Đề thi HSG lớp 12 vòng 2 tỉnh Long An năm 2012 môn Toán pptx

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12
LONG AN CẤP TỈNH VÒNG 2
ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI : TOÁN
NGÀY THI : 10/11/2011
THỜI GIAN : 180 phút (không kể phát đề )
Bài 1 (4điểm)
a) Giải phương trình:
2
3
1
1
x
x
x
 


b) Cho ba số thực dương cba ,, .Chứng minh: cba
b
a
ac
a
c
cb
c
b
ba










22
33
22
33
22
33


Bài 2 (5 điểm)
Cho dãy số thực


n
x
với
1
1
1
3 4
1
n
n
n
x
x

x
x











*
( )
n N

Xét các dãy số thực


n
u
với


*
2 1n n
u x n N

  và



n
v
với


*
2n n
v x n N
 
a) Chứng minh các dãy số


n
u
,


n
v
có giới hạn hữu hạn khi
n
 

b) Chứng minh các dãy số


n
x

có giới hạn hữu hạn khi
n
 
và tìm giới hạn đó.

Bài 3 (5 điểm)

a) Cho tam giác
ABC
có
, ,
G H O
lần lượt là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp.
Gọi
K
là điểm sao cho
3
HK HG

 
.
Gọi
1 2 3
, ,
G G G
lần lượt là trọng tâm các tam giác , ,
KBC KCA KAB
  
.
Chứng minh:

1 2 3
, ,
G A G B G C
đồng quy và
1 2 3
G A G B G C
  .

b) Trong mặt phẳng cho ngũ giác đều
ABCDE
nội tiếp đường tròn tâm
O
bán kính
R
và điểm
M
tùy ý.Tìm vị trí của
M
để
MA MB MC MD ME
   
ngắn nhất.


Bài 4 (3điểm)

Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên
, ,
x y z
sao cho:

2012 2012 2010
2009 2011 2012
x y z
  


Bài 5 (3 điểm)

Trên mặt phẳng cho 2011 điểm sao cho với ba điểm bất kỳ trong số các điểm đó ta luôn tìm
được hai điểm để đoạn thẳng được tạo thành có độ dài bé hơn 1.Chứng minh luôn tồn tại một
hình tròn bán kính 1 chứa không ít hơn 1006 điểm đã cho.

HẾT
(Thí sinh không được sử dụng tàiliệu-Giám thị không giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh……………………………… Số báo danh…………………
Giám thị 1 (ký,ghi rõ họ và tên) Giám thị 2 (ký,ghi rõ họ và tên)