Chương 4: Chéo hoá ma trận potx

3
BÀI GIẢNG TÓM TẮT
MÔN TOÁN C2
(GV: Trần Ngọc Hội - 2009)
CHƯƠNG 4
CHÉO HÓA MA TRẬN
§1. TRỊ RIÊNG, VECTƠ RIÊNG CỦA MA TRẬN
4.1. Đònh nghóa:
Cho ma trận A ∈ M
n
(R) và véctơ u = (x
1
, x
2
, , x
n
) ∈ R
n
, ta đònh nghóa:
11 12 1n
21 22 2n
1 2 n
n1 n2 nn
11 1 12 2 1n n 21 1 22 2 2n n n1 1 n2 2 nn n
a a a
a a a
Au (x , x , , x )

a
a a
(a x a x a x ,a x a x a x , , a x a x a x )

⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
=
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= + + + + + + + + +
Ta nói số thực λ là một trò riêng của ma trận A nếu tồn tại vectơ
u = (x
1
, x
2
, , x
n
) ∈ R
n
\{0} sao cho: Au = λu.
Khi đó vectơ u được gọi là vectơ riêng của A ứng với trò riêng λ.
1.2. Ví dụ:
1) Cho
3 0
A
0 1
⎛ ⎞
=
⎜ ⎟
⎝ ⎠
, ta có:
3 0

A
(1, 0) (1, 0) (3,0) 3(1,0)
0 1
⎛ ⎞
= = =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
Do đó λ = 3 là một trò riêng của A và u = (1,0) là một vectơ riêng ứng với trò
riêng λ = 3.
2) Ma trận không 0 ∈ M
n
(R) chỉ có trò riêng λ = 0 và mọi u ∈ R
n
\{0} đều là
vectơ riêng của 0.
3) Ma trận đơn vò I ∈ M
n
(R) chỉ có trò riêng λ = 1 và mọi vectơ u ∈ R
n
\{0}
đều là vectơ riêng của I.
1.3. Nhận xét:
1) Vectơ riêng phải là vectơ khác 0.
4
2) Nếu u là vectơ riêng của A thì trò riêng tương ứng với nó là duy nhất.
3) Nếu u và v là các vectơ riêng ứng với trò riêng λ thì αu + v cũng là vectơ
riêng ứng với trò riêng λ (α ∈ R).
1.4. Không gian riêng:
Cho ma trận A ∈ M

n
(R) và λ ∈ R là một trò riêng của A. Đặt:
V(λ) =
n
1 2 n
{u (x ,x , , x ) F A u u}= ∈ = λ
,
nghóa là V(λ) gồm vectơ 0 và tất cả các vectơ riêng của A ứng với trò riêng λ. Khi
đó, theo Nhận xét 1.3, V(λ) là một không gian con của R
n
. Ta gọi V(λ) là không
gian riêng của A ứng với trò riêng λ.
1.5. Đònh nghóa:
Cho ma trận A ∈ M
n
(R). Đa thức bậc n theo λ đònh bởi:
11 12 1n
22 22 2n
A
nn nn nn
a a a
a a a
( ) det(A I)

aa a
−λ
−λ
ϕ λ = − λ =
−λ

được gọi là đa thức đặc trưng của ma trận A.
1.6. Đònh lý:
Số thực λ là trò riêng của A ∈ M
n
(R) khi và chỉ khi λ là nghiệm của đa thức
đặc trưng ϕ
A
(λ).
Nhận xét: Không gian riêng V(λ) của ma trận A ứng với trò riêng λ chính
là không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (1).
Từ đònh lý trên ta suy ra thuật toán sau:
1.7. Thuật toán tìm trò riêng, vectơ riêng và không gian riêng của
ma trận:
1) Lập đa thức đặc trưng ϕ
A
(λ) = |A – λI|.
2) Giải phương trình ϕ
A
(λ) = 0 để tìm các trò riêng của ma trận A.
3) Ứng với mỗi trò riêng λ, không gian riêng V(λ) là không gian nghiệm
của phương trình Au = λu, nghóa là của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
(1).
Ví dụ: Cho ma trận thực A =
3 3 2
1 1 2
3 1 0
⎛ ⎞
⎜ ⎟
−
⎜ ⎟

⎜ ⎟
− −
⎝ ⎠
.Tìm trò riêng và vectơ riêng của
A. Xác đònh cơ sở, số chiều của các không gian riêng tương ứng.
Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
Vuihoc24h.vn

5
Giải.
- Đa thức đặc trưng:
2
A
() (4 )( 4)ϕλ= −λλ+
- Trò riêng: Ma trận A chỉ có một trò riêng λ
1
= 4.
- Không gian riêng V(λ
1
) ứng với trò riêng λ
1
= 4 là không gian nghiệm của
hệ:
123
1123
12 3
x3x2x 0
Au u x 3x 2x 0 (1)
3x x 4x 0
−+ + =

⎧
⎪
=λ ⇔ − − =
⎨
⎪
−−− =
⎩

Giải hệ (1), ta tìm được nghiệm tổng quát (x
1
, x
2
, x
3
) =(-α, -α, α) với α ∈ R tùy
ý. Vậy: V(λ
1
)= = < (-1, -1, 1) >. Suy ra V(λ
1
) có dim V(λ
1
) = 1 với cơ sở
{(-1, -1, 1)}.

§2. CHÉO HÓA MA TRẬN
2.1. Đònh nghóa:
Ma trận A ∈ M
n
(R) gọi là chéo hóa được nếu tồn tại ma trận khả nghòch
P ∈ M

n
(R) sao cho P
-1
AP = D với D là một ma trận chéo. Khi đó ta nói ma trận
P làm chéo hóa A và D là dạng chéo của A.

2.2. Đònh lý:
Ma trận A ∈ M
n
(R) chéo hóa được khi và chỉ khi hai tính chất sau được
thỏa:
1) Đa thức đặc trưng ϕ
A
(λ) được phân tích thành tích các đa thức bậc 1:
12 k
rr r
n
A12k
( ) = (-1) ( - ) ( - ) ( - )ϕλ λλ λλ λλ
.
2) Với mỗi trò riêng λ
i
(1 ≤ i ≤ k), không gian riêng
i
V
()λ có dim
i
V
()λ = r
i

(= số bội của λ
i
trong ϕ
A
(λ)).
Hơn nữa, khi đó gọi B
i
là cơ sở của V(λ
i
) (1 ≤ i ≤ k) và đặt P là ma trận có
được bằng cách lần lượt dựng các vectơ trong B
1
, B
2
, , B
k
thành các cột, ta có P
làm chéo hóa A và:

6

1.3. Hệ quả:
Nếu A là ma trận vuông cấp n và có n trò riêng phân biệt thì A chéo hóa
được.
1.4. Thuật toán chéo hóa ma trận:
Cho A ∈ M
n
(R). Thuật toán khảo sát tính chéo hóa được của A và xác đònh
ma trận P làm chéo hóa A cũng như dạng chéo của A (trường hợp A chéo hóa

được) gồm các bước sau:
Bước 1: Tìm đa thức đặc trưng ϕ
A
(λ).
• Nếu ϕ
A
(λ) không thể phân tích được thành tích các đa thức bậc 1 thì A
không chéo hóa được và thuật toán kết thúc.
• Trường hợp ngược lại, phân tích ϕ
A
(λ) thành tích các đa thức bậc 1:
12 k
rr r
n
A12k
( ) = (-1) ( - ) ( - ) ( - )ϕλ λλ λλ λλ
và chuyển sang Bước 2.
Bước 2: Tìm các trò riêng λ
i
cùng với các số bội r
i
tương ứng (1 ≤ i ≤ k).
Bước 3: Với mỗi 1 ≤ i ≤ k, tìm cơ sở B
i
và số chiều dimV(λ
i
) của các không
gian riêng V(λ
i
):

• Nếu tồn tại 1 ≤ i ≤ k sao cho dimV(λ
i
) < r
i
thì A không chéo hóa được
và thuật toán kết thúc.
• Trường hợp ngược lại, ta có dimV(λ
i
) = r
i
với mọi 1 ≤ i ≤ k và A chéo
hóa được, sau đó chuyển sang Bước 4.
Bước 4: Đặt P là ma trận có được bằng cách lần lượt dựng các vectơ trong
B
1
, B
2
, , B
k
thành các cột, ta có P làm chéo hóa A và P
-1
AP có dạng chéo như
trong Đònh lý 5.2.

Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
Vuihoc24h.vn

7
Nhận xét: Do mỗi không gian riêng đều có số chiều dương nên nếu λ
i

là
nghiệm đơn của đa thức đặc trưng thì luôn luôn có dimV(λ
i
) = 1(= r
i
). Do đó, nếu
chỉ cần biết A có chéo hóa được hay không (mà không cần tìm ma trận P làm
chéo hóa A cũng như dạng chéo của A) thì ở Bước 3 ta chỉ cần so sánh các số
chiều dimV(λ
i
) với các số bội r
i
ứng với các trò riêng λ
i
có số bội r
i
> 1.

Ví dụ 1: Các ma trận sau đây có chéo hóa được không?
a)
34 2
A
24 2
211
−−
⎛⎞
⎜⎟
=− −
⎜⎟
⎜⎟

−
⎝⎠
b)
300
A020
012
⎛⎞
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

c)
20 2
A
03 0
00 3
−
⎛⎞
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
d)
332
A112
310
⎛⎞

⎜⎟
=−
⎜⎟
⎜⎟
−−
⎝⎠

Giải:
a) ϕ
A
(λ) = |A – λI| = - (λ
2
– 1)(λ - 2).
Đa thức đặc trưng có 3 nghiệm phân biệt, tức ma trận A có 3 trò riêng
phân biệt. Vì A là ma trận vuông cấp 3 và có 3 trò riêng phân biệt nên A chéo
hóa được.
b) ϕ
A
(λ) = |A – λI| = -(λ-3)(λ-2)
2
.

A có 2 trò riêng λ
1
= 3 (bội 1), λ
2
= 2 (bội 2).
Để khảo sát tính chéo hóa của A ta chỉ cần xét dimV(λ
2
) ứng với trò riêng

λ
2
= 2 (bội 2) (không cần xét dimV(λ
1
) vì trò riêng λ
1
= 3 là nghiệm bội 1). Qua
tính toán ta thấy dimV(λ
2
) = 1 < 2 (= số bội của λ
2
). Do đó A không chéo hóa
được.

c) ϕ
A
(λ) = |A – λI| = -(λ-2)(λ-3)
2

A có 2 trò riêng λ
1
= 2 (bội 1), λ
2
= 3 (bội 2).
Để khảo sát tính chéo hóa của A ta chỉ cần xét dimV(λ
2
) ứng với trò riêng
λ
2
= 3 (bội 2). Qua tính toán ta thấy dimV(λ

2
) = 2 (= số bội của λ
2
). Do đó A chéo
hóa được.

d) ϕ
A
(λ) = |A – λI| = -(λ-4)(λ
2
+ 4).
Do đó A không chéo hóa được.


8
Ví dụ 2: Chéo hóa ma trận thực A sau đây:
320
A230
005
−
⎛⎞
⎜⎟
=−
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

Tính A
n
với n là số tự nhiên.

Giải tóm tắt
- Đa thức đặc trưng:
ϕ
A
(λ) = |A – λI| = - (λ – 5)
2
(λ-1).
- Trò riêng:
ϕ(λ) = 0 ⇔ λ = 5 (bội 2), λ = 1 (bội 1).
Vậy A có 2 trò riêng λ
1
= 5(bội 2), λ
2
= 1(bội 1).
- Không gian riêng:
- Không gian riêng V(λ
1
) ứng với trò riêng λ
1
= 5 có dim V(λ
1
) = 2 (= số
bội của λ
1
) với cơ sở B
1
= {(-1, 1,0); (0, 0,1)}.
- Không gian riêng V(λ
2
) ứng với trò riêng λ

2
= 1 có dim V(λ
2
) = 1 với cơ
sở B
2
= {(1, 1, 0)}.
Vì các không gian riêng của A đều có số chiều bằng số bội của các trò riêng
tương ứng nên A chéo hóa được.
Lập ma trận
101
P101
010
−
⎛⎞
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
.
Khi đó ta có:
1
500
PAP 050
001
−
⎛⎞
⎜⎟
=

⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
(3)
Để tìm A
n
, ta lũy thừa n hai vế của (3) từ đó:
n
nn1
500
A
P0 5 0P
001
−
⎛⎞
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠


Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
Vuihoc24h.vn

9
Suy ra:
nn
n
nn

nn1
n
15 15
0
22
500
15 15
A
P0 5 0P 0
22
001
005
−
⎛⎞
+−
⎜⎟
⎜⎟
⎛⎞
⎜⎟
−+
⎜⎟
==
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

.





Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
Vuihoc24h.vn