Đề thi học sinh giỏi tỉnh Nghệ An năm 2013 môn toán 12 bảng A potx
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (215.89 KB, 6 trang )
SỞ GD& ĐT NGHỆ AN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12
NĂM HỌC 2012 - 2013
(Đề thi gồm 01 trang)
Môn thi: TOÁN - THPT BẢNG A
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu I: (3,0 điểm)
Cho hàm số
2x 1
y
x 1
có đồ thị
(C)
và điểm
P 2;5
.
Tìm các giá trị của tham số
m
để đường thẳng
d : y x m
cắt đồ thị
C
tại hai điểm
phân biệt
A
và
B
sao cho tam giác
PAB
đều.
Câu II: (6,0 điểm)
1. Giải phương trình
3
x 1 2 1
x
x 2
2x 1 3
2. Giải hệ phương trình
2 2
2 2
2
2 2
1 1
x y 5
x y
x,y
xy 1 x y 2
Câu III: (6,0 điểm)
1. Cho lăng trụ
ABC.A'B'C'
có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của
điểm
A'
lên mặt phẳng
(ABC)
trùng với trọng tâm tam giác
ABC
. Biết khoảng cách giữa
hai đường thẳng
AA'
và
BC
bằng
a 3
4
. Tính theo
a
thể tích khối lăng trụ
ABC.A'B'C'
.
2. Cho tứ diện
ABCD
có
G
là trọng tâm tam giác
BCD
. Mặt phẳng
đi qua trung
điểm
I
của đoạn thẳng
AG
và cắt các cạnh
AB, AC, AD
tại các điểm (khác
A
). Gọi
A B C D
h , h , h , h
lần lượt là khoảng cách từ các điểm
A, B, C, D
đến mặt phẳng
.
Chứng minh rằng:
2 2 2
2
B C D
A
h h h
h
3
.
Câu IV: (2,5 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ
Oxy
, cho điểm
A 1; 1
và đường tròn
2 2
T : x 3 y 2 25
. Gọi
B, C
là hai điểm phân biệt thuộc đường tròn
T
(
B, C
khác
A
). Viết phương trình đường thẳng
BC
, biết
I 1;1
là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
ABC
.
Câu V: (2,5 điểm)
Cho các số thực dương
a, b, c
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
3
2 3
P .
a ab abc a b c
- - Hết - -
Họ tên thí sinh: Số báo danh:
Đ
ề thi chính thức
1
SỞ GD& ĐT NGHỆ AN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12
NĂM HỌC 2012 - 2013
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn: TOÁN THPT- BẢNG A
(Hướng dẫn chấm gồm 05 trang)
Câu
Nội dung Điểm
I.
(3,0đ)
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng
d
và đồ thị
(C)
là:
2x 1
x m
x 1
2
x (m 3)x m 1 0 1
, với
x 1
0,5
Đường thẳng
d
cắt đồ thị
(C)
tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi
phương
trình
1
có hai nghiệm phân biệt khác
1
2
m 2m 13 0
0.m 3 0
(đúng
m
)
0,5
Gọi
1 2
x , x
là các nghiệm của phương trình (1), ta có:
1 2
1 2
x x m 3
x x m 1
Giả sử
1 1
A x ; x m
,
2 2
B x ; x m
0,5
Khi đó ta có:
2
1 2
AB 2 x x
2 2 2 2
1 1 1 2
PA x 2 x m 5 x 2 x 2
,
2 2 2 2
2 2 2 1
PB x 2 x m 5 x 2 x 2
Suy ra
PAB
cân tại
P
0,5
Do đó
PAB
đều
2 2
PA AB
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
x 2 x 2 2 x x x x 4 x x 6x x 8 0
0,5
2
m 1
m 4m 5 0
m 5
. Vậy giá trị cần tìm là
m 1, m 5
.
0,5
II.
1,
(3,0đ)
ĐKXĐ:
x 1
x 13
Phương trình đã cho tương đương với
3
x 2 x 1 2 2x 1 3
0,5
3
x 1 x 1 x 1 2x 1 2x 1 (1)
0,5
Xét hàm số
3
f t t t
;
2
f ' t 3t 1 0, t
Suy ra hàm số
f t
liên tục và đồng biến trên
0,5
Khi đó:
3 3
Pt(1) f x 1 f 2x 1 x 1 2x 1
0,5
2
3 2
3 2
1
x
1
2
x 0
1
x
x
2
x 0
2
1 5
x
x x x 0
x 1 2x 1
1 5
2
x
2
0,5
Đối chiếu ĐKXĐ được nghiệm của phương trình đã cho là:
1 5
x
2
và
x 0
0,5
II.
2,
(3,0đ)
ĐKXĐ:
x 0
y 0
Ta có hệ phương trình đã cho tương đương với:
2
2
2 2
1 1
x y 5
x y
x 1 . y 1 2xy
0,5
2
2
1 1
x y 5
x y
*
1 1
x . y 2
x y
, đặt
1
u x
x
1
v y
y
Hệ phương trình
*
trở thành
2
2 2
u v 5
u v 9
uv 2
uv 2
0,5
u v 3
uv 2
(I) hoặc
u v 3
uv 2
(II)
Ta có:
u 1
I
v 2
hoặc
u 2
v 1
u 1
II
v 2
hoặc
u 2
v 1
Vì
1
u x u 2
x
nên chỉ có
u 2
v 1
và
u 2
v 1
thỏa mãn.
0,5
u 2
v 1
ta có
1
x 1
x 2
x
1 5
1
y
y 1
2
y
(thỏa mãn ĐKXĐ)
0,5
u 2
v 1
ta có
1
x 1
x 2
x
1 5
1
y
y 1
2
y
(thỏa mãn ĐKXĐ)
0,5
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm
x;y
là:
0,5
3
E
A'
C'
B'
C
B
G
A
D
1 5 1 5 1 5 1 5
1; , 1; , 1; , 1;
2 2 2 2
.
III.
1,
(3,0đ)
Diện tích đáy là
2
ABC
a 3
S
4
.
Gọi
G
là trọng tâm tam giác
ABC
0,5
Gọi
E
là trung điểm
BC
. Ta có
BC AE
BC AA'E
BC A'G
Gọi
D
là hình chiếu vuông góc của
E
lên đường thẳng
AA'
.
0,5
Do đó
BC DE, AA' DE
Suy ra
DE
là khoảng cách giữa hai đường thẳng
AA'
và
BC
0,5
Tam giác
ADE
vuông tại
D
suy ra
0
DE 1
sinDAE DAE 30
AE 2
0,5
Xét tam giác
A'AG
vuông tại
G
ta có
0
a
A'G AG.tan30
3
0,5
Vậy
3
ABC.A'B'C' ABC
a 3
V A'G.S
12
.
0,5
III.
2,
(3,0đ)
Gọi
B', C', D'
lần lượt giao điểm của
mp
với các cạnh
AB, AC, AD
.
Ta có
AGBC AGCD AGDB ABCD
1
V V V V
3
(*)
0,5
Vì
AB'C'D' AIB'C' AIC'D' AID'B'
V V V V
và (*) nên
AB'C'D' AIB'C' AIC'D'
AID'B'
ABCD AGBC AGCD AGDB
V V V V
V 3V 3V 3V
0,5
AB'.AC'.AD' AI.AB'.AC' AI.AC'.AD' AI.AD'.AB
'
AB.AC.AD 3.AG.AB.AC 3.AG.AC.AD 3.AG.AD.AB
AB AC AD AG
3. 6
AB' AC' AD' AI
BB' CC' DD'
3
AB' AC' AD'
0,5
I
G
B'
D'
A
B
C
D
C'
4
Mặt khác ta có
C
B D
A A A
h
h h
BB' CC' DD'
, ,
AB' h AC' h AD' h
0,5
Suy ra
C
B D
B C D A
A A A
hh h
3 h h h 3h
h h h
(**)
0,5
Ta có:
2
2 2 2
B C D B C D
h h h 3 h h h
2 2
2
B C C D D B
h h h h h h 0
( luôn đúng )
Kết hợp với (**) ta được
2
2 2 2
A B C D
3h 3 h h h
Hay
2 2 2
2
B C D
A
h h h
h
3
.
0,5
IV.
(2,5đ)
Đường tròn
T
có tâm
K 3;2
bán kính là
R 5
Ta có
AI:x y 0
, khi đó đường thẳng
AI
cắt đường tròn
T
tại
A'
(
A'
khác
A
) có tọa
độ là nghiệm của hệ
2 2
x 1
x 3 y 2 25
y 1
x y 0
(loại)
hoặc
x 6
y 6
Vậy
A' 6;6
0,5
Ta có:
A'B A'C (*)
(Do
BA' CA'
)
A'BC BAI
(1) (Vì cùng bằng
IAC
)
Mặt khác ta có
ABI IBC
(2)
Từ (1) và (2) ta có:
BIA' ABI BAI IBC A'BC IBA'
Suy ra tam giác
BA'I
cân tại
A'
do đó
A'B A'I (**)
Từ
* , **
ta có
A'B A'C A'I
0,5
Do đó
B,I,C
thuộc đường tròn tâm
A'
bán kính
A'I
có phương trình là
2 2
x 6 y 6 50
0,5
Suy ra tọa độ B, C là nghiệm của hệ
2 2
2 2
x 3 y 2 25
x 6 y 6 50
Nên tọa độ các điểm
B,C
là :
(7; 1),( 1;5)
0,5
Khi đó
I
nằm trong tam giác
ABC
(TM) .
Vậy phương trình đường thẳng
BC: 3x 4y 17 0
.
0,5
V.
(2,5đ)
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có
3
1 a 4b 1 a 4b 16c 4
a ab abc a . . a b c
2 2 4 3 3
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a 4b 16c
.
0,5
Suy ra
3 3
P
2 a b c
a b c
0,5
K
A
I
B
C
A'
5
Đặt
t a b c, t 0
. Khi đó ta có:
3 3
P
2t
t
Xét hàm số
3 3
f t
2t
t
với
t 0
ta có
2
3 3
f ' t
2t
2t t
.
2
3 3
f ' t 0 0 t 1
2t
2t t
0,5
Bảng biến thiên
t
0
1
f ' t
0
+
f t
0
3
2
Do đó ta có
t 0
3
minf t
2
khi và chỉ khi
t 1
0,5
Vậy ta có
3
P
2
, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
16
a
21
a b c 1
4
b
a 4b 16c
21
1
c
21
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là
3
2
khi và chỉ khi
16 4 1
a,b,c , ,
21 21 21
.
0,5
- - Hết - -
Chú ý: - Học sinh giải cách khác đúng cho điểm phần tương ứng.
- Khi chấm giám khảo không làm tròn điểm.
