Tài liệu CHUYÊN ĐỀ : phương trình pdf

CHUYÊN ĐỀ : PHƢƠNG TRÌNH
A.Phƣơng trình vô tỉ:

I.CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ.
1.Phƣơng pháp đặt ẩn phụ:
Ví dụ : Giải phƣơng trình
111525215
22
 xxxx

Giải: ĐK:
011152
2
 xx

Đặt
txx  11152
2
ta có
06
2
tt

Tìm t sau đó suy ra x ( chú ý đối chiếu với điều kiện nghiệm đúng )
2.Phƣơng pháp đƣa về hệ phƣơng trình:
Thƣờng đƣợc dùng để giải pgƣơng trình vô tỉ có dạng
kdcxbax 

Ví dụ: Giải phƣơng trình:

4123  xx

Đặt
3 xa
;
12  xb
Khi đó ta có hệ:





52
4
22
ba
ba

Giải và tìm a, b rồi suy ra x
3.Phƣơng pháp bất đẳng thức:
Ví dụ : Giải phƣơng trình:
y
yy
6
2
3
14
3
.4
2



Giải: Theo bất đẳng thức Cô si ta có :
2
6
6
y
y



Do đó:
60
3
)6(
424
3
.4
22


 y
y
y
y

4.Phƣơng pháp lƣợng giác:
Giải: ĐK :
1x
Đặt

ax cos
và biến đổi đơn giản ta có:

 
0
2
sin1.1cos2 







a
a
suy ra a và từ đó suy ra x
5.Phƣơng pháp nhân liên hợp:
Ví dụ: Giải phƣơng trình:
4
3
2
1
116  xx

Giải: Phƣơng trình tƣơng đƣơng với:
2
1
2
1

1
2
1
.1
2
1
.
4
1
2
.
2
1
.161
2
1
8
1
.16
4
2
4
3









































 xxxx
x
xxxx

II.MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ:
Bài 1:Giải phƣơng trình:
     
6336
12.1.12.1121.1  xxxxxx

Giải: ĐK:
2
1
x
Đặt
xa 

12  xb

Phƣơng trình đã cho trở thành:
  




112
333333
1.11.1

3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2



















xxxbaVTVP
VPbaab
baabba
VT
baabba
baabba

Vậy phƣơng trình có nghiệm duy nhất
1x

Bài 2:Giải phƣơng trình:
 
 
121.12.
4
 xxxxx

Giải: ĐK:
0
2
1
 x

Đặt
ax 
4

bx 
4
21

Phƣơng trình trở thành:
 
1
224
 baaba

 
44
22
4
2
2
ba
ba
aVT 


(do
 
44
2222
2
;
2
ba
baba
ab 



) )
Hay
 
mtxxxVPVT /
3
1
21 

Vậy phƣơng trình có nghiêm duy nhất
3
1
x

Bài 3:Giải phƣơng trình:
  
 
12.9212.122  xxxxxx

Giải:
Cách 1:
Đặt
bxxa  12;
với
0, ba

Phƣơng trình đã cho trở thành:
  
ababba 92.2 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
  

abbbabaa 9. 

Đẳng thức xảy ra khi:
112  xxxba

Vậy
1x
là nghiệm của phƣơng trình.
Cách 2:
ĐK:
2
1
x

     
 
VPxxxx
xxxxxxxxxxVT


3
3
12...12.9
12.1212122.122

Mà
 
mtxxxVPVT \112 

Vậy phƣơng trình có nghiệm duy nhất:

1x

Cách 3:
 
*
3
2
.
3
2
.
3
2























mppnnm
mnp
(Chứng minh bằng bất đẳng thức Cô-si)
Áp dụng bất đẳng thức
 
*
ta có:
VPVT
xxxx
xxxx 




















3
122
.
3
212
12..

Bài 4: Giải phƣơng trình:
3232
44
 xx

Giải:ĐK:
0
2
3
 x

444
23 xxxVT 

   
 
3
323.111.111.111
44444444444



VT
xxxVT

mà
13  xVT

Vậy phƣơng trình có nghiệm duy nhất:
1x

Bài 5:Giải phƣơng trình:
13626
2
 xxxx

Giải:ĐK:
62  x

Áp dung bất đẳng thức Bu-nha-a-cốp-xky ta có:
 
   
426.1126
22
 xxxx

mà
 
443136
2

2
 xxx

Vậy phƣơng trình có nghiệm khi và chỉ khi hệ sau có
nghiệm:
 

















3
6
1
2
1
443
426

2
x
xx
x
xx

Hệ phƣơng trình trên vô nghiệm nên phƣơng trình vô nghiệm.
Bài 6:Giải phƣơng trình:
513413  xxx

ĐK:
3
1
x

 
 
43213
43213
2


xxx
xxxPT

Đặt
1332  xy
ĐK
2
3

y

Khi đó ta có hệ
 
 
 
 















1332
1232
1332
43232
2
2
2
2

xy
yxx
xy
xxy

          
  







xy
yx
yxyx
yxyxyxyxyx
252
0522.
.23.423232
22

*Với
yx 
thay vào
 
1
ta có:
08154

2
 xx

Kết hợp với ĐK
8
9715 
 x

*Với
xy 252 
Thay vào
 
1
ta đƣợc:
03114
2
 xx

Kết hợp với ĐK
8
7311
 x

Bài 7:Giải phƣơng trình:
7340452
22
 xxxx

Giải:
Phƣơng trình đã cho tƣơng đƣơng với:

   
7336241
22
 xx

Gọi
     
6;2;2;1;0; BAxM 

 
 
73
362
41
7383
2
2
22




ABMBMA
xMB
xMA
AB

Đẳng thức xảy ra
 
 





























0
4

1
3
1
0
62
21
0
k
x
TMk
k
k
xkx
k
BkMAM



Vậy
4
1
x
là nghiệm của phƣơng trình.
Bài 8:Giải phƣơng trình:
  
 
3
33
3
161212121234 xxxxxx 

Giải: Áp dụng hằng đẳng thức quen thuộc:
   
baabbaba  3
33
3

Từ đó ta đƣợc phƣơng trình ban đầu tƣơng đƣơng:
 
333
3
3
33
161212161212 xxxxxx 

Thế vào phƣơng trình ban đầu ta dễ dàng giải đƣợc
2
1
;0  xx

Bài 9: Giải phƣơng trình:
   
2
22.1. xxxxx 

Tập xác định:
2x
hoặc
0x
hoặc

1x

*Với
0x
phƣơng trình có nghiệm đúng.
*Với
1x

 
1 x
8
9
221  TMxxxxPT

*Với
2x

 
-2 x
8
9
221  KTMxxxxPT