chữ nhật là: 35  = 10 (m)
7

Lúc đầu chiều rộng bằng chiều dài cho nên chiều rộng bằng

Chiều dài của hình chữ nhật là: 35 – 10 = 25 (m)
Diện tích của hình chữ nhật đó là: 10 x 25 = 250 (m²)
Đáp số: 250 m²
3
số học sinh còn lại của lớp. Cuối
7
2
năm học sinh lớp 5A có thêm 4 học sinh giỏi nên tổng số học sinh giỏi bằng
số học sinh
3

Ví dụ 7: Cuối học kì I lớp 5A có số học sinh giỏi bằng

còn lại của lớp. Hỏi lớp 5 A có bao nhiêu học sinh?
Phân tích: Số học sinh giỏi của lớp 5A cuối học kì I bằng

3
số học sinh còn lại như vậy cả
7

3
số học sinh của cả lớp. Cuối năm học sinh lớp
10
2
5A có thêm 4 học sinh giỏi nên tổng số học sinh giỏi bằng
số học sinh còn lại, nên số
3
2
học sinh giỏi bằng số học sinh cả lớp.
5

lớp có 10 phần nên số học sinh giỏi bằng

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu
mẫu miễn phí


Vì tổng số học sinh khơng thay đổi cho nên coi đơn vị so sánh đó là học sinh giỏi với tỉ số
của học sinh của cả lớp để so sánh.
Bài giải
3
số học sinh còn lại của lớp nên số học sinh giỏi

7
3
2
bằng
số học sinh của cả lớp. Có thêm 4 học sinh giỏi nên tổng số học sinh giỏi bằng
10
3
2
số học sinh còn lại của lớp cho nên học sinh giỏi bằng số học sinh cả lớp.
5

Vì số học sinh số học sinh giỏi bằng

Mà số học sinh của cả lớp không thay đổi nên phân số biểu thị 4 học sinh là:
2 3
1


(số học sinh cả lớp)
5 10 10
1
Vậy tổng số học sinh lớp 5 A là: 4 :
= 40 (học sinh)
10

Đáp số: 40 học sinh
Tóm lại: Từ các ví dụ trên cùng một dạng mà cách giải thông thường giáo viên hướng
dẫn học sinh giải bằng sơ đồ đoạn thẳng nhưng hướng dẫn giải bằng sơ đồ thì gặp khó khăn
đó là phải thay đổi các phần biểu thị theo từng điều kiện của bài toán, theo từng giai đoạn
của bài tốn, q trình này củng phải lập luận, diễn giải hổ trợ thêm cho sơ đồ, chứ sơ đồ

khơng thể diễn tả nổi lời bài tốn...cho nên học sinh khó hiểu. Chính vì thế chúng ta chỉ sử
dùng sơ đồ nhằm giúp học sinh dễ dàng nhìn thấy các mối liên hệ trong bài tốn. Tuy nhiên,
đối với học sinh khá, giỏi không cần thiết vẽ sơ đồ minh họa mà cho các em làm quen với
lối tư duy, suy luận lơgíc.
Và cũng qua các tốn trên, chúng ta nhận thấy tổng của hai số không thay đổi. Bởi lẽ,
khi thêm vào số này một lượng nào đó và đồng thời bớt đi ở số kia cũng một lượng; hay
chuyển từ số này sang số kia một lượng như nhau. Như vậy thì tổng của chúng không thay
đổi. Cho nên khi giải đưa một trong hai số đó so sánh tỉ số của một số với tổng tỉ số của hai
số rồi tìm lượng thêm vào bớt đi, hoặc lượng chuyển lên, chuyển xuống thêm vào...chiếm
bao nhiêu phần so với tổng tỉ số của hai số.
Dạng 2: Tổng thay đổi
Dạng 2.1: Biết tỉ số ban đầu của A và B sau khi (thêm) bớt ở A mà không(thêm) bớt ở B,
lại biết tỉ số của A và B sau khi(thêm) bớt A.
- Tìm đại lượng khơng đổi để so sánh đó là B.
- Tìm xem lượng thêm vào hay bớt đi chiếm bao nhiêu của đại lượng khơng đổi đó là B.
- So sánh tỉ số ban đầu khi chưa bớt (thêm) với tỉ số sau khi bớt (thêm).
- Tính được đại lượng khơng đổi.
- Tìm được số còn lại.
Dạng 2.2: Thêm vào A đồng thời bớt ở B một lượng khác nhau và ngược lại thì tổng thay
đổi. (dạng này tương đối khó và phức tạp tùy vào từng trường hợp cụ thể để vận dụng cách
giải trên một cách hợp lí)
- Khi đó ta lấy tỉ số của A hoặc tỉ số của B so sánh với tổng tỉ số của hai số.
- Tìm hiệu tỉ số sau khi thay đổi.
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu
mẫu miễn phí


- Biến đổi một tỉ số khơng thay đổi
Sau đó tìm được lượng chung bớt đi hoặc thêm vào chiếm bao nhiêu phần của tổng tỉ số sau
khi thay đổi.

- Tìm tổng hai số.
- Tìm mỗi số ban đầu.
Dạng 2.3: Cùng thêm hoặc cùng bớt một lương ở hai đại lương.
Khi thêm hoặc cùng bớt thì hiệu hai số khơng đổi cho nên lấy hiệu hai số làm đơn vị so
sánh.
- Tìm hiệu hai tỉ số ban đầu.
- Tìm hiệu hai tỉ số sau khi thêm hoặc bớt.
- So sánh hiệu hai tỉ số.
- Tìm được hiệu hai số.
- Tìm hai số.
Ví dụ 1: Đội tuyển Olympic học sinh tiểu học cấp huyện của một trường có số bạn nam
bằng 2/3 số bạn nữ. Sau đó, vì một bạn nam không tham gia nên số bạn nam lúc này bằng
50% số bạn nữ. Hỏi lúc đầu đội tuyển Olympic học sinh tiểu học của trường đó có bao
nhiêu bạn nam, bao nhiêu bạn nữ? (Đề Olympic học sinh tiểu học cấp huyện, thị xã, thành
phố tỉnh Hải Dương năm học 2011-2012)
Phân tích: Bài cho biết một bạn nam khơng tham gia nên số bạn nam thay đổi, do đó tổng
số học sinh đội tuyển Olympic của nhà trường cũng thay đổi. Bởi vậy ta xác định được:
Số bạn nữ không thay đổi.
Số bạn nam thay đổi ; tổng số học sinh đội tuyển Olympic của nhà trường thay đổi. Ta giải
bài toán theo các cách sau:
Bài giải: Đổi 50% = ½
Theo bài ra, số bạn nữ không thay đổi, số bạn nam thay đổi nên tổng số học sinh đội tuyển
Olympic của nhà trường cũng thay đổi.Vậy:
Lúc đầu, số bạn nam bằng 2/3 số bạn nữ nên tổng số học sinh đội tuyển Olympic của
nhà trường so với số bạn nữ là 5/3; Vì một bạn nam khơng tham gia nên khi đó số bạn nam
bằng 1/2 số bạn nữ nên tổng số học sinh đội tuyển Olympic của nhà trường bằng 3/2 số bạn
nữ.
Phân số chỉ một bạn là: 5/3 - 3/2 = 1/6 ( số bạn nữ)
Số bạn nữ của đội tuyển lúc đầu là: 1: 1/6 = 6 (bạn)
Số bạn nam của đội tuyển lúc đầu là: 6 x 2/3 = 4 (bạn)

Đáp số: 6 bạn nữ; 4 bạn nam.
6
số sách ngăn trên. Nếu xếp
5
12
15 quyển sách mới mua vào ngăn trên thì lúc đó số sách ở ngăn dưới bằng
số sách ngăn
11

Ví dụ 2: Một giá sách gồm hai ngăn: Số sách ngăn dưới bằng

trên. Hỏi lúc đầu ở mỗi ngăn có bao nhiêu quyển sách? (Đề thi học sinh giỏi Hà Nội)
Phân tích: Ta nhận thấy: Số sách ngăn dưới không thay đổi sau khi thêm 15 quyển sách
vào ngăn trên. Do vậy, ta xác định được:
- Số sách ngăn trên thay đổi; tổng số sách hai ngăn cũng thay đổi.
- Số sách ngăn dưới không thay đổi.
- Lập tỉ số giữa đại lượng thay đổi (số sách ngăn trên hoặc tổng số sách hai ngăn) và đại
lượng không thay đổi (số sách ngăn dưới) ở hai thời điểm.
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu
mẫu miễn phí


Ta nhận thấy: Số sách ngăn dưới không thay đổi sau khi thêm 15 quyển vào ngăn trên,
cho nên chọn tỉ số sánh là ngăn dưới.
6
5
số sách ngăn trên ta hiểu số sách ngăn trên bằng số sách ở
5
6
12

ngăn dưới, sau khi thêm 15 quyển vào ngăn trên thì số sách ở ngăn dưới bằng
số sách
11
11
ngăn trên ta hiểu số sách ngăn trên bằng
số sách ở ngăn dưới. Tìm được 15 quyển chiếm
12

Số sách ngăn dưới bằng

bao nhiêu phần số sách ngăn dưới.
Bài giải
Số sách ngăn dưới bằng

6
5
số sách ngăn trên, nên ta nói: số sách ngăn trên bằng số
5
6

sách ở ngăn dưới. Sau khi xếp thêm 15 quyển vào ngăn trên thì số sách ngăn dưới bằng
số sách ngăn trên, ta có thể nói: số sách ngăn trên bằng

12
11

11
số sách ở ngăn dưới.
12

Số sách ngăn dưới không thay đổi, nên phân số biểu thị 15 quyển sách được thêm là:
11 5 1
 
(số sách ngăn dưới)
12 6 12
1
Do đó, số sách ngăn dưới là: 15 :
= 180 (quyển)
12
5
Số sách lúc đầu ở ngăn trên là: 180  = 150 (quyển)
6

Đáp số: Ngăn trên: 150 quyển
Ngăn dưới: 180 quyển
Cách 2: Theo bài ra, số sách ngăn dưới không thay đổi, số sách ngăn trên thay đổi nên số
sách ở cả hai ngăn cũng thay đổi. Ta có:
Số sách ngăn dưới bằng 6/5 số sách ngăn trên nên số sách cả hai ngăn bằng 11/6 số sách ở
ngăn dưới. Sau khi xếp thêm 15 quyển vào ngăn trên thì số sách ngăn dưới bằng 12/11 số
sách ngăn trên nên số sách cả hai ngăn bằng 23/12 số sách ở ngăn dưới.
15 quyển sách thêm vào ngăn trên bằng: 23/12- 11/6 = 1/12 (số sách ngăn dưới)
Số sách ngăn dưới là: 15 : 1/12 = 180 (quyển)
Số sách lúc đầu ở ngăn trên là: 180 : 6/5 = 150 (quyển)
Đáp số: Ngăn trên: 150 quyển sách
Ngăn dưới: 180 quyển sách
Ví dụ 3: Nhà bác Giang có số gà mái nhiều gấp 6 lần số gà trống. Sau đó bác mua thêm 5
con gà trống nữa nên bây giờ số gà trống bằng 1/4 số gà mái. Hỏi lúc đầu gia đình bác có
bao nhiêu con gà mái, gà trống?
Phân tích: Số gà mái khơng thay đổi nên ta có thể chọn số gà mái làm đơn vị để so sánh rồi
tính số gà trống. Gà mái nhiều gấp 6 lần gà trống cho nên gà trống bằng

khi thêm 5 con gà trống thì số gà trống bằng

1
số gà mái sau
6

1
số gà mái. Như vậy chỉ tìm xem 5 con gà
4

trống chiếm bao nhiêu phần của tổng số gà mái.
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu
mẫu miễn phí


Bài giải
Số gà trống lúc đầu bằng

1
1
số gà mái.Số gà trống lúc sau bằng số gà mái.
6
4

Vậy 5 con gà trống chiếm số phần gà mái là:
1 1 1
 
( số gà mái)
4 6 12

Như vậy lúc đầu nhà bác Giang có số gà mái là: 5 :

1
= 60 (con)
12

1
6

Số gà trống lúc đầu của nhà bác Giang là: 60  = 10 (con)
Đáp số: Gà mái: 60 con; Gà trống: 10 con
Ví dụ 4: Một cửa hàng nhập về một số xe máy. Người bán hàng lấy ra trưng bày để bán

1
8

số xe nhập về, số xe còn lại bỏ trong kho. Sau khi bán 3 chiếc xe ở quầy trưng bày thì người
chủ quầy nhận thấy số xe ở trong kho nhiều gấp 10 lần số xe còn lại ở quầy trưng bày xe.
Hỏi cửa hàng lúc đầu nhập về bao nhiêu chiếc xe máy?
Phân tích: Đọc bài tốn ta thấy số xe trong kho khơng thay đổi lấy số xe trong kho làm đơn
vị so sánh. Số xe trưng bày để bán
trưng bày để bán bằng

1
7
số xe đó; số xe cịn lại bỏ trong kho là số xe, số xe
8
8

1

số xe bỏ trong kho. Sau khi bán 3 chiếc xe ở quầy trưng bày thì số
7

xe ở trong kho nhiều gấp 10 lần số xe còn lại ở quầy trưng bày xe, số xe trưng bày lúc này
chỉ bằng

1
số xe máy trong kho.
10

Chúng ta giải bài toán này như sau:
Bài giải
1
số xe bỏ trong kho.
7
1
Sau khi bán 3 chiếc xe ở quầy trưng bày thì số xe còn lại ở quầy trưng bày bằng
số xe
10

Lúc chưa bán đi xe nào thì số xe máy trưng bày ở quầy hàng bằng

máy cất trong kho.
Ta thấy: Số xe trong kho không thay đổi nên phân số biểu thị 3 chiếc xe là:
1 1
3


(số xe trong kho)
7 10 70

Số xe máy trong kho là:
3:

3
= 70 (chiếc)
70

Số xe máy được đưa ra trưng bày và bán ở quầy là:
1
7

70  = 10 (chiếc)
Tổng số xe máy nhập về là:
70 + 10 = 80 (chiếc)
Đáp số: 80 chiếc
Ví dụ 5: Để chuẩn bị tham gia Hội khỏe Phù Đổng cấp tỉnh, huyện em đã thành lập đội
tuyển tham dự trong đó số nữ bằng

2
số nam. Sau khi đội được bổ sung 20 nữ và 15 nam
3
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu

mẫu miễn phí


nên lúc này số nữ bằng

4

số nam. Tính xem đội tuyển của huyện tham gia Hội khỏe Phù
5

đổng cấp tỉnh có tất cả bao nhiêu bạn động viên tham gia?
Phân tích: Bài tốn này khơng xác định được đại lượng không đổi mà chỉ cho chúng ta biết
hai tỉ số của số bạn nữ và số bạn nam tham gia đội tuyển ở hai thời điểm, biết số bạn nữ và
số bạn nam tăng thêm. Ta dựa tỉ số ban đầu để vẽ sơ đồ đoạn thẳng biểu thị số bạn nữ và số
bạn nam sau khi tăng thêm và tỉ số thứ hai là “chìa khóa” để giải bài toán.
Giải: Sau khi được bổ sung thêm, số nữ bằng

4
số nam nên sau đó 5 lần số nữ bằng 4 lần số
5

nam. Ta có sơ đồ
2 phần

20 bạn

Số nữ sau khi bổ sung:
3 phần

15 bạn

Số nam sau khi bổ sung:
10 phần

100 bạn

5 lần số nữ sau khi bổ sung:

12 phần

60 bạn

4 lần số nam sau khi bổ sung:

Hiệu số phần bằng nhau là: 12 – 10 = 2 (phần)
Giá trị của một phần là: (100 – 60) : 2 = 20 (bạn)
Số HS nữ sau khi bổ sung thêm là: 20 x 2 + 20 = 60 (bạn)
Số HS nam sau khi bổ sung thêm là: 20 x 3 + 15 = 75 (bạn)
Tổng số vận động viên tham gia Hội khỏe Phù Đổng cấp tỉnh là: 60 + 75 = 135 (bạn)
Đáp số: 135 bạn
Ví dụ 6: Tủ sách của lớp 5 A có 7 ngăn, số sách trong các ngăn như nhau. Tủ sách của lớp
5B có 5 ngăn, số sách trong mỗi ngăn gấp 2 lần số sách trong mỗi ngăn của tủ 5A. Biết rằng
nếu bớt đi ở mỗi ngăn của tủ sách lớp 5A 3 quyển và bớt đi ở mỗi ngăn của tủ sách lớp 5B
12 quyển thì số sách cịn lại của hai tủ bằng nhau. Tính xem mỗi tủ có bao nhiêu quyển
sách. ( Đề thi học sinh giỏi Hà Tây).
Phân tích: Tủ sách của lớp 5A có 7 ngăn, tủ sách của lớp 5B có 5 ngăn nhưng số sách trong
mỗi ngăn của lớp 5B gấp 2 lần số sách trong mỗi ngăn tủ của lớp 5A cho nên ta coi tủ sách
của lớp 5B có số sách mỗi ngăn bằng số sách ở mỗi ngăn của tủ sách lớp 5A thì tủ của lớp
5B phải là 10 ngăn như thế. Nếu mỗi ngăn tủ sách của của lớp 5A không bớt quyển nào mà
chỉ bớt mỗi ngăn của tủ sách của lớp 5B đi một số sách thì số sách của hai lớp bằng nhau.
Cho nên chúng ta chỉ việc tìm phân số chỉ số sách bớt đi của lớp 5B chiếm bao nhiêu phần
tổng số sách của hai lớp là giải quyết bài toán xong.
Bài giải
Cách 1: Tủ sách của lớp 5A có 7 ngăn, tủ sách của lớp 5B có 5 ngăn nhưng số sách trong
mỗi ngăn của lớp 5B gấp 2 lần số sách trong mỗi ngăn tủ của lớp 5A.
Ta có sơ đồ: Tủ sách lớp 5A:
Tủ sách lớp 5B:
Số sách bớt đi của tủ sách lớp 5A là: 7 x 3 = 21 (quyển)

Số sách bớt đi của tủ sách lớp 5B là: 5 x 12 = 6 0 (quyển)
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu
mẫu miễn phí


Lúc này số sách ở hai tủ bằng nhau.
Số sách trong tủ của lớp 5A hơn số sách trong tủ của lớp 5B là (Hiệu số sách của 2 tủ):
60 – 21 = 39 (quyển)
Hiệu số phần bằng nhau là: 10 -7 = 3 (phần)
Số sách ở tủ lớp 5A là: 39 : 3 x 7 = 91 (quyển)
Số sách của tủ lớp 5B là: 91 + 39 = 130 (quyển)
Đáp số: Tủ 5A: 91 quyển
Tủ 5B: 130 quyển
Cách 2: Giả sử, số sách ở mỗi ngăn của lớp 5B bằng số sách mỗi ngăn của lớp 5A thì tủ
của lớp 5A có số ngăn là: 5 x 2 = 10 (ngăn)
Coi số sách của lớp 5A là 7 phần thì số sách của tủ lớp 5B là 10 phần như thế. khi đó số
sách của lớp 5A chiếm

7
10
tổng số sách của cả hai lớp. Số sách của lớp 5B chiếm
tổng
17
17

số sách hai lớp.
Số sách bớt đi của tủ sách lớp 5A là: 7 x 3 = 21 (quyển)
Số sách bớt đi của tủ sách lớp 5B là: 10 x (12 : 2) = 60 (quyển)
Số sách của lớp 5A không bớt mà chỉ bớt đi số sách của lớp 5B số quyển sách để số sách
hai lớp bằng nhau là:

60 – 21 = 39 (quyển)
Vậy: 39 quyển sách chiếm số phần tổng số sách của cả hai lớp là:
10 7
3

= (tổng số sách của hai lớp)
17 17 17
3
Tổng số sách của hai lớp là: 39 :
= 221 (quyển)
17
7
Số sách ở tủ lớp 5A là: 221  = 91(quyển)
17

Số sách của tủ lớp 5B là: 221 – 91 = 130 (quyển)
Đáp số: Tủ 5A: 91 quyển
Tủ 5B: 130 quyển
Ví dụ 7: Trong đợt thi tuyển chọn học sinh đi tham dự giao lưu Toán Tuổi thơ lần thứ Tư
của tỉnh A, trong đó số học sinh nữ bằng
tham gia dự thi thì số nữ lúc này bằng

2
số học sinh nam. Nếu có thêm 10 học sinh nam
3

3
số học sinh nam. Hỏi có bao nhiêu học sinh tham
5

gia thi tuyển.
Phân tích: Bài toán này, cho biết số học sinh nữ bằng

2
số học sinh nam nhưng nếu học
3

2
tổng số nam và nữ; Sau khi thêm 10 học sinh nam thì số nữ lúc
5
3
3
này bằng số học sinh nam tức là số nữ bằng tổng số nam và nữ. Đây lấy số học sinh nữ
8
5
2
3
làm đơn vị để so sánh khi đó lấy tổng số nam và nữ trừ đi tổng số nam và nữ dẫn đến
5
8
2
3
sai lầm trong giải tốn. Bởi vì tổng số nam và nữ và tổng số nam và nữ không cùng
5
8

sinh cứ nghĩ số nữ bằng

một đơn vị tức là số phần khác nhau. Cho nên ta giải bài toán này như sau:
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu

mẫu miễn phí


2 6 3 6
 ;

3 9 5 10
6
Số nữ lúc đầu bằng số học sinh nam nếu có thêm 10 học sinh nam tham gia dự thi thì lúc
9
6
này số học sinh nữ bằng
số học sinh nam, như vậy coi số học sinh nam lúc đầu 9 phần
10

Bài giải: Ta có:

thì số học sinh nam sau khi thêm 10 học sinh nữa là 10 phần bằng nhau.
10 học sinh nam chiếm số phần là: 10 – 9 = 1 (phần)
Số học sinh nam tham gia dự thi là: (10 : 1)  9 = 90 (học sinh)
6
9

Số học sinh nữ tham gia dự thi là: 90  = 60 (học sinh)
Vậy học sinh tham gia thi tuyển là: 60 + 90 = 150 (học sinh)
Đáp số: 145 học sinh
Có thể tìm 10 học sinh nam chiếm bao nhiêu phần số học sinh nam:
6
6
1

- = ( số học sinh nam)
90
10 9

Cách 2: Ta có sơ đồ:
3 phần

Số HS nữ lúc đầu:
5 phần

10 bạn

Số HS nam lúc đầu:
9 phần
3 lần số HS nữ lúc đầu:
10 phần

20 bạn

2 lần số HS nam lúc đầu:

Hiệu số phần bằng nhau là: 10 – 9 = 1 (phần)
Vậy 1 phần ứng với 20 bạn.
Số học sinh nữ tham gia dự thi là: 20 x 3 = 60 (HS)
Số học sinh nam tham gia dự thi là: 20 x 5 – 10 = 90 (HS)
Vậy học sinh tham gia thi tuyển là: 60 + 90 = 150 (học sinh)
Đáp số: 145 học sinh
Ví dụ 8: Tủ sách thư viện trường em có hai ngăn: Ngăn thứ nhất có số sách bằng

2

số sách
3

thứ hai. Nếu xếp thêm vào ngăn thứ nhất 80 cuốn và ngăn thứ hai 40 cuốn thì số sách ngăn
thứ nhất bằng

3
số sách ngăn thứ hai. Hỏi ban đầu mỗi ngăn tủ có bao nhiêu cuốn sách?
4

(Đề thi học sinh giỏi quận Đống Đa)
Phân tích: Bài tốn này khơng xác định được đại lượng khơng đổi mà chỉ cho chúng ta biết
hai tỉ số của hai ngăn ở hai thời điểm, biết số sách tăng thêm. Ta dựa tỉ số ban đầu để vẽ sơ
đồ đoạn thẳng biểu thị số sách của hai ngăn và tỉ số thứ hai là “chìa khóa” để giải bài toán.
Giải: Nếu xếp thêm vào ngăn thứ nhất 80 cuốn và ngăn thứ hai 40 cuốn thì số sách ngăn
thứ nhất bằng

3
số sách ngăn thứ hai nên sau khi tăng 4 lần số sách ở ngăn thứ nhất bằng 3
4

lần số sách ở ngăn thứ 2.
Ta có sơ đồ:
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu
mẫu miễn phí


2 phần

80 cuốn

Ngăn I sau khi tăng:
3 phần

40 cuốn

Ngăn II sau khi tăng:
8 phần

320 cuốn

4 lần ngăn thứ I sau khi tăng:

9 phần

120 cuốn

3lần ngăn thứ II sau tăng:

Hiệu số phần bằng nhau là: 9 – 8 = 1 (phần)
Giá trị của 1 phần là: 320 -120 = 200 (cuốn)
Ban đầu ngăn thứ nhất có số cuốn sách là: 200 x 2 = 400 (cuốn)
Ban đầu ngăn thứ hai có số cuốn sách là: 200 x 3 = 600 (cuốn)
Đáp số: Ngăn thứ nhất: 400 cuốn
Ngăn thứ hai: 600 cuốn
Ví dụ 9: Cho hai số A và B có tỉ số

A 1
 . Nếu thêm vào mỗi số 18,4 thì ta được hai số mới
B 6

A'
0,25 .Tìm A và B đã cho (Đề thi học sinh giỏi thành phố Hồ Chí Minh)
B'
1
1
1
Phân tích: Tỉ số A và B là , khi thêm vào mỗi số 18,4 tỉ số mới (vì 0,25 = ). Tuy tổng
6
4
4

A' và B' có tỉ số

thay đổi vì cả hai đều thêm 18,4 nhưng hiệu của B và A khơng đổi. Ta có thể so sánh A
hoặc B lúc đầu và sau khi thêm đại lượng khơng đổi.
Bài giải
Ta có: 0,25 =

1
4

1
1
 (hiệu hai số A và B)
6 1 5
1
1
 ( hiệu hai số A và B).
Số A sau khi thêm bằng:

4 1 3
1 1 2
  (hiệu hai số A và B)
Vậy 18,4 ứng với số phần của hiệu đó là:
3 5 15
2
Hiệu của B và A là: 18,4 :
= 138
15
1
Số A cần tìm là: 138  = 27,6
5

Số A lúc đầu bằng:

Số B cần tìm là: 27,6 x 6 = 165,6
Đáp số: A là 27,6
B là 165,6
Dạng 3: Giải các bài tốn tính tuổi liên quan đến dạng tốn Tìm hai số khi biết hai tỉ
số.
Trong nhiều loại toán, người ta thường để ý đến những đại lượng khơng thay đổi. Đối với
bài tốn tính tuổi thì đại lượng đó chính là hiệu số giữa tuổi của hai người. Dựa vào đại
lượng này ta có thể giải được nhiều bài tốn tính tuổi.
Ví dụ 10: Hiện nay tuổi bố gấp 4 lần tuổi con, trước đây 6 năm tuổi bố gấp 13 lần tuổi
con. Hiện nay bố bao nhiêu tuổi? Con bao nhiêu tuổi ?
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu
mẫu miễn phí


Phân tích: Bài tốn u cầu tính số tuổi của hai bố con hiện nay nhưng chỉ cho biết :

- Tỉ số tuổi của hai bố con ở hai thời điểm khác nhau.
- Khoảng cách thời gian giữa hai thời điểm đó.
Nhưng ta có thể dễ dàng phát hiện ra một điều kiện nữa của bài tốn, đó là: Hiệu số tuổi
của hai bố con khơng đổi. Từ đó ta có thể giải được bài tốn như sau.
Bài giải: Cách 1:
Vì mỗi năm bố thêm một tuổi, con cũng thêm một tuổi nên hiệu số giữa tuổi bố và tuổi
con ln khơng đổi theo thời gian. Ta có:
Hiện nay tuổi bố gấp 4 lần tuổi con nên tuổi con bằng 1/4 tuổi bố.
Hiệu số giữa tuổi bố và tuổi con hiện nay là: 4 – 1 = 3 (phần)
Vậy tuổi con hiện nay bằng 1/3 hiệu số giữa tuổi bố và tuổi con.
Trước đây 6 năm tuổi bố gấp 13 lần tuổi con nên tuổi con 6 năm trước bằng 1/13 tuổi bố.
Hiệu số giữa tuổi bố và tuổi con 6 năm trước là: 13 – 1 = 12 (phần)
Vậy tuổi con 6 năm trước bằng 1/12 hiệu số giữa tuổi bố và tuổi con.
Vì một năm bằng một tuổi nên 6 năm bằng 6 tuổi.
Vậy 6 tuổi tương ứng với: 1/3 - 1/12 = 1/4 (hiệu số giữa tuổi bố và con).
Hiệu số giữa tuổi bố và tuổi con là: 6: 1/4 = 24 (tuổi)
Tuổi con hiện nay là: 24 x 1/3 = 8 (tuổi)
Tuổi bố hiện nay là: 8 + 24 = 32 (tuổi)
Đáp số: Bố:32 tuổi
Con: 8 tuổi.
Cách 2: Vì mỗi năm bố thêm một tuổi, con cũng thêm một tuổi nên hiệu số giữa tuổi
bố và tuổi con ln khơng đổi theo thời gian. Ta có:
Hiệu số giữa tuổi bố và tuổi con hiện nay là: 4 – 1 = 3 (phần)
Vậy tuổi bố hiện nay bằng 4/3 hiệu số tuổi của bố và con.
Hiệu số giữa tuổi bố và tuổi con 6 năm trước là: 13 – 1 = 12 (phần)
Vậy tuổi bố 6 năm trước bằng 13/12 hiệu số giữa tuổi bố và tuổi con.
Vì một năm bằng một tuổi nên 6 năm bằng 6 tuổi.
Vậy 6 tuổi tương ứng với: 4/3 - 13/12 = 1/4 (hiệu số giữa tuổi bố và con).
Hiệu số giữa tuổi bố và tuổi con là: 6: 1/4 = 24 (tuổi)
Tuổi bố hiện nay là: 24 x 4/3 = 32 (tuổi)

Tuổi con hiện nay là: 32 - 24 = 8 (tuổi)
Đáp số: Bố:32 tuổi
Con: 8 tuổi.
Ví dụ 11: Trước đây 4 năm tuổi mẹ gấp 6 lần tuổi con. Sau 4 năm nữa, tỉ số giữa tuổi con
và tuổi mẹ là . Tính tuổi mỗi người hiện nay.
Ví dụ 12: Tuổi bố năm nay gấp 2,2 lần tuổi con. 25 năm về trước tuổi bố gấp 8,2 lần tuổi
con. Hỏi khi tuổi bố gấp 3 lần tuổi con thì con bao nhiêu tuổi.
Bài giải: Cách 1: Đổi: 2,2 = 11/5; 8,2 = 41/5
Vì mỗi năm bố thêm một tuổi, con cũng thêm một tuổi nên hiệu số giữa tuổi bố và tuổi con
luôn không đổi theo thời gian. Ta có:
Năm nay tuổi bố bằng 11/5 tuổi con nên hiệu số giữa tuổi bố và tuổi con hiện nay là:
11 – 5 = 6 (phần)
Vậy tuổi con năm nay bằng 5/6 hiệu số giữa tuổi bố và tuổi con.
Trước đây 25 năm tuổi bố bằng 41/5 tuổi con nên hiệu số giữa tuổi bố và tuổi con 25 năm
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu
mẫu miễn phí


trước là: 41 – 5 = 36 (phần)
Vậy 25 năm trước tuổi con bằng 5/36 hiệu số giữa tuổi bố và tuổi con.
Vì một năm bằng một tuổi nên 25 năm bằng 25 tuổi.
Vậy 25 tuổi tương ứng với: 5/6 - 5/36 = 25/36 (hiệu số giữa tuổi bố và con).
Hiệu số giữa tuổi bố và tuổi con là: 25: 25/36 = 36 (tuổi)
Ta có sơ đồ biểu thị tuổi bố và tuổi con khi tuổi bố gấp 3 lần tuổi con:
Tuổi con:
36 tuổi
Tuổi bố :
Theo sơ đồ, tuổi con khi tuổi bố gấp 3 lần tuổi con là: 36 : ( 3 -1) = 18 (tuổi)
Đáp số: Con: 18 tuổi.
Chú ý: Để vận dụng tốt thủ thuật giải toán này, các em học sinh cần nắm vững kiến thức về

tỉ số và đại lượng không đổi đối với bài tốn tính tuổi. Các em có thể giải quyết được nhiều
bài tốn khó của dạng tốn tính tuổi bằng thủ thuật này.

PHƯƠNG PHÁP TÍNH NHANH BẰNG SƠ ĐỒ GIẢI BÀI TỐN 2 TỶ SƠ
Kiến thức cần nhớ:
+ Hai tỉ số có tổng khơng đổi.
+ Hai tỉ số có hiệu khơng đổi.
1. Hai tỉ số có tổng khơng đổi.
Cách giải: B1: Lập tỉ số của 2 số là A và B lúc đầu và sau khi đã thay đổi.
B2: So sánh tỉ số của A với tổng tỉ số A và B lúc đầu.
B3: So sánh tỉ số của A sau khi đã thay đổi với tổng tỉ số của A và B sau khi
đã thay đổi.
B4: Vẽ sơ đồ.
B5: Tìm hiệu số phần.
B6: Tìm giá trị của một phần.
B7: Tìm 2 số theo y/c của đề bài.
Bài tập 1: Tìm 2 số có tỉ số bằng 1/3 nếu thêm 14 vào số thứ nhất và bớt đi 14 ở số thứ
hai thì ta được hai số mới có tỉ số bằng 3/5.
Giải: Gọi 2 số là a và b, ta có:
a/b = 1/3, nếu thêm 14 vào số thứ nhất và bớt đi 14 ở số thứ hai thì ta được hai số mới có
tỉ số là:

a  14 3

b  14 5

Tổng của tỉ số thứ nhất là: a + b.
Tổng của tỉ số thứ hai là: a + 14 + b – 14 = a + b
Vậy tổng của 2 tỉ không đổi.
a 1

a
1 2

 
b 3
a b 4 8
a  14 3 a  14 3
 >

b  14 5 a  b 8
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu
mẫu miễn phí


Theo bài ra ta có sơ đồ: a
a + 14
14
Vậy a = 14 x 2 = 28
28/b = 1/3
b = 28 x 3
B = 84
ĐS: 28; 84
Bài tập 2: Tỉ số sách ngăn một và ngăn hai là 3/5. Nếu chuyển 12 quyển từ ngăn thứ hai
sang ngăn thứ nhất thì số sách ở hai ngăn bằng nhau. Tính số sách ở hai ngăn lúc đầu.
Giải: Gọi ngăn thứ nhất I; ngăn thứ hai là II. Ta có tỉ số của hai ngăn là: I/II = 3/5
Nếu chuyển 12 quyển từ ngăn thứ hai sang ngăn thứ nhất thì số sách ở hai ngăn bằng
I  12 1

II  12 1
I 3

I
3
 

II 5
I  II 8
I  12 1
I  12 1 4
 
 
II  12 1
I  II 2 8

nhau. Ta có tỉ số:

Theo bài ra ta có sơ đồ: I
II
12
Số sách ngăn I là: 12 x 3 = 36 (quyển)
Số sách ở ngăn thứ hai là: 36/II = 3/5 II = 36 x 5 : 3 = 60 (quyển)
ĐS: 36 quyển; 60 quyển
Bài 3: Tỉ số học sinh nam và học sinh nữ của một trường là ¾. Nếu trường nhận thêm 60
HS nam và chuyển đi 60 HS nữ thì tỉ số giữa HS nam và HS nữ là 18/17. Tính số HS nam
và HS nữ ban đầu.
Giải: Tỉ số giữa HS nam và nữ là: ¾.
Tỉ số giữa HS nam với tổng số HS nam và nữ là: 3/7 = 15/35 (tổng số HS nam và nữ).
Nếu trường nhận thêm 60 HS nam và chuyển đi 60 HS nữ thì tỉ số giữa HS nam và HS nữ
là:

Nam  60 18


Nu  60 17

Nam  60 18

Nam  Nu 35

Theo bài ra ta có sơ đồ: Nam
Nam+60

……
……….
60

Số HS nam là: (60 : 3) x 15 = 300 (HS)
Số HS nữ là: 300 x 4 : 3 = 400 (HS)
ĐS:
Bài 4: Người ta xếp một số sách vào ngăn. Số sách ở ngăn trên bằng 4/7 số sách ở ngăn
dưới. Nếu chuyển 36 quyển sách từ ngăn dưới lên ngăn trên thì số sách của hai ngăn bằng
nhau. Tính số sách ngăn trên.
Phân tích: Tổng số sách không thay đổi.
Tổng số sách 4P + 7P = 11P lẻ nên ta nhân cả tử số và mẫu số với 2 ta được 8/14 (Tổng số
sách ở ngăn trên và ngăn dưới là: 8 + 14 = 22
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu
mẫu miễn phí


Giải: Vì 4/7 = 8/14 nên nếu số sách ngăn trên là 8 phần thì số sách ngăn dưới là 14 phần
như thế.
Số sách ngăn trên so với tổng số sách là:

8
8

8  14 22

Nếu chuyển 36 quyển thì số sách ở ngăn trên so với tổng số sách là:

22 : 2 11

22
22

36 quyển tương đương với 3 phần. vậy 1 phần = 36 : 3 = 12 (quyển)
Số sách ở ngăn trên là: 12 x 8 = 96 (quyển)
ĐS:
2. Hai tỉ số có hiệu khơng đổi:
Cách giải: B1: Lập tỉ số của 2 số là A và B lúc đầu và sau khi đã thay đổi.
B2: So sánh tỉ số của A với hiệu tỉ số A và B lúc đầu.
B3: So sánh tỉ số của A sau khi đã thay đổi với hiệu tỉ số của A và B sau khi
đã thay đổi.
B4: Vẽ sơ đồ.
B5: Tìm hiệu số phần.
B6: Tìm giá trị của một phần.
B7: Tìm 2 số theo y/c của đề bài.
Bài 1: Tìm hai số có tỉ số là 3/8. Nếu cùng thêm 10 vào cả hai số thì ta được hai số có tỉ số
là 7/17.
Giải: Gọi 2 số là a và b, ta có: a/b = 3/8.
Nếu cùng thêm 10 vào cả hai số thì ta được hai số có tỉ số là:

a  10 7

b  10 17

Ta có: Hiệu mẫu số và tử số của tỉ số thứ nhất là: b – a
Hiệu mẫu số và tử số của tỉ số thứ hai là: b + 10 – (a + 10) = b + 10 – a – 10 = b – a
Vậy hiệu của hai tỉ số đều bằng b – a.
Ta có:

a 3
a
3 6
 >
 
b 8 b  a 5 10
a  10 7
a  10 7


b  10 17
b  a 10

Theo bài ra ta có sơ đồ:

a
a + 10
10

Số thứ nhất là: 10 x 6 = 60
Số thứ hai là: 60 x 8 : 3 = 160

ĐS:
Bài 2: Năm nay, tuổi bố gấp 3 lần tuổi con. 12 năm trước tuổi bố gấp 7 lần tuổi con. Hỏi
tuổi hiện nay của mỗi người?
bo 3
bo
3 9
 
 
con 1
bo  con 2 6
Phân tích:
bo  12 7 bo  12 7
 

con  12 1 bo  con 6

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu
mẫu miễn phí


Theo bài ra ta có sơ đồ: Tuổi bố
Tuổi bố - 12

12

Tuổi bố hiện nay là: (12 : 2) x 9 = 54 (tuổi)
Tuổi con hiện nay là: 54 : 3 = 18 (tuổi)
ĐS:
Dạng 3: Không xác định được đại lượng không đổi.
Cách làm: - Dựa vào tỉ số ở một trong hai thời điểm để biểu diễn theo sơ đồ đoạn

thẳng 2 đại lượng ở cùng thời điểm kia.
- Dựa vào tỉ số còn lại để gấp các đại lượng đã biểu diễn bằng sơ đồ đoạn thẳng lên một
số lần sao cho chúng bằng nhau. Sau đó biểu diễn trên sơ đồ đoạn thẳng để tìm giá trị của
một phần và tìm các đại lượng theo yêu cầu của bài toán.
(Chú ý: Khi gấp lên một số lần và khi vẽ sơ đồ biểu diễn cần chú ý quy tắc nhân
một số với một tổng (hoặc một hiệu) để tránh sai sót).
Bài 1: Một người có số gà nhiều gấp 7 lần số vịt. Sau đó, người đó nuôi thêm 200 con gà
và 900 con vịt nữa. Khi ấy số gà chỉ bằng 9/10 số vịt. Hỏi lúc đầu ngưới đó ni mỗi loại
bao nhiêu con?
Phân tích: Bài toán này chỉ cho chúng ta biết 2 tỉ số của số gà và số vịt ở hai thời điểm,
cho biết số lượng mỗi loại tăng thêm. Ta sẽ dựa vào tỉ số ban đầu để vẽ sơ đồ đoạn thẳng
biểu thị số gà và số vịt ở thời điểm lúc sau. Chú ý rằng: số gà bằng 9/10 số vịt thì 10 lần số
gà sẽ bằng 9 lần số vịt. Tỉ số thứ hai này chính là “chìa khóa” giúp ta đi tìm đáp số cho bài
tốn.
Giải: Sau khi nuôi thêm, số gà bằng 9/10 số vịt nên lúc sau, 10 lần số gà sẽ bằng 9 lần số
vịt.
Ta có sơ đồ:
1phần
900 con
Số vịt lúc sau:
7 phần

200con

Số gà lúc sau:
9 phần

8100 con

9 lần số vịt lúc sau:

70 phần

2000 con

10 lần số gà lúc sau:
Hiệu số phần bằng nhau là: 70 – 9 = 61 (phần)
Số vịt lúc đầu là: (8100 – 2000) : 61 = 100 (con)
Số gà lúc đầu là: 100 x 7 = 700 (con)
ĐS: Gà: 700 con
Vịt: 100 con
Bài 2: Một cửa hàng bán trứng trong buổi sáng có số trứng gà bằng 2/3 số trứng vịt.
Buổi chiều, do đã bán được 12 chục trứng gà và 24 chục trứng vịt nên số trứng gà còn lại
bằng 4/3 số trứng vịt còn lại. Hỏi buổi sáng cửa hàng có bao nhiêu quả trứng mỗi loại?
Phân tích: Bài tốn 1 thì hai đại lượng cùng được tăng lên nhưng bài này hai đại lượng
cùng giảm đi. Để thuận tiện hơn trong việc vẽ sơ đồ, ta sẽ làm khác với bài toán trên một
chút: xuât phát từ tỉ số thứ hai trước và dùng tỉ số ban đầu làm “chìa khóa” mở đường đến
đáp số.
Giải: 12 chục = 120 quả; 24 chục = 240 quả.
Ta có sơ đồ:
4phần
120 quả
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu
mẫu miễn phí


Số trứng gà buổi sáng:
3 phần

240 quả

Số trứng vịt buổi sáng:
12 phần

360 quả

3 lần số trứng gà buổi sáng:
6 phần

480 quả

2 lần số trứng vịt buổi sáng:

Hiệu số phần bằng nhau là: 12 -6 = 6 (phần)
Giá trị của của mỗi phần là: (480 – 360) : 6 = 20 quả
Buổi sáng cửa hàng có số trứng gà là: 20 x 4 + 120 = 200 (quả)
Buổi sáng cửa hàng có số trứng vịt là: 20 x 3 + 240 = 300 (quả)
ĐS: Trứng gà: 200 quả
Trứng vịt 300 quả
Bài 3: Một hiệu sách có số sách giáo khoa bằng 2/5 số sách tham khảo. Sau đó, do nhập
về thêm 50 quyển sách giáo khoa và bán đi 100 quyển sách tham khảo nên lúc này số sách
giáo khoa bằng 5/8 số sách tham khảo. Hỏi lúc đầu cửa hàng có mỗi loại bao nhiêu quyển
sách?
Phân tích: Hai bài tốn trên, cả hai đại lượng cùng được tăng lên hoặc cùng bị giảm
xuống. Cịn ở bài tốn này, một đại lượng thì tăng lên, một đại lượng thì giảm xuống nhưng
cách làm hồn tồn tương tự hai bài tốn trên. Ta có thể xuất phát từ tỉ số thứ nhất hoặc tỉ số
thứ hai đều được. Dưới đây là cách làm giống bài tốn 2.
Giải:
Ta có sơ đồ:
Số SGK lúc đầu:

5 phần

50 quyển
8 phần

100 quyển

Số STK lúc đầu:
25 phần

250 quyển

5 lần số SGK lúc đầu:
16 phần

200 quyển

2 lần số STK lúc đầu:
Hiệu số phần bằng nhau là: 25 -16 = 9 (phần)
Giá trị của mỗi phần là: (250 + 200) : 9 = 50 (quyển)
Lúc đầu hiệu sách có số sách giáo khoa là: 50 x 5 – 50 = 200 (quyển)
Lúc đầu hiệu sách có số sách tham khảo là: 50 x 8 + 100 = 500 (quyển)
ĐS: 200 quyển SGK; 500 quyển STK
Bài 4: Nhà Mai có ni số gà bằng 6/7 số ngan. Do mẹ bạn Mai đã bán 10 con gà và 20
con ngan nên số gà còn lại bằng 4/3 số ngan còn lại. Hỏi ban đầu nhà bạn Mai nuôi bao
nhiêu con gà, bao nhiêu con ngan?
Giải: Ta có sơ đồ: 4phần 10 con
Số gà ban đầu:
3 phần

20 con

Số ngan ban đầu:
28phần

70 con

7 lần số gà ban đầu:
18 phần

120 con

6 lần số ngan ban đầu:
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu
mẫu miễn phí


Hiệu số phần bằng nhau là: 28 – 18 = 10 (phần)
Giá trị của một phần là: (120 – 70) : 10 = 5 (con)
Ban đầu nhà Mai nuôi số con gà là: 5 x 4 + 10 = 30 (con)
Ban đầu nhà mai nuôi số con ngan là: 5 x 3 + 20 = 35 (con)
ĐS: Gà: 30 con
Ngan: 35 con
Bài 5: Trong rổ có số cam bằng 4/5 số chanh. Nếu cho thêm vào rổ 8 quả cam và nhặt bỏ ra
khỏi rổ 3 quả chanh thì số cam sẽ bằng 5/3 số chanh. Hỏi lúc đầu trong rổ có bao nhiêu quả
mỗi loại?
Giải:
Ta có sơ đồ:
5 phần
8qủa

Số cam lúc đầu:
3 phần 3qủa

Số chanh lúc đầu:
25 phần

40 quả

5 lần số cam lúc đầu:
12 phần

12 quả

4 lần số chanh lúc đầu:
Hiệu số phần bằng nhau là: 25 - 12 = 13 (phần)
Giá trị mỗi phần là: (40 + 12) : 13 = 4 (quả)
Lúc đầu trong rổ có số cam là: 4 x 5 – 8 = 12 (quả)
Lúc đầu trong rổ có số chanh là: 4 x 3 + 3 = 15 (quả)
ĐS: cam: 12 quả; chanh: 15 quả
BÀI LUYỆN TẬP
1. Một đàn vịt có một số con ở trên bờ và số còn lại đang bơi dưới ao. Biết số vịt trên bờ
bằng 1/3 số vịt đang bơi dưới ao. Khi có 2 con vịt từ dưới ao lên trên bờ thì số vịt trên bờ
bằng 1/2 số vịt dưới ao. Hỏi đàn vịt có bao nhiêu con và ban đầu trên bờ có bao nhiêu con?
2. Đội tuyển bóng đá mi ni của huyện BG tham dự hội khỏe Phù Đổng cấp tỉnh gồm các
bạn học sinh lớp 4 và lớp 5. Dự định số bạn tham gia đội tuyển bóng đá đang học lớp 4
chiếm 1/5 của cả đội. Nhưng do một bạn đang học lớp 4 không tham gia được nên thay bởi
một bạn đang học lớp 5, khi đó số bạn đang học lớp 4 tham gia chỉ bằng 1/10 số thành viên
của cả đội. Tính tổng số thành viên của cả đơi bóng đá mi ni của huyện.
3. Cuối học kì I lớp 5A có số học sinh giỏi bằng 3/7 số học sinh còn lại của lớp. Cuối năm
học, lớp 5A có thêm 4 học sinh giỏi nên số học sinh giỏi bằng 2/3 số học sinh còn lại của

lớp. Hỏi lớp 5A có bao nhiêu học sinh?
4. Đầu năm học, số đội viên trường em bằng 1/3 số học sinh cịn lại của trường. Đến cuối
học kì I trường kết nạp thêm 210 học sinh vào đội nên số học sinh còn lại của trường bằng
2/3 số đội viên của trường. Hỏi đến cuối học kì I, số đội viên của trường là bao nhiêu em?
Biết số học sinh của trường không thay đổi.
5. Một người bán một tấm vải được lãi 1/5 giá mua. Nếu người đó bán tấm vải cao hơn
40000 đồng nữa thì số tiền lãi bằng 1/5 giá bán. Hỏi tấm vải đó được bán với giá bao nhiêu
tiền?
6. Hiện nay, tuổi con bằng 1/4 tuổi cha. Sau 15 năm nữa thì tuổi con bằng 2/5 tuổi cha. Tính
tuổi của mỗi người hiện nay?
7. Hiện nay tuổi mẹ gấp 4 lần tuổi con. Năm năm sau tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi con. Tính tuổi
hiện nay của mỗi người?
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu
mẫu miễn phí


8. Hiện nay, tuổi bố gấp 7 lần tuổi con. Sau 10 năm nữa, tuổi bố gấp 3 lần tuổi con. Tính
tuổi mỗi người hiện nay.
9. Hiện nay, tuổi cha gấp 4 lần tuổi con. Sau 20 năm nữa, tuổi cha gấp đơi tuổi con. Tính
tuổi hiện nay của mỗi người.
10. Tuổi cô năm nay gấp 7,5 lần tuổi Hoa. 16 năm sau tuổi cô gấp 2,3 lần tuổi Hoa. Tính
tuổi của mỗi người khi tuổi cơ gấp 3 lần tuổi Hoa.

Tham khảo các dạng Toán lớp 4, 5:
/> />
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu
mẫu miễn phí