đề thi cao học toán đại học sư phạm hà nội năm 2009

Copywrite: Quách Đăng Thăng
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
ĐỘC LẬP – TỰ DO – HẠNH PHÚC

ĐỀ TUYỂN SINH CAO HỌC 2009 ĐỢT 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
Môn thi: ĐẠI SỐ
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Người thi không sử dụng tài liệu

Câu I (3 điểm):
Cho R là trường các số thực và R – không gian vectơ R
3
. Cho ma trận thực
2 0 1
0 2 1
1 1
A
a
−
 
 
= −
 
 
 
với a là tham số. Chứng minh rằng:
(i) Ánh xạ
3 3
:

f R R
→
cho bởi
(
)
(
)
, , 2 , 2 ,
f x y z z x z y x y az
= − − + +
là một ánh xạ
tuyến tính và A là ma trận của f theo cơ sở
(
)
(
)
(
)
1 2 3
1,0,0 ; 0,1,0 ; 0,0,1
e e e= = =

của R
3
.
(ii) Với a = -3, hãy tìm trị riêng và vec tơ riêng của f.
(iii) Với giá trị nào của a thì f không là một đơn cấu, và trong trường hợp f
không là một đơn cấu hãy tìm một cơ sở cho Imf.
Câu II (2 điểm): Cho Q là trường các số hữu tỉ, còn Q[X] là vành các đa thức với
biến X trên Q. Chứng minh rằng:

(i) Q – không gian vectơ Q[X] có chiều vô hạn, hãy chỉ ra một không gian
vectơ con cụ thể của Q[X] có chiều 2009.
(ii) Tập
{ } ( ) ( ) ( )
{
}
2
1
1 1 2 2 2
n
n
X X X
≥
∪ + − + − + + −
lập thành một cơ sở của Q –
không gian vectơ Q[X].
Câu III (3 điểm): Cho một vành chính A và I, J là hai ideal khác ideal không và A.
Với mỗi phần tử
a A
∈
, ta ký hiệu (a) là ideal chính sinh bới a. Chưng minh rằng:
(i) I là một ideal nguyên tố khi và chỉ khi I là một ideal cực đại.
(ii)
{
}
0
I J
∩ ≠
, và nếu
I J

∩
là một ideal nguyên tố thì I = J.
(iii)
( )
1
n
i
a
∞
=
∩
là một ideal cực đại thì A là một trường.
Câu IV (2 điểm): Cho G là một nhóm cyclic. Chưng minh rằng:
(i) Nếu G có cập vô hạn thì G đẳng cấu với nhóm cộng các số nguyên Z và G
chỉ có đúng hai phần tử sinh.
(ii) Không tồn tại G có đúng 2009 phần tử sinh.

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _




Copywrite: Quách Đăng Thăng
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
ĐỘC LẬP – TỰ DO – HẠNH PHÚC

ĐỀ TUYỂN SINH CAO HỌC 2009 ĐỢT 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
Môn thi: GIẢI TÍCH

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Người thi không sử dụng tài liệu

I. Lý thuyết:
Câu 1:
a) Định nghĩa không gian mêtric compact. Cho ví dụ về không gian mêtric
compact.
b) Phát biểu và chưng minh tiêu chuẩn Hausdorff về tập compact trong không
gian mêtric đầy.
Câu 2:
a) Định nghĩa toán tử compact giữa các không gian định chuẩn và chứng minh
các điểu kiện tương đương đối với toán tử compact.
b) Chứng minh rằng nếu
{
}
(
)
1
,
n
n
f L E F
∞
=
⊂
là dãy các toán tử compact từ không
gian Banach E vào không gian Banach F hội tụ tới f trong
(
)
,

L E F
thì f cũng là
toán tử compact.
Câu 3: Phát biểu và chứng minh định lý về sự tồn tại phép chiếu trực giao trong
không gian Hilbert.
II. Bài tập:
Câu 1: Giải sử X là không gian metric compact và
:
f X X
→
là ánh xạ thỏa mãn
điều kiện
(
)
(
)
(
)
(
)
, , , .
f x f y x y x y
ρ ρ
< ∀ ≠

Chứng minh rằng f có điểm bất động duy nhất. Lấy ví dụ cho thấy nếu bỏ giả thiết
compact thì kết quả trên không còn đúng.
Câu 2: Cho X, Y là hai không gian định chuẩn,
:
A X Y

→
là toán tử tuyến tính liên
tục. Chứng minh rằng:
a) Nếu
': ' '
A Y X
→
là toàn ánh thì A là đơn ánh.
b) Nếu A’ là đơn ánh thì A(X) là trù mật trong Y.
Câu 3: Giả sử X là không gian Banach,
(
)
A L X
∈
là một toán tử compact,
λ
là
một số khác không. Chứng minh rằng nếu
1
X
A A
λ
λ
= −
là đơn ánh thì nó là phép
đồng phôi.

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Copywrite: Quách Đăng Thăng
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
ĐỘC LẬP – TỰ DO – HẠNH PHÚC

ĐỀ TUYỂN SINH CAO HỌC 2009 ĐỢT 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
Môn thi: ĐẠI SỐ
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Người thi không sử dụng tài liệu

Câu I (3 điểm): Cho R là trường các số thực và một ánh xạ
3 3
:
f R R
→
cho bới tương
ứng
(
)
(
)
, , 3 2 , 2 3 ,
x y z x y x y z
− − +

.

(i) Chứng minh rằng f là một đẳng cấu tuyến tính của R – không gian vectơ R
3
.
(ii) Tìm ma trận của f theo cơ sở
(
)
(
)
(
)
1 2 3
1,0,0 ; 0,1,0 ; 0,0,1
e e e= = =
của R
3
và các trị
riêng của f.
(iii) Tìm các trị riêng và các vectơ riêng tương ứng của f
2009
.
Câu II (2 điểm): Cho một không gian vectơ V có chiều hữu hạn trên trường K; M và
N là hai không gian vectơ con của V. Chứng minh rằng:
(i) dim(V/M) = dimV – dimM.
(ii)
(
)
(
)
/ /
M M N M N N

∩ ≅ +
, từ đó suy ra đẳng thức
(
)
(
)
dim dim dim dim
M N M N M N
+ = + − ∩

Câu III (2 điểm): Cho I và J là các ideal của một vành giao hoán A có đơn vị. Chứng
minh rằng:
(i) Các tập
1 2 1 2
1
| , , , ; , , , & 1,2,3,
n
i i n n
i
IJ ab a a a I b b b J n
=
 
= ∈ ∈ =
 
 
∑
và

{
}

| &
I J x y x I y J
+ = + ∈ ∈
đều là các ideal của A.
(ii) Nếu
I J A
+ =
thì
I J I J
= ∩
.
Câu IV (3 điểm): Cho G là một nhóm với phép toán nhân có cấp hữu hạn
2
n
≥
và a
là một phần tử của G. Chứng minh rằng:
(i) Quy tắc
(
)
:
T a G G
→
cho bới
x ax

với mỗi
x G
∈
là một song ánh trên G

và
(
)
(
)
(
)
T bc T b T c
=
với mọi
,
b c G
∈
.
(ii) Từ một họ S những nhóm tùy ý có cấp
n
≤
cho trước, bao giờ cũng tồn tại
một nhóm có cấp hữu hạn, chứa những nhóm con đẳng cấu với các nhóm
của S.
(iii) Từ một họ vô hạn những nhóm có cấp
n
≤
cho trước, bao giờ cũng tồn tại
một họ con vô hạn những nhóm đẳng cấu với nhau.

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Copywrite: Quách Đăng Thăng
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
ĐỘC LẬP – TỰ DO – HẠNH PHÚC

ĐỀ TUYỂN SINH CAO HỌC 2009 ĐỢT 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
Môn thi: GIẢI TÍCH
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Người thi không sử dụng tài liệu

I. Lý thuyết:
Câu 1:
a) Định nghĩa không gian metric đầy. Cho một ví dụ về không gian metric không
đầy.
b) Phát biểu và chứng minh nguyên lý ánh xạ co cho lớp không gian metric đầy.
Câu 2:
a) Định nghĩa toán tử compact giữa các không gian định chuẩn.
b) Chứng minh rằng nếu
{
}
(
)
1
,
n
n
f L E F

∞
=
⊂
là dãy các toán tử compact từ không
gian Banach E vào không gian Banach F hội tụ tới f trong
(
)
,
L E F
thì f cũng là
toán tử compact.
Câu 3: Phát biểu và chứng minh định lý biểu diễn Riesz về dạng tuyến tính liên
tục trong không gian Hilbert.
II. Bài tập:
Câu 1: Cho
φ
là hàm liên tục trên [a,b]. Hãy chứng minh rằng tập các hàm số f
liên tục trên [a,b] và thỏa mãn
(
)
(
)
[
]
, ,
f x x x a b
φ< ∀ ∈
là mở trong
[ ]
,

a b
C
với khoảng
cách max.
Câu 2: Giả sử
:
E F
ϕ
→
là ánh xạ tuyến tính từ không gian định chuẩn E tới
không gian định chuẩn F. Chứng minh
ϕ
là liên tục khi và chỉ khi
'
o
f E
ϕ
∈
với
mọi
'
f F
∈
.
Câu 3: Giả sử L là không gian con đóng của không gian Hilbert E và
x E
∈
.
Chứng minh rằng
,

x L x x y y L
⊥ ⇔ ≤ − ∀ ∈
.
Câu 4: Cho không gian Hilbert H và
(
)
A L H
∈
. Chứng minh rằng nếu
*
o
A A
là một
toán tử compact thì A là một toán tử compact.
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _









Copywrite: Quách Đăng Thăng
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
ĐỘC LẬP – TỰ DO – HẠNH PHÚC

ĐỀ TUYỂN SINH CAO HỌC 2008 ĐỢT 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
Môn thi: ĐẠI SỐ
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Người thi không sử dụng tài liệu

Câu I (3 điểm): Cho một ma trận thực
2 0 1
0 2 1
1 1
A
a
−
 
 
= −
 
 
− −
 
với a là tham số.
(i) Hãy biện luận hạng của A theo tham số a.
(ii) Với a = 3, hãy tìm trị riêng và vectơ riêng của A.
(iii) Với a = 3, hãy tìm ma trận trực giao T sao cho T
-1
AT là ma trận đường chéo.
Câu II (2 điểm): Cho R là trường các số thực, còn Q là trường các số hữu tỉ. Chứng
minh rằng:
(i) R là một Q-Không gian vectơ vô hạn chiều.
(ii) Tồn tại tập S các số thực vô tỉ sao cho
{

}
0
V S
= ∪
lập thành một Q-Không
gian vectơ con của R và R = V + Q.
Câu III (2 điểm): Cho một số nguyên
2
n
≥
. Chứng minh rằng:
(i) Ideal I = (n) là một ideal cực đại của vành số nguyên Z khi và chỉ khi n là
số nguyên tố.
(ii) Vành Zn (Vành các lớp thặng dư modolo n) là một miền nguyên khi và chỉ
khi n là một số nguyên tố.
Câu IV (3 điểm): Cho G là nhóm cyclic có cấp hữu hạn
2
n
≥
, a và b là các phần tử
của G có cấp lần lượt là p và q. Chứng minh rằng:
(i) Nếu ab là một phần tử sinh của G thì tồn tại các số nguyên dương t1 và t2
để
1
n
t
p
và
2
n

t
q
là các số nguyên sao cho
( )
1 2
1 mod
n n
t t n
p q
+ ≡
.
(ii) Nếu n = 5
k
thì trong G không tồn tại các nhóm con không tầm thường H và
K để G đẳng cấu với nhóm HxK.


_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _










Copywrite: Quách Đăng Thăng
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

ĐỘC LẬP – TỰ DO – HẠNH PHÚC

ĐỀ TUYỂN SINH CAO HỌC 2008 ĐỢT 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
Môn thi: GIẢI TÍCH
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Người thi không sử dụng tài liệu

I. Lý thuyết:
Câu 1:
a) Định nghĩa không gian metric compact. Cho ví dụ.
b) Phát biểu và chứng minh đặc trưng Hausdorff của tập compact trong không
gian metric đầy.
Câu 2: Cho E, F là hai không gian định chuẩn. Chứng minh rằng:
a) L(E,F) là không gian định chuẩn.
b) Nếu F là Banach thì L(E,F) là không gian Banach.
Câu 3:
a) Định nghĩa toán tử compact trên lớp các không gian định chuẩn.
c) Cho E,F là không gian Banach và
{
}
(
)
1
,
n
n
f L E F
∞

=
⊂
là dãy các toán tử compact
hội tụ trong
(
)
,
L E F
tới ánh xạ f. Hãy chứng minh f là toán tử compact.
II. Bài tập:
Câu 1: Chứng minh hàm cho bởi
( ) ( ) ( )
[ ]
,
, : , ,
b
a b
a
d f g f x g x dx f g C= − ∀ ∈
∫
là một metric
trên tập
[ ]
.
a b
C
các hàm liên tục trên đoạn
[
]
, .

a b R
⊂

Câu 2: Cho H là siêu phẳng đóng trong không gian định chuẩn E có phương trình
(
)
0, '
f x f E
= ∈
. Chứng minh rằng:
( )
{ }
(
)
, : inf : , .
f a
a H a y y H a E
f
ρ
= − ∈ = ∀ ∈

Câu 3: Giả sử E là không gian Hilbert và :
A E E
→
là toán tử tuyến tính thỏa mãn
(
)
(
)
, , , , .

A x y x A y x y E
= ∀ ∈
Chứng minh rằng A liên tục.

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _










Copywrite: Quách Đăng Thăng
ĐỘC LẬP – TỰ DO – HẠNH PHÚC

ĐỀ TUYỂN SINH CAO HỌC 2008 ĐỢT 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
Môn thi: ĐẠI SỐ
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Người thi không sử dụng tài liệu

Câu I (3 điểm):
Cho R – không gian vectơ P
n
[x] gồm tất cả các đa thức có bậc không vượt quá n
(n>0) và mộ t ánh xạ

[
]
[
]
:
n n
D P x P x
→
cho t
ươ
ng
ứ
ng m
ỗ
i ph
ầ
n t
ử
f c
ủ
a P
n
[x] v
ớ
i
đạ
o hàm f’ c
ủ
a
nó. Ch

ứ
ng minh r
ằ
ng:
(i)

D là m
ộ
t ánh x
ạ
tuy
ế
n tính. Hãy tìm giá tr
ị
riêng và vect
ơ
riêng c
ủ
a D.
(ii)

[
]
[
]
1n n
P x R P x
−
≅ ⊕

(iii)V
ớ
i m
ỗ
i
a R
∈
, thì
( )
{
}
| 0,1, ,
d
x a d n
− =
là m
ộ
t c
ơ
s
ở
c
ủ
a
[
]
n
P x
.
Câu II (2 điểm):

Cho W là m
ộ
t không gian vect
ơ
có chi
ề
u d
ươ
ng trên tr
ườ
ng các s
ố
th
ự
c R.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
(i)

W có vô h
ạ
n c
ơ
s
ở
. Hãy cho bi
ế

t khi nào W có vô h
ạ
n không gian con.
(ii)

N
ế
u W có chi
ề
u vô h
ạ
n thì W có vô h
ạ
n không gian vect
ơ
con
đẳ
ng c
ấ
u v
ớ
i chính W.
Câu III (2 điểm):
Cho I và I là các ideal c
ủ
a m
ộ
t mi
ề
n nguyên A.

(i)

Cho bi
ế
t khi nào thì
{
}
0
I J
∩ =
.
(ii)

Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng vành các
đ
a th
ứ
c A[x] v
ớ
i bi
ế
n x c
ũ
ng là m
ộ
t mi

ề
n nguyên.
Câu IV (3 điểm):
Cho S
n
là nhóm t
ấ
t c
ả
các phép th
ế
b
ậ
c
(
)
2
n n
≥
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
(i)

S
n
ch
ứ

a m
ộ
t nhóm con
đẳ
ng c
ấ
u v
ớ
i nhóm S
n-1
.
(ii)

S
n
ch
ứ
a m
ộ
t nhóm con cyclic c
ấ
p n.


_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Copywrite: Quách Đăng Thăng
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
ĐỘC LẬP – TỰ DO – HẠNH PHÚC

ĐỀ TUYỂN SINH CAO HỌC 2008 ĐỢT 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
Môn thi: GIẢI TÍCH
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Người thi không sử dụng tài liệu

I. Lý thuyết:
Câu 1: Chứng minh rằng không gian metric X là đầy khi và chỉ khi mọi dãy hình cầu
đóng lồng vào nhau thắt dần có điểm chung duy nhất.
Câu 2: Phát biểu và chứng minh nguyên lý bị chặn đều cho lớp không gianb Banach.
Câu 3: Giải sử
1
p

≥
và
( )
1 2
1
, , :
p
p j
j
l x x x x
∞
=
 
= = < +∞
 
 
∑
là không gian Banach với
chuẩn
1
1
p
p
j
j
x x
∞
=
 
=

 
 
∑
. Chứng minh rằng tập con A của l
p
hoàn toàn bị chặn nếu và chỉ
nếu A bị chặn và với mọi
0
ε
>
tồn tại
n
ε
sao cho
( )
1 2
1
, , , .
p
j
j
x x x x A
ε
∞
=
< ∀ = ∈
∑

II. Bài tập:
Câu 1: Cho

( )
{
}
0 1 2
, , :limx 0
n
x
c x x x
→∞
= = =
là không gian Banach với chuẩn
1
sup
n
n
x x
≥
=
.
Siêu phẳng
( )
1 2 0
1
, , : 0
j j
j
H x x x c a x
∞
=
 

= = ∈ =
 
 
∑
với
1
0 .
j
j
a
∞
=
< < +∞
∑

a) Tính
(
)
{
}
(
)
1 2 0
, inf : , , ,
d x H x y y H x x x c
= − ∈ = ∈
.
b) Tìm điều kiện của
(
)

1 2
, ,
a a
để tồn tại
0 0
,
x H y H
∉ ∈
sao cho
(
)
0 0 0
,
d x H x y
= −
.
Câu 2: Cho
{
}
1
n
n
x
≥
là hệ trực giao trong không gian Hilbert E. Chứng minh rằng dãy
1
1
n
j
j

n
x
=
≥
 
 
 
∑
hội tụ yếu nếu và chỉ nếu
2
1
j
j
x
∞
=
< ∞
∑
.
Câu 3: Cho X là không gian định chuẩn, E là không gian Hilbert có hệ cơ sở trực
chuẩn đầy đủ
{
}
1
n
n
e
≥
. Chứng minh rằng
:

A X E
→
là toán tử compact nếu và chỉ nếu
tồn tại dãy toán tử liên tục hữu hạn chiều
:
n
A X E
→
thỏa mãn
lim 0
n
n
A A
→∞
− =
.
Câu 4: Cho E là không gian định chuẩn. Giải sử A là tập chặn yếu trong E nghĩa là
f(A) là tập bị chặn với mọi
'
f E
∈
. Chứng minh rằng A là tập bị chặn.

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _





Copywrite: Quách Đăng Thăng

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
ĐỘC LẬP – TỰ DO – HẠNH PHÚC

ĐỀ TUYỂN SINH CAO HỌC 2007

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
Môn thi: ĐẠI SỐ
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Người thi không sử dụng tài liệu

Câu I (3 điểm): Cho hệ phương trình
0
2 3 0
x y z t
x y z t
+ + + =


− − − =

trên trường số thực R.
1) Chứng minh rằng tập V tất cả các nghiệm của hệ đã cho là một không gian
vectơ con của R-không gian vectơ R
4
.
2) Tìm chiều và tìm cơ sở của V.
3) Tìm nghiệm tổng quát của hệ
1
2 3 2
x y z t

x y z t
+ + + =


− − − =

.
Câu II (2 điểm): Cho V là không gian vectơ n chiều
(
)
1
n
≥
trên trường K và f là một
tự đồng cấu của V. Giải sử
2
er er
K f K f
=
. Hãy chứng minh rằng:
1)
(
)
Im er .
V f K f
= +

2)
(
)

/ Im er .
V f K f
≅

Câu III (2 điểm): Cho H là nhóm con của nhóm nhân G và G/H là tập các lớp ghép
trái của G theo H.
1) Chứng minh rằng quy tắc
(
)
(
)
: / / /
f G H G H G H
× →
cho bởi
(
)
,
f xH yH xyH
=
là
một ánh xạ khi và chỉ khi H là một nhóm con chuẩn tắc của G.
2) Giả sử H là nhóm con chuẩn tắc của G. Chứng minh rằng nhóm thương G/H là
một nhóm giao hoán khi và chỉ khi
1 1
aba b H
− −
∈
với mọi
,

a b G
∈
.
Câu IV (3 điểm): Cho A là một vành chính, a và b là hai phần tử của A. Ký hiệu (x)
là một ideal sinh bởi phần tử x. Chứng minh rằng:
1)
(
)
(
)
(
)
a b ab
∩ =
khi và chỉ khi a và b nguyên tố cùng nhau.
2) Nếu a không khả nghịch thì
( )
1
n
n
a
∞
=
∩
là ideal không.
3) A/(a) là một trường khi và chỉ khi a bất khả quy trong A.

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Copywrite: Quách Đăng Thăng
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
ĐỘC LẬP – TỰ DO – HẠNH PHÚC

ĐỀ TUYỂN SINH CAO HỌC 2007

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
Môn thi: GIẢI TÍCH
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Người thi không sử dụng tài liệu

I. Lý thuyết:
Câu 1: Định nghĩa không gian metric đầy. Cho ví dụ.
Chứng minh rằng không gian metric E là đầy khi và chỉ khi mọi dãy hình cầu đóng
thắt dần có điểm chung duy nhất.
Câu 2: Phát biểu và chứng minh nguyên lý ánh xạ mở cho lớp không gian Banach.
Câu 3: Phát biểu và chứng minh định lý Riesz về dạng phiếm hàm tuyến tính liên tục
trên không gian Hilbert.
II. Bài tập:
Câu 1: Giả sử
:
f E F
→
là ánh xạ giữa hai không gian metric. Chứng minh hai phát

biểu sau là tương đương:
a) f liên tục trên E.
b) Với mọi
(
)
(
)
(
)
1 1
, .
A F f IntA Int f A
− −
⊂ ⊂

Câu 2: Giả sử
:
f E F
→
là ánh xạ giữa hai không gian định chuẩn E, F. Chứng minh
f là liên tục khi và chỉ khi với mọi dãy
{
}
, 0
n n
x E x
⊂ →
thì dãy
(
)

{
}
n
f x
là bị chặn trong
F.
Câu 3: Giả sử
{
}
1
n
n
e
∞
=
là hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert E và
{
}
n
λ
là dãy số
dần tới 0. Chứng minh toán tử tuyến tính
:
T E E
→
cho bởi
( )
1
,
n n n

n
T x x e e
λ
∞
=
= 〈 〉
∑
là toán
tử compact.
Câu 4: Giả sử
{
}
n
A
là dãy giảm các tập đo được với độ đo không âm
µ
và f là hàm
không âm, khả tích theo độ đo
µ
trên A
1
.
Đặt
1
n
n
A A
∞
=
=

∩
. Chứng minh
lim
n
A A
n
fd fd
µ µ
→∞
=
∫ ∫
.

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _








Copywrite: Quách Đăng Thăng
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
ĐỘC LẬP – TỰ DO – HẠNH PHÚC

ĐỀ TUYỂN SINH CAO HỌC 2006

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
Môn thi: GIẢI TÍCH

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Người thi không sử dụng tài liệu

I. Lý thuyết:
Câu 1:
a) Định nghĩa tập hoàn toàn bị chặn, tập compact và không gian metric compact.
Cho ví dụ.
b) Phát biểu và chứng minh các kết quả về ánh xạ liên tục và hàm liên tục trên tập
compact.
Câu 2: Định nghĩa giá trị chính quy và phổ của toán tử tuyến tính liên tục. Chứng
minh nếu E là không gian Banach trên trường K thì phổ
(
)
f
σ
của mọi f thuộc đại số
L(E) là tập compact và hàm
(
)
1
f
λ λ
−
→ −
là giải tích trên giá trị chính quy
(
)
S f
. Hơn
nữa nếu K = C thì

(
)
f
σ
≠ ∅
.
Câu 3: Phát biểu và chứng minh định lý Riesz về dạng phiếm hàm tuyến tính liên tục
trên không gian Hilbert.
II. Bài tập:
Câu 1: Giả sử
{
}
n
f
là dãy các ánh xạ liên tục từ không gian metric compact X vào X
hội tụ đều trên X tới ánh xạ
:
f X X
→
. Chứng minh các ánh xạ
n
f
có điểm bất động
thì f cũng có điểm bất động.
Câu 2: Cho E và F là hai không gian Banach và
:
A E F
→
là ánh xạ tuyến tính liên
tục. Chứng minh

': ' '
A F E
→
là toàn ánh khi và chỉ khi A là đơn ánh và có ảnh đóng.
Câu 3: Chứng minh mọi dạng tuyến tính, khác không trên không gian định chuẩn là
ánh xạ mở.
Câu 4: Giả sử
(
)
1
n
n
e
≥
là hệ trực chuẩn trên không gian Hikbert E và
{
}
1
n
n
λ
≥
là dãy hội
tụ tới o. Chứng minh toán tử A từ E tới E cho bởi
( )
1
|
n n n
n
Ax x e e

λ
∞
=
=
∑
là toán tử
compact.
Câu 5: Giả sử E là không gian Hilbert. Toán tử
(
)
A L E
∈
gọi là dương nếu
(
)
| 0
Ax x
≥

với mọi
x E
∈
. Chứng minh:
a) Mọi toán tử dương là liên hợp.
b) Mọi phép chiếu trực giao lên không gian con đóng của E là toán tử dương.
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Copywrite: Quách Đăng Thăng
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
ĐỘC LẬP – TỰ DO – HẠNH PHÚC

ĐỀ TUYỂN SINH CAO HỌC 2006 ĐỢT 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
Môn thi: GIẢI TÍCH
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Người thi không sử dụng tài liệu

I. Lý thuyết:
Câu 1:
a) Định nghĩa không gian metric đầy.
b) Chứng minh mọi tập đóng trong không gian metric đầy là không gian metric đầy
với metric cảm sinh.
Câu 2: Phát biểu và chứng minh định lý Hahn – Banach trong trường hợp không gian
định chuẩn.
Câu 3: Phát biểu và chứng minh định lý Riesz về dạng phiếm hàm tuyến tính trên
không gian Hilbert.
II. Bài tập:
Câu 1: Cho
[
]
[
]
: ; ;
f a b a b
→
là hàm liên tục. Chứng minh f có điểm bất động.

Câu 2: Giả sử E và F là hai không gian Banach và :
E F
τ
→
là ánh xạ tuyến tính.
Chứng minh
τ
liên tục nếu và chỉ nếu
'
o
f E
τ
∈
với mọi
'
f E
∈
ở đó E’ và F’ là hai
không gian đối ngẫu của E và F.
Câu 3: Giả sử
:
A E F
→
là toán tử tuyến tính liên tục giữa các không gian định chuẩn
E và F. Chứng minh nếu toán tử đối ngẫu
': ' '
A E F
→
là đơn ánh thì A(E) trù mật
trong F.

Câu 4: Giả sử
(
)
1
n
n
e
∞
=
là hệ trực chuẩn trong không gian Hikbert E và
{
}
1
n
n
λ
∞
=
là dãy số.
Chứng minh nếu với mọi
x E
∈
chuỗi
1
,
n n n
n
x e e
λ
∞

=
〈 〉
∑
hội tụ thì
{
}
1
n
n
λ
∞
=
là dãy bị chặn.
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _













Copywrite: Quách Đăng Thăng
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
ĐỘC LẬP – TỰ DO – HẠNH PHÚC

ĐỀ TUYỂN SINH CAO HỌC 2006 ĐỢT 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
Môn thi: ĐẠI SỐ
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Người thi không sử dụng tài liệu

Câu 1: Cho nhóm cộng aben A. Nhóm con B của A được gọi là hạng tử trực tiếp
trong A nếu tồn tại nhóm con C sao cho A = B + C (theo nghĩa mỗi phần tử
a A
∈
viết
được dưới dạng a = b + c, với
,
b B c C
∈ ∈
) và
{
}
0
B C
∩ =
. Chứng minh rằng các điều
sau là tương đương:
(a) B là hạng tử trực tiếp trong A.
(b) Tồn tại một tự đồng cấu
:
A A
ϕ

→
sao cho
(
)
A B
ϕ
=
và
2
ϕ ϕ
=
.
(c) Tồn tại một đồng cấu
:
f A B
→
sao cho hạn chế của f trên B là phép đồng nhất.
Câu 2: Cho ánh xạ tuyến tính
3 3
:
L R R
→
xác định bởi công thức
(
)
(
)
; ; 2 ;0;
L x y z x y z x
= + −

Hãy tìm cơ sở và số chiều của các không gian con Im(L) và Ker(L).
Câu 3: Cho E và F là hai K - không gian vectơ hữu hạn chiều,
{
}
1 2
, , ,
n
U e e e
=
là một
cơ sở của E và
1 2
, , ,
n
u u u
là những phần tử của F. Chứng minh rằng:
1) Tồn tại duy nhất một đồng cấu
:
f E F
→
sao cho
(
)
, 1,2, ,
i i
f e u i n
= =
.
2) Nếu

:
f E F
→
là một toàn cấu thì tồn tại một đồng cấu
:
g F E
→
sao cho
F
fg id
=
.
Hơn nữa khi đó ta có: E = Img + Kerf và
{
}
Im er 0
g K f
∩ =
.
Câu 4: Cho p(x) là một đa thức bậc n > 0, bất khả quy trong vành đa thức Q[x] và
α

là một nghiệm phức của nó. Chứng minh rằng:
[
]
(
)
(
)
[

]
{
}
/
Q f f x Q x
α α= ∈

là một không gian vectơ trên Q.
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _













Copywrite: Quách Đăng Thăng
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
ĐỘC LẬP – TỰ DO – HẠNH PHÚC

ĐỀ TUYỂN SINH CAO HỌC 2006

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
Môn thi: ĐẠI SỐ

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Người thi không sử dụng tài liệu

Câu 1: Chứng minh các điều kiện sau tương đương.
a/ G là nhóm xyclic cấp nguyên tố.
b/ Nhóm G có đúng 2 nhóm con.
Câu 2: Cho K là một trường. CMR:
a/ Mỗi ideal của vành các đa thức K[x] đều là ideal chính.
b/ Nếu p(x) là đa thức bất khả quy trong K[x] thì ideal chính sinh bới p(x) là ideal tối
đại trong K[x].
c/ Vành thương
[
]
K x
K
K
=
là một trường. Hơn nữa,
K
chứa trường con đẳng cấu với
K.
Câu 3: Cho E và F là hai K – Không gian vectơ hữu hạn chiều.
f :E F
→
là một ánh
xạ tuyến tính. CMR:
a/ Nếu f là toàn ánh thì tồn tại một ánh xạ tuyến tính
g : F E
→
sao cho

f g

là ánh xạ
đồng nhất của F.
b/ Cho ví dụ chứng tỏ rằng ánh xạ g nói trong câu a không duy nhất.
Câu 4: Ánh xạ tuyến tính
3 3
f :R R
→
có ma trận đối với cơ sở
(
)
(
)
(
)
(
)
i 1 2 3
u :u 1;1;0 ,u 0;1;1 ,u 1;0;1
= = =
là
1 2 0
A 0 1 2
1 2 1
 
 
= −
 
 

 
.
a/ Hãy xác định ma trận chuyển T từ cơ sở (u
i
) sang cơ sở chính tắc.
b/ Tìm ma trận B của f đối với cơ sở chính tắc (e
i
).
(
)
(
)
(
)
(
)
i 1 2 3
e :e 1;0;0 ,e 0;1;0 ,e 0;0;1
= = =

c/ Hãy xác định f(x;y;z) và tìm chiều của Imf.