Chuyên đề nghiệm nguyên pdf

CHUYÊN ĐỀ NGHIỆM NGUYÊN
1. SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ NGHIỆM NGUYÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH.
 Định lí 1: Phương trình
2
0ax bx c+ + =
với các hệ số nguyên và
0c
≠
nếu có
nghiệm nguyên x
0
thì c chia hết cho x
0
.
 Định lí 2: Phương trình
2
0x bx c+ + =
với các hệ số nguyên có nghiệm nguyên
khi và chỉ khi
2
4b c∆ = −
là bình phương của một số nguyên.
 Định lí 3: Phương trình hệ số nguyên
2 2
0x by cxy dx ey f+ + + + + =
có nghiệm
nguyên khi và chỉ khi
( )
( )
2

2
4cy d by ey f∆ = + − + +
là bình phương của một số
nguyên.
Một số ví dụ:
1). Tìm mọi số nguyên x sao cho x
2
+ 28 là số chính phương.
Giải:
Từ phương trình x
2
+ 28 = y
2
(1) thì x và y phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ.
Đặt y = x + 2v với v > 0. Thay vào (1) ta được:
2
7 0v xv− − =
(2).
Phương trình (2) có nghiệm nguyên v thì v là ước của -7. Suy ra v = 1 và v = 7.
Thay vào (2) ta được
6x
= ±
. Thử lại nhận
6x
= ±
.
2). Giải phương trình nghiệm nguyên
2 2
3 4 2 4 9 0x y xy x y
+ + + + − =

.
Giải:

2 2
3 4 2 4 9 0x y xy x y
+ + + + − =

( )
( )
2 2
2 2 1 3 4 9 0x y x y y
⇔ + + + + − =
(1)
Phương trình đã cho có nghiệm nguyên khi và chỉ khi (1) có nghiệm nguyên

( )
( )
2
2 2
= 2 1 3 4 9y y y v
⇔ ∆ + − + − =
(2)

2 2
10v y
⇔ = +
(3)
Đặt v = y +2t, thay vào (3) ta được:
2
2( ) 5t t

⇔ + =
. Hai vế phương trình
này khác tính chẵn lẻ nên phương trình này vô nghiệm nguyên.
Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên.
3). Giải phương trình nghiệm nguyên
( )
2 2
2 3 1 8 6 6 0x y x y y
− + + + + =
.
Giải:
Phương trình đã cho có nghiệm nguyên khi và chỉ khi pt sau có nghiệm
nguyên:
( )
2
2 2
2 2
3 1 8 6 6
5 (1).
y y y v
y v
+ − − − =
⇔ − =
Đặt v = y – t thay vào (1) ta được:
2
2 5 0.t yt− + =
(2).
1
Pt(2) có nghiệm nguyên t thì t là ước của 5. Thử khi
1; 5t t= ± = ±

có nghiệm y
bằng 3 và -3.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm (12; 3), (8; 3), (-6; -3), (-10; -3).
2). Giải phương trình nghiệm nguyên
2 2
3 4 4 2 5 0x y xy x y
+ + + + + =
.
Giải:
Phương trình đã cho có nghiệm nguyên khi và chỉ khi pt sau có nghiệm
nguyên:
( )
( )
2
2 2
2 2
2 1 3 4 5
4 (1).
x x x v
x v
+ − + + =
⇔ − =
Đặt v = x +2t, thay vào (1):
2
1 0.t xt+ + =
(2)
Pt(2) có nghiệm nguyên t thì t là ước của 1. Thử khi
1t
= ±
có nghiệm x bằng

2 và -2.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm (2; -5), (-2; 3).
Bài tập:
1) Chứng minh rằng phương trình x
2
– y
2
= 6 không có nghiệm nguyên.
2) Giải phương trình các nghiệm nguyên:
a)
2 2
3 4 2 4 24 0x y xy x y
+ + − − − =
b)
2 2
8 6 4 12 17 0x y xy x y
+ + + + − =
2. HẠN CHẾ TẬP HỢP CHỨA NGHIỆM DỰA VÀO TÍNH CHIA HẾT.
 Một số ví dụ:
1) Tìm nghiệm nguyên dương của pt sau: xy - 2x - 3y + 1 = 0.
Giải:
xy - 2x - 3y + 1 = 0
⇔
y(x – 3) = 2x – 1.
Ta thấy x = 3 không là nghiệm. với x kháv 3 ta được:
2 1 5
2
3 3
x
y

x x
−
= = +
− −
Để y nguyên thì x – 3 phải là ước của 5.
Suy ra nghiệm cần tìm: (4; 7) và (8; 3).
2) Tìm nghiệm nguyên dương của pt sau: x
2

+ y
2
= 1999.
Giải:
x
2

+ y
2
= 1999
⇔
(x +y)(x – y) = 1999. Do 1999 là số nguyên tố :
1
1999
1000
999
1
1999
x y
x y
x

y
x y
x y
 + =



− =
=



⇒ ⇔


=
+ = −




− = −



(do x, y nguyên dương)
Bài tập:
1) Tìm nghiệm nguyên dương của các pt sau:
a) xy + 3x – 2y - 10 = 0
b) x

2
- xy – y – 6 = 0
c) x
2
– xy – 2x –y – 2 = 0
d) x
2
= y
2
+ 17
BẤT ĐẲNG THỨC
2
A. Lý Thuyết:
1. TÍNH CHẤT
Tính chất 1.



>
>
cb
ba

⇒
a > c
Tính chất 2. a > b
⇔
a + c > b + c.
Hệ quả : a > b + c
⇔

a - c > b (chuyển vế và đổi dấu)
Tính chất 3.



>
>
dc
ba

⇒
a + c > b + d .
*Chú ý: Không có quy tắc trừ hai vế của hai bất đẳng thức cùng chiều.
Tính chất 4.
a > b
⇔



><
>>
0,
0,
cbcac
cbcac
.
Tính chất 5.




>>
>>
0
0
dc
ba
⇒
ac > bd.
*Chú ý: Không có quy tắc chia hai vế bất đẳng thức cùng chiều.
Tính chất 6. a > b
≥
0
⇒
a
n
> b
n
,
∀
n
∈
N
*
Hệ quả : * Nếu a > 0 và b > 0 thì a > b
⇔
a
2
> b
2
.

* Nếu a
≥
0 và b
≥
0 thì a
≥
b
⇔
a
2

≥
b
2
.
3. BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI (Cauchy):
* Cho hai số không âm a và b, ta có:

Dấu “ = “ xãy ra khi và chỉ khi: a = b
* Cho n số không âm a
1
, a
2
, …a
n
, ta có:

Dấu “ = “ xãy ra khi và chỉ khi: a
1
= a

2
= …= a
n
.
4. BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIAKÔPXKI (Cauchy - Schwartz):
Dấu đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi ad = bc
B. Bài Tập:
1. Dùng tính chất chứng minh bất đẳng thức:
3
2a b ab+ ≥
1 2 1 2

n
n n
a a a n a a a+ + + ≥
( )
( ) ( )
2
2 2 2 2
ab cd a c b d+ ≤ + +
Bài 1: Cho a > b > 0. Chứng minh:
2 2
2 2
3
3
a a b
b b a
+
≥
+

Bài 2: Chứng minh:
a)
( )
4 4 3 3
, a,b > 0a b a b ab+ ≥ +
b)
( ) ( )
( )
2
2 2
1 1 1a b ab+ + ≥ +
c)
1 2
a b c d
a b c b c d c d a d a b
< + + + <
+ + + + + + + +
(a, b, c > 0 ).
Bài 3: Cho
a c
b d
<
với b, d dương. Chứng minh:
a a c c
b b d d
+
< <
+
Bài 4: Ch a, b, c là ba cạnh của tam giác. Chứng minh:
( )

2 2 2
2a b c ab bc ca+ + < + +
2. Dùng BĐT Côsi chứng minh:
Cho a, b, c không âm. Chứng minh:
a)
( ) ( )
1 4a b ab ab+ + ≥
b)
ab bc ca a b c+ + ≤ + +
c)
3 5 3 2 4ab bc ca a b c+ + ≤ + +
d)
( ) ( ) ( )
1 2 3 3 2 48a b a b ab+ + + ≥
e)
( )
2 2
1 1
2x y x y
x y
+ + + ≥ +
, với mọi x, y dương. h)
1 1 1 9
a b c a b c
+ + ≥
+ +
3. Dùng BĐT Côsi tìm GTLN - GTNN:
A. Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a)
8

, ( x>0)
2
x
y
x
= +
b)
2
, (x>1)
2 1
x
y
x
= +
−
c)
4
3 , x>-1
1
y x
x
= +
+
d)
2
1
2 , ( x>0)y x
x
= +
e)

3
2
3
, (x>0)y x
x
= +
f)
2
9 9 1
, (x>1)
1
x x
y
x
− +
=
−
B. Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số sau:
a)
( )
3 3
8y x x= −
, với
0 2x≤ ≤
b)
( ) ( )
2 3y x x= − −
, với
2 3x≤ ≤
4. Dùng BĐT Bunhiakôpxki chứng minh:

a) Nếu
3 2x y+ =
thì
2 2
2
5
x y+ ≥
b) Nếu
2 3 7x y+ =
thì
2 2
49
2 3
5
x y+ ≥
4. Dùng BĐT Bunhiakôpxki tìm GTLN - GTNN:
a) Cho hai số x, y thỏa mãn:
2 2
1x y+ =
.
Tìm GTLN – GTNN của
P x y= +
b) Cho hai số x, y thỏa mãn:
2 2
4 25x y+ =
.
Tìm GTLN – GTNN của
2P x y= +
c) Cho x, y thỏa mãn:
2 3x y+ =

. Tìm GTNN của
2 2
2E x y= +
4