tìm hiểu về đại số đa tuyên tính luan văn khoa học toán

Mục lục
Lời nói đầu 3
1 Tích tensor 5
1.1 Tích tensor của các module . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Các tính chất cơ bản của tích tensor . . . . . . . . . . . 12
1.3 Một số đẳng cấu hàm tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Tích tensor và dãy khớp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5 Mở rộng vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.6 Tích tensor của các đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2 Đại số tensor 28
2.1 Đại số tensor của một module . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2 Các tính chất hàm tử của đại số tensor . . . . . . . . . . 30
2.3 Mở rộng vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4 Đại số tensor của tổng trực tiếp và của module tự do . . 36
3 Đại số đối xứng 38
3.1 Đại số đối xứng của một module . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2 Các tính chất hàm tử của đại số đối xứng . . . . . . . . 40
3.3 Mở rộng vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4 Đại số đối xứng của tổng trực tiếp và của module tự do. 43
4 Đại số ngoài 47
4.1 Đại số ngoài của một module, tích ngoài . . . . . . . . . 47
4.2 Các tính chất hàm tử của đại số ngoài . . . . . . . . . . 49
4.3 Mở rộng vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.4 Đại số ngoài của tổng trực tiếp và của module tự do . . . 53
4.5 Tiêu chuẩn độc lập tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . 57
1
MỤC LỤC 2
5 Một số ứng dụng của đại số ngoài 61
5.1 Định thức của một tự đồng cấu . . . . . . . . . . . . . . 61
5.2 Đa tạp Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.3 Phức Koszul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Tài liệu tham khảo 72
Lời nói đầu
Một mở rộng trực tiếp của khái niệm ánh xạ tuyến tính là khái niệm
ánh xạ đa tuyến tính, nghĩa là một ánh xạ nhiều biến và tuyến tính
một cách độc lập theo từng biến. Như tên gọi của nó, đại số đa tuyến
tính nghiên cứu các ánh xạ đa tuyến tính và các đối tượng liên quan.
Được phát triển bởi các nhà toán học Grassmann, Ricci–Curbastro, Levi-
Civita , đại số đa tuyến tính đã được tổng quát và hệ thống hóa như
ngày nay, với các tư tưởng của lý thuyết phạm trù, bởi nhóm Bourbaki.
Cũng như đại số tuyến tính, đại số đa tuyến tính có rất nhiều ứng
dụng khác nhau. Khái niệm dạng vi phân trong giải tích nhiều biến là
một trong những ứng dụng hay gặp nhất của nó. Tuy nhiên, đại số đa
tuyến tính lại ít được giảng dạy trong các chương trình đào tạo đại học
và sau đại học. Các tài liệu trình bày đầy đủ về đại số đa tuyến tính
cũng không nhiều, với [2] là cuốn sách chuyên khảo đầu tiên bằng tiếng
Việt (theo hiểu biết của tác giả).
Với những lý do trên, tác giả nhận thấy việc tìm hiểu một số nội dung
của đại số đa tuyến tính theo quan điểm đại số hiện đại là cần thiết.
Luận văn trình bày những kiến thức cơ bản, trong đó nhấn mạnh tính
phổ dụng, các đẳng cấu hàm tử, tính đối ngẫu trong đại số đa tuyến
tính. Cụ thể, luận văn gồm có 5 chương:
Chương 1. Tích tensor, trình bày những vấn đề chung nhất về tích
tensor, một số đẳng cấu hàm tử của tích tensor, tích tensor và dãy khớp,
mở rộng vô hướng và tích tensor của các đại số. Chương này cũng là
chương chuẩn bị cho các chương tiếp theo.
Chương 2. Đại số tensor, bao gồm các vấn đề: đại số tensor của
một module, các tính chất hàm tử của đại số tensor, mở rộng vô hướng,
đại số tensor của tổng trực tiếp và của module tự do. Một kết quả đáng
chú ý của chương đó là đại số tensor của một module tự do hạng n thì
đẳng cấu với đại số kết hợp tự do của n biến.

Chương 3. Đại số đối xứng, có cấu trúc tương tự chương 2. Kết
3
MỤC LỤC 4
quả tương ứng với kết quả nói trên là đại số đối xứng của một module
tự do hạng n thì đẳng cấu với đại số đa thức của n biến. Đây là một
ứng dụng hay gặp của đại số đối xứng, chẳng hạn khi người ta muốn sử
dụng một vành đa thức nào đó mà không quan tâm tới các biến cụ thể.
Chương 4. Đại số ngoài, bên cạnh các nội dung như đại số ngoài
của một module, tích ngoài, tính đối ngẫu còn có tiêu chuẩn độc lập
tuyến tính thông qua tích ngoài. Các tiêu chuẩn này sẽ được áp dụng ở
chương tiếp theo. Đại số ngoài và tích ngoài có rất nhiều ứng dụng khác
nhau trong toán học.
Chương 5. Một số ứng dụng của đại số ngoài, trình bày một
số ứng dụng đơn giản của đại số ngoài: định thức của một tự đồng cấu
(đại số tuyến tính), đa tạp Grassmann (hình học đại số), phức Koszul
(đại số giao hoán). Vì nhiều lý do, luận văn không trình bày một ứng
dụng nổi bật của đại số ngoài và tích ngoài là dạng vi phân trên đa tạp.
Bạn đọc nào quan tâm có thể tham khảo trong các cuốn sách về hình
học vi phân.
Trong suốt quá trình làm luận văn, tác giả luôn nhận được sự hướng
dẫn tận tình của T.S. Nguyễn Quang Lộc. Từ sâu đáy lòng, tác giả xin
gửi tới thầy lời cảm ơn chân thành nhất!
Gia đình đã luôn ở bên động viên và tạo điều kiện cho tác giả tập
trung làm luận văn. Tác giả xin gửi tới gia đình mình lời cảm ơn sâu sắc
nhất!
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới bạn bè, đồng nghiệp đã luôn ở
bên cổ vũ; Phòng sau đại học, Giáo vụ khoa đã tạo điều kiện thuận lợi
cho tác giả hoàn thành luận văn.
Do trình độ còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếu
sót. Tác giả rất mong nhận được sự thông cảm và những đóng góp chân

thành của quý bạn đọc.
Tác giả
Ngô Thị Phương
Chương 1
Tích tensor
1.1 Tích tensor của các module
Ta luôn giả sử A là một vành giao hoán có đơn vị.
Cho E và F là các A-module. Nhắc lại rằng ánh xạ g : E → F được
gọi là một ánh xạ tuyến tính hay một A-đồng cấu nếu
g(x + y) = g(x) + g(y),
g(ax) = ag(x),
với mọi x, y ∈ E và với mọi a ∈ A.
Định nghĩa 1.1. Cho E
1
, E
2
, . . . , E
n
và F là các A-module. Ánh xạ
f : E
1
× E
2
× . . . × E
n
→ F
được gọi là một ánh xạ đa tuyến tính (n-tuyến tính) nếu nó tuyến tính
đối với từng biến, tức là nếu cố định n − 1 biến bất kỳ thì được một ánh
xạ tuyến tính theo biến còn lại.
Ta ký hiệu bởi L

n
(E
1
, . . . , E
n
; F ) tập các ánh xạ n-tuyến tính từ
E
1
× . . . × E
n
vào F . Khi n = 1, tập các ánh xạ tuyến tính từ E vào F
được ký hiệu bởi L(E, F ). Khi n = 2, một ánh xạ 2-tuyến tính cũng còn
được gọi là một ánh xạ song tuyến tính.
Dễ thấy L
n
(E
1
, . . . , E
n
; F ) là một A-module với phép cộng và phép
nhân ngoài được xác định như sau: với f, g ∈ L
n
(E
1
, . . . , E
n
; F ), a ∈ A
và với mọi (x
1
, . . . , x

n
) ∈ E
1
× . . . E
n
, ta đặt
(f + g)(x
1
, . . . , x
n
) = f(x
1
, . . . , x
n
) + g(x
1
, . . . , x
n
),
(af)(x
1
, . . . , x
n
) = af(x
1
, . . . , x
n
).
5
1.1. Tích tensor của các module 6

Định nghĩa 1.2. Cho E
1
, E
2
, . . . , E
n
là các A-module. Tích tensor của
chúng là một cặp (T, θ), trong đó T là một A-module và θ : E
1
×E
2
×. . .×
E
n
→ T là một ánh xạ đa tuyến tính thỏa mãn tính chất phổ dụng: với
mỗi A-module T

và một ánh xạ đa tuyến tính f : E
1
×E
2
×. . .×E
n
→ T

,
tồn tại duy nhất một đồng cấu A-module g : T → T

sao cho gθ = f, tức
là biểu đồ sau giao hoán:

T
E
1
× × E
n
T

❄
g
✑
✑
✑
✑
✑✸
θ
◗
◗
◗
◗
◗s
f
Nhận xét rằng A-module T nếu tồn tại thì là duy nhất, sai khác một
đẳng cấu. Thật vậy, giả sử có một A-module T

cùng với một ánh xạ đa
tuyến tính θ

có tính chất như cặp (T, θ). Khi đó tồn tại các đồng cấu
j : T → T


và k : T

→ T để θ

= jθ và θ = kθ

. Từ đó rút ra θ = (kj)θ.
Mặt khác θ = Id
T
θ. Do tính duy nhất của g trong định nghĩa của cặp
(T, θ), ta nhận được kj = Id
T
. Tương tự ta cũng có jk = Id
T

. Vậy T và
T

là đẳng cấu.
Bây giờ ta sẽ chỉ ra sự tồn tại của tích tensor.
Gọi C là A-module tự do sinh bởi tập S = E
1
× . . . × E
n
. Như vậy,
các phần tử của C là các tổ hợp tuyến tính hữu hạn của các phần tử
(x
1
, . . . , x
n

) ∈ E
1
× . . . × E
n
với hệ số thuộc A. Gọi D là module con của
C sinh bởi tất cả các phần tử có dạng
(x
1
, . . . , x
i
+ x

i
, . . . , x
n
) − (x
1
, . . . , x
i
, . . . , x
n
) − (x
1
, . . . , x

i
, . . . , x
n
)
(x

1
, . . . , ax
i
, . . . , x
n
) − a(x
1
, . . . , x
i
, . . . , x
n
),
với i = 1, . . . , n; a ∈ A.
Gọi u : S → C là ánh xạ nhúng và p : C → C/D là phép chiếu chính
tắc. Đặt θ = pu : S → C/D. Ta chứng minh cặp (C/D, θ) thỏa mãn các
điều kiện trong định nghĩa tích tensor.
Bởi cách xây dựng, dễ thấy θ là một ánh xạ đa tuyến tính. Cho
f : S → T

là một ánh xạ đa tuyến tính. Vì C là module tự do sinh bởi
tập S nên có một đồng cấu A-module f
∗
: C → T

là mở rộng của f. Do
1.1. Tích tensor của các module 7
f là một ánh xạ đa tuyến tính nên với mọi x
i
, x


i
∈ E
i
, i = 1, . . . , n, ta
có:
f
∗
((x
1
, . . . , x
i
+ x

i
, . . . , x
n
) − (x
1
, . . . , x
i
, . . . , x
n
) − (x
1
, . . . , x

i
, . . . , x
n
))

= f
∗
((x
1
, . . . , x
i
+ x

i
, . . . , x
n
)) − f
∗
((x
1
, . . . , x
i
, . . . , x
n
))
− f
∗
((x
1
, . . . , x

i
, . . . , x
n
))

= f((x
1
, . . . , x
i
+ x

i
, . . . , x
n
)) − f((x
1
, . . . , x
i
, . . . , x
n
))
− f((x
1
, . . . , x

i
, . . . , x
n
)) = 0.
Tương tự, f
∗
cũng làm triệt tiêu các phần tử có dạng
(x
1
, . . . , ax

i
, . . . , x
n
) − a(x
1
, . . . , x
i
, . . . , x
n
); i = 1, . . . , n.
Từ định nghĩa của D, ta có D ⊆ Ker f
∗
. Do đó f
∗
cảm sinh một đồng
cấu A-module
g : C/D → T
sao cho gp = f
∗
. Khi đó
gθ = gpu = f
∗
u = f.
Vì ảnh của ánh xạ θ sinh ra module C/D nên đồng cấu f
∗
là duy nhất.
Module C/D xây dựng như trên sẽ được ký hiệu bởi
E
1
⊗

A
· · · ⊗
A
E
n
, E
1
⊗ · · · ⊗ E
n
hoặc
n

i=1
E
i
và cũng được gọi là tích tensor của các module E
1
, . . . , E
n
.
Nếu x
i
∈ E
i
thì ta viết
θ(x
1
, . . . , x
n
) = x

1
⊗ · · · ⊗ x
n
.
Với mọi x
i
, x

i
∈ E
i
và với mọi a ∈ A, ta có
x
1
⊗· · ·⊗(x
i
+x

i
)⊗· · ·⊗x
n
= x
1
⊗· · ·⊗x
i
⊗· · ·⊗x
n
+x
1
⊗· · ·⊗x


i
⊗· · ·⊗x
n
x
1
⊗ · · · ⊗ ax
i
⊗ · · · ⊗ x
n
= a(x
1
⊗ · · · ⊗ x
n
).
Mỗi phần tử của tích tensor E
1
⊗ · · · ⊗ E
n
có thể được viết như là một
tổng của các hạng tử x
1
⊗ · · · ⊗ x
n
với x
i
∈ E
i
, vì các phần tử như thế
sinh ra module E

1
⊗ · · · ⊗E
n
trên A, và a(x
1
⊗ · · · ⊗x
n
) = ax
1
⊗ · · · ⊗x
n
với a ∈ A. Chú ý rằng biểu diễn tổng này nói chung không phải là duy
1.1. Tích tensor của các module 8
nhất. Để xây dựng một đồng cấu từ tích tensor vào một module cho
trước, ta phải sử dụng tính chất phổ dụng của tích tensor.
Ví dụ. Z
m
⊗
Z
Z
n
= {0} nếu (m, n) = 1. Thật vậy, vì (m, n) = 1 nên tồn
tại a, b ∈ Z sao cho am + bn = 1. Khi đó với mọi x ∈ Z
m
, y ∈ Z
n
, ta có:
x ⊗ y = 1(x ⊗ y) = (am + bn)(x ⊗ y)
= am(x ⊗ y) + bn(x ⊗ y) = a(mx) ⊗ y + bx ⊗ (ny)
= 0 + 0 = 0.

Vì các phần tử x ⊗ y sinh ra Z
m
⊗ Z
n
nên ta được Z
m
⊗ Z
n
= {0}.
Mệnh đề 1.3. Cho E
1
, E
2
, E
3
là các A-module. Thế thì tồn tại duy nhất
các đẳng cấu
E
1
⊗ (E
2
⊗ E
3
)
θ
→ (E
1
⊗ E
2
) ⊗ E

3
η
→ E
1
⊗ E
2
⊗ E
3
sao cho
x ⊗ (y ⊗ z) → (x ⊗ y) ⊗ z → x ⊗ y ⊗ z
với x ∈ E
1
, y ∈ E
2
, z ∈ E
3
.
Chứng minh. Sự duy nhất của θ: vì các phần tử dạng (x ⊗ y) ⊗ z sinh
ra tích tensor (E
1
⊗ E
2
) ⊗ E
3
nên tính duy nhất của đồng cấu θ trên là
hiển nhiên.
Sự tồn tại của θ: lấy x ∈ E
1
. Ánh xạ
λ

x
: E
2
× E
3
→ (E
1
⊗ E
2
) ⊗ E
3
(y, z) → (x ⊗ y) ⊗ z
là song tuyến tính và do đó có đồng cấu cảm sinh
λ
x
: E
2
⊗ E
3
→ (E
1
⊗ E
2
) ⊗ E
3
.
Tiếp theo, ánh xạ
ψ : E
1
× (E

2
⊗ E
3
) → (E
1
⊗ E
2
) ⊗ E
3
(x, α) →
λ
x
(α)
là song tuyến tính và do đó có đồng cấu cảm sinh
θ : E
1
⊗ (E
2
⊗ E
3
) → (E
1
⊗ E
2
) ⊗ E
3
x ⊗ (y ⊗ z) → (x ⊗ y) ⊗ z.
1.1. Tích tensor của các module 9
Tương tự, ta cũng có đồng cấu
θ


: (E
1
⊗ E
2
) ⊗ E
3
→ E
1
⊗ (E
2
⊗ E
3
)
(x ⊗ y) ⊗ z → x ⊗ (y ⊗ z).
Dễ thấy θθ

= Id
(E
1
⊗E
2
)⊗E
3
và θ

θ = Id
E
1
⊗(E

2
⊗E
3
)
. Vậy θ là đẳng cấu.
Tương tự, ta cũng chứng minh được sự tồn tại duy nhất của đẳng
cấu η.
Mệnh đề 1.4. Cho E và F là các A-module. Khi đó tồn tại duy nhất
đẳng cấu
E ⊗ F → F ⊗ E
sao cho x ⊗ y → y ⊗ x với x ∈ E, y ∈ F .
Chứng minh. Ánh xạ
E × F → F ⊗ E
(x, y) → y ⊗ x
là song tuyến tính, do đó cảm sinh đồng cấu
ϕ : E ⊗ F → F ⊗ E
x ⊗ y → y ⊗ x
Vì ϕ có ánh xạ ngược
ψ : F ⊗ E → E ⊗ F
y ⊗ x → x ⊗ y
nên ta được đẳng cấu phải tìm.
Mệnh đề 1.5. Cho E
1
, . . . , E
n
, E
n+1
là các A-module. Khi đó tồn tại
duy nhất đẳng cấu
(E

1
⊗ · · · ⊗ E
n
) ⊗ E
n+1
→ E
1
⊗ · · · ⊗ E
n
⊗ E
n+1
sao cho
(x
1
⊗ · · · ⊗ x
n
) ⊗ x
n+1
→ x
1
⊗ · · · ⊗ x
n
⊗ x
n+1
với x
i
∈ E
i
; i = 1, . . . , n + 1.
1.1. Tích tensor của các module 10

Chứng minh. Ta chứng minh bằng quy nạp theo n. Khẳng định là đúng
với n = 2 theo Mệnh đề 1.3.
Theo giả thiết quy nạp, ta có các đẳng cấu
E
1
⊗ · · · ⊗ E
n
∼
→ (E
1
⊗ · · · ⊗ E
n−1
) ⊗ E
n
∼
→ . . .
∼
→ (((E
1
⊗ E
2
) ⊗ E
3
) ⊗ · · · ⊗ E
n
)
x
1
⊗ · · · ⊗ x
n

→ (x
1
⊗ · · · ⊗ x
n−1
) ⊗ x
n
→ . . . → (((x
1
⊗ x
2
) ⊗ x
3
) ⊗ · · · ⊗ x
n
).
Tương tự như chứng minh của Mệnh đề 1.3, ta có thể xây dựng một
đồng cấu
(((E
1
⊗ E
2
) ⊗ E
3
) ⊗ · · · ⊗ E
n
) ⊗ E
n+1
→ E
1
⊗ · · · ⊗ E

n+1
(((x
1
⊗ x
2
) ⊗ x
3
) ⊗ · · · ⊗ x
n
) ⊗ x
n+1
→ x
1
⊗ · · · ⊗ x
n+1
bằng việc lần lượt xây dựng các ánh xạ song tuyến tính vào E
1
⊗ · · · ⊗
E
n+1
. Do đó có một đồng cấu
ϕ : (E
1
⊗ · · · ⊗ E
n
) ⊗ E
n+1
→ E
1
⊗ · · · ⊗ E

n+1
(x
1
⊗ · · · ⊗ x
n
) ⊗ x
n+1
→ x
1
⊗ · · · ⊗ x
n+1
.
Ngược lại, ánh xạ
E
1
× · · · × E
n+1
→ (E
1
⊗ · · · ⊗ E
n
) ⊗ E
n+1
biến (x
1
, . . . , x
n+1
) thành (x
1
⊗ · · · ⊗ x

n
) ⊗ x
n+1
là một ánh xạ đa tuyến
tính. Do đó, nó cảm sinh một đồng cấu ψ trên tích tensor. Dễ thấy ϕ
và ψ là các ánh xạ ngược của nhau. Từ đó ta được điều phải chứng
minh.
Hệ quả 1.6. Cho E
1
, . . . , E
r
, E
r+1
, . . . , E
s
là các A-module. Khi đó tồn
tại duy nhất đẳng cấu
(E
1
⊗ · · · ⊗ E
r
) ⊗ (E
r+1
⊗ · · · ⊗ E
s
) → E
1
⊗ · · · ⊗ E
s
sao cho

(x
1
⊗ · · · ⊗ x
r
) ⊗ (x
r+1
⊗ · · · ⊗ x
s
) → x
1
⊗ · · · ⊗ x
s
với x
i
∈ E
i
; i = 1, . . . , s.
Chứng minh. Suy ra ngay từ các Mệnh đề 1.3 và 1.5.
1.1. Tích tensor của các module 11
Giả sử f
i
: E

i
→ E
i
(i = 1, . . . , n) là một bộ các ánh xạ tuyến tính.
Ta có ánh xạ cảm sinh của các tích Đề-các:

f

i
:

E

i
→

E
i
.
Nếu ta lấy hợp thành của

f
i
với ánh xạ θ : E
1
× E
2
× . . . × E
n
→
E
1
⊗ . . . ⊗ E
n
thì được một ánh xạ đa tuyến tính và do đó có ánh xạ
cảm sinh
T (f
1

, . . . , f
n
) : E

1
⊗ . . . ⊗ E

n
→ E
1
⊗ . . . ⊗ E
n
làm cho biểu đồ sau giao hoán:
E

1
× . . . × E

n
E

1
⊗ . . . ⊗ E

n
E
1
× . . . × E
n
E

1
⊗ . . . ⊗ E
n
✲
❄

f
i
❄
T (f
1
, ,f
n
)
✲
θ
Chú ý rằng T(f
1
, . . . , f
n
) là ánh xạ tuyến tính duy nhất mà tác động
của nó lên phần tử x

1
⊗ . . . ⊗ x

n
∈ E

1

⊗ . . . ⊗ E

n
được cho bởi quy tắc
x

1
⊗ . . . ⊗ x

n
→ f
1
(x

1
) ⊗ . . . ⊗ f
n
(x

n
).
T có tính chất hàm tử, tức là đối với hợp thành của các ánh xạ tuyến
tính f
i
g
i
(i = 1, . . . , n) thì
T (f
1
g

1
, . . . , f
n
g
n
) = T (f
1
, . . . , f
n
)T (g
1
, . . . , g
n
)
và T (Id, . . . , Id) = Id.
Ta có thể coi T như một ánh xạ
n

i=1
L(E

i
, E
i
) → L(
n

i=1
E


i
,
n

i=1
E
i
)
và dễ thấy rằng ánh xạ này là đa tuyến tính.
Ta sẽ xem xét tường minh trong trường hợp hai nhân tử. Khi đó ánh
xạ của ta có thể viết là
(f, g) → T (f, g).
1.2. Các tính chất cơ bản của tích tensor 12
Cho các đồng cấu f : F

→ F và g
1
, g
2
: E

→ E thì
T (f, g
1
+ g
2
) = T (f, g
1
) + T (f, g
2

)
T (f, ag
1
) = aT (f, g
1
), a ∈ A.
Đặc biệt, cố định một A-module F và xét hàm tử τ = τ
F
(từ phạm trù
các A-module tới phạm trù các A-module) sao cho
τ(E) = F ⊗ E.
Khi đó, với mọi cặp module E

, E thì τ xác định một ánh xạ tuyến tính
τ : L(E

, E) −→ L(τ(E

), τ(E))
g −→ T (Id
F
, g).
Nhận xét. Đôi khi ta cũng viết f
1
⊗ . . . ⊗ f
n
thay cho T(f
1
, . . . , f
n

).
Không nên nhầm lẫn nó với một phần tử trong tích tensor L(E

1
, E
1
) ⊗
. . . ⊗ L(E

n
, E
n
). Trong từng trường hợp sẽ luôn rõ là ta đang nói về cái
gì.
1.2 Các tính chất cơ bản của tích tensor
Hệ thức cơ bản nhất liên hệ các ánh xạ tuyến tính, ánh xạ song tuyến
tính và tích tensor là hệ thức sau đây đối với ba module E, F, G:
L(E, L(F, G))
∼
=
L
2
(E, F ; G)
∼
=
L(E ⊗ F, G). (1.1)
(i) L
2
(E, F ; G) → L(E, L(F, G))
Nếu f : E × F → G là ánh xạ song tuyến tính và x ∈ E thì ánh xạ

f
x
: F → G
y → f(x, y)
là tuyến tính. Ngoài ra ánh xạ x → f
x
cũng là tuyến tính. Do đó để được
(i), ta đặt f → (x → f
x
).
(ii) L(E, L(F, G)) → L
2
(E, F ; G).
Giả sử ϕ ∈ L(E, L(F, G)) thì ánh xạ
f
ϕ
: E × F → G
(x, y) → ϕ(x)(y)
1.2. Các tính chất cơ bản của tích tensor 13
là song tuyến tính. Khi đó ϕ → f
ϕ
xác định (ii).
Rõ ràng các đồng cấu ở (i) và (ii) là ngược nhau và vì thế cho ta
đẳng cấu của hai module đầu trong hệ thức (1.1).
(iii) L
2
(E, F ; G) → L(E ⊗ F, G).
Đó là ánh xạ f → f
∗
, với f

∗
là ánh xạ tuyến tính cảm sinh trên tích
tensor bởi ánh xạ song tuyến tính f. Tương ứng f → f
∗
là đơn ánh (vì f
∗
được xác định duy nhất bởi f) và là toàn ánh, vì một ánh xạ tuyến tính
bất kì của tích tensor hợp thành với ánh xạ chính tắc E × F → E ⊗ F
sẽ xác định một ánh xạ song tuyến tính trên E × F .
Nhận xét. Các đẳng cấu trên đúng cho (n+1) module E
1
, E
2
, . . . , E
n
, G.
Ta có:
L(E
1
, L(E
2
, . . . , L(E
n
, G) . . .))
∼
=
L
n
(E
1

, E
2
, . . . , E
n
; G)
∼
=
L(E
1
⊗ E
2
⊗ . . . ⊗ E
n
, G).
Mệnh đề 1.7. Cho E, F là những A-module. Giả sử E phân tích được
thành tổng trực tiếp E =

i∈I
E
i
. Khi đó ta có
F ⊗ E
∼
=

i∈I
(F ⊗ E
i
).
Chứng minh. Từ giả thiết suy ra mỗi phần tử của E có biểu diễn duy

nhất dạng

i∈I
y
i
, trong đó y
i
∈ E
i
và y
i
= 0 với hầu hết i ∈ I. Ta kiểm
tra ngay được rằng tương ứng
f : F × E −→

i∈I
(F ⊗ E
i
)
(x,

i∈I
y
i
) −→ (x ⊗ y
i
)
i∈I
là một ánh xạ song tuyến tính. Do đó f cảm sinh một ánh xạ tuyến tính
h : F ⊗ E −→


i∈I
(F ⊗ E
i
)
x ⊗ (

i∈I
y
i
) −→ (x ⊗ y
i
)
i∈I
.
Bây giờ với mỗi i ∈ I, gọi γ
i
: E
i
→ E là phép nhúng chính tắc. Khi đó
ta có ánh xạ tuyến tính
Id
F
⊗γ
i
: F ⊗ E
i
−→ F ⊗ E
x ⊗ y
i

−→ x ⊗ y
i
.
1.2. Các tính chất cơ bản của tích tensor 14
Từ tính phổ dụng của tổng trực tiếp suy ra có ánh xạ tuyến tính
k :

i∈I
(F ⊗ E
i
) −→ F ⊗ E
(x ⊗ y
i
)
i∈I
−→

i∈I
x ⊗ y
i
= x ⊗ (

i∈I
y
i
).
Vì các phần tử dạng x⊗(

i∈I
y

i
) sinh ra F ⊗E, các phần tử dạng (x⊗y
i
)
i∈I
sinh ra

i∈I
(F ⊗ E
i
) và
hk((x ⊗ y
i
)
i∈I
) = h(x ⊗ (

i∈I
y
i
)) = (x ⊗ y
i
)
i∈I
,
kh(x ⊗ (

i∈I
y
i

)) = k((x ⊗ y
i
)
i∈I
) = x ⊗ (

i∈I
y
i
),
ta suy ra hk = Id

i∈I
(F ⊗E
i
)
và kh = Id
F ⊗E
. Vậy h và k là những đẳng
cấu và ta được điều phải chứng minh.
Bây giờ cho E là một A-module tự do hạng 1. Giả sử {v} là một cơ
sở của E. Xét tích tensor F ⊗ E. Mọi phần tử của F ⊗ E có thể được
viết dưới dạng tổng của các hạng tử y ⊗ av, trong đó y ∈ F, a ∈ A. Tuy
nhiên, y ⊗ av = ay ⊗ v. Hơn nữa, khi lấy tổng các hạng tử đó, ta có thể
dùng tính chất tuyến tính bên trái
n

i=1
(y
i

⊗ v) = (
n

i=1
y
i
) ⊗ v, y
i
∈ F.
Do đó mọi phần tử của F ⊗ E có dạng y ⊗ v với y nào đó thuộc F .
Ánh xạ song tuyến tính
F × E → F
(y, av) → ay
cảm sinh ánh xạ tuyến tính
F ⊗ E → F.
Ta cũng có ánh xạ tuyến tính
F −→ F ⊗ E
y −→ y ⊗ v.
1.2. Các tính chất cơ bản của tích tensor 15
Rõ ràng các ánh xạ đó ngược nhau và do đó
F ⊗ E
∼
=
F.
Vậy mọi phần tử của F ⊗ E có thể viết một cách duy nhất dưới dạng
y ⊗ v, y ∈ F .
Định lí 1.8. Cho E là một A-module tự do với cơ sở {v
i
}
i∈I

. Khi đó
mọi phần tử của F ⊗ E có biểu diễn duy nhất dưới dạng

i∈I
y
i
⊗ v
i
với
y
i
∈ F và y
i
= 0 với hầu hết i ∈ I.
Chứng minh. Suy ra ngay từ trường hợp hạng một và từ Mệnh đề 1.7.
Hệ quả 1.9. Cho F, E là các A-module tự do với các cơ sở tương ứng
là {v
i
}
i∈I
và {w
j
}
j∈J
. Thế thì F ⊗ E là một A-module tự do với cơ sở là
{v
i
⊗ w
j
}

i∈I,j∈J
. Do đó rk(F ⊗ E) = (rk F )(rk E).
Chứng minh. Ta có F =

i∈I
v
i
 =

i∈I
F
i
và E =

j∈J
w
j
 =

j∈J
E
j
. Theo
Mệnh đề 1.7:
F ⊗ E = F ⊗ (

j∈J
E
j
)

∼
=

j∈J
(F ⊗ E
j
)
=

j∈J
(

i∈I
F
i
⊗ E
j
)
∼
=

j∈J

i∈I
(F
i
⊗ E
j
).
Do F

i
và E
j
là các A-module tự do hạng 1 nên F
i
⊗ E
j
là một A-module
tự do hạng 1 với cơ sở v
i
⊗ w
j
. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
So sánh với ví dụ ở 1.1, ta thấy rằng khi E là A-module tự do thì
trong tích tensor F ⊗ E không xảy ra sự triệt tiêu nào. Mọi phần tử của
F ⊗ E có thể coi như một tổ hợp tuyến tính hình thức của các phần tử
thuộc cơ sở của E với các hệ tử thuộc F . Đặc biệt, ta thấy F đẳng cấu
với tích tensor F ⊗ A qua tương ứng x → x ⊗ 1.
Định lí 1.10. Cho E, F là các A-module tự do hạng hữu hạn. Khi đó
End
A
(E) ⊗ End
A
(F )
∼
−→ End
A
(E ⊗ F )
qua ánh xạ tuyến tính duy nhất thỏa mãn f ⊗ g → T (f, g), với f ∈
End

A
(E) và g ∈ End
A
(F ).
1.2. Các tính chất cơ bản của tích tensor 16
Chứng minh. Giả sử {v
i
} là một cơ sở của E, {w
j
} là một cơ sở của F.
Khi đó {v
i
⊗ w
j
} là một cơ sở của E ⊗ F . Với mỗi cặp chỉ số (i, j) và
(i

, j

), tồn tại các tự đồng cấu xác định duy nhất f
i,i

của module E và
g
j,j

của module F sao cho
f
i,i


(v
i
) = v
i

và f
i,i

(v
α
) = 0 nếu α = i,
g
j,j

(w
j
) = w
j

và g
j,j

(w
β
) = 0 nếu β = j.
Hơn nữa, các họ {f
i,i

} và {g
j,j


} tạo thành cơ sở của End
A
(E) và
End
A
(F ). Ta có:
T (f
i,i

, g
j,j

)(v
α
⊗ w
β
) =

v
i

⊗ w
j

nếu (α, β) = (i, j)
0 nếu (α, β) = (i, j).
Vậy họ {T (f
i,i


, g
j,j

)} là một cơ sở của End
A
(E ⊗ F ). Vì họ {f
i,i

⊗ g
j,j

}
là một cơ sở của End
A
(E) ⊗ End
A
(F ) nên ta có điều khẳng định trong
định lí.
Định lý trên chứng tỏ rằng ký hiệu f ⊗ g thực ra không phải là hai
nghĩa trong trường hợp riêng quan trọng, ấy là khi các module là tự do
hạng hữu hạn.
Mệnh đề 1.11. Cho a là một ideal của A và E là một A-module. Khi
đó ánh xạ
(A/a) × E → E/aE
cho bởi (a + a, x) → ax + aE, với a ∈ A, x ∈ E, là song tuyến tính và
cảm sinh đẳng cấu
(A/a) ⊗ E
∼
→ E/aE.
Chứng minh. Rõ ràng ánh xạ (a, x) → ax + aE cảm sinh ánh xạ song

tuyến tính
A/a × E → E/aE
và do đó có ánh xạ tuyến tính
ϕ : A/a ⊗ E → E/aE.
Ta có thể xây dựng một ánh xạ ngược, vì có ánh xạ tuyến tính
ψ : E → A/a ⊗ E
x → 1 ⊗ x,
1.3. Một số đẳng cấu hàm tử 17
ở đó 1 là lớp tương đương của phần tử 1 trong A/a. Rõ ràng aE được
chứa trong hạt nhân của ψ và do đó có ánh xạ tuyến tính
E/aE → A/a ⊗ E.
Dễ thấy ánh xạ này là ánh xạ ngược của ϕ. Từ đó ta được điều phải
chứng minh.
Tương ứng E → E/aE  A/a ⊗ E thường được gọi là ánh xạ rút
gọn.
1.3 Một số đẳng cấu hàm tử
Giả sử A, B là hai phạm trù. Các hàm tử từ phạm trù A vào phạm
trù B (chẳng hạn các hàm tử hiệp biến của một biến) có thể xem như
các vật của một phạm trù mà cấu xạ của phạm trù này được định nghĩa
như sau:
Nếu L, M là hai hàm tử như thế, thì cấu xạ
H : L → M
là một quy tắc đặt tương ứng mỗi vật X của phạm trù A với cấu xạ
H
X
: L(X) → M(X) của phạm trù B sao cho đối với một cấu xạ bất kì
f : X → Y của phạm trù A, biểu đồ sau giao hoán
L(X) M(X)
L(Y ) M(Y )
✲

H
X
❄
L(f)
❄
M(f )
✲
H
Y
Như thế ta có thể nói về đẳng cấu của các hàm tử. Dưới đây ta sẽ xét
các ví dụ về các đẳng cấu hàm tử trong lý thuyết tích tensor. Các phạm
trù được xét đều là các phạm trù cộng tính, tức là tập các cấu xạ giữa
hai vật bất kì trong phạm trù là một nhóm cộng và luật hợp thành là Z
- song tuyến tính. Trong trường hợp đó, hàm tử L được gọi là hàm tử
cộng tính nếu
L(f + g) = L(f) + L(g).
Ta sẽ xét các hàm tử cộng tính từ phạm trù các A-module vào chính
nó. Ví dụ hàm tử chuyển thành module đối ngẫu:
E → E
∗
= L(E, A) = Hom
A
(E, A).
1.3. Một số đẳng cấu hàm tử 18
Tương tự có hàm tử hai biến:
(E, F ) → L(E, F ) = Hom
A
(E, F )
phản biến theo biến thứ nhất, hiệp biến theo biến thứ hai và song cộng
tính.

Trước hết, ta có một tiêu chuẩn để một cấu xạ hàm tử là một đẳng
cấu:
Mệnh đề 1.12. Giả sử L, M là hai hàm tử cộng tính (cùng hiệp biến
hoặc phản biến) từ phạm trù các A-module vào chính nó. Giả sử H :
L → M là một cấu xạ của các hàm tử. Nếu H
E
: L(E) → M(E) là một
đẳng cấu với mọi A-module tự do hạng một E, thì H
E
là một đẳng cấu
với mọi A-module tự do hạng hữu hạn.
Chứng minh. Ta bắt đầu với một bổ đề đơn giản:
Bổ đề 1.13. Giả sử E, E
i
(i = 1, , m) là các A-module và ϕ
i
: E
i
→
E, ψ
i
: E → E
i
là các đồng cấu có các tính chất
ψ
i
ϕ
i
= Id
E

i
; ψ
j
ϕ
i
= 0 nếu i = j
m

i=1
ϕ
i
.ψ
i
= Id
E
.
Thế thì các ánh xạ
E →
m

i=1
E
i
x → (ψ
1
(x), , ψ
m
(x))
và
m


i=1
E
i
→ E
(x
1
, , x
m
) → ϕ
1
(x
1
) + + ϕ
m
(x
m
)
là các đẳng cấu. Đảo lại, nếu E =
m

i=1
E
i
và ϕ
i
: E
i
→ E là phép nhúng
chính tắc, ψ

i
: E → E
i
là phép chiếu chính tắc, thì ϕ
i
, ψ
i
có các tính
chất trên.
1.3. Một số đẳng cấu hàm tử 19
Chú ý rằng các họ {ϕ
i
} và {ψ
i
} thoả mãn các tính chất đã chỉ ra
trong bổ đề tác dụng theo kiểu hàm tử: nếu T là một hàm tử cộng tính
phản biến, thì các họ {T (ψ
i
)} và {T (ϕ
i
)} cũng thoả mãn các tính chất
của bổ đề. Tương tự nếu T là hàm tử hiệp biến.
Ta áp dụng bổ đề bằng cách lấy E
i
là các module tự do hạng 1 khi
phân tích E theo một cơ sở nào đó. Giả sử L, M là hai hàm tử hiệp biến.
Với mỗi module E
i
ta có biểu đồ giao hoán
L(E) M(E)

L(E
i
) M(E
i
)
✲
H
E
✻
L(ϕ
i
)
✲
H
E
i
✻
M(ϕ
i
)
và một biểu đồ tương tự, thay ϕ
i
bởi ψ
i
:
L(E) M(E)
L(E
i
) M(E
i

)
❄
L(ψ
i
)
✲
H
E
❄
M(ψ
i
)
✲
H
E
i
Từ đó ta nhận được một sự phân tích thành tổng trực tiếp của L(E), sự
phân tích này được xác định bởi các ánh xạ L(ψ
i
) và L(ϕ
i
). Tương tự
đối với M(E) và các ánh xạ M(ψ
i
), M(ϕ
i
). Theo giả thiết, H
E
i
là một

đẳng cấu. Từ đó suy ra H
E
là một đẳng cấu. Chẳng hạn để chứng minh
tính đơn ánh, ta viết phần tử v ∈ L(E) dưới dạng
v =

L(ϕ
i
)(v
i
), với v
i
∈ L(E
i
).
Nếu H
E
(v) = 0 thì
0 =

H
E
L(ϕ
i
)(v
i
) =

M(ϕ
i

)H
E
i
(v
i
).
Các ánh xạ M(ϕ
i
) (i = 1, . . . , m) cho sự phân tích M(E) thành tổng
trực tiếp, nên ta kết luận rằng H
E
i
(v
i
) = 0 ∀i. Từ đó suy ra v
i
= 0 và
v = 0. Chứng minh tính toàn ánh cũng tương tự như vậy.
Khi làm việc với một hàm tử nhiều biến, cộng tính theo mỗi biến thì
ta áp dụng mệnh đề bằng cách giữ cho các biến cố định, trừ một biến.
Ta làm như vậy trong hệ quả sau:
1.3. Một số đẳng cấu hàm tử 20
Hệ quả 1.14. Giả sử E

, E, F

, F là các A-module tự do hạng hữu hạn.
Khi đó có một đẳng cấu hàm tử
L(E


, E) ⊗ L(F

, F ) → L(E

⊗ F

, E ⊗ F )
sao cho f ⊗ g → T (f, g).
Chứng minh. Ta cố định E, F

, F và xem L(E

, E) ⊗ L(F

, F ) như là
hàm tử của biến E

. Tương tự ta xem L(E

⊗ F

, E ⊗ F ) như là hàm tử
của biến E

. Ánh xạ
f ⊗ g → T (f, g)
có tính chất hàm tử và do đó theo mệnh đề trên, chỉ cần chỉ ra nó cho
một đẳng cấu khi hạng của E

bằng 1. Bây giờ cố định E


với hạng bằng
1 và xét hai biểu thức nói trong hệ quả như là các hàm tử của biến E.
Áp dụng mệnh đề một lần nữa, ta thấy chỉ cần chứng minh rằng ánh xạ
trên là đẳng cấu khi hạng của E bằng 1. Tương tự ta có thể giả sử rằng
F, F

có hạng bằng 1. Trong trường hợp đó, việc thử rằng ánh xạ trên
là đẳng cấu là đơn giản và hệ quả được chứng minh.
Hệ quả 1.15. Cho E, F là các A-module tự do. Khi đó ánh xạ
ϕ : F ⊗ E
∗
→ L(E, F )
y ⊗ λ → f
λ,y
; f
λ,y
(x) = λ(x)y
là một đơn cấu. Ánh xạ này là đẳng cấu khi F hoặc E có hạng hữu hạn.
Chứng minh. Trước hết ta chứng minh ϕ là đơn ánh. Giả sử α ∈ Kerϕ, α =

i
v
i
⊗ λ
i
, với {v
i
}
i

là một cơ sở của F (Định lý 1.8). Khi đó với mọi
x ∈ E, ta có
0 = ϕ(α)(x) =

i
λ
i
(x)v
i
.
Vì {v
i
}
i
độc lập tuyến tính nên λ
i
(x) = 0 với mọi x. Do đó λ
i
= 0 với
mọi i. Từ đó suy ra α = 0 và ϕ là đơn ánh.
Trường hợp E có hạng hữu hạn: cố định một cơ sở {x
1
, x
2
, . . . , x
n
}
của E. Một ánh xạ tuyến tính f : E → F được xác định bởi các giá trị
v
i

= f(x
i
) trong F . Lấy {ψ
i
} là cơ sở đối ngẫu trong E
∗
với cơ sở {x
i
},
ψ
i
(x
j
) = δ
i
j
, ta có
f = ϕ(
n

i=1
v
i
⊗ ψ
i
).
1.3. Một số đẳng cấu hàm tử 21
Trường hợp F có hạng hữu hạn: ta áp dụng Mệnh đề 1.12 cho module
F (cố định module E). Trường hợp rk F = 1 khẳng định là hiển nhiên.
Trong trường hợp tổng quát, biểu diễn F dưới dạng tổng trực tiếp của

các module con hạng 1. Vì ϕ tương tích với các ánh xạ cấu trúc của một
tổng trực tiếp nên ta suy ra điều phải chứng minh.
Hệ quả 1.16. Cho E, F, G là các A-module, trong đó F là module tự do
hạng hữu hạn. Khi đó có một đẳng cấu hàm tử:
L(E ⊗ F, G)
∼
=
L(E, G ⊗ F
∗
).
Chứng minh. Theo hệ thức (1.1), ta có
L(E ⊗ F, G)
∼
=
L(E, L(F, G)).
Từ Hệ quả 1.15 suy ra
L(E, L(F, G))
∼
=
L(E, G ⊗ F
∗
).
Từ đó ta được điều phải chứng minh.
Hệ quả 1.17. Cho E, F là các A-module tự do hạng hữu hạn. Khi đó
có một đẳng cấu hàm tử:
E
∗
⊗ F
∗
→ (E ⊗ F)

∗
.
Chứng minh. Áp dụng Hệ quả 1.16 cho module G = A, ta được
(E ⊗ F )
∗
= L(E ⊗ F, A)
∼
=
L(E, A ⊗ F
∗
)
∼
=
L(E, F
∗
)
∼
=
F
∗
⊗ E
∗
.
Mặt khác, theo Mệnh đề 1.4,
F
∗
⊗ E
∗
∼
=

E
∗
⊗ F
∗
.
Từ đó ta được điều phải chứng minh.
Kết quả trên cũng có thể được chứng minh trực tiếp bằng cách sử
dụng Hệ quả 1.15 và hệ thức (1.1).
1.4. Tích tensor và dãy khớp 22
1.4 Tích tensor và dãy khớp
Mệnh đề 1.18. Cho
0 −→ E

ϕ
−→ E
ψ
−→ E

−→ 0
là một dãy khớp các A-module và F là một A-module tuỳ ý. Thế thì dãy
F ⊗ E

Id
F
⊗ϕ
−→ F ⊗ E
Id
F
⊗ψ
−→ F ⊗ E


−→ 0
là khớp.
Chứng minh. Với x

∈ E

và y ∈ F thì tồn tại x ∈ E sao cho x

= ψ(x)
và do đó y ⊗ x

là ảnh của y ⊗ x qua ánh xạ tuyến tính
F ⊗ E
Id
F
⊗ψ
−→ F ⊗ E

.
Vì các phần tử dạng y ⊗ x

sinh ra F ⊗ E

nên ta kết luận rằng ánh xạ
Id
F
⊗ψ là toàn ánh.
Dễ kiểm tra rằng ảnh của ánh xạ
F ⊗ E


Id
F
⊗ϕ
−→ F ⊗ E
được chứa trong hạt nhân của ánh xạ Id
F
⊗ψ, tức là Im(Id
F
⊗ϕ) ⊂
Ker(Id
F
⊗ψ).
Ngược lại, giả sử I = Im(Id
F
⊗ψ) và xét ánh xạ
f : (F ⊗ E)/I → F ⊗ E

là ánh xạ cảm sinh bởi Id
F
⊗ψ. Ta sẽ xây dựng đồng cấu
g : F ⊗ E

→ (F ⊗ E)/I
sao cho g ◦ f = Id. Khi đó f là đơn ánh và do đó Ker(Id
F
⊗ψ) = I =
Im(Id
F
⊗ϕ). Từ đó suy ra dãy thứ hai là khớp.

Thật vậy, giả sử y ∈ F và x

∈ E

. Ta lấy phần tử x ∈ E mà
ψ(x) = x

. Ta xác định một ánh xạ
θ : F × E

→ (F ⊗ E)/I
(y, x

) → y ⊗ x (mod I)
1.4. Tích tensor và dãy khớp 23
Ta thấy rằng ánh xạ đó là được xác định và không phụ thuộc vào việc
chọn phần tử x sao cho ψ(x) = x

. Thật vậy, nếu ψ(x
1
) = ψ(x
2
) = x

thì ψ(x
1
− x
2
) = 0. Từ đó suy ra x
1

− x
2
= ϕ(x

) với x

∈ E

nào đó. Khi
đó
y ⊗ x
1
− y ⊗ x
2
= y ⊗ (x
1
− x
2
) = y ⊗ ϕ(x

)
Suy ra y ⊗x
1
≡ y ⊗x
2
(mod I) và chứng tỏ rằng ánh xạ θ được xác định
đúng đắn.
Rõ ràng θ là song tuyến tính và do đó có ánh xạ tuyến tính cảm sinh
g trên tích tensor F ⊗ E


.
Dễ thấy thu hẹp của g ◦ f trên các phần tử dạng y ⊗ x

là ánh xạ
đồng nhất. Vì những phần tử đó sinh ra F ⊗ E

nên g ◦ f = Id.
Ví dụ. Xét dãy khớp các Z-module
0 −→ Z
f
−→ Z
p
−→ Z
2
−→ 0
trong đó p là phép chiếu chính tắc, còn f cho bởi f(n) = 2n với mọi
n ∈ Z. Tensor dãy khớp này vớiZ
2
ta được dãy
0 −→ Z
2
⊗ Z
Id
Z
2
⊗f
−→ Z
2
⊗ Z
Id

Z
2
⊗p
−→ Z
2
⊗ Z
2
−→ 0.
Dãy này không khớp bởi vì Z
2
⊗ Z
∼
=
Z
2
= 0, trong khi đó
Id
Z
2
⊗f(1 ⊗ n) = 1 ⊗ (2n) = (2.1) ⊗ n = 0 ⊗ n = 0,
với mọi n ∈ Z. Suy ra Id
Z
2
⊗f = 0, tức là Id
Z
2
⊗f không là đơn ánh.
Như vậy, nói chung tích tensor không bảo toàn dãy khớp.
Định nghĩa 1.19. Module F được gọi là một module phẳng khi và chỉ
khi với mọi dãy khớp ngắn

0 −→ E

−→ E −→ E

−→ 0,
dãy
0 −→ F ⊗ E

−→ F ⊗ E −→ F ⊗ E

−→ 0
là khớp.
1.5. Mở rộng vô hướng 24
1.5 Mở rộng vô hướng
Cho E là một A-module. Giả sử A → A

là một đồng cấu của các
vành giao hoán. Khi đó vành A

có thể được xem như là một A-module
và như vậy A

là một A-đại số .
Ta có ánh xạ 3-tuyến tính
A

× A

× E → A


⊗ E
(a, b, x) → ab ⊗ x.
Ánh xạ này cảm sinh một ánh xạ A-tuyến tính
A

⊗ (A

⊗ E) → A

⊗ E,
và do đó có một ánh xạ A-song tuyến tính
A

× (A

⊗ E) → A

⊗ E.
Ta thấy rằng ánh xạ sau cùng này biến A

⊗ E thành một A

-module.
Ta gọi A

⊗ E là mở rộng của module E trên vành A

và kí hiệu là E
A


.
Ta cũng nói rằng E
A

là module thu được nhờ sự mở rộng vành cơ sở từ
A tới A

.
Ví dụ. Giả sử a là một ideal của vành A và A → A/a là toàn cấu chính
tắc. Khi đó mở rộng của E trên A/a cũng được gọi là rút gọn của E
theo module a. Tình huống này thường gặp trên vành các số nguyên khi
ta tiến hành rút gọn theo modulo nguyên tố p (tức là theo ideal nguyên
tố (p)).
Mệnh đề 1.20. Cho E là một A-module tự do với cơ sở {v
i
}
i∈I
. Đặt
v

i
= 1
A

⊗ v
i
, khi đó E
A

là A


-module tự do với cơ sở {v

i
}
i∈I
.
Chứng minh. Ta có ánh xạ song tuyến tính
A

× (A

⊗ E) −→ A

⊗ E
(a, b ⊗ x) −→ ab ⊗ x
do đó E
A

là một A

-module. Mặt khác ta lại có đẳng cấu chính tắc
A

⊗ E
∼
=
E, mà E là module tự do nên E
A


là module tự do với cơ sở
là {v

i
}
i∈I
.
1.5. Mở rộng vô hướng 25
Trường hợp đặc biệt của mệnh đề được dùng để chứng minh rằng
hạng của một module tự do trên một vành giao hoán là xác định, tức là
hai cơ sở bất kì thì có cùng lực lượng. Thật vậy, trong trường hợp đó ta
tiến hành rút gọn theo một ideal tối đại nào đó của vành, điều đó cho
phép ta đưa vấn đề về trường hợp các không gian véctơ trên một trường.
Khi có nhiều hơn hai vành thì việc chỉ rõ A trong tích tensor là cần
thiết:
E
A

= A

⊗ E = A

⊗
A
E.
Ta có tính chất bắc cầu của sự mở rộng vành cơ sở, cụ thể là nếu
A → A

→ A


là một dãy các đồng cấu của các vành giao hoán thì có
một đẳng cấu của các A

-module.
A

⊗ E
∼
=
A

⊗
A

(A

⊗
A
E).
Nếu E có một cấu trúc nhân thì ta cũng có thể mở rộng vành cơ sở
đối với cấu trúc đó. Giả sử A → K là một đồng cấu vành sao cho mọi
phần tử thuộc ảnh của A trong K giao hoán được với tất cả các phần
tử thuộc K (khi đó K là một A-đại số). Giả sử A → A

là một đồng cấu
của các vành giao hoán. Xét ánh xạ 4-tuyến tính
A

× K × A


× K −→ A

⊗ K
(a, x, b, y) −→ ab ⊗ xy
Khi đó có một ánh xạ A-tuyến tính cảm sinh
(A

⊗ K) ⊗ (A

⊗ K) −→ A

⊗ K
và do đó có một ánh xạ A-song tuyến tính
(A

⊗ K) × (A

⊗ K) −→ A

⊗ K.
Dễ thấy luật hợp thành trên A

⊗ K mà ta vừa xác định là kết hợp.
Trong A

⊗ K có phần tử đơn vị, cụ thể là 1
A

⊗ 1
K

. Hơn nữa có một
đồng cấu vành
A

−→ A

⊗ K
a −→ a ⊗ 1.