ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012-2013 MÔN TOÁN ĐỀ 3 docx

Nguoithay.vn
- 1 -

MT S PHNG PHÁP GII H PHNG TRÌNH
KHÔNG MU MC



H phng trình là mt dng toán khá ph bin trong các đ thi tuyn sinh H,
C và đ thi HSG các cp. i vi nhiu hc sinh, bài toán gii h phng trình đc
coi là bài toán khó, thm chí là câu khó nht trong cu trúc đ thi H, C.
Qua quá trình ging dy hc sinh ôn thi H, C và bi dng hc sinh gii phi trc
tip hng dn hc sinh gii các h phng trình này, tôi thy cn phi rèn cho hc sinh
thành tho các k nng gii h phng trình thông thng và chú ý ti mt s k nng
thng áp dng khi gii “h không mu mc”. Trong bài vit này tôi xin gi nh vy
đi vi các h phng trình mà thut gii không đc trình bày trong sách giáo khoa.
Bài vit đc chia làm ba mc: M đu là tóm tt các h phng trình thng gp,
đã đc gii thiu khá chi tit trong sách giác khoa. Mc th hai là mt s k nng gii
h phng trình không mu mc. Các bài toán đa ra phn ln là tôi su tm t nhiu
ngun tài liu khác nhau, mt s ít do tôi ra trong các kì thi KS, thi HSG,…Li gii các
bài toán này tôi ch chú ý đn cách đa h không mu mc v dng quen thuc mà
không quan tâm đn kt qu cui cùng. Cui cùng là h thng các bài tp đ bn đc
tham kho.
Chuyên đ dùng ging dy ôn thi H, C và ôn thi HSG cho hc sinh khi 12.
Thi gian ging dy chuyên đ này cho hc sinh khi 12 khi ôn thi H, C là 2 bui.
Mc dù rt tâm huyt vi chuyên đ, nhng do thi gian và kh nng có hn nên bài
vit khó tránh khi nhng thiu sót. Ti rt mong nhn đc s góp ý ca quí thy cô,
bn bè đng nghip và các em hc sinh đ chuyên đ đc hoàn thin hn và tr thành
tài liu có ích trong ging dy và hc tp.

I. MT S H PHNG TRÌNH THNG GP
Mt s h phng trình đc hc trong chng trình ph thông có phng pháp gii rõ
ràng, hc sinh ch cn nh thut gii, rèn luyn các k nng bin đi, tính toán là có th
làm đc. Thc cht các h phng trình này ta gp rt nhiu  c THCS và THPT,
không riêng b môn toán mà c môn lí, môn hóa,… Mt ln na ta nhc li các dng h
phng trình nh vy.

1. H hai phng trình bc nht hai n
a) nh ngha: Là h phng trình có dng
' ' '
ax by c
a x b y c





, trong đó x, y là n.
b) Cách gii: Vi h này ta có th gii bng nhiu cách khác nhau nh: Phng pháp
th, phng pháp cng, s dng đ th, s dng máy tính cm tay, tính đnh thc,
đt n ph,…
2. H ba phng trình bc nht ba n
Nguoithay.vn
- 2 -
a) nh ngha: Là h phng trình có dng
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
a x b y c z d
a x b y c z d

a x b y c z d
  


  


  

, trong đó x, y, z là
n.
b) Cách gii: Vi h này ta có th gii bng nhiu cách khác nhau nh: Phng pháp
th, phng pháp cng, s dng máy tính cm tay, tính đnh thc, phng pháp
kh Gauss,…
3. H gm mt phng trình bc nht vƠ mt phng trình khác
a) nh ngha: Là h phng trình có dng
0
( , ) 0
ax by c
f x y
  




, trong đó x, y là n còn
f(x,y) là biu thc hai bin x, y.
b) Cách gii: S dng phng pháp th.
4. H đi xng loi 1
a) nh ngha: Là h mà khi ta đi vai trò ca hai n cho nhau trong mi phng trình,

tng phng trình đó không thay đi.
b) Cách gii: Bin đi tng đng làm xut hin tng và tích ca các nghim ri đt
tng bng S, tích bng P (
2
SP

). Thông thng sau bc này ta đc mt h đn
gin.
5. H đi xng loi 2
a) nh ngha: Là h mà khi ta đi vai trò ca hai n cho nhau trong mi phng trình,
phng trình này bin thành phng trình kia.
b) Cách gii: Tr v cho v làm xut hin nhân t chung x-y ri đa h đã cho v hai
h mi đn gin hn.
6. H đng cp
a) nh ngha: Là h có dng
12
12
( ; ) ( ; )
( ; ) ( ; )
f x y f x y
g x y g x y





,  đó
( ; )& ( ; )
ii
f x y g x y

là các đa
thc đng cp hai bin và cùng bc.
b) Cách gii: Xét riêng x=0. Nu x khác 0 thì ta đt y=kx ri nhn xét và chia v cho
v ta đc phng trình mt n k. Tìm đc k ta tìm đc x và y.


II. MT S PHNG PHÁP GII H PHNG TRÌNH KHÔNG MU MC
1. Phng pháp bin đi tng đng
Mt s k nng thng áp dng nh phân tích thành tích, bình phng hoc lp
phng hai v, thêm bt làm xut hin nhân t chung,…
Bài 1. Gii h phng trình:
22
2 2 2 (1)
1 2. (2)
x xy y y x
y x y x

   


   



Gii: K:
1 0.xy  
Ta bin đi phng trình (1) làm xut hin nhân t chung
2 2 2
(3)
(1) 2 2 0 ( )( 2 2) 0

2 2 (4)
xy
x y xy y y x x y x y
xy


            




Nguoithay.vn
- 3 -
T (3) & (2) ta có x=y=1. T (4) & (2) ta có
0; 2
22
18
;.
3 3 2
33
yx
xy
yx
y y y










  





Kt lun : H có 3 nghim.
Bài 2. (Báo TH&TT) Gii h phng trình:
22
2
2
1 (1)
(2)
xy
xy
xy
x y x y

  




  


Gii: K:

0.xy

Ta có
2 2 2
22
21
(1) 2 2 1 ( ) 1 2 . 0
1 (3)
2
( 1) 1 0
0 (4)
xy x y
x xy y xy x y xy
x y x y
xy
xy
x y x y
x y x y
xy
xy

          





       
  










-T (3) và (2) ta có
2
0; 1
30
3; 2
yx
yy
yx


  

  

.
-Vì
0xy

nên (4) không tha mãn. Vy h có hai nghim.
Bài 3. ( thi TS c) Gii h phng trình:
3 3 3
22

1 19 (1)
6 (2)
x y x
y xy x




  



Gii: Nu x=0, (1) tr thành 1=0, vô lí. Vy x khác 0. Nhân hai v ca (1) vi 6,
hai v ca (2) vi 19x ta đc:
3 3 3
2 2 3
6 6 114
19 19 114
x y x
xy x y x




  



Cng v vi v ta đc:
3 3 2 2

6 19 19 6 0x y x y xy   
, gii phng trình bc ba
này ta đc
23
; ; 1.
32
xy xy xy
     

-Nu
2
3
xy

thì
3
81
(1) 1 19 2.
27 3
x x y
       

-Nu
3
3 27 1
,(1) 1 19 3
2 8 2
xy x x y
         

-Nu
1,(1) 0,xy x   
vô lí.
Bài 4. (HSG QG 1996) Gii h phng trình:
1
3 (1 ) 2 (1)
1
7 (1 ) 4 2 (2)
x
xy
y
xy












Gii: K
0& 0.xy
D thy x=0 hoc y=0 không thõa mãn h. Vi x>0, y>0
ta có
Nguoithay.vn
- 4 -

12
1 2 2
1
1
3
37
1 1 8
37
1 4 2
1 1 2 2
1
7
37
xy
x
xy
x y x y
xy
y
xy
xy








   











( nhân v vi v)
22
21 (7 24 )( ) 24 38 7 0 6xy y x x y x xy y y x         
(vì x, y dng).
Thay vào phng trình (1) ta đc
1 2 1 1 1 2
. 1 0 7 .
7
3 3 21
x
xx

     



T đó suy ra x và y.
2. Phng pháp đt n ph
Mt s phng trình sau khi nhân hoc chia hai v cho cùng mt biu thc khác
không hoc bng mt s đng tác tách và ghép khéo léo ta làm xut hin các đi

lng mà nh cách đt n ph ta có th đa h phc tp v mt h đn gin, quen
thuc.
Bài 5. Gii h phng trình:
22
22
1 4 (1)
( ) 2 7 2 (2)
x y xy y
y x y x y

   

   


Gii: Nhn thy y=0 không tha mãn h. Vi y khác không, chia c hai v ca (1) và
(2) cho y ta đc:
2
2
2
1
4
1
( ) 2 7
x
xy
y
x
xy
y



  





  


. t
2
1
a x y
x
b
y








ta đc
2 2 2
4 4 4
5, 9

3, 1
2 7 2(4 ) 7 2a-15=0
a b b a b a
ab
ab
a b a a a
     
  
  

  
  
  


     
  

  
.
T đây ta tìm đc x và y.
Bài 6. Gii h phng trình:
22
2 2 2
6 (1)
1 5 (2)
y xy x
x y x









Gii: Nhn thy x=0 không tha mãn h. Chia c hai v ca (1) và (2) cho
2
x
ta đc h
2
2
2
2
2
1
6
6
1
1
5
25
y
yy
y
xx
x
x
y
y

y
x
xx















  





. n đây ta đt
2
1
.6
25
Sy

PS
x
y
SP
P
x















.
Gii h này ta tìm đc S và P, t đó ta tìm đc x và y.
Bài 7. Gii h phng trình:




























49
1
1)(
5
1
1)(
22
22
yx

yx
xy
yx

Gii : Trc ht ta thy h này có dng quen thuc là h đi xng loi 1, tuy nhiên nu
đt n ph theo tng và tích nh cách thông thng ta s gp mt h khó, phc tp và
không có nghim đp. Nhng sau khi đt điu kin và khai trin ra ta đc
Nguoithay.vn
- 5 -
22
22
11
5
11
49
xy
yx
xy
yx

   




   


, và nu đt
1

1
xa
x
yb
y









thì ta đc
22
5
53.
ab
ab







n đây ta có
mt h quen thuc.
Bài 8. (KA - 2008) Gii h phng trình:

2 3 2
42
5
4
5
(1 2 )
4
x y x y xy xy
x y xy x

     




    



Gii: H đã cho tng đng vi
22
22
5
()
4
5
()
4
x y xy x y xy
x y xy


     




   


. t
2
x y a
xy b







ta
đc h mi
2 3 2
2 3 2 2
5 5 5
0 0,
4 4 4 4
5 5 5 5 5 1 3
;
4 4 4 4 4 2 2

a
a ab b b a a a a b
a b a a a a b a a b
   
            
   
  
  

  

  
               

  
   

T đó ta tìm đc x, y.
3. Phng pháp th
Nhiu phng trình sau khi rút mt n (hoc mt biu thc) t phng trình này th
vào phng trình kia ta đc mt phng trình đn gin hoc nh đó mà ta có cách
bin đi v mt h đn gin. Ta thng áp dng cách này vi các h mà ta quan sát
thy mt phng trình nào đó ca h mà mt n ch có nht hoc  c hai phng
trình ca h có cùng mt biu thc chung nào đó.
Bài 9. (HSG QG – 2001) Gii h phng trình:
7 2 5 (1)
2 2 (2)
x y x y
x y x y


   


   



Gii: K:
70
20
xy
xy





, t (2) ta suy ra
22x y y x   
, th vào (1) ta đc
73x y x y   
. Do đó ta có h
22
2 2 2
32
32
1
7 9 6 2 6 2 1
19; 10.
2 4 4 4 2 11 10 0

xy
xy
xy
x y x y x xy y x y
xy
x y y x y x xy y y
   


   



          





         



D thy nghim
1xy
tha mãn h còn nghim kia thì không.
Bài 10. (KS-THPT Chuyên VP) Gii h phng trình
Nguoithay.vn
- 6 -

22
2
3
4( ) 4 7
()
1
23
x y xy
xy
x
xy

   










Gii : K
0.xy

Phng trình th nht tng đng vi
2
2 2 2
2

31
3( ) 6 ( ) 13 3 ( ) 13 (*)
()
x y x y x y x y
xy
xy

           





T phng trình th hai ta suy ra
1
32x
xy


, th vào phng trình (*) ta đc
2 2 2
1
3( 3 2 ) ( ) 13 4( ) 18( ) 14 0
7
xy
x y x x y x y x y
xy


            





T đây và phng trình th hai ca h ta tìm đc các nghim x và y.

Bài 11. (HSG QG – 2004) Gii h phng trình:
32
22
3 49 (1)
8 8 17 (2)
x xy
x xy y y x

  


   



Gii : Vi h này, c hai n và  hai phng trình đu khó có th rút n này theo n
kia. Tuy nhiên, nu rút
2
y
t (2) và th vào (1) thì ta đc mt phng trình mà n y
ch có bc 1:
3 2 3 2 2
3 ( 8 8 17 ) 49 24 ( 1) 2 2 49 49 (3)x x x xy y x xy x x x x            

-Nu x=0 thì (1) vô lí.
-Nu x=-1 thì h tr thành
2
16 4yy   
.
-Nu
1& 0xx  
thì t (3) suy ra
2
2 49 49
24
xx
y
x


. Th tr li phng trình (2)
ta đc
2
2 2 2
2
2 49 49 2 49 49 2 49 49
8 . 17
24 24 3
x x x x x x
x x x
x x x

     
   





2
22
4 2 2
4 3 2 3
32
2 49 49 49
192 (2 49 49) 49.192
3 24 3
196 196 2205 4606 2401 0 196 2205 2401 0
196 196 2205 2205 0 196 196 2401 0
x x x
x x x x
xx
x x x x x x
x x x x

  
        



         
        

Phng trình cui cùng vô nghim, chng t h ch có hai nghim (-1;4) và (-1;-4).
Không phái lúc nào ta cng may mn khi áp dng phng pháp ‘‘ th đn cùng’’ nh

vy, chng hn nh gp phng trình bc 4 mà không nhm đc nghim nh bài
toán sau :
Bài 12. Gii h phng trình :
2
22
2 2 4 0 (1)

2 2 3 0 (2)
b bc c
b c b c

   


    



Nguoithay.vn
- 7 -
Gii : Rõ ràng phng trình đu có bc nht đi vi b và c, điu đó gi ý cho ta rút
mt n t phng trình này và th vào phng trình kia. Tuy nhiên sau khi rút gn ta
đc mt phng trình bc 4 mà nghim l.  đây ta cn mt k nng tách khéo léo
hn :
Ta có
22
(1) 2 ( 1) 4 2 ( 1) 2 1 2 2 5c b b c b b b b           
, rõ ràng b=1
không tha mãn, vi
1b 

suy ra
5
2 1 2
1
cb
b
   

, th vào (2) ta đc

2 2 2 2
2
2 4 2
4 8 4 4 8 16 4( 1) (2 2) 12
5
4( 1) ( 1) 12 3( 1) 22( 1) 25 0
1
b b c c b c
b b b b
b
         

           




Suy ra
5 3 4 3
;

33
3 5 3 4
;.
33
bc
bc












H phng trình này xut hin khi ta gii bài toán hình hc phng: Trong h ta đ
Oxy cho đim A(1 ;2), đng thng

: y=3. Tìm đim B thuc

và đim C thuc Ox
sao cho tam giác ABC đu.
4. Phng pháp s dng tính đn điu ca hƠm s
 vn dng phng pháp này ta cn đn mt tính cht quan trng sau đây: Nu
hàm s f(x) đn điu và liên tc trên khong
( ; )


thì phng trình f(x)=0 có nghim
duy nht trên khong
( ; )

, hn na f(a)=f(b) khi và ch khi a=b.
Bài 13. (HSG K12 ng Nai) Gii h phng trình:
5 4 10 6
2
(1)
4 5 8 6 (2)
x xy y y
xy

  


   



Gii: K:
5
.
4
x
Nu y=0 thì t phng trình (1) ta suy ra x=0, th vào phng
trình (2) ta thy không tha mãn, vy y khác 0. t x=ky ta đc (1) tr thành
5 5 5 10 6 5 5
k y ky y y k k y y      
(3). Xét hàm s

5
()f t t t
trên , ta có
4
'( ) 5 1 0 .f t t t    
Do đó f(t) là hàm s đng bin trên , vy
2
(3) ( ) ( ) .f k f y k y x y     
Th vào (2) ta đc
22
4 5 8 6 5 13 2 4 37 40 36 2 4 37 40 23 5x x x x x x x x              

2 2 2
23 5 0 5 23
1
41
16 148 160 25 230 529 9 378 369 0
xx
x
x
x x x x x x
  




  




       




Suy ra x=1 và do đó
1y 
.
Bài 14. (KS khi 12 chung đt 1 nm hc 2011-2012, THPT Yên Lc)
Gii h phng trình:
22
22
2 5 2 1 (1)
2 5 2 1 (2)
x y y
y x x

   



   


Nguoithay.vn
- 8 -
Gii: K
0, 0xy
. Ta thy đây là mt h đi xng loi 2, nên tr v cho v và
bin đi ta đc:

2 2 2 2
2 5 2 1 2 5 2 1x x x y y y        
(3)
Xét hàm s
22
( ) 2 5 2 1f t t t t    
trên
[1;+ )

, d thy f’(t)>0 trên
(1; )

nên
f(t) đng bin trên
[1;+ )

và do đó (3) tng đng vi x=y. Th vào (1) ta đc
22
2 5 2 1x x x   
. Gii bng MTCT ta đc x=2. Do đó ta bin đi nh sau
2
22
2
42
2 5 6 2 1 2 4 2 2 ( 2)( 2)
11
53
xx
x x x x x
x

x

           



2
2
2( 2) 2
2 (4)
11
53
x
x
x
x
x






  





Phng trình (4) có VP>3, VT<2 nên (4) vô nghim. Vy h có nghim x=y=2.

Bài 15. (KA-2010) Gii h phng trình:
2
22
(4 1) ( 3) 5 2 0
4 2 3 4 7
x x y y
x y x

    


   



Gii: K :
3
4
x 
. t u = 2x;
52vy

Phng trình (1) tr thành u(u
2
+ 1) = v(v
2
+1)  (u - v)(u
2
+ uv + v
2

+ 1) = 0  u = v
Ngha là :
2
3
0
4
2 5 2
54
2
x
xy
x
y




  







Th vào (2) ta đc:
24
25
6 4 2 3 4 7 (*)
4

x x x    

Xét hàm s
42
25
( ) 4 6 2 3 4
4
f x x x x    
trên
3
0;
4





2
4
'( ) 4 (4 3)
34
f x x x
x
  

< 0
Mt khác :
1
7
2

f




nên (*) có nghim duy nht x =
1
2
và y = 2.
Vy h có nghim duy nht x =
1
2
và y = 2.

Thc t là các h phng trình dng này có nhiu cách gii phong phú, các k thut
tách cng rt đa dng. Trong khuôn kh chuyên đ tôi ch dng li  bn k nng
thông dng nh trên. Tip theo tôi xin gii thiu các h phng trình tng t đ bn
đc có thêm ngun tài liu ging dy, hc tp rt mong đc tip tc tho lun trao đi
v chuyên đ này cùng các thy cô và các em hc sinh.