SỰ HỘI TỤ HẦU CHẮC CHẮN CỦA TỔNG CÓ TRỌNG SỐ CỦA CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN ĐỘC LẬP LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC TOÁN HỌC

T

ă
|

ú

ì

|

ệ

ợ

P

ự

ặ

ầ

ự,

ệ

e

m

ù
ặ

q
ặ

q ả

ở

ự

ặ

2C

ữ, ị
C

2

ầ

í

ờ

ệ

C

ù

ờ
ă

ả
ợ

ử

C

1 ì

ởC

T

ú

ự

T

ẽ
ở

ầ
M

,

í

q ả
ả

ợ

Az

ệ

ĩ

ả í

– Marcinkiewicz khi

q ả

ồ q

ợ

ă

X1

1< p <2 Đ

martingale ũ
é

â

Z

X1 ị

p

}

ắ

ợ

T

{

22

ú

ở

ew z – Z

ù

q ả

ì
â

N( ),

(
ờ

) T e

ợ

ú

q

â

ỏ

(ử

{

} , cho

phép chúng ta t ng quát hóa k t quả c a Marcinkiewicz và Zygmund
khi |
ệ

ầ

|

,

v i
{

ũ

ợ ( e

},

Hệ q ả 2 6)
trung bình có t

1


ả
C

ù

q ả

í

ầ

Đị

22

} v i [|

{

â
Đị

ì
ù
ợ

ỏ

,

ầ 23

ị

q

ợ

ắ

ị

ầ 24

Tr
ặ

ệ

ỏ C

ú

,q
ữ

q
∑

â

Đị
ì
ầ

Az

Đị

â

ắ
ị

ì í

í37

{

ợ

ả

ệ

e

ở Hệ q ả 4 12

ự

e T
ợ

q ả

{

â ,

ì,
)

= 0.

t ì

ệ
∑

e ị
ầ

T

â ,
e

í36

é

ợ

Đị

,q

ệ

ệ

(

Az

ầ

, ị

Cũ

ả ử{

t ờ

â

ì
q ả

N

V

íq

ắ

ả ử ù
ự

{ }

ặ , ũ

ầ

V

â

∑

ắ

.

29

ầ
ợ

| ]

ắ

{

ắ

T ờ

ầ

íq
ầ 25

ặ

Đị

,

ì
ợ

q ả

í46

ú

ì
ù

u ti t (modulated averages)
2

â

ợc
:


ì

ệ

{
{

ự

ù

ầ
,q

p

ắ
ì

26

ả

.T

ũ

é

ả

ễ {

Đị

í29

Đị

é

|

ự

ầ

ù
í

| Đị

; hay
ù

ờ

â

ợ

ự

ĩ

. Đị

í

ta ì
ắ
i{

â
ệ

|]

í

q

t trong mơ hình hồi qui tuy n tính v i

í32

, ặ
íq

|

ặ

}

ồ q

|

í52

ì

ặ Đị

ả

ự

ú

ả

∑

ắ

[|

â

c l p cùng phân ph i, v i

{ }

ắ

{

ữ

ầ

ợ

∑

,q

ệ

qu

nhiễ

ầ

∑

ì

T

â

ắ

â

ệ

ự

ệ
ỗ ∑

ắ
}v i |
ợ

ồ q

í

|

∑

|

|

.T

ử

q

ú

ì
ệ q ả 33

ầ

Đị

3

í61

Đị

í64


MƠ
Tôi xin ử ờ cả

chân thành t i các thầy giáo thu c t b mơn Tốn

ng d ng – Khoa Toán Tin – T ờ

ĐHSP H N

su t quá trình h c t p và góp ý cho lu
Nguy

-T ờ

T ờ

Đ

ĐH S P

Q
H N

ă

ì
X

ú

ỡ

ệ ì

ả

TS T ầ T

Đặc biệt tơi mu n tỏ lịng bi
ầ

ỡ tơi trong

â H N ; PGS. TS Ph m Vă

Nguyễn Vă Hù , cán b thu c V ệ CNTT- V ệ
ự

ú

ờ

â

ắc t i TS.

H & CN V ệ N
ú

ă này.
ăm 20 2.

4

u-

, cả


M
........................................................................................................ 1
CH

N

C C

N TH C CHU N

11

.................................................... 7

............................................................................................ 7

1.1.1.

H

1.1.2.

D

...................................................... 7
ả í

1.1.3.

ả í

1.1.4.

q

1.2.

e

1.3. H

ầ

.................................................................................... 7
.................................................................................... 8

â

..................................................................................... 8

.......................................................................................... 8
ắ

ắn. ................................................................................. 8
....................................................................................... 8

1.4.
1.5. Đị

ĩ
ợ

1.6.
21

ệ

e ..................................................................... 10

ì

é

.............................................................. 10

ệ ................................................................................................... 11

22 T

ù

23 T

ệ

e

24 T

ệ

e ị

25

ì

ù

â

2 6 Tí

ị
ặ

â

............. 12

ặ ................................... 27
...................................... 35

ợ

.................................................................................................. 50
q

ồ q

í

ễ

ù

â

57
T UẬN ....................................................................................................... 65
5


TÀ

ỆU THAM HẢO ................................................................................. 66

6


Ơ
Cặ ( , ) ồ

ợ
N

ϭ-

( , )

ợ

(

,

ờ

ợ

)

ợ

ì

ợ

1.1.1.
H
P(

ữ

{ ,i

)=

H

𝓕

ϭì

,
{ ,i

ợ

𝓕

ϭ-

ợ

ỗ

ữ
1.1.2.

.

Đặt
X+ = X
N

;
X

(

X

= 0)

í

ữ

ìX

ợ

ử

X

E X+
ở

;

ả í

ợ
ữ

,

.
ĩ

(

ì

,E

)

X=

ả í
T

(

ì

ữ

ả

ợ

ả í

ặ

.

7

ợ

í

ệ


1.1.3.

.

ả

ử H

∫
[|

|

H

| |

H

ợ

ả í

khi

]

1.1.4.

.
}

{X;

ỏ

X=

ợ

q

tâm.

1.2.

.
T

ả

(X,

)

.
M

ả

T

ì

e

ặ

1.3.

.
ợ

{
X

ồ

Sự

ầ

ầ

â

H

ắ

ắ

ợ

í

ệ

:

:

(h.c.c).

{

e

(S

q

ắ

A

1.4.
i)

ắ

ồ

N)

}

ữ

ợ

:

{
8

}, {

}; 0 <

sao cho:


â
ii)

lmogo

.

ả ử{
ữ

e

,{

∑

ì

iii)

(h.c.c).

lmogo

.
ả ử{

ù

(h.c.c) ;

|

E|

.
ả ử {

- Zygmund
ù

â

â

,
(h.c.c)
|

1
Đồ

ờ,

ì

|

.
ù

khi
m

.

ả ử{
ầ

ắ

,
ắ

ì

ỗ
9

ỗ ∑


∑

a)

b) ∑

ở
N

[| |

c) ∑

|

|

]

ợ

ỗ

ỗ ∑

ì

ầ

ắ

ắ

ệ martingale.

1.5.
í

{

ợ

ệ

|
R

ầ

ắ

e

ì {

X={
e

N

ợ

,
}

e

ắ
ệ

,

{

,

| |

e

ệ

e

,

ì X={

}

.

1.6.
T

ì

=1,2… ,
,

ợ

ợ

ợ
ị

ì
ĩ

í

é
∑
∑
∑

( S )

̅̅̅

∑

ở ̂
ợ

q

ồ q

|

|

̅̅̅
|

|

.M

,

, ự

â

ti

ỏ ự
n

ì

é

10

é

)

ầ
ờ

ù

(tính


Ơ

2

ệ

T

ú

ẽ nghiên c u
{

bi n ng

ì

} trong

ờng hợp: chúng là các

c l p cùng phân ph i (i.i.d), chúng là các martingale hiệu bị

chặn trong L1 hoặc bị chặ
ú

ũ

ì

ợ

,

u m t ng d ng c a lu t m nh s l

q

ồ q

í

ễ

ì

q ả

q ả

ả

ử

ù

N
ệ

ầ

ă

,

ỗ

ú

ỉ

ú

ú

ử

ả ử
{

}

}

)=∞

M
N ữ

{

im i

ĩ

T

ệ

ả

â :

}, (

ả ),
{

( ì ồ

ệ
í

ị

.C ú

â

ỉ
}

e

ả

[3].
2,

{

ả
ệ

e

T

{

Tí

â

q ả

q

Đồng thời

u

1

ú
}

ị

).
{

{

}

ẽ

}.
ợ

ử

ú
11

ờ

ị

ĩ

) là hữu h n v i m i

ặ

suy ra


22

ổ

T

ó

ủ

ầ

ù

ú

ì
{

∑

ỗ

} là m t dãy s d ơ , ế
ảm, khả vi trên [

à d ơ ,k ô
{

ù

{

}

â

,q

â

q

ự

.

Bổ đề 2. . Gọ {
m

}

ến vô cùng. Gọi

], sao cho

→

ỗ ∑

}. T ì

là

. ặt

ụ ế

à

ỉ ế

ụ.

∫

{

C ứ

}

ắ

ả ,

ệ

ả ,
,

e

Theo chú ý ở trên, và sử d

ị

{

ả

}. Rõ ràng,

ả

ả

-.
ĩ

í

â Re

-Steiltjes, v i m i

ta có
∫

∑
{

}

C ú
N

∫

ử
∑

h i t , bởi sự

ở

ả

ìφ

, thì rõ ràng tích phân c a Mệ
ệu c a

→

và giả thi t

∫

12

ả
h i t . N u tích phân

, chúng ta có


ỗ ∑

Vì

Chú ý N ữ

í

ầ

ú

ợc thỏa mãn bắ

u cầu có th

φ

ầu từ

q

,

tr

T

ờ

ĩ

,

t cả các

ợ

ệ ∫
Từ

ờ

∑
í

(
R

)

{
|

,
{

|

suy ra

|

|

|

|

ữ

ù

ữ

â

ì
,q

â ,

ả

ì

}

Đị

í

â

ữ

í
2.2. Gọ {
|

{

|

} à

.T ì
,k ả í

} là m t dãy khác khơng các s phứ .

ả ử ằ

(ii)

và [|

(iii)

và

Chứng minh T

â

ờ

ta có [

|

|

}

, qui

ắ

ắ

:

| ]
|

à

.
|] < ∞.

xứ .

c h t chúng ta có hai chú ý: (a) Nhắc l i r ng
,( )
ị

|

ê {

ụ ầ
và [|

|

ẫ

ỗ ∑

(i)

ữ

, v i m t s giá tr

dãy b ế

,

ặt

ú

ả ử

í Vì

|

|

là

v im i

.
(P)

| ] < ∞ Vì

13


|

∑

|

|

|

[∑

{|

21( e
|

[|

∑

{|

|

|} ]

| |

|

[|

|
ở

ú

∑
|

ì

Vì

)

| |

|

| |

{|

∑
Sử

[

|} ]

| |

|

|

| ]

|}

ầ

ắ

ắ

í

|

]

[|

| ∫

|

]
|

⁄

ữ

.

Đ
{|

∑

| |

[

|}

h i t hầu chắc chắn v i m i
â

ờ

ờ

|

, ở
ợ

∑

| [

|

|}

| |

|

| |

|} ]|

| |

|

ự

{|

|

]

Chú ý 1. Khi
ờng c a lu t m nh s l n

).
T

h it

ờng hợp

í

é

21( e
|} ]|

|

|

{|

|

e

∑

{

ă

| [

∑

T

[|

(th m chí v i cả

ú
ử

|} ]

| |

{|

[|
ặ

[|
|.

)

|∑

|
|

ắt.

|
|

, từ

{|

| |

|

|
|

/

|}

]

|

∫

phần

]
và

cho ta sự

Marcinkiewicz-Zymund ([10 , ị
14

í


6). M t ví d ở â
[|

ỉ ra r

ờng hợp t ng quát, khi

|]

ự

2. Khi ta l y

và

c a ([10], ị
ử

√

ỗ
, ừ

í 9). Phần

ị

í
Đị

| |

{|

|

và [|

|} ]|

í,

|

Từ Đị

|

í 22

,q

ợ

ợ

ỗ
yn u

ữ

â

ệ

, SO e ,

ẳ

WP

[13]

ị

([10],

í 6).

2.3. Gọ {

} à

} à dãy b ế

ẫ

ê

i xứng hoặc [|

|

|

dãy

e

∑

ọ

ỗ ∑

.T ì

cho

ử

ì

ù

â
,

ệq

{

ũ

,

ì

ữ
ị

| ]

|] < ∞

(3)
â

ờng hợp

ợ

và [|

h i t Đồng thờ

|

ợ

ịnh lí là sai v i

c

ữ h n, v i
| [

ầ

â

3 C ú

∑

u kiện

ụ ầ

,
|]

, sao

ắ

ắ

bấ kì

,k ả í ,

.

í

Đị

í22

,

ú
â

15

γ,

ì

ỗ

ả


∑

ầ

tâm thỏa mãn [|

ắ

ắ

|

|

đề 2.4. Gọ {

ệ

∑

ụ ầ

|

]

dãy

ắ

|

|]

|

|

V

b

ị

:

ặ

. Thì

} là dãy biến ngẫ
| ]

,

ê

ặ

cl p

i xứng và

ta có

,SO e ,

2c a
q ả

ọ

ẳ

.

C ứ

từ

c l p cùng phân ph i, qui
ữ

bấ kì {

ắ

}

Từ

} à

cùng phân ph i, qui tâm v i [|
[

{

ì

WP

, theo B

[13]. Khẳ

ị

ầ

ợc suy ra

ịnh th hai suy ra từ ch ng minh phần

c. Khẳ

Đị

í

2.2.
Chú ý 1. V i các tr ng s bị chặn v i t ng phân kì, lu t s l n có tr ng s
ợ
[|

ả
|

ả
|

i các bi n ng

|]

c l p cùng phân ph i v i

, theo [13].
không ị

2. Lin và Weber [8]

ặ

∑
t ì

ợ

ph i, qui tâm v i [|
3 Xe

|

Hệ q ả 3 5

|

ả

| ]
ữ

ả

{

}

c l p cùng phân

,v i
í

ị

phân kì.
16

ặ


đề 2.5. Gọ {

ệ

|

{

|

} là m t dãy khác không các s

}. V i

i)
ụ ầ

Dãy

}

ắ

,

xứ

ắ

0

v i |

|

Chứng minh C ú
có hiệu lực v i m i

ợ |

,

T e

ờ
ĩ

ợ

ẫ

ê

.

,

(*)

ầ

,

|

Định lí 2.2 là

ù

ắ

Đị

ắ

â

i
ị ữ

, vì v y

e-C

|

ơ :

.

Rademacher { } (

[

ơ

ọ dãy b ế

ồng nh t th

T

⁄

y à

.

ii)
{

ềd

các mệ

phứ , à ặt

e

ợ

í22

, ồ

ầ

| ]

ắ

(*) trong

ắ

ợ
ù

,

{

â

}

.
Cũ

ỉ
â ,
∑

( í
ị

ở q

ắ

ự ị

ặ , ồ

ặ
â

{

)
{

}, sao cho ∑

phân kì.

Đả

{ }, sao

ì ồ
⁄

cho
∑
{

} là m

}

T e

ự

ú

ở

, ồ

{

â

sao cho ∑

∑

i x ng các bi n ng

phân kì.

c l p cùng phân ph
17

},


ợ
[|

ị

| ]

ĩ

e q

∑

â

Sử

=

và [
() ú

|

| ]

ε>

(*)

e-C

e ,

{

{

(h.c.c)
[|

l p) v i

} ù

| ]

∞ Mặ

â

,

|

ợ

ầ

v i [

|

ả

ả Sự

í 8).

ợ

ắ

[

ả

, ví d các lo i hàm
ự

ở

⁄

â :

ắ

2.6. Gọ {
|

{

|

{

} à

ỉ

cùng phân ph ,

.V

dãy k

0

<2

ữ

1<

⁄

(i)
Dãy
,

c

ắ

i x ng,

| ]

ệq

(ii)

ợ

ắ

,…
ờ

⁄

suy ra

ầ

,

ú

| ]

(h.c.c).
ở

u kiện

⁄

ệ ()

;

là

khi [|

)+

} cùng phân ph i (khơng cần thi t phả

φ

O

|

ú

,

ì

A ani ([7], ị
2

∑

* (

chúng ta có

Chú ý 1. Chú ý r ng, trong thực t ,

⁄

. Vì v y chúng ta có

.

( ) V

(i)

ắc:

⁄

ụ

xứ ,

E[ |

ứ , à ặ
ề

ơ

ơ :

.
0

ọ dãy b ế
| ]

.

18

ẫ

ê {

}


(iii) C ỗ ∑
nhiên {

⁄

ụ ầ
,

}
√

Chú ý 1. Dãy
Mặ

không suy ra
{

í
2

ắ
,

chỉ ra r ng khi

,

e

ú

,

ọ dãy b ế

mệ

(i) c a Hệ quả

⁄√

} cùng phân ph i ( không cần thi

(h.c.c)
[|

cl )

| ]

ù

ợc hi u là vô cùng), hàm
t e

ợ

e e,

ị

ệ

∑

⁄

Hệ q ả 2 6 ặ

Khi t

ọ {

|

)

:

ắ

⁄

(
|

ĩ ( ữ

Hệ q ả

ụ ế 0 ầ

.
ả

{

,

ẫ

| ]<∞.

E[|

{

(iv)

ắ

ắ

phân ph i, qui tâm , v i [|

Hệ q ả , ì

và

∑

c l p cùng

| ]

Đ u kiện

}

∑

Vì

suy ra

,

k t quả m

ỉ

ừ

ợ

ự

ự
ợ

kì, và v i

ầ

ắ

ỗ ∑
ợ
{

ì
ợ
{

ợc

ắ

ệ
,

ợc m t

(1996) ([6]), ở

a Chen, Zhu

ch ng minh; ở â

ờ

ú

u kiện c a Hệ quả,

ặ
}

,
} có t ng phân

ỉ
cùng phân ph i, qui tâm v i [|

.
19

| ]


3. V i

ợ

,

ả

∑ |

ả

⁄

|

([8],

trang 528).
ú 2,

4. Trong

ờng hợp t ng qt v i
;

,

ắ

{

ắ
,

ì

ả

â

ù

ả

{

|

)

2.7. Gọ {
|

{

}

ệ

ề

ụ ầ

và rõ ràng

ơ

k ơ

, à ặt

ơ :

ắ

ế 0

ụ ầ

ắ

ọ dãy b ế
i [|

ắ

|

[|

xứ , k ả í

|

theo ch ng minh c a phần
25( e

|

ẫ

|]

|
c

ê
.

ọ dãy b ế

ẫ
|]

ê

.

Định lí 2.2,

ự v i ch ng minh

. Ch ng minh c a
Mệ

vì v y

.

xứ , k ả í

,
Chứng minh.

⁄

ả

ì

à

ắ

c l p cùng phân ph ,

}

ợ

.

(iii) C ỗ ∑
{

|

ắ

suy ra

⁄
}

⁄

|

ữ

} là m t dãy s phứ k

}. N ữ

Dãy {

â

thì ∑

ắ
∑

ệ q

,q

ầ

-Winter v lu t logrit lặp (LIL) chúng ta có

Đ

(

â

√

và
e H

ả

ỗ ∑

í 4 ) chúng ta có ∑

ờ ặ
,

ợ

}

e ([9], ị

c a Hệ quả 2.6 không suy ra

C ú

√

và

u kiện

chúng ta có

C ú 2

)
20


Hệ q ả

â

Đị

í 2.2

và Mệ

ả
ệq

e

2. 8. Gọ {
|

{

ờng hợp

2.5 giải quy

} à
}. N ữ

|

dãy

ứ k

ệ

ề

k ô
ơ

à

, à ặ
ơ :

⁄
⁄

Dãy

ụ

0 ầ

}

{

,
(iii) C ỗ ∑

ụ ầ

,
( ú
Đị

ắ

(

ỉ

)

ợ

ẫ

ê

ẫ

ê {

}

ợ

ỗ ∑
ù

}

â

,

{

(h.c.c)
⁄ ).

ặ

â

ọ dãy

{ }
{

ả ử
í

ắ

ợ

ắ
ả í

ọ dãy b ế

xứ g, k ả í .

Chú ý Hệ q ả 2 8
ắ

ắ

xứ , k ả í .

⁄
,

ầ

ắ

ở

,SO e ,

WP

[13] ( ũ

e

} à

dãy k ô

ả

[6]).
2.9. Gọ {
các

d ơ

ế

ế

} à

ô

.C

⁄

và

ứ

ệ

ềd

⁄|

{

(i) Hàm

dãy

y ừ ( )-( ) à

ơ

ơ :

} là hữu h n giá tr v i mọi

.

( )C ỗ ∑

ụ ầ
,

|

à{

xứ

ắ

ắ

,k ả í .

21

dãy b ế

ẫ

ê

c


∑

(iii) Trung bình
ẫ

ụ ầ

ê

,

( )C ỗ

ụ ầ
,

Nế

xứ
ó

hêm và

bế

y

ắ

ẫ

ắ

|

}k ả í ,

C ứ

0

dãy b ế

ắ

ắ

ủ

(k ơ

ầ

0

bế

ế

xứ

Sự

q ả

ẫ

ê

|

ụ ầ

,k ả í ,

dãy b ế

ả ử ằ

∑

ê {

0

,k ả í .

ú

ằ

ắ

xứ , k ả í .

∑

thì ừ ( )

ắ

ẫ

ọ dãy
ê

).
ệ (i),(ii), và (iv)

⁄

ặ

ú

. Sự

ừ ệ

(iii) xem chú ý 2

sau Hệ q ả 2 6
Bây

ờ

ả ử

ả í ,q

(6)

â ,

ầ

e

ắ

ắ Vì

Rõ ràng, vì

⁄|

{|

|

ù

Đị
|

{|

∑{

ự

í

∑
ầ

V

⁄|

|}

[

í22

|

⁄|

⁄|

|} ]

|} ]}

{|

:

|

⁄|

|}

[

chúng ta có [

|

{|

{|

22

|

⁄|

|} ]

.

â


⁄

, ặ

V im i

∑

ả ử
Từ ự

|

í

∑

[

, ì

|

và
ợ

ả

{|

|

⁄|

ờ

ă

ả “
ợ

ệ

{
ẳ

ầ

Đị

í 29

â

ầ

,

,

ì
.

í

ả

C e ,Z

ừ Đị

ờ

,

ợ

([6 , ị
ầ

í1

ỉ

Đị

ệ (6),
{

í 2 9,

ự

ầ

â

â ,

tính

-

hình hồ q
ợ

ệ

q

ở Te
ợ

í
ở

e

ữ

ì
∑

(

é
|

| ) Đ

trong Chen, Zhu và Fang [6].
23

ắ
,

ù

ợ

â

}

ả

ệ (6)

í 1)

Chen, Zhu và Fang [6].

ì ”

3 Đ

í
ự

ù

ợ

ũ

q

ả

ầ

ầ ,

“

í

í

) Vì
,q

ắ

,

ệ (1 3)
ệ

ợ

ự

Đị

∑

}

,

.

é

í
ự

ị

|

ợc

ợ

[13]

[13] M

ệ (6)

(

ợ

ì ”

é

∑

2 P ầ

|

.

ì

[13 Đ

∑

. Theo

ợ

|} ]

Chú ý 1 Sự
ợ

v i

ờ

∑

29

v i

ệ

ả
,


4 T e
ì (6)

q ả

ầ

ù

C e ,Z
(iii)

ợ

ả

â
ệ (i)
C ú

4

â

í29

ợ

[6 ),
,q

e

ả

(6)

ầ

ả

ắ

í

e Đị

là không h i t hầu chắc chắn v

ờng hợ

ầ

(

,
ầu c

i x ng là khơng th bỏ qua trong phầ

ự

là

ì ồ

â ,

, Định lí chỉ ra r

Mặ

é

ả

lí 2.9, sao cho trung bình có tr ng s trong
0. Vì v y giả thi

,
,

Đ

C e ,Z

ù

{

Đị

{

ả

ả

,
e

[6 ,

ợ

i x ng,

ỗ ∑

ắ

Định lí 2.9.

,

q ả

í

ầ

ệ (6)
5 T e Định lí 2.2 (ii),
phân ph i qui tâm v i [|

|

í

ì

ầ

ắ

ắ ,

u kiện
|

suy ra r ng v i m

|]

c l p cùng

thì chuỗi ở trong phần

∑

Đị
í

ầ

là m t không gian xác suất, gọ θ à

t ánh x

(h.c.c),

ệ (6)
Hệ qu 2.10. Gọi (
bả

à

μ ê

ủ μ,

củ
ọ dãy b ế
k ẳ

ó. Gọi

ẫ

.T ì ồ

∫
ú

i mỗi

ê

ó

,

, khả í ,

:
(i) Trung bình

∑

ụ

24

0 ầ

ữ

ắ

ắ .

ề

:
ó

( ) Nế

i xứng hoặc [|

à

∑

ụ
( ) Nế θ à e

ầ

ắ

∑

ặ (ii)

()

,

ì

ỗ

∑

ó ọ

Đị

ụ

∑

íe

ú

, Đị
ặ (ii)

Chú ý. 1. N

{

ì

Q
. Theo (Demeter và Quas,
⁄

, ì

ầ (iii)

ầ

∫

ắ

, theo

∑

ặ
θ

e

Đị

,

e Đị

q ả

íe
⁄

í22

e

ừ

ầ

ắ

x,

ợ

}

e S w e (
Sử

e ee

í 5) cho ta

ầ (iii)

,

d ,

ắ .

∑

,

V

Q

, àθ àe

(i) cho (iii).

∑
( e ee

|]

ợ

,

(iv): V i

|

chúng ta có

e

, ì

|

và

í22

θ

ắ

[|

Hệ q ả 6
ặ

(iii):

m i

bì

ụ ầ

∑

Định lí 5), v i hầu h t

â

ì

i xứng hoặc

(ii): V i

ì

|]

ắ .

d ,

à

C ứ

Đị

|

ắ .

( ) Nế
ỗ

ắ

|

không âm cùng
3)

ỗ ∑

( ) h i t hầu chắc chắn v i

Marcinkiewicz và Zygmunund ([10], Đị
25

í 5),