ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012-2013 MÔN TOÁN ĐỀ 11 docx

Nguoithay.vn

Nguoithay.vn Trang 1
BÀI TP HÌNH KHÔNG GIAN


BT1.Trong mt phng (

) cho t giác
ABCD

có các cp cnh đi không song song và đim
)(

S
.
a. Xác đnh giao tuyn ca
)(SAC
và (SBD)
b. Xác đnh giao tuyn ca (SAB) và (SCD)
c. Xác đnh giao tuyn ca (SAD) và (SBC)
Gii
a. Xác đnh giao tuyn ca (SAC) và (SBD)
Ta có : S là đim chung ca (SAC) và (SBD)
Trong (

), gi O = AC

BD
 O


AC mà AC

(SAC)

O

(SAC)
 O

BD mà BD

(SBD)

O

(SBD)
 O là đim chung ca (SAC) và (SBD)
Vy : SO là giao tuyn ca (SAC) và (SBD)
b. Xác đnh giao tuyn ca (SAB) và (SCD)
Ta có: S là đim chung ca (SAC) và (SBD)
Trong (

) , AB không song song vi CD
Gi I = AB

CD
 I

AB mà AB


(SAB)

I

(SAB)
 I

CD mà CD

(SCD)

I

(SCD)
 I là đim chung ca (SAB) và (SCD)
Vy : SI là giao tuyn ca (SAB) và (SCD)
c. Tng t câu a, b
2. Cho bn đim A,B,C,D không cùng thuc mt mt phng .
Trên các đon thng AB, AC, BD
ln lt ly các đim M, N, P sao cho MN không song
song vi BC. Tìm giao tuyn ca ( BCD) và ( MNP)
Gii
 P

BD mà BD

( BCD)

P


( BCD)
 P

( MNP)
 P là đim chung ca ( BCD) và ( MNP)
Trong mp (ABC) , gi E = MN

BC
 E

BC mà BC

( BCD)

E

( BCD)
 E

MN mà MN

( MNP)

E

( MNP)
 E là đim chung ca ( BCD) và ( MNP)
Vy : PE là giao tuyn ca ( BCD) và ( MNP)
3. Cho tam giác ABC và mt đim S không thuc mp (ABC ) , mt đim I thuc đon SA .
Mt đng thng a không song song vi AC ct các cnh AB, BC theo th t ti J , K.

Tìm giao tuyn ca các cp mp sau :
a. mp ( I,a) và mp (SAC )
b. mp ( I,a) và mp (SAB )
c. mp ( I,a) và mp (SBC )

Gii
a. Tìm giao tuyn ca mp ( I,a) vi mp (SAC ) :
Ta có:

I

SA mà SA

(SAC )

I

(SAC )


I

( I,a)
 I là đim chung ca hai mp ( I,a) và (SAC )
Trong (ABC ), a không song song vi AC
k
S
I
D
O

B
C
A
J

C
B
E
N
D
P
M
A

L
A
B
J
C
K
O
I
S

Nguoithay.vn

Nguoithay.vn Trang 2
Gi O = a

AC


O

AC mà AC

(SAC )

O

(SAC )


O

( I,a)
 O là đim chung ca hai mp ( I,a) và (SAC )
Vy : IO là giao tuyn ca hai mp ( I,a) và (SAC )
b. Tìm giao tuyn ca mp ( I,a) vi mp (SAB) : là JI
c. Tìm giao tuyn ca mp ( I,a) vi mp (SBC )
Ta có : K là đim chung ca hai mp ( I,a) và mp (SBC )
Trong mp (SAC) , gi L = IO

SC


L

SC mà SC


(SBC )

L

(SBC )


L

IO mà IO

( I,a)

L

( I,a )
 L là đim chung ca hai mp ( I,a) và (SBC )
Vy: KL là giao tuyn ca hai mp ( I,a) và (SBC )
4. Cho bn đim A ,B ,C , D không cùng nm trong mt mp
a. Chng minh AB và CD chéo nhau
b. Trên các đon thng AB và CD ln lt ly các đim
M, N sao cho đng thng MN ct đng
thng BD ti I . Hi đim I thuc nhng mp nào .
Xđ giao tuyn ca hai mp (CMN) và ( BCD)
Gii
a. Chng minh AB và CD chéo nhau :
Gi s AB và CD không chéo nhau
Do đó có mp (

) cha AB và CD

 A ,B ,C , D nm trong mp (

) mâu thun gi thuyt
Vy : AB và CD chéo nhau
b. im I thuc nhng mp :


I

MN mà MN

(ABD )

I

(ABD )


I

MN mà MN

(CMN )

I

(CMN )


I


BD mà BD

(BCD )

I

(BCD )
Xđ giao tuyn ca hai mp (CMN) và ( BCD) là CI

5. Cho tam giác ABC nm trong mp ( P) và a là mtđng thng nm trong mp ( P) và không
song song vi AB và AC . S là mt đim  ngoài mt phng ( P) và A’ là mt đim thuc SA .
Xđ giao tuyn ca các cp mp sau
a. mp (A’,a) và (SAB)
b. mp (A’,a) và (SAC)
c. mp (A’,a) và (SBC)
Gii
a. Xđ giao tuyn ca mp (A’,a) và (SAB)


A’

SA mà SA

( SAB)

A’

( SAB)


A’

( A’,a)
 A’ là đim chung ca ( A’,a) và (SAB )
Trong ( P) , ta có a không song song vi AB
Gi E = a

AB


E

AB mà AB

(SAB )

E

(SAB )


E

( A’,a)
 E là đim chung ca ( A’,a) và (SAB )
Vy: A’E là giao tuyn ca ( A’,a) và (SAB )
b. Xđ giao tuyn ca mp (A’,a) và (SAC)



A’

SA mà SA

( SAC)

A’

( SAC)


A’

( A’,a)
M
I
C
B
D
N
A

F
a
P
E
B
C
N
M

A
A
'
S

Nguoithay.vn

Nguoithay.vn Trang 3
 A’ là đim chung ca ( A’,a) và (SAC )
Trong ( P) , ta có a không song song vi AC
Gi F = a

AC


F

AC mà AC

(SAC )

F

(SAC )


E

( A’,a)
 F là đim chung ca ( A’,a) và (SAC )

Vy: A’F là giao tuyn ca ( A’,a) và (SAC )
c. Xđ giao tuyn ca (A’,a) và (SBC)
Trong (SAB ) , gi M = SB

A’E


M

SB mà SB

( SBC)

M

( SBC)


M

A’E mà A’E

( A’,a)

M

( A’,a)
 M là đim chung ca mp ( A’,a) và (SBC )
Trong (SAC ) , gi N = SC


A’F


N

SC mà SC

( SBC)

N

( SBC)


N

A’F mà A’F

( A’,a)

N

( A’,a)
 N là đim chung ca mp ( A’,a) và (SBC )
Vy: MN là giao tuyn ca ( A’,a) và (SBC )
6. Cho t din ABCD , M là mt đim bên trong tam giác ABD , N là mt đim bên trong tam
giác ACD . Tìm giao tuyn ca các cp mp sau
a. (AMN) và (BCD)
b. (DMN) và (ABC )
Gii

a. Tìm giao tuyn ca (AMN) và (BCD)
Trong (ABD ) , gi E = AM

BD


E

AM mà AM

( AMN)

E

( AMN)


E

BD mà BD

( BCD)

E

( BCD)
 E là đim chung ca mp ( AMN) và (BCD )
Trong (ACD ) , gi F = AN

CD


F

AN mà AN

( AMN)

F

( AMN)


F

CD mà CD

( BCD)

F

( BCD)
 F là đim chung ca mp ( AMN) và (BCD )
Vy: EF là giao tuyn ca mp ( AMN) và (BCD )
b. Tìm giao tuyn ca (DMN) và (ABC)
Trong (ABD ) , gi P = DM

AB



P

DM mà DM

( DMN)

P

(DMN )


P

AB mà AB

( ABC)

P

(ABC)
 P là đim chung ca mp ( DMN) và (ABC )
Trong (ACD) , gi Q = DN

AC


Q

DN mà DN


( DMN)

Q

( DMN)


Q

AC mà AC

( ABC)

Q

( ABCA)
 Q là đim chung ca mp ( DMN) và (ABC )
Vy: PQ là giao tuyn ca mp ( DMN) và (ABC )








Dng 2 : Xác đnh giao đim ca đng thng a và mt phng (

)
B

C
E
D
F
N
M
Q
P
A

b
a
A


Nguoithay.vn

Nguoithay.vn Trang 4
Phng pháp :  Tìm đng thng b nm trong mt phng (

)
 Giao đim ca a và b là giao đt a và mt phng (

)
Chú ý : ng thng b thng là giao tuyn ca mp () và mp ()  a
Cn chn mp () cha đng thng a sao cho giao tuyn ca
mp () và mp () d xác đnh và giao tuyn không song song vi đng thng a
Bài tp :
1. Trong mp () cho tam giác ABC . Mt đim S không thuc () . Trên cnh AB ly mt đim P
và trên các đon thng SA, SB ta ly ln lt hai đim M, N sao cho MN không song song vi AB .

a. Tìm giao đim ca đng thng MN vi mt phng (SPC )
b. Tìm giao đim ca đng thng MN vi mt phng (
)
Gii
a. Tìm giao đim ca đng thng MN vi mt phng (SPC )
Cách 1 : Trong (SAB) , gi E = SP  MN
 E  SP mà SP  (SPC)  E (SPC)
 E  MN
Vy : E = MN  (SPC )
Cách 2 :  Chn mp ph (SAB)  MN
 ( SAB)  (SPC ) = SP
 Trong (SAB), gi E = MN  SP
E  MN
E  SP mà SP  (SPC)
Vy : E = MN  (SPC )
b. Tìm giao đim ca đng thng MN vi mp (

)
Cách 1: Trong (SAB) , MN không song song vi AB
Gi D = AB  MN
 D  AB mà AB  ()  D ()
 D  MN
Vy: D = MN  ()
Cách 2 :  Chn mp ph (SAB)  MN
 ( SAB)  () = AB
 Trong (SAB) , MN không song song vi AB
Gi D = MN  AB
D  AB mà AB  ()  D ()
D  MN
Vy : D = MN  ()

2. Cho t giác ABCD và mt đim S không thuc mp (ABCD ).
Trên đon SC ly mt đim M không trùng vi S và C .
Tìm giao đim ca đng thng SD vi mt phng (ABM )
Gii
 Chn mp ph (SBD)  SD
 Tìm giao tuyn ca hai mp ( SBD) và (ABM )
 Ta có B là đim chung ca ( SBD) và (ABM )
 Tìm đim chung th hai ca ( SBD) và (ABM )
Trong (ABCD ) , gi O = AC  BD
Trong (SAC ) , gi K = AM  SO
K SO mà SO  (SBD)  K ( SBD)


K AM mà AM  (ABM )  K ( ABM )
 K là đim chung ca ( SBD) và (ABM )
A
M
D
B
P
E
C
N
S


M
A
D
O

C
B
S
K
N

Nguoithay.vn

Nguoithay.vn Trang 5
 ( SBD)  (ABM ) = BK
 Trong (SBD) , gi N = SD  BK
N BK mà BK  (AMB)  N (ABM)
N  SD
Vy : N = SD  (ABM)
3. Cho t giác ABCD và mt đim S không thuc mp (ABCD ). Trên đon AB ly mt đim M ,
Trên đon SC ly mt đim N ( M , N không trùng vi các đu mút ) .
a. Tìm giao đim ca đng thng AN vi mt phng (SBD)
b. Tìm giao đim ca đng thng MN vi mt phng (SBD)
Gii
a. Tìm giao đim ca đng thng AN vi mt phng (SBD)
 Chn mp ph (SAC)  AN
 Tìm giao tuyn ca ( SAC) và (SBD)
Trong (ABCD) , gi P = AC  BD
 ( SAC)  (SBD) = SP
 Trong (SAC), gi I = AN  SP
I  AN
I  SP mà SP  (SBD)  I  (SBD)
Vy : I = AN  (SBD)
b. Tìm giao đim ca đng thng MN vi mt phng (SBD)
 Chn mp ph (SMC)  MN

 Tìm giao tuyn ca ( SMC ) và (SBD)
Trong (ABCD) , gi Q = MC  BD
 ( SAC)  (SBD) = SQ
 Trong (SMC), gi J = MN  SQ
J MN
J  SQ mà SQ  (SBD)  J  (SBD)
Vy: J = MN  (SBD)
4. Cho mt mt phng (
) và mt đng thng m ct mt phng () ti C . Trên m ta ly hai đim
A, B và mt đim S trong không gian . Bit giao đim ca đng thng SA vi mt phng (
)
là đim A’ . Hãy xác đnh giao đim ca đng thng SB và mt phng (
)
Gii
 Chn mp ph (SA’C)  SB
 Tìm giao tuyn ca ( SA’C ) và ()
Ta có ( SA’C )  () = A’C
 Trong (SA’C ), gi B’ = SB  A’C
B’ SB mà SB  (SA’C )  B’  (SA’C)
B’  A’C mà A’C  ()  B’  ()
Vy : B’= SB  ()

5. Cho bn đim A, B , C, S không cùng  trong mt mt phng . Gi I, H ln lt là trung đim
ca SA, AB .Trên SC ly đim K sao cho : CK = 3KS.
Tìm giao đim ca đng thng BC vi mt phng ( IHK )
Gii
 Chn mp ph (ABC)  BC
 Tìm giao tuyn ca ( ABC ) và (IHK)
Trong (SAC) ,có IK không song song vi AC
Gi E’ = AC  IK

 ( ABC )  ( IHK) = HE’
Q
A
C
P
D
N
I
B
M
S
K
A
C
I
S
A
B
S
m
C
B'
A'


Nguoithay.vn

Nguoithay.vn Trang 6
 Trong (ABC ), gi E = BC  HE’

E  BC mà BC  ( ABC)  E  ( ABC)
E  HE’ mà HE’  ( IHK)  E  ( IHK)
Vy: E = BC  ( IHK)
6. Cho t din SABC .Gi D là đim trên SA ,
E là đim trên SB và F là đim trên AC ( DE và AB
không song song ) .
a. Xđ giao tuyn ca hai mp (DEF) và ( ABC )
b. Tìm giao đim ca BC vi mt phng ( DEF )
c. Tìm giao đim ca SC vi mt phng ( DEF )
Gii
a. Xđ giao tuyn ca hai mp (DEF) và ( ABC )
Ta có : F là đim chung ca hai mt phng (ABC) và (DEF)
Trong (SAB) , AB không song song vi DE
Gi M = AB  DE
 M  AB mà AB  (ABC)  M  (ABC)
 M  DE mà DE  (DEF)  M  (DEF)
 M là đim chung ca hai mt phng (ABC) và (DEF)
Vy: FM là giao tuyn ca hai mt phng (ABC) và (DEF)
b. Tìm giao đim ca BC vi mt phng ( DEF )
 Chn mp ph (ABC)  BC
 Tìm giao tuyn ca ( ABC ) và (DEF)
Ta có (ABC)  (DEF) = FM hình 1
 Trong (ABC), gi N = FM  BC
N BC
N  FM mà FM  (DEF)  N  (DEF)
Vy: N = BC  (DEF)
c. Tìm giao đim ca SC vi mt phng ( DEF )
 Chn mp ph (SBC)  SC
 Tìm giao tuyn ca ( SBC ) và (DEF)
Ta có: E là đim chung ca ( SBC ) và (DEF)


N  BC mà BC  (SBC)  N  (SBC)


N  FM mà FM  (DEF)  N  (DEF)
 N là đim chung ca ( SBC ) và (DEF)
Ta có (SBC)  (DEF) = EN
 Trong (SBC), gi K = EN  SC
K SC
K  EN mà EN  (DEF)  K  (DEF) hình 2
Vy: K = SC  (DEF)
7. Cho hình chóp S.ABCD .Gi O là giao đim ca AC và BD . M, N, P ln lt là các đim trên
SA, SB ,SD.
a. Tìm giao đim I ca SO vi mt phng ( MNP )
b. Tìm giao đim Q ca SC vi mt phng ( MNP )
Gii
a. Tìm giao đim I ca SO vi mt phng ( MNP )
 Chn mp ph (SBD)  SO
 Tìm giao tuyn ca ( SBD ) và (MNP)
Ta có N  MN mà MN  (MNP)  N  (MNP)
N  SB mà SB  (SBD)  N  (SBD)
 N là đim chung ca ( SBD ) và (MNP)

N
K
A
M
E
D

F
C
B
S

S
N
M
F
E
K
D
C
B
A
S

Nguoithay.vn

Nguoithay.vn Trang 7
P  MP mà MN  (MNP)  P  (MNP)
P  SD mà SD  (SBD)  P  (SBD)
 P là đim chung ca ( SBD ) và (MNP)
 (MNP)  (SBD) = NP
 Trong (SBD), gi I = SO  NP
I  SO
I  NP mà NP  (MNP)  I  (MNP)
Vy: I = SO  (MNP)
b. Tìm giao đim Q ca SC vi mt phng ( MNP )
 Chn mp ph (SAC)  SC

 Tìm giao tuyn ca ( SAC ) và (MNP)
Ta có M  MN mà MN  (MNP)  M  (MNP)
M  SA mà SA  (SAC)  M  (SAC)
 M là đim chung ca ( SAC ) và (MNP)
I  MI mà MI  (MNP)  I  (MNP)
I  SO mà SO  (SAC)  I  (SAC)
 I là đim chung ca ( SAC ) và (MNP)
 ( SAC)  (SBD) = MI
 Trong (SAC), gi Q = SC  MI
Q SC
Q MI mà MI  (MNP)  Q  (MNP)
Vy: Q = SC  (MNP)
8. Cho t din ABCD .Gi M,N ln lt là
trung đim AC và BC . K là đim trên BD và
không trùng vi trung đim BD .
a. Tìm giao đim ca CD và (MNK )
b. Tìm giao đim ca AD và (MNK )
Gii
a. Tìm giao đim ca CD và (MNK ) :
 Chn mp ph (BCD)  SC
 Tìm giao tuyn ca ( BCD ) và (MNK)
Ta có N  (MNK)
N  BC mà BC  (BCD)  N  (BCD)
 N là đim chung ca (BCD ) và (MNK)
K  (MNK)
K  BD mà BD  (BCD)  K  (BCD)
 K là đim chung ca (BCD ) và (MNK)
 (BCD)  (MNK) = NK
 Trong (BCD), gi I = CD  NK
I CD

I NK mà NK  (MNK)  I  (MNK)
Vy: I = CD  (MNK)
b. Tìm giao đim ca AD và (MNK )
 Chn mp ph (ACD)  AD
 Tìm giao tuyn ca (ACD ) và (MNK)
Ta có: M  (MNK)
M  AC mà AC  (ACD)  M  (ACD)
 M là đim chung ca (ACD ) và (MNK)
I NK mà NK  (MNK)  I  (MNK)
I  CD mà CD  (ACD)  I  (ACD)
J
I
B
D
C
N
K
M
A

Nguoithay.vn

Nguoithay.vn Trang 8
 I là đim chung ca (ACD ) và (MNK)
 (ACD)  (MNK) = MI
 Trong (BCD), gi J = AD  MI
J AD
J MI mà MI  (MNK)  J  (MNK)
Vy: J = AD  (MNK)
9. Cho t din ABCD .Gi M,N là hai đim trên AC và AD . O là đim bên trong tamgiác BCD.

Tìm giao đim ca :
a. MN và (ABO )
b. AO và (BMN )
Gii
a. Tìm giao đim ca MN và (ABO ):
 Chn mp ph (ACD)  MN
 Tìm giao tuyn ca (ACD ) và (ABO)
Ta có : A là đim chung ca (ACD ) và (ABO)
Trong (BCD), gi P = BO  DC
P BO mà BO  (ABO)  P  (ABO)
P CD mà CD  (ACD)  P  (ACD)
 P là đim chung ca (ACD ) và (ABO)
 (ACD)  (ABO) = AP
 Trong (ACD), gi Q = AP  MN
Q MN
Q AP mà AP  (ABO)  Q  (ABO)
Vy: Q = MN  (ABO)
b. Tìm giao đim ca AO và (BMN ) :
 Chn mp (ABP)  AO
 Tìm giao tuyn ca (ABP ) và (BMN)
Ta có : B là đim chung ca (ABP ) và (BMN)
Q  MN mà MN  (BMN)  Q  (BMN)
Q  AP mà AP  (ABP)  Q  (ABP)
 Q là đim chung ca (ABP ) và (BMN)
 (ABP)  (BMN) = BQ
 Trong (ABP), gi I = BQ  AO
I AO
I BQ mà BQ  (BMN)  I  (BMN)
Vy: I = AO  (BMN)
10. Trong mp (

) cho hình thang ABCD , đáy ln AB . Gi I ,J, K ln lt là các đim trên SA, AB,
BC ( K không là trung đim BC) . Tìm giao đim ca :
a. IK và (SBD)
b. SD và (IJK )
c. SC và (IJK )
Gii
a. Tìm giao đim ca IK và (SBD)
 Chn mp ph (SAK)  IK
 Tìm giao tuyn ca (SAK ) và (SBD)
Ta có : S là đim chung ca (SAK ) và (SBD)
Trong (ABCD), gi P = AK  BD
P  AK mà AK  (SAK)  P  (SAK)
P  BD mà BD  (SBD)  P  (SBD)
 P là đim chung ca (SAK ) và (SBD)
 (SAK)  (SBD) = SP
O
Q
P
N
M
I
C
D
B
A

N
I
S
Nguoithay.vn

Nguoithay.vn Trang 9
 Trong (SAK), gi Q = IK  SP

Q  IK
Q  SP mà SP  (SBD)  Q  (SBD)
Vy: Q = IK  (SBD)
b. Tìm giao đim ca SD và (IJK ) :
 Chn mp ph (SBD)  SD
 Tìm giao tuyn ca (SBD ) và (IJK)
Ta có : Q là đim chung ca (IJK ) và (SBD)
Trong (ABCD), gi M = JK  BD
M  JK mà JK  ( IJK)  M  (IJK)
M  BD mà BD  (SBD)  M  (SBD)
 M là đim chung ca (IJK ) và (SBD)
 (IJK)  (SBD) = QM
 Trong (SBD), gi N = QM  SD
N  SD
N  QM mà QM  (IJK)  N  (IJK)
Vy: N = SD  (IJK)
c. Tìm giao đim ca SC và (IJK ) :
 Chn mp ph (SAC)  SC
 Tìm giao tuyn ca (SAC ) và (IJK)
Ta có : I là đim chung ca (IJK ) và (SAC)
Trong (ABCD), gi E = AC  JK
E  JK mà JK  ( IJK)  E  ( IJK)
E  AC mà AC  (SAC)  E  (SAC)
 E là đim chung ca (IJK ) và (SAC)

( IJK)  (SAC) = IE

 Trong (SAC), gi F = IE  SC
F  SC
F  IE mà IE  ( IJK)  F  ( IJK)
Vy : F = SC  ( IJK )
11.Cho t din ABCD . Trên AC và AD ly hai đim M,N sao cho MN không song song vi CD.
Gi O là đim bên trong tam giác BCD.
a. Tìm giao tuyn ca (OMN ) và (BCD )
b. Tìm giao đim ca BC vi (OMN)
c. Tìm giao đim ca BD vi (OMN)
Gii
a. Tìm giao tuyn ca (OMN ) và (BCD ):
Ta có : O là đim chung ca (OMN ) và (BCD )
Trong (ACD) , MN không song song CD
Gi I = MN  CD
 I là đim chung ca (OMN ) và (BCD )
Vy : OI = (OMN )  (BCD )
b. Tìm giao đim ca BC vi (OMN):
Trong (BCD), gi P = BC  OI
Vy : P = BC  ( OMN )
c. Tìm giao đim ca BD vi (OMN):
Trong (BCD), gi Q = BD  OI
Vy : Q = BD  ( OMN )


P
I
Q
O
M
D

N
C
B
A

Nguoithay.vn

Nguoithay.vn Trang 10

12.Cho hình chóp S.ABCD . Trong tam giác SBC ly đim M trong tam giác SCD ly đim N
a. Tìm giao đim ca đng thng MN vi mt phng (SAC)
b. Tìm giao đim ca cnh SC vi mt phng (AMN)
Gii
a. Tìm giao đim ca đng thng MN vi mt phng (SAC) :
 Chn mp ph (SMN)  MN
 Tìm giao tuyn ca (SAC ) và (SMN)
Ta có : S là đim chung ca (SAC ) và (SMN)
Trong (SBC), gi M’ = SM  BC
Trong (SCD), gi N’ = SN  CD
Trong (ABCD), gi I = M’N’  AC
I  M’N’ mà M’N’  (SMN)  I  ( SMN)
I  AC mà AC  (SAC)  I  (SAC)
 I là đim chung ca (SMN ) và (SAC)

( SMN)  (SAC) = SI
 Trong (SMN), gi O = MN  SI
O  MN
O  SI mà SI  ( SAC)  O  ( SAC)
Vy : O = MN  ( SAC )
b. Tìm giao đim ca cnh SC vi mt phng (AMN) :

 Chn mp ph (SAC)  SC
 Tìm giao tuyn ca (SAC ) và (AMN)
Ta có : ( SAC)  (AMN) = AO
 Trong (SAC), gi E = AO  SC
E  SC
E  AO mà AO  ( AMN)  E  ( AMN)
Vy : E = SC  ( AMN )

M
N
B
C
N'
E
D
M'
I
O
A
S

Nguoithay.vn

Nguoithay.vn Trang 11


Dng 3 : Chng minh ba đim thng hàng
Phng pháp :  Chng minh ba đim đó cùng thuc hai mp phân bit
 Khi đó ba đim thuc đng thng giao tuyn ca hai mp

Bài tp :
1. Cho hình bình hành ABCD . S là đim không thuc (ABCD) ,M và N ln lt là trung đim ca
đon AB và SC .
a. Xác đnh giao đim I = AN 
(SBD)
b. Xác đnh giao đim J = MN 
(SBD)

c. Chng minh I , J , B thng hàng
Gii
a. Xác đnh giao đim I = AN

(SBD )
 Chn mp ph (SAC)  AN
 Tìm giao tuyn ca (SAC ) và (SBD)

( SAC)  (SBD) = SO
 Trong (SAC), gi I = AN  SO
I  AN
I  SO mà SO  ( SBD)  I  ( SBD)
Vy: I = AN  ( SBD)
b. Xác đnh giao đim J = MN

(SBD)
 Chn mp ph (SMC)  MN
 Tìm giao tuyn ca (SMC ) và (SBD)
S là đim chung ca (SMC ) và (SBD)
Trong (ABCD) , gi E = MC  BD
 ( SAC)  (SBD) = SE
 Trong (SMC), gi J = MN  SE
J MN
J SE mà SE  ( SBD)  J  ( SBD)
Vy J = MN  ( SBD)
c. Chng minh I , J , B thng hàng
Ta có : B là đim chung ca (ANB) và ( SBD)
 I  SO mà SO  ( SBD)  I  ( SBD)
 I  AN mà AN  (ANB)  I  (ANB)
 I là đim chung ca (ANB) và ( SBD)

 J  SE mà SE  ( SBD)  J ( SBD)
 J  MN mà MN  (ANB)  J  (ANB)
 J là đim chung ca (ANB) và ( SBD)
Vy : B , I , J thng hàng
2. Cho t giác ABCD và S 
(ABCD). Gi I , J là hai đim trên AD và SB , AD ct BC ti O và
OJ ct SC ti M .
a. Tìm giao đim K = IJ 
(SAC)
b. Xác đnh giao đim L = DJ 
(SAC)
c. Chng minh A ,K ,L ,M thng hàng
Gii
a. Tìm giao đim K = IJ

(SAC)
 Chn mp ph (SIB)  IJ
 Tìm giao tuyn ca (SIB ) và (SAC)
S là đim chung ca (SIB ) và (SAC)
Trong (ABCD) , gi E = AC  BI
I
J
E
A
B
C
M
N
D
S

O

M
K
F
E
L
A
D
C
B
O
J
I
S
J
E
I
O
S
C
N
M
B
A
D
Nguoithay.vn

Nguoithay.vn Trang 12


(SIB)  ( SAC) = SE


 Trong (SIB), gi K = IJ  SE
K IJ
K SE mà SE  (SAC )  K  (SAC)
Vy: K = IJ  ( SAC)
b. Xác đnh giao đim L = DJ

(SAC)
 Chn mp ph (SBD)  DJ
 Tìm giao tuyn ca (SBD ) và (SAC)
S là đim chung ca (SBD ) và (SAC)
Trong (ABCD) , gi F = AC  BD

(SBD)  ( SAC) = SF
 Trong (SBD), gi L = DJ  SF
L DJ
L SF mà SF  (SAC )  L  (SAC)
Vy : L = DJ  ( SAC)
c. Chng minh A ,K ,L ,M thng hàng
Ta có :A là đim chung ca (SAC) và ( AJO)
 K  IJ mà IJ  (AJO)  K (AJO)
 K  SE mà SE  (SAC )  K  (SAC )
 K là đim chung ca (SAC) và ( AJO)
 L  DJ mà DJ  (AJO)  L  (AJO)
 L  SF mà SF  (SAC )  L  (SAC )
 L là đim chung ca (SAC) và ( AJO)
 M  JO mà JO  (AJO)  M  (AJO)
 M  SC mà SC  (SAC )  M  (SAC )

 M là đim chung ca (SAC) và ( AJO)
Vy : A ,K ,L ,M thng hàng
3. Cho t din SABC.Gi L, M, N ln lt là các đim trên các cnh SA, SB và AC sao cho LM
không song song vi AB, LN không song song vi SC.
a. Tìm giao tuyn ca mp (LMN) và (ABC)
b. Tìm giao đim I = BC 
( LMN) và J = SC  ( LMN)
c. Chng minh M , I , J thng hàng
Gii
a. Tìm giao tuyn ca mp (LMN) và (ABC)
Ta có : N là đim chung ca (LMN) và (ABC)
Trong (SAB) , LM không song song vi AB
Gi K = AB  LM
K  LM mà LM  (LMN )  K  (LMN )
K  AB mà AB  ( ABC)  K  ( ABC)
b. Tìm giao đim I = BC

( LMN)
 Chn mp ph (ABC)  BC
 Tìm giao tuyn ca (ABC ) và (LMN)

(ABC)  ( LMN) = NK
 Trong (ABC), gi I = NK  BC
I BC
I NK mà NK  (LMN )  I  (LMN)
Vy : I = BC  ( LMN)
Tìm giao đim J = SC

( LMN)
K

J
I
S
C
M
L
N
B
A

Nguoithay.vn

Nguoithay.vn Trang 13
 Trong (SAC), LN không song song vi SC
gi J = LN  SC

J SC
J LN mà LN  (LMN )  J  (LMN)
Vy : J = SC  ( LMN)
c. Chng minh M , I , J thng hàng
Ta có : M , I , J là đim chung ca (LMN) và ( SBC)
Vy : M , I , J thng hàng
4. Cho t giác ABCD và S 
(ABCD). Gi M , N là hai đim trên BC và SD.
a. Tìm giao đim I = BN 
( SAC)
b. Tìm giao đim J = MN 
( SAC)
c. Chng minh C , I , J thng hàng
Gii

a. Tìm giao đim I = BN

( SAC)
 Chn mp ph (SBD)  BN
 Tìm giao tuyn ca (SBD ) và (SAC)
Trong (ABCD), gi O = AC  BD
 (SBD)  ( SAC) = SO
 Trong (SBD), gi I = BN  SO
I BN
I SO mà SO  (SAC )  I  (SAC)
Vy : I = BN  ( SAC)
b. Tìm giao đim J = MN

( SAC) :
 Chn mp ph (SMD)  MN
 Tìm giao tuyn ca (SMD ) và (SAC)
Trong (ABCD), gi K = AC  DM
 (SMD)  ( SAC) = SK
 Trong (SMD), gi J = MN  SK
J  MN
J  SK mà SK  (SAC )  J  (SAC)
Vy : J = MN  ( SAC)
c. Chng minh C , I , J thng hàng :
Ta có : C , I , J là đim chung ca (BCN ) và (SAC)
Vy : C , I , J thng hàng

S
O
J
K
I
M
N
A
D
C
B
S

Nguoithay.vn

Nguoithay.vn Trang 14

Dng 4 : Tìm thit din ca hình chóp và mt phng ( ) :
Chú ý : Mt phng ( ) có th ch ct mt s mt ca hình chóp
Cách 1 : Xác đnh thit din bng cách kéo dài các giao tuyn

Bài tp :
1. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O .
Gi M, N , I là ba đim ly trên AD , CD , SO .
Tìm thit din ca hình chóp vi mt phng (MNI)
Gii
Trong (ABCD), gi J = BD  MN
K = MN  AB
H = MN  BC
Trong (SBD), gi Q = IJ  SB
Trong (SAB), gi R = KQ  SA
Trong (SBC), gi P = QH  SC
Vy : thit din là ng giác MNPQR
2. Cho hình chóp S.ABCD. Gi M, N , P ln lt
là trung đim ly trên AB , AD và SC .
Tìm thit din ca hình chóp vi mt phng (MNP)
Gii
Trong (ABCD) , gi E = MN  DC
F = MN  BC
Trong (SCD) , gi Q = EP  SD
Trong (SBC) , gi R = FP  SB
Vy : thit din là ng giác MNPQR

3. Cho t din ABCD . Gi H,K ln lt là trung đim các cnh AB, BC . Trên đng thng CD
ly đim M sao cho KM không song song vi BD . Tìm thit din ca t din vi mp (HKM ).
Xét 2 .trng hp :

a. M  gia C và D
b. M  ngoài đon CD
Gii
a. M  gia C và D :
Ta có : HK , KM là đon giao tuyn ca (HKM) vi (ABC) và (BCD)
Trong (BCD), gi L = KM  BD
Trong (ABD), gi N = AD  HL
Vy : thit din là t giác HKMN









b. M  ngoài đon CD:
Trong (BCD), gi L = KM  BD
M
L
N
B
C
D
A
K
H

M

L
H
K
A
D
C
B

N
Q
F
R
E
B
C
D
M
P
A
S

R
Q
S
Nguoithay.vn

Nguoithay.vn Trang 15
Vy : thit din là tam giác HKL

4. Cho hình chóp S.ABCD. Gi M, N ln lt là trung đim ly trên
AD và DC .Tìm thit din ca hình chóp vi mt phng (MNE)
Gii
Trong (SCD), gi Q = EN  SC
Trong (SAD), gi P = EM  SA
Trong (ABCD), gi F = MN  BC
Trong (SBC), gi R = FQ  SB
Vy : thit din là ng giác MNQRP




Cách 2 :Xác đnh thit din bng cách v giao tuyn ph :

Bài tp :
5. Cho hình chóp S.ABCD .Gi M, N ln lt là trung đim SB và SC . Gi s AD và BC không
song song .
a. Xác đnh giao tuyn ca (SAD) và ( SBC)
b. Xác đnh thit din ca mt phng (AMN) vi hình chóp S.ABCD
Gii
a. Xác đnh giao tuyn ca (SAD) và ( SBC) :
Trong (ABCD) , gi I = AD  BC
Vy : SI = (SAD)

( SBC)
b. Xác đnh thit din ca mt phng (AMN) vi hình chóp S.ABCD
Trong (SBC) , gi J = MN  SI
Trong (SAD) , gi K = SD  AJ
Vy : thit din là t giác AMNK
6. Cho hình chóp S.ABCD.Trong tam giác SBC ly mt đim M

trong tam giác SCD ly mt đim N.
a. Tìm giao đim ca đng thng MN vi mt phng(SAC)
b. Tìm giao đim ca cnh SC vi mt phng (AMN)
c. Tìm thit din ca mt phng (AMN) vi hình chóp S.ABCD
Gii
a. Tìm giao đim ca đng thng MN vi mt phng(SAC):
 Chn mp ph (SMN)  MN
 Tìm giao tuyn ca (SAC ) và (SMN)
Ta có : S là đim chung ca (SAC ) và (SMN)
Trong (SBC), gi M’ = SM  BC
Trong (SCD), gi N’ = SN  CD
Trong (ABCD), gi I = M’N’  AC
I  M’N’ mà M’N’  (SMN)  I  ( SMN)
I  AC mà AC  (SAC)  I  (SAC)
 I là đim chung ca (SMN ) và (SAC)

( SMN)  (SAC) = SI
 Trong (SMN), gi O = MN  SI
O  MN
O  SI mà SI  ( SAC)  O  ( SAC)
Vy : O = MN  ( SAC )
I
J
K
M
N
A
D
C
B

S


M
N
B
C
N'
E
D
M'
I
O
A
S

Nguoithay.vn

Nguoithay.vn Trang 16
b. Tìm giao đim ca cnh SC vi mt phng (AMN) :
 Chn mp ph (SAC)  SC
 Tìm giao tuyn ca (SAC ) và (AMN)
Ta có : ( SAC)  (AMN) = AO
 Trong (SAC), gi E = AO  SC
E  SC
E  AO mà AO  ( AMN)  E  ( AMN)
Vy : E = SC  ( AMN )
c. Tìm thit din ca mt phng (AMN) vi hình chóp S.ABCD:
Trong (SBC), gi P = EM  SB
Trong (SCD), gi Q = EN  SD

Vy : thit din là t giác APEQ
7. Cho hình chóp S.ABCD. Gi A’, B’ , C’ là ba đim
ly trên các cnh SA, SB, SC . Tìm thit din ca
hình chóp khi ct bi mt phng (A’B’C’)
Gii
Trong (ABCD), gi O = AC  BD
Trong (SAC), gi O’ = A’C’  SO
Trong (SBD), gi D’ = B’O’  SD
Có hai trng hp :
 Nu D’ thuc cnh SD thì thit din là t giác A’B’C’D’
 Nu D’ thuc không cnh SD thì
Gi E = CD  C’D’
F = AD  A’D’
 thit din là t giác A’B’C’EF

P
S
A
O
I
M'
D
E
N'
C
B
N
M
Q

C'
O'

C
D'
A'
B'
O
D
B
A
S

S
O'
B
A
C
D'
E
F
D
A'
B'
O
C'

Nguoithay.vn

Nguoithay.vn Trang 17

§1 .HAI 
NG THNG SONG SONG

Dng 5 : Chng minh hai đng thng a và b song song :
S dng mt trong các cách sau :
 Chng minh a và b đng phng và không có đim chung
 Chng minh a và b phân bit và cùng song song vi đng thng th ba
 Chng minh a và b đng phng và áp dng các tính cht ca hình hc phng (cnh đi ca hình
bình hành , đnh lý talet … )
 S dng các đnh lý
 Chng minh bng phn chng

Bài tp :
1. Cho hình chóp S.ABCD vi đáy ABCD là hình bình hành .Gi A’ ,B’ , C’ ,D’ ln lt là trung
đim các cnh SA , SB , SC , SD .
a. Chng minh A’B’C’D’ là hình bình hành
b. Gi M là đim bt kì trên BC . Tìm thit din ca (A’B’M) vi hình chóp S.ABCD
Gii
a. Chng minh A’B’C’D’ là hình bình hành :
Trong tam giác SAB, ta có : A’B’
//
2
1
AB
Trong tam giác SCD, ta có : C’D’
//
2
1
CD

Mt khác AB
//
CD
 A’B’
//
C’D’
Vy : A’B’C’D’ là hình bình hành
b. Tìm thit din ca (A’B’M) vi hình chóp S.ABCD:
Ta có : AB ∕ ∕ A’B’ và M là đim chung ca (A’B’M) và (ABCD)
Do đó giao tuyn ca (A’B’M) và (ABCD) là Mx song song AB và A’B’
Gi N = Mx  AD
Vy : thit din là hình thang A’B’MN
2. Cho hình chóp S.ABCD vi đáy ABCD là hình thang vi cnh đáy AB và CD (AB 
CD).

Gi M , N ln lt là trung đim các cnh SA , SB
a. Chng minh : MN ∕ ∕ CD
b. Tìm P = SC 
(ADN)
c. Kéo dài AN và DP ct nhau ti I .
Chng minh : SI ∕ ∕ AB ∕ ∕ CD . T giác SABI là hình gì ?
Gii
a. Chng minh : MN ∕ ∕ CD :
Trong tam giác SAB, ta có : MN ∕ ∕ AB
Mà AB ∕ ∕ CD ( ABCD là hình thang )
Vy : MN ∕ ∕ CD
b. Tìm P = SC

(ADN):
 Chn mp ph (SBC)  SC

 Tìm giao tuyn ca (SBC ) và (ADN)
Ta có : N là đim chung ca (SBC ) và (ADN)
N
M
S
A
B
D
C
A'
B'
C'
D'

I
E
S
B
C
M
N
P
D
A
Nguoithay.vn

Nguoithay.vn Trang 18
Trong (ABCD), gi E = AD  AC
 ( SBC)  (ADN ) = NE

 Trong (SBC), gi P = SC  NE
Vy : P = SC  ( ADN )
c. Chng minh : SI // AB // CD . T giác SABI là hình gì ?
Ta có :
CDABSI
SCD
SAB
SCD
////
CD / / AB
)( CD
)( AB
)( (SAB) SI











( theo đnh lí 2)
Xét  ASI , ta có : SI // MN ( vì cùng song song AB)
M là trung đim AB
 SI
//
2MN

Mà AB
//
2.MN
Do đó : SI
//
AB
Vy : t giác SABI là hình bình hành
3. Cho t din ABCD .Gi I ,J ln lt là trng tâm các tam giác ABC và ABD.
Chng minh : IJ ∕ ∕ CD
Gii
Gi E là trung đim AB
Ta có :





DEJ
CEI
 IJ và CD đng phng
Do đó :
3
1

ED
EJ
EC
EI
(tính cht trng tâm)
Vy : IJ // CD

4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (đáy ln AB). Gi I, J ln lt là
trung đim AD và BC , K là đim trên cnh SB sao cho SN =
3
2
SB .
a. Tìm giao tuyn ca (SAB) và (IJK)
b. Tìm thit din ca (IJK) vi hình chóp S.ABCD
Tìm điu kin đ thit din là hình bình hành
Gii
a. Tìm giao tuyn ca (SAB) và (IJK):
Ta có : AB ∕ ∕ IJ và K là đim chung ca (SAB) và (IJK)
Vy : giao tuyn là đng thng Kx song song AB
b. Tìm thit din ca (IJK) vi hình chóp S.ABCD :
Gi L = Kx  SA
Thit din là hình thang IJKL
Do : IJ là đng trung bình ca hình thang ABCD
 IJ =
2
1
(AB + CD)
Xét SAB có :
3
2

SB
SK
AB
LK
 LK =
AB.

3
2

IJKL là hình bình hành  IJ = KL

2
1
(AB + CD) =
AB.
3
2

 AB = 3.CD
Vy : thit din IJKL là hình bình hành  AB = 3.CD
L
S
C
B
J
I
K
D
A

J
I
E
C
D
B

A

Nguoithay.vn

Nguoithay.vn Trang 19



5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành .Gi M ,N ,P , Q ln lt là các đim
nm trên các cnh BC , SC , SD ,AD sao cho MN // BS , NP // CD , MQ // CD
a. Chng minh : PQ // SA.
b. Gi K = MN 
PQ
Chng minh đim K nm trên đng thng c đnh khi M di đng trên cnh BC.
Gii
a. Chng minh : PQ // SA.
Xét tam giác SCD :
Ta có : NP // CD

CS
CN
DS
NP

(1)
Tng t : MN // SB

CB
CM
CS

CN

(2)
Tng t : MQ // CD

DA
DQ
CB
CM

(3)
T (1) , (2) và (3), suy ra
DA
DQ
DS
DP


Vy : PQ // SA
b. Chng minh đim K nm trên đng thng c đnh khi M di đng trên cnh BC
Ta có :











)()(
)(
)(
//
SADSBCS
SADAD
SBCBC
ADBC

 giao tuyn là đng thng St qua S c đnh song song BC và AD
Mà K  (SBC)  (SAD)
 K  St (c đnh )
Vy : K  St c đnh khi M di đng trên cnh BC















NG THNG SONG SONG MT PHNG

Dng 6 : Chng minh đng thng a song song mt phng (P) :
P
K
Q
t
D
B
C
A
M
N
S

Nguoithay.vn

Nguoithay.vn Trang 20
Phng pháp : Chng minh



//// d
a
ad
d











Bài tp :
1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành .
Gi M ,N ln lt là trung đim các cnh AB và CD .
a. Chng minh MN // (SBC) , MN // (SAD)
b. Gi P là trung đim cnh SA . Chng minh SB và SC
đu song song vi (MNP)
c. Gi G
1
,G
2
ln lt là trng tâm ca ABC và SBC
Chng minh
21
GG
// (SAB)
Gii
a. Chng minh MN // (SBC):
Ta có :
)//(
)(
//
)(
SBCMN
SBCBC
BCMN

SBCMN









Tng t :
)//(
)(
//
)(
SADMN
SADAD
ADMN
SADMN









b. Chng minh SB // (MNP):
Ta có :

)//(
)(
//
)(
MNPSB
MNPMP
MPSB
MNPSB









Chng minh SC // (MNP):
Tìm giao tuyn ca (MNP) và (SAD)
Ta có : P là đim chung ca (MNP) và (SAD)
MN // AD
Do đó giao tuyn là đng thng qua P song song MN ct SD ti Q
 PQ = (MNP)  (SAD)
Xét  SAD , Ta có : PQ // AD
P là trung đim SA
 Q là trung đim SD
Xét  SCD , Ta có : QN // SC
Ta có :
)//(
)(

//
)(
MNPSC
MNPNQ
NQSC
MNPSC









c. Chng minh
21
GG
// (SAB) :
Xét  SAI , ta có :
3
1
21

IS
IG
IA
IG



21
GG
// SA



Q
M
N
C
D
P
B
A
S

Q
G
1
I
G
2
S
D
C
M
N
P
A
B

Nguoithay.vn

Nguoithay.vn Trang 21
Do đó :
)//(GG
)(
SA// GG
)(GG
2121
21
SAB
SABSA
SAB









2. Cho hình chóp S.ABCD . M,N là hai đim trên AB, CD . Mt phng (
) qua MN // SA
a. Tìm các giao tuyn ca (
) vi (SAB) và (SAC).
b. Xác đnh thit din ca hình chóp vi (
)
c. Tìm điu kin ca MN đ thit din là hình thang

Gii
a. Tìm các giao tuyn ca (

) vi (SAB):
Ta có :







)(
//
)()(
SABSA
SA
SABM



 ()  (SAB) = MP vi MP // SA
Tìm các giao tuyn ca (

) vi (SAC):
Gi R = MN  AC
Ta có :








)(
//
)()(
SACSA
SA
SACR



 ()  (SAC) = RQ vi RQ // SA
b. Xác đnh thit din ca hình chóp vi (

):
Thit din là t giác MPQN
c. Tìm điu kin ca MN đ thit din là hình thang:
Ta có : MPQN là hình thang 
)2(
)1(
//
//



PQMN
QNMP

Xét (1) ,ta có
QNSA//
MP//QN
MPSA //





Do đó :
)//(
)(
//
SCDSA
SCDQN
QNSA





( vô lí )
Xét (2) ,ta có
BCMN //
(SBC)PQ
(ABCD)MN
(SBC)(ABCD)BC











Ngc li, nu MN // BC thì
PQMN
SBCBC
MB
SBCPQ
//
)(
)(
)(












Vy đ thit din là hình thang thì MN // BC.
3. Cho t din ABCD .Trên cnh AD ly trung đim M , trên cnh BC ly trung đim N bt k .

Gi (

) là mt phng cha đng thng MN và song song vi CD .
a. Hãy xác đnh thit din ca mt phng (

) vi t din ABCD.
b. Xác đnh v trí ca N trên CD sao cho thit din là hình bình hành .
Gii
a. Hãy xác đnh thit din ca mt phng (

) vi t din ABCD.
Ta có :
)1(//
)()(
)(
//)(
CDMP
ACDM
ACDCD
CD











N
S
M
A
B
C
D
P
Q
R

N
S
M
A
B
C
D
P
Q
R

A
D
M
P
B
Nguoithay.vn

Nguoithay.vn Trang 22
Tng t :
)2(//
)()(
)(
//)(
CDNQ
BCDN
BCDCD
CD











T (1) và (2), ta đc : MP // NQ
Vy: thit din là hình thang MPNQ
b. Xác đnh v trí ca N trên BC sao cho thit din là hình bình hành .
Ta có : MP // NQ
MP =
CD.
2
1

MPNQ là hình bình hành 











CDNQMP
NQMP
NQMP
NQMP
2
1
//
//

Do đó : N là trung đim BC .
Vy : N là trung đim BC thì MPNQ là hình bình hành
4. Cho hình thang ABCD có đáy ln AB và S là mt đim  ngoài mt phng ca hình thang .
Gi M là mt đim ca CD ; (
) là mt phng qua M và song song vi SA và BC .
a. Hãy tìm thit din ca mt phng (

) vi hình chóp S.ABCD. Thit din là hình gì ?
b. Tìm giao tuyn ca () vi mt phng (SAD).

Gii
a. Hãy tìm thit din ca mt phng (

) vi hình chóp S.ABCD:
Ta có :
)1(//
)()(
)(
//)(
BCMN
ABCDM
ABCDBC
BC











Tng t :
SANP
SABN
SABSA
SA
//

)()(
)(
//)(












)2(//
)()(
)(
//)(
BCPQ
SBCP
SBCBC
BC












T (1) và (2) , ta đc : MN // PQ
Vy : thit din là hình thang MNPQ.
b. Tìm giao tuyn ca (

) vi mt phng (SAD).
Trong (ABCD) , gi I = AD  BC
 I là đim chung ca () và (SAD)
Ta có :







)()(
)(
//)(
SADI
SADSA
SA



Vy : giao tuyn là đng thng qua I và song song vi SA.

5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành .Gi M là mt đim trên cnh SC và
(
) là mt phng cha AM và song song vi BD.
a. Hãy nêu cách dng các giao đim E, F ca mt phng () ln lt vi các cnh SB, SD.
B
C
P
N
M
D
A
Q

t
Q
I
P
N
M
C
B
D
A
S

Nguoithay.vn

Nguoithay.vn Trang 23
b. Gi I là giao đim ca ME và CB , J là giao đim ca MF và CD. Hãy chng minh ba đim
I,J, A thng hàng .
Gii
a. Hãy nêu cách dng các giao đim E, F ca mt phng (

) ln lt vi các cnh SB, SD.
Gi s dng đc E, F tha bài toán
Ta có :
EFBD
SBDEF
SBDBD
BD
//
)()(
)(
//)(











Do các đim E ,F ,A ,M cùng thuc mt phng ()

Trong () , gi K = EF  AM
 K  EF mà EF  (SBD)  K  (SBD)
 K  AM mà AM  (SAC)  K  (SAC)
 K  (SAC)  (SBD)
Do (SAC)  (SBD) = SO
 K  SO
Cách dng E, F :
Dng giao đim K ca AM và SO , qua K dng EF // BD
b.Chng minh ba đim I , J , A thng hàng :
Ta có :





)()(
)()(
ABCDIABCDBCmàBCI
IMEmàMEI


 I  ()  (ABCD)
Tng t ,





)()(
)()(

ABCDJ
ABCDA



 I , J , A là đim chung ca () và (ABCD)
Vy : I , J , A thng hàng .
6. Trong mt phng (
) cho tam giác ABC vuông ti A ,
B
ˆ
= 60
0
, AB = a .Gi O là trung đim ca
BC . Ly đim S  ngoài mt phng (
) sao cho SB = a và SB  OA . Gi M là mt đim trên
cnh AB , mt phng (
) qua M song song vi SB và OA , ct BC ,SC , SA ln lt ti N , P , Q .
t x = BM ( 0 < x < a ) .
a. Chng minh MNPQ là hình thang vuông
b. Tính din tích ca hình thang theo a và x .
Tính x đ din tích này ln nht .
Gii
a. Chng minh MNPQ là hình thang vuông :
Ta có :
)1(//
)()(
)(
//)(
OAMN

ABCMN
ABCOA
OA












)2(//
)()(
)(
//)(
SBMQ
SABMQ
SABSB
SB













)3(//
)()(
)(
//)(
SBNP
SBCNP
SBCSB
SB











T (2) và (3) ,suy ra MQ // NP // SB (4)
 MNPQ là hình thang
K
J
I
M

O
E
F
S
D
C
B
A

Q

A
O
N
M
P
C
B
S

Nguoithay.vn

Nguoithay.vn Trang 24
T (1) và (4) , ta có :













NPMN
MQMN
SBNPMQ
OAMN
SBOA
////
//

Vy : MNPQ là hình thang vuông , đng cao MN.
b. Tính din tích ca hình thang theo a và x .
Ta có :
MNNPMQS
MNPQ
).(
2
1


Tính MN :
Xét tam giác ABC
Ta có :
BC
AB
B cos


B
AB
BC
cos



aBC 2
 BO = a
Do
ABO
BOBA
B






0
60
ˆ
đu
Có MN // AO 
BO
BN
AB
BM
AO

MN



xBNMBMN 

Tính MQ :
Xét tam giác SAB , ta có : MQ // SB

AB
AM
SB
MQ


xa
a
a
xa
AB
SB
AMMQ  ).(.

Tính NP :
Xét tam giác SBC , ta có : NP // SB

CB
CN
SB
NP



2
2
2
).2(.
xa
a
a
xa
CB
SB
CNNP



Do đó :
)34.(3.
12
1
4
)34(
xax
xax
S
MNPQ




Áp dng bt đng thc Côsi cho 2 s dng 3x và 4a  3x
3x.( 4a  3x) 
2
)
2
343
(
xax 

 4a²

3
²
²4.
12
1 a
aS
MNPQ


ng thc xy ra khi 3x = 4a – 3x  x =
3
2a

Vy : x =
3
2a
thì
MNPQ
S

đt giá tr ln nht.
7. Cho hình vuông cnh a , tâm O . Gi S là mt đim  ngoài mt phng (ABCD) sao cho SB = SD.
Gi M là đim tùy ý trên AO vi AM = x . mt phng () qua M song song vi SA và BD ct
SO , SB , AB ti N, P , Q .
a. T giác MNPQ là hình gì ?
b. Cho SA = a . Tính din tích MNPQ theo a và x . Tính x đ din tích ln nht
Gii
a. T giác MNPQ là hình gì ?:
Ta có : SB = SD   SBC =  SDC (c-c-c)
Gi I là trung đim SC
Xét  IBC và  IDC
Ta có : IC cnh chung
S
Nguoithay.vn

Nguoithay.vn Trang 25
BC = CD


  IBC =  IDC
 IB = ID
  IBD cân ti I
 IO  BD
Mà OI // SA  SA  BD (*)
Ta có :
)1(//
)()(
)(
//)(
BDMQ

MQABO
ABOBD
BD











Tng t :
)2(//
)()(
)(
//)(
BDNP
NPSBO
SBOBD
BD












T (1) và (2) , suy ra
BDNPMQ ////
(3)
Mt khác :
)4(//
)()(
)(
//)(
SAMN
MNSAO
SAOSA
SA











Tng t :
)5(//
)()(

)(
//)(
SAPQ
PQSAB
SABSA
SA











T (4) và (5) , suy ra
SAPQMN ////
(6)
T (3) , (6) và (*), suy ra MNPQ là hình ch nht
Vy : MNPQ là hình ch nht
b. Tính din tích MNPQ theo a và x:
Ta có :
MNMQS
MNPQ
.

Tính MQ :
Xét tam giác AQM :

Ta có :
AQM
M
Q 










0
0
0
90
ˆ
45
ˆ
45
ˆ
cân ti M  MQ = AM = x
Tính MQ :
Xét tam giác SAO :
Ta có : MN // SA 
2.
2
2.

2
2
xa
a
x
a
a
OA
OM
ASMN
OA
OM
AS
MN





)2.(2.
2
1
)2 (. xaxxaxMNMQS
MNPQ



Áp dng bt đng thc Côsi cho 2 s dng
2.x
và

2.xa 


)2.(2. xax 

2
)
2
)2.2.
(
xax 

DCI = BCI