Đề Thi Thử Đại Học Khối A, A1, B, D Toán 2013 - Phần 37 - Đề 4 (có đáp án) docx
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (209.26 KB, 5 trang )
1
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG
Phần dành chung cho tất cả các thí sinh (7 điểm)
Câu 1: Cho hàm số : y =
3 2 2 2
3 3( 1) ( 1)
x mx m x m
(1)
a, Với m = 0 , khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) .
b, Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương.
Câu 2: a, Giải phương trình : sin2x + (1 + 2cos3x)sinx - 2sin
2
(2x+
4
) = 0
b, Xác định a để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất :
2
2 2
2
1
x
x y x a
x y
Câu 3 : Tìm :
3
sin
(sin 3cos )
xdx
x x
Câu 4 : Cho lăng trụ đứng
' ' '
.
ABC A BC
có thể tích V. Các mặt phẳng (
' ' '
),( ),( )
ABC ABC A BC
cắt
nhau . tại O. Tính thể tích khối tứ diện O.ABC theo V.
Câu 5 : Cho x,y,z là các số thực dương . Chứng minh rằng :
P =
3 3 3 3 3 3
3 3 3
2 2 2
4( ) 4( ) 4( ) 2( )
x y z
x y y z z x
y z x
12
Phần riêng (3 điểm): Thí sinh chỉ làm một trong hai phần (phần A hoặc B )
A. Theo chương trình chuẩn
Câu 6a : a, Cho đường tròn (C) có phương trình :
2 2
4 4 4 0
x y x y
và đường thẳng
(d) có phương trình : x + y – 2 = 0
Chứng minh rằng (d) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B . Tìm toạ độ điểm C trên
đường tròn . . . (C) sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất.
b, Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(1;2;3)và hai đường thẳng có phương
trình :
1
1 2
( ):
2 2 1
x y z
d
'
2
'
4
( ): 2
3
x t
d y
z t
Viết phương trình đường thẳng (
)đi qua điểm A và cắt cả hai đường thẳng(d
1
), (d
2
).
Câu 7a : Tìm số hạng không chứa x trong khai triển :
7
4
3
1
x
x
( với x > 0 )
B . Theo chương trình nâng cao
Câu 6b : a, Viết phương trình đường thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC biết B(2;-1) , đường
cao và . . đường phân giác trong qua đỉnh A,C lần lượt là : 3x -4y + 27 =0 và x + 2y – 5 =
0 .
b, Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho A(2;4;1) , B(3;5;2) và đường thẳng (
) có
phương
trình :
2 1 0
2 0
x y z
x y z
Tìm toạ độ điểm M nằm trên đường thẳng (
)sao cho : MA + MB nhỏ nhất .
Câu 7b : Cho
2 12 2 24
0 1 2 24
(1 )
x x a a x a x a x
. Tính hệ số a
4
.
2
Hết.
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG
Phần dành chung cho tất cả các thí sinh (7 điểm)
Câu 1: Cho hàm số : y =
3 2 2 2
3 3( 1) ( 1)
x mx m x m
(1)
a, Với m = 0 , khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) .
b, Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương.
Ta cú y’= 3x
2
-6mx+3(m
2
-1)
y’=0
1
1
x m
x m
Để đồ thị hàm số cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương thỡ ta phải cú:
'
2 2 2
' 0
. 0
( 1)( 3)( 2 1) 0
0 1 0
1 0
0
( 1) 0
(0) 0
y
CD CT
CD
CT
m R
f f
m m m m
x m
m
x
m
f
1 2 1
3 1
3 1 2
3 1 2
1
m
m
m
m
m
Vậy giỏ trị m cần tỡm là:
( 3;1 2)
m
Câu 2: a, Giải phương trình :
sin2x + (1 + 2cos3x)sinx - 2sin
2
(2x+
4
) = 0 <=> Sin2x + (1+2cos3x)sinx – 2sin(2x +
4
)=0
sin2x + sinx + sin4x – sin2x = 1 – cos(4x +
2
)
sinx + sin4x = 1+ sin4x
sinx = 1
x =
2
+ k2
, k
Z
b, Xác định a để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất :
2
2 2
2
1
x
x y x a
x y
Nhận xột: Nếu (x;y) là nghiệm thỡ (-x;y) cũng là nghiệm của hệSuy ra, hệ cú nghiệm duy nhất khi và chỉ khi x =0
+ Với x = 0 ta cú a =0 hoặc a = 2-Với a = 0, hệ trở thành:
2 2
2 2 2 2
2 2 (1)
(I)
1 1 (2)
x x
x y x x x y
x y x y
Từ (2)
2
2
2
2
1
1
2 1
1
1
x
y
x
x x
y
x x
y
( I ) cú nghiệm
2 2
2
1
0
2 1
1
1
x
x y
x
x x
y
y
-Với a=2, ta cú hệ:
2
2 2
2 2
1
x
x y x
x y
Dễ thấy hệ cú 2 nghiệm là: (0;-1) và (1;0) khụng TM
Vậy a = 0 TM
Câu 3 : Tìm :
3
sin
(sin 3cos )
xdx
x x
3
Ta cú
3
3
sin[(x- ) ]
sinx
6 6
(sinx+ 3 osx)
8 os ( )
6
c
c x
3 1
sin( ) os(x- )
2 6 2 6
8 os(x- )
6
x c
c
3 2
sin( )
3 1 1
6
16 16
os ( ) os ( )
6 6
x
c x c x
3
2
sinxdx 3 1
tan( )
16 6
(sinx+ 3 osx)
32 os ( )
6
x c
c
c x
Câu 4 : Cho lăng trụ đứng
' ' '
.
ABC A BC
có thể tích V. Các mặt phẳng (
' ' '
),( ),( )
ABC ABC A BC
c
ắt nhau .
tại O. Tính thể tích khối tứ diện O.ABC theo V.
Gọi I = AC
’A’C, J = A’B
AB’
(BA'C) (ABC') = BI
(BA'C) (AB'C) = CJ
Goi O = BI CJ
O là điểm cần tỡm
Ta cú O là trọng tõm tam giỏc BA’C
Gọi H là hỡnh chiếu của O lờn (ABC)
Do
ABC là hỡnh chiếu vuụng gúc của
BA’C
trờn (ABC) nờn H là trọng tõm
ABC
Gọi M là trung điểm BC. Ta có:
1
' 3
OH HM
A B AM
1 1 1
. ' .
3 9 9
OABC ABC ABC
V OH S A B S V
Câu 5 : Cho x,y,z là các số thực dương . Chứng minh rằng :
P =
3 3 3 3 3 3
3 3 3
2 2 2
4( ) 4( ) 4( ) 2( )
x y z
x y y z z x
y z x
12
Ta cú: 4(x
3
+y
3
)
(x+y)
3
, với
x,y>0
Thật vậy: 4(x
3
+y
3
)
(x+y)
3
4(x
2
-xy+y
2
)
(x+y)
2
(vỡ x+y>0)
3x
2
+3y
2
-6xy
0
(x-y)
2
0 luôn đúng
Tương tự: 4(x
3
+z
3
)
(x+z)
3
4(y
3
+z
3
)
(y+z)
3
3 3 3 3 3 3
3 3 3
3
4( ) 4( ) 4( ) 2( ) 6
x y x z y z x y z xyz
Mặt khỏc:
3
2 2 2
1
2( ) 6
x y z
y z x xyz
3
3
1
6( ) 12
P xyz
xyz
Dấu ‘=’ xảy ra
2 2 2
1
1
x y z
x y z
x y z
y z x
xyz
xyz
Vậy P
12, dấu ‘=’ xảy ra
x = y = z =1
Phần riêng (3 điểm): Thí sinh chỉ làm một trong hai phần (phần A hoặc B )
A. Theo chương trình chuẩn
Câu 6a : a, Cho đường tròn (C) có phương trình :
2 2
4 4 4 0
x y x y
và đường thẳng (d) có phương trình
: x + y – 2 = 0 Chứng minh rằng (d) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B . Tìm toạ độ điểm C trên đường tròn
(C) sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất.
(C) cú tõm I(2;2), bỏn kớnh R=2
J
I
O
H
M
B'
A'
C'
C
B
A
4
y
M
C
4
Tọa độ giao điểm của (C) và (d) là nghiệm của hệ:
2 2
0
2
2 0
4 4 4 0
2
0
x
y
x y
x y x y
x
y
Hay A(2;0), B(0;2)
Hay (d) luôn cắt (C ) tại hai điểm phân biệt A,B
Ta cú
1
.
2
ABC
S CH AB
(H là hỡnh chiếu của C trờn AB)
ax CH max
ABC
S m
Dễ dàng thấy CH max
( ) ( )
2
C
C C
x
Hay
: y = x với
:
(2;2)
d
I
(2 2;2 2)
C Vậy
(2 2;2 2)
C thỡ
ax
ABC
S m
b, Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(1;2;3)và hai đường thẳng có phương trình :
1
1 2
( ) :
2 2 1
x y z
d
'
2
'
4
( ): 2
3
x t
d y
z t
Viết phương trình đường thẳng (
)đi qua điểm A và cắt cả hai đường thẳng(d
1
), (d
2
).
Nhận xột: M
(d1) và M
(d2)
Giả sử
( ) ( 1)
( ) ( 2)
d I
d H
Vỡ I
d1
I(2t-1; -1-2t; 2+t) H
d2
H(4t’; -2; 3t’)
1 2 (1 4 ')
23
3 2 (2 2)
10
, 0
1 (3 3 ')
23 18 3
( ; ; )
5 5 10
cbt
t k t
TM kHM
y t k t
k R k
t k t
T
Vậy phương trỡnh đường thẳng đi qua 2 điểm I và H
là:
1 56
2 16
3 33
x t
y t
z t
hoặc là:
5 8 17 0
12 9 16 18 0
x y z
x y z
Câu 7a : Tìm số hạng không chứa x trong khai triển :
7
4
3
1
x
x
( với x > 0 )
Ta cú:
1
1
7
7 7
4
34
7
3
0
1
( ) ( ) .( )
k k k
k
x C x x
x
Để số hạng thứ k không chứa x thỡ:
1 1
(7 ) 0
4
4 3
[0;7]
k k
k
k
Vậy số hạng khụng chứa x trong khai triển là:
4
7
1
35
C
B . Theo chương trình nâng cao
Câu 6b : a, Viết phương trình đường thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC biết B(2;-1) , đường cao và đường
phân giác trong qua đỉnh A,C lần lượt là : 3x -4y + 27 =0 và x + 2y – 5 = 0 .
Phươngtrỡnh đường thẳng chứa cạnh BC:
5
1
( ) qua B
( ):4 3 5 0
BC d
BC
BC x y
Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ:
4 3 5 0
( 1;3)
2 5 0
x y
C
x y
Gọi K
AC
, K
BC
, K
2
theo thứ tự là hệ số góc của các đường thẳng AC, BC, d
2
Ta cú:
2 2
2 2
3 1 1
4 2 2
1 3 1
1 . 1 .
1 . 1
2 4 2
0
1
(loai)
3
AC
BC d d AC
BC d d AC
AC
AC
AC
K
K K K K
K K K K
K
K
K
Vậy pt đường thẳng AC đi qua C và có hệ
ssó góc k=0 là: y = 3
+ Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ:
3 4 27 0
( 5;3)
3 0
x y
A
y
Pt cạnh AB là:
5 3
4 7 1 0
2 5 1 3
x y
x y
Vậy AB: 4x+7y-1=0 AC: y=3 BC: 4x+3y-5=0
b, Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho A(2;4;1) , B(3;5;2) và đường thẳng (
) có phương
trình :
2 1 0
2 0
x y z
x y z
Tìm toạ độ điểm M nằm trên đường thẳng (
)sao cho : MA + MB nhỏ nhất .
+ Xét vị trí tương đối giữa AB và
, ta có:
cắt AB tại K(1;3;0)
Ta có
2
KB KA
A, B nằm về cùng phía đối với
Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua
và H là hình chiếu của A trên
.
H( 1;t;-3+t) (vì PTTS của
:
1
3
x
y t
z t
)Ta có
. 0 1.0 ( 4).1 ( 4 ).1 0 4
(1;4;1) '(0;4;1)
AH u t t t
H A
Gọi M là giao điểm của A’B và d
13 4
(1; ; )
3 3
M
Lấy điểm N bất kỳ trên
Ta có MA+MB=MB+MA’=A’B
NA+NBVậy
13 4
(1; ; )
3 3
M
C©u 7b : Cho
2 12 2 24
0 1 2 24
(1 )
x x a a x a x a x
. Tính hệ số a
4
.
Ta có: (1+x+x
2
)
12
= [(1+x)+x
2
]
12
= =
0 12 1 11 2 12 2 12 24
12 12 12 12
(1 ) (1 ) . (1 ) .( )
k k k
C x C x x C x x C x
=
0 0 12 1 11 8 4 1 2 0 11 9 2
12 12 12 12 12 11 11
2 4 0 10 10
12 10 10
[C ]+C x [C ]
+C [C ]+
C x C x C x x C x
x x C
Chỉ có 3 số hạng đầu chứa x
4
0 8 1 9 2 10
4 12 12 12 11 12 10
. . . 1221
a C C C C C C
