Các bài giảng về hình học họa hình

1

HầNH HOĩC
HOĩA HầNH
DặNG THOĩ

AI HOĩC Aè NễNG

2004
AI HOĩC Aè NễNG
TRặèNG AI HOĩC BAẽCH KHOA

2









LÅÌI NỌI ÂÁƯU

Giạo trçnh hçnh hc ha hçnh ny soản theo chỉång trçnh ci cạch

ca Bäü Giạo Dủc V Âo Tảo . Giạo trçnh nhàòm phủc vủ sinh viãn cạc
hãû âo tảo ca cạc ngnh k thût trong cạc nàm hc cå bn . Sạch cọ
chn lc cạc vê dủ minh ha v viãút tỉång âäúi t m nhàòm phủc vủ cho
sinh viãn tỉû âc cọ thãø hiãøu dãù dng.
Km theo cún bi ging sinh viãn cọ thãm sạch bi táûp âënh k âãø
phủc vủ viãûc nàõm lải l thuút v måí räüng tỉ duy. Do âọ mäùi sinh viãn
cáưn phi thỉûc hiãûn âáưy â cạc bi táûp â cho trong cún bi táûp v lm
thàó
ng vo sạch .
Trong qụa trçnh soản tho chụng täi chàõc chàõn khäng trạnh khi
thiãúu sọt vãư cạc màût . Ráút mong bản âc, cạc âäưng nghiãûp âọng gọp .
 nàơng , thạng 10 nàm 2004
Tạc gi











3


Pháưn I :

NHỈỴNG KHẠI NIÃÛM TÄØNG QUẠT

Chỉång mäüt:
MÅÍ ÂÁƯU

1.1-MỦC ÂÊCH V U CÁƯU:
-Mủc âêch:Bn v l vàn kiãûn k thût cå bn âãø chè âảo sn xút .Bn
v âỉåüc xáy dỉûng nhåì nhỉỵng phỉång phạp biãøu diãùn v cạc hãû thäng qui ỉåïc.
Nghiãn cỉïu cạc phỉång phạp biãøu diãùn lm cå såí l lûn cho viãûc xáy dỉûng cạc
bn v l ngưn gäúc lëch sỉí v l mäüt trong nhỉỵng näüi dung ca Hçnh hc ha
hçnh.
Âãø biãøu diãùn cạc âäúi tỉåüng củ thãø nhỉ mäüt bäü pháûn mạy mọc,mäüt cäng
trçnh xáy dỉûng,trỉåc hãút phi biãút cạch biãøu diãùn cạc khäng gian hçnh hc chỉïa
nhỉỵng âäúi tỉång củ thãø áúy.
Nọi r hån , Hçnh hc ha hçnh l
mäüt män hc nghiãn cỉïu cạch biãøu
diãùn cạc khäng gian bàòng nhỉỵng úu täú hçnh hc ca mäüt khäng gian cọ chiãưu
tháúp hån ,phäø biãún nháút l màût phàóng, räưi dng cạc hçnh biãøu diãùn áúy âãø nghiãn
cỉïu cạc khäng gian ban âáưu.
Hçnh hc ha hçnh nhåì bo âm âỉåüc tênh trỉûc quan v chênh xạc nãn â
âỉåüc dng nhiãưu trong thỉûc tãú âãø xáy dỉûng cạc bn v k thût v nọ l mäüt
trong nhỉỵng män hc cå såí ca chỉång trçnh âo tảo k sỉ.
-u cáưu ca hçnh biãøu diãùn: Mún âảt âỉåüc mủc âêch trãn , cạc hçnh
biãøu diãùn phi âảt âỉåüc cạc u cáưu sau;
+ Âån gin, r rng, chênh xạc.
+ Tha m
n tênh tỉång âỉång hçnh hc hay tênh phn chuøn ca bn v.
* Âãø hc täút män hçnh hc ha hçnh, ngỉåìi hc cáưn nàõm vỉỵng cạc kiãún thỉïc
ca hçnh hc så cáúp nháút l hçnh hc khäng gian.
1.2-CẠC PHẸP CHIÃÚU:

1.2.1-Phẹp chiãúu xun tám:
Mäüt phẹp chiãúu xun tám âỉåüc xạc
âënh båíi mäüt âiãøm S gi l tám chiãúu v mäüt
phàóng P gi l màût phàóng hçnh chiãúu.Phẹp
chiãúu âỉåüc thỉûc hiãûn båíi hai bỉåïc.(H-1.1)
-Näúi âỉåìng thàóng SA. Hçnh-1.1
S
A
A
'
P

4

-Tỗm giao õióứm Aẽ = SA x P
Aẽ : goỹi laỡ hỗnh chióỳu xuyón tỏm cuớa A tổỡ tỏm S lón mỷt phúng hỗnh chióỳu P.
Tờnh chỏỳt 1: Hỗnh chióỳu cuớa mọỹt õổồỡng thúng khọng qua tỏm chióỳu laỡ mọỹt
õổồỡng thúng.(H-1.2)
Tờnh chỏỳt 2: Hỗnh chióỳu cuớa cuớa hai õổồỡng thúng song song laỡ hai õổồỡng thúng
õọửng qui(õióứm õọửỡng qui laỡ hỗnh chióỳu õióứm vọ tỏỷn cuớa hai õổồỡng thúng song
song).(H-1.3)
1.2.2-Pheùp chióỳu song song:
Mọỹt pheùp chióỳu song song õổồỹc xaùc õởnh bồới mọỹt hổồùng s vaỡ mọỹt mỷt
phúng hỗnh chióỳu P, khọng song song vồùi s. (H-1.4)

Hỗnh -1.2 Hỗnh-1.3
Thổỷc hióỷn pheùp chióỳu gọửm hai bổồùc:
- Qua A keớ t song song s.
- Tỗm giao õióứm Aẽ = t x P .
Aẽ : goỹi laỡ hỗnh chióỳu song song cuớ
a A theo
hổồùng s lón mỷt phúng hỗnh chióỳu P.
Tờnh chỏỳt 1:Pheùp chióỳu song song baớo tọửn
tờnh chỏỳt song song cuớa hai õổồỡng thúng.
(H-1.5)
Tờnh chỏỳt 2:Pheùp chióỳu song song baớo tọửn
tyớ sọỳ õồn cuớa ba õióứm thúng haỡng. (H-1.6)

Hỗnh -1.4
S
I
AA'
P
a
b'
BB'
a'
b
s
A
A

'
P
S
A

A
'
P

d
d'

5
AB // CD A'B' // C'D' (ABC) = (A'B'C')









Hỗnh-1.5 Hỗnh-1.6

1.2.3- Pheùp chióỳu vuọng goùc:
Pheùp chióỳu vuọng goùc laỡ trổồỡng hồỹp õỷc bióỷt cuớa pheùp chióỳu song song
khi hổồùng chióỳu s vuọng goùc vồùi mỷt phúng hỗnh chióỳu P. (H- 1.7)
Tờnh chỏỳt : ióửu kióỷn cỏửn vaỡ õuớ mọỹt goùc vuọng chióỳu thaỡnh mọỹt goùc vuọng laỡ
mọỹt trong hai caỷnh goùc vuọng song song vồùi mỷt phúng hỗnh chióỳu vaỡ caỷnh kia

khọng vuọng goùc vồùi mỷt phúng hỗnh chióỳu. (H-1.8)









Hỗnh-1.7 Hỗnh-1.8






s
A

A
'
P

B
D
C
B'
C'
D'

a
b'
P
b
a'
s
A
A
'
P
B
C
B'
C'
A

A
'
P


6

Chổồng hai:
IỉM

2.1- ệ THặẽC CUA MĩT IỉM:
2.1.1-Hóỷ thọỳng caùc mỷt phúng hỗnh chióỳu:
Trong khọng gian, choỹn hai mỷt phúng vuọng goùc nhau. P1 nũm ngang
vaỡ P2 thúng õổùng nhổ hỗnh veợ. (H-2.1)

P1 : goỹi laỡ mỷt phúng hỗnh chióỳu
bũng.
P2 : goỹi laỡ mỷt phúng hỗnh chióỳu
õổùng.
Hai mỷt phúng P1, P2 chia
khọng gian ra laỡm bọỳn phỏửn tổ theo
thổù tổỷ nhổ hỗnh veợ.




2.1.2- Bióứu dióựn õióứm -ọỹ cao -ọỹ xa :
Chióỳu vuọng goùc õióứm A lỏửn lổồỹc lón P1 vaỡ P2 rọửi gỏỷp P1 õóỳn truỡng
vồùi P2 theo chióửu nhổ hỗnh veợ .Sau õoù õỷt P2 truỡng vồùi mỷt phúng baớn veợ ta
seợ coù mọỹt hóỷ caùc hỗnh chióỳu cuớa õióứm A , thổồỡng õổồỹc goỹi laỡ õọử thổùc cuùa
A.(H-2.2)










Hỗnh-2.2a Hỗnh-2.2b
Hỗnh-2.1
A
1

A
2
A
X
x

P
2
1
P
1
P
2
2
3
4
x
A

P
1
P
2
A
X
A
1
A
2
x

7
Ta coù mọỹt sọỳ õởnh nghộa nhổ sau:
- A1: Hỗnh chióỳu bũng cuớa õióứm A .
- A2: Hỗnh chióỳu õổùng cuớa õióứm A .
- x = P1 x P2 : Truỷc chióỳu .
- ổồỡng nọỳi hai õióứm A1,A2 : ổồỡng doùng
- A1Ax : ọỹ xa ( eùloignement) ,õổồỹc qui ổồùc laỡ dổồng khi A1 nũm
phờa dổồùi truỷc x.
- A2Ax : ọỹ cao (cote) ,õổồỹc qui ổồùc laỡ dổồng khi A2 nũm phờa trón
truỷc x.

2.1.3- ọử thổùc cuớa mọỹt õióứm trong bọỳn phỏửn tổ khọng gian. Caùc mỷt phúng
phỏn giaùc.
Theo qui ổồùc ồớ 2.1.2, vở trờ cuớa mọỹt õióứm trong bọỳn phỏửn tổ tổồng ổùng
vồùi õọỹ xa, õọỹ cao nhổ sau: Phỏửn tổ
ọỹ cao ọỹ xa
1 + +
2 + -
3 - -
4 - +
Ngổồỡi ta goỹi:
-Mỷt phúng phỏn giaùc 1 laỡ mỷt phúng phỏn giaùc õi qua phỏửn tổ thổù 1
vaỡ thổù 3.
-Mỷt phúng phỏn giaùc 2 laỡ mỷt phúng phỏn giaùc õi qua phỏửn tổ thổù 2
vaỡ thổù 4.
Hỗnh veợ dổồùi õỏy cho vờ duỷ minh hoỹa õọử thổùc cuớa mọỹt sọỳ õióứm cuớa
khọng gian. (H-2.3)
(Aptổ 1) (Bphtổ 2) (Cphtổ 3) (Dphtổ 4) (Epgiaùc 1) (Fpgiaùc 2)

Hỗnh - 2.3
A
1
A
2
x

B
1
B
2
C
1
C
2
D
1
D
2
E
1
E
2
F

1
=F
2

8

2.2-H BA MT PHểNG HầNH CHIU:
Sổớ duỷng thóm mọỹt mỷt phúng hỗnh chióỳu thổù ba, kyù hióỷu laỡ P3 vuọng
goùc vồùi caớ hai mỷt phúng hỗnh chióỳu P1 vaỡ P2 noùi trón, ta coù hóỷ ba mỷt phúng
hỗnh chióỳu vuọng goùc.(H-2.4)
Chióỳu vuọng goùc mọỹt õióứm A lỏửn lổồỹt lón P1,P2,P3,rọửi gỏỷp P1,P3 theo
chióửu nhổ hỗnh veợ õóỳn truỡng vồùi P2 ,ta coù õọử thổùc tổồng ổùng cuớa noù.(H-2.5)













Hỗnh-2.4 Hỗnh-2.5

A3: laỡ hỗnh chióỳu caỷnh cuớa õióứm A.
AA3=AxO : laỡ õọỹ xa caỷnh cuớa A , vồùi qui ổồùc laỡ dổồng khi A1,A2 ồớ
bón traùi truỷc z.

P
2
A

P
1
A
X
A
1
A
2
P
3
A
3
A
Y
A
Z
y

z
x
x

A
1
A
2
A
X
A
3
A
z
A
y'
A
y
z

y

y'
O


9


Chổồng 3:

ặèNG THểNG

3.1-ệ THặẽC CUA ặèNG THểNG:
Mọỹt õổồỡng thúng õổồỹc bióứu dióựn bồới hai õióứm hay bồới hai hỗnh chióỳu
cuớa noù. (H-3.1) (H-3.2)







Hỗnh-3.1 Hỗnh-3.2
3.2-CAẽC ặèNG THểNG C BIT.
3.2.1-ổồỡng bũng : Laỡ õổồỡng thúng song song vồùi mỷt phúng hỗnh chióỳu
bũng P1. ọử thổùc õổồỹc veợ trón hỗnh-3.3.
Nhỏỷn xeùt: -Hỗnh chióỳu õổùng cuớa õổồỡng bũng thỗ song song truỷc x.
-Hỗnh chióỳu bũng cuớa mọỹt õoaỷn thúng thuọỹc õổồỡng bũng thỗ
bũng chờnh noù.
3.2.2-ổồỡng mỷt : Laỡ õổồỡng thúng song song vồùi mỷt phúng hỗnh chióỳu õổùng
P2. ọử thổùc õổồỹc veợ trón hỗnh-3.4.
Nhỏỷn xeùt: -Hỗnh chióỳ
u bũùng cuớa õổồỡng mỷt thỗ song song truỷc x
. -Hỗnh chióỳu õổùng cuớa mọỹt õoaỷn thúng thuọỹc õổồỡng mỷt thỗ
bũng chờnh noù.
3.2.3-ổồỡng caỷnh : Laỡ õổồỡng thúng song song vồùi mỷt phúng hỗnh chióỳu caỷnh
P3. ọử thổùc õổồỹc veợ trón hỗnh-3.5.
Nhỏỷn xeùt: -Hỗnh chióỳu bũng vaỡ hỗnh chióỳu õổùng cuớa õổồỡng caỷnh thỗ
truỡng nhau vaỡ vuọng goùc vồùi truỷc x.
-Hỗnh chióỳu bũng cuớa mọỹt õoaỷn thúng thuọỹc õổồỡng bũng thỗ

bũng chờnh noù.
* óứ thoớa maợn tờnh phaớn chuyóứn cuớa õọử thổùc ,mọỹt õổồỡng caỷnh phaới õổồỹc bióứu
dióựn bồới hai õióứm thuọỹc noù.
x

x

d
1
d
2
A
1
A
2
B
2
B
1

10








Hỗnh-3.3 Hỗnh-3.4 Hỗnh-3.5

3.2.4-ổồỡng thúng chióỳu bũng: Laỡ õổồỡng thúng vuọng goùc vồùi mt phúng
hỗnh chióỳu bũng P1. ọử thổùc õổồỹc veợ trón hỗnh -3.6.
Nhỏỷn xeùt: -Hỗnh chióỳu bũng cuớa õổồỡng thúng chióỳu bũng suy bióỳn thaỡnh
mọỹt õióứm.
-Hỗnh chióỳu õổùng cuớa õổồỡng thúng chióỳu bũng laỡ õổồỡng thúng
vuọng goùc vồùi truỷc x.
* ổồỡng thúng chióỳu bũng vổỡa laỡ õổồỡng mỷt vổỡa laỡ dổồỡng
caỷnh, nón coù moỹi tờnh chỏỳt cuớa hai loaỷi õổồỡng noùi trón.
3.2.5-ổồỡng thúng chióỳu õổùng: Laỡ õổồỡng thúng vuọng goùc vồùi mt phúng
hỗnh chióỳu õổùng P2. ọử thổùc õổồỹc veợ trón hỗnh -3.7.
Nhỏ
ỷn xeùt: -Hỗnh chióỳu õổùng cuớa õổồỡng thúng chióỳu õổùng suy bióỳn thaỡnh
mọỹt õióứm.
-Hỗnh chióỳu bũng cuớa õổồỡng thúng chióỳu õổùng laỡ õổồỡng thúng
vuọng goùc vồùi truỷc x.
* ổồỡng thúng chióỳu õổùng vổỡa laỡ õổồỡng bũng vổỡa laỡ dổồỡng
caỷnh, nón coù moỹi tờnh chỏỳt cuớa hai loaỷi õổồỡng noùi trón.
3.2.6-ổồỡng thúng chióỳu caỷnh: Laỡ õổồỡng thúng vuọng goùc vồùi mỷt phúng
hỗnh chióỳu caỷnh P3. ọử thổùc õổồỹc veợ trón hỗnh -3.8.
Nhỏỷn xeùt: -Hỗnh chióỳu bũng vaỡ hỗnh chióỳu õổùng cuớa õổồỡng thúng chióỳu
caỷnh song song vồùi truỷc x ;
-Hỗnh chióỳu caỷnh cuớa õổồỡng thúng chióỳu caỷnh suy bióỳn thaỡnh
mọỹt õióứm.
* ổồ
ỡng thúng chióỳu caỷnh vổỡa laỡ õổồỡng bũng vổỡa laỡ õổồỡng
mỷt, nón coù moỹi tờnh chỏỳt cuớa hai loaỷi õổồỡng noùi trón.


A
1

A
2
B
2
B
1
x

h
2
h
1
x

C
1
C
2
D
2
D
1
f
2
f
1
x

E
1

E
2
F
2
E
3
F
1
F
3
A
y
z

y

y'
O

p
2
p
1
p
3

11

Hỗnh-3.6 Hỗnh-3.7 Hỗnh-3.8

3.3-IệU KIN LIN THUĩC CUA IỉM VAè ặèNG THểNG:
ióửu kióỷn 1: ióửu kióỷn cỏửn vaỡ õuớ õóứ mọỹt õióứm thuọỹc mọỹt õổồỡng thúng thổồỡng
laỡ caùc hỗnh chióỳu cuỡng tón thuọỹc nhau. (H-3.10)
ióửu kióỷn 2: ióửu kióỷn cỏửn vaỡ õuớ õóứ mọỹt õióứm C thuọỹc mọỹt õổồỡng caỷnh AB laỡ
tyớ sọỳ õồn cuớa ba õióứm A,B,C trón hai hỗnh chióỳu bũng nhau .(H-3.11)









Hỗnh-3.10 Hỗnh-3.11
3.4-VT ặèNG THểNG:
3.4.1-Vóỳt bũng: Vóỳt bũng õổồỡng thúng laỡ giao õióứm cuớa õổồỡng thúng vồùi mỷ
t
phúng hỗnh chióỳu bũng P1. (H-3.12)
Nhỏỷn xeùt:- Hỗnh chióỳu õổùng cuaớ vóỳt bũng thuọỹc truỷc x.
- Hỗnh chióỳu bũng cuaớ vóỳt bũng truỡng vồùi chờnh noù.
3.4.1-Vóỳt õổùng: Vóỳt õổùng õổồỡng thúng laỡ giao õióứm cuớa õổồỡng thúng vồùi mỷt
phúng hỗnh chióỳu õổùng P2. (H-3.12)

Nhỏỷn xeùt:- Hỗnh chióỳu bũng cuaớ vóỳt õổùng thuọỹc truỷc x.
- Hỗnh chióỳu õổùng cuaớ vóỳt õổùng truỡng vồùi chờnh noù.
A
1
B
1
d
1
A
2
x

B
2
d
2
C
1
D
1
e
1
D
1
x

C
1
e
1

E
3
F
3
g
3
E
2
x

F
2
g
2
g
1
E
1
F
1
O

A
1
A
2
d
2
d
1

x

B
1
B
2
A
2
B
3
A
1
A
3
C
1
z

y

y'

O
x

C
3
C
2

12
Hỗnh veợ -3.12 a,b bióứu dióựn vóỳt bũng M vaỡ vóỳt õổùng N.










Hỗnh-3.12a Hỗnh-3.12b

3.5- ặèNG THểNG CếT NHAU:
ióửu kióỷn 1: ióửu kióỷn cỏửn vaỡ õuớ õóứ hai õổồỡng thúng thổồỡng cừt nhau laỡ caùc
hỗnh chióỳu cuỡng tón cuớa chuùng cừt nhau trón mọỹt õổồỡng doùng. (H-3.13)
ióửu kióỷn 2: ióửu kióỷn cỏửn vaỡ õuớ õóứ mọỹt õổồỡng thúng thổồỡng vaỡ mọỹt õổồỡng
caỷnh cừt nhau laỡ caùc hỗnh chióỳu cuỡng tón cuớa chuùng cừt nhau taỷi caùc õióứm
thoớa maợợn õọử thổùc mọỹt õióứm thuọỹc õổồỡng caỷnh. (H-3.14)








Hỗnh-3.13 Hỗnh-3.14

3.6- ặèNG THểNG SONG SONG:
ióửu kióỷn 1: ióửu kióỷn cỏửn vaỡ õuớ õóứ hai õổồỡng thúng thổồỡng song song laỡ caùc
hỗnh chióỳu cuỡng tón song song nhau. (H-3.15)
ióửu kióỷn 2: ióửu kióỷn cỏửn vaỡ õuớ õóứ hai õổồỡng thúng caỷnh song song laỡ coù
hai õổồỡng thúng tổỷa trón chuùng cừt nhau hoỷt song song. (H-3.16)
d
2
P
1
P
2
N
1
N
2
N
x
d
1
M
2
M
1
M
d

A
1
A
2

d
1
N
1
M
1
d
2
M
2
N
2
x

I
1
I
2
b
1
a
1
b
2
a
2
x

A
1

A
2
B
2
I
2
B
1
I
1
d
1
d
2

13









Hỗnh-3.15 Hỗnh-3.16
3.7- ặèNG THểNG CếT NHAU:
*Hai õổồỡng thúng khọng thoớa maợn õióửu kióỷn cừt nhau vaỡ song song thỗ cheùo
nhau. (H-3.18)
3.8-HầNH CHIU GOẽC VUNG:

ióửu kióỷn cỏửn vaỡ õuớ õóứ mọỹt goùc vuọng chióỳu thaỡnh mọỹt goùc vuọng laỡ mọỹt caỷnh
goùc vuọng song song vồùi mỷt phúng hỗnh chióỳu vaỡ caỷnh kia khọng vuọng goùc
vồùi mỷt phúng hỗnh chióỳu. (Duỡng õởnh lyù ba õổồỡng vuọng goùc õóứ chổùng minh
móỷnh õóử trón).
Trón hỗnh-3.17, goùc vuọng aOb coù caỷnh a song song vồùi P1 nón hỗnh
chióỳu bũng a1O1b1 laỡ goùc vuọng. Móỷnh õóử cuợng õuùng cho hai õổồỡng thúng
cheùo nhau vaỡ vuọng goùc nhau. (H-3.18)










Hỗnh-3.17 Hỗnh-3.18



a
1
a
2
x

b
2
b

1
D
1
A
2
C
1
B
2
x

B
1
I
2
I
1
A
1
C
2
D
2
I
1
I
2
b
1
a

1
b
2
a
2
x

x

a
2
b
2
b
1
a
1

14



14

Chổồng 4:
MT PHểNG


4.1- ệ THặẽC CUA MĩT MT PHểNG:
Giọỳng nhổ trong hỗnh hoỹc khọng gian, mọỹt mỷt phúng coù thóứ õổồỹc bióứu

dióựn bồới ba õióứm khọng thúng haỡng, bồới mọỹt õióứm vaỡ mọỹt õổồỡng thúng khọng
thuọỹc nhau,bồới hai õổồỡng thúng cừt nhau hay song song nhổ caùc õọử thổùc õổồỹc
cho dổồùi õỏy: (H-4.1)
(A,B,C) (D,d) (axb) (a//b)









Hỗnh-4.1

4.2-VT MT PHểNG :
4.2.1-Vóỳt bũng: Vóỳt bũng mỷt phúng laỡ giao tuyóỳn cuớa mỷt phúng vồùi mỷt
phúng hỗnh chióỳu bũng P1. Vóỳt bũng cuớa mọỹt mỷt phúng thổồỡng õổồỹc kyù
hióỷu laỡ m

. (H-4.2)
Nhỏỷn xeùt: -Hỗnh chióỳu õổùng cuaớ vóỳt bũng truỡng vồùi truỷc chióỳu m
2



x .
- Hỗnh chióỳu bũng cuaớ vóỳt bũng truỡng vồùi chờnh noù m
1

m

.
4.2.2-Vóỳt õổùng: Vóỳt õổùng mỷt phúng laỡ giao tuyóỳn cuớa mỷt phúng vồùi mỷt
phúng hỗnh chióỳu õổùng P2. (H-4.2)
Nhỏỷn xeùt:- Hỗnh chióỳu bũng cuaớ vóỳt õổùng truỡng vồùi truỷc chióỳu n
1



x .
- Hỗnh chióỳu õổùng cuaớ vóỳt õổùng truỡng vồùi chờnh noù n
2



n

.
*Lổu yù: -ổồỡng thúng thuọỹc mỷt phúng thỗ vóỳt cuớa õổồỡng thúng thuọỹc
caùc vóỳt tổồng ổùng cuớa mỷt phúng.
a
1
a
2
x

b

2
b
1
I
1
I
2
b
1
d
1
b
2
d
2
x

A
1
A
B
2
B
1
C
1
C
2
D
1

D
2
a
2
a
1

15
-Hai vóỳt cuaớ mỷt phúng phaới giao nhau trón truỷc x hoỷc song
song vồùi truỷc x (do vở trờ tổồng õọỳi cuớa 3 mỷt phúng trong khọng gian)
Hỗnh veợ 4.2 a,b bióứu dióựn vóỳt bũng m vaỡ vóỳt õổùng n cuớa mỷt phúng .













Hỗnh-4.2a Hỗnh-4.2b

4.3-CAẽC Vậ TRấ C BIT CUA MT PHểNG:
4.3.1-Mỷt phúng chióỳu bũng: Laỡ mỷt phúng vuọng goùc vồùi mỷt phúng hỗnh
chióỳu bũng P1.
Nhỏỷn xeùt: -Hỗnh chióỳu bũng cuớa mỷt phúng chióỳu bũng suy bióỳn thaỡnh

mọỹt õổồỡng thúng.
Hỗnh-4.3: Hỗnh chióỳu bũng cuớa moỹi õióứm thuọỹc mỷt phúng chióỳu bũ
ng
õóửu thuọỹc õổồỡng thúng
1
. Dóự daỡng thỏỳy rũng vóỳt bũng laỡ m



1
vaỡ vóỳt
õổùng n

x.
4.3.2-Mỷt phúng chióỳu õổùng: Laỡ mỷt phúng vuọng goùc vồùi mỷt phúng hỗnh
chióỳu õổùng P2.
Nhỏỷn xeùt: Hỗnh chióỳu õổùng cuớa mỷt phúng chióỳu õổùng suy bióỳn thaỡnh
mọỹt õổồỡng thúng.
Hỗnh-4.4: Hỗnh chióỳu õổùng cuớa moỹi õióứm thuọỹc mỷt phúng chióỳu õổùng
õóửu thuọỹc õổồỡng thúng
2
. Dóự daỡng thỏỳy rũng vóỳt bũng laỡ n



2
vaỡ vóỳt bũng
m

x.

A
P
1
P
2
n
2


n




x
m
1


m

n
1


m
2


x

n
1


m
2


x

m
1


m


n
2


n



16
3.3.3-Mỷt phúng chióỳu caỷnh: Laỡ mỷt phúng vuọng goùc vồùi mỷt phúng hỗnh
chióỳu caỷnh P3.
Nhỏỷn xeùt: -Vóỳt bũng vaỡ vóỳt õổùng cuớa mỷt phúng chióỳu caỷnh thỗ song
song truỷc x.

-Hỗnh chióỳu caỷnh cuớa mỷt phúng chióỳu caỷnh suy bióỳn thaỡnh
mọỹt õổồỡng thúng.
Hỗnh-4.5: Hỗnh chióỳu caỷnh cuớa mỷt phúng chióỳu caỷnh laỡ õổồỡng thúng
caỷnh
3
. Vóỳt õổùng n

vaỡ vóỳt bũng m

cuỡng song song vồùi truỷc x.










Hỗnh-4.3 Hỗnh-4.4 Hỗnh-4.5

4.3.4-Mỷt phúng bũng: Laỡ mỷt phúng song song vồùi mỷt phúng hỗnh chióỳu
bũng P
1
.
Nhỏỷn xeùt:-Hỗnh chióỳu õổùng cuớa mỷt phúng bũng suy bióỳn thaỡnh mọỹt
õổồỡng thúng song song vồùi truỷc x .
-Hỗnh chióỳu bũng cuớa mọỹt mióỳng phúng thuọỹc mỷt phúng bũng
thỗ bũng chờnh noù.

Hỗnh-4.6: Mỷt phúng bũng õổồỹc bióứu dióựn bũng tam giaùc ABC.

2
// x ; A
1
B
1
C
1
= ABC
4.3.5-Mỷt phúng mỷt: Laỡ mỷt phúng song song vồùi mỷt phúng hỗnh chióỳu
õổùng P
2
.
Nhỏỷn xeùt:-Hỗnh chióỳu bũng cuớa mỷt phúng mỷt suy bióỳn thaỡnh mọỹt
õổồỡng thúng song song vồùi truỷc x .
-Hỗnh chióỳu õổùng cuớa mọỹt mióỳng phúng thuọỹc mỷt phúng
mỷt thỗ bũng chờnh noù.
D
1
D
2
E
2
E
1
x

F
2

F
1

2
m


n



3
x

m


n


O

x

y

y'

A
1

A
2
B
2
B
1
x

C
2
C
1

1
m


n



17
Hỗnh-4.7: Mỷt phúng mỷt õổồỹc bióứu dióựn bũng tam giaùc DEF.

1
// x ; D
2
E
2
F

2
= DEF
4.3.5-Mỷt phúng caỷnh : Laỡ mỷt phúng song song vồùi mỷt phúng hỗnh chióỳu
caỷnh P
3
.
Nhỏỷn xeùt: - Hỗnh chióỳu õổùng vaỡ hỗnh chióỳu bũng cuớa mỷt phúng caỷnh
suy bióỳn thaỡnh mọỹt õổồỡng thúng vuọng goùc vồùi truỷc x .
-Hỗnh chióỳu caỷnh cuớa mọỹt mióỳng phúng thuọỹc mỷt phúng
caỷnh thỗ bũng chờnh noù.
Hỗnh-4.8 : Mỷt phúng caỷnh õổồỹc bióứu dióựn bũng tam giaùc IJK.

1

2
x ; I
3
J
3
K
3
= IJK

Hỗnh-4.6 Hỗnh-4.7 Hỗnh-4.8

4.3.6-Mỷt phúng vuọng goùc vồùi mỷt phúng phỏn giaùc 1 vaỡ 2 :
Hỗnh-4.9 bióứu dióựn õọử thổùc cuớa mọỹt mỷt phúng (m

,n

), chổùa õổồỡng
caỷnh AB vuọng goùc vồùi mỷt phúng phỏn giaùc 1 .Do õoù vuọng goùc vồùi mỷt
phúng phỏn giaùc 1.
Nhỏỷn xeùt: Mỷt phúng vuọng goùc vồùi mỷt phúng phỏn giaùc 1 coù hai vóỳt
õọỳi xổùng nhau qua truỷc x.
Hỗnh-4.10 bióứu dióựn õọử thổùc cuớa mọỹt mỷt phúng (m

,n

), chổùa õổồỡng
caỷnh CD vuọng goùc vồùi mỷt phúng phỏn giaùc 2 .Do õoù vuọng goùc vồùi mỷt
phúng phỏn giaùc 2.
Nhỏỷn xeùt: Mỷt phúng vuọng goùc vồùi mỷt phúng phỏn giaùc 2 coù hai vóỳt
truỡng nhau qua truỷc x.


C
1
A
1
A

2
B
2
B
1
x

C
2
D
1
D
2
E
2
E
1
x

F
2
F
1
I
1
I
2
K
2
I

3
K
1
K
3
A
y
z

y

y'
O


2

1
x

J
3
J
2
J
1

1

2

18











Hçnh-4.9 Hçnh-4.10

4.4-BI TOẠN CÅ BN CA MÀÛT PHÀĨNG:
Âãø biãøu diãùn mäüt âỉåìng thàóng hồûc mäüt âiãøm thüc mäüt màût phàóng , ta
dỉûa vo hai mãûnh âãư dỉåïi âáy:
1. Mäüt âỉåìng thàóng thüc mäüt màût phàóng nãúu nọ cọ hai âiãøm thüc
màût phàóng .
2. Mäüt âiãøm thüc mäüt màût phàóng nãúu nọ thüc mäüt âỉåìng thàóng ca
màût phàóng .
Cạc bi toạn vãư biãøu diãùn âiãøm v âỉåìng thàóng trãn màût phàóng cọ mäúi
liãn quan häù tråü nhau m ch úu l sỉû liãn thüc c
a âiãøm v âỉåìng thàóng.
Vê dủ 1: Cho màût phàóng xạc âënh båíi hai âỉåìng thàóng a,b . Hy v mäüt
âỉåìng thàóng báút k ca nọ.
Hçnh-4.11 : Ta láúy hai âiãøm báút k , A∈a v B∈b. A v B thüc màût
phàóng (a,b) (theo 1) v chênh chụng xạc âënh xạc âënh âỉåìng thàóng g thüc
màût phàóng. (theo 2)

Vê dủ 2: Cho màût phàóng xạc âënh båíi hai âỉåìng thàóng c,d. Hy v âiãøm
K thüc màût phàóng âọ, biãút K
2
.
Hçnh-4.12 : Ta v âỉåìng thàóng g báút k trãn màût phàóng â cho v thüc
K ( theo 2): Hçnh chiãúu g
2
thüc K
2
. Tỉì âọ v âỉåüc g
1
nhỉ vê dủ 1 v suy ra
K
1
∈ g
1
.



n
α

x
m
α

A
2
≡B

1
A
1
B
2
x
m
β

D
2
≡C
1
C
2
≡D
1
n
β


19

Hỗnh-4.11 Hỗnh-4.12

4.5-CAẽC ặèNG THểNG C BIT CUA MT PHểNG:
4.5.1-ổồỡng bũng : Laỡ õổồỡng thúng thuọỹc mỷt phúng õọửng thồỡi song song vồùi
mỷt phúng hỗnh chióỳu bũng P
1
.
Hỗnh-4.13a,b bióứu dióựn mọỹt õổồỡng bũng h cuớa mỷt phúng (a,b) vaỡ mỷt
phúng . Ta veợ h
2
song song x , suy ra h
1
nhồỡ baỡi toaùn cồ baớn õổồỡng thúng
thuọỹc mỷt phúng.










Hỗnh-4.13a Hỗnh-4.13b

4.5.2-ổồỡng mỷt : Laỡ õổồỡng thúng thuọỹc mỷt phúng õọửng thồỡi song song vồùi
mỷt phúng hỗnh chióỳu õổùng P
2
.
I
1
I
2
b
1
a
1
b
2
a
2
x

A
2
B
2
B
1
A
1
g
2
g
1

c
1
c
2
x

d
2
d
1
C
2
D
2
K
2
C
1
K
1
D
1
g
1
g
2
I
1
I
2

b
1
a
1
b
2
a
2
x

A
2
B
2
B
1
A
1
h
2
h
1
n


x

N
2
N

1
h
2
h
1
m



20
Hỗnh-4.14a,b bióứu dióựn mọỹt õổồỡng mỷt f cuớa mỷt phúng (c,d) vaỡ mỷt
phúng . Ta veợ f
1
song song x ,suy ra f
2
nhồỡ baỡi toaùn cồ baớn õổồỡng thúng thuọỹc
mỷt phúng.










Hỗnh-4.14a Hỗnh-4.14b

4.5.3-ổồỡng dọỳc nhỏỳt õọỳi vồùi mỷt phúng hỗnh chióỳu bũng : Laỡ õổồỡng thúng

thuọỹc mỷt phúng vaỡ coù goùc lồùn nhỏỳt so vồùi goùc cuớa caùc õổồỡng thúng khaùc thuọỹc
mỷt phúng õọỳi vồùi mỷt phúng hỗnh chióỳu bũng.
ổồỡng dọỳc nhỏỳt nỏửy vuọng goùc vồùi õổồỡng bũng cuớa mỷt phúng nón goùc
vuọng cuớa chuùng õổồỹc baớo tọửn ồớ hỗnh chióỳu bũng.
Hỗnh-4.15a,b bióứu dióựn õổồỡng dọỳc nhỏỳt d cuớa mỷt phúng (a,b) vaỡ mỷt
phúng (m

,n

).











Hỗnh-4.15a Hỗnh-4.15b
I
1
I
2
d
1
c
1

d
2
c
2
x

C
2
D
2
D
1
C
1
f
2
f
1
n


x

M
2
M
1
f
2
f

1
m


d
1
b
1
a
1
b
2
a
2
x

A
2
B
2
B
1
A
1
h
2
h
1
d
2

x

n


N
2
N
1
d
2
d
1
m


M
2
M
1

21
4.5.4-ổồỡng dọỳc nhỏỳt õọỳi vồùi mỷt phúng hỗnh chióỳu õổùng : Laỡ õổồỡng thúng
thuọỹc mỷt phúng vaỡ coù goùc lồùn nhỏỳt so vồùi goùc cuớa caùc õổồỡng thúng khaùc thuọỹc
mỷt phúng õọỳi vồùi mỷt phúng hỗnh chióỳu õổùng.
ổồỡng dọỳc nhỏỳt nỏửy vuọng goùc vồùi õổồỡng mỷt cuớa mỷt phúng nón goùc
vuọng cuớa chuùng õổồỹc baớo tọửn ồớ hỗnh chióỳu õổùng.
Hỗnh-4.16a,b bióứu dióựn õổồỡng dọỳc nhỏỳt d' cuớa mỷt phúng (c,d) vaỡ mỷt
phúng (m

,n

).









Hỗnh-4.16a Hỗnh-4.16b

*Chuù yù : Mọỹt õổồỡng dọỳc nhỏỳt hoaỡn toaỡn xaùc õởnh õổồỹc mọỹt mỷt phúng.
4.6- MT PHểNG SONG SONG:
Trong hỗnh hoỹc khọng gian ta coù õởnh lyù sau:
ởnh lyù: ióửu kióỷn cỏửn vaỡ õuớ õóứ hai mỷt phúng song song nhau laỡ trong
mỷt phúng nỏửy coù hai õổồỡng thúng giao nhau tổồng ổùng song song vồùi hai
õổồỡng thúng giao nhau trong mỷt phúng kia.
Tổỡ õoù ta coù thóứ bióứu dióựn hai mỷt phúng song song nhau.
Hỗnh-4.17a bióứu dióựn hai mỷt phúng song song (a,b) vaỡ (c,d), vỗ coù c//a
vaỡ d//b.
Hỗnh-4.17b trỗnh baỡy baỡi toaùn : Qua õióứm A veợ mỷt phúng song song
vồùi mỷt phúng õaợ cho. Dóự daỡng thỏỳy caùc vóỳt m

//m

vaỡ n

//n

, õọửng thồỡi m
phaới õi qua vóỳt bũng cuớa õổồỡng mỷt f cuớa mỷt phúng .




x

n


N
2
N
1
d'
2
d'
1
m


M
2
M
1
d'
1

d
1
c
1
d
2
c
2
x

C
2
D
2
D
1
C
1
f
2
f
1
d'
2

22

Hỗnh-4.17a Hỗnh-4.17b

4.7- ặèNG THểNG VAè MT PHểNG SONG SONG:
-Trong hỗnh hoỹc khọng gian ta coù õởnh lyù sau:
ởnh lyù: ióửu kióỷn cỏửn vaỡ õuớ õóứ mọỹt õổồỡng thúng song song vồùi mọỹt
mỷt phúng laỡ õổồỡng thúng õoù song song vồùi mọỹt õổồỡng thúng cuớa mỷt phúng.
Vờ duỷ: Qua õióứm A veợ õổồỡng
thúng d song song vồùi mỷt phúng
(a,b), õaợ bióỳt d
2
. (H-4.18)
Giaới: Trong mỷt phúng (a,b)
veợ mọỹt õổồỡng thúng c sao cho c
2

song song d
2
. Aùp duỷng baỡi toùan cồ
baớn õổồỡng thúng c thuọỹc mỷt phúng
(a,b) , coù c
1.
Tổỡ õoù veợ d
1
A
1

vaỡ
song song c
1
.

Hỗnh-4.18








x

I
1
I
2
b
1
a
1
b
2
a
2
d
2

A
2
A
1
d
1
c
2
c
1
b
1
c
1
b
2
c
2
x

d
1
d
2
a
1
a
2
A
2

A
1
n


x

M
2
M
1
f
2
f
1
m


n


m


A
2
A
1

23

24