TÀI LIỆU bồi DƯỠNG ôn THI GIẢI TOÁN TRÊN máy TÍNH cầm TAY cấp TỈNH và KHU vực

PHẦN 1: ĐẠI SỐ VÀ SỐ HỌC
TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC
A.BIỂU THỨC KHÔNG CHỨA BIẾN
VÍ DỤ 1: Tính kết quả đúng của tích sau:M=2222255555.2222266666.
Hướng dẫn:Đặt A=22222;B=55555;C=66666
Ta có:M=(A.10
5
+B)(A.10
5
+C)=A
2
10
10
+AC.10
5
+AB.10
5
+BC
Tính A
2
;AC;AB;BC,và tính toán trên giấy,suy ra M=4938444443209829630
VÍ DỤ 2. Tính A = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + + 16.16!.
Hướng dẫn:
Vì n . n! = (n + 1 - 1).n! = (n + 1)! - n! nên:
A = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + + 16.16! = (2! - 1!) + (3! - 2!) + + (17! -
16!)
A = 17! - 1! = 6227020800 . 57120
VÍ DỤ 3 a) Nêu một phương pháp (kết hợp trên máy và trên giấy) tính
chính xác kết quả của phép tính sau: A = 12578963 x 14375
b) Tính chính xác A
c) Tính chính xác của số: B = 123456789

2
d) Tính chính xác của số: C = 1023456
3
Giải:
a) Nếu tính trên máy sẽ tràn màn hình nên ta làm như sau:
A = 12578963.14375 = (12578.10
3
+ 963).14375 = 12578.10
3
.14375 +
963.14375
* Tính trên máy: 12578.14375 = 180808750 ⇒ 12578.10
3
.14375 =
180808750000
* Tính trên máy: 963.14375 = 13843125
Từ đó ta có: A = 180808750000 + 13843125 = 180822593125 (Tính
trên máy)
Hoặc viết: 180808750000 = 180000000000 + 808750000 và cộng trên
máy:
808750000 + 13843125 = 822593125 ⇒ A = 180822593125
b) Giá trị chính xác của A là: 180822593125
1
DẠNG 1
c) B =123456789
2
=(123450000 + 6789)
2
= (1234.10
4

)
2
+
2.12345.10
4
.6789 + 6789
2
Tính trên máy: 12345
2
= 152399025
2x12345x6789 = 167620410
6789
2
= 46090521
Vậy: B = 152399025.10
8
+ 167620410.10
4
+ 46090521
= 15239902500000000 + 1676204100000 + 46090521=
15241578750190521
d) C = 1023456
3
= (1023000 + 456)
3
= (1023.10
3
+ 456)
3
= 1023

3
.10
9
+ 3.1023
2
.10
6
.456 + 3.1023.10
3
.456
2
+ 456
3
Tính trên máy:
1023
3
= 1070599167
3.1023
2
.456 = 1431651672
3.1023.456
2
= 638155584
456
3
= 94818816
Vậy (tính trên giấy): C = 1070599167000000000 +
1431651672000000 + + 638155584000
+ 94818816 = 1072031456922402816
Tính chính xác của số A =

2
12
10 2
3
 
+
 
 
Giải:
- Dùng máy tính, tính một số kết quả:
2
10 2
34
3
+
=
và
2
2
10 2
1156
3
 
+
=
 
 

3
10 2

334
3
+
=
và
2
3
10 2
111556
3
 
+
=
 
 

4
10 2
3334
3
+
=
và
2
4
10 2
11115556
3
 
+

=
 
 

2
VÍ DỤ 4
Nhận xét:
10 2
3
k
+
là số nguyên có (k - 1) chữ số 3, tận cùng là số 4

2
10 2
3
k
 
+
 
 
là số nguyên gồm k chữ số 1, (k - 1) chữ số 5, chữ số
cuối cùng là 6
* Ta dễ dàng chứng minh được nhận xét trên là đúng và do đó:
A = 111111111111555555555556
Ví dụ 5: Tính A = 999 999 999
3
Giải
Ta có: 9
3

=729; 99
3
= 970299; 999
3
=997002999; 9999
3
=
9999
2
.9999=9999
2
(1000-1)= 999700029999.
Từ đó ta có quy luật:
{
{
{
3
n 1 chöõsoá n 1 chöõ soá nchöõsoá 9
nchöõ soá 9
99 9 99 9 7 00 0 299 9
− −
=
1 2 3
Vậy 999 999 999
3
= 999 999 997 000 000 002 999 999 999.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1:Tính chính xác các phép tính sau:
a)
B = 5555566666 . 6666677777

b)
C = 20072007 . 20082008
c)
1038471
3
=1119909991289361111
d)
20122003
2
e)
20082008.20092009Q =
f)
P = 13032006 × 13032007 = 169833193416042
g)
Q = 3333355555 × 3333377777 = = 11111333329876501235
h)
×2222288888 2222299999
i)
2
20082009
j)
A = 20!.
Bài 2: Tính và làm tròn đến 8 chữ số thập phân:
a)C =
013,0:00325,0
)045,02,1(:)965,11,2(
67,0)88,33,5(03,0632,0
)5,2:15,0(:09,04,0:3 ×−
+
+−−+×

−
b)D =






−






×+






×−×
2
1
7:52875,0:1,0
2
1
4
18

7
2:
180
7
5,24,1
84
13
c) A=
5
3
:
2
1
5
6
17
1
2)
4
1
3
9
5
6(
35
2
:)
25
2
10(

25
1
64,0
25,1
5
4
:6,0
×+
×−
−
+
−
×
3
d)M = 182
80808080
91919191
343
1
49
1
7
1
1
27
2
9
2
3
2

2
:
343
4
49
4
7
4
4
27
1
9
1
3
1
1
×












−+−

+++
−+−
+++
×
e)N =
515151
434343
611
3
243
3
23
3
3
611
10
243
10
23
10
10
:
113
11
89
11
17
11
11
113

5
89
5
17
5
5
129
187
×












−++
−++
−++
−++
×
f)C = 26:
21
4
:

3
2
15,2557,28(:84,6
4)81,3306,34(
)2,18,0(5,2
)1,02,0(:3
+






−
×−
+
+×
−
g) D =
( )
[ ]
125,0:
4
1
1 )8333,125,0:
5
1
136:2,1(
8,12
1

8999,95,6:3567
×−+
×+××
h)H =
99
8
194
11
60
25,0
9
5
75,1
3
10
11
12
7
6
15
7
1
24
3
1
10
+×







−






−×−






−×
i)I =
5
4
:)5,02,1(
17
2
2
4
1
3
9
5

6
7
4
:
25
2
08,1
25
1
64,0
25,1
5
4
:8,0
×+
×






−






−

+
−






×
j) J =
1989198819851983
1987)339721986()19921986(
22
×××
×−+×−
k)A =
7 8 9 31
6
12 15 18 84
+ + + + +
(dạng 0,0001)
1) B =
3
3 3 3
100 94 88 46
1 2 3 10
3 5 7 21
− + − + − + + −
(dạng 0,00001)
m)K =

33
549549
21217
223
21217
223
−+++
+
+
−
−
−
n)
( )
1
7 6,35 :6,5 9,8999
12,8
C : 0,125
1 1
1,2:36 1 :0,25 1,8333 1
5 4
− + 
 
=
 
+ −
 ÷
 
o)
C 291945 831910 2631931 322010 1981945= + + + +

4
p)
2009.2009.20082008 2008.2008.20092009
2008.20072007
C
−
=
q)
N= 521973+ 491965+ 1371954+ 6041975+ 1122007
r) M =
151
149
75
7
5
3
5
3
2
3
1
1
2
3
2
3
2
3
2
3

++++++++
s)A =
1 2
1
2
2007
7
2 1,23 1
13
7 : 0,65:
3 25 19
5 9
0,34 2008
1
2 1 2,3 20
3 :
5
+ ×
×
− + +
× × −
+ ×
Bài 3: Tính
a) B = 3
33
33
3
2520245 +−−−
b) C =
3

3
3
3
3
3
26
21
18
21
54
2126200 −
+
+
+
++
c) D =
3
4
8
9
98 432 +++++
d)E =
3
4
5
6
7
8
9
98765432 −+−+−+−

e) A = 1-
109876543
1098765432 −+−+−+−+
f) B =
9
8
7
6
5
4
3
23456789
g) C = 7 -
7
1
6
2
5
3
4
4
3
5
2
6
+−+−+
h)
22
222
)7,189,6453,2(3,1)02,18521,1379,64(

97,24,0945,1
)1,63,41,323,0456,3()001,2003,2(
+××−×+=
××
×××−×−
=
B
A
i))
7
2
4
11
8
53:
2
5
12
7
9
4
.
13
6
52:
7
11
5
1
.

5
4
1
8
3
4
5
7
2
3
1
5
43
3
−






+−















−+






−
−














+

−
−+=A
j)
3
333
21
46
10
7
88
3
5
94
2
3
100
1 −++−+−+−=A
5
k)
+
= +
 
+
+
 ÷
 
+
3 7
3
2

9
5
1
8,9 91,526 : 4
6
113
5
1
6
635,4677 3,5:5 : 3,9
7
183
11
513
B
l)
A 321930 291945 2171954 3041975= + + +
m)
+
= + + + + +
 
+
+
 ÷
 
+
3 5
3
3
4

5
6
7
2
2
5
1
8,9543 981,635 : 4
7
113
: 3 4 5 6 7
815
1
6
589,43111 3,5:1 : 3,9814
7
173
9
513
B
i) Tính 2,5% cña
7 5 2
85 83 : 2
30 18 3
0,04
 
−
 ÷
 
;Tính 7,5% cña

7 17 2
8 6 : 2
55 110 3
2 3 7
:1
5 20 8
 
−
 ÷
 
 
−
 ÷
 
j)
082008200820
072007200720
.
200.197

17.1414.1111.8
399
4

63
4
35
4
15
4

3333
2222














++++
++++
=A
.
k)Tìm 12% cuûa
3 b
a
4 3
+
bieát:
( )
( ) ( )
2 1
3: 0,09: 0,15: 2

5 2
a
0,32.6 0,03 5,3 3,88 0,67
2,1 1,965 : 1,2.0,045
1:0,25
b
0,00325: 0,013 1,6.0,625
 
−
 ÷
 
=
+ − − +
−
= −
l)A =
12 12 12 3 3 3
12 3
124242423
7 25 71 10 19 101
: .
4 4 4 5 5 5
237373705
4 5
7 25 71 10 19 101
 
+ − − + + +
 ÷
 ÷
 ÷

+ − − + + +
 
z)A =
102010201020
092009200920
:
3
2
3
2
3
2
2
3
1
3
1
3
1
1
:
7
1
7
1
7
1
1
7
2

7
2
7
2
2
2
1
32
32
32
3
2
2
22
2
3












+++
+++

−+−
−+−
×
6
m)
12 12 12 5 5 5
12 5
505505505
7 289 85 13 169 91
158. : .
4 4 4 6 6 6
711711711
4 6
7 289 85 13 169 91
 
− − − + + +
 ÷
 ÷
 ÷
− − − + + +
 
s)
{
 
+ + − + + +
 ÷
÷ ×
 ÷
 ÷
+ + − + + +

 ÷
 
1 2 3
2 2 2
2
2 3 2 3
10so
10so
2 3 2 3
2 2 2 1 1 1
99 9400 09
2 1
7 3
7 7 3 3
1 1 1 2 2 2
2
1 2
7 3
7 7 3 3
x)
( )
( ) ( )
+ + −
+ −
×
+ + − + − −
3 3
3 3
20 14 2 20 14 2
4 2 3. 4 2 3

9 80 9 80 4 2 3 4 2 3
Bài 4. Tính S =
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
2 2 3 2 3 4 2 3 4 10
     
+ + + + + + + + + + +
 ÷ ÷ ÷  ÷
     
chính xác đến 4 chữ số thập phân.
Giải:
Sử dụng máy tính Casio 570 MS, Gán số 1 cho các biến X, B, C. Viết
vào màn hình của máy dãy lệnh: X=X+1: A = 1
÷
X : B = B + A : C
= C . B rồi thực hiện ấn phím = liên tiếp cho đến khi X = 10, lúc đó
ta có kết quả gần đúng chính xác đến 4 chữ số thập phân của S là:
1871,4353
Bài 5. Tìm tích ab( tích một số có 5 chữ số với một số nhiều hơn 5 chữ
số)
Ví dụ: Tìm tích a= 123456789123456789 với b= 56789
-Ghép a thành các nhóm:
+ Từ phải qua trái, mỗi nhóm có 5 chữ số.
+ Nhóm cuối cùng có thể ít hơn 5 chữ số.
{
n.4
n.3 n.2 n.1
a 123456789123456789=
123 123 123
-Lấy nhóm 1 nhân với b được kết quả, lấy 5 chữ số cuối cùng và ghi ra

giấy.
= × =
123 123
lapbuoc2 ghiragiay
a 56789 56789 3224990521
-Lấy các số còn lại của KQ ở bước 1 cộng với nhóm 2 nhân b:
{
+ × =
123 123 123
ghiragiay
lapbuoc2 n2 laybuoc3
32249 91234 56789 5181119875
KQ được bao nhiêu, lấy 5 chữ số cuối cùng và ghi vào phía trước đã ghi ở
bước 1.
7
Ghi ra giấy 90521
Ghi ra giấy 19875 90521
-Tiếp tục là như vậy đến hết.
Ví dụ 2: a=34 56789 ; b=56789
Buớc 1: 56789
×
56789=32249 90521
Bước 2: 32249+34
×
56789=1963075
Cơ sở lý luận:
Bài tập áp dụng:
1/ Tìm tích AB biết :
a/ A= 112233445566778899987654321; B= 24068
b/ A= 147689245; B= 12567

2/ Tìm 7 chữ số cuối cùng của tích a= 23455432 với b= 78998
3/ Tìm xem tích ab có bao nhiêu chữ số 5 biết a=5678998765; b= 55667
B.BIỂU THỨC CÓ CHỨA BIẾN
Tính giaù trò caùc bieãu thöùc:
1345
76534
234
2345
−−+
+−+−
=
xxx
xxxx
A
khi x=2,9723
341,2;43,11;
3
2
3
32
23
===
+−+
−++
= zykhix
xyzyx
xyzzyx
B
( )
( )

( )
− + + − + + −
=
+ − + +
2 3 2 2
2 2 4
x 3y 5z 4 2x y x 4 2y z 6
D
x x 5y 7 z 8
tại
9 7
x ;y ;z 4
4 2
= = =
E =
)
21
(:)(
32233223
2
yxyyxx
xy
yx
yxyyxx
xyx
−+−
−
−
+++
+

, với x = 3,545 vµ y =
1,479.
3 3
5 2 3 3 2
3 4 5
2 3
a a b b a b
F
a a b a b
+ + +
=
+ +
biết
2 3 2,211
5 7 1,946
a b
a b
+ =


− =

1 1 2
:
1 1 1
x x x x
G x
x x x x x
   
− + +

= + −
 ÷  ÷
− − + +
   
, với
169,78x =
.
Tính giá trị của biểu thức
8
Đáp số : 7010987597531987590521
Khi tách 5 chữ số cuối của số a ta có a=(34 00000+56789)
Lúc này ab=(34 00000+56789)56789.
Áp dụng tính chất PP ta được cách làm trên.
KQ: 1963075 90521
BÀI 1
BÀI 2
a) A =
1
1
2222426
4162024
+++++
+++++
xxxx
xxxx
. khi x = 2,567.
b).
2 2 2 2 2 2
1 :
a a b

Q
a b a b a a b
 
= − +
 ÷
− − − −
 
với a > b > 0. khi
1 1
, .
7 5 7 5
a b= =
− +
c)
( )
yx
x
yxyxx
x
yxy
x
A
−
−
−−+
−
−
=
1
1

.
22
2
2
3
với: x = 2,478369; y = 1,786452
d)
2 2 2 2
(x 5y)(x 5y) 5x y 5x y
B
x y x 5xy x 5xy
 
+ − − +
= +
 ÷
+ + −
 
với x = 0,987654321;
y = 0,123456789
e)
1 2
1 :
1
1 1
x x
C
x
x x x x x
   
= + −

 ÷  ÷
 ÷  ÷
+
− + − −
   
, với
143,08x =
.
f) E =
)(
26032007
1
1
:
1
1
26032007
1
caabcb
b
a
c
b
a
++
−
+
+
+
víi a = 1, b=2, c=3

g):
98 97 96
32 31 30
1
1
+ + + + +
=
+ + + + +
x x x x
A
x x x x
Khi x = 2
2 2
2 2 2 2
5 5 25
.
5 5
x y x y x y
B
x xy x xy x y
 
+ − −
= +
 ÷
− + +
 
víi x = 1,257; y = 4,523.
2 2
2 2 2 2
1 2 1 4 4

(2 ) 4 (2 ) 16
x xy y
C
x y x y x y x
 
+ +
= + + ×
 
− − +
 
víi
x
= 3,06;
y
= 4,15.

28 24 20 8 4
30 28 26 4 2
1
D
1
x x x x x
x x x x x
+ + + + + +
=
+ + + + + +
L
L
với x = 23,456
2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1
3 2 5 6 7 12 9 20 11 30
E
a a a a a a a a a a a a
= + + + + +
+ + + + + + + + + + +
khi a = 3,33

3 2 2
3 3 2 2
2 27 36 24 9 12
2
2 3 8 27 4 4 9 2 3
x y xy xy y xy
F x
x y x y x xy y x y
   
+ +
= − − × +
   
− − + + −
   
khi x = 1,224 vµ y = -2,223.
9
BÀI
3
a)A=
1 1ab ab
a b a b
+ −

−
+ −
với
4 8 . 2 2 2 . 2 2 2 ; (3 8 2 12 20):(3 18 2 27 45)a b= + + + − + = − + − +
b)








−−








−+









−+
=
x
x
x
x
x
x
B
1
2
11
4
1
1
1
4
1
1.2
2
2
; khi x = 3,6874496
c)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1

1 2 1 2 3 2 1
C
x x x x x x x n x n x n

= + + +
+ + + + + + − + − +
với
x= 2009
d) D=
với x = 2009, n = 2010
e)E =
424242
32
.x3.z.z2.y.yx
x.y2.x.y.z.zx.y
++
+−
víi x = 1,1; y = 2,2; z = 3,3.
f) Biết x =
2
1
3
; y =
3
1
2
. Tính giá trị biểu thức :

1098765
1098765
2345
2345
−+−+−
+−+−+−

=
yxyxy
xyxyx
A
i)
33
33
:
112
.
11
yxxy
yyxxyx
yx
yxyx
C
+
+++








++
+









+=
Víi
12345,0=x
vµ
678910,0=y
j)
( )
1 1 8 3 2 1 2
1 1
9 1 1
3 1 3 1 3 1 1 1
x x x x x
A x
x x
x x x x x
   
     
− −
= − + ÷ − − − +
   
 ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷
− −
− + + + −

   
     
   
Tính giá trị của biểu thức A khi
2 2 2 2
2 2 2 2
x
− +
= +
+ −

k)
( )
2007
23
283 ++= xxA
với
( )
25
56145
38517
3
+⋅
−+
−
=
x
l)
+ + + + +
= +

+ + + + +
+
100 99 98 2
101 100 99
x x x x 1 3 3
B víi x =
1 1
x x x x 1
2+ 2
19,(30) 20,0(8)
10
r)
+ + + + + + − + +
3 4 2 3 4 2
3 3
1 1 1 1
a a 27a 6a a a 27a 6a
3 3 3 3
,khi a=
35 2 3 4
C. BIỂU DIỄN SỐ THẬP PHÂN VÔ HẠN TUẦN HOÀN VỀ SỐ HỮU
TỈ
VÍ DỤ:
a)Biển diễn 0,(123) về số hữu tỉ
GIẢI:
Cách 1: Ta có 0,(123)=0,(001).123=
1
.123
999
=

=
123 41
999 333
Cách 2: Đặt a=0,(123)
Ta có:1000a=123,(123)=123+0,(123)=123+a
Suy ra 999a =123 ,,vậy a=
=
123 41
999 333
b)Biểu diễn số 3,15(321)
GIẢI:
Cách 1:Đặt 3,15(321)=a,hay 100000a=315321,(321) (1)
100a=315,(321) (2)
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế , ta có 999000a=315006
Vậy a=
=
315006 52501
999000 16650
Cách 2: Đặt a=3,15(321)=3,15 +0,00(321)=3,15+b
Ta có :1000b=3,21(321)=3,21+0,00(321)=3.21+b
→999b=3,21 →
→ = + =
3, 21 3, 21 52501
a 3,15
999 999 16650
Tính:
2 2 2
A
0,19981998 0,019981998 0,0019981998
= + +

Hướng dẫn: Đặt 0,0019981998….=a
Ta có:A=
+ +
1 1 1
2.( )
100a 10a a
→A=
2.111
100a
100a=0,19981998….=0,(0001).1998=
1998
9999
, Vậy A=
=
2.111.9999
1111
1998
B=
−
− −
1 1 1
0,19971997 0,019971997 0,0019971997
= + +
5! 5! 5!
C
0,997997 0,0997997 0,00997997
= + +
3 3 3
D
2.0, 237237 2.0,0237237 2.0,00237237

11
BÀI 1
= + +
1 1 1
E
0,0019991999 0,00019991999 0,000019991999

= + +
3 3 3
F
2.0,019991999 2.0,0019991999 2.0,00019991999

223 223 223
G
0,20072007 0,020072007 0,0020072007
= + +
A
2
=
31216 31216 31216
0,(2008) 0,0(2008) 0,00(2008)
+ +
= + + + +
12 12 12 12
B
0,(2012) 0,0(2012) 0,00(2012) 0,0000000(2012)
G=
+ +
670 670 670
0, 2012010 0,020122010 0,0020122010

Cho các số thập phân vô hạn tuần hoàn: a = 0,121212 ; b =
1,015015015 ;
c = 2,249249249 Tính giá trị của biểu thức
2
2 1
C a b c
3 12
= + +
và ghi kết
quả dưới dạng phân số tối giản .
D. TÍNH TỔNG HỮU HẠN
Tính các tổng sau:
a)S=1+2+3+…+2012
Hướng dẫn:S=1+2+3+…+2012=2012+…+3+2+1
(
2011cap
2S 1 2011) (2 2010) (2011 1)= + + + + + +
1 4 4 4 4 4 442 4 4 4 4 4 4 43
→2S=2012.2011
S=
2012.2011
2
*Nhận xét; 1+2+3+…+n=
n.(n 1)
2
+
b) S=1+3+5+…+2011
Hướng dẫn:
CÁCH 1. S=1+3+5+…+2011=1+2+3+…+2010+2011-(2+4+6+…+2010)
=1+2+3+4+5+….+2010+2011-2(1+2+3+….+1005)

=
2012.2011 1005.1006
2.
2 2
−
=1012036
CÁCH 2: 4S=4.(1+3+5+…+2011)=4+3.(5-1)+5(7-3)+….+2011(2013-
2009)
=4+3.5-3.1+5.7-5.3+…+2011.2013-2011.2009
=4+2011.2013-3.1=4048144 →S
c)S=3+6+9+….+2013
12
BÀI
2
BÀI
1
d) S=21+23+25+…+2011
e)S=2+4+6+…+2012
f)S=2012.3+2012.4+2012.5+2012.6+…+2012.2011
g)S=
1 2 3 4 2012

2 2 2 2 2
+ + + + +
Tính tổng:
1) S=1.2+2.3+3.4+…+2010.2011
Hướng dẫn: 1.2+2.3+3.4+…+n(n+1)=
n(n 1)(n 2)
3
+ +

CÁCH 1 3S=3.(1.2+2.3+3.4+…+2010.2011)
=1.2(3-0)+2.3(4-1)+…+2010.2011(2012-2009)
=2010.2011.2012 →S=
` CÁCH 2
S =1.2+2.3+3.4+…+2010.2012

1.2.3 0.1.2 2.3.4 1.2.3 2010.2011.2012 2009.2010.2011

3 3 3 3 3 3
     
= − + − + + −
 ÷  ÷  ÷
     
2010.2011.2012
2710908440
3
= =
2) S=1.2.3+2.3.4+ +3.4.5+ +2010.2011.2012
HƯỚNG DẪN: Tính 4S ,suy ra S=
2010.2011.2012.2013
4092794017290
4
=

3) S=2.4.6+4.6.8+6.8.10+….+2008.2010.2012
HƯỚNG DẪN: Tính 8S ,rồi suy ra S=
2008.2010.2012.2014
2044359277680
8
=

4)S=2.4.6.8+4.6.8.10+6.8.10.12+…+100.102.104.106
Tính tổng :
1) S=
1 1 1 1

1.2 2.3 3.4 2011.2012
+ + + +
HƯỚNG DẪN:
CÁCH 1: Dùng công thức :
1 1 1
k(k 1) k k 1
= −
+ +
, từ đó suy ra S=
1
1
2012
−
CÁCH 2:S=… =
2 1 3 2 4 3 2012 2011

1.2 2.3 3.4 2011.2012
− − − −
+ + + +
=
1 1 1 1 1
1
2 2 3 2011 2012
     
− + − + + −

 ÷  ÷  ÷
     
=
1
1
2012
−
2) S=
1 1 1 1

1.2.3 2.3.4 3.4.5 2010.2011.2012
+ + + +
13
BÀI
2
BÀI
3
HNGDN:Dựng cụng thc:

1 1 1 1
.
k(k 1)(k 2) 2 k(k 1) (k 1)(k 2)

=

+ + + + +

Hoc:
1 1
S

4 2.(k 1).(k 2)
=
+ +
3) S=
1 1 1 1 1

3.5 5.7 7.9 997.999 999.1001
+ + + + +
4) M=
1 1 1 1

2 3 4 4000
3999 3998 3997 1

1 2 3 3999
+ + + +
+ + + +
Giải : Xét
3999 3998 3997 1

1 2 3 3999
A = + + + + =

3998 3997 3996 1
1 1 1 1 1
2 3 4 3999
4000 4000 4000 4000

4000 3999 3998 2
1 1 1

4000.
2 3 4000

+ + + + + + + + + =
ữ ữ ữ ữ


+ + + + =
ữ ữ ữ ữ


+ + +
ữ

Vậy
1 1 1

1
2 3 4000
1 1 1
4000
4000
2 3 4000
M
+ + +
= =

+ + +
ữ

4) : Tính
2 2 2 2 2
2008 2007 2006 2005 2 1S = + + +
Giải : Dùng hằng đẳng thức a
2
-b
2
để rút gọn
( )
2008
2008 1 2017036
2
S = +
5) B=
2 3 4 2007 2008
1 2 3 4 2007 2008

5 5 5 5 5 5
+ + + + + +
HD
t
1
5
a=
. Ta cú : B=a+2a
2
+3a
3
++2008a
2008

B=(a+a
2
+a
3
++a
2008
)+(a
2
+a
3
++a
2008
)+(a
3
+a
4
++a
2008
)++
(a
2007
+a
2008
)+a
2008

B=
( ) ( ) ( )
( )
2008 2 2007 2007 2

2008
1 1 1
1

1 1 1 1
a q a q a q
a q
q q q q


+ + + +

vi q=a
14

( )
( )
( )
2009 2 2009 3 2009 2008 2009
2008
2009
2 3 2008 2009
2009 2010
2

1
1
2008
2008
1

1 1
2009 2008 5
0,3125
16
1
a a a a a a a a
a
a a
a
a a a a a
a
B
a a
a a a
B B
a
− + − + − + + −
−
−
−
+ + + + −
−
= =
− −
− +
= ⇒ = =
−
Tính tổng:
1)
1 1 1

S
2 3 3 4 2010 2011
= + + +
+ + +
ÁP DỤNG :
1
k 1 k
k k 1
= + −
+ +
2) S=
1 1 1

1 3 3 5 2009 2011
+ + +
+ + +
3)
1 1 1 1

1 3 3 5 5 7 2009 2011
A = + + + +
+ + + +
4)
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
1 1 1
1 2 2 3 2009 2010
B = + + + + + + + + +
5)
3 1 4 2 5 3 2006 2004 1 1 1

2
3.1 4.2 3.5 2004.2006 2 3 2006
S
 
+ + + +
 
= + + + + − + + +
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
=-






+
2005
1
2
1
+







+
2000
1
1
1
6)
1 1 1 1
(1 ).(1 ).(1 ) (1 )
1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3
A
a
= − − − −
+ + + + + + + + + +
1, TÝnh tÝch A.( ViÕt kÕt qu¶ díi d¹ng tæng qu¸t ))
2, ¸p dông víi a=2008
2
. TÝnh kÕt qu¶ A viÕt díi d¹ng ph©n sè.
7)
1.2
1
2.3
1
2000.2001
1
2001.2002
1
2002.2003
1
D −−⋅⋅⋅−−−=

8)
4 4 4 4
4 4 4 4
1 1 1 1
(1 )(3 )(5 ) (19 )
4 4 4 4
F
1 1 1 1
(2 )(4 )(6 ) (20 )
4 4 4 4
+ + + +
=
+ + + +
8b)
4 4 4 4
4 4 4 4
1 1 1 1
1 3 5 2011
4 4 4 4
20122012
1 1 1 1
2 4 6 2012
4 4 4 4
     
+ + + +
 ÷ ÷ ÷  ÷
     
×
     
+ + + +

 ÷ ÷ ÷  ÷
     
L
L
8c)
1 2 3 1 3 4 1 4 5 1 2010 2011
1 2 3 1 3 4 1 4 5 1 2010 2011
Q
− + − + − + − +
= + + + +
+ + + + + + + +
L
8d)
3 3 3
3 3 3 3 3 3 3
3 5 7 57 59
M
2 4 4 6 6 8 56 58 58 60
= + + + + +
+ + + + +
15
BÀI 4
8e)B =
2222
39
20
19
7
4
3

5
3
2
3
2
1






+++






++






++







+
8f)M =
151
149
75
7
5
3
5
3
2
3
1
1
2
3
2
3
2
3
2
3
++++++++
9)
1 1 1
S
1.2.3.4 2.3.4.5 102.103.104.105

= + + +
10)
a/ A=7+7.3+7.3
2
+………+7.3
18
b/ B=1
4
+2
4
+3
4
+…………+10
4
11) A=
55
55
10099 21 ++++
1 1 1

1 2 2 1 2 3 3 2 2004 2005 2005 2004
S = + + +
+ + +
:
( )
1 1 3 2 1 1
2 3 3 2 2.3 2 3
2.3 3 2
−
= = = −

+
+
Vëy
7 5 3 11
Q 1010101010. 200520052005.
1313131313131 2626262626 100251002510025 601560156015
   
= − + +
 ÷  ÷
   
7 5 3 11
M 101010101. 200320032003.
1111111111 2222222222 1001600160015 600960096009
   
= − + +
 ÷  ÷
   

2 1 3 2 2005 2004

1.2 2.3 2004.2005
S
− − −
= + + +
=………
12)a)
1999.1996
1
1996.1993
1

7.4
1
4.1
1
++++=A
b)
44
4
30
1

3
1
2
1
+++=B
Tính tổng
1)S=2+2
2
+2
3
+….+2
2011
HƯỚNG DẪN
Cách 1:Sử dụng kết quả 1+q+q
2
+q
3
+q

4
+….+q
n
=
n 1 n 1
q 1 1 q
q 1 1 q
+ +
− −
=
− −
Suy ra:S=2+2
2
+2
3
+….+2
2011
=(1+2+2
2
+2
3
+….+2
2011
)-1
=
2012
2012
2 1
1 2 2
2 1

−
− = −
−
Cách 2: S=2+2
2
+2
3
+….+2
2011
=2.(1+2+2
2
+2
3
+….+2
2010
)
16
BÀI 5
=2.
2 3 2010 2011 2011
S
1 2 2 2 2 2 2
 
+ + + + + + −
 ÷
 
1 4 4 4 442 4 4 4 4 43
,suy ra S
Cách 3:S=2+2
2

+2
3
+….+2
2011
=2.(2-1)+2
2
(2-1)+2
3
(2-1)+2
4
(2-1)+….+2
2011
(2-1)
=2
2
-2+2
3
-2
2
+2
4
-2
3
+2
5
-2
4
+….+2
2012
-2

2011
=2
2012
-2
2) S=
2 3 2008
1 1 1 1

3 3 3 3
+ + + +
Cách 1: S=1+
2 3 2008
1 1 1 1

3 3 3 3
+ + + +
-1=
2009
1
1
3
1
1
1
3
 
−
 ÷
 
−

−
Cách 2: S=
2 3 2008
1 1 1 1

3 3 3 3
+ + + +
=
2 3 2008
1 3 1 3 1 3 1 3 1
.
2 3 3 3 3
− − − −
 
+ + + +
 ÷
 
=…… =
2008
1 1
. 1
2 3
 
−
 ÷
 
*KIẾN THỨC BỔ TRỢ:
A
k
- B

k
=(A-B)(A
k-1
+A
k-2
B+A
k-3
B
2
+ +AB
k-2
+B
k-1
)
1 - x
k
=(1-x)(1+x+x
2
+x
3
+…+x
k-1
)
S=2+2
2
+2
3
+…+2
n
=2

n+1
-2
S=1+2+2
2
+2
3
+…+2
n
=2
n+1
-1
S=1+q+q
2
+q
3
+q
4
+….+q
n
=
n 1 n 1
q 1 1 q
q 1 1 q
+ +
− −
=
− −
4) S=
100
1 1 1 1

2 4 8 2
+ + + +
5) S=
2 3 201
3 3 3 3

5 5 5 5
+ + + +
6) S=
30 31 32 101
101 101 101 101+ + + +
7) S=
2 3 4 2011
5.21 5.21 5.21 5.21+ + + +
8) S=
5 6 7 8 2011
3 3 3 3 3

19 19 19 19 19
+ + + + +
TÍNH TỔNG
1) S=1
2
+2
2
+3
2
+…+2011
2

HƯỚNG DẪN:
S=1
2
+2
2
+3
2
+…+2011
2
=1(2-1)+2(3-1)+3(4-1)+…+2011(2012-1)
=1.2-1+2.3-2+3.4-3+….+2011.2012-2011
=(1.2+2.3+3.4+…+2011.2012)-(1+2+3+….+2011)
=
2011.2012.2013 2011.2012
3 2
−
=……
17
BÀI 6
*nhận xét; bài trên sử dụng các kết quả sau:
1.2+2.3+3.4+…+n(n+1)=
n(n 1)(n 2)
3
+ +
1+2+3+…+n=
n.(n 1)
2
+
1

2
+2
2
+3
2
+….+n
2
=
n.(n 1)(2n 1)
6
+ +
2) S= 1
3
+2
3
+3
3
+…+2011
3
Sử dụng kết quả:1
3
+2
3
+3
3
+…+n
3
=(1+2+3+4+…+n)
2
=

2
n(n 1)
2
+
 
 
 
3) S=2
3
+4
3
+6
3
+…+2012
3
4) S=1
3
+3
3
+5
3
+…+2011
3
Tính tổng
1) S=
100chuso3
3 33 333 3333 333 333+ + + + +
142 43
Hướng dẫn:
S=

100chuso3
3 33 333 3333 333 333+ + + + +
142 43
=
100so9
1
9 99 999 9999 999 999
3
 
+ + + + +
 ÷
 
142 43
=
( )
( ) ( ) ( )
2 3 100
1
10 1 10 1 10 1 10 1
3
 
− + − + − + + −
 
=
( )
2 3 100
100so1
1
10 10 10 10 1 1 1 1
3

 
 
+ + + + − + + + +
 
 ÷
 
 
1 44 2 4 43
=
101 101
1 10 1 10 1 101
1 100
3 9 27 3
 
− −
− − = −
 ÷
 
*Bài toán tổng quát:
nchusok
S k kk kkk kkkk kkk kkk
1 k 9

= + + + + +



≤ ≤

142 43

=> S =
nchuso1
1
1 11 111 1111 111 111
k
 
× + + + + +
 ÷
 
142 43
( ) ( ) ( )
( )
k
1
10 1 100 1 1000 1 10 1
k
 
= × − + − + − + + −
 
( )
( )
k 1
2 3 k
1 1 10 1
10 10 10 10 k k 1
k k 9
+
 
−
 

= × + + + + − = × − +
 
 
 
2) S=
1000so5
5 55 555 5555 555 555+ + + + +
142 43
18
BÀI 7
3) S=
100so3
23 233 2333 23333 2333 333+ + + + +
142 43
4)S=
1000so5
635 6355 63555 635555 63555 555+ + + + +
142 43
5) S=
100so3
31 331 3331 333 3331+ + + +
142 43
6)
+ + + + + + +
=
+ + + + + + +
4 4 4 4 4 4 4
4 4 4 4 4 4 4
(1 4)(5 4)(9 4)(13 4)(17 4)(21 4)(25 4)
(3 4)(7 4)(11 4)(15 4)(19 4)(23 4)(27 4)

C
7)
+ + + + + + +
=
+ + + + + + +
4 4 4 4 4 4 4
4 4 4 4 4 4 4
(1 6)(7 6)(13 6)(19 6)(25 6)(31 6)(37 6)
(3 6)(9 6)(15 6)(21 6)(27 6)(33 6)(39 6)
C
E.CÁC BÀI TOÁN VỀ TÌM X, PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG
TRÌNH
I ,Tìm x
*Phương pháp:
+ nhập biểu thức vào màn hình
+dùng lệnh shift/solve/=/0/=
: Tìm x trong các phương trình sau:
1)
9
7
74,27:)
8
3
1.
4
1
22:
27
11
4

32
17
5(
18
1
2:
12
1
32,0).:38,19125,17(
++−
++ x
= 6,48.
2)
73,2:.73,0
7
5
4.:
7
4
6
5
3
4
3
:)23,4
5
3
23)((
45,27,2326,023,4
267,325,1

6525
22
−+
+−−+− x
=
)4,2
5
3
4(:
6,4
3
+
3)
3152,85379,7
3143,54838,2
9564,119675,3
8769,25649,4
−
+
=
+−
+
x
x
x
x
4). 3
738
6
).29310(7298694(5

−
−=−++−− x
.
5)
11300137,0:81,17
20
1
62:
8
1
25
3
288,1
2
1
1
20
3
3,0
5
1
:465,2
20
1
3
003,0:
2
1
4
=+

×+
×−
−
×−
−





































x
6)
2006
33,41
13
4
)1,322,2(
7
2
1)43,711,422,5(
=
−⋅+
⋅+−x
7)
( )
2,3 5 : 6,25 .7
4 6 1
5 : x :1,3 8,4. . 6 1
7 7 8.0,0125 6,9 14

 
 
+
 
+ − =
  
+
 
 
 
19
BÀI 1
8)
=
−
−
006,2145,3
7,14:51,4825,0.2,15
x
)25,35,5(8,02,3
5
1
1.
2
1
2:
66
5
11
2

44
13
−+






−−
9)Giải phương trình (lấy kết quả với các chữ số tính được trên máy)
130307+140307 1+x =1+ 130307-140307 1+x
10). Giải phương trình (lấy kết quả với các chữ số tính được trên máy) :
x+178408256-26614 x+1332007 + x+178381643-26612 x+1332007 1=
11)
( )
1 1 2 2 2 11 5 1
15,25 0,125.2 3,567. 1 1 .1
5 4 5 11 3 7 11 46
0,(2)x 2,007 9,2 0,7 5,65 3,25
     
+ − − − −
 ÷  ÷  ÷
     
=
− + −
12)
3 4 4 1
0,5 1 1,25 1,8 3
7 5 7 2 3

5,2 2,5
3 1 3
4
15,2 3,15 2 4 1,5 0,8
4 2 4
:
:
:
x× ×
× × ×
 
   
− − +
 ÷  ÷
 
 
   
 
= −
 ÷
 
 
− +
 ÷
 
13)
3
2
12
5

x39
2x7
24
)1x(4x5
14
5
)x3(2
x
+
−
++
=
−−
−
−
+

14)
5
49
x51
47
x53
45
x55
43
x57
41
x59
−=

−
+
−
+
−
+
−
+
−
Tính giaù trò cuûa x töø caùc phöông trình sau:
5
(0,73 ) 1,37 1,7
1
13
1/ 15,1: (3 0,57)
2
3
5,7 6,1 (2 1,19)
3
x− − ×
= −
× − +
2 2
(0,53 0,47 ) : (0,007 1,7)
1
2 / 3 : (1,29 3,17)
3
7
13,27 (0,73 0,49 0,23) :
13

x
 
+ +
 
= +
− − ×
3)
13 2 5 1 1
: 2 1
15,2 0,25 48,54 :14,7
44 11 66 2 5
1
3,2 0,8 5 3,25
2
x
 
− − ×
 ÷
× −
 
=
 
+ × −
 ÷
 
4)
( )
( )
( )
( )

2 2
3 2 4
0,15 0,35 : 3x 4,2 .
1
4 3 5
3 : 1,2 3,15
2 3 12
2
12,5 . : 0,5 0,3.7,75 :
7 5 17
 
 
+ + +
 ÷
 
 
= +
 
− −
 
 
5)
25
7,3
25,3
3
57,2
52
37,3
3

−
+
+
=
+
−
−
+
− xx
20
BÀI
2
6)
[ ]
11)1x(3,0:08,1140
3029
1
2928
1

2423
1
2322
1
2221
1
=−×+×







×
+
×
++
×
+
×
+
×
7)
(9 2 3) 6 14 2 3 6 8 16
( 2 3 2 3 ) .
3 6 2 2 2 3 28 2 3 4
x
x
 
− + + + + +
− + + − − =
 ÷
 ÷
− + + +
 
8)
2
3
1,826
3

12,04
1
5
4
2,3 7
3 5
18 15
0,0598 15 6
y
−
=
 
+ ×
 ÷
−
 ÷
+
 ÷
 ÷
 
9)
2009
1
30x11x
1
20x9x
1
12x7x
1
6x5x

1
2x3x
1
xx
1
222222
=
++
+
++
+
++
+
++
+
++
+
+
10)
1 1
4 2 3 60
5 3
3 0,3(4) 1,(62) : :
1,23(5) 0,9(52) 11
x x
−
−
= − +
11)Tìm số tự nhiên
*

n N
∈
thoả mãn:
( )
2
2
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 2011 1
1 1 1 1
1 2 2 3 3 4 2011
1
n
n
−
+ + + + + + + + + + + + =
+
12)
1 1 1 1
11
1 2 2 3 3 4 2009 2010x x x x x x x x
+ + + ×××+ + =
+ + + + + + + + + + + +
13)
3 1 1 1
12 10,34 ( 11) 280
13 21.22 22.23 29.30
x
 
− × − = + + + ×
 ÷

 
14)
( )
( )
2
3
y 3,26 : 0,001
0,3 1,15 .
1441
1000
2
: 224,1 : 0,1245 1801
3 1 5 1
20
4. 0,325 : 3 0,6875 .
40 5 16 8
 
 
− +
−
 
 ÷
 
 
− + =
   
 
− +
 ÷  ÷
 

   
 
15)
1 3 1
4 :0,003 0,3 .1
1
2 20 2
: 62 1
1 1 3 1
20
3 2,65 .4: 1,88 2 .
20 5 25 8
x
 
   
− −
 ÷  ÷
 
   
 
− =
   
 
− +
 ÷  ÷
 
   
 
16)
2011

2010
3
5
:
3
1
1.
5
2
25
33
:
3
1
3:]
9
).2(0).5(,0[ =






−







x
21
17)
48,6
9
7
74,27:)
8
3
1
4
1
22:
27
11
4
32
17
5(
18
1
2:
12
1
32,0):38,19125,17(
=
+×+−
+×+ x
18)
1 1 1 1

3 1
1 2 2 3 3 4 2011 2012
+ + +×××+ = +
+ + + + + + + + + + + +
x
x x x x x x x x
II, Phương trình , hệ phương trình:
+) Ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn:
2
0ax bx c
+ + =
+) Ph¬ng tr×nh bËc ba mét Èn:
3 2
0ax bx cx d
+ + + =
+) HÖ 2 ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn:
1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
+ =


+ =

+) HÖ 3 ph¬ng tr×nh bËc nhÊt ba Èn:
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
a x b y c z d

a x b y c z d
a x b y c z d
+ + =


+ + =


+ + =


TÌM THƯƠNG VÀ DƯ CỦA PHÉP CHIA a CHO b
I)PHƯƠNG PHÁP:
1) Số A không quá lớn:
Số dư r= a-b.
a
b
 
 
 
;
a
b
 
 
 
là phần nguyên A chia cho B
*Quy trình bấm phím :
a
→

A
b
→
B, Lấy phần nguyên của a chia cho b
Rồi thực hiện: r= a- b.q
2) Số bị chia quá lớn
- Tách a thành nhiều nhóm ( không quá 10 số), tìm dư phần đầu khi
chia cho b
- Viết phần còn lại vào sau số dư vừa tìm , rồi thực hiện phép chia
II) CÁC VÍ DỤ
Bài 1: Tìm dư trong các phép chia sau:
a)18901969 cho 3041975
b)3523127 cho 2047
c)987654321 cho123456789
d)39267735657 cho 4321
e)22031234 cho 4567
f)20052006 cho 2005105
g)983637955 cho 9604325
Bài 2:Tìm thương và dư trong phép chia
22
DẠNG
2
a)9123456217 cho 123456
b)987896854 cho 698521
c)2345678901234 cho 4567
Bài 3; Tìm dư trong phép chia :
a)1234567890987654321 cho 123456
b)903566896235 cho 37869
c)2009201020112012 cho 2010
d)1234567890987654321 cho 2010

e)98765432112345 cho 2010
III) Tìm dư khi chia
a
α
cho m ( a,m nguyên dương)
1) Phương pháp
a) Thủ công : Dùng tính chất đồng dư số học , nâng lũy thừa 2
vế lớn dần
b) Dùng định lí Ơle, và Fecma
* Ơle:
Nếu (a,m)=1 thì
(m)
a 1(mod m)
ϕ
≡
, trong đó
1 2 k
1 1 1
(m) m(1 )(1 ) (1 )
p p p
ϕ = − − −
* Fecma: p là số nguyên tố , a là số nguyên tùy ý ta có :
p
a a(mod p)≡
, đặt biệt : (a,p)=1 thì:
p 1
a 1(mod p)
−
≡
.Nếu (a,m)=r>1, ta không thể áp dụng định lí Ơle một

cách trực tiếp. Ta làm như sau:
G/s : a=r.q, m=r.t ,ta biến đổi như sau:
(m)
a ?(mod m)
ϕ
≡
:
⇔
1
a r .q ?(mod r.t) r.r .q ?(mod r.t)
α α α α− α
= ≡ ⇔ ≡
Tìm dư
1 2
x ,x
trong đồng dư thức:
1
1
2
q x (mod t)
r x (mod t)
α
α−

≡

≡

( Ơle)
1 1

1 2 1 2
r .q x .x (mod t) r.r .q r.x .x (mod r.t)
α− α α− α
⇒ ≡ ⇒ ≡
Vậy :
1 2
a r.x .x (mod m)
α
≡
* Tính chất đồng dư:
1) a
b(mod m),c d(modm),≡ ≡
ta có :
a.c b.d(mod m)
≡
2)
k k
a b(mod p) a b (mod p)
≡ ⇒ ≡
3)
a b(mod p) k.a k.b(modp)
≡ ⇒ ≡
c) Dùng dấu hiệu tuần hoàn của số dư của lũy thừa
2)Bài toán:
BÀI TOÁN 1 : Tìm số dư trong phép chia:
a) 2945
5
-3 cho 9
HD: 2945=9.327+2
≡

2(mod9) =>2945
5
-3
≡
2
5
-3
≡
29
≡
2(mod9)
23
=> r=2
b) (1997
1998
+1998
1999
+1999
2000
)
10
chia hết cho 111
HD: 1998
≡
111.18=>1998
≡
0(mod111)
1997
≡
-1 (mod111)=>1997

1998
≡
1 (mod111)
1999
≡
1 (mod111)=>1999
2000
≡
1 (mod111)
=>(1997
1998
+1998
1999
+1999
2000
)
10

≡
2
10
≡
25=r (mod111)
c) 109
345
cho 14
d) 1532
5
-1 cho 9
e) 10! cho 11

f) 3
40
cho 83
g) 35
150
cho 425
h) 5
70
+50
70
cho 12
BÀI TOÁN 2: Tìm dư trong phép chia
1) 7
15
cho 2001
2)
5555 2222
2222 5555 2007
+ +
cho 7
3)
2008 2009
18 8
+
cho 49
4) 1776
2010
cho 2000
5) 1597
2008

cho 49
6)
2008 2008
19 7
+
cho 27
7) 7
17
cho 2005
8) 1776
2003
cho 4000
9) 197334
63
cho 793
10) 197334
2008
cho 793
BÀI TÓAN 3: Tìm dư trong các phép chia sau
1) 2009
2010
cho 2011
2) 2008
2010
cho 6
3) 9
1999
cho 12 và 9
1999
cho 33

4) 2004
376
cho 1975
5) 102007
20072008
cho 111007
6) 2010
62
cho 2012
7) 1978
38
cho 3878
8) 1997
2001
cho 2003
9) 5
2008
cho 2003
10) 3
8
+3
6
+3
2004
cho 91
ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT CỦA HAI
HAY
NHIỀU SỐ
I) Phương pháp:
Bài toán 1: Tìm và của hai số nguyên dương và

.
24
DẠNG 3
Thuật toán:
Xét thương . Nếu:
1. Thương cho ra kết quả dưới dạng phân số tối giản hoặc cho ra kết
quả dưới dạng số thập phân mà có thể đưa về dạng phân số tối giản (
là các số nguyên dương) thì:
2. Thương cho ra kết quả là số thập phân mà không thể đổi về dạng
phân số tối giản thì ta làm như sau:
Tìm số dư của phép chia . Giả sử số dư đó là ( là số nguyên
dương nhỏ hơn ) thì:
( Chú ý: )
Đến đây ta quay về giải bài toán tìm của hai số và .
Tiếp tục xét thương và làm theo từng bước như đã nêu trên.
Sau khi tìm được , ta tìm bằng cách áp
dụng đẳng thức:
. Suy ra:
.
Bài toán 2: Tìm và của ba số nguyên dương , và .
Thuật toán:
1. Để tìm ta tìm rồi tìm
Điều này suy ra từ đẳng thức:
2. Để tìm ta làm tương tự. Ta cũng có:
25