Bài giảng phương trình lượng giác môn toán (ôn thi đại học)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (530.38 KB, 55 trang )
PHẠM HỒNG PHONG
Phân loại chi tiết
Hệ thống ví dụ phong phú
Bài tập có đáp số đầy đủ
Trích dẫn tất cả các bài thi trong các năm 2002 - 2012
HÀ NỘI - 2012
Bản quyền thuộc về ThS. Phạm Hồng Phong – Trường Đại học Xây dựng
Tài liệu có thể được download miễn phí tại violet.vn/phphong84
Từ khóa: pham hong phong, phuong trinh luong giac
Mục lục
Chủ đề 1. Một số kiến thức chung 5
Loại 1. Các phương trình lượng giác cơ bản 5
Loại 2. Phương trình bậc nhất đối với sin và cos 15
Chủ đề 2. Đại số hóa phương trình lượng giác 23
Loại 1. Một số phép đại số hóa đơn giản 23
Loại 2. Phương trình đối xứng và gần đối xứng đối với sin, cos 31
Loại 3. Phép đại số hóa
2
tan
x
t 41
Loại 4. Phép đại số hóa t = tanx 45
Chủ đề 3. Phương trình tích 48
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
5
Chủ đề 1. Một số kiến thức chung
Loại 1. Các phương trình lượng giác cơ bản
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Phương trình cơ bản đối với sin
Xét phương trình
sin x m
. (0.1)
Điều kiện có nghiệm: (0.1) có nghiệm
1;1m .
Công thức nghiệm: Với mọi
1;1m , ta có
(0.1)
arcsin 2
arcsin 2
x m k
x m k
(
k
).
Trong đó,
arcsin m
là nghiệm thuộc đoạn
;
2 2
của phương trình
sin x m
(
Hình 1).
Ta thấy với mỗi
1;1m , giá trị
arcsin m
luôn tồn tại duy nhất.
y=sinx
-1
1
-
π
2
π
2
arcsinm
O
m
y
x
Hình 1
2. Phương trình cơ bản đối với cos
Xét phương trình
cos x m . (0.2)
Điều kiện có nghiệm: (0.2) có nghiệm
1;1m .
Công thức nghiệm: Với mọi
1;1m , ta có
(0.2)
arccos 2x m k
(
k
).
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
6
Trong đó, arccosm là nghiệm thuộc đoạn
0;
của phương trình
sin x m
(Hình 2).
Ta thấy với mỗi
1;1m , giá trị arccosm
luôn tồn tại duy nhất.
π
y=cosx
-1
1
π
2
arccosm
O
m
y
x
Hình 2
3. Phương trình cơ bản đối với tan
3
Xét phương trình
tan x m
. (0.3)
Với mọi m , (0.3) có nghiệm và
(0.3)
arctanx m k
(
k
).
Trong đó,
arctanm
là nghiệm thuộc khoảng ;
2 2
của
phương trình
tan x m
(Hình 3).
Ta thấy với mỗi m , giá trị
arctanm
luôn tồn tại duy nhất.
y=tanx
arctanm
-
π
2
π
2
O
m
y
x
Hình 3
4. Phương trình cơ bản đối với cot
Xét phương trình
cot x m
. (0.4)
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
7
Với mọi m , (0.4) có nghiệm và
(0.4)
arctanx m k
(
k
).
Trong đó,
arccot m
là nghiệm thuộc khoảng
0;
của phương
trình
cot x m
(Hình 4).
Ta thấy với mỗi m , giá trị
arccot m
luôn tồn tại duy nhất.
π
2
π
O
y=cotx
arccotm
m
y
x
Hình 4
5. Ngoài các phương trình kể trên, các phương trình sau đây cũng có cách giải gần giống
phương trình cơ bản:
sin sinf x g x
2
2
f x g x k
f x g x k
(
k
);
os osc cf x g x
2f x g x k
(
k
);
tan tanf x g x
2
f x g x k
f x k
(
k
);
cot cotf x g x
f x g x k
f x k
(
k
).
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Giải phương trình
2
2cos sin 2x x .
1
Giải. Ta có
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
8
1
2
2 1 sin sin 2x x
2
2sin sin 0x x
sin 2sin 1 0x x
sin 0
1
sin
2
x
x
2
6
5
2
6
x k
x k
x k
, (
k
).
Ví dụ 2. Giải phương trình:
sin 2 cos 0x x
.
1
Giải.
Cách 1.
1
2sin cos cos 0x x x
cos 2sin 1 0x x
1
2
cos 0
sin
x
x
2
2
6
7
2
6
x k
x k
x k
, (
k
).
Cách 2.
1
sin 2 cosx x
sin 2 sin
2
x x
2 2
2
3
2 2
2
x x k
x x k
2
6 3
3
2
2
k
x
x k
, (
k
).
Chú ý. Trong ví dụ trên, ta thấy khi giải bằng hai cách khác
nhau ta được các công thức nghiệm khác nhau. Tuy nhiên các
công thức nghiệm nói trên cùng thể hiện một tập nghiệm của
phương trình.
y
x
-1
-1
1
1
O
Ví dụ 3. Giải phương trình:
2 2
sin cos 2 1x x .
1
Giải.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
9
1
2 2
cos 2 1 sinx x
2 2
cos 2 cosx x
cos2 cos
cos2 cos
x x
x x
.
2
3
2
2 2
2 2
x x k
x x k
2
2
3
x k
k
x
2
3
k
x
(
2
2
3
k k
k
k
).
3
cos2 cosx x
2 2
2 2
x x k
x x k
2
3 3
2
k
x
x k
.
Vậy nghiệm của
1 là:
2
3
k
x
,
2
3 3
k
x
,
2x k
(
k
).
Ví dụ 4. Giải phương trình:
5
sin3 sin cos
2 2
x x
x .
1
Giải. Ta có
1
1
2
sin3 sin 3 sin 2x x x
sin 3 sin 2x x
3 2 2
3 2 2
x x k
x x k
2
2
5 5
x k
k
x
(
k
).
Ví dụ 5. Giải phương trình:
sin3 1 cos 4 cos3 sin 4x x x x .
1
Giải.
1
cos3 sin 4 sin3 cos 4 sin3x x x x x
sin 7 sin 3x x
7 3 2
7 3 2
x x k
x x k
2
10 5
k
x
k
x
(
k
).
Ví dụ 6. Giải phương trình:
sin 4 sin 7 cos3 cos6x x x x
.
1
Giải.
1
1 1
2 2
cos11 cos3 cos9 cos3x x x x
cos11 cos9x x
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
10
cos11 cos 9x x
11 9 2
11 9 2
x x k
x x k
20 10
2
k
x
x k
(
k
).
Ví dụ 7. Giải phương trình:
2
1 tan
1
cos
3
x
x
.
1
Giải.
1
2
1 tan
1 0
cos
3
x
x
2
tan
tan 0
3
x
x
1
tan tan 0
3
x x
tan 0
1
tan
3
x
x
6
x k
x k
(
k
).
Ví dụ 8. Giải phương trình:
2
2sin sin 1
0
2cos 3
x x
x
1
Giải.
Điều kiện để
1 có nghĩa: 2cos 3 0x
3
cos
2
x
2
6
x k
(
k
).
Ta có
1
2
2sin sin 1 0x x
sin 1
1
sin
2
x
x
2
2
2
2
7
2
6
x k
x k
x k
(
k
).
Kết hợp điều kiện: Những giá trị vi phạm điều kiện được
biểu diễn bằng những điểm trắng, những giá trị thỏa mãn
1
2
sin 1
sin
x
x
được biểu diễn bằng những điểm đen.
các họ nghiệm của
1 là
2
2k
,
7
6
2k
(
k
).
y
x
π
2
+2kπ
7π
6
+2kπ
-π
6
+2kπ
π
6
+2kπ
-1
-1
1
1
O
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
11
Chú ý. Khi biểu diễn họ
2k
x
n
(
k
,
*
n , n là hằng số) trên đường tròn lượng giác
ta được:
Một điểm trong trường hợp
1n
.
Hai điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ trong trường hợp
2n
. Hai điểm này là các điểm
biểu diễn giá trị
2
2
k
với
0k
, 1.
n điểm cách đều nhau trong trường hợp
3n
. n điểm này là các điểm biểu diễn giá trị
2k
n
với
0k
, 1, …,
1n
.
y
x
-1
-1
1
1
O
2n
y
x
-1
-1
1
1
O
3n
y
x
-1
-1
1
1
O
4n
Ví dụ 9. Giải phương trình
2
1 5sin 2cos cos 0x x x .
1
Giải. Điều kiện để
1 có nghĩa:
cos 0x
.
1
2
1 5sin 2cos 0
cos 0
x x
x
.
2
3
Ta thấy
2
2
1 5sin 2 1 sin 0x x
2
2sin 5sin 3 0x x
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
12
1
2
sin 3 1
sin
voâ nghieämx
x
2
6
7
2
6
x k
x k
.
3
cos 0x
2
x k
.
Kết hợp điều kiện: biểu diễn nghiệm của
2 và
3 trên
đường tròn lượng giác (điểm đen) và bỏ đi điểm vi phạm
điều kiện (điểm được khoanh trắng), ta được các họ nghiệm
của
1 là:
2
k
, 2
6
k
(
k
).
-
π
2
+2kπ
y
x
π
2
+2kπ
7π
6
+2kπ
-π
6
+2kπ
-1
-1
1
1
O
Ví dụ 10. Giải phương trình:
2
1
sin
8cos
x
x
.
1
Giải. Điều kiện để
1 có nghĩa:
cos 0x
2
x k
.
2
Ta có
1
2
2
sin 0
1
sin
8cos
x
x
x
.
3
4
4
2 2
8sin cos 1 cos 0
cos 0
x x x
x
2
2sin 2 1x
cos4 0x
4
2
x k
8 4
k
x
.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
13
Kết hợp điều kiện: biểu diễn nghiệm của
4 trên đường
tròn lượng giác (điểm đen) và bỏ đi điểm vi phạm một
trong hai điều kiện
2 ,
3 (điểm được khoanh trắng), ta
được các họ nghiệm của
1 là:
2
8
k
,
3
2
8
k
,
5
2
8
k
,
7
2
8
k
(
k
)
-7π
8
+2kπ
-5π
8
+2kπ
-3π
8
+2kπ
-π
8
+2kπ
7π
8
+2kπ
5π
8
+2kπ
3π
8
+2kπ
π
8
+2kπ
y
x
-1
-1
1
1
O
Chú ý. Họ nghiệm
2k
x
n
(
k
) thực ra là tập hợp
2k
n
k
. Ta có
2 2 2
2 2 1. . 2. .
k
n n n
k k k k k n k k
nói cách khác
2k
n
x
2
2
2
2
1 2
n
n
x k
x k
x n k
(
k
).
Ví dụ 11. [ĐHB06] Giải phương trình: cot sin 1 tan tan 4
2
x
x x x
.
1
Giải. ĐK:
2
sin 0
cos 0
cos 0
x
x
x
sin 2x
2
k
x
.
Ta có
2 2 2 2
2 2 2
sin sin cos cos sin sin cos
1
1 tan tan 1
2 cos cos cos cos cos cos cos
x x x x
x x x
x x x
x
x
x x x x
.
2 2
cos sin cos sin 2
sin cos sin cos sin2
cot sin 1 tan tan cot tan
2
x x x x
x x x x x
x
x x x x x
.
Do đó
1
2
4
sin 2x
1
sin 2
2
x (TMĐK)
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
14
2 2
6
5
2 2
6
x k
x k
12
5
12
x k
x k
(
k
).
C. Bài tập
Bài 1. Giải các phương trình sau
1) sin 3 cos 0x x .
2)
1
4
sin cosx x .
3)
sin 3 cos2 sin 2 cosx x x x
.
4)
2
cos 4cos 3 cos 0
2
x
x x .
5)
3
2sin 4sin 3sin sin 2 0x x x x .
6)
sin sin 2 cos cos2 0x x x x
.
7)
sin sin 2 cos cos2 0x x x x
.
Bài 2. Giải các phương trình sau
1)
cos cos7
cos6 4
sin 2
x x
x
x
.
2)
2
1 1
sin cos sin2x x x
.
3)
2
1 1
sin cos sin2x x x
.
4)
sin 2 1 tan 2 tan 1x x x .
5)
sin 2 tan 1 sin 2 tan 2x x x x .
6)
2
2 4
2 3 cos 2sin
2cos 1
1
x
x
x
.
7)
2
2
cos2 1
2
cos
tan 3tan
x
x
x x
.
D. Đáp số
Bài 1 1)
3
k
; 2)
12
k
,
5
6
k
; 3)
k
,
8 4
k
; 4)
4
5
k
,
4
7
k
; 5)
k
,
8 2
k
,
4
k
;6)
2k
,
2
6 3
k
; 7)
2k
,
2
3 3
k
. Bài 2 1)
k
,
5
k
; 2)
12
2k
,
7
12
2k
; 3)
12
2k
,
7
12
2k
; 4)
8 2
k
; 5)
x k
; 6)
4
3
2k
; 7)
4
k
.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
15
Loại 2. Phương trình bậc nhất đối với sin và cos
A. Tóm tắt lý thuyết
* Phương trình bậc nhất đối với
sin x
, cos x là phương trình có dạng:
sin cosA x B x C
,
1
trong đó, A và B là các hằng số không đồng thời bằng
0
(
2 2
0A B ).
* Cách giải: chia hai vế của
1 cho
2 2
A B
, ta được phương trình tương đương:
2 2 2 2 2 2
sin osc
A B C
x
A B A B
x
B A
.
Vì
2 2
2 2 2 2
1
A B
A B A B
nên tồn tại
0;2
để:
2 2
2 2
cos
sin
A
A B
B
A B
.
Do đó:
2 2
1 sin cos cos sin
C
x x
A B
2 2
sin
C
x
A B
.
2
Ta thấy
2 là phương trình có dạng cơ bản
sin f x m
.
* Chú ý:
+) Từ cách giải này suy ra điều kiện có nghiệm của phương trình
1 :
1 có nghiệm
2 2 2
0A B C .
+) Nếu chọn
0;2
để:
2 2
2 2
cos
sin
A B
A B
B
A
thì
1
2 2
cos
C
x
A B
.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
16
Nếu chọn
0;2
để:
2 2
2 2
cos
sin
A
B
A B
A B
thì
1
2 2
sin
C
x
A B
.
Nếu chọn
0;2
để:
2 2
2 2
cos
sin
B
A
A B
A B
thì
1
2 2
cos
C
x
A B
.
Trong từng trường hợp, việc chọn
phù hợp giúp quá trình tính toán bớt phức tạp.
+) Một số công thức hay sử dụng:
4 4
sin cos 2sin 2 cosx x x x
,
3
4 4
sin cos 2 sin 2 cosx x x x
,
3 6
sin 3cos 2sin 2cosx x x x
,
5
3 6
sin 3 cos 2 sin 2 cosx x x x
,
6 3
3sin cos 2sin 2cosx x x x
,
2
6 3
3sin cos 2sin 2cosx x x x
.
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Giải phương trình: sin 3cos 1 0x x .
1
Giải
Ta có
1
1 3 1
sin cos
2 2 2
x x
sin cos cos sin sin
3 3 6
x x
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
17
sin sin
3 6
x
2
3 6
5
2
3 6
x k
x k
2
2
7
2
6
x k
x k
(
k
).
Ví dụ 2. Giải phương trình:
2 2 sin cos sin cos 0x x x x
.
1
Giải
Ta có
1
1
sin 2 sin cos
2
x x x
3 3
sin 2 sin cos cos sin
4 4
x x x
3
sin 2 sin
4
x x
3
2 2
4
2 2
4
x x k
x x k
3
2
4
2
12 3
x k
k
x
(
k
).
Nhận xét. Phương trình ở ví dụ trên không phải phương trình bậc nhất. Việc giải phương trình
này liên quan đến việc rút gọn biểu thức
1
sin cos
2
x x
.
Ví dụ 3. Giải phương trình:
cos2 1
3sin
2cos
x
x
x
.
1
Giải
Điều kiện để
1 có nghĩa:
cos 0x
2
x k
.
2
Ta có
1
2 3sin cos cos2 1x x x
3sin 2 cos2 1x x
3 1 1
sin 2 cos2
2 2 2
x x
sin 2 cos cos2 sin sin
6 6 6
x x
sin 2 sin
6 6
x
2 2
6 6
7
2 2
6 6
x k
x k
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
18
2
3
x k
x k
(
k
) (thỏa mãn
2 ).
Ví dụ 4. [ĐHD07] Giải phương trình:
2
sin cos 3 cos 2
2 2
x x
x
.
1
Giải
Ta có
2
2 2
sin cos sin cos 2sin cos 1 sin
2 2 2 2 2 2
x x x x x x
x
. Do đó
1
sin 3 cos 1x x
1 3 1
sin cos
2 2 2
x x
1
sin cos cos sin
3 3 2
x x
1
sin
3 2
x
2
3 6
5
2
3 6
x k
x k
2
6
2
2
x k
x k
(
k
).
Ví dụ 5. [ĐHD09] Giải phương trình: 3cos5 2sin3 cos2 sin 0x x x x .
1
Giải
Ta có
2sin 3 cos2 sin 5 sinx x x x
. Do đó
1
3 cos5 sin5 2sinx x x
3 1
cos5 sin5 sin
2 2
x x x
2 2
sin5 cos cos5 sin sin
3 3
x x x
2
sin 5 sin
3
x x
2
5 2
3
2
5 2
3
x x k
x x k
6 2
18 3
k
x
k
x
(
k
).
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
19
Ví dụ 6. [ĐHA09] Giải phương trình:
1 2sin cos
3
1 2sin 1 sin
x x
x x
.
1
Giải
Đk:
1
2
sin
sin 1
x
x
2
6
7
2
6
2
2
x k
x k
x k
.
Ta có
2
1 2sin 1 sin sin 1 2sin sin cos2x x x x x x . Do đó
1
cos sin 2 3 sin cos 2x x x x
sin 2 3cos 2 cos 3sinx x x x
1 3 1 3
sin 2 cos2 cos sin
2 2 2 2
x x x x
sin 2 cos cos2 sin sin cos cos sin
3 3 6 6
x x x x
sin 2 sin
3 6
x x
2 2
3 6
5
2 2
3 6
x x k
x x k
2
18 3
2
2
k
x
x k
(
k
).
Kết hợp với điều kiện để
1 có nghĩa ta có tập nghiệm của
1 là
2
18 3
k
(
k
).
Ví dụ 7. Cho phương trình
2sin cos 1
1
sin 2cos 3
x x
a
x x
, (a là tham số).
1) Giải phương trình khi
1
3
a .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
20
2) Tìm a để
1 có nghiệm.
Giải
Xét phương trình
sin 2cos 3 0 2x x .
Ta có
2
2 2
1 2 3 4 0
2 vô nghiệm
sin 2cos 3 0x x x .
Do đó
1
2sin cos 1 sin 2cos 3x x a x x
2 sin 2 1 cos 3 1a x a x a .
1)
1
3
a :
1 trở thành
5 5
3 3
sin cos 0x x
tan 1x
4
x k
(
k
).
2) Ta có
2 2 2
2 2
2 2 1 3 1 4 6 4 2 3 2a a a a a a a .
Do đó
1 có nghiệm
2
2 3 2 0a a
2
3 2 0a a
1
2
2
a .
Ví dụ 8. Cho phương trình
2 2
2sin sin cos cosx x x x m .
1
1) Giải phương trình khi
1m
.
2) Tìm m để
1 có nghiệm.
Giải
Ta có
1
1 1 cos2
1 cos2 sin 2
2 2
x
x x m
sin 2 3cos2 1 2x x m
.
1)
1m
1 trở thành
sin 2 3cos2 3x x
2
2sin cos 3 1 2sin 3x x x
2
2sin cos 6sin 0x x x
2
sin cos 3sin 0x x x
sin cos 3sin 0x x x
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
21
sin 0
1
cos 3sin 0 tan
3
x
x x x
1
arctan
3
x k
x k
(
k
).
2) Ta có
2
2 2 2
1 3 1 2 4 4 9m m m . Do đó
1 có nghiệm khi và chỉ khi
2
4 4 9 0m m
1 10 1 10
2 2
m
.
C. Bài tập
Giải các phương trình sau
1)
2 2 sin cos cos 3 cos2x x x x .
2)
sin sin2 3 cos cos2x x x x .
3)
4 4
4 sin cos 3sin 4 2x x x .
4)
2
6 6
8 sin cos 3 sin 2 cos2 5x x x x .
5)
3
4sin 1 3sin 3 cos3x x x .
6)
4 4
sin 3 sin 2 sinx x x
.
7)
6
3cos2 sin 2 2sin 2 2 2x x x
.
8) [ĐHB09]
3
sin cos sin 2 3 cos3 2 cos4 sinx x x x x x .
9) [ĐHB12]
2 cos 3sin cos cos 3sin 1x x x x x
.
10)
2 2
3
2 4
4sin 3cos2 1 2cos
x
x x
,
0;x
.
D. Đáp số
1) Vô nghiệm. 2)
2k
,
2 2
9 3
k
(
k
).
3)
12 2
k
,
4 2
k
(
k
). 4)
2
k
,
8 2
k
(
k
).
5)
2
18 3
k
,
2
2 3
k
(
k
) . 6)
4 2
k
(
k
).
7)
5
12
k
(
k
). 8)
6
2k
,
2
42 7
k
(
k
).
9)
2
3
k
(
k
). 10)
5
18
,
17
18
,
5
6
.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
23
Chủ đề 2. Đại số hóa phương trình lượng giác
Loại 1. Một số phép đại số hóa đơn giản
A. Nội dung phương pháp
Phần này đề cập đến việc giải các phương trình lượng giác bằng cách thực hiện một phép đặt ẩn
phụ đơn giản:
sint x
,
2
sin
x
t ,
sin 2t x
,
cost x
,
2
cos
x
t ,
cos2t x
,
tant x
,
2
tan
x
t ,
tan 2t x
, … . Các công thức sau đây rất cho ích cho việc phát hiện ẩn phụ:
* Một số công thức “quy về sin”
cos sin
2
x x
, cos sin
2
x x
,
2
2 2
cos 1 sin
n
n
x x ,
2
2
1
cot 1
sin
n
n
x
x
,
2
cos2 1 2sinx x ,
3
sin3 3sin 4sinx x x ,
2
sin cos 1 sin
2 2
x x
x
,
4 4 2
1
sin cos 1 sin
2 2 2
x x
x ,
6 6 2
3
sin cos 1 sin
2 2 4
x x
x ,
2
tan cot
2 2 sin
x x
x
,
sin 2 cos 2 1
cos sin sin
x x
x x x
.
* Một số công thức “quy về cos”
sin sin cos
2 2
x x x
,
2
2 2
sin 1 cos
n
n
x x ,
2
2
1
tan 1
cos
n
n
x
x
,
2
cos2 2cos 1x x ,
3
cos3 4cos 3cosx x x ,
2
1 cos
sin
2 2
x x
,
2
1 cos
cos
2 2
x x
,
4 4 2
1 1
sin cos cos
2 2 2 2
x x
x ,
6 6 2
1 3
sin cos cos
2 2 4 4
x x
x ,
1
tan cot 1
2 cos
x
x
x
.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
24
B. Các ví dụ
Ví dụ 1. Giải phương trình:
2
3 sin 1 2cosx x .
1
Giải
Ta có
1
2
3 sin 1 2 1 sinx x
2
2sin 3sin 1 0x x
1
2
sin 1
sin
x
x
sin 2
2
sin 2
6
7
sin 2
6
x k
x k
x k
(
k
).
Ví dụ 2. [ĐHD06] Giải phương trình:
cos3 cos 2 cos 1 0x x x
.
1
Giải
Ta có
1
3 2
4cos 3cos 2cos 1 cos 1 0x x x x
3 2
4cos 2cos 4cos 2 0x x x
3 2
2cos cos 2cos 1 0x x x
cos 1
1
cos
2
x
x
2
cos 2
3
x k
x k
(
k
).
Ví dụ 3. [ĐHD02] Tìm nghiệm thuộc đoạn
0;14 của phương trình
cos3 4cos2 3cos 4 0x x x
.
1
Giải
Ta có
1
3 2
4cos 3cos 4 2cos 1 3cos 4 0x x x x
3 2
4cos 8cos 0x x
3 2
cos 2cos 0x x
2
cos cos 2 0x x
cos 0x
(do cos 2 1 0x x )
2
x k
(
k
).
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
25
Ta có
0;14
2
k
0;1;2;3k .
Vậy các nghiệm thuộc đoạn
0;14 là
2
,
3
2
,
5
2
,
7
2
.
Ví dụ 4. Giải phương trình:
1
2cos2 8cos 7
cos
x x
x
.
1
Giải
ĐK:
cos 0x
2
x k
.
Ta có
1
cos 2cos2 8cos 7 1x x x (
cos 0x
)
2
cos 2 2cos 1 8cos 7 1x x x
3 2
4cos 8cos 5cos 1 0x x x
2
cos 1 2cos 1 0x x
cos 1
1
cos
2
x
x
2
2
3
x k
x k
(
k
).
Ta thấy trong các ví dụ trên, việc phát hiện ẩn phụ khá đơn giản. Sau đây là các ví dụ mà ở đó, ta
phải thực hiện một vài phép biến đổi trước khi phát hiện ra ẩn phụ.
Ví dụ 5. Giải phương trình:
2
2
2sin 2 sin cosx x x .
1
Giải
Ta có
2
2 2
sin cos sin 2sin cos 1 sin 2x x x cos x x x x .
Do đó
1
2
2sin 2 sin 2 1 0x x
sin 2 1
1
sin 2
2
x
x
