Tổng quan về phương trình lượng giác
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (214.87 KB, 29 trang )
1.
1 1
2 2 sin x
4 sinx cosx
π
+ = +
2 sin x
sinx cosx
4
2 2 sin(x ) 2 2 sin x
4 sinxcosx 4 sinxcosx
π
+
π + π
⇔ + = ⇔ + =
sin(x ) 0 x k
4 4
1
2 sin x 2 0
sinx cosx 0 sin2x 0
4 sinx cosx
2sinxcosx 1 sin2x 1
π π
+ = = − + π
π
⇔ + − = ⇔ ⇔
≠ ≠
= =
x k sin2x sin 1 0
4 2
x k (k Z)
4
sin2x 1 2x k2 x k
2 4
π π
= − + π ⇒ = − = − ≠
π
⇔ ⇔ = ± + π ∈
π π
= ⇔ = + π ⇔ = + π
2. C1.
)cos(sincossin xx2xx
5533
+=+
xx2x2x
3553
coscossinsin −=−⇔
x2xx2x1x2xx21x
332323
coscoscossin)cos(cos)sin(sin =⇔−=−⇔
3 3 3
cos2x 0 cos2x 0
cos2x 0
x m x k x m (m Z)
tgx 1
4 2 4 4 2
sin x cos x tg x 1
= =
=
π π π π π
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = + ∨ = + π ⇔ = + ∈
=
= =
C2.
)cos(sincossin xx2xx
5533
+=+
)cos(sin)cos)(sincos(sin xx2xxxx
552233
+=++⇔
)sin(coscos)sin(cossincossinsincoscossin xxxxxxxxxxxx
223223552323
−=−⇔+=+⇔
=
=−
⇔
=−
=−
⇔=−−⇔
xx
0xx
0xx
0xx
0xxxx
22
33
22
3322
sincos
sincos
sincos
sincos
)sin)(cossin(cos
Z)(k cossincos
sincos
sincos
∈
π
+
π
=⇔=⇔=−⇔
=
=−
⇔
2
k
4
x0x20xx
xx
0xx
22
22
3.
x3x2x
222
coscossin
+=
0x61x2x4
2
x61
2
x41
2
x21
=+++⇔
−
+
−
=
−
⇔ )cos()cos(cos
coscoscos
0xx2x340x3xx320x32xx32
2
=⇔=+⇔=+⇔ coscoscos)cos(coscoscoscoscos
Z)(k cos cos cos ∈
π
+
π
=∨
π
+
π
=∨π+
π
=⇔=∨=∨=⇔
3
k
6
x
2
k
4
xk
2
x0x30x20x
4.
)cos(sincossin xx2xx
8866
+=+
xx2x2x
6886
coscossinsin −=−⇔
x2xx2x1x2xx21x
662626
coscoscossin)cos(cos)sin(sin =⇔−=−⇔
Z)(m
cos
cos
cossin
cos
∈
π
+
π
=⇔
π+
π
±=
π
+
π
=
⇔
±=
=
⇔
=
=
⇔
=
=
⇔
2
m
4
x
k
4
x
2
m
4
x
1tgx
0x2
1xtg
0x2
xx
0x2
666
1
5.
2xxxx
=++−
cossin cossin
( )
4xxxx
2
=++−⇔ cossin cossin
2
kx0x21x22x224xx2x21x21
22
π
=⇔=⇔=⇔=⇔=−+++−⇔ sin cos cos cossin sinsin
6 .
x2
8
13
xx
266
cossincos =−
x2
8
13
xx
23232
cos)(sin)(cos =−⇔
x2
8
13
xxxxxx
2224422
cos)cossinsin)(cossin(cos =++−⇔
x213x228x2x2
8
13
x2
4
1
x2
2
1
1x2
22222
cos)sin(coscos)sinsin(cos =−⇔=+−⇔
=+−
=
⇔
=−−
=
⇔
=−
=
⇔
06x213x22
0x2
x213x2128
0x2
x213x228
0x2
222
coscos
cos
cos)cos(
cos
cossin
cos
(loại) cos cos cos 6x2
2
1
x20x2 =∨=∨=⇔
Z)(k ∈π+
π
±=∨
π
+
π
=⇔ k
6
x
2
k
4
x
7.
x22tgx31 sin
=+
(*) . Đặt
tgxt =
π+
π
−=⇔−=⇔−=⇔=+−+⇔=+−+⇔
+
=+⇔ k
4
x1tgx1t01t2t31t01ttt3
t1
t4
t31
223
2
))(((*)
8.
tgx32x2x3 +=+ cossin
2tgx32tgx3x2tgx3x2xtgx3 +=+⇔+=+⇔ )(coscoscos
3
2
kx
2kx
tg
3
2
tgx
1x
−=α∈
π+α=
π=
⇔
α=−=
=
⇔ tg Z)(k
cos
8.
3
sin x 2 sinx
4
π
− =
(*) . C1. Ta có :
2 sin x sinx cosx
4
π
− = −
3 3 3 3
1
2 2 sin x (sinx cosx) sin x (sinx cosx)
4 4
2 2
π π
⇔ − = − ⇔ − = −
x4xxx2xx
22
1
33
sin)cos(sinsin)cos(sin(*) =−⇔=−⇔
Vì
: có ta cos cho trình phươngcủa vế haiChia . trình phươngmãn thỏa khôngcos 0x0x
3
≠=
Z)(k ))(()()( ∈π+
π
−=⇔−=⇔=++⇔+=− k
4
x1tgx01xtg31tgxxtg1tgx41tgx
223
C2.
x4xxxxx4xx
23
sin)cos)(sincos(sinsin)cos(sin(*) =−−⇔=−⇔
0xx2xx2x3xx4xx21xx
22
=+−−−⇔=−−⇔ cossincossinsincossin)cossin)(cos(sin
02x2x2x2x03x2x1x2x
22
=−+−⇔=−+−−⇔ )(cossin)(coscos)cos(sin)sin(cos
Z)(k
(loại) cos
)sin)(cos(cos ∈π+
π
−=⇔
−=
=
⇔=+−⇔ k
4
x
1tgx
2x2
0xx2x2
9.
2x43xx4
44
=++
sin)cos(sin
2x43x2
2
1
14
2
=+−⇔ sin)sin(
2
3
2
3
x41x4x432x22x43
2
π
=
π
−⇔−=+⇔−=−⇔ cos)cos(cossinsinsin
Z)(k ∈
π
+
π
−=∨
π
+
π
=⇔
2
k
12
x
2
k
4
x
10.
8 8 6 6
2(sin x cos x) sin x cos x
+ = +
8 6 6 8
2cos x cos x sin x 2sin x
⇔ − = −
6 2 6 2 6 6
cos x(2cos x 1) sin x(1 2sin x) cos xcos2x sin xcos2x⇔ − = − ⇔ =
6 6 6
x m
cos2x 0 cos2x 0
cos2x 0
4 2
x m (m Z)
tgx 1
4 2
sin x cos x tg x 1
x k
4
π π
= +
= =
=
π π
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = ± + ∈
= ± π
= =
= ± + π
11.
8 8 10 10
5
sin x cos x 2(sin x cos x) cos2x
4
+ = + +
10 8 8 8
5
2cos x cos x 2sin x sin x cos2x 0
4
⇔ − + − + =
8 2 8 2 8 8
5 5
cos x(2cos x 1) sin x(1 2sin x) cos2x 0 cos xcos2x sin xcos2x cos2x 0
4 4
⇔ − − − + = ⇔ − + =
8 8
8 8
cos2x 0
5 k
cos2x cos x sin x 0 x
5
4 4 2
sin x cos x 1 vo â nghieäm
4
=
π π
⇔ − + = ⇔ = +
= + >
12.
0
4
3
x2x2
22
=+−
cossin
03x214x214
2
=++−−⇔ )cos()cos(
03x24x2403x244x244
22
=−+⇔=+−−−⇔ coscoscoscos
1 3
cos2x cos cos2x 1 (loaïi) 2x k2 x k (k Z)
2 3 2 3 6
π π π
⇔ = = ∨ = − < − ⇔ = ± + π ⇔ = ± + π ∈
13.
03xt g4xtg
24
=+−
2 2
tg x 1 tg x 3 tgx 1 tg tgx 3 tg x k x k (k Z)
4 3 4 3
π π π π
⇔ = ∨ = ⇔ = ± = ± ∨ = ± = ± ⇔ = ± + π ∨ = ± + + π ∈
14.
x22x2
24
coscos
−=
4 2 2 2
cos 2x cos 2x 2 0 cos 2x 1 cos 2x 2 1 (loaïi)⇔ + − = ⇔ = ∨ = >
Z)(k sin ∈
π
=⇔π=⇔=⇔
2
k
xkx20x2
15.
03x4x2
42
=+− sincos
03x4x21
422
=+−−⇔ sin)sin(
03x4x4x41
442
=+−+−⇔ sinsinsin
Z)(k cossin ∈π+
π
=⇔=⇔=⇔ k
2
x0x1x
2
16.
2 2
cos x cos 2x 1
= −
011x4x4x011x2x
242222
=−+−=⇔=−−=⇔ coscoscos)cos(cos
4 2 2 2
5
4cos x 5cos x cos x 0 cos x 1 (loaïi) cosx 0 x k (k Z)
4 2
π
⇔ = ⇔ = ∨ = > ⇔ = ⇔ = + π ∈
17.
x231x2
4
coscos
=+
)coscos(cos)cos(cos 1x4x431x21x231x2
244224
+−=+⇔−=+⇔
3
=+
=
=
=
=
=
=+
5
2
x21
0x
5
2
x2
0x
5
1
x
1x
01x6x5
2
2
2
24
cos
sin
cos
sin
cos
cos
coscos
3 3
sinx 0 cos2x cos x k x k2 (k Z) vụựi cos
5 2 5
= = = = = + =
18.
(1) sin 2xtgx2
22
=+
. ẹieu kieọn :
0x cos
C1.
x2xxx22
x
x
x21
2222
2
2
2
cossincossin
cos
sin
sin)( =+=+
x2x1x2x2x2x1xx12
22422222
coscoscoscoscoscoscos)cos( =+=+
4 2 2 2 2 2
1
2cos x cos x 1 0 cos x 1 (loaùi) cos x 2cos x 1 2cos x 1 0
2
+ = = = = =
Z)(k cos
+
=+
==
2
k
4
xk
2
x20x2
C2.
xtg22xtgxtgxtg22xtg
xtg1
xtg2
1
24222
2
2
+=++=+
+
)(
4 2 2 2
tg x tg x 2 0 tg x 1 tg x 2 (loaùi) tgx 1 tg x k (k Z)
4 4
+ = = = = = = +
19.
07x213x8
4
=+
cossin
06x26x807x2113x8
2424
=+=+ sinsin)sin(sin
4 2 2 2 2
1 1 1
4sin x 13sin x 3 0 sin x sin x 3 1 (loaùi) 2sin x 1 cos2x
4 2 2
+ = = = > = =
Z)(k coscos +
=+
=
== k
6
x2k
3
x2
32
1
x2
20.
0x5x33
44
=
cossin
0x5xx21330x5x133
442422
=+= cos)coscos(cos)cos(
=
=
=+
=
=
=
=
1x22
0x
3x212
0x
3x4
0x
x6x8
22
2
2
24
cos
cos
)cos(
cos
cos
cos
coscos
1
cosx 0 cos2x cos x k 2x k2 x k x k (k Z)
2 3 2 3 2 6
= = = = + = + = + = +
21.
2xgxtg
22
=+ cot
2
xtg
1
xtg
2
2
=+
(1) . ẹieu kieọn :
0tgx
(1)
01xtg01xtg2xtg
2224
==+ )(
2
tg x 1 tgx 1 tg x k (k Z)
4 4
= = = = +
22.
(1)
cos
2
x
1
xtg4
2
4
+=
. ẹieu kieọn :
0x cos
4 2 4 2 2 2
3
(1) 4tg x 1 tg x 2 4tg x tg x 3 0 tg x 1 tg x (loaùi)
4
= + + = = =
tgx 1 tg x k (k Z)
4 4
= = = +
4
23.
8
1
xx
88
=+
cossin
8
1
xx2xx
8
1
xx
442442424
=+=+ cossin)cos(sin)(cos)(sin
4
2 2 4 2 4
1 1 1 1 1
(1 sin 2x) 2(sinxcosx) 1 sin 2x sin 2x 2 sin2x
2 8 4 2 8
= + =
1x2x22x288
8
1
x2
8
1
x2
4
1
x21
442442
=+=+ sinsinsinsinsinsin
4 2 2 2
sin 2x 8sin 2x 7 0 sin 2x 1 sin 2x 7 1 (loaùi) + = = = >
0x2 = cos
Z) (k
+
=+
=
2
k
4
xk
2
x2
24.
03xx5x212
=+
)cos(sin)sin(
03xx5xx2
2
=+ )cos(sin)cos(sin
3 2
sinx cosx 1 sinx cosx 2 (loaùi) sin x sin
2 4 2 4
= = > = =
3
x k2 x k2 x k2 x k2 (k Z)
4 4 4 4 2
= + = + = + = +
25.
07xx12x215
=+++
)cos(sin)sin(
07xx12xx5
2
=+++ )cos(sin)cos(sin
7 2 7
sinx cosx 1 sinx cosx sin x sin sin x sin
5 4 2 4 4
5 2
+ = + = + = = + = =
3
x k2 x k2 x k2 x k2 (k Z
2 4 4
= = + = + = +
26.
0xxx4x3
4224
=+
sinsincoscos
27.
2
2
4 2
2 cos x 5 cosx 15 0
cosx
cos x
+ + =
28.
2
2
1 1
cos x 2 cosx 2 0
cosx
cos x
+ + + =
2 2
1 1 1 1
cosx 2 2 cosx 2 cosx 2 cosx
cosx cosx cosx cosx
+ = + + = +
1 1
cosx 0 (1) cosx 2 (2)
cosx cosx
+ = + =
.ẹieu kieọn :
0x
cos
nghieọm) (voõ coscos)( 1x0x11
22
==+
Z)(k cos)(coscoscos)( ====+ 2kx1x01x01x2x2
22
29.
x
1
x
x
1
x
2
2
cos
cos
cos
cos
+=+
2 2
1 1 1 1
cosx 2 cosx cosx cosx 2 0
cosx cosx cosx cosx
+ = + + + =
1 1
cosx 1 (1) cosx 2 (2)
cosx cosx
+ = + =
.ẹieu kieọn :
0x cos
5
nghiệm) (vô coscos)( 01xx1
2
=++⇔
Z)(k cos)(coscoscos)( ∈π=⇔=⇔=−⇔=+−⇔ 2kx1x01x01x2x2
22
30.
2
2
1 1
cos x 2 cosx 1
cosx
cos x
+ = − +
2
1 1
cosx 2 2 cosx 1
cosx cosx
⇔ − + = − +
2
1 1
cosx 2 cosx 1 0
cosx cosx
⇔ − − − + =
01
x
1
x01
x
1
x
2
=−−⇔=−−⇔
cos
cos]
cos
[cos
01xx
2
=−−⇔ coscos
1 5 1 5
cosx 1 (loại) cosx cos x k2 (k Z)
2 2
+ −
⇔ = > ∨ = = α ⇔ = ± α + π ∈
31.
2
2
1 1
2 cos x 7 cosx 2 0
cosx
cos x
+ + − + =
2 2
1 1 1 1
2 cosx 2 7 cosx 2 0 2 cosx 7 cosx 6 0
cosx cosx cosx cosx
⇔ − + + − + = ⇔ − + − + =
1 1 3
cosx 2 (1) cosx (2)
cosx cosx 2
⇔ − = − ∨ − = −
. Điều kiện :
0x ≠cos
Z)(k
(loại) cos
coscos
coscos)( ∈π+α±=⇔
−<−−=
α=+−=
⇔=−+⇔ 2kx
121x
21x
01x2x1
2
2
1
(2) 2cos x 3cosx 2 0 cosx cos cosx 2 (loại) x k2 (k Z)
2 3 3
π π
⇔ + − = ⇔ = = ∨ = − ⇔ = ± + π ∈
Vậy nghiệm của phương trình là :
π+α±= 2kx
v
Z)(k ∈π+
π
±= 2k
3
x
32.
2
2
1 1
sin x sinx 0
sinx
sin x
+ − + =
2
1 1
sinx sinx 2 0
sinx sinx
⇔ + − + − =
1 1
sinx 1 (1) sinx 2 (2)
sinx sinx
⇔ + = − ∨ + =
. Điều kiện :
0x
≠
sin
nghiệm) (vô sinsin)( 01xx1
2
=++⇔
Z)(k sin)(sinsinsin)( ∈π+
π
=⇔=⇔=−⇔=+−⇔ 2k
2
x1x01x01x2x2
22
33.
2
2
1 1
4 sin x 4 sinx 7 0
sinx
sin x
+ + + − =
2 2
1 1 1 1
4 sinx 2 4 sinx 7 0 4 sinx 4 sinx 15 0
sinx sinx sinx sinx
⇔ + − + + − = ⇔ + + + − =
1 3 1 5
sinx (1) sinx (2)
sinx 2 sinx 2
⇔ + = ∨ + = −
. Điều kiện :
0x ≠sin
nghiệm) (vô sinsin)( 02x3x21
2
=+−⇔
6
2
1
(2) 2sin x 5sinx 2 0 sinx 2(loại) sinx sin
2 6
π
⇔ + + = ⇔ = − ∨ = − = −
7
x k2 x k2 (k Z)
6 6
π π
⇔ = − + π ∨ = + π ∈
34. C1 :
(*) )cot(cot 6gxtgx2xgxtg
22
=+++
Điều kiện :
Z)(k sincossin ∈
π
≠⇔≠⇔≠
2
k
x0x20xx
6gxtgx22gxtgx
2
=++−+⇔ )cot()cot((*)
08gxtgx2gxtgx
2
=−+++⇔ )cot()cot(
tgx cot gx 2 (1) tgx cot gx 4 (2) ⇔ + = ∨ + = −
Z)(k )()( ∈π+
π
=⇔
π
==⇔=−⇔=+−⇔=+⇔ k
4
x
4
tg1tgx01tgx01tgx2xtg2
tgx
1
tgx1
22
)sin(sinsin cossin cossin
sin
cos
cos
sin
)(
62
1
x21x22xx4xx4
x
x
x
x
2
22
π
−=−=⇔=−⇔−=+⇔−=+⇔
7 7
2x k2 2x k2 x k x k (k Z)
6 6 12 12
π π π π
⇔ = − + π ∨ = + π ⇔ = − + π ∨ = + π ∈
Vậy nghiệm của phương trình là :
π+
π
= k
4
x
Z)(k ∈π+
π
=∨π+
π
−=∨ k
12
7
xk
12
x
C2 : Đặt
gxtgx2xgxtggxtgxtgxtgxt
2222
cotcot)cot(cot ++=+=⇒+=
2xgxtg
22
++= cot
42xgxtg2
22
=+≥ cot
−≤
≥
⇔≥⇒≥⇒
2t
2t
2t4t
2
Khi
cot 2gxtgx2t =+⇔=
01tgx01tgx2xtg2
tgx
1
tgx
22
=−⇔=+−⇔=+⇔ )(
Z)(k ∈π+
π
=⇔
π
==⇔ k
4
x
4
tg1tgx
Khi
4 cot4 −=+⇔−= gxtgxt
xx4xx4
x
x
x
x
22
cossin cossin
sin
cos
cos
sin
−=+⇔−=+⇔
1
2sin2x 1 sin2x sin
2 6
π
⇔ − = ⇔ = − = −
7 7
2x k2 2x k2 x k x k (k Z)
6 6 12 12
π π π π
⇔ = − + π ∨ = + π ⇔ = − + π ∨ = + π ∈
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là :
π+
π
= k
4
x
Z)(k ∈π+
π
=∨π+
π
−=∨ k
12
7
xk
12
x
35.
(*) )cot(cot 06gxtgx5xgxtg
22
=++++
Điều kiện :
Z)(k sincossin ∈
π
≠⇔≠⇔≠
2
k
x0x20xx
06gxtgx52gxtgx
2
=+++−+⇔ )cot()cot((*)
04gxtgx5gxtgx
2
=++++⇔ )cot()cot(
tgx cot gx 1 (1) tgx cot gx 4 (2)⇔ + = − ∨ + = −
nghiệm) (vô )( 01tgxxtg1
tgx
1
tgx1
2
=++⇔−=+⇔
7
)sin(sinsin cossin cossin
sin
cos
cos
sin
)(
62
1
x21x22xx4xx4
x
x
x
x
2
22
π
−=−=⇔=−⇔−=+⇔−=+⇔
7 7
2x k2 2x k2 x k x k (k Z)
6 6 12 12
π π π π
⇔ = − + π ∨ = + π ⇔ = − + π ∨ = + π ∈
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là :
Z)(k ∈π+
π
=∨π+
π
−= k
12
7
xk
12
x
36.
(1) )cot(cot
cos
01gxtgx4xg3
x
3
2
2
=−+++
.
Điều kiện :
Z)(k sincossin ∈
π
≠⇔≠⇔≠
2
k
x0x20xx
01gxtgx4xg3xtg1301gxtgx4xg3
x
3
1
222
2
=−++++⇔=−+++⇔ )cot(cot)()cot(cot
cos
)(
02gxtgx42gxtgx302gxtgx4xgxtg3
222
=+++−+⇔=++++⇔ )cot(])cot[()cot()cot(
04gxtgx4gxtgx3
2
=−+++⇔ )cot()cot(
(*)
Đặt :
gxtgx2xgxtggxtgxtgxtgxt
2222
cotcot)cot(cot ++=+=⇒+=
2xgxtg
22
++= cot
42xgxtg2
22
=+≥ cot
−≤
≥
⇔≥⇒≥⇒
2t
2t
2t4t
2
2
2
(*) 3t 4t 4 0 t 2 t (loại)
3
⇔ + − = ⇔ = − ∨ =
Khi :
1x2xx2xx
x
x
x
x
2t
22
−=⇔−=+⇔−=+⇔−= sincossincossin2
sin
cos
cos
sin
2x k2 x k (k Z)
2 4
π π
⇔ = − + π ⇔ = − + π ∈
37.
(1) )cot(
sin
04gxtgx5xtg2
x
2
2
2
=++++
Điều kiện :
Z)(k sincossin ∈
π
≠⇔≠⇔≠
2
k
x0x20xx
04gxtgx5xtg2xg121
22
=+++++⇔ )cot()cot()(
04gxtgx52gxtgx204gxtgx5xgxtg2
222
=+++−+⇔=++++⇔ )cot(])cot[()cot()cot(
0gxtgx5gxtgx2
2
=+++⇔ )cot()cot(
(*)
Đặt :
gxtgx2xgxtggxtgxtgxtgxt
2222
cotcot)cot(cot ++=+=⇒+=
2xgxtg
22
++= cot
42xgxtg2
22
=+≥ cot
−≤
≥
⇔≥⇒≥⇒
2t
2t
2t4t
2
.
2
5
(*) 2t 5t 0 t t 0 (loại)
2
⇔ + = ⇔ = − ∨ =
Khi
α=−=⇔−=+⇔−=+⇔−= sinsincossin)cos(sin
sin
cos
cos
sin
5
1
x2xx5xx2
2
5
x
x
x
x
2
5
t
22
2x k2
x k x k (k Z)
2x k2
2 2 2
= α + π
α π α
⇔ ⇔ = + π ∨ = − + π ∈
= π − α + π
38.
3
(sinx cosx) 2(1 sin2x) sinx cosx 2 0
+ − + + + − =
8
3 2
(sinx cosx) 2(sinx cosx) sinx cosx 2 0⇔ + − + + + − =
đặt t sinx cosx 2 cos x
4
π
= + = −
. điều kiện:
t 2≤
.
Phương trình trở thành :
3 2 2
t 2t t 2 0 (t 2)(t +1) = 0 t = 2⇔ − + − = ⇔ − ⇔
39.
2(sinx cosx) tgx cotgx
+ = +
sinx cosx
2(sinx cosx)
cosx sinx
⇔ + = +
2(sinx cosx)sinxcosx 1⇔ + =
đặt t sinx cosx 2 cos x
4
π
= + = −
. điều kiện:
t 2≤
.
Phương trình trở thành :
3 2
t t 2 0 (t 2)(t + 2t +1) = 0 t = 2⇔ − − = ⇔ − ⇔
40.
3 3
sin x cos x sin2x sinx cosx
+ = + +
(sinx cosx)(1 sinxcosx) 2sinx cosx sinx cosx⇔ + − = + +
2
t 1
đặt t sinx cosx 2 cos x sinxcosx
4 2
π −
= + = − ⇒ =
. điều kiện:
t 2≤
.
Phương trình trở thành :
3 2 2
t 2t t 2 0 (t 1)(t + 2t 5) = 0 t = 1 t = 2 (loại) t = 1+ − − = ⇔ + − ⇔ ∨ − ⇔
41.
1 1 10
cosx sinx
cosx sinx 3
+ + + =
1 10
(sinx cosx) 1
sinxcosx 3
⇔ + + =
2
t 1
đặt t sinx cosx 2 cos x sinxcosx
4 2
π −
= + = − ⇒ =
.
điều kiện:
t 2≤
.Phương trình trở thành :
3 2 2
2 19 2 19
3t 10t 3t 10 0 (t 2)(3t 4t 5) = 0 t = 2 t = t = (loại)
3 3
− +
− + + = ⇔ − − − ⇔ ∨ ∨
42.
2
(cos4x cos2x) 5 sin3x
− = +
2 2 2 2
VT (cos4x cos2x) (2sin3xsinx) sin 3xsin x 4= − = = ≤
.
VP 5 sin3x 4
= + ≥
Vậy phương trình tương đương với hệ :
2 2 2
cosx 0
sin 3xsin x 1 sin x 1
x k2
sin3x 1
2
sin3x 1 sin3x 1
=
= =
π
⇔ ⇔ ⇔ = + π
= −
= − = −
43.
2
(cos4x cos2x) 5 sin3x
− = +
2 2 2 2
VT (cos4x cos2x) (2sin3xsinx) sin 3xsin x 4= − = = ≤
.
VP 5 sin3x 4
= + ≥
Vậy phương trình tương đương với hệ :
2 2 2
cosx 0
sin 3xsin x 1 sin x 1
x k2
sin3x 1
2
sin3x 1 sin3x 1
=
= =
π
⇔ ⇔ ⇔ = + π
= −
= − = −
44.
sinx cosx 2(2 sin3x)
+ = −
9
VT sinx cosx 2 sin x 2
4
π
= + = + ≤
.
VP 2(2 sin3x) 2= − ≥
Vậy phương trình tương đương với hệ :
x k2
sin x 1
x k2
4
vo â nghiệm
4
4
m2
sin3x 1
x
2 sin3x 1
6 3
π
π
π
= + π
+ =
= + π
⇔ ⇔
π π
=
= +
− =
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
45.
13 14
sin x sin x 1
+ =
13 14 2 2
sin x sin x sin x sin x⇔ + = +
. Vì
13 2
cosx 1 cos x cos x≤ ⇒ ≤
;
14 2
sinx 1 sin x sin x≤ ⇒ ≤
Vậy
13 14
sin x sin x 1+ ≤
. Dấu đẳng thức xảy ra khi:
13 2 2 11
14 2 2 12
cos x cos x cos x(cos x 1) 0 cosx 0 cosx 1
x k
m
x
2
sinx 1 sinx 0
2
sin x sin x sin x(sin x 1) 0
x k2
π
= − = = =
= + π
π
⇔ ⇔ ∨ ⇔ ⇔ =
= ± =
= − =
= π
46.
)sin(cossin x322xx
−=+
(1)
VT sinx cosx 2 cos x 2
4
π
= + = − ≤
2122x322VP =−≥−= )()sin(
Vậy
2 cos x 2
cos x 1 cos x 1 (1)
4
(1)
4 4
2 sin3x 1 sin3x 1 (2)
2(2 sin3x) 2
π
π π
− =
− = − =
⇔ ⇔ ⇔
− = =
− =
π+
π
=⇔π=
π
−⇔
2k
4
x2k
4
x1)(
( k ∈ Z)
thế vào (2) ta có :
3 3 2
sin3x sin k6 sin 1
4 4 2
π π
= + π = = ≠
Vậy phương trình vô nghiệm
47.
x35x2x4
2
sin)cos(cos
+=−
4xx34xx32VT
222
≤=−=
sinsin)sinsin(
.
415x35VP
=−≥+=
sin
Vậy
−=−
±=
⇔
−=
=
⇔
−=
=
⇔
=+
=
⇔
(2) 1xsinsin
(1) sin
sin
sin
sin
sinsin
sin
sinsin
)(
3
22222
4x3
1x
1x3
1x
1x3
1xx3
4x35
4xx34
1
Khi
Z)(k sin ∈π+
π
=⇔= 2k
2
x1x
thế vào (2) ta có :
143x3 −=−=sin
thỏa mãn
Khi
Z)(k sin ∈π+
π
−=⇔−= 2k
2
x1x
thế vào (2) ta có :
1143x3 −≠=+−=sin
không thỏa
Vậy nghiệm của phương trình là :
Z)(k ∈π+
π
−= 2k
2
x
10
48. .
x2xx25
2
cossinsin +=+
(1)
5x25VT
2
≥+= sin
Dấu bằng xảy ra ⇔ sin2x = 0 ⇔
Z)(k ∈
π
=
2
k
x
(*)
5xx41x2xVP
22
=++≤+= cossincossin
Dấu bằng xảy ra ⇔
2
1
tgx
2
x
1
x
=⇔=
cossin
(**)
Thế (*) vào (**) không thỏa nên phương trình vô nghiệm
49.
4xx3x2x23 =++− cossincossin
(1)
2x
2
1
x
2
3
x2
2
1
x2
2
3
1 =++−⇔ cossincossin)(
cos sin2x sin cos2x sin sinx cos cosx 2 sin 2x cos x 2
6 6 3 3 6 3
π π π π π π
⇔ − + + = ⇔ − + − =
(*)
Vì
sin 2x 1
6
π
− ≤
và
cos x 1
3
π
− ≤
nên (*)
2
sin 2x 1
sin 2x 1 sin k4 1
sin 1
6
6 3 6
2
x k2
3
x k2
cos x 1
x k2 x k2
3
3
3 3
π
π π π
π
− =
− = − + π =
=
π
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = + π
π
π
π π
= + π
− =
= + π = + π
Vậy nghiệm của phương trình là :
π+
π
= 2k
3
x
(k ∈ Z)
50.
1xx2
=
coscos
2xx31xx3
2
1
=+⇔=+⇔ coscos)cos(cos
(*)
Vì
1x3
≤
cos
và
1x
≤
cos
nên (*)
π=⇔=⇔
=−
=
⇔
=−
=
⇔
=
=
⇔ 2kx1x
134
1x
1x3x4
1x
1x3
1x
3
cos
cos
coscos
cos
cos
cos
(k ∈ Z)
51.
1xx2
2
+=
cos
(*)
Vì
1x2 ≤cos
và
11x
2
≥+
nên (*)
0x
10
0x
1x2
11x
2
=⇔
=
=
⇔
=
=+
⇔
cos
cos
Vậy nghiệm của phương trình là : x = 0
52.
2xx3 −=+ coscos
(*)
Vì
1x3 −≥cos
và
1x −≥cos
nên (*)
π+π=⇔−=⇔
−=+−
−=
⇔
−=−
−=
⇔
−=
−=
⇔ 2kx1x
134
1x
1x3x4
1x
1x3
1x
3
cos
cos
coscos
cos
cos
cos
(k ∈ Z)
53.
2 2
cos x 2cosx tg x 1 0+ + + =
2 2
cosx 1
(cosx 1) tg x 0
tgx 0
= −
⇔ + + = ⇔
=
Z)(k cos
sin
cos
∈π+π=⇔−=⇔
=
−=
⇔ 2kx1x
0x
1x
11
54.
2 2
4sin x 2 3tgx 3tg x 4sinx 2 0
− + − + =
2 2
4sin x 4sin x 1 3tg x 2 3tgx 1 0⇔ − + + − + =
2 2
sinx 1/ 2 (1)
(2sinx 1) ( 3tgx 1) 0
tgx 3/3 (2)
=
⇔ − + − = ⇔
=
5
(1) x k2 x k2 (k Z)
6 6
π π
⇔ = + π ∨ = + π ∈
thế vào (2) ta có nghiệm
π+
π
= 2k
6
x
, (k ∈ Z)
55.
2
x 2xsinx 2cosx 2 0
− − + =
2 2 2
x 2xsinx sin x cos x 2cosx 1 0⇔ − + + − + =
0x
2kx
002k2k
2kx
xx
1x
xx
01xxx
22
=⇔
π=
==π=π
⇔
π=
=
⇔
=
=
⇔=−+−⇔
sinsinsin
cos
sin
)(cos)sin(
Vậy nghiệm của phương trình là :x = 0
56.
2
x
cos2x 1
2
= +
2 2
2
x 0
x x
(1 cos2x) 0 2sin x 0 x 0
sinx 0
2 2
=
⇔ + − = ⇔ + = ⇔ ⇔ =
=
57.Đại học An Giang khối D năm 2000
2 2 2
3
sin x sin 2x sin 3x
2
+ + =
cos2x cos4x cos6x 0 cos4x(2cos2x 1) 0⇔ + + = ⇔ + =
1 k
cos4x 0 cos2x x x k
2 8 4 3
π π π
⇔ = ∨ = − ⇔ = + ∨ = ± + π
58. Đại học Quốc Gia Hà Nội khối D năm 1999
1 1
2 2 sin x
4 sinx cosx
π
+ = +
2 sin x
sinx cosx
4
2 2 sin x 2 2 sin x
4 sinxcosx 4 sinxcosx
π
+
π + π
⇔ + = ⇔ + =
sin x 0 sin x 0
2 sin x 0
4 4
4
sinx cosx 0 sin2x 0
1
2
2sinxcosx 1 sin2x 1
sinxcosx
π π
π
+ = + =
+ =
⇔ ⇔ ⇔
≠ ≠
=
= =
x k sin2x sin 1 0
4 2
x k
sin2x 0
4
sin2x 1 2x 2k x k
2 4
π π
= − + π ⇒ = − = − ≠
π
⇔ ⇔ = ± + π
≠
π π
= ⇔ = + π ⇔ = + π
59.Học Viện Quan Hệ Quốc Tế khối D năm 1999
12
cosx cos2x cos3x cos4x 0
+ + + =
5x x 5x x
4cosx.cos .cos 0 cosx 0 cos 0 cos 0
2 2 2 2
⇔ = ⇔ = ∨ = ∨ =
.
2k
x k x x 2k
2 5 5
π π π
⇔ = + π ∨ = + ∨ = π + π
60. Đại học Quốc Gia Hà Nội khối D năm 1998
3 3 5 5
sin x cos x 2(sin x cos x)+ = +
3 3 2 2 5 5
(sin x cos x)(sin x cos x) 2(sin x cos x)⇔ + + = +
3 2 2 3 5 5 3 2 2 3 2 2
sin xcos x sin x cos x sin x cos x sin x(cos x sin x) cos x(cos x sin x)⇔ + = + ⇔ − = −
3 3
3 3
cos2x 0
cos2x 0 cos2x 0
k
co2xsin x cos2xcos x x
sinx cosx tgx 1
4 2
sin x cos x
=
= =
π π
⇔ = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = +
= =
=
61. Đại học Quốc Gia Hà Nội khối D năm 1998
2 2 2
sin x cos 2x cos 3x
= +
1 cos2x 1 cos4x 1 cos6x
(cos2x cos4x) (1 cos6x) 0
2 2 2
− + +
⇔ = + ⇔ + + + =
2
2cos3xcosx 2cos 3x 0 2cos3x(cosx cos3x) 0 4cos3x.cos2x.cosx 0⇔ + = ⇔ + = ⇔ =
k k
cos3x 0 cos2x 0 cosx 0 x x x k
6 3 4 2 2
π π π π π
⇔ = ∨ = ∨ = ⇔ = + ∨ = + ∨ = + π
62. Đại học Quốc Gia Hà Nội khối B năm 1999
6 6 8 8
sin x cos x 2(sin x cos x)+ = +
6 2 6 2
sin x(1 2sin x) cos x(2cos x 1) 0⇔ − + − =
6 6
k
cos2x(sin x cos x) 0 cos2x 0 x
4 2
π π
⇔ + = ⇔ = ⇔ = +
63. Đại học Quốc Gia Hà Nội khối D năm 1999
sinx cosx sinx cosx 2− + + =
.
Bình phương 2 vế ta được
k
cos2x 1 sin2x 0 x
2
π
= ⇔ = ⇔ =
64. Đại học Quốc Gia Hà Nội khối B năm 2000
6 6
13
cos x sin x
8
− =
2
cos2x(2cos 2x 13cos2x 6) 0⇔ − + =
1 k
cos2x 0 cos2x 6 (loại) cos2x x x k
2 4 2 6
π π π
⇔ = ∨ = ∨ = ⇔ = + ∨ = ± + π
65. Đại học Quốc Gia Hà Nội khối D năm 2000
1 3tgx 2sin2x (*)
+ =
Đặt :
t tgx
=
.
2 3 2
2
4t
(*) 1 3t (1 3t)(1 t ) 4t 3t t t 1 0
1 t
⇔ + = ⇔ + + = ⇔ + − + =
+
2
(t 1)(3t 2t 1) 0⇔ + − + =
t 1 x k
4
π
⇔ = − ⇔ = − + π
66. Học Viện Quân Y khối B năm 2001
13
3sinx 2cosx 2 3tgx
+ = +
3tgxcosx 2cosx 2 3tgx cosx(3tgx 2) 2 3tgx⇔ + = + ⇔ + = +
.Đặt :
t tgx
=
3tgx 2 0 tgx 2/ 3 tg x k
cosx 1 cosx 1 x 2k
+ = = − = β = β + π
⇔ ⇔ ⇔
= = = π
67. Đại Học Sư Phạm Hà Nội khối B năm 2000
3
4cos x 3 2sin2x 8cosx
+ =
3 2
4cos x 6 2 sinx cosx 8cosx 2cosx(2cos x 3 2 sinx 4) 0⇔ + = ⇔ + − =
2
2
2cosx(2sin x 3 2 sinx 2) 0 cosx 0 sinx 2 (loại) sinx
2
⇔ − + = ⇔ = ∨ = ∨ =
3
x k x 2k x 2k
2 4 4
π π π
⇔ = + π ∨ = + π∨ = + π
68. Đại Học Sư Phạm Hà Nội khối B năm 2001
tgx 2cotg2x sin2x (*)
+ =
.
Điều kiện :
sin2x 0
≠
. Đặt :
t tgx
=
2
2 2 2 2
2 2
1 t 2t 1 2t
(*) t 2. t 1 tg x 1 sin x cos x
2t t
1 t 1 t
−
⇔ + = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =
+ +
k
cos2x 0 (thỏa mãn điều kiện) x
4 2
π π
⇔ = ⇔ = +
69. Đại Học Sư Phạm Hải Phòng khối B năm 2001
3
sin x 2 sinx (*)
4
π
+ =
.
Đặt :
t x x t
4 4
π π
= + ⇒ = −
3 3 2
(*) sin t 2 sin t sin t sint cost sint(1 cot t) sint cost
4
π
⇔ = − ⇔ = − ⇔ − = −
cost 0 cost 0
cost(1 sintcot t) 0 t k x k
sint cost 1 sin2t 2 (vônghiệm)
2 4
= =
π π
⇔ − = ⇔ ⇔ ⇔ = + π ⇔ = + π
= =
70. Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh khối D năm 2000
4 4
4(sin x cos x) 3 sin4x 2
+ + =
2 2
1
4 1 sin 2x 3sin4x 2 2sin 2x 3sin4x 2
2
⇔ − + = ⇔ − + = −
1 3 1 2
cos4x 3sin4x 1 cos4x sin4x cos 4x cos
2 2 2 3 3
π π
⇔ + = − ⇔ + = − ⇔ − =
2 k k
4x 2k x x
3 3 4 2 12 2
π π π π π π
⇔ − = ± + π ⇔ = + ∨ = − +
71. Đại Học Thái Nguyên khối D năm 1997
2
4cos x cos3x 6cosx 2(1 cos2x)− = − +
2 3 2
4cos x (4cos x 3cosx) 6cosx 4cos x⇔ − − = −
14
3 2
4cos x 3cosx 0 cosx(4cos x 3) 0 cosx 0 x k
2
π
⇔ + = ⇔ + = ⇔ = ⇔ = + π
72. Đại Học Thái Nguyên khối D năm 2000
sin2x 4(cosx sinx) m
+ − =
a) Giải phương trình trên khi
m 4=
b) Với giá trò nào của m thì phương trình trên có nghiệm?
Giải
a) Khi
m 4=
, phương trình có dạng :
sin2x 4(cosx sinx) 4 (1 sin2x) 4(cosx sinx) 3 0+ − = ⇔ − − − + =
2
(cosx sinx) 4(cosx sinx) 3 0⇔ − − − + =
cosx sinx 1
2 cos x 1 x 2k x 2k
cosx sinx 3 (vônghiệm)
4 2
− =
π π
⇔ ⇔ + = ⇔ = − + π∨ = π
− =
b)
2
sin2x 4(cosx sinx) m (cosx sinx) 4(cosx sinx) m 1 0 (*)+ − = ⇔ − − − + − =
Đặt :
t cosx sinx 2 cos x t 2
4
π
= − = + ⇒ ≤
.
2
(*) t 4t m 1 0⇔ − + − =
Nếu
/
5 m 0 m 5∆ = − < ⇔ > ⇒
phương trình vô nghiệm
Nếu
/
5 m 0 m 5∆ = − ≥ ⇔ ≤ ⇒
phương trình có hai nghiệm
/ /
1 2
t 2 t 2 2 (loại)= − ∆ ∨ = + ∆ >
Vậy phương trình có nghiệm khi
/ / /
1
2 t 2 2 2 2 2 2 6 4 2 6 4 2− ≤ = − ∆ ≤ ⇔ − ≤ ∆ ≤ + ⇔ − ≤ ∆ ≤ +
6 4 2 5 m 6 4 2 1 4 2 5 m 1 4 2⇔ − ≤ − ≤ + ⇔ − − ≤ − ≤ − +
72. Đại Học Văn Hóa Hà Nội khối D năm 2001
sinx 2cosx cos2x 2sinxcosx 0
+ + − =
2
sinx 1 2sin x 2cosx(1 sinx) 0⇔ + − + − =
sinx 1
sinx 1
(1 sinx)(2sinx 2cosx 1) 0
1
sin x sin
2(sinx cosx) 1
4
2 2
=
=
⇔ − + + = ⇔ ⇔
π
+ = − = α
+ = −
3
x 2k x 2k x 2k
2 4 4
π π π
⇔ = + π ∨ = − + α + π ∨ = − α + π
. Trong đó
α
là góc có
1
sin
2 2
α = −
73. Đại Học Y Khoa Hà Nội khối B năm 1997
4 6
cos x sin x cos2x
+ =
4 6 4 4 6 4
cos x sin x cos x sin x sin x sin x 0⇔ + = − ⇔ + =
4 2
2
sinx 0
sin x(sin x 1) 0 x k
1 sin x 0 (vo â nghiệm)
=
⇔ + = ⇔ ⇔ = π
+ =
.
74. Đại Học Y Khoa Hà Nội khối B năm 1997
x 3x x 3x 1
cosx.cos .cos sinx.sin .sin
2 2 2 2 2
− =
1 1 1
cosx(cosx cos2x) sinx(cosx cos2x)
2 2 2
⇔ + − − =
15
2 2
cos x cosxcos2x sinxcosx sinxcos2x 1 cosxcos2x sinx cos2x sin x sinxcosx⇔ + − + = ⇔ + = +
cos2x(cosx sinx) sinx(sinx cosx) (cosx sinx)(cos2x sinx) 0⇔ + = + ⇔ + − =
2 2
(cosx sinx)(1 2sin x sinx) 0 (cosx sinx)(2sin x sinx 1) 0⇔ + − − = ⇔ + + − =
1 5
tgx 1 sinx 1 sinx x k x 2k x 2k x 2k
2 4 2 6 6
π π π π
⇔ = − ∨ = − ∨ = ⇔ = + π ∨ = − + π∨ = + π ∨ = + π
.
75. Đại Học Y Khoa Hà Nội khối B năm 1998
2 2 2
sin 3x sin 2x sin x 0
− − =
2 2
1 cos6x 1 cos2x 1
sin 2x 0 (cos2x cos6x) sin 2x 0
2 2 2
− −
⇔ − − = ⇔ − − =
2 2 2 2
sin4xsin2x sin 2x 0 2sin 2xcos2x sin 2x 0 sin 2x(2 cos2x 1) 0⇔ − = ⇔ − = ⇔ − =
1 k
sin2x 0 cos2x x x 2k
2 2 3
π π
⇔ = ∨ = ⇔ = ∨ = ± + π
.
76. Đại Học Y Khoa Hà Nội khối B năm 1998
2(cotg2x cotg3x) tg2x cotg3x
− = +
.
Điều kiện :
sin2x 0 ; sin3x 0 ; cos2x 0≠ ≠ ≠
cos2x cos3x sin2x cos3x
2(cotg2x cotg3x) tg2x cot g3x 2
sin2x sin3x cos2x sin3x
− = + ⇔ − = +
2
3
2sinx cosx 2sinx(cos2x cos x)
0 sin x 0 (loại)
sin2xsin3x sin3xcos2x sin2xsin3xcos2x
−
⇔ = ⇔ = ⇔ =
do đk
sin2x 0
≠
Vậy phương trình vô nghiệm.
77. Đại Học Y Dược TP. Hồ Chí Minh khối B năm 1997
3
sinxsin2x sin3x 6cos x
+ =
2 3 3
2sin xcosx 3sinx 4sin x 6cos x⇔ + − =
3 2 2
tg x 2tg x 3tgx 6 0 (tgx 2)(tg x 3) 0 tgx 2 tg tgx 3⇔ − − + = ⇔ − − = ⇔ = = β ∨ = ±
x k x k
3
π
⇔ = β + π ∨ = ± + π
78. Đại Học Y Dược TP. Hồ Chí Minh khối B năm 1998
Xác đònh a để hai phương trình sau tương đương
2cosxcos2x 1 cos2x cos3x
= + +
2
4cos x cos3x acosx (4 a)(1 cos2x)− = + − +
Giải
•
2 2
2cosxcos2x 1 cos2x cos3x cos3x cosx 2cos x cos3x cosx 2cos x= + + ⇔ + = + ⇔ =
cosx 0 cosx 1/2
⇔ = ∨ =
•
2
4cos x cos3x acosx (4 a)(1 cos2x)− = + − +
2 3 2
4cos x (4cos x 3cosx) acosx 2(4 a)cos x⇔ − − = + −
3 2
4cos x (4 2a)cos x (a 3)cosx 0 cosx(2cosx 1)(2cosx a 3) 0⇔ + − + − = ⇔ − − + =
1 a 3
cosx 0 cosx cosx
2 2
−
⇔ = ∨ = ∨ =
Hai phương trình sau tương đương
16
a 3 a 3 a 3 a 3 1
1 1 0 a 5 a 1 a 3 a 4
2 2 2 2 2
− − − −
⇔ > ∨ < − ∨ = ∨ = ⇔ > ∨ < ∨ = ∨ =
79. Đại Học Y Dược TP. Hồ Chí Minh khối B năm 2001
Xác đònh a để phương trình sau có nghiệm :
6 6
sin x cos x a sin2x
+ =
Giải
6 6 2 2
3
sin x cos x a sin2x 1 sin 2x a sin2x 4 3sin 2x 4a sin2x (*)
4
+ = ⇔ − = ⇔ − =
Đặt : t sin2x 0 t 1= ⇒ ≤ ≤
.
2
(*) 3t 4at 4 0⇔ + − =
Với
t 0 ta co ù f(0) 4 0= = − < ⇒
phương trình (1) luôn có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện
1 2
t 0 t< <
Như vậy , phương trình đã cho có hai nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm thỏa
mãn
1 2
t 0 t 1 f(1) 0 4a 1 0 a 1/ 4< < ≤ ⇔ ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≥
80. Đề thi chung của Bộ giáo dục – đào tạo năm 2002 khối B
2 2 2 2
sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x
− = −
1 cos6x 1 cos6x 1 cos10x 1 cos12x
2 2 2 2
− + − +
⇔ − = −
(cos12x cos10x) (cos8x cos6x) 0 cosx(cos11x cos7x) 0 cosxsin9xsin2x 0⇔ + − + = ⇔ − = ⇔ =
k k
sin2x 0 cos9x 0 x x
2 9
π π
⇔ = ∨ = ⇔ = ∨ =
81. Đề thi chung của Bộ giáo dục – đào tạo năm 2002 khối D
Tìm x thuộc đoạn [0;14] nghiệm đúng phương trình :
cos3x 4cos2x 3cosx 4 0
− + − =
Giải
3 2
cos3x 4cos2x 3cosx 4 0 4cos x 3cosx 4(2cos x 1) 3cosx 4 0− + − = ⇔ − − − + − =
3 2 2 2
4cos x 8cos x 0 4cos x(cos x 2) 0 cosx 0 cosx 2 (loại) x k
2
π
⇔ − = ⇔ − = ⇔ = ∨ = ⇔ = + π
Vì
[ ]
x 0;14 k 0 k 1 k 2 k 3∈ ⇒ = ∨ = ∨ = ∨ =
Vậy nghiệm của phương trình là:
3 5 7
x x x x
2 2 2 2
π π π π
= ∨ = ∨ = ∨ =
82. Đề thi chung của Bộ giáo dục – đào tạo năm 2002 khối A
Tìm x thuộc đoạn
[ ]
x 0;2∈ π
nghiệm đúng phương trình :
cos3x sin3x
5 sinx cos2x 3 (*)
1 2sin2x
+
+ = +
+
Giải
Điều kiện :
1 2sin2x 0 sin2x 1/ 2 (a)+ ≠ ⇔ ≠ −
( )
(*) 5 sinx 2sinxsin2x cos3x sin3x (cos2x 3)(1 2sin2x)⇔ + + + = + +
( )
5 sinx cosx cos3x cos3x sin3x (cos2x 3)(1 2sin2x)⇔ + − + + = + +
( )
5 sinx sin3x cosx (cos2x 3)(1 2sin2x)⇔ + + = + +
( )
2
5cosx 1 2sin2x (cos2x 3)(1 2sin2x) 5cosx cos2x 3 5cosx 2cos x 2⇔ + = + + ⇔ = + ⇔ = +
17
2
2cos x 5cosx 2 0 cosx 2 (loại) cosx 1/ 2 (thỏa đk (a))⇔ − + = ⇔ = ∨ =
x 2k
3
π
⇔ = ± + π
. Vì
[ ]
x 0;2∈ π ⇒
nghiệm của phương trình là:
5
x x
3 3
π π
= ∨ =
83. Đề thi chung của Bộ giáo dục – đào tạo năm 2003 khối D
2 2 2
x x
sin tg x cos 0 (*)
2 4 2
π
− − =
Điều kiện :
cosx 0 x k
2
π
≠ ⇔ ≠ + π
2
2
2
1 cos x 1 cos x
1 cosx sin x 1 cosx
2 2
(*) tg x 0 0
2 2 2 2
cos x
π π
− − − −
+ +
⇔ × − = ⇔ × − =
2 2
2
2
1 sinx sin x 1 cosx sin x 1 cosx
. 0 0 sin x (1 cosx)(1 sinx) 0
2 2 2(1 sinx) 2
1 sin x
− + +
⇔ − = ⇔ − = ⇔ − + + =
+
−
(1 cosx)(1 cosx) (1 cosx)(1 sinx) 0 (1 cosx)(sinx cosx) 0⇔ − + − + + = ⇔ + + =
cosx 1 tgx 1 x 2k x k
4
π
⇔ = − ∨ = − ⇔ = π + π ∨ = − + π
84. Đề thi chung của Bộ giáo dục – đào tạo năm 2003 khối B
2
cotgx tgx 4sin2x (*)
sin2x
− + =
Điều kiện :
k
sin2x 0 x
2
π
≠ ⇔ ≠
cosx sinx 2 2cos2x 2
(*) 4sin2x 4sin2x
sinx cosx sin2x sin2x sin2x
⇔ − + = ⇔ + =
2 2 2
2cos2x 4sin 2x 2 cos2x 2(1 cos 2x) 1 2cos 2x cos2x 1 0⇔ + = ⇔ + − = ⇔ − − =
cos2x 1 (loại) sin2x 0 vì sin2x 0
x k
cos2x 1/2
3
= ⇒ = ≠
π
⇔ ⇔ = ± + π
= −
84. Đề thi chung của Bộ giáo dục – đào tạo năm 2004 khối B
2
5sinx 2 3(1 sinx)tg x (*)
− = −
Điều kiện :
cosx 0 x k
2
π
≠ ⇔ ≠ + π
2 2
2 2
sin x sin x
(*) 5sinx 2 3(1 sinx) 5sinx 2 3(1 sinx)
cos x 1 sin x
⇔ − = − ⇔ − = −
−
2
2 2
3sin x
5sinx 2 (5sinx 2)(1 sinx) 3sin x 2sin x 3sinx 2 0
1 sinx
⇔ − = ⇔ − + = ⇔ + − =
+
1 5
sinx 2 (loại) sinx x 2k x 2k (thỏa mãn đk)
2 6 6
π π
⇔ = − ∨ = ⇔ = + π ∨ = + π
85. Đề thi chung của Bộ giáo dục – đào tạo năm 2004 khối D
(2cosx 1)(2sinx cosx) sin2x sinx
− + = −
(2cosx 1)(2sin x cosx) 2sinxcosx sinx⇔ − + = −
18
2cosx 1 0 cosx 1/ 2
(2cosx 1)(2sin x cosx) sinx(2cosx 1)
sinx cosx 0 tgx 1
− = =
⇔ − + = − ⇔ ⇔
+ = = −
x 2k x k
3 4
π π
⇔ = ± + π ∨ = − + π
86. Đại Học Dân Lập Văn Lang năm 1997 khối B & D
3cosx cos2x cos3x 1 2sinxsin2x
+ − + =
2 3 2
3t 2t 1 4t 3t 1 4(4 t )t (t cosx)⇔ + − − + + = − =
2
t 0 cosx 0
2t 2t 0 x k x 2k
t 1 cosx 1
2
= =
π
⇔ + = ⇔ ⇔ ⇔ = + π ∨ = π + π
= − = −
87. Đại Học Thủy Sản năm 1997 khối A
4 4
x x
cos sin sin2x
2 2
− =
2 2
x x
cos sin sin2x cosx 2sinxcosx
2 2
⇔ − = ⇔ =
cosx 0
5
x k x 2k x 2k
sinx 1/2
2 6 6
=
π π π
⇔ ⇔ = + π ∨ = + π ∨ = + π
=
88. Trung Học Kỹ Thuật Y Tế 3 năm 1997
2
(2sinx 1)(2sin2x 1) 3 4cos x− + = −
2
2sinxsin2x 2sinx 2sin2x 1 3 4(1 sin x)⇔ + − − = − −
2 2
8sin xcosx 2sinx 4sinxcosx 4sin x sinx 0 4sinxcosx 1 2cosx 2sinx⇔ + − = ⇔ = ∨ + − =
x k
sinx 0
5 5
4sinxcosx 2(sinx cosx) 1 0
x 2k x 2k x 2k x 2k
6 3 6 3
= π
=
⇔ ⇔
π π π π
− + + =
= + π ∨ = + π ∨ = + π ∨ = + π
5 5
x k x 2k x 2k x 2k x 2k
6 3 6 3
π π π π
⇔ = π ∨ = + π ∨ = + π ∨ = + π ∨ = + π
89. Đại Học Quốc Gia TP. Hồ Chí Minh năm 1997 khối A
Cho phương trình :
5 5 2
4cos xsinx sin xcosx sin 4x m (*)
− = +
. Biết
x = π
là một nghiệm
của (*) . Hãy giải phương trình (*) trong trường hợp đó .
Giải
4 4 2 2 2
4sinxcosx(cos x sin x) sin 4x m 2sin2xcos2x sin 4x m sin 4x sin4x m 0 (1)− = + ⇔ = + ⇔ − + =
Vì
x = π
là nghiệm của phương trình (*) nên
x = π
cũng là nghiệm của phương trình (1)
Nghóa là :
sin4x sin4 0 vậy từ (1) m 0= π = ⇒ =
Vậy phương trình trở thành :
2
sin4x 0
k k
sin 4x sin4x 0 x x
sin4x 1
4 8 4
=
π π π
− = ⇔ ⇔ = ∨ = +
=
90. Đại Học Quốc Gia TP. Hồ Chí Minh năm 1997 khối D
Tìm các giá trò m để phương trình sau có nghiệm .
Cho phương trình :
4 4 6 6 2
4(sin x cos x) 4(sin x cos x) sin 4x m
+ − + − =
.
Giải
19
4 4 6 6 2 2 2 2
1 3
4(sin x cos x) 4(sin x cos x) sin 4x m 4 1 sin 2x 4 1 sin 2x sin 2x m
2 4
+ − + − = ⇔ − − − − =
2 2
4t 3t m (t sin 2x 0 t 1)⇔ − = = ⇒ ≤ ≤
. Đặt :
2 / /
f(t) 4t 3t f (t) 8t 3;f (t) 0 t 3/ 8 f(3/ 8) 9/16= − ⇒ = − = ⇔ = ⇒ = −
Lập bảng xét dấu đạo hàm trên đoạn
[ ]
0;1
ta có :
f(0) 0 ; f(1) 1= =
Vậy phương trình có nghiệm khi :
9
m 1
16
− ≤ ≤
91. Đại Học Luật TP. Hồ Chí Minh năm 1997 khối A
Cho phương trình :
2 2
cos4x cos 3x asin x
= +
a) Giải phương trình trên khi
a 1=
b) Xác đònh tham số a để phương trình đã cho có nghiệm x trên khoảng
0;
12
π
Giải
a)
2 2 2
1 cos6x 1 cos2x
cos4x cos 3x asin x 2cos 2x 1 a
2 2
+ +
= + ⇔ − = +
2 3
4cos 2x 2 1 4cos 2x 3cos2x a(1 cos2x)⇔ − = + − + −
3 2 2
a(t 1) 4t 4t 3t 3 (t cos2x) a(t 1) (t 1)(4t 3)⇔ − = − − + = ⇔ − = − −
Khi
a 1
=
phương trình trở thành :
2
k
(t 1) (t 1)(4t 3) t 1 cos2x 1 2x k x
2
π
− = − − ⇔ = ± ⇔ = ± ⇔ = π ⇔ =
b)
2 2 2
cos4x cos 3x asin x a(t 1) (t 1)(4t 3) (*) (t cos2x)= + ⇔ − = − − =
3 3
x 0; 0 x 0 2x cos2x 1 t 1
12 12 6 2 2
π π π
∈ ⇔ < < ⇔ < < ⇔ < < ⇔ < <
( )
2 /
3 3
(*) a 4t 3 f(t) f (t) 8t 0 với t ;1 và f 0 ; f 1 1
2 2
⇔ = − = ⇒ = > ∀ ∈ = =
Lập bảng xét dấu đạo hàm trên khoảng
3
;1
2
ta thấy phương trình có nghiệm khi
0 a 1< <
92. Đại Học Ngoại Thương năm 1997 khối D
2
2tgx cot gx 3
sin2x
+ = +
2sinx cosx 1
3 (1)
cosx sinx sinxcosx
⇔ + = +
.
Điều kiện :
sinx 0
sinxcosx 0
cosx 0
≠
≠ ⇔
≠
2 2 2 2
2sin x cos x 3sinxcosx 1 1 sin x 3sinxcosx 1 sin x 3sinxcosx⇔ + = + ⇔ + = + ⇔ =
sinx 0 (loại)
tgx 3 x k
3
sinx 3 cosx
=
π
⇔ ⇔ = ⇔ = + π
=
93. Đại Học Bách Khoa Hà Nội năm 1994
20
2 2
4sin 2x 6sin x 9 3cos2x
0 (*)
cosx
+ − −
=
.
Điều kiện :
cosx 0
≠
2 2
(*) 4(1 cos 2x) 3(1 cos2x) 9 3cos2x 0 2cos 2x 3cos2x 1 0⇔ − + − − − = ⇔ + + =
2
cos2x 1 1 cos2x 0 cosx 0 (loại)
2cos x 0
x k
cos2x 1/2 cos2x 1/ 2 cos2x 1/ 2
3
cos2x 1/2
= − + = =
=
π
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = ± + π
= − = − = −
= −
94. Đại Học Bách Khoa Hà Nội năm 1996
Tìm nghiệm của phương trình :
4 4
sin x cos x cos2x (1)
+ =
thỏa mãn bất phương trình :
2
1
2
1 log (2 x x ) 0 (2)
+ + − ≥
Giải
•
4 4 2 2
1
sin x cos x cos2x 1 sin 2x cos2x cos 2x 2cos2x 1 0
2
+ = ⇔ − = ⇔ − + =
cos2x 1 x k
⇔ = ⇔ = π
•
2
2
2
2
1
2
1
2
2
1 x 2
2 x x 0
2 x x 0 1 x 2
1 log (2 x x ) 0
x 1
log (2 x x ) 1
1 x 0
x x 0
x 0
− < <
+ − >
+ − > ≤ <
+ + − ≥ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
≥
+ − ≥ −
− < ≤
− ≤
≤
• Nghiệm của (1) thỏa (2) khi
1 k 2
k 0
1 k 0
≤ π <
⇔ =
− < π ≤
. Vậy
x 0=
95. Đại Học Kỹ Thuật TP. Hồ Chí Minh năm 1994
cos3x 1 3sin3x= −
2 2 2
1 3sin3x 0 sin3x 3 / 3
cos 3x 1 2 3sin3x 3sin 3x 4sin 3x 2 3sin3x 0
− ≥ ≤
⇔ ⇔
= − + − =
k
sin3x 0 3x k x
3
π
⇔ = ⇔ = π ⇔ =
96. Đại Học Kỹ Thuật TP. Hồ Chí Minh năm 1995
3 3
1
sin xcosx cos xsinx
4
− =
2 2
1 1 1 1 1
sinxcosx(sin x cos x) sin2xcos2x sin4x
4 2 4 4 4
⇔ − = ⇔ − = ⇔ − =
k
sin4x 1 4x 2k x
2 8 2
π π π
⇔ = − ⇔ = − + π ⇔ = − +
97. Đại Học Kỹ Thuật TP. Hồ Chí Minh năm 1998
4 2 2 4
3cos x 4cos xsin x sin x 0
− + =
4 2 2 2
tg x 4tg x 3 0 tg x 1 tg x 3⇔ − + = ⇔ = ∨ =
tgx 1 tgx 3 x k x k
4 3
π π
⇔ = ± ∨ = ± ⇔ = ± + π ∨ = ± + π
21
98. Đại Học Kỹ Thuật TP. Hồ Chí Minh năm 1998
3
sin x 2sinx
4
π
− =
3
3
1
(sinx cosx) 2 sinx (sinx cosx) 4sinx
2
⇔ − = ⇔ − =
3
3 2 3 2 3
3
sinx cosx 4sinx
(tgx 1) 4tgx(1 tg x) tg x 3tg x 3tgx 1 4tgx 4tg x
cosx
cos x
−
⇔ = ⇔ − = + ⇔ − + − = +
3 2 3 2 3
3tg x 3tg x tgx 1 0 tg x 3tg x 3tgx 1 4tgx 4tg x⇔ + + + = ⇔ − + − = +
tgx 1 tgx 3 x k x k
4 3
π π
⇔ = ± ∨ = ± ⇔ = ± + π ∨ = ± + π
99. Đại Học Y Dược TP. Hồ Chí Minh năm 1998
2
1 2 5
tg x 0
2 cosx 2
− + =
2 2
1 1 2 5 1 4
1 0 4 0
2 cosx 2 cosx
cos x cos x
⇔ − − + = ⇔ − + =
2
1 1
2 0 cosx x 2k
cosx 2 3
π
⇔ − = ⇔ = ⇔ = ± + π
100. Đại Học Y Dược Hà Nội năm 1996
0,25 4
x x
log sin sinx log sin cos2x 0
2 2
− + + =
4 4
x x
log sin sinx log sin cos2x
2 2
⇔ − = +
2
cos2x sinx sinx 1 sinx 1/ 2 sinx 1(loại) sinx 1/2
2sin x sinx 1 0
x x x
x
sin sinx 0 sin sinx 0 sin sinx 1
sin sinx 0
2 2 2
2
= − = ∨ = − = ∨ = −
− − =
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
− > − > > =
− >
1 7
sinx x 2k x 2k
2 6 6
π π
⇔ = − ⇔ = − + π ∨ = + π
101. Đại Học Giao Thông Vận Tải năm 1995
2
tg2x cot gx 8cos x
+ =
2
sin2x cosx
8cos x (*)
cos2x sinx
⇔ + =
. Điều kiện :
cos2x 0
sinx 0
≠
≠
2 2
cosx 0
sin2xsinx cos2xcosx
(*) 8cos x cosx 8cos xcos2xsinx
8cosxcos2xsinx 1
cos2xsinx
=
+
⇔ = ⇔ = ⇔
=
cosx 0 cosx 0 cosx 0
(thỏa mãn điều kiện )
4cos2xsin2x 1 2sin4x 1 sin4x 1/ 2
= = =
⇔ ⇔ ⇔
= = =
k 5 k
x k x x
2 24 2 24 2
π π π π π
⇔ = + π ∨ = + ∨ = +
102. Đại Học Giao Thông Vận Tải năm 1996
22
2
(sin2x 3 cos2x) 5 cos 2x
2
π
+ − = −
2
1 3
4( sin2x cos2x) cos 2x 5 0
2 2 2
π
⇔ + − − − =
. Điều kiện
2
4cos 2x cos 2x 5 0 cos 2x 5/ 4 (loại) cos 2x 1
2 2 2 2
π π π π
⇔ − − − − = ⇔ − = ∨ − = −
7
2x 2k x k
6 12
π π
⇔ − = π + π ⇔ = + π
103. Đại Học Giao Thông Vận Tải năm 1996
a)
3(cotgx cosx) 2(tgx sinx) 5
− + − = −
b)
3(cotgx cosx) 5(tgx sinx) 2 (*)
− − − =
Điều kiện
cosx 0
sinx 0
≠
≠
cosx sinx
(*) 3(cotgx cosx 1) 5(tgx sinx 1) 0 3 cosx 1 5 sinx 1 0
sinx cosx
⇔ − + − − + = ⇔ − + − − + =
cosx sinx cosx sinx sinx sinxcosx cosx
3 5 0
sinx sinx
− + − +
⇔ − =
cosx sinx cosx sinx 0 (1)
3 5
(cosx sinxcosx sinx) 0
3 5
sinx cosx
(2)
sinx cosx
− + =
⇔ − + − = ⇔
=
2
t 1 2
(1) t 2t 1 0 (t sinx cosx 2 sin x t 2)
4
t 1 2 (loại)
= −
π
⇔ − − = ⇔ = + = + ⇒ ≤
= +
1 2 3
sin x sin x 2k x 2k
4 4 4
2
π − π π
⇔ + = = α ⇔ = − + α + π∨ = − α + π
3 5 3
(2) tgx tg x k
sinx cosx 5
⇔ = ⇔ = = β ⇔ = β + π
104. Đại Học Giao Thông Vận Tải năm 1998
tgx cotgx 2(sin2x cos2x)
+ = +
Điều kiện :
cosx 0
sin2x 0
sinx 0
≠
⇔ ≠
≠
sinx cosx 1
tgx cot gx 2(sin2x cos2x) 2(sin2x cos2x) 2(sin2x cos2x)
cosx sinx sinxcosx
+ = + ⇔ + = + ⇔ = +
2
2
2(sin2x cos2x) 1 sin2x(sin2x cos2x) 1 sin 2x sin 2xcos2x
sin2x
⇔ = + ⇔ = + ⇔ = +
2
cos2x 0
k k
cos 2x sin2x cos2x (thỏa mãn điều kiện) x x
tg2x 1
4 2 8 2
=
π π π π
⇔ = ⇔ ⇔ = + ∨ = +
=
105. Học Viện Quan Hệ Quốc Tế năm 1995 khối D
2
sinx sin x sin x cosx 1 (*)
+ + − =
23
Điều kiện :
sinx 0≥
2 2
1 1
(*) sinx sinx cos x cosx sinx sinx cos x cosx
4 4
⇔ + = + ⇔ + + = + +
2 2
1 1
sinx cosx
sinx cosx
1 1
2 2
sinx cosx
1 1
2 2
cosx sinx 1
sinx cosx
2 2
+ = +
=
⇔ + = + ⇔ ⇔
− = +
+ = − −
2
2 2
cosx 0
cosx 0
cosx 0 cosx 0
sin x sinx 1 0
1 5
sinx cos x sinx 1 sin x
sinx (vìsinx 0)
sinx 0
2
cosx sinx 1 cosx sinx 1
x 2k
cosx 1
≥
≥
≥ ≥
+ − =
− +
= = −
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
= ≥
=
− = + − = +
= π + π
= −
x 2k x 2k
⇔ = α + π∨ = π + π
106. Đại Học Kiến Trúc Hà Nội năm 1995 khối A
1 1 1
cosx sin2x sin4x
+ =
Điều kiện :
sin4x 0
≠
1 1 1 1 1 1
cosx sin2x sin4x cosx 2sinxcosx 2sinxcosxcos2x
+ = ⇔ + =
2
2sinxcos2x cos2x 1 0 2sinxcos2x 1 cos2x 2sinxcos2x 2sin x⇔ + − = ⇔ = − ⇔ =
sinx 0 (loại)
2k
x x 2k
cos2x sinx cos x
6 3 2
2
=
π π π
⇔ ⇔ = + ∨ = − + π
π
= = −
107. Đại Học Kinh Tế Quốc Dân năm 1998 khối A
1
cosx cos2xcos4xcos8x
16
=
(*)
Xét sinx = 0 thì phương trình không thỏa.
Vậy (*)
⇔
1
sinxcosxcos2xcos4xcos8x sinx
16
=
2k 2k
sin16x sinx x x
15 17 17
π π π
⇔ = ⇔ = ∨ = +
108. Đại Học Kinh Tế năm 1994
Cho phương trình :
6 6
2 2
cos x sin x
2mtg2x
cos x sin x
+
=
−
a) Tìm m để phương trình có nghiệm.
b) Giải phương trình khi
1
m
8
=
Giải
6 6 6 6
2 2
cos x sin x cos x sin x 2msin2x
2mtg2x (*)
cos2x cos2x
cos x sin x
+ +
= ⇔ =
−
. Điều kiện :
cos2x 0
≠
24
6 6 2 2
3
cos x sin x 2msin2x 1 sin 2x 2msin2x sin 2x 8msin2x 4 0 (1)
4
⇔ + = ⇔ − = ⇔ + − =
Đặt
2 2
2 /
2
3t 4 3t 4
t sin2x ( 1 t 1) (1) 3t 8mt 4 0 8m f(t) f (t) 0
t
t
− + − +
= − < < ⇒ ⇔ + − = ⇔ = = ⇒ = <
Lập bảng xét dấu trên khoảng (–1;1) ta có : f(–1)= –1 ; f(1) = 1 ; f(0) =
∞
Vậy phương trình có nghiệm khi :
8m 1 m 1/ 8
8m 1 m 1/8
< − < −
⇔
> >
b) Vậy khi
1
m
8
=
thì phương trình vô nghiệm .
108. Đại Học Kinh Tế năm 1995
2
cosx(2sinx 3 2) 2cos x 1
1 (*)
1 sin2x
+ − −
=
+
. Điều kiện :
sin2x 1 x k
4
π
≠ − ⇔ ≠ − + π
2 2
(*) sin2x 3 2 cosx 2cos x 1 1 sin2x 2cos x 3 2 cosx 2 0⇔ + − − = + ⇔ − + =
cosx 2 (loại)
x k x 2k (loại) x k
4 4 4
cosx 2 / 2
=
π π π
⇔ ⇔ = + π ∨ = − + π ⇔ = + π
=
109. Đại Học Quốc Gia Hà Nội năm 1995
4sin2x 3cos2x 3(4sinx 1)
− = −
2
8sinxcosx 3(1 2sin x) 12sinx 3⇔ − − = −
2 2 2
sinx 0
sinx(4cosx 3sinx 6) 0
4cosx 3sinx 6 (vô ngghiệm vì a b 25 c 36)
=
⇔ + − = ⇔
+ = + = < =
x k⇔ = π
110. Đại Học Quốc Gia Hà Nội năm 1996
2
tg x tgx.tg3x 2
− =
Điều kiện :
cosx 0
cos3x 0
≠
≠
2
2
sinxsin2x 2sin xcosx
tg x tgx.tg3x 2 tgx(tgx tg3x) 2 2 2
cosxcosxcos3x cosxcosxcos3x
− −
− = ⇔ − = ⇔ = ⇔ =
2 2 4 2 4 2
sin x cosxcos3x cos x 1 4cos x 3cos x 4cos x 4cos x 1 0⇔ − = ⇔ − = − ⇔ − + =
2 2
k
(2cos x 1) 0 cos2x 0 2x k x (thỏa mãn điều kiện)
2 4 2
π π π
⇔ − = ⇔ = ⇔ = + π ⇔ = +
111. Đại Học Quốc Gia Hà Nội năm 1996
3
tgx cot gx 2cotg 2x= +
Điều kiện :
cosx 0 sinx 0
k
sin2x 0 x
sin2x 0
2
≠ ∧ ≠
π
⇔ ≠ ⇔ ≠
≠
25
