NGHIÊN CỨU CÁC DẠNG PHỤ THUỘC KẾT NỐI VÀ PHỤ THUỘC ĐA TRỊ TRONG CSDL MỜ

ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

NHÓM 4 – CAO HỌC KHOA HỌC MÁY TÍNH B
(NĂM HỌC 2010 – 2012)
NGHIÊN CỨU CÁC DẠNG PHỤ THUỘC KẾT NỐI
VÀ PHỤ THUỘC ĐA TRỊ TRONG CSDL MỜ

TIỂU LUẬN MÔN HỌC
LOGIC MỜ


Huế, tháng 02/2012
1
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

NHÓM 4 – CAO HỌC KHOA HỌC MÁY TÍNH B
(NĂM HỌC 2010 – 2012)
NGHIÊN CỨU CÁC DẠNG PHỤ THUỘC KẾT NỐI
VÀ PHỤ THUỘC ĐA TRỊ TRONG CSDL MỜ

TIỂU LUẬN MÔN HỌC
LOGIC MỜ
GIÁO VIÊN GIẢNG DẠY: NHÓM HỌC VIÊN THỰC HIỆN:
TS. NGUYỄN CÔNG HÀO TRẦN NHƯ ĐĂNG TUYÊN
LÊ BÁ MINH PHONG
NGUYỄN THỊ THANH TÂM

NGUYỄN THỊ THÀNH
NGUYỄN VŨ CÁT TƯỜNG
Huế, tháng 02/2012
2
MỤC LỤC
Trang
MỤC LỤC 3
Trang 3
CHƯƠNG I. CÁC DẠNG PHỤ THUỘC KẾT NỐI TRONG CƠ SỞ DỮ LIỆU MỜ 4
I. ĐẶC VẤN ĐỀ 4
II. CƠ SỞ DỮ LIỆU QUAN HỆ 5
2.1. Mô hình dữ liệu quan hệ mờ loại 1 7
2.2. Mô hình dữ liệu quan hệ mờ loại 2 8
III. ĐẲNG THỨC MỜ 10
3.1. Đẳng thức mờ của tập thông thường và bất thường: 14
3.2. Đẳng thức trên các miền khác nhau 16
3.3. Hàm phụ thuộc mờ sử dụng đẳng thức mờ: 18
V. PHÉP NỐI MỜ 19
VI. CÁCH THỨC DUY TRÌ PHỤ THUỘC HÀM 20
VII. LIÊN KẾT PHỤ THUỘC MỜ 27
VIII. KẾT LUẬN 30
CHƯƠNG II. PHỤ THUỘC ĐA TRỊ TRONG CƠ SỞ DỮ LIẸU MỜ 30
III. PHỤ THUỘC ĐA TRỊ 35
TÀI LIỆU THAM KHẢO 44
3
CHƯƠNG I. CÁC DẠNG PHỤ THUỘC KẾT NỐI TRONG
CƠ SỞ DỮ LIỆU MỜ
I. ĐẶC VẤN ĐỀ
Các cơ sở dữ liệu quan hệ cổ điển không thể giải quyết được tình trạng khi
các dữ liệu thông thường là thiếu rõ ràng, như các cơ sở dữ liệu được thiết kế

chủ yếu phục vụ hiệu quả cho việc lưu trữ và thuận lợi cho việc thu hồi. Chúng
chỉ tập trung vào các dữ liệu mô tả thông tin chính xác và quan tâm đến các dữ
liệu được xác định rõ ràng. Tuy nhiên, trong thực tế, các dữ liệu thường được
biết đến một phần (không đầy đủ) hoặc không chính xác.
Ví dụ, thay vì quy định cụ thể tuổi của một cậu bé “Ram” là 21 tuổi (hoặc
chúng ta không được thông tin đầy đủ về tuổi chính xác của Ram, nhưng biết
chắc chắn rằng Ram là một cậu bé), thì đơn giản là có thể nói là “Ram trẻ”.
Bởi vì, hình thức thông thường của một cơ sở dữ liệu quan hệ cổ điển
không có giá trị thuộc tính có thể chứa các giá trị như “trẻ” hay “cũ”. Tương tự
như một bảng trong một cơ sở dữ liệu quan hệ có thể lưu trữ dữ liệu như sinh
viên đại học đang nghiên cứu đề tài, nhưng không thể lưu trữ các giá trị đến mức
độ là các sinh viên nào thích chủ đề gì. Tương tự, nếu sinh viên đại học đã lựa
chọn nhiều đối tượng nhưng anh ta không biết sự khác nhau của các đối tượng
này một cách chính xác, thì hình thức thông thường thứ nhất của cơ sở dữ liệu
quan hệ cổ điển sẽ không cho phép thông tin này được đại diện như là một giá
trị của một bộ dữ liệu. Ngoài ra, đôi khi một quan hệ với chính nó là một phần
các bộ dữ liệu thuộc nó. Ví dụ, nếu chúng ta quan tâm đến việc lưu trữ các thông
tin về các loài nguy cấp, một số trong đó là “một phần nguy cơ tuyệt chủng”, “ít
có nguy cơ tuyệt chủng”, “nguy cơ tuyệt chủng hơn”… mô hình dữ liệu quan hệ
cổ điển sẽ không giải quyết được mục đích. Như vậy khả năng đại diện của một
cơ sở dữ liệu quan hệ chỉ đơn giản là thất bại trong việc đại diện không chính
xác (mờ) dữ liệu và do đó phần mở rộng logic mờ dựa trên hệ thống quản lý cơ
sở dữ liệu đã được đề xuất.
Tuy nhiên, lý thuyết cơ sở dữ liệu quan hệ mật thiết đến việc nghiên cứu dữ
liệu phụ thuộc (như phụ thuộc chức năng, phụ thuộc nhiều giá trị tham gia phụ
thuộc ) các phụ thuộc dữ liệu đại diện các ràng buộc trên dữ liệu và do đó
4
chúng phải đáp ứng tất cả các trạng thái quan hệ của cơ sở dữ liệu. Khái niệm về
sự phụ thuộc chức năng trong cơ sở dữ liệu quan hệ được mở rộng, do đó phụ
thuộc chức năng mờ được cho là phản ánh một phần lớn ngữ nghĩa của thế giới

thực. Hơn nữa, từ khi phụ thuộc chức năng không thể để đại diện cho tất cả các
khó khăn, phụ thuộc nhiều giá trị cũng được mở rộng trong khuôn khổ mờ và
một số tác giả đề xuất phiên bản của họ phụ thuộc nhiều giá trị mờ. Tuy nhiên,
tham gia phụ thuộc vẫn còn đại diện cho một ràng buộc mạnh mẽ hơn. Các thiết
lập tham gia phụ thuộc kết hợp với một giản đồ quan hệ R xác định theo định
nghĩa chính xác những lược đồ cơ sở dữ liệu có thể đại diện cho một R lược đồ
quan hệ mà không mất thông tin. Do đó, tham gia phụ thuộc cũng cần phải được
mở rộng khuôn khổ mờ. Từ khi một lược đồ quan hệ thông thường nhất thiết cần
phân tích, thì các khái niệm về tham gia phụ là rất quan trọng. Từ đó, tham gia
phụ thuộc trong cơ sở dữ liệu quan hệ rất thích hợp để nghiên cứu trong khuôn
khổ mờ. Mục tiêu của tiểu luận là mở rộng các khái niệm về tham gia phụ thuộc
vào khuôn khổ của loại 1 và loại 2 cơ sở dữ liệu quan hệ mờ, đồng thời thảo
luận kết quả trong khuôn khổ mờ.
Nội dung chương này gồm các nội dung: Đầu tiên là giới thiệu sơ bộ và các
khái niệm cơ bản. Phần tiếp theo, chúng ta sẽ thảo luận về cơ sở dữ liệu quan hệ
mờ phổ biến nhất có sẵn trong văn học và giới thiệu loại 1 và loại 2 cơ sở dữ
liệu quan hệ mờ mà chúng ta nghiên cứu trong tiểu luận này. Sau đó, sẽ giới
thiệu các khái niệm về chức năng mờ và đẳng thức mờ dựa trên chúng. Sử dụng
định nghĩa của đẳng thức mờ để thảo luận về sự phụ thuộc chức năng mờ (FFD)
trong loại 1 và loại 2 cơ sở dữ liệu quan hệ mờ. Hai phần kế tiếp sẽ thảo luận về
phép chiếu mờ được sử dụng để xác định tham gia phụ thuộc mờ. Kế sau,
chúng ta sẽ nghiên cứu các điều kiện bảo quản phụ thuộc tài sản của FFD. Cuối
cùng là giới thiệu tham gia phụ thuộc mờ và các điều kiện cho lossless tham gia
phân tích được đề xuất.
II. CƠ SỞ DỮ LIỆU QUAN HỆ
Cơ sở dữ liệu mờ được phát triển để nắm bắt các thông tin không chắc chắn
khác nhau xảy ra trong thế giới thực. Chúng mở rộng các cơ sở dữ liệu cổ điển
trong hai lĩnh vực: Lưu trữ và cập nhật thông tin không chắc chắn trong tự nhiên
cho các xử lý truy vấn không chắc chắn. Các giá trị không chắc chắn trong một
hệ thống cơ sở dữ liệu có thể được phân thành hai loại: Giá trị thuộc tính không

5
chính xác trong một bộ hoặc một phần của một bộ trong một quan hệ. Cơ sở dữ
liệu mờ là rất tốt để kết hợp tính không chắc chắn của cả hai loại này. Trong số
các phương pháp tiếp cận khác nhau được đề xuất trong các tài liệu cơ sở dữ liệu
mờ để đại diện cho tính không chắc chắn các giá trị thuộc tính, chúng ta sẽ thảo
luận những phương pháp quan trọng. Nói cách khác là hai cách tiếp cận phổ
biến nhất. Đầu tiên là cách tiếp cận dựa trên đặc điểm của tính không chắc chắn
bằng cách sử dụng về ngôn ngữ, ví dụ người nghèo, công bằng… và mức độ
giống nhau giữa một cặp từ ngữ ngôn ngữ học được đặc trưng bởi một ma trận
tương tự. Tuy nhiên, trong mối quan hệ tương tự như một số khía cạnh của max-
min bắc cầu đã được quan sát thấy gây ra khó khăn trong việc mô hình hóa các
mối quan hệ giữa các yếu tố tên miền. Mặc dù phần mở rộng được thêm vào nó
để xử lý mờ, phương pháp tiếp cận tương tự trên vẫn còn phụ thuộc rất nhiều
vào giá trị rời rạc. Các mô hình mờ quan hệ được mở rộng bằng cách thay thế
ma trận tương tự với các mối quan hệ gần gũi (không phải bắc cầu) về các lĩnh
vực vô hướng.
Cách tiếp cận thứ hai là dựa trên lý thuyết khả năng Zadeh trong đó sử
dụng khả năng phân phối như một giá trị của một thuộc tính để nắm bắt tính
không chắc chắn của các loại đầu tiên. Loại thứ hai của tính không chắc chắn là
thành viên một phần của một bộ trong một quan hệ cho phép một bộ là một
thành viên một phần của quan hệ, ví dụ các động vật được coi là “có một chút
nguy cơ tuyệt chủng” là thành viên một phần của mối quan hệ có nguy cơ tuyệt
chủng. Một bộ chứa thành viên một phần trong quan hệ được gọi là bộ quan
trọng.
Các cách tiếp cận dựa trên mô tả trên được cho là tổng quát và phổ biến, lý
do quan trọng là nó xử lý tất cả các loại thông tin không chính xác. Chúng tôi sẽ
cung cấp các ký hiệu cơ bản và các khái niệm trong hai mô hình dựa trên dữ liệu
quan hệ mờ được nói đến trong tiểu luận này. Các mô hình được biết đến như
loại 1 & loại 2 của mô hình dữ liệu quan hệ mờ. Trong quá trình giới thiệu,
chúng tôi sẽ hiển thị hai mô hình như thế nào để nắm bắt tất cả các tính không

chắc chắn một cách tốt hơn.
Cho n tập vũ trụ U
1
, U
2
, , U
n
, quan hệ mờ r là một tập hợp con mờ của
U
1
× U
2
× × U
n
và μ
r
: U
1
× U
2
× × Un → [0,1], μ
r
biểu thị thành viên của bộ
và có các giá trị giữa 0 và 1.
6
Một lược đồ quan hệ R trong mô hình dữ liệu quan hệ mờ được định nghĩa
như là một tập hữu hạn các thuộc tính {A
1
, A
2

, } và được ký hiệu là là R(A
1
, A
2
, , A
n
) hoặc chỉ đơn giản là R. Một ví dụ của quan hệ R được gọi là r. Tương
ứng với mỗi thuộc tính A
i
, 1 ≤ i ≤ n, thiết lập một dom(A
i
), được gọi là các miền
của A
i
, tuy nhiên miền A
i
có thể là một tập mờ, hoặc một tập con mờ. Trong lý
thuyết cơ sở dữ liệu, một mối quan hệ mờ r trên một chương trình quan hệ R(A
1
,
A
2
, , A
n
) được định nghĩa là một tập hợp con mờ dom(A
1
) × dom(A
2
) × ×
dom(A

n
). Tùy thuộc vào sự phức tạp của dom(A
i
), i = 1,2, , n mà mô hình dữ
liệu quan hệ mờ được phân loại thành hai loại.
Tương tự quan hệ cổ điển, một mối quan hệ mờ r được biểu diễn như một
bảng với một cột bổ sung cho μ
r
(t) biểu thị giá trị thành viên của bộ t trong r.
μ
r
(t)> 0, chỉ ra rằng những bộ dữ liệu được hiển thị trong bảng và cho tất cả các
bộ dữ liệu bị mất trong bảng thì μ
r
(t) = 0.
2.1. Mô hình dữ liệu quan hệ mờ loại 1
Mối quan hệ mờ loại 1 có thể được coi là phần mở rộng mức độ đầu tiên
của mối quan hệ cổ điển, nơi mà chúng ta có thể nắm bắt tính không chắc chắn
trong liên kết giữa các thực thể. Trong mối quan hệ mờ loại 1, dom(A
i
) có thể là
một tập hợp con cổ điển hoặc một tập hợp con mờ U
i
, ví dụ như xem xét một
lược đồ quan hệ R(N, J, X, S) “có nhiều kinh nghiệm” và “hưởng lương cao”
của người lao độngtrong vũ trụ thích hợp. Giả sử rằng vũ trụ của kinh nghiệm là
U
X
, tập hợp các số nguyên trong phạm vi từ 0-30 và U
S

là vũ trụ về tiền lương
gồm tập hợp các số nguyên trong phạm vi 10.000 – 1.000.000. Một thể hiện
nhân viên có công ăn lương được đưa ra ở bảng sau:
Name Job Experience Salary μ
John Kỹ sư 8 60.000 0,67
Ashok Quản lý 9 70.000 0,80
Mối quan hệ trên cho thấy rằng khả năng xuất hiện của nhân viên John là
kỹ sư, người có kinh nghiệm 8 năm và mức lương 60,000 là 0,67 trong khoảng
từ 0 đến 1. Giải thích tương tự cho các bộ dữ liệu khác.
Nói chung, bất kỳ thuộc tính A
i
nào của một lược đồ quan hệ cho phép các
chức năng thành viên của dom(A
i
) được ký hiệu bởi μ
Ai
, i=1,2,… ,n thì dom(A
1
)
× dom(A
2
) × × dom(A
n
) là một tập con mờ của U = U
1
×U
2
× × U
n
. Do đó

7
mối quan hệ mờ loại 1 r cũng là một tập hợp con mờ U có chức năng thành viên
μ
r
. Ngoài ra, cho tất cả (u
1
, u
2
,…, u
n
) U, ∈ μ
r
đáp ứng là
μ
r
(u
1
, u
2
, , u
n
) ≤ min((μ
A1
(u
1
), μ
A2
(u
2
), … , μ

An
(u
n
) (1)
Nói cách khác, μ
r
(u
1
, u
2
, , u
n
) là một thước đo mờ của liên kết trong một
tập các tên miền giá trị {u
1
, u
2
, , u
n
}. Chúng ta xem ví dụ:
U
1
=dom(A
1
)=Name, U
2
=dom(A
2
)=Job và U
3

=dom(A
3
)=Experience
U
4
=dom(A
4
)=salary
Ngoài ra, giả sử rằng các thuộc tính "kinh nghiệm cao" được định nghĩa là:
μ
High-Expereince
(x)=(1+|x-10| / 4)
-1
nếu x ≤ 10 và μ
High-Expereince
(x)=1 nếu x>10
Và các thuộc tính của “lương cao” được định nghĩa là:
μ
High-salary
(x)=(1 + |s – 60.000| / 20.000)
-1
nếu s ≤ 60.000
μ
High-salary
(x)= 1 nếu s > 60.000
Với u
1
=John, u
2
=Engineer, u

3
=8, u
4
=60.000 thì:
μ
A1
= 1 (John là một thuộc tính rõ)
μ
A2
= 1 (vì Engineer là một thuộc tính rõ của Job)
μ
A3
(u
3
)= μ
High−Experience
= (1+|8 - 10| / 4)
-1
= (1+2/ 4)
-1
=0,67
μ
A4
(u
4
) = μ
High-salary
(60.000)=(1 + |60.000 – 60.000| / 20.000)
-1
=1

Do đó cấp thành viên là min (1, 1, 0,67, 1) = 0,67
Vì vậy, bộ dữ liệu (John, kỹ sư, kinh nghiệm, tiền lương) được chèn vào
trong bảng với một giá trị thành viên là 0,67. Tương tự, các bộ dữ liệu khác của
mối quan hệ được chèn vào với điểm số thành viên của mình.
2.2. Mô hình dữ liệu quan hệ mờ loại 2
Mặc dù các mối quan hệ mờ loại cho phép đại diện cho tính không chắc
chắn kết hợp giữa các giá trị dữ liệu, song vai trò của nó trong việc nắm bắt sự
không chắc chắn trong các giá trị dữ liệu là khá hạn chế.
Ví dụ, trong mô hình quan hệ mờ loại 1 cho nhân viên là R(Name, Job,
Experience, Salary) không được phép chỉ định tiền lương của John là trong
8
khoảng 30.000-40.000 USD hoặc kinh nghiệm của một nhân viên Jack là "ít".
Vì vậy, trả lời các truy vấn với các giá trị không chính xác?
Các mối quan hệ mờ loại 2 cung cấp khái quát hơn bằng cách cho phép
dom(A
i
) có thể là tập hợp các tập mờ. Bằng cách mở rộng dom(A
i
), quan hệ loại
2 đại diện rộng hơn của tính không chắc chắn trong các giá trị dữ liệu. Nó có thể
được xem xét tổng quát mức độ thứ hai của quan hệ cổ điển. Trong quan hệ mô
hình dữ liệu mờ loại 2, với bất kỳ thuộc tính A
i
thì dom(A
i
) có thể được xem xét
như là một tập hợp các tập mờ trong U
i
, do đó một bộ t = (a
1

, a
2
,…, a
n
) trong D =
dom(A
1
) × dom(A
2
) × … × dom (A
n
) trở thành một tập hợp con mờ U = U
1
× U
2
× × U
n
với μ
r
(u
1
, u
2
, , u
n
) = min((μ
A1
(u
1
), μ

A2
(u
2
), … , μ
An
(u
n
) (2), trong đó u
i
∈
U
i
, i = 1,2, , n.
Để áp dụng định nghĩa của tập hợp mờ, chức năng thành viên μ
r
: D → [0,1]
phải đáp ứng các điều kiện sau đây:
Μ
r
(t) ≤ max [min { μ
a1
(u
1
), μ
a2
(u
2
),… , μ
an
(u

n
)}] (3)
Trong đó t = (a1, a2, …, an)
∈
D
Ví dụ 1: Hãy xem xét một mối quan hệ mờ EMPLOYEE(Name, Age,
Department, salary, Expertise-Domain) trong một Trung tâm nghiên cứu Đại
học (Bảng I), trong đó có các thông tin về tên, tuổi, khoa, tình trạng tiền lương
và lĩnh vực chuyên môn của nhân viên. Trong mối quan hệ EMPLOYEE,
dom(Name) và dom(Department) được giả định là bộ rõ ràng trong khi
dom(Age), dom (tiền lương) và dom (Giám định-Domain) là tập hợp của các tập
mờ trong các vũ trụ U
AGE
, U
salary
và U
ED
. Bộ đầu tiên xác định rằng khả năng của
một người cụ thể là “Dass” từ 56 năm làm việc tại khoa Toán, có mức lương
thấp với lĩnh vực chuyên môn bao gồm cả phân tích Vector, Đại số hiện đại và
Đại số tuyến tính lên đến mức 0,7, 0,8 và 0,6 là 0,7. Giải thích tương tự có thể
được thực hiện cho các bộ dữ liệu khác và các chức năng thành viên có thể được
đưa ra bởi:
µ
high
(y) = (1 + |y – 60.000|/20.000)
-1
nếu y ≤ 60.000
= 1 nếu y > 60.000
= 1 - µ

low
(y)
Trong đó y
∈
U
salary
9
BẢNG 1. EMPLOYEE
Name Age Department Expertise Domain μ
t
1
Dass 56 Maths {0,7/Vector
Analysis,0,8/Modern
Algebra,0,6/Linear
Algebra}
0,7
t
2
Jain {0,7/53,
1/54,
0,08/55}
Mgnt Risk Management 0,9
t
3
Arya {0,05/54,
0,5/55}
Comp Engg Networking 0,6
t
4
Roy 58 Physical

sciences
{0,8/Magnetism, 0,7/Fluid
Dynamics)
0,7
Bảng I, có thể được lưu ý rằng các giá trị của các thuộc tính trong một bộ
chứa các tập mờ như “High” (tiền lương). Vấn đề quan trọng ở đây là tính bình
đẳng của hai thuộc tính giá trị, không giống như cơ sở dữ liệu cổ điển bình đẳng
không thể được trực tiếp tính trong cơ sở dữ liệu mờ. Trong cơ sở dữ liệu mờ,
một so sánh của hai tập mờ là cần thiết để tính toán sự bình đẳng mờ, vì vậy nó
trở nên cần thiết để đưa ra một cơ chế để đánh giá sự bình đẳng giữa hai tập mờ
mờ. Trong tiểu luận này, chúng tôi sẽ sử dụng sự đẳng thức mờ dựa trên chức
năng mờ được giới thiệu trong phần III.
III. ĐẲNG THỨC MỜ
Các dữ liệu phụ thuộc trong mô hình cơ sở dữ liệu quan hệ cần so sánh các
giá trị thuộc tính của một mối quan hệ và cơ sở dữ liệu mờ. Trong phần này
chúng tôi đưa ra một phương pháp để tính toán đẳng thức mờ của hai giá trị
thuộc tính để tính toán sự ngang bằng của các giá trị thuộc tính xảy ra trong một
lược đồ quan hệ mờ loại 2. Phương pháp này giữ cho một mô hình quan hệ mờ
loại 1.
Bên cạnh đó, trong tiểu luận này chúng tôi sẽ sử dụng một biện pháp chung
của đẳng thức mờ dựa trên các khái niệm về chức năng mờ. Cách tiếp cận này
không yêu cầu tính toán của mối quan hệ tương đồng khác nhau/ các biện pháp
10
phù hợp đối với từng lĩnh vực thuộc tính. Bây giờ chúng ta giới thiệu các khái
niệm về chức năng mờ và đẳng thức mờ dựa trên nó.
Cho A và B là hai tập. Quan hệ f trên A × B là một tập con mờ của A ×
B, đặc trưng bởi chức năng của f là μ
r
: A × B → [0, 1]. Cho E
A

và E
B
biểu thị
sự đẳng thức mờ tương ứng. f được gọi là một chức năng mờ từ A đến B, nếu
(F1) Với mỗi x
∈
A, tồn tại một y
∈
A sao cho μ
f
(x
1
, y
1
) > 0
(F2) Với mọi x , x
∈
A và với mọi y , y
∈
B thì
μ
f
(x
1
, y
1
)
∧
μ
f

(x
2
, y
2
)
∧
E
A
(x
1
, x
2
)
≤
E
A
(y
1
, y
2
)
Giả sử A = A
1
× A
n
và B = B
1
× …. × B
m
trong đó A

i
, i=1… n và B
j
,
j=1… m là các tập và f: X→ Y là một hàm (xem như khoảng [0, 1] được thiết
lập trong suốt tiểu luận này, tức là cận dưới đúng
∧
có thể được thực hiện để
được tương đương với “minimum”), đẳng thức mờ được định nghĩa là:
Với mọi (x, y)
∈
A × A, trong đó E
A
là một đẳng thức mờ trên A
i
, E
B được
xác định tương tự.
Để có được đẳng thức mờ trên bộ(dữ liệu) hoặc chiếu trên bộ, khái niệm
đẳng thức mờ trên là tổng quát trên hệ Đề-các như sau:
Nếu A = A
1
× …. × A
n
, trong đó A
i
, i=1, 2, , n là một tập thì X = (x
1
, x
2

,…,
x
n
) và Y = (y
1
, y
2
, …, y
n
) là bằng nhau nếu và chỉ nếu x
i
= y
i
, i=1,2,…, n thì X=Y
với mọi i=1,2 n. Theo đó, với phân loại chức năng,
E
A
: A × A → [0, 1] có thể được định nghĩa là
Biểu thị khoảng [0, 1] bởi I và tất cả các bộ sắc nét là I
X
Cho I(A, B) = {(x
∈
X : μ
A
(x)
≤
μ
B
(x)} là một tập sắc nét với mọi A, B
∈

I
X
và biểu thị đặc trưng chức năng của mình χ
I(A,B)
chúng ta dễ thấy:
11
Demirci định nghĩa các ánh xạ như sau:
Trong đó và A
C
là bổ sung của tập mờ
A. μ
A˚
(x) = 1 – μ
A
(x) với mọi x
∈
X.
Số thực
, A, B
For x ≠ v
1
, x ≠ v
2
:
1
b
µ
(x)=
2
b

µ
(x)=0
Vì
1
b
µ
(x)
≤
2
b
µ
(x)
Do đó: I(b
1
, b
2
) = { x = v
2
, x ≠ v
1
and x ≠ v
1
:
1
b
µ
(x)
≤
2
b

µ
(x)}=dom B - {v
1
}
For x = v
1
:
{(1-
1
b
µ
(v
1
))
∨
2
b
µ
(v
1
)}={((1-1)
∨
0.6) = (0
∨
0.6) = 0.6}
For x = v
2
:
{(1-
1

b
µ
(v
2
))
∨
2
b
µ
(v
2
)}={((1-0.7)
∨
1) = (0.3
∨
1) = 1}
For x ≠ v
1
, x ≠ v
2
:
{(1-
1
b
µ
(x))
∨
2
b
µ

(x)}={((1-1)
∨
0) = 1}
Bây giờ, bằng định nghĩa của
1 2
( , )I b b
χ

12
Được cho bởi:
Do đó:
Vì vậy: E
domB(
1
b
,
2
b
)
= 0.3
∧
0.7=0.3
Tương tự: E
domB(
2
b
,
3
b
)

and E
domB(
1
b
,
3
b
)
có thể được tính như sau:

13
Do đó:
Tương tự:
Vì vậy, chúng ta kết luận rằng:
Bằng cách này, đẳng thức của các tập mờ chứa giá trị là các thuộc tính có
thể được tính bằng cách sử dụng hàm mờ. Đẳng thưc mờ của hai tập mờ sẽ giúp
chúng ta trong việc tính toán đẳng thức của hai bộ giá trị cho một thuộc tính.
3.1. Đẳng thức mờ của tập thông thường và bất thường:
Chúng ta đã thấy trong phần II là giá trị của một thuộc tính trong một bộ
của lược đồ quan hệ mờ loại 2 có thể là một tập mờ. Chiều cao h(A) [11] của
một tập mờ A là lớp thành viên lớn nhất thu được bằng bất kỳ yếu tố trong đó
h(A)= Supuremun{A(x)}, x
∈
A. Các tập mờ được gọi là bình thường khi h (A)
= 1 và nó được gọi là bất thường khi h (A) <1 [11]. Nó rõ ràng là một thiết lập
bình thường / bất thường mờ có thể xảy ra như là một giá trị thuộc tính.Tuy
nhiên, tập mờ bất thường và bình thường cho thấy tính chất khác nhau trong việc
tuân thủ chất lượng mờ. Kể từ khi thuộc tính tham gia mờ có thể yêu cầu tính
toán đẳng thức mờ của hai bộ bất thường / bình thường mờ, chúng tôi tập trung
vào các đặc tính này trong phần này.

Bổ đề 1: Nếu A và B là hai tập mờ bất thường được xác định trên một tập
X, đẳng thức mờ của A và B không thể bằng 0 tức là [≅ * (A, B)> 0
Thật vậy: Cho tập X được xác định X = {a
1
, a
2
, a
3
, a
4
, a
5
a
l
}.Giả sử rằng
hai tập mờ A và B được xác định trên X là cả hai đều bất thường.
14
Để cho A={m
1
/a
1
+m
2
/a
2
+m
3
/a
3
} and B={n

3
/a
3
+n
5
/a
5
}, trong trường hợp m
i
,
i=1, 2, 3 là các thành phần của a
i
trong tập mờ A và n
j
; j = 3,5 là các thành phần
của a
j
trong tập mờ B.
Nó có thể được dễ dàng lưu ý rằng 0 <m
i
, n
j
<1 (trong hai tập mờ bất
thường và theo quy ước bất kỳ thành phần nào của một tập mờ có giá trị bằng 0
thì không được xuất hiện trong các tập).
Bây giờ, sử dụng định nghĩa của đẳng thức mờ:
[
≅
*

(A, B )]
=

[
⊆
~

*
(A,
B] )]
∧

[
⊆
~

*
(B, A
)] và
do đó chúng ta kết luận rằng đẳng thức mờ của hai tập
mờ A và B có thể bằng 0 chỉ khi một trong hai [
°
⊆
*(A,B)]

hoặc
[
°
⊆
*(B,A)]

(
hoặc cả hai) đều bằng 0. Chúng ta sẽ chứng minh rằng không đẳng thức nào có
thể bằng 0. Chúng ta có được một chứng minh cho
[
⊆
~

*
(A, B] )]
≠ 0
ở đây,
minh chứng cho
[
⊆
~

*
(B,
A )]
≠ 0
bằng cách tương tự.
Đối với chứng minh
[
⊆
~

*
(A, B] )]
>0
chúng ta chú ý theo định nghĩa

Vì vậy:
[
⊆
~

*
(A, B]
)]
chỉ có thể bằng 0 chỉ khi cả hai
bằng 0.
Xét , chúng ta có thể thấy rằng nó có thể bằng 0 khi
∃
một vài x
∈
X như là
A
µ
(x’) >
B
µ
(x’) để (5) (
x X∈
∧
{
( , )I A B
χ
(x)}) = 0
Bây giờ,
∀
x

∈
X, chúng ta xem xét giá trị của [
°
⊆
(A,B)]=
x X∈
∧
{A
c
∨
B(x)}. Ở
đây, có hai trường hợp phát sinh:
Trường hợp 1:
A
µ
(x)=0=
B
µ
(x) thì (A
c
∨
B)(x) = (1-0)
∨
0 = 1
Trường hợp 2: Ít nhất một trong
A
µ
(x) hoặc
B
µ

(x) lớn hơn 0
15
Giả sử,
A
µ
(x) = m > 0 và
B
µ
(x)=0 để (A
c
∨
B)(x) = (1-m)
∨
0, nhưng khi
m>0 do (1-m)>0 vì vậy (A
c
∨
B)(x)>0. Do đó với bất kỳ giá trị x
∈
X chúng ta có
(A
c
∨
B)(x)>0 để
x X∈
∧
(A
c
∨
B)(x) >0 (6)

Sử dụng (5) và (6), chúng ta có được kết quả là đẳng thức mờ của hai bộ
bất thường mờ không thể bằng 0.
Bây giờ chúng ta có được các điều kiện khi hai tập không bất thường là
không mờ.
Bổ đề 2: A và B là hai tập mờ quy định về lĩnh vực tương tự, với ít nhất
một trong hai tập là bình thường. Nếu bất kỳ thành phần của tập mờ bình thường
có thành phần có giá trị là 1 có thành phần có giá trị là 0 trong tập mờ khác, thì
[≅ * (A, B)] = 0.
Chứng minh: Các chứng minh có thể dễ dàng thu được bằng cách sử dụng
các chứng minh của bổ đề 1. Trong bổ đề 1 vói x’
∈
X mà
A
µ
(x’) = 1 và
B
µ
(x’)=0. Khi
∃
x’
∈
X như vậy (1=
A
µ
(x’)) > (
B
µ
(x’)=0) vì (
x X∈
∧

{
( , )I A B
χ
(x)}) là nhất
thiết bằng 0.
Chúng ta đã bỏ qua [
°
⊆
(A,B)]=0, nhưng mà ở đây cho thấy rằng tất cả các
yếu tố thuộc miền của X không thành phần bằng 0, bởi vì sự tồn tại của x’
∈
X
với
A
µ
(x’) = 1 do đó với x’, chúng ta có (A
c
∨
B)(x) = (1-1)
∨
0 = 0
∨
0.
Do đó: [
°
⊆
(A,B)]=
x X∈
∧
{A

c
∨
B(x)}=0. Sử dụng định nghĩa của [
°
⊆
*(A,B)] ,
nó tiến về 0 làm [
≅
*(A,B)]=0
3.2. Đẳng thức trên các miền khác nhau
Sự khác nhau các miền của tập cổ điển và tập mờ (loại 1) và tập cổ điển và
các tập con mờ (loại 2) để thể hiện giảm bớt sự mơ hồ, đẳng thức có hai giá trị là
bộ dữ liệu tương ứng với một thuộc tính là khá quan trọng. Đôi khi chúng ta
phải tính toán đẳng thức của một giá trị rõ: một giá trị rõ, một tập mờ hoặc thậm
chí là một tập hợp các tập con mờ để tính toán đẳng thức mờ trên các lĩnh vực
khác nhau, các tác giả xác định đẳng thức mờ có hai giá trị như sau:
Định nghĩa 1: Cho t
1
và t
2
là hai bộ dữ liệu bất kỳ của một mối quan hệ mờ
R. Cho A là thuộc tính bất kỳ của R và cho t
1
[A] và t
2
[A] biểu thị các giá trị của
16
bộ dữ liệu t
1
và t

2
cho thuộc tính, sau đó đẳng thức mờ t
1
[A] và t
2
[A] có thể được
tính toán như sau:
Như vậy, định nghĩa 1 cho phép chúng ta tính toán đẳng thức mờ của hai
giá trị xảy ra trong cùng lĩnh vực. Nó như vậy sẽ giúp chúng ta trong việc tính
toán đẳng thức của hai giá trị được sử dụng trong việc xác định hàm phụ thuộc
mờ và toán tử mờ.Tuy nhiên chúng ta nhận ra rằng trong khi có được tham gia
mờ của quan hệ mờ loại 2, đó có thể là trường hợp thuộc tính tham gia vào từ
một quan hệ và thuộc tính tham gia khác từ mối quan hệ khác có thể được định
nghĩa trong cùng một vũ trụ, nhưng chỉ có một tập là rõ trong khi tập khác là
một tập hợp các tập con mờ hoặc trong khi tham gia hai quan hệ mờ loại 1 một
thuộc tính là tập rõ trong khi thuộc tính khác là một tập mờ xác định giống như
tập thuộc tính trước đó. Ở đây, các tác giả xác định sự phù hợp tham gia mờ để
giải quyết các vấn đề đã đề cập ở trên như sau:
Định nghĩa 2: Hai tập các thuộc tính X (A
1
, A
2
, ,A
n
) và Y (B
1
, B
2
,
, B

n
) thuộc về hai quan hệ mờ (hoặc cả hai quan hệ mờ loại 1 và loại 2)
được gọi là tham gia mờ tương thích nếu chúng có n mức độ như nhau, và nếu
với mỗi 1 ≤ i ≤ n., Hoặc dom(A
i
) = dom(B
i
) hoặc dom(A
i
) = tập mờ bộ dom(B
i
)
hoặc dom(A) =
( )
i
dom B
I
, tức là tập của các tập con mờ nằm trên miền của B
i
.
17
Do đó, kết nối mờ tương thích, tham gia kiểm tra khả năng tương thích
của hai tập thuộc tính X và Y trong môi trường mờ. Vì vậy, nếu chúng ta muốn
có sự kết nối của hai tập thuộc tính, thì chúng phải có được kết nối mờ tương
thích.
3.3. Hàm phụ thuộc mờ sử dụng đẳng thức mờ:
Các ràng buộc toàn vẹn trong các hệ thống cơ sở dữ liệu quan hệ có thể
được phân loại thành hai nhóm:
(1) Miền phụ thuộc - Điều này hạn chế giá trị miền chấp nhận các thuộc
tính, ví dụ như "Tuổi của một nhân viên dưới 62 tuổi".

(2) Dữ liệu phụ thuộc- yêu cầu rằng nếu một số bộ dữ liệu trong cơ sở dữ
liệu thực hiện đầy đủ phẩm chất nhất định, sau đó hoặc một số bộ dữ liệu khác
cũng phải tồn tại trong cơ sở dữ liệu, hoặc một số giá trị của bộ dữ liệu cho phải
bằng nhau.
Trong số này có hai loại phụ thuộc, phụ thuộc dữ liệu đã nhận được sự chú
ý rộng lớn hơn là chúng có tác động lớn hơn về thiết kế của các hệ thống cơ sở
dữ liệu. Sự phụ thuộc hàm là các phụ thuộc dữ liệu phổ biến nhất và tham dự
rộng rãi. Một số tác giả đã xác định phụ thuộc hàm trong cơ sở dữ liệu quan hệ
mờ. Các tác giả đã xác định sự phụ thuộc hàm mờ trong quan hệ mờ loại 1 và
quan hệ mờ loại 2 của cơ sở dữ liệu quan hệ mờ như sau:
Định nghĩa 3: Quan hệ mờ r trên một lược đồ quan hệ R = {A
1
, A
2
,
A
n
} đáp ứng một phụ thuộc hàm mờ (FFD) X→Y trong đó X, Y ⊆ R, nếu r
XY
là
phần hàm mờ tức là cho tất cả các t
1
, t
2
∈ dom X với E
X
(t
1
, t
2

) ≠ 0 và cho tất cả
các t
1
, t
2
∈ dom Y
[XY]r
µ
(t
1
,t
1
’)
∧
[XY]r
µ
(t
2
,t
2
’)
∧
E
X
(t
1
,t
2
)
≤

E
Y
(t
1
’,t
2
’) (8)
Để xây dựng phụ thuộc hàm mờ và các ví dụ của nó thì :
[XY]r
µ
(t
1
,t
1
’)
∧
[XY]r
µ
(t
2
,t
2
’)
∧
E
X
(t
1
,t
2

)
≤
E
Y
(t
1
’,t
2
’) (8)
IV. PHÉP CHIẾU MỜ
Phép chiếu đóng một vai trò quan trọng trong lý thuyết phân tích của cơ sở
dữ liệu quan hệ cổ điển. Sử dụng phép khử cặp thuộc tính của phép chiếu, với
mỗi bộ "giống nhau" trong một quan hệ mờ được thu thập và với các bộ thành
18
viên cấp cao nhất trong quan hệ mờ được giữ lại còn những bộ khác sẽ bị loại
bỏ. Vai trò của phép chiếu cũng được mở rộng cho các cơ sở dữ liệu quan hệ
mờ. Raju & Majumdar xác định phép chiếu mờ như sau:
Định nghĩa 4: r là một thể hiện của một lược đồ quan hệ mờ R(A
1
, A
2
, , A
n
) và cho (i
1
, i
2
, , i
k
) là một dãy (1, 2, , n). R

i
là phép chiếu mờ =
P(r) là một k-phần tử của quan hệ mờ trong dom(
1
i
A
)
×
dom(
2
i
A
)
×
…
×
dom(
k
i
A
)
với các hàm thành viên
i
r
µ
cho bởi
i
r
µ
(t)=max{

r
µ
(t
r
)|t
r
[R
i
]=t} (9)
Trong đó t
r
là một bộ của r t
∈
dom(
1
i
A
)
×
dom(
2
i
A
)
×
…
×
dom(
k
i

A
).
Do đó, bộ dữ liệu r
i
là những hạn chế của các bộ dữ liệu của r, như trong
quan hệ cổ điển. Các toán tử đảm bảo rằng nếu có nhiều hơn một bộ trong r, St
⊆ r, t là hạn chế trên R
i
, sau đó phép chiếu r
i
chỉ chứa một bộ và giá trị thành
viên của nó là lớn nhất của bộ S
t
. Trong quan hệ cổ điển các lớp có giá trị nhị
phân, và do đó các điều kiện nêu trên chỉ loại bỏ trùng lặp.
V. PHÉP NỐI MỜ
Việc kết nối hai quan hệ mờ đã được quan tâm bởi các nhà nghiên cứu
trong quá khứ. Raju & Majumdar đã định nghĩa một cylindrical mở rộng dựa
trên phép chiếu trong cơ sở dữ liệu quan hệ mờ như sau:
Cho r
1
, r
2
, ,r
s
là một cơ sở dữ liệu quan hệ mờ cho các lược đồ quan hệ
quan hệ Ri=
1
i
A

,
2
i
A
,…,
k
i
i
A
, trong đó: i=1, 2, ,s là thành viên của hàm
i
r
µ
. Cho
1
s
i
i
R
=
U
= (A
1
, A
2
, …, A
n
).
Thì phép nối của quan hệ mờ, r1,r2,…,rs, ký hiệu bởi
r

là một quan quan
hệ mờ trên U
1
×
U
2
×
…
×
U
n
. Các hàm thành viên của
r
được xác định bởi:
r
µ
(a
1
, a
2
, …,a
n
) = min[
µ
1
r
µ
(a
1
, a

2
, …, a
n
),…,
µ
s
r
µ
(a
1
, a
2
, …, a
n
)], trong đó:
$
i
r
µ
(a
1
, a
2
, …, a
n
) là một phần cylindrial mở rộng của
$
i
r
µ

(
1
i
a
,…,
k
i
i
a
)
Tuy nhiên, các phép nối mờ trên chỉ tổ chức tốt trong trường hợp là cơ sở
dữ liệu quan hệ mờ loại 1 vì nó yêu cầu tất cả các giá trị của quan hệ mờ phải có
giá trị rõ và không có một tập bất thường / bình thường mờ. Nó không cung cấp
19
bất kỳ điều khoản nào cho việc tính đẳng thức mờ của hai tập mờ trên cơ sở của
một đẳng thức nối có thể được tính toán, do đó phần cylindrical mở rộng dựa
trên phép nối không thể làm việc cho cơ sở dữ liệu quan hệ mờ loại 2. Để khắc
phục khó khăn này các tác giả đã đề xuất một đẳng thức kết nối mờ phù hợp với
cả cơ sở dữ liệu quan hệ mờ loại 1 và loại 2. Trong các phần tiếp theo chúng ta
sẽ sử dụng đẳng thức kết nối mờ để nghiên cứu sự phụ thuộc kết nối và duy trì
thuộc tính phụ thuộc hàm trong quan hệ cơ sở dữ liệu mờ loại 1 và loại 2.
VI. CÁCH THỨC DUY TRÌ PHỤ THUỘC HÀM
Mỗi cơ sở dữ liệu quan hệ được phân tích trong quá trình xử lý thông
thường. Do đó, cần thiết cho một phân tích là không làm mất tài nguyên, bởi vì
nó đảm bảo rằng bất kỳ mối quan hệ bị phân tích có thể được gộp lại từ phép
chiếu của nó. Một đặc trưng quan trọng của một phân tích của lược đồ quan hệ
R thành
ρ
= (R
1

, R
2
, …,R
k
) là tập hợp các phụ thuộc F cho R có nghĩa là chiếu F
lên R
i
’s. Chúng ta nói rằng một phân tích
ρ
duy trì một tập của phụ thuộc hàm
F. Nếu hợp tất cả các phụ thuộc hàm
i
R
ρ
(F), mỗi i=1, 2, …, k một cách hợp lý
bao hàm tất cả các phụ thuộc trong F. Sự cần thiết để
ρ
bảo toàn F là sự phụ
thuộc trong F có thể được xem như là các ràng buộc toàn vẹn cho các quan hệ R
và ràng buộc toàn vẹn không bao giờ được tự do / tránh nếu không mâu thuẫn sẽ
xảy ra. Nếu phụ thuộc không bao hàm F, thì chúng ta không phải thể hiện R bởi
ρ
= (R
1
, R
2
, …,R
k
), ngược lại, nếu không chúng ta có thể thấy rằng giá trị hiện
tại của R

i
's thể hiện cho một quan hệ R không đáp ứng F, ngay cả nếu ρ bảo
toàn các thuộc tính kết nối có liên quan đến F. Ngoài ra tất cả các thay đổi cho
một trong R
i
' s sẽ có yêu cầu mộtkiểm tra kết nối các khó khăn không vi phạm.
Do đó chúng tôi đưa ra đề xuất dưới đây là một điều kiện cần thiết cho các
phụ thuộc được kết nối toàn vẹn hai quan hệ mờ bằng cách sử dụng đẳng thức
kết nối mờ.
Định lý 1: Duy trì phụ thuộc được tuân theo trong một cơ sở dữ liệu quan
hệ mờ loại 2 chỉ khi tất cả các giá trị của các thuộc tính kết nối là nguyên tử.
Chứng minh: R và S là hai quan hệ mờ loại 2 và F
1
và F
2
là hai bộ của phụ
thuộc mờ thoả mãn bởi R và S tương ứng. Cho r
i
& s
j
được kết nối các thuộc
tính của hai quan hệ mờ. Q được kết nối vào quan hệ mờ tức là Q = R JOIN
f
S.
Cho r, s, q biểu thị các trường hợp của R, S và Q tương ứng. Bây giờ, khi một
20
lược đồ mối quan hệ mờ loại 2 có thể chứa một giá trị rõ nét (nguyên tử), hoặc
một tập mờ như một giá trị của một thuộc tính do đó tùy thuộc vào lĩnh vực các
thuộc tính của R và S tồn tại hai trường hợp sau đây.
Trường hợp 1: Tất cả các giá trị của các thuộc tính kết nối là nguyên tử.

Từ một tập mờ không nguyên tử, trường hợp này có thể chỉ khi các lĩnh
vực của cả hai thuộc tính kết nối là bộ cổ điển này dẫn đến trường hợp 1 trong
phép kết nối mờ [21] Chúng tôi sẽ cho thấy q đáp ứng F
1
∪ F
2
Hãy xem xét một
ffd: X→Y trong F
1
∪ F
2
. Ngược lại, giả định rằng q không đáp ứng. Sau đó,
theo định nghĩa của ffd, có hai bộ dữ liệu t
1
và t
2
trong q như vậy mà E
X
[t
1
, t
2
]
≠ 0 và
[ ] 1 1
( [X],t [Y])
q XY
t
µ
∧

[ ] 2 2
( [X],t [Y])
q XY
t
µ
∧
1 2
( [X],t [X])
X
E t
>
1 2
( [X],t [X])
Y
E t
(10)
Cho
r
k
t
và
s
k
t
thể hiện cho phép chiếu của t
k
lên các thuộc tính tương ứng của
r và s, trong đó k=1, 2.
Bây giờ từ (10),
( )

q k
t
µ
>0, k=1, 2 và sử dụng (3) và (9), chúng ta có
( )
r
q k
t
µ
>0 và
( )
s
q k
t
µ
>0.
Ngoài ra,
r
k
t
[XY] = t
k
[XY] và tương tự
s
k
t
[XY] = t
k
[XY] (11)
Có thể lưu ý rằng nếu bất kỳ các thuộc tính X hoặc Y hoặc cả hai là thuộc

tính kết nối, thì bởi tính nguyên tử của các giá trị của các thuộc tính kết nối, các
đẳng thức nhị phân sẽ tổ chức (Ngược lại nếu không có các thuộc tính X hoặc Y
thuộc tính kết nối, kết luận là tầm thường).
Ở đây, vì f
∈
F
1
∪
F
2
, do đó f thuộc về F
1
( hoặc F
2
) để chúng ta giả định
rằng f ∈ F
1
, sau đó cả hai thuộc tính X và Y phải thuộc về R. Xem xét các giá
trị của hai bộ dữ liệu t
1
và t
2
trong r và sử dụng phương trình (10), chúng ta thấy
được một mâu thuẫn f ffd: X→Y không giữ trong r.Do đó q đáp ứng F
1
∪ F
2
.
Trường hợp 2: Các giá trị của các thuộc tính kết nối không nguyên tử
Trường hợp này tồn tại khi phép nối được thực hiện bằng cách tính toán

đẳng thức mờ của hai tập mờ. Chúng ta sẽ chỉ cho rằng q có thể hoặc không thể
đáp ứng ffds trong F
1
∪F
2
.
Hãy xem xét một f
fd
: X→Y ở F
1
, thì rõ ràng là f∈F
1
∪F
2
Chúng ta sẽ cho
thấy rằng q có thể không đáp ứng f.
21
Bây giờ, khi f thỏa mãn trong r (vì nó thuộc về F
1
), do đó theo định nghĩa
của một sự phụ thuộc hàm mờ, ∃ hai bộ T
1
& T
2
trong r với T
1
[X] = t
1
, T
2

[X] =
t
2
và T
1
[Y] = t
1
'& T
2
[Y] = t
2
’ và E
X
(t
1
, t
2
) ≠ 0, như vậy bất đẳng thức
[ ]r XY
µ
[XY] (t
1
, t
1
) ∧
[ ]r XY
µ
[XY] (t
2
, t

2
') ∧ E
X
(t
1
, t
2
) ≤ E
Y
(t
1
, t
2
') (12)
Sử dụng LHS của bất đẳng thức (10), chúng tôi có
r
µ
(T
1
)≠ 0 và
r
µ
(T
2
) ≠
0. Chúng tôi giả định rằng r quan hệ được kết nối với quan hệ s trên các thuộc
tính Y và Z tương ứng mà cả Y và Z được xác định trên cùng tập hợp. Cho
miềnY là một tập của các tập con mờ với mỗi tập mờ có chứa nhiều hơn một
yếu tố nhưng miền của Z là một tập cổ điển. Khi giá trị của Y thuộc tính kết nối
là không nguyên tử trong tự nhiên (vì nó có thể chứa một tập mờ), nó có thể dễ

dàng xác nhận rằng do kết hợp của các giá trị không nguyên tử như giá trị của
thuộc tính Y, một tập mờ tìm thấy như một giá trị của Y trong một bộ là mờ hơn
một giá trị khác của Z (một tập hợp rõ). Điều này là trái ngược với cơ sở dữ liệu
quan hệ cổ điển. Do đó trong cơ sở dữ liệu quan hệ mờ, một bộ giá trị của Y (tập
mờ) có thể được tham gia với nhiều hơn một bộ giá trị của Z, vì nhiều hơn một
giá trị của thuộc tính Z trong s có thể được một phần bằng Y. Quan hệ kết nối có
nhiều bộ như số lượng các giá trị của Z là bằng một phần Y (lưu ý rằng trong
một cơ sở dữ liệu quan hệ cổ điển, một trong những giá trị của một thuộc tính có
thể không được tham gia với các giá trị khác biệt của thuộc tính khác). Ngoài ra,
nó không có liên quan để gọi chúng là bộ dữ liệu giả mạo bởi vì những bộ dữ
liệu thể hiện nhiều hạn chế thực sự nắm giữ các mối quan hệ mờ r và s.
Không mất tính tổng quát, cho bất kỳ 2 bộ T
1
q
và T
2
q
trong quan hệ q, như
vậy µ
q
(T
1
q
)>0 và µ
q
(T
2
q
)>0 và E
x

(T
1
q
[X], T
2
q
[X])#0 nhưng E
Y
(t
1
”, t
2
”)=0 với điều
kiện t
1
” và t
2
” chỉ rõ giá trị của Y trong cả 2 bộ T
1
q
và T
2
q
. ta luôn xây dựng được
E
Y
(t
1
”, t
2

”)< E
X
(T
1
q
[X], T
2
q
[X]). Tại µ
q[X,Y]
( T
1
q
[X], T
1
q
[Y])#0 & µ
q[X,Y]
( T
1
q
[X],
T
2
q
[Y])#0(bằng cách xây dựng, nếu không hai bộ sẽ không có mặt trong các mối
quan hệ q).
Xem xét sự bất bình đẳng (12), chúng ta thấy rằng từ E
Y
(t

1
”, t
2
”)=0, LHS≤
RHS trong đó cho thấy rằng ffd không chứa trong q.
Do đó, chúng ta thấy rằng sự phụ thuộc chức năng mờ có thể không được
lưu giữ vào 2 loại mối quan hệ mờ. Tiếp theo chúng ta xem xét một ví dụ cho
kết luận này.
22
Ví dụ 3: Cho R và S là hai loại 2 mối quan hệ mờ được đưa ra bởi R(A,B)
và S(C,D) với điều kiện miền của A là tập kinh điển được kí hiệu dom(A)={a
1
,
a
2
, a
3
, a
4
} và miền của B là một tập hợp các tập con mờ được định nghĩa trên {b
1
,
b
2
, b
3
, b
4
, b
5

}. Mối quan hệ mờ S có miền của C như một thiết lập bình thường
với dom(C)={b
1
,b
2
,b
3
,b
4
,b
5
} và D là một tập hợp các tập con mờ trên {d
1
,d
2
,d
3
}.
Các ví dụ quan hệ r và s cua r quan hệ mờ R và S được đưa ra trong bảng II(A)
và bảng II(B).
Cho t
1
và t
2
là 2 bộ của R như thể hiện trong bảng II(A), lấy
t
1
[B]={0.1/b
1
+0.7/b

2
} kí hiệu là B
1
và t2[B]={ 0.3/b
1
+0.6/b
2
} kí hiệu là B
2
.
Sau đó I(B
1
,B
2
)={x thuộc dom B:µ
B1
(x)≤ µ
B2
(x)} theo cách tính như:
For x=b
1
: µ
B1
(b
1
)=0.1 và µ
B2
(b
1
)=0.3 vậy µ

B1
(b
1
) ≤ µ
B2
(b
1
) cho x=b
1
.
For x=b
2
: µ
B1
(b
2
)=0.7 và µ
B2
(b
1
)=0.6 vậy µ
B1
(b
1
) ≤ µ
B2
(b
1
) cho x=b
2

.
vậy : µ
B1
(b
2
) ≤ µ
B2
(b
2
) cho x=b
2
.
Tương tự, µ
B1
(b
3
) ≤ µ
B2
(b
3
) cho x=b
3
, µ
B1
(b
4
) ≤ µ
B2
(b
4

) cho x=b
4
và µ
B1
(b
5
)
≤ µ
B2
(b
5
) cho x=b
5
. Do đó I(B
1
,B
2
)={b
1
,b
2
,b
3
,b
4
,b
5
}, tương tự
I(B
1

,B
2
)={b
2
,b
3
,b
4
,b
5
}.
- Cho x=b
1
:
23
- Cho x=b
2
:
- Cho x=b
3
:
- Cho x=b
4
:
-Cho x=b
5
:
Do đó:
Mặc dù:
- Cho x=b

1
:
- Cho x=b
2
:
- Cho x=b3:
- Cho x=b4:
- Cho x=b5:
Do đó:
24
Tương tự:

Theo định nghĩa của
,
Do đó:
Sử dụng các tính toán trên, chúng ta thấy rằng sự bất bình đẳng thỏa mãn
hai bộ t
1
và t
2
từ
Tương tự, ta có thể xác định cho bất kì 2 bộ của r. Bây giờ chúng ta thấy
rằng có thể không được lưu trữ thực thi các toán tử mờ.
25